Phương pháp halpern tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG NGỌC PHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HALPERN TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun – 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Cơng trình hồn thành : TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Người hướng dẫn khoa học : GS.TS Nguyễn Bường Phản biện : PGS.TS Đỗ Văn Lưu Phản biện : TS Nguyễn Thị Thu Thủy Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp : Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Ngày 28 tháng năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn thư viện Đại học Thái Nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn Một số ký hiệu chữ viết tắt Chương Một số khái niệm 1.1 Một số khái niệm không gian Hilbert 1.2 Một số tính chất tốn tử 1.3 Bài tốn tìm điểm bất động 1.4 Phương pháp lặp Solodov - Svaiter giải phương trình ∈ T x 10 Chương Phương pháp Halpern cải biên 16 28 2.1 Phương pháp Halpern tìm điểm bất động ánh xạ không giãn 28 2.2 Phương pháp xấp xỉ mềm 34 2.3 Phương pháp Halpern cải biên 42 Tài liệu tham khảo 46 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình GS.TS Nguyễn Bường Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn thầy khoa Tốn - Tin, phịng đào tạo sau đại học Trường Đại Học Khoa Học, Đại Học Thái Nguyên Thầy tham gia giảng dạy khóa cao học 2009 - 2011, lời cảm ơn sâu sắc cơng lao dạy dỗ suốt q trình giáo dục đào tạo Nhà trường Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn với thầy, Ban giám hiệu Tổ Tốn - Tin Trường Trung học phổ thông Trại Cau tạo điều kiện giúp đỡ tơi q trình học tập, nghiên cứu hoàn thiện luận văn cao học Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, anh chị em học viên cao học toán K3 bạn bè đồng nghiệp động viên, khích lệ cổ vũ để tơi hồn thành nhiệm vụ Thái Nguyên, ngày tháng năm 2011 Tác giả Dương Ngọc Phương Mở đầu Bài tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert hay Banach vấn đề lớn nhiều nhà toán học giới quan tâm Mục đích luận văn tìm hiểu vận dụng phương pháp Halpern tìm điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert Bố cục luận văn gồm 02 chương : Chương I: Các khái niệm Trong chương giới thiệu số kiến thức không gian Hilbert, phương pháp lặp Solodov - Svaiter giải phương trình ∈ T x Chương II: Phương pháp Halpern mở rộng Chương gồm phần: + Phương pháp Halpern tìm điểm bất động ánh xạ không giãn + Phương pháp xấp xỉ mềm + Phương pháp Halpern cải biên Do thời gian có hạn nên luận văn dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt Trong q trình làm luận văn trình sử lý văn chắn khơng thể tránh khỏi sai sót, Tơi mong nhận ý kiến