Điểm bất động và một số định lí tồn tại

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG VĂN ĐIỆP ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ TỒN TẠI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG VĂN ĐIỆP ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ TỒN TẠI Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS HỒNG VĂN HÙNG Thái Ngun - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Mở đầu Nội dung Nguyên lý ánh xạ co Banach số ứng dụng 1.1 Điểm bất động tự ánh xạ tập tuỳ ý số định lý tồn Nguyên lý ánh xạ co Banach cổ điển 1.2 1.3 Một số ứng dụng nguyên lý ánh xạ co Banach 12 Một số mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach ứng dụng 27 2.1 Định lý điểm bất động Meir-Keeler 27 2.2 Một số định lý điểm bất động dạng tích phân 2.3 32 Áp dụng định lý điểm bất động dạng tích phân vào lớp phương trình hàm 39 Định lý điểm bất động Schauder ứng dụng 45 3.1 Định lý điểm bất động Brouwer 45 3.2 Định lý điểm bất động Schauder 50 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i 3.3 Ứng dụng định lý điểm bất động Schauder 57 Tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 66 http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lý thuyết điểm bất động có ứng dụng nhiều lĩnh vực toán học : phương trình vi phân (thường đạo hàm riêng), phương trình tích phân, hệ phương trình phi tuyến, phương trình hàm, tối ưu hoá Trong nhiều toán liên quan đến phương trình, vấn đề tồn nghiệm phương trình xét vấn đề cốt yếu Nó sở để phát triển phương pháp khác tìm nghiệm xấp xỉ nghiệm xác phương trình Các định lý tồn điểm bất động công cụ đắc lực để giải vấn đề Cho X tập khác rỗng tùy ý, f ánh xạ từ X vào X (ta gọi ánh xạ tự ánh xạ X) Phần tử x* thuộc X gọi điểm bất động f f(x*) = x* Để ứng dụng lý thuyết điểm bất động vào phương trình khác nhau, phương trình xét cần phải biến đổi thành phương trình tương đương dạng f(x) = x, f tự ánh xạ tập X (thường tập tập xác định phương trình ban đầu) Khi vấn đề tồn nghiệm phương trình xét quy vấn đề tồn điểm bất động ánh xạ f Các định lý điểm bất động cổ điển nguyên lý ánh xạ co Banach (1922), định lý điểm bất động Brower(1912), định lý điểm bất động Schauder(1930) Ngay sau chứng minh định lý tìm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ứng dụng lĩnh vực vừa kể Luận văn đề cập đến số mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý Shauder chứng minh số khẳng định khác liên quan đến điểm bất động Để minh hoạ cho ứng dụng, luận văn đưa số ứng dụng định lý khẳng định lĩnh vực sau : lý thuyết hàm, phương trình vi phân, phương trình tích phân, đại số tuyến tính, Tác giả chân thành cảm ơn thày hướng dẫn T S Hoàng Văn Hùng (Viện Khoa học Cơ bản, Đại học Hàng hải Việt Nam) tập thể thày giáo ngành Tốn Ứng