Hệ tiên đề pogorelov và mô hình carte của hình học euclid

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ HƯƠNG HỆ TIÊN ĐỀ POGORELOV VÀ MƠ HÌNH CARTE CỦA HÌNH HỌC EUCLID LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ HƯƠNG HỆ TIÊN ĐỀ POGORELOV VÀ MƠ HÌNH CARTE CỦA HÌNH HỌC EUCLID Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cảm ơn iii Mở đầu Chương 1: Hệ tiên đề Hilbert Hệ tiên đề Wayne cho Hình học Euclid 1.1 1.2 1.3 1.4 Tổng quan lịch sử Hình học 1.1.1 Tác phẩm "Elements" Euclid 1.1.2 Nỗ lực chứng minh Định đề 1.1.3 Phát Hình học khác Hình học Euclid 1.1.4 Nền tảng hình học nửa sau kỉ 19 Hệ tiên đề Hilbert cho Hình học Euclid 1.2.1 Yêu cầu phương pháp tiên đề 1.2.2 Các nhóm tiên đề Hilbert Hệ tiên đề Wayne cho Hình học Euclid 1.3.1 Nhóm tiên đề phép cộng véc tơ 1.3.2 Nhóm tiên đề phép nhân véc tơ với số thực 1.3.3 Nhóm tiên đề số chiều 1.3.4 Nhóm tiên đề tích vơ hướng hai véc tơ 1.3.5 Nhóm tiên đề đặt véc tơ từ hai điểm Mối quan hệ hệ tiên đề Hilbert hệ tiên đề Wayne 1.4.1 Ưu - khuyết điểm Hệ tiên đề Hilbert 1.4.2 Ưu - khuyết điểm Hệ tiên đề Wayne Chương 2: Hệ tiên đề Pogorelov cho Hình học Euclid 2.1 2.2 Hệ tiên đề Pogorelov hệ trực tiếp Mơ hình Carte Hình học Euclid 2.2.1 Lý xây dựng Mơ hình Carte 2.2.2 Kiểm tra tiên đề qua Mơ hình Carte 5 11 13 13 14 16 17 17 18 18 19 19 19 20 21 21 30 30 31 ii Chương 3: Hệ tiên đề xây dựng Hình học Việt Nam vài áp dụng 3.1 3.2 Hệ tiên đề sách giáo khoa phổ thông Một vài áp dụng 3.2.1 Tam giác vuông 3.2.2 Hệ tọa độ Carte vng góc 3.2.3 Định lý Stewart Kết luận Tài liệu tham khảo 38 38 40 40 41 42 46 47 iii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình PGS.TS Đàm Văn Nhỉ, Trường ĐHSP Hà Nội Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên tận tình bảo, hướng dẫn thầy Tác giả xin gửi tới Ban giám hiệu, phịng đào tạo, thầy Khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình giáo dục, đào tạo nhà trường Tác giả xin chân thành cảm ơn tới lãnh đạo UBND thành phố Tuyên Quang, phòng Giáo dục Đào tạo thành phố Ban giám hiệu trường THCS Ỷ La, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện giúp đỡ,cặp số thực (a, b), OM = a, ON = b Cặp số thực (a, b) gọi tọa độ điểm A viết A(a, b) Khoảng cách: Giả sử điểm A(x1 , y1 ) điểm B(x2 , y2 ) Theo Định lý Pythagoras, khoảng cách hai điểm A B hay độ dài đoạn AB AB = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 Chia đoạn theo tỷ số: Giả sử điểm A(x1 , y1 ) điểm B(x2 , y2 ) Ta γ2 IA xác định điểm I thuộc đoạn AB cho = Ta cần xét trường γ1 BI hợp AB không song song với trục tọa độ Hạ AA1 , IM, BB1 ⊥x x 42 Gọi I(x, y) Khi γ2 IA M A1 x1 − x = = = γ1 x − x2 BI B1 M γ1 x1 + γ2 x2 γ1 y1 + γ2 y2 Giải x = Tương tự, ta có y = γ1 + γ2 γ1 + γ2 γ1 x1 + γ2 x2 γ1 y1 + γ2 y2 , Vậy, tọa độ điểm chia I γ1 + γ2 γ1 + γ2 3.2.3 Định lý Stewart Tiếp theo, ta chứng minh Định lý Stewart sau Định lý 3.2.6 [Stewart] Với ba điểm tùy ý M, N, P thẳng hàng điểm