đóng góp Thầy cô bạn đọc Một số ký hiệu chữ viết tắt Rn |β| x := y ∀x ∃x I A⊂B A⊆B A∪B A∩B A×B convD xk → x xk x ∗ A D(A) R(A) không gian Euclide n-chiều trị tuyệt đối số thực β x định nghĩa y với x tồn x ánh xạ đồng tập A tập thực tập B tập A tập tập B A hợp với B A giao với B tích Đề-các hai tập A B bao lồi tập D dãy {xk } hội tụ mạnh tới x dãy {xk } hội tụ yếu tới x toán tử liên hợp toán tử A miền xác định toán tử A miền giá trị toán tử A Chương Một số khái niệm Trong chương này, đề cập đến vấn đề sau Trong mục 1.1, giới thiệu số khái niệm kiến thức liên quan đến không gian Hilbert Trong mục 1.2, chúng tơi trình bày số tính chất tốn tử Mục 1.3 dùng để trình bày tốn tìm điểm bất động Mục 1.4 dùng để trình bày phương pháp lặp Solodov-Svaiter giải phương trình ∈ T x 1.1 Một số khái niệm không gian Hilbert Các khái niệm kết phần tham khảo tài liệu [1] [2] 1.1.1 Định nghĩa không gian Hilbert Cho X khơng gian tuyến tính R Một tích vơ hướng X ánh xạ , : X × X → R thỏa mãn điều kiện sau: i) x, x > 0, ∀x = 0; x, x = ⇔ x = 0; ii) x, y = y, x , ∀x, y ∈ X; iii) αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R; iv) x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ X Khơng gian tuyến tính X với tích vơ hướng , gọi khơng gian tiền Hilbert Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi không gian Hilbert Chuẩn phần tử x kí hiệu x xác định x = x, x Các không gian Rn , L2 [a, b] khơng gian Hilbert với tích vơ hướng xác định tương ứng là: n x, y = ξi ηi ; x = (ξ1 , ξ2 , , ξn ) ∈ Rn ; y = (η1 , η2 , , ηn ) ∈ Rn ; i=1 b ϕ(x)ψ(x)dx, ϕ, ψ ∈ L2 [a, b] ϕ, ψ = a 1.1.2 Một số khái niệm • Cho X không gian Hilbert, dãy {xn } gồm phần tử xn ∈ X gọi hội tụ mạnh tới phần tử x ∈ X xn − x → n → ∞ Nếu {xn } hội tụ mạnh tới x ∈ X thì: (i) Mỗi dãy {xnk } ⊂ {xn } hội tụ tới x; (ii) Mỗi dãy { xn − ξ } bị chặn, ξ ∈ X • Dãy {xn } ⊂ X gọi đủ hay Cauchy, với ε > 0, tồn n0 (ε) cho: xm − xn < ε với m ≥ n0 (ε), n ≥ n0 (ε) • Tốn tử A : X → R gọi tuyến tính nếu: (i) A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 ∀x1 , x2 ∈ X; (ii)A(αx) = αAx, ∀α ∈ R, x ∈ X • Tốn tử tuyến tính A gọi bị chặn, tồn số M > cho Ax ≤ M x Giá trị số M nhỏ thỏa mãn bất đẳng thức gọi chuẩn A ký hiệu A Mệnh đề 1.1 Cho X không gian Hilbert x0 ∈ X phần tử tùy ý Khi tồn hàm tuyến tính ϕ : X → R cho ϕ = ϕ(x0 ) = x0 • Tập hợp tất phiếm hàm tuyến tính liên tục X gọi không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu X) ký hiệu X ∗ • Dãy {xn } gồm phần tử xn ∈ X gọi hội tụ yếu tới phần tử x ∈ X (viết tắt xn x) φ, xn → φ, x với φ ∈ X ∗ • Cho X không gian Hilbert, C tập X Một ánh xạ T : C → X gọi d-compact, thỏa mãn tính chất với dãy {xn } bị chặn X {T