dụng, Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, tận tình hướng dẫn quan tâm đến công việc tác giả suốt thời gian chuẩn bị luận văn Hải phòng, ngày 12 tháng năm 2012 Hồng Văn Điệp Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Nguyên lý ánh xạ co Banach số ứng dụng 1.1 Điểm bất động tự ánh xạ tập tuỳ ý số định lý tồn Trong mục tác giả giới thiệu khái niệm điểm bất động, chứng minh số định lý tồn sơ cấp tự ánh xạ tập tuỳ ý cho số ứng dụng định lý Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập khác rỗng tùy ý, f ánh xạ từ X vào X (ta gọi ánh xạ tự ánh xạ X) Phần tử x* thuộc X gọi điểm bất động f f(x*) = x* Ký hiệu M(X) tập tự ánh xạ tập X (ta giả thiết X khác rỗng) Ta nói hai phần tử f, g M(X) giao hốn fg = gf, fg tích ánh xạ f với ánh xạ g Ký hiệu f ánh xạ đồng X, f k = f.f k−1 = f k−1 f gọi luỹ thừa bậc k f (k số nguyên không âm) Rõ ràng luỹ thừa f giao hoán Mệnh đề 1.1.1 Nếu f,g hai phần tử giao hoán M(X) x* Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn điểm bất động g f(x*) điểm bất động g Chứng minh Ta có : g(f(x*)) =f(g(x*)) = f(x*) Vậy f(x*) điểm bất động g Mệnh đề 1.1.2 Giả sử f tự ánh xạ X h = f k ( k số nguyên dương), A tập tất điểm bất động h giả thiết khác rỗng Khi thu hẹp f |A ánh xạ f đơn ánh từ A vào A Nói riêng, A hữu hạn thu hẹp f |A song ánh từ A lên A Chứng minh Bởi h luỹ thừa f f h giao hoán Theo mệnh đề 1.1.1 ta có f (A) ⊂ A Nếu tồn phần tử khác a, b A cho f(a) = f(b) a = h(a) =f k (a) =f k−1 (f(a)) =f k−1 (f(b)) =f k (b) = h(b) = b Mâu thuẫn Vậy f đơn ánh từ A vào A Nếu A tập hữu hạn đơn ánh từ A vào A phải song ánh Mệnh đề 1.1.3 Giả thiết mệnh đề 1.1.2, có điều tập điểm bất động A h rỗng Nếu có số nguyên dương p≥ cho tập điểm bất động B hp thoả mãn B\A khác rỗng thu hẹp f lên B\A đơn ánh từ B\A vào B\A Chứng minh Nếu x* điểm bất động h x* phải điểm bất động hp = f kp nên A ⊂ B Áp dụng mệnh đề 1.1.2 ta suy thu hẹp f lên B phải đơn ánh từ B vào B Vậy cần chứng minh f ánh xạ B\A vào B\A Nếu A rỗng khơng có phải chứng minh Giả sử trái lại A khác rỗng tồn b ∈ B\A cho f (b) ∈ A Khi đó, f kp−1 h giao hốn nên theo mệnh đề 1.1.1 f kp−1 (f (b)) điểm bất động h, ta Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn có b = hp (b) = f kp (b) = f kp−1 (f (b)) ∈ A Mâu thuẫn Vậy f ánh xạ B\A vào B\A Hệ : Nếu B\A hữu hạn thu hẹp f lên B\A phép B\A Định lý 1.1.1 ( xem [1] ) : Giả sử g tự ánh xạ tập X có tập điểm bất động A (A rỗng) Nếu tồn số nguyên dương m ≥ cho g m có tập điểm bất động B B\A có n phần tử (n ≥ 1) khơng tồn ánh xạ f thuộc M(X) cho f n! = g Chứng minh Giả sử trái lại tồn ánh xạ f thuộc M(X) cho f n! = g Áp dụng hệ mệnh đề 1.1.3 ta suy thu hẹp f lên B\A phép n phần tử Bởi tập phép tập hữu hạn gồm n phần tử nhóm gồm n! phần tử với phép hợp thành tích ánh xạ, mặt khác chu kỳ phần tử nhóm hữu hạn ước cấp (= số phần tử) nhóm nên ta suy thu hẹp f n! lên B\A phải ánh xạ đồng Như f n! = g giữ bất động phần tử B\A , nói cách khác tập điểm bất động g chứa B, theo giả thiết tập điểm bất động g A - tập thực B Mâu thuẫn Vậy không tồn ánh xạ f thuộc M(X) cho f n! = g Từ định lý 1.1.1 suy : Mệnh đề 1.1.4 : Nếu f tự ánh xạ tập X tồn số nguyên dương m ≥ cho f n!m có tập điểm bất động B chứa tập điểm bất động A f n! tập thực B\A phải có khơng n + phần tử Nhận xét : Mệnh đề 1.1.4 tổng quát hoá mệnh đề [1] Chứng minh Giả sử tập B\A chứa k phần tử ≤ k ≤ n Theo định Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lý 1.1.1 không tồn ánh xạ h thuộc M(X) cho hk! = f n! = g Nhưng điều mâu thuẫn, g = f d k! với d = n!/k! Vậy B\A phải có n+1 phần tử Mệnh đề 1.1.5 : Giả sử f tự ánh xạ tập X Nếu tồn số nguyên dương m cho f m có điểm bất động điểm bất động f Chứng minh Nếu m = khơng có phải chứng minh Giả sử m ≥ Vì điểm bất động f điểm bất động f m nên từ giả thiết suy f khơng thể có q điểm bất động Nếu tập điểm bất động f rỗng với cách ký hiệu mệnh đề 1.1.4 ta có B\A có phần tử Nhưng rõ ràng f 1!m = f m Vậy áp dụng mệnh đề 1.1.4 với n = ta suy B\A phải có phần tử Mâu thuẫn Vậy f phải có điểm bất động Điểm bất động hiển nhiên trùng với điểm bất động f m Định nghĩa 1.1.2 : Tự ánh xạ f tập X gọi ánh xạ f(X) gồm phần tử Mệnh đề 1.1.6 : Nếu f tự ánh xạ tập X tồn số m nguyên dương cho f m ánh xạ f có điểm bất động Chứng minh Nếu f m (X) = {x∗ } hiển nhiên x∗ điểm bất động f m Do khẳng định mệnh đề 1.6 suy từ mệnh đề 1.1.5 Định nghĩa 1.1.3 : Cho f tự đồng cấu khơng gian véc tơ V Khi f cảm sinh tự ánh xạ F tập X không gian V: F đặt tương ứng không gian S V với không gian f(S) V Ta nói khơng gian S V không gian bất biến f S điểm bất động ánh xạ F, tức f(S) = S Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 Vậy y* điểm C thỏa mãn (3.14) Đặt y* = r(x) ta có ánh xạ từ Rn lên C cho công thức: x → r(x) Rõ ràng x ∈ C r(x) = x Ngoài với hai điểm x, x’ Rn t ∈ [0; 1] ta có: ϕ(t) = x − tr(x ) − (1 − t)r(x) = x − r(x) 2 + 2t < r(x) − r(x )x − r(x) > +t2 r(x) − r(x ) Bởi tr(x ) + (1 − t)r(x) ∈ C t ∈ [0; 1] ϕ(0) = x − r(x) 2 nên theo định nghĩa r(x) ta phải có ϕ(0) ≤ ϕ(t) (∀t ∈ [0; 1]) Suy ϕ (0) ≥ Nhưng : ϕ (0) = < x − r(x), r(x) − r(x ) > Vậy ta có : < x − r(x), r(x) − r(x ) > ≥ (∀x, x ∈ Rn ) (3.16) Thay đổi vai trò x x’ (3.16) ta : < x − r(x ), r(x ) − r(x) > ≥ (∀x, x ∈ Rn ) (3.17) Từ (3.16), (3.17) suy : < x − x − (r(x) − r(x ), r(x) − r(x ) > ≥ (3.18) Từ (3.18) suy : r(x) − r(x ) ≤ < x − x , r(x) − r(x ) > ≤ x − x r(x) − r(x ) (3.19) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 Từ (3.19) suy : r(x) − r(x ) ≤ x − x (∀x, x ∈ Rn ).Vậy r(x) ánh xạ liên tục từ Rn vào C thoả mãn r(x) = x với x ∈ C nên r phép co rút biến Rn thành C Mệnh đề chứng minh Định nghĩa 3.2.2 : Tập khác rỗng A khơng gian metric (X,d) gọi có tính chất điểm bất động ánh xạ liên tục từ A vào A có điểm bất động Theo định nghĩa 3.2.2, định lý Brouwer phát biểu lại sau : “ Hình cầu đơn vị đóng khơng gian Euclid Rn có tính chất điểm bất động ” Mệnh đề 3.2.2 : Nếu không gian metric (X,d) có tính chất điểm bất động R rút X R có tính chất điểm bất động Chứng minh Giả sử f ánh xạ liên tục từ R vào r :X → R phép co rút biến X thành R Khi ánh xạ tích f ◦ r ánh xạ liên tục từ X vào Vì X có tính chất điểm bất động nên tồn điểm x*∈ X cho (f o r)(x*) = x* (+) Nhưng (f o r )(x*) = f(r(x*)) nên x*∈ R , r(x*) = x* từ (+) suy f(x*) = x* Vậy x* điểm bất động f Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 3.2.3 : Giả sử không gian metric (X,d) (X’,d’) đồng phôi, tức tồn song ánh liên tục hai chiều từ X lên X’ Nếu X có tính chất điểm bất động X’ có tính chất điểm bất động Chứng minh Giả sử f tự ánh xạ liên tục tuỳ ý (X’,d’) Gọi β song ánh liên tục hai chiều từ X lên X’ Khi ánh xạ : β −1 ◦ f ◦ β tự ánh xạ liên tục (X.d) có điểm bất động z ∈ X : z = (β −1 ◦ f ◦ β )(z) Nhưng β(z) điểm bất động f Vậy (X’,d’) có tính chất điểm bất động Mệnh đề 3.2.4 : Hình cầu đóng tuỳ ý Rn có tính chất điểm bất Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 động Chứng minh Nếu bán kính hình cầu đóng xét kết luận hiển nhiên Nếu hình cầu đóng B(x,r) có tâm x, bán kính r > đồng phơi với hình cầu đơn vị đóng Song ánh liên tục hai chiều từ B(x,r) lên hình cầu đơn vị đóng B cho : β(y) = y−x r (∀y ∈ B(x, r)) Vì hình cầu đơn vị đóng B có tính chất điểm bất động, theo mệnh đề 3.2.3 hình cầu B(x,r) có tính chất điểm bất động Mệnh đề 3.2.5: Mọi tập lồi đóng, khác rỗng bị chặn C không gian Rn có tính chất điểm bất động Chứng minh Bởi C bị chặn tồn hình cầu đóng B(z,a) ( tâm z, bán kính a > 0) Rn cho C ⊂ B(z,a) Gọi r phép co rút biến Rn thành C định nghĩa chứng minh mệnh đề 3.2.1 : r(x) = inf { x − y : y ∈ C} Khi thu hẹp r lên B(z,a) phép co rút biến B(z,a) thành C Bởi B(z,a) có tính chất điểm bất động, theo mệnh đề 3.2.2 ta suy C có tính chất điểm bất động Mệnh đề 3.2.6: Mọi tập lồi đóng, khác rỗng bị chặn khơng gian Banach hữu hạn chiều có tính chất điểm bất động Chứng minh Mọi khơng gian Banach E có số chiều hữu hạn n đẳng cấu với không gian Euclid Rn ( nghĩa tồn song ánh tuyến tính liên tục hai chiều β từ E lên Rn ) Gọi K tập lồi đóng, khác rỗng , bị chặn E Khi β(K) tập lồi đóng, bị chặn khác rỗng Rn β(K) đồng phơi với K Theo mệnh đề 3.2.5 β(K) có tính chất điểm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 bất động Khi K có tính chất điểm bất động theo mệnh đề 3.2.3 Mệnh đề 3.2.6 chứng minh Bây ta sẵn sàng