Đánh giá sai số nội suy và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HỨA THỊ THÙY BÔNG ĐÁNH GIÁ SAI SỐ NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 5/2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HỨA THỊ THÙY BÔNG ĐÁNH GIÁ SAI SỐ NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS PHAN XUÂN THÀNH THÁI NGUYÊN, 5/2019 ii Mục lục Mở đầu Bảng ký hiệu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các không gian hàm 1.1.1 Không gian vectơ 1.1.2 Không gian chuẩn 1.1.3 Không gian Banach 1.1.4 Khơng gian có tích vơ hướng 1.1.5 Không gian Hilbert 1.2 Đạo hàm suy rộng không gian Sobolev 1.3 Hàm nội suy 13 Chương Đánh giá sai số nội suy 2.1 2.2 16 Hàm nội suy chiều 16 2.1.1 Hàm nội suy số chiều 16 2.1.2 Hàm nội suy tuyến tính chiều 18 2.1.3 Hàm nội suy bậc hai chiều 21 2.1.4 Ví dụ số 26 Hàm nội suy tuyến tính hai chiều 28 iii Chương Đánh giá sai số phương pháp phần tử hữu hạn 37 3.1 Bài toán biên elliptic 37 3.2 Phương pháp biến phân 39 3.3 Đánh giá sai số phương pháp phần tử hữu hạn 43 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 Mở đầu Việc nghiên cứu trình tự nhiên thường dẫn đến tốn biên phương trình đạo hàm riêng Giải số tốn yêu cầu quan trọng thực tiễn Một phương pháp hay dùng để giải số (giải gần đúng) phương trình đạo hàm riêng phương pháp phần tử hữu hạn Ý tưởng xấp xỉ nghiệm không gian hữu hạn chiều sinh hàm đa thức (tuyến tính, bậc cao) phần tử hữu hạn (trong đó, phần tử hữu hạn hiểu đoạn thẳng chiều, tam giác hai chiều, tứ diện ba chiều) Mục đích luận văn nghiên cứu việc xấp xỉ hàm số hàm nội suy tuyến tính (hoặc số, bậc hai) chiều hai chiều đánh giá sai số phương pháp nội suy Cụ thể đánh giá sai số nội suy không gian hàm L2 W Các hàm nội suy tuyến tính dùng để đánh giá sai số phương pháp phần tử hữu hạn Nội dung luận văn trình bày ba chương, gồm: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Đánh giá sai số nội suy Chương Đánh giá sai số phương pháp phần tử hữu hạn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Phan Xuân Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người tận tình hướng dẫn tác giả trình nghiên cứu viết luận văn Tác giả chân thành cảm ơn Lãnh đạo trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Tốn-Tin, tồn thể thầy trường giảng dạy giúp đỡ cho tác giả suốt thời gian học tập Trường Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K11 (khóa 2017-2019), bạn bè, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ tác giả trình học tập, nghiên cứu Thái Nguyên, ngày 11 tháng năm 2019 Tác giả luận văn Hứa Thị Thùy Bông Bảng ký hiệu x Rn chuẩn vectơ x không gian Euclide n-chiều L2 (a, b) khơng gian hàm bình phương khả tích (a, b) Lloc (Ω) không gian hàm khả tích địa phương Ω L∞ (Ω) khơng gian hàm đo bị chặn hầu khắp nơi Ω Wm (Ω) không gian Sobolev cấp m C0∞ (Ω) không gian hàm khả vi vô hạn lần có giá compact Ω C(Ω) khơng gian hàm liên tục miền Ω C m (Ω) không gian hàm khả vi liên tục đến cấp m miền Ω eoc estimated order of convergence - ước lượng tốc độ hội tụ uI (x) hàm nội suy (đa thức) hàm u(x) Vh không gian hữu hạn chiều không gian Hilbert V h bước lưới (của phép chia miền) Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức không gian, khái niệm đạo hàm suy rộng, không gian Sobolev khái niệm hàm số nội suy Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1, 3, 4] 1.1 1.1.1 Các không gian hàm Không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1 Không gian vectơ V trường vô hướng K tập đối tượng, đối tượng gọi vectơ, có xác định hai phép tốn: 1) Phép cộng: ứng cặp phần tử x y thuộc V có cách xác định phần tử thuộc V , viết x + y; 2) Phép nhân với vô hướng: ứng phần tử x ∈ V số k ∈ K có cách xác định phần tử thuộc V , viết kx; cho tính chất sau thỏa mãn: 1/ x + y = y + x, ∀x, y ∈ V ; 2/ x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ V ; 3/ Tồn θ ∈ V cho θ + x = x + θ = x, ∀x ∈ V Phần thử θ gọi phần tử “trung hòa” hay phần tử “không” V ; 4/ Với x ∈ V tồn −x ∈ V cho x + (−x) = −x + x = θ Phần tử −x gọi phần tử “đối” x; 5/ k(x + y) = kx + ky, ∀x, y ∈ V, 6/ (k + l)x = kx + lx ∀x ∈ V, 7/ k(lx) = (kl)x ∀x ∈ V, 8/ 1x = x, ∀k ∈ K; ∀k, l ∈ K; ∀k, l ∈ K; ∀x ∈ V Tám tính chất gọi tám tiên đề không gian vectơ Chú ý 1.1.2 Sau thường ta xét trường hợp K trường số thực R 1.1.2 Không gian chuẩn Định nghĩa 1.1.3 Khơng gian chuẩn, cịn gọi không gian định chuẩn, không gian vectơ V ứng với phần tử x ∈ V có cách xác định số thực ký hiệu x gọi chuẩn x, thỏa mãn ba tính chất: 1/ x ≥ 0, ∀x ∈ V ; x = ⇔ x = θ; 2/ kx = |k| x , ∀x ∈ V, 3/ x + y ≤ x + y , ∀k ∈ K; ∀x, y ∈ V Ba tính chất gọi ba tiên đề chuẩn vectơ hay không gian chuẩn Tập phần tử không gian vectơ V gọi tập không gian chuẩn V Sự hội tụ Trong không gian chuẩn V xét dãy phần tử {xn } Nói dãy xn hội tụ tới x ∈ V (hay có giới hạn x ∈ V ) dãy số xn − x −→ n −→ ∞, tức ∀ > ∃N : n > N ⇒ xn − x < Khi ta viết xn −→ x n −→ ∞ hay đơn giản xn −→ x Nói dãy xn hội tụ V hay dãy xn hội tụ tồn x ∈ V đểu kiện (3.4) ta suy |u | ≤ ⇒ u L2 (a,b) {C3 |u | + C2 |u| + |f |} C0 {C3 u C0 {C3 u ≤ C0 ≤ L2 (a,b) + C2 u L2 (a,b) + f W (a,b) + C2 u W (a,b) + f L2 (a,b) } L2 (a,b) } ... đạo hàm suy rộng khơng gian Sobolev, số ví dụ không gian hàm hàm nội suy +) Đánh giá sai số nội suy hàm nội suy số chiều, hàm nội suy tuyến tính chiều, hàm nội suy bậc hai chiều hàm nội suy tuyến... hàm suy rộng không gian Sobolev 1.3 Hàm nội suy 13 Chương Đánh giá sai số nội suy 2.1 2.2 16 Hàm nội suy chiều 16 2.1.1 Hàm nội suy số. .. tam giác hai chiều, tứ diện ba chiều) Mục đích luận văn nghiên cứu việc xấp xỉ hàm số hàm nội suy tuyến tính (hoặc số, bậc hai) chiều hai chiều đánh giá sai số phương pháp nội suy Cụ thể đánh giá