xn − xn } hội tụ mạnh tồn dãy {xnk } {xn } hội tụ mạnh • T gọi d- đóng điểm p {xn } ∈ D(T ) cho {xn } hội tụ yếu tới x ∈ D(T ) {T (xn )} hội tụ mạnh đến p T (x) = p Định nghĩa 1.1 Nếu dãy {xn } hội tụ yếu tới x ∈ X dãy { xn } bị chặn • Cho X không gian Hilbert, M tập khác rỗng X (i) M gọi lồi với x, y ∈ M, ≤ λ ≤ ta có: λx + (1 − λ)y ∈ M ; (ii) M gọi compact dãy {xn } ⊂ M chứa dãy hội tụ tới điểm thuộc M • Mỗi tập đóng bị chặn M khơng gian Hilbert compact yếu, tức với dãy bị chặn M trích dãy hội tụ yếu tới phần tử không gian • Tập M ⊂ X gọi tập đóng yếu, {xn } x, x ∈ M Định lý 1.1 (Mazur) Mỗi tập lồi đóng khơng gian Hilbert đóng yếu Định nghĩa 1.2 Một phiếm hàm ϕ xác định X gọi lồi, ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y) với x, y ∈ X, t ∈ [0, 1] Nếu dấu "=" xảy x = y, ϕ gọi lồi chặt • Nếu tồn hàm liên tục tăng γ : [0; +∞) → R, γ(0) = cho: ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y) − t(1 − t)γ( x − y ) với x, y ∈ X ϕ gọi lồi hàm γ(t) gọi modul lồi ϕ • Nếu γ(t) = ct2 (c > 0) phiếm hàm ϕ gọi lồi mạnh Định nghĩa 1.3 Một phiếm hàm ϕ gọi nửa liên tục x0 ∈ X, với dãy {xn } ⊂ X cho xn → x0 ta có: ϕ(x0 ) ≤ lim inf ϕ(xn ) n→∞ Nếu xn x0 ϕ(x0 ) ≤ lim inf ϕ(xn ), n→∞ ϕ gọi nửa liên tục yếu x0 Định lý 1.2 Cho phiếm hàm ϕ : X → R Ta nói ϕ khả vi theo hướng h điểm x ∈ X giới hạn ϕ(x + th) − ϕ(x) = V (x, h) t→0 t lim (1.1) Nếu giới hạn (1.1) tuyến tính liên tục theo h, tức V (x, h) = A(x)h A(x) gọi vi phân Gâteaux ϕ điểm x kí hiệu ϕ (x) Trong định nghĩa (1.1) tồn toán tử A : X → X ∗ cho: V (x, h) = Ax, h , ∀x, h ∈ X, tốn tử A gọi Gradient hàm ϕ ký hiệu ϕ hay gradϕ Định lý 1.3 (i) Nếu ϕ(x) phiếm hàm lồi X ϕ (x) thỏa mãn bất đẳng thức sau: ϕ (x) − ϕ (y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X; (ii) Nếu ϕ(x) phiếm hàm lồi X thì: ϕ (x) − ϕ (y), x − y ≥ 2γ( x − y ), ∀x, y ∈ X; (iii) Nếu ϕ(x) phiếm hàm lồi mạnh X thì: ϕ (x) − ϕ (y), x − y ≥ 2c x − y , ∀x, y ∈ X Định lý 1.4 (i) Nếu ϕ(x) phiếm hàm lồi X ϕ (x) thỏa mãn bất đẳng Giả sử (iv) đúng, Aαn+1 x = αn+1 x + T (Aαn x), (i) (iv) ta có: lim sup T (Aαn x, x ≤ n→∞ (2.7) hình thành chứng minh Định lí 1, ánh xạ T không giãn sử dụng bất đẳng thức T y − P x ≤ y − P x , (y ∈ K) thay P x tương đương với T giảm, lim sup T (Aαn x, x ≤ n→∞ tương ứng với (2.7) định lí Ghi Nếu K nón lồi phương pháp sử dụng kết chứng minh tương tự cho dãy lặp Aα0 x = x , Aαn+1 x = αn+1 x + T ((1 − αn+1 )Aαn x) Nếu T xác định dương phương pháp lặp trùng với dãy Halpern, 1 αn+1 = lại có Aαn x = Sn x n+1 n+1 với phương pháp lặp dạng khác trung Do dó αn = n+1 bình Cesaro 2.2 Phương pháp xấp xỉ mềm Vấn đề đặt tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn T tập đóng