để chứng minh định lý chương này, địng lý điểm bất động Schauder Định lý 3.2.7 ( Schauder, 1930): Mọi tập lồi, compact khác rỗng K không gian Banach X có tính chất điểm bất động Nhận xét : Hình cầu đóng đơn vị khơng gian Euclid Rn lồi compact nên định lý Brouwer trường hợp riêng định lý Schauder Chứng minh Giả sử f : K → K ánh xạ liên tục ε > Vì K compact nên tồn ε -lưới hữu hạn {a1 , , ap } gồm phần tử K Ta định nghĩa p hàm {mi } ( i =1, ,p) nhận giá trị thực K sau : mi (x) = x − ≥ ε, ε − x − x − < ε i = 1, , p Dễ thấy tất hàm mi (x) liên tục K với x ∈ K tồn i cho mi (x) > ( {a1 , , ap } ε -lưới K nên với x ∈ K tồn i cho x − < ε) Gọi V không gian không gian Banach X sinh {a1 , , ap }: V =span{a1 , , ap } K0 = K ∩ V Khi K0 tập compact, lồi khác rỗng nằm không gian Banach hữu hạn chiều V Ta xác định ánh xạ ϕ từ K vào K0 công thức : ϕ(x) = p mi (x)ai (∀x ∈ K) p mi (x) i=1 i=1 Rõ ràng ϕ liên tục K Với x ∈ K gọi J tập lớn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 tập {1, , p}có tính chất : x − aj < ε (∀j ∈ J) Khi mi (x) = (∀i ∈ {1, , p} \J) Từ ta có : mj (x) ϕ(x) − x = mj (x)(x − aj ) j∈J j∈J mj (x) ≤ j∈J mj (x) x − aj < ε j∈J Tiếp theo ta đặt f = ϕ ◦ f Khi f ánh xạ liên tục K0 vào K0 Theo mệnh đề 3.2.6 hàm f có điểm bất động x ∈ K0 Nhưng ta có : x − f (x) ≤ x − f (x) + f (x) − f (x) = f (x) − f (x) = ϕ ◦ f (x) − f (x) < ε Do ε > tùy ý, chứng minh chứng tỏ với số nguyên dương n tìm điểm xn ∈ K cho xn − f (xn ) < n1 Vì K compact nên tồn dãy xnj dãy {xn } hội tụ tới điểm x*∈K Cho j dần tới vô cực bất đẳng thức : xnj − f (xnj ) < nj dùng tính liên tục f ta x∗ − f (x∗ ) = ↔ f (x∗ ) = x∗ Vậy x* điểm bất động f định lý Schauder chứng minh Định lý 3.2.7 mở rộng thành định lý : Định lý 3.2.8: Nếu f ánh xạ liên tục từ tập lồi đóng khác rỗng K không gian Banach X vào K cho bao đóng tập f(K) ( tức tập f (K)) compact f có điểm bất động Chứng minh Đặt K0 = conv(f (K)) Do K lồi đóng nên K0 tập Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 lồi compact khác rỗng K f(K0 ) ⊂ K0 Theo định lý 3.2.7 f có điểm bất động x* ∈ K0 ⊂K 3.3 Ứng dụng định lý điểm bất động Schauder Trong mục ta dùng định lý 3.2.8 để chứng minh tồn nghiệm lớp phương trình tích phân phi tuyến dạng : ϕ(x) − λ K(x, y)ψ(y, ϕ(y))dy = (3.20) ϕ(.) hàm cần tìm Định lý 3.3.1(xem [5]): Xét phương trình (3.20) với giả thiết sau : 1) K(x,y) liên tục hình vuông [0; 1]2 , C = sup |K(x, y)| : (x, y) ∈ [0; 1]2 2) ψ hàm liên tục [0;1]xR B = sup {|ψ(y, t)| : (y, t) ∈ [0; 1] × R} < +∞ 3) Với ε > 0, tồn số δ = δ(ε) > cho hàm ϕ1 , ϕ2 ∈ L2 [0; 1] ϕ1 − ϕ2 < δ suy : |ψ(y, ϕ1 (y)) − ψ(y, ϕ2 (y))|2 dy < ε (3.21) ký hiệu chuẩn hàm thuộc khơng gian L2 [0; 1] Khi phương trình tích phân (3.20) có nghiệm thuộc L2 [0; 1] |λ| ≤ BC Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (3.22) http://www.lrc-tnu.edu.vn 58 Chứng minh Ký hiệu B(0;1) hình cầu đơn vị đóng khơng gian L2 [0; 1] Khi B(0;1) lồi, đóng khác rỗng Ta định nghĩa ánh xạ T từ L2 [0; 1] vào L2 [0; 1] cho công thức : T ϕ(x) = λ K(x, y)ψ(y, ϕ(y))dy (3.23) Ta kiểm tra T ánh xạ B(0;1) vào Thực vậy, từ giả thiết 1), 2) định lý điều kiện (3.22) ta có : |T ϕ(x)| = |λ| K(x, y)ψ(y, ϕ(y))dy ≤ |λ| (3.24) |K(x, y)ψ(y, ϕ(y))| dy ≤ |λ| BC ≤ 1 Do : T ϕ = ( |T ϕ(x)|2 dx)1/2 ≤ |λ| BC ≤ Vậy T ϕ ∈ B(0;1) Giả sử ε > cho trước Theo điều kiện (3.21) tìm số δ = δ(ε) > cho ϕ1 − ϕ2 < δ có bất đẳng thức : |ψ(y, ϕ1 (y)) − ψ(y, ϕ2 (y))|2 dy < ε2 |λ|2 C Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 59 Khi với ϕ1 − ϕ2 < δ ta có : T ϕ1 − T ϕ2 K(x, y)(ψ(y, ϕ1 (y)) − ψ(y, ϕ2 (y))dy dx)1/2 = |λ| ( ≤ |λ| [ 0 1 |K(x, y)|2 dy ( |ψ(y, ϕ1 (y)) − ψ(y, ϕ2 (y)|2 dy)dx]1/2 ε =ε ≤ |λ| C |λ| C (3.25) Vậy T ánh xạ liên tục hình cầu đơn vị đóng B(0;1) vào Bởi K hàm liên tục theo (x,y) nên T ϕ(x) hàm liên tục theo x [0;1] Bất đẳng thức (3.24) chứng tỏ tập T(B(0;1)) bị chặn không gian Banach C[0;1] ( không gian hàm liên tục [0;1] với chuẩn sup) Ngoài tập hàm thuộc T(B(0;1)) liên tục đồng bậc, tức với ε > cho trước tuỳ ý , tồn số δ = δ (ε) cho với hàm g thuộc T(B(0;1)) ln có : |x1 − x2 | < δ → |g(x1 ) − g(x2 )| < ε Thực vậy, K(x,y) liên tục hình vng [0;1]2 nên K liên tục hình vng Với ε > cho, tìm số δ = δ(ε) > ( phụ thuộc vào ε ) cho : |x1 − x2 | < δ → |K(x1 , y) − K(x2 , y)| < Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ε |λ| B http://www.lrc-tnu.edu.vn 60 Giả sử ϕ hàm tuỳ ý thuộc B(0;1) Khi ta có : |T ϕ(x1 ) − T ϕ(x2 )| = λ K(x1 , y)ψ(y, ϕ(y))dy − λ K(x2 , y)ψ(y, ϕ(y))dy ≤ |λ| B |K(x1 , y) − K(x2 , y)|dy < ε Vậy T(B(0;1)) tập liên tục đồng bậc bị chặn C[0;1] Theo định lý Arzela-Ascoli (xem [6]) tập T(B(0;1)) compact tương đối không gian Banach C[0;1] Nhưng ánh xạ nhúng C[0;1] vào L2 [0; 1] ánh xạ liên tục, với hàm g thuộc C[0;1] ta có: g |g(x)|2 dx)1/2 ≤ sup {|g(x)| : x ∈ [0; 1]} = g =( C[0;1] T (B(0; 1)) tập compact tương đối L2 [0; 1] Theo định lý 3.2.8 ánh xạ T có điểm bất động ( nói chung khơng nhất), điều có nghĩa phương trình (3.20) có nghiệm thuộc L2 [0; 1] Nhận xét : Chứng minh định lý 3.3.1 chứng tỏ T ánh xạ hình cầu đóng B(0;1) L2 [0; 1] vào C[0;1] Bởi vậy, với điều kiện định lý 3.3.1 nghiệm (3.20) xem hàm liên tục [0;1] Ví dụ : Xét phương trình : ϕ(x) − λ x2 + y dy = + y + |ϕ(y)| (3.26) Tương ứng với ký hiệu phương trình (3.20) ta có : K(x, y) = x2 +y , C = 2, ψ(y, t) = 1+y+|t| → B = sup {|ψ(y, t)| : (y, t) ∈ [0; 1] × R} = Vậy |λ| ≤ 21 , phương trình (3.26) tồn nghiệm liên tục Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 61 Định lý 3.3.2(xem[5]): Xét phương trình (3.20) với giả thiết sau : 