Phân tích vành thương của vành các số nguyên gauss

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM XUÂN HÙNG PHÂN TÍCH VÀNH THƯƠNG CỦA VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN GAUSS LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM XUÂN HÙNG PHÂN TÍCH VÀNH THƯƠNG CỦA VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN GAUSS LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS LÊ THỊ THANH NHÀN THÁI NGUYÊN - 2017 Mục lục Mục lục Lời nói đầu Vành số nguyên Gauss 1.1 Miền phân tích 1.2 Phân tích vành thương vành Z số nguyên 13 1.3 Vành Z[i] số nguyên Gauss 17 Một số ứng dụng 23 2.1 Phân tích vành thương vành Z[i] 23 2.2 Phân tích số nguyên thành tổng hai số phương 34 2.3 Xác định số Pythagore 39 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Lời cảm ơn Tôi xin gửi lời biết ơn chân thành đến GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Khi bắt đầu nhận đề tài thực cảm nhận đề tài mang nhiều nội dung mẻ Hơn với vốn kiến thức ỏi với kinh nghiệm làm đề tài lớn không nhiều nên chưa thực tự tin để tiếp cận đề tài Mặc dù bận rộn công việc Cô dành nhiều thời gian tâm huyết việc hướng dẫn, động viên khuyến khích tơi suốt thời gian thực đề tài Trong q trình tiếp cận đề tài đến q trình hồn thiện luận văn Cơ ln tận tình bảo tạo điều kiện tốt cho Cho đến luận văn thạc sĩ tơi hồn thành, xin cảm ơn Cô đôn đốc nhắc nhở Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa tốn-Tin Phịng Đào tạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy, Cơ tận tình truyền đạt kiến thức quí báu tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Cuối cùng, xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, bạn bè, người không ngừng động viên, hỗ trợ tạo điều kiện tốt cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn 43 α = (iw)2 Tương tự, α = −iw2 α = i(iw)2 Do ta giả thiết α = w2 α = iw2 Giả sử w = u + vi Thay α = x + yi, ta nhận x + yi = u2 − v + 2uvi x + yi = −2uv + (u2 − v )i Trong trường hợp thứ ta suy x = u2 − v , y = 2uv Không tính tổng qt ta giả thiết u > v Nếu u, v lẻ x chẵn, gcd(x, y) > 1, điều khơng thể xảy Vì y ∈ N nên u, v dương âm Nếu u, v âm ta có x = |u|2 + |v|2 , y = 2|u|.|v| Do ta giả thiết u, v ∈ N Trong trường hợp thứ hai ta có x = −2uv y = u2 − v Vì x > nên u, v trái dấu Ta giả thiết u < Khi x = 2u v y = (u )2 − v Với lập luận tương tự ta suy u , v số lẻ u > v Ngược lại, giả sử có hai số tự nhiên u, v ∈ N không đồng thời số lẻ cho u > v gcd(u, v) = Đặt x = u2 − v , y = 2uv z = u2 + v Khi x, y, z ∈ N z = x2 + y Giả sử gcd(x, y) > Khi x, y có ước nguyên tố p Vì p ước y nên p ước số 2, u, v Nếu p ước 2, p = Khi ước x Do u, v không số lẻ nên u, v chẵn Suy gcd(u, v) > 1, vơ lí Giả sử p ước u Khi p ước u2 Vì p ước x nên p ước v Do p ước v Suy gcd(u, v) > 1, vơ lí Tương tự, p ước v ta suy gcd(u, v) > 1, vơ lí Do gcd(x, y) = Vậy x, y, z số Pythagore nguyên thủy 2.3.5 Ví dụ Cho u = Khi v = Suy x = u2 − v = 3, y = 2uv = 4, z = u2 + v = Vậy 3, 4, ba Pythagore nguyên thủy 2.3.6 Ví dụ Cho u = Khi v = (vì u > v u, v không lẻ) Suy x = u2 − v = 5, y = 2uv = 12, z = u2 + v = 13 Vậy 5, 12, 13 ba Pythagore nguyên thủy 44 2.3.7 Ví dụ Cho u = Khi v = v = (vì u > v u, v không lẻ) Nếu v = x = u2 − v = 7, y = 2uv = 24, z = u2 + v = 25 Nếu v = x = u2 − v = 15, y = 2uv = 8, z = u2 + v = 17 Vậy 7, 24, 25 15, 8, 17 ba Pythagore nguyên thủy 45 Kết luận Luận văn trình bày hệ thống kết vành số nguyên Gauss số ứng dụng việc giải toán sơ cấp kinh điển Tài liệu tham khảo luận văn báo gần G Dresden W M Dymacek “Finding factors of factor rings over the Gaussian Integers" đăng tạp chi The American Mathematical Monthly Các nội dung luận văn là: Nhắc lại số kiến thức quen biết bậc đại học vành phân tích (miền Gauss), vành iđêan chính, vành Euclid Phân tích vành thương vành số nguyên thành tổng trực tiếp vành đơn giản (Mệnh đề 1.2.5) Nghiên cứu khái niệm tính chất vành số nguyên Gauss, xác định phần tử khả nghịch (Bổ đề 1.3.2), chứng minh vành số nguyên Gauss vành Euclid (Định lí 1.3.4), xác định số nguyên tố Gauss (Định lí 1.3.5, Hệ 2.1.7, Hệ 2.1.8) Vận dụng kết để phân tích số nguyên Gauss thành tích phần tử nguyên tố vành Z[i] (Hệ 2.1.9), phân tích vành thương vành số nguyên Gauss (Định lí 2.1.10) Vận dụng kết lí thuyết để giải số tốn sơ cấp kinh điển tốn tìm điều kiện để số tự nhiên tổng hai số phương (Định lí 2.2.1, Định lí 2.2.5) tốn tìm số Pythagore (Định lí 2.3.4) Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2003), “Đại số đại", NXB ĐHQGHN [2] Lê Thị Thanh Nhàn (2015), “Lí thuyết đa thức", NXB ĐHQGHN Tiếng Anh [3] G Dresden, W Dymacek (2005), Finding factors of factor rings over the Gaussian Integers, American Math Monthly, 112, 602-611 [4] E B Vinberg (2003), “A course in Algebra", Amer Math Soc 46 ... vành Z số nguyên 13 1.3 Vành Z[i] số nguyên Gauss 17 Một số ứng dụng 23 2.1 Phân tích vành thương vành Z[i] 23 2.2 Phân tích số nguyên thành tổng hai số phương ... minh vành số nguyên Gauss vành Euclid (Định lí 1.3.4), xác định số nguyên tố Gauss (Định lí 1.3.5, Hệ 2.1.7, Hệ 2.1.8) Vận dụng kết để phân tích số nguyên Gauss thành tích phần tử nguyên tố vành. .. THÁI NGUYÊN - 2017 Mục lục Mục lục Lời nói đầu Vành số nguyên Gauss 1.1 Miền phân tích 1.2 Phân tích vành thương vành Z số