lồi C không gian Hilbert X Giả sử tập điểm bất động S = ∅, phương pháp xấp xỉ mềm tạo dãy hội tụ mạnh tới điểm cố định đặc biệt ánh xạ T Tìm x¯ ∈ C cho : x¯ = T (¯ x) (2.12) ta phải tìm xấp xỉ xk qua dãy lặp xk = εk T (xk ) + π(xk ) + εk + εk 34 (2.13) εk dãy số thực dần , π : X → C ánh xạ không giãn 2.2.1 Một số kết (xem [17]) Định lý 2.3 Cho dãy {xk } tạo phương pháp {xk } hội tụ mạnh tới phần tử nghiệm bất đẳng thức biến phân (I − π)˜ x, x˜ − x ≤ 0, ∀x ∈ S Chứng minh Ta có −εk (I − π)xk = (I − P )(xk ), kéo theo đơn điệu (I − T ) ta có (I − π)xk , x − xk ≥ 0, ∀x ∈ S Mặt khác tính đơn điệu mạnh (I − π) (I − π)xk − (I − π)x, xk − x ≥ (1 − θ)|xk − x|2 , (θ số , ≤ θ < 1) kết hợp với bất đẳng thức cuối ta có (I − π)x, x − xk ≥ (1 − θ)|xk − x|2 , ∀x ∈ S (2.14) Do |xk − x| ≤ (1 − θ)−1 |(I − π))x| ∀x ∈ S điều cho thấy tính bị chặn {xk }, cho x¯ điểm tập hợp điểm tụ yếu {xk } tồn dãy {xkv } hội tụ yếu tới x¯ Từ (2.13) ta có : (I − T ) xk (2.15) εk từ kết Mệnh đề Lions [18] ta có { (I − T )} hội tụ tới NS ε thông thường hội tụ đến tập nghiệm, kết hợp với kết Brézis [19] dãy {(I − π) + (I − T )} hội tụ tới (I − π) + NS , chuyển qua giới εk = (I − π) + 35 hạn (2.15) tính đơn điệu cực đại toán tử yếu - mạnh, đóng nên ta suy ∈ (I − π)¯ x + NS (¯ x), x¯ = projS (π(¯ x)) Do x¯ = x˜ nên điểm yếu hội tụ nhất, tất dãy hội tụ x˜ Bằng cách thiết lập x = x˜ công thức (2.14) chuyển qua giới hạn ta có : Ta xét dãy lặp với điểm đầu z0 dãy {zk } εk T (zk−1 ) + π(zk−1 ) + εk + εk zk = (2.16) Định lý 2.4 ∞ Giả sử εk = +∞ limk→+∞ | k=1 1 − | với z0 điểm lặp ban đầu, εk εk−1 dãy {zk } hội tụ mạnh x˜ Chứng minh Từ (2.13) (2.16) ta có + θεk (|zk−1 − xk−1 | + |xk − xk−1 |) + εk |z − zk | ≤ Từ −εk (I − π)xk = (I − T )xk −εk−1 (I − π)xk−1 = (I − T )xk−1 từ tính đơn đơn điệu (I − T ) ta có εk εk−1 − π(xk ), π(xk ) − π(xk−1 ) ) |xk − xk−1 |2 ≤ π(xk ) − π(xk−1 ), xk − xk−1 + − × ( xk , xk − xk−1 Do π không giãn mạnh {xk } bị chặn nên tồn hàng số C cho |xk − xk−1 | ≤ C − εk | εk−1 Ta kết luận (ví dụ [20]) +∞ Cho µk ≥ γk ≥ γk = +∞ k=1 ≤ ak ≤ (1 − γk )ak−1 + µk ak → 36 µk → Nếu dãy {ak } thỏa mãn γk 2.2.2 Liên kết với phương pháp lựa chọn khác Hàm lồi tối ưu Cho f hàm lồi giảm, nửa liên tục, xét tốn tìm điểm cực tiểu f X, với phép tính đơn giản ta thấy ∀λ > 0, x˜ = Argminf ⇔ ∈ ∂f (˜ x) ⇔ x˜ = proxλf (˜ x) ∂f ký hiệu vi phân hàm lồi f ,proxλf cực tiểu xấp xỉ f fλ (x) = inf y∈X f (y) + |x − y|2 2λ fλ = (∂f )λ := λ−1 (I − proxλf ) fλ khả vi điều cho thấy ánh xạ proxλf : x → proxλf x ánh xạ không giãn Bằng cách lấy T = proxλf π = proxλg , g : X → R+ ∪ {+∞} lồi mạnh α (modul )và hàm giảm, nửa liên tục Phương pháp xấp xỉ mềm tương ứng cho xλ,k = Argmin{fλ (x) + εk gλ (x); x ∈ X} (2.17) (˜ xλ ) xác định x˜λ = Argmin{gλ (x) ∈ Argminf } (2.18) Ta thấy λ dần tới ta có quy tắc giới hạn mềm đề xuất Attouch [21] Mệnh đề 2.2 Cho dãy {xλ,k , x˜k } xác định công thức (2.17) (2.18) hội tụ mạnh {xk , x˜} với xk = Argminx∈X {f (x) + εk g(x)} , với x˜ = Argminx∈S g(x) Chứng minh Tính tối ưu công thức (2.7) đưa 0∈ gλ (˜ xλ ) + NS (˜ xλ )trongؘ x = projS (proxλg x˜λ ) 37 (2.19) cách lấy x ∈ S ∩ dom∂g thấy proxλg ánh xạ co với hệ số co ta có: + λα |˜ xλ − projS (proxλg x)| ≤ |˜ xλ − x| + λα Nghĩa + λα |x − proxλg x| = (λ + α−1 )|(∂g)λ (x)| λα ≤(λ + α−1 )|(∂g)◦ (x)| |˜ xλ − x| ≤ (∂g)◦ (x) phần tử cực tiểu tập lồi ∂g(x) Từ ta suy {˜ xλ } bị chặn cho x˜ điểm tụ yếu dãy {xλ } tồn dãy {xλv }hội tụ yếu x˜ Từ ∀λ > 0, gλ ≤ g theo (2.18) ta có : gλ (˜ xλ ) ≤ g(x) ∀x ∈ Arguaminf Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức cuối lấy gλ hội tụ Mosco [22]về g ta có gλ (˜ x) ≤ lim inf gλv (˜ xλv ) ≤ g(x) v→+∞ ∀x ∈ Arguaminf g lồi mạnh, x˜ tồn dãy {xλ } hội tụ tới x˜ Mặt khác điều kiện tối ưu (2.17) đưa ∈ ∂(fλ + εk gk )xλ,k fλ (xλ,k ) + εk gλ (xλ,k ) ε ta viết lại sau : xλ,k = proxλ,f (xλ,k ) + proxλ,g (xλ,k ) 1+ε 1+ε Cho x ∈ dom∂f ∩ dom∂g, ta có |xλ,k − ε proxλ,f (x) + proxλ,g (x)| 1+ε 1+ε ε ≤ 1+ |xλ,k − x| 1+ε + λε từ suy + λα |(∂f )λ (x)| + εk |(∂g)λ (x)| εα + λα |(∂f )◦ (x)| + εk |(∂g)◦ (x)| ≤ εα |xλ,k − x| ≤ 38 từ cho thấy tính bị chặn {xλ,k } Cho xk điểm tụ yếu {xλ,k } tồn dãy {xλv ,k } hội tụ yếu xk {xλ,k } Từ ∀λ > 0, fλ ≤ f gλ ≤ g ta có fλ (xk ) + εk gλ (xk ) ≤ f (x) + εk g(x) ∀x ∈ X Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức cuối sử dụng tính hội tụ Mosco fλ + εk gk tới f + εk g, ta có f (xk ) + g(xk ) ≤ lim inf (fλv + εk gλv )(xλv ,k ) λv →0 ≤ f (x) + εk g(x) ∀x ∈ X f + εk g lồi mạnh điều cho thấy xk nhất, dãy {xλ,k } hội tụ yếu tới xk tính hội tụ {xλ,k , x˜λ } tới {xk , x˜} mạnh Tính lồi mạnh gλ tương đương với tính đơn điệu mạnh gλ (˜ xλ ) − gλ ta có gλ (˜ x), x˜λ − x˜ ≥ αλ |˜ xλ − x˜|2 (2.20) mặt khác từ (2.19) ta có gλ (˜ xλ ), x − x˜λ ≥ ∀x ∈ S Kết hợp với (2.20) ta có αλ |˜ xλ − x˜|2 ≤ gλ (˜ x), x˜λ − x˜ α + αλ Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức cuối cách lấy Dễ kiểm tra modul gλ lồi mạnh α = gλ (˜ x) = (∂g)λ (˜ x) hội tụ mạnh (∂g)◦ (˜ x) Ta có lim |˜ xλ − x˜| = λ→ 39 (2.21) Khi f + εk g lồi mạnh , chứng minh tương tự ta có hội tụ mạnh xλ,k tới xk ta có xk = Argminx∈X {f (x) + εk g(x)}, x˜ = Argminx∈S g(x)} Khi xem xét hạn chế toán {ct x ; AX ≤ b} x∈Rn với giả định khác rỗng ràng buộc khả thi {x ∈ Rn }; Ax ≤ b tương ứng xấp xỉ đưa n t ln(bi − ati x) minn c x − ε x∈R i=1 Trong biểu thị hàng ma trận A phương pháp tiếp cận thay để xem