1) K(x,y) liên tục hình vng [0; 1]2 , C = sup |K(x, y)| : (x, y) ∈ [0; 1]2 2) ψ hàm liên tục [0;1] xR |ψ(y, ϕ(y))|2 dy ≤ B với hàm ϕ ∈ L2 [0; 1] thoả mãn ϕ ≤M (3.27) 3) Với ε > 0, tồn số δ = δ(ε) > cho hàm ϕ1 , ϕ2 ∈ L2 [0; 1] ϕ1 − ϕ2 < δ suy : |ψ(y, ϕ1 (y)) − ψ(y, ϕ2 (y))|2 dy < ε (3.28) ký hiệu chuẩn hàm thuộc khơng gian L2 [0; 1] Khi phương trình tích phân (3.20) có nghiệm ϕ ∈ L2 [0; 1] thoả mãn ϕ ≤ M |λ| ≤ M BC (3.29) Chứng minh Ký hiệu B(0;M) hình cầu đóng tâm bán kính M khơng gian L2 [0; 1], đặt : T ϕ(x) = λ K(x, y)ψ(y, ϕ(y))dy, ϕ ∈ L2 [0; 1] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 62 Với ϕ ∈ B(0; M ) ta có : |T ϕ(x)| = |λ| K(x, y)ψ(y, ϕ(y))dy 1 ≤ |λ| ( |K(x, y)| dy (3.30) 1/2 |ψ(y, ϕ(y))| dy) ≤ |λ| BC ≤ M Từ (3.30) suy : Tϕ |T ϕ(x)|2 dx)1/2 ≤ M =( Do T ánh xạ B(0;M) vào Chứng minh hoàn toàn tương tự chứng minh định lý 3.3.1 ta suy khẳng định sau : i) Dùng (3.28) ta có bất đẳng thức (3.25), T ánh xạ liên tục B(0;M) vào ( liên tục xét tôpô L2 [0; 1] ) ii) Tập T(B(0;M) )⊂ C[0; 1] bị chặn C[0;1] ( (3.30)) , liên tục đồng bậc ( xem định nghĩa chứng minh định lý 3.3.1) Theo định lý Arzela-Ascoli T( B(0;M)) compact tương đối C[0;1] chuẩn C[0;1] mạnh chuẩn L2 [0; 1] nên T(B(0;M)) compact tương đối L2 [0; 1] Áp dụng định lý 3.2.8 ta suy ánh xạ T có điểm bất động B(0;M) Điều tương đương với khẳng định phương trình (3.20) (với giả thiết định lý 3.3.2) có nghiệm thuộc B(0;M) Nhận xét tương tự chứng minh định lý 3.3.1, xem nghiệm liên tục [0;1] Định lý 3.3.3(xem[5]): Xét phương trình (3.20) với giả thiết sau : Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 63 1) K(x,y) hàm bình phương khả tích hình vuông [0; 1]2 , và: 1 |K(x, y)|2 dxdy < C < +∞ (3.31) 2) ψ hàm liên tục [0;1]xR |ψ(y, ϕ(y))|2 dy ≤ B với hàm ϕ ∈ L2 [0; 1] thoả mãn ϕ ≤M (3.32) 3) Với ε > 0, tồn số δ = δ(ε) > cho hàm ϕ1 , ϕ2 ∈ L2 [0; 1] ϕ1 − ϕ2 < δ suy : |ψ(y, ϕ1 (y)) − ψ(y, ϕ2 (y))|2 dy < ε (3.33) ký hiệu chuẩn hàm thuộc không gian L2 [0; 1] Khi phương trình tích phân (3.20) có nghiệm ϕ ∈ L2 [0; 1] thoả mãn ϕ ≤ M |λ| ≤ M BC (3.34) Chứng minh Ta giữ nguyên ký hiệu chứng minh định lý 3.3.2 Dùng bất đẳng thức (3.29) chứng minh định lý 3.3.2 ta suy T ánh xạ hình cầu đóng B(0;M) vào Dùng (3.33) ta có bất đẳng thức (3.25) chứng minh định lý 3.3.1, từ suy T ánh xạ liên tục tôpô L2 [0; 1] Nghiệm (3.20) điểm bất động T, để chứng minh khẳng định định lý 3.3.3 ta Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 64 chứng minh T có điểm bất động B(0;M) Theo định lý 3.2.8 điều đạt ta chứng minh tập T(B(0;M)) compact tương đối L2 [0; 1] Bởi khơng gian hàm liên tục hình vng [0; 1]2 trù mật L2 [0; 1]2 nên tồn dãy hàm liên tục hình vng [0; 1]2 thoả mãn : i) 1 |K(x, y) − Kn (x, y)|2 dxdy = lim n→∞ (3.35) ii) Do (3.31), không giảm tổng