Luật tương hỗ bậc hai và điểm nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ THỊ GÁI LUẬT TƢƠNG HỖ BẬC HAI VÀ ĐIỂM NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ THỊ GÁI LUẬT TƢƠNG HỖ BẬC HAI VÀ ĐIỂM NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Hoàng Lê Trƣờng THÁI NGUYÊN - 2016 i Mục lục Lời nói đầu Chương Một số kiến thức 1.1 1.2 Đồng dư Số nguyên tố, phân tích trường hữu hạn 1.3 1.4 Lũy thừa trường hữu hạn Đa thức Z/pZ 1.5 Định lý thặng dư Trung Hoa 10 Chương Luật tương hỗ bậc hai 14 2.1 2.2 Đa thức đồng dư bổ đề Hensel Thặng dư bậc hai ký hiệu Legendre 14 18 2.3 2.4 Tiêu chuẩn Euler Bổ đề Gauss 20 24 2.5 2.6 Luật tương hỗ bậc hai Ứng dụng luật tương hỗ bậc hai 27 31 2.6.1 2.6.2 Tính ký hiệu Legendre Với p a thặng dư bậc hai modulo p? 31 35 2.6.3 Số nguyên tố ước giá trị đa thức bậc 2.6.4 hai Khi số Fermat số nguyên tố? 38 40 Ứng dụng tốn giải phương trình nghiệm ngun 41 Ứng dụng toán chứng minh chia hết Một số ứng dụng khác 45 46 2.6.5 2.6.6 2.6.7 i Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Lời nói đầu Cho hai số nguyên tố lẻ p q, ta có q p · q p = (−1) p−1 q−1 · a p      = +1    −1 gcd(a, p) = a thặng dư bậc hai a phi thặng dư bậc hai Mệnh đề gọi luật tương hỗ bậc hai Luật đưa lần không chứng minh Euler (Opusula analytica, Petersburg,1783) Vào năm 1785, Legendre tìm luật tương hỗ cách độc lập với Euler đưa phần chứng minh Chứng minh đầy đủ đưa Gauss vào năm 1796 sách tiếng Disquisitiones arithmeticae(1801) Cuốn sách đặt móng cung cấp ý tưởng sâu sắc cho Lí thuyết số đại, viết Gauss 20 tuổi Kronecker nói sách sau: "It is really astonishing to think that a single man of such young years was able to produce such a wealth of results, and above all to present such a profound and well organized treatment of an entirely new discipline" Bản thân Gauss đưa bẩy chứng minh khác luật tương hỗ bậc hai Chúng ta tìm thấy chúng sách "Klassiker des exakten Wissenshaften" Ostwald Luật tương hỗ bậc hai cho định lý quan trọng giảng dạy giáo trình Lí thuyết số sơ cấp Tầm quan trọng luật tương hỗ bậc hai làm cho nhiều nhà toán học khác Jacobi, Cauchy, Liousville, Kronecker, Schering and Frobenius nghiên cứu sau Gauss có 100 chứng minh khác phát Có thể chứng minh đơn giản tất chứng minh thơng qua số học hình học, bắt nguồn từ tổ hợp Bổ đề Gauss (xem Gauss’ Werke, vol II, p.51) ý tưởng hình học Cayley (Arthur Cayley [1821–1895], Collected Mathematical Papers, vol.II) Luật tương hỗ bậc hai cịn có nhiều ứng dụng Số học, phần kiến thức quan trọng kì thi học sinh giỏi (nhất kì thi chọn đội tuyển Olympic Tốn) Với lý nêu nên tác giả chọn đề tài " Luật tương hỗ bậc hai điểm nguyên" để nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày lại chi tiết chứng minh Luật tương hỗ bậc hai dựa Bổ đề Gauss đếm điểm nguyên lưới hai chiều đưa Eisenstein Hơn luận văn giải thích nghiên cứu phương trình đồng dư bậc hai tổng quát thực chất cần tìm hiểu phương trình bậc hai dạng đặc biệt Cuối cùng, luận văn đưa số ứng dụng Luật tương hỗ bậc hai việc giải toán phổ thơng Ngồi phần Lời nói đầu Kết luận, luận văn chia thành hai chương đề cập đến vấn đề sau đây: Chương 1: Một số kiến thức Chương nhằm giới thiệu kiến thức sở phục vụ chương đồng dư, đa thức Z/pZ, định lý thặng dư Trung Hoa, Chương 2: Luật tương hỗ bậc hai Trình bày Luật tương hỗ bậc hai, chứng minh Luật tương hỗ bậc hai phương pháp hình học đếm số điểm nguyên lưới hai chiều; giải thích nghiên cứu phương trình đồng dư bậc hai tổng quát thực chất cần tìm hiểu phương trình đồng dư bậc hai dạng đặc biệt đưa số ứng dụng luật tương hỗ bậc hai việc giải tốn phổ thơng Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Hồng Lê TrườngViện Tốn học, VAST, Việt Nam Qua tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học - người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Đồng thời tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, Ban giám hiệu đồng nghiệp trường THCS Dư Hàng Kênh (Quận Lê Chân, thành phố Hải Phòng) tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu, cuối tác giả muốn dành lời cảm ơn đặc biệt đến gia đình tập thể lớp Cao học Tốn K8B (khóa 2014-2016) ln động viên chia sẻ khó khăn để tác giả hồn thành tốt luận văn Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2016 Tác giả Vũ Thị Gái Chương Một số kiến thức Mục đích chương nhắc lại số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho việc trình bày kết chương sau Nội dung chương nhắc lại số khái niện đồng dư, đa thức Z/pZ, định lý thặng dư Trung Hoa, Hầu hết kết chương trình bày dựa theo tài liệu [1], [2] 1.1 Đồng dư Định nghĩa 1.1.1 Giả sử a, b m ≥ số nguyên Ta nói số nguyên a b đồng dư modulo m m | a − b Khi a đồng dư b modulo m, ta viết a ≡ b( mod m) Nếu a đồng dư b modulo m, ta viết a ≡ b( mod m) Mệnh đề 1.1.2 Giả sử a, b, c, m số nguyên, m ≥ Khi ta có: (i) Nếu a ≡ b (mod m) c ≡ d (mod m) Khi đó: a±c ≡ b±d (mod m) a.c ≡ b.d (mod m) (ii) Nếu ac ≡ bc( mod m) d = (c, m) Khi a ≡ b( mod md ) (iii) Cho a, b ∈ Z Khi a.b ≡ (mod m) gcd(a, m) = Khi số nguyên b gọi nghịch đảo a modulo m Định lý 1.1.3 Giả sử a ≡ b (mod m1 ), a ≡ b (mod m2 ), , a ≡ b (mod mk ), a, b, m1 , m2 , , mk số nguyên, m1 , m2 , , mk > Khi a ≡ b( mod [m1 , m2 , , mk ]) [m1 , m2 , , mk ] bội chung nhỏ m1 , m2 , , mk Định nghĩa 1.1.4 Vành số nguyên modulo m kí hiệu Z/mZ xác định sau: Z/mZ = {0, 1, 2, · · · , m − 1} Tập tất phần tử khả nghịch Z/mZ kí hiệu (Z/mZ)∗ (Z/mZ)∗ = {a ∈ Z/mZ : gcd(a, m) = 1} = {a ∈ Z/mZ : a có nghịch đảo modulo m} Nếu a1 a2 khả nghịch modulo m a1 a2 khả nghịch modulo m Nhưng cộng hai phần tử khả nghịch, ta không phần tử khả nghịch 1.2 Số nguyên tố, phân tích trường hữu hạn Định nghĩa 1.2.1 Số nguyên p gọi số nguyên tố p ≥ p chia hết cho p Số nguyên dương khác không số nguyên tố gọi hợp số Bổ đề 1.2.2 Giả sử a, b, c số nguyên dương, (a, b) = đồng thời a bc Khi a c Hệ 1.2.3 Nếu p | a1 a2 an , p số nguyên tố a1 , a2 , , an số nguyên dương tồn i, ≤ i ≤ n cho p | Định lý sau định lý quan trọng Số học, cho thấy số nguyên tố tảng để xây dựng số nguyên Định lý 1.2.4 (Định lý số học) Cho a ≥ số ngun, a phân tích thành tích số nguyên tố a = pe11 pe22 · · · per r Hơn nữa, không kể thứ tự số ngun tố phân tích Mệnh đề 1.2.5 Nếu p số ngun tố phần tử a khác khơng Z/pZ có nghịch đảo nhân, nghĩa có số b thỏa mãn ab ≡ 1( mod p) Ta kí hiệu giá trị b a−1 ( mod p) Khi tập phần tử khả nghịch (Z/pZ)∗ = {1, 2, 3, 4, · · · , p − 1} Mệnh đề 1.2.6 Giả sử p số nguyên tố Số nguyên a nghịch đảo modulo p a ≡ 1( mod p) a ≡ p − 1( mod p) Định nghĩa 1.2.7 Nếu p số nguyên tố, tập Z/pZ số nguyên modulo p với phép cộng, trừ, nhân quy tắc chia trường Trường Z/pZ số nguyên modulo p có hữu hạn phần tử thường kí hiệu F p 1.3 Lũy thừa trường hữu hạn Trong phần này, đề cập đến lũy thừa F p , nhờ có chứng minh kết Fermat tính chất quan trọng nhóm phần tử khả nghịch (F p )∗ Ví dụ 1.3.1 Từ bảng lũy thừa số modulo (Bảng 1.1), ta thấy cột bên phải bao gồm toàn Tức là: a6 ≡ (mod 7) với a = 1, 2, 3, · · · ... tương hỗ bậc hai Trình bày Luật tương hỗ bậc hai, chứng minh Luật tương hỗ bậc hai phương pháp hình học đếm số điểm nguyên lưới hai chiều; giải thích nghiên cứu phương trình đồng dư bậc hai tổng...ày chứng minh Bổ đề Gauss chứng minh luật tương hỗ bậc hai phương pháp hình học đếm điểm nguyên lưới hai chiều; • Đưa vài ứng dụng việc sử dụng Luật tương hỗ bậc hai vào việc chứng minh tốn phổ thơ... đề tài " Luật tương hỗ bậc hai điểm nguyên" để nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày lại chi tiết chứng minh Luật tương hỗ bậc hai dựa Bổ đề Gauss đếm điểm nguyên lưới hai chiều đưa Eisenstein