xét n (bi − ati x) c x − ε exp(− x∈Rn ε i=1 t Phương trình (2.21) có nghiệm xε hội tụ ε → với phân tích tối ưu tập S tính nghiệm x∈S I0 = {i; ati x = bi , ln(bi − ati x) − i∈I0 ∀x ∈ S} Bao hàm đơn điệu Cho A : X → X toán tử đơn điệu cực đại, đa trị, ta xét tốn tìm điểm A với phép tính ngắn ∈ A(˜ x) ⇒ x˜ = JλA (˜ x) ∀λ > 0, JλA ; = (I + λA)−1 biểu thị hệ thức A, cho thấy JλA ánh xạ không giãn đặt P = JλA π = JλB , B toán tử đơn điệu cực đại ( với modul α) Phương pháp xấp xỉ mềm thể Yosida xấp xỉ 40 A B cụ thể ∀λ > 0, k ∈ N = Aλ (xλ,k ) + εk Bλ (xλ,k ) ∈ Bλ (˜ xλ ) + NS (˜ xλ ) Aλ := λ−1 (I − JλA ) Bλ := λ−1 (I − JλB ) Kết hợp với Phương pháp Attouch cho thấy Bλ hội tụ B ∀x ∈ domB ta có |Bλ (x)| ≤ |B ◦ x| B ◦ x ký hiệu phần tử cực tiểu Bx trước tiên lấy x ∈ domA ∩ domB chứng minh tương tự tập lồi tối ưu ta suy + αλ (|B ◦ x| + |A◦ x|) εα mặt khác x ∈ S ∩ domB ta có |xλ,k − x| ≤ |˜ xλ − x| ≤ (α−1 + λ)|B ◦ x| cách tương tự ta thiết lập dãy {xλ,k , x˜λ } hội tụ yếu {xk , x˜} thoả mãn ∈ Axk + εk Bxk ∈ B(˜ x) + NS (˜ x) Cuối cùng, trường hợp tập lồi tối ưu hội tụ mạnh thu tính đơn điệu mạnh Bλ Bây ta phát biểu ứng dụng phương trình eliptic nửa Cho Ω tập mở RN , N ∈ N∗ với biên ∂Ω Cho f ∈ L2 (Ω) ta xét tốn Tìm u ∈ H (Ω) cho − u = f Ω ∂u = ∂Ω ∂n Thiết lập f¯ = |Ω| mềm , cụ thể : (2.22) f (x)dx dãy {uε } tạo phương pháp xấp xỉ εuε − uε = f Ω ∂uε =0 ∂Ω ∂n Hội tụ H (Ω) tới nghiệm u˜ tốn (2.22) điều tương 41 đương với − u˜ = f Ω ∂ u˜ =0 ∂Ω ∂n Ta xem xét toán sau cho c ∈ X, T > f : [0, T ] × X → R ∪ {+∞} Tìm hàm u : [0, T ] → X thỏa mãn −du(t) ∈ ∂f (t, u(t)), t ∈ [0, T ] dt u(0) = u(T ) = c (2.23) giả sử c ∈ X tồn nghiệm xc , đặt P : X → X xác định P (c) = xc (T ) tìm điểm bất động P (2.23) hai vấn đề tương đương, giống với lập luận đảm bảo tính (2.23) , ta thấy P ánh xạ không giãn 2.3 Phương pháp Halpern cải biên Phương pháp xấp xỉ cho ánh xạ không giãn tạo dãy {xn } thông qua dãy lặp xn+1 = tn x0 + (1 − tn )T xn , n≥0 (2.24) x0 ∈ C điểm lặp ban đầu tuỳ ý, {tn }∞ n=0 dãy khoảng (0; 1] Halpern [15] chứng minh dãy {xn } hội tụ mạnh không gian Hilbert H thoả mãn điều kiện sau : (i) tn → ; ∞ (ii) tn = ∞ ; n=0 ∞ tn+1 − tn < ∞ limn→∞ (tn /tn+1 ) = (iii) n=0 Do hạn chế điều kiện (ii) (iii) nên hội tụ dãy {xn } cho chậm Hơn Halpern [15] chứng minh điều kiện (i) (ii) cần thiết Để chứng minh tốc độ hội tụ dãy lặp (2.24) người ta bổ sung thêm bước lặp Các kết cho thấy có phép chiếu điểm 42 định nghĩa vế phải (2.24) xây dựng thích hợp lên tập lồi đóng cần điều kiện (i) ta thu kết hội tụ mạnh điều nâng cao tốc độ hội tụ dãy lặp (2.24) Chính xác hơn, ta xây dựng dãy {xn } sau : x0 ∈ C chọn tuỳ ý , yn = tn x0 + (1 − tn )T xn , Cn = {v ∈ C : yn − v ≤ | xn − v + tn ( x0 + xn − x0 , v )}, Qn = {v ∈ C : xn − v, xn − x0 , v ≤ 0}, xn+1 = PCn ∩Qn x0 (2.25) Định lý 2.5 Cho H không gian Hilbert thực, C tập lồi, đóng H T : C → C ánh xạ không giãn với tập điểm bất động F ix(T ) = ∅ Giả sử {tn } ⊂ (0; 1) với limn→∞ tn = , dãy {xn } tạo phương pháp CQ (2.25) hội tụ mạnh tới PF ix(T ) x0 Chứng minh Theo Bổ đề (1.3) [23] ta có Cn tập lồi đóng Cho p ∈ F ix(T ) sử dụng tính lồi tính chất ánh xạ khơng giãn T ta có : yn −p = tn (x0 −p)+(1−tn )(T xn −p) ≤ tn x0 −p +(1−tn ) xn −p = xn − p + tn ( x0 − p − xn − p ) ≤ xn − p + tn ( x0 2 + xn − x0 , p ) Hơn p ∈ Cn F ix(T ) ⊂ Cn ∀n ≥ Tương tự chứng minh Định lí (2.1)[23] ta có F ix(T ) ⊂ Qn , ∀n xn xác định với n Theo cách đặt Qn Bổ đề 1.4 [23] cho thấy xn = PQn x0 có nghĩa xn − x0 ≤ p − x0 ,với P ∈ F ix(T ), trường hợp {xn } bị chặn xn − x0 ≤ q − x0 vớiq = PF ix(T ) x0 mà xn+1 ∈ Qn xn − xn+1 , xn − x0 ≤ 43 (2.26) Từ (2.26) Bổ đề 1.1 [23] ta có xn+1 − xn = xn+1 − x0 − xn − x0 ≤ xn+1 − x0 2 − xn+1 − xn , xn − x0 − xn − x0 Bất đẳng thức cuối cho thấy { xn − x0 } tăng xn+1 − xn → (2.27) Từ xn+1 ∈ Cn ta có (chú ý tn → 0) yn − xn+1 − ≤ xn − xn+1 + tn ( x0 + xn − x0 , xn+1 ) → Ta có yn − T xn = tn ( x0 − T xn → (2.28) Kết hợp (2.26) (2.28) ta có : xn − T xn → Do Ww (xn ) ⊂ F ix(T ) theo Bổ đề (1.2) [23] Áp dụng Bổ đề (1.5)[23] (Với u = x0 , K = F ix(T )) ta có kết luận xn → q 44 Kết luận Những kết luận văn Trình bày phương pháp lặp Solodov - Svaiter tìm điểm tốn tử đơn điệu cực đại với hội tụ mạnh tới nghiệm không gian Hilbert vô hạn chiều Đây cải tiến quan trọng so với phương pháp điểm đầu gần với hội tụ yếu, hội tụ mạnh phương pháp bắt buộc theo phép chiếu Luận văn trình bày phương pháp Halpern tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn trình bày phương pháp xấp xỉ mềm tạo dãy hội tụ mạnh tới điểm cố định ánh xạ không giãn 45 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] H.Tụy (2003): Hàm thực giải tích hàm, Viện Toán học, Hà Nội Tài liệu tiếng Anh [2] Zeng L.C., Yao J.C (2008), Hybrit viscosity approximation schemes for equilibrium problems and fixed point problems of infinitely many nonexpansive mappings, Applied Mathematics and Computation, 198, pp 729-741 [3] Rhoades B.E (1974), Comments on two fixed point iteration methods, Trans Amer Math Soc., 196, pp 161-176 [4] Martinet, B.,(1970): Regularisation of inequations variationelles par approximations successives Revue Francaise d’Informatique et de Recherche Opérationelle pp 154-159 [5] Rockafellar R.T.(1976), Monotone operators and the proximal point algorithm SIAM Control Optim, 14, pp 877 - 898 [6] Solodov M.V., Svaiter B.F (1999), Forcing strong convergence of proximal point iterations in a Hilbert space Math Program, Ser A87, pp 189-201 [7] Zarantonello E.H.