quát ta xem : 1 |Kn (x, y)|2 dxdy ≤ C ∀n ∈ N∗ (3.36) Theo chứng minh định lý 3.3.2 với n ∈ N∗ ánh xạ Tn xác định bởi: Tn ϕ(x) = λ Kn (x, y)ψ(y, ϕ(y))dy, ϕ ∈ L2 [0; 1] ánh xạ liên tục hình cầu đóng B(0;M) vào tập Tn ( B(0;M)) compact tương đối L2 [0; 1] Với ε > cho trước tuỳ ý, (3.35) tìm số nguyên dương N = N( ε) cho n > N ta có :  1/2 1     T ϕ − Tn ϕ = |λ| (K(x, y) − Kn (x, y))ψ(y, ϕ(y))dy dx     ≤ |λ|    1 |K(x, y) − Kn (x, y)|2 dydx 0 |ψ(y, ϕ(y))|2 dy 1/2   cho tuỳ ý Do (3.37), trước tiên tìm n nguyên dương cho : T ϕ − Tn ϕ = |λ|      ≤ |λ| (K(x, y) − Kn (x, y))ψ(y, ϕ(y))dy dx    ε <   1 |K(x, y) − Kn (x, y)|2 dydx 1/2   |ψ(y, ϕ(y))|2 dy 1/2   (3.38) với ϕ ∈ B (0, M ) Với n vừa chọn được, theo nhận xét trên, tập Tn (B(0; M )) compact tương đối L2 [0; 1] nên với số ε > cho tìm ε -lưới {η1 , , ηp } Tn (B(0; M )) Do (3.38) bất đẳng thức tam giác chuẩn L2 [0; 1] ta suy {η1 , , ηp } ε - lưới T(B(0;M)) Vậy T(B(0;M)) compact tương đối Như nói, từ kết luận suy T có điểm bất động phương trình (3.20) có nghiệm thuộc L2 [0; 1] Nhận xét : Xét phương trình phi tuyến : π ϕ(x) − π sinx ϕ(y)2 dy = 0 Phương trình nhận hai hàm ϕ1 = ϕ2 = làm nghiệm, nói chung với giả thiết nêu định lý 3.3.3, không phép khẳng định tính nghiệm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 66 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Hoàng Văn Hùng Nhận xét ánh xạ giao hoán tập tuỳ ý Tạp chí Khoa học-cơng nghệ Hàng hải Số 18 ( 6/2009), tr 90-93 [2] Nguyễn Quý Dy, Nguyễn Văn Nho, Vũ Văn Thoả Tuyển tập 200 thi Vơ địch tốn Tập 3: Giải tích Nhà xuất Giáo dục 2002 Tài liệu tiếng Anh [3] Kazimierz Goebel, W.A Kirk Topics in metric fixed point theory Cambridge University Press, 1990 [4] Zeqing Liu, Xin Li, Shin Min Kang, Sun Young Cho Fixed point theorems for mappings satisfying contractive conditions of integral type and applications Fixed point Theory and Applications 2011, 2011:64 ( Springer Open) [5] Harry Hochstadt Integral Equations A wiley – interscience Publication New York-London- Sydney-Toronto, 1973 [6] Jean Dieudonné Cơ sở giải tích đại Tập Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội -1973 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... điểm bất động dạng tích phân vào lớp phương trình hàm 39 Định lý điểm bất động Schauder ứng dụng 45 3.1 Định lý điểm bất động Brouwer 45 3.2 Định lý điểm bất động. .. 2.2 Một số định lý điểm bất động dạng tích phân Mục tác giả giới thiệu số định lý điểm bất động dạng tích phân công bố thời gian gần (xem [3]), đưa cách chứng minh khác dựa định lý điểm bất động. .. định phương trình ban đầu) Khi vấn đề tồn nghiệm phương trình xét quy vấn đề tồn điểm bất động ánh xạ f Các định lý điểm bất động cổ điển nguyên lý ánh xạ co Banach (1922), định lý điểm bất động