(1971), Projections on convex sets in Hilbert space and spectral theory, In : Zarantonello , E.H., ed., Contribution to Nonlinear Functional, Academic press, New York pp 237- 424 46 [8] Burke J.V., Qian M.(1998), A variable metric proximal point algorithm for monotone operators J Control Optim, 37, pp 353-375 [9] Eckstein, J.(1998), Aproximate iterations in Bergman - funtion -based proximal algorithm Math, Program 83,pp 113 - 123 [10] Solodov M.V., Svaiter B.F (1999), A hybrid - projection -proximal point algorithm J Conver Anal 6, pp 59 - 70 [11] Minty G.J.(1962), Monotone(nonlinear) operators in Hilbert space Duce Math J29,pp 341 -346 [12] Rockafellar R.T (1970), On the maximality of sumsof nonlinear monotone operators Trans Am Math.Soc.149 , pp 75–88 [13] Browder F.E (1967),Convergence of approximations to fixed points of nonlinear maps in Banach spacesArch Rotional Mech Anal.24,pp 82 90 [14] Krengel U (1985), Ergodic theorems Berlin -New York [15] Halpern B (1967), Fixed points of nonexpanding maps Bull, Amer Math Soc 73,pp 957 -961 [16] Wittmann R.(1991), Hopf’s ergodic theorem for nonlinear operators Math Ann 289, pp 239 - 253 [17] Moudafi A (2000), Viscosity Aproximation Methods for Fixed - Points Problems 241, pp.46 - 55 [18] Lion L.P (1978), Two remarks on th convergence of the convex funtions and monotone operators 67, pp 169 -187 [19] Brézis H (1974), Operateurs Masimaux Monotones et Semi groupes de contractions dans les Espaces de Hilbert North- Holland, Amsterdam 47 [20] Vasil’ev F.V.(1988), Numerical methods for sloving extremum problems Nauka, Moscow [21] Attouch H (1996), Viscosity approximation methods for minimization problems SIAM J optim 6, pp 769 - 806 [22] Mosco U (1969), convergence of convex set and of solution of variational inequalities Adv Math 3, pp.510 - 585 [23] Carlos Martinez -Yanes, Hong -Kun Xu (2006), Strong convergence of the CQ method for fixed point iteration processes a 64, pp.2400 - 2411 48 ... 10 Chương Phương pháp Halpern cải biên 16 28 2.1 Phương pháp Halpern tìm điểm bất động ánh xạ không giãn 28 2.2 Phương pháp xấp xỉ mềm 34 2.3 Phương pháp Halpern cải biên... Hilbert, phương pháp lặp Solodov - Svaiter giải phương trình ∈ T x Chương II: Phương pháp Halpern mở rộng Chương gồm phần: + Phương pháp Halpern tìm điểm bất động ánh xạ không giãn + Phương pháp. .. bày phương pháp Halpern Trong mục 2.2, chúng tơi trình bày phương pháp xấp xỉ mềm Mục 2.3 dùng để trình bày phương pháp Halpern cải biên 2.1 Phương pháp Halpern tìm điểm bất động ánh xạ không giãn