I có đồng thức T = IM N P + IN P M + IP M N = −M N N P P M Chứng minh: Dựng hệ tọa độ Oxy cho M (0, 0), N (b, 0), P (c, 0) Giả sử I(x, y) Khi T = (x2 + y )(c − b) + [(x − b)2 + y ](−c) + [(x − c)2 + y ]b Dễ dàng suy T = bc(c − b) = −M N N P P M Hệ 3.2.7 Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c Gọi M trung điểm cạnh BC đặt ma = AM Gọi N chân đường phân giác AN góc A đặt = AN ; Gọi L chân đường phân giác ngồi AL góc A b = c đặt la = AL Khi ta có 2b2 + 2c2 − a2 (1) ma = bc[(b + c)2 − a2 ] (2) a = (b + c)2 (3) la2 bc[a2 − (c − b)2 ] = (c − b)2 Chứng minh: (1) Khi M trung điểm BC AM = ma ta có 2b2 + 2c2 − a2 ma = theo Định lý 3.2.6 ac (2) Khi AN = a phân giác góc Aˆ BN = b+c ab bc[(b + c)2 − a2 ] CN = Theo Định lý 3.2.6 có a = Thay hiệu b+c (b + c)2 A 2bc cos b2 + c2 − a2 = 2bc cos A a = b+c 43 ac (3) Khi b = c AL = la phân giác ngồi góc Aˆ BL = c−b 2 bc[a − (c − b) ] ab Theo Định lý 3.2.6 có la2 = CL = c−b (c − b)2 Hệ 3.2.8 [Steiner-Lehmus] Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c Giả sử a , b , c độ dài đường phân giác ∆ABC Nếu a = b ∆ABC cân ca[(a + c)2 − b2 ] bc[(b + c)2 − a2 ] Chứng minh: Ta biết = b = (b + c)2 (a + c)2 bc[(b + c)2 − a2 ] ca[(a + c)2 − b2 ] Nếu a = b = Ta có a = b hay (b + c)2 (a + c)2 ∆ABC cân a Ví dụ 3.2.9 Cho tam giác ABC với độ dài cạnh a, b, c độ dài ba đường trung tuyến ma , mb , mc Chứng minh √ b+c A (1) > ma bc cos 2 A B C (2) ma mb mc abc cos cos cos 2 2b2 + 2c2 − a2 b2 + c2 + 2bc cos A Bài giải: (1) Từ = = ta suy 4 √ A b2 + c2 + 2bc cos A A 2 bc cos Lại có ma = hay ma < ma bc cos 2 √ b2 + c2 + 2bc b+c A Vậy > ma bc cos 2 √ √ √ A B C (2) Vì ma bc cos , mb ca cos , mc bc cos nên 2 B C A có bất đẳng thức ma mb mc abc cos cos cos 2 m2a Ví dụ 3.2.10 Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c Giả sử , hb , hc , a , b , c ma , mb , mc độ dài đường cao, đường phân giác đường trung tuyến ∆ABC Ta có bất đẳng thức (1) ma Dấu = xảy b = c √ √ √ bc ca ab a b c (2) + + + + Dấu = xảy ma mb mc b+c c+a a+b a = b = c a 44 Bài giải: (1) Hiển nhiên a Vì a m2a 4bc (b + c)2 − a2 = (b + c)2 2(b2 + c2 ) − a2 4bc theo Chú ý 3.2.7 nên a ma Hiển nhiên, dấu = xảy (b + c)2 b = c √ √ √ bc ca ab a b c a b c (2) Bởi có , , nên + + m b√ + c mb c + a mc a+b ma mb mc √ √a bc ca ab + + Dấu = xảy a = b = c b+c c+a a+b Ví dụ 3.2.11 Cho ∆ABC với BC = a, CA = b, AB = c, bán kính đường trịn bàng tiếp , rb , rc Giả sử a , b , c ma , mb , mc độ dài đường phân giác đường trung tuyến ∆ABC Khi (1) m2a + m2b b+c bc (2) a + 2 b a2 + b2 + c2 = + , 2 c + a 2b a+b a + + ca ab m2c + = a+b+c 2 c (3) ra2 + rb2 + rc2 c a+b+c m2a + m2b + m2c + (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 (4) ra2 + rb2 + rc2 + a + b + c a+b+c m2a + m2b + m2c + Chú ý bất đẳng thức trở thành đẳng thức a = b = c Bài giải: (1) suy từ Hệ 3.2.7 (2) suy từ (1) a+b+c (3) Đặt x = p − a, y = p − b, z = p − c với p = Biến đổi yz zx xy ra2 + rb2 + rc2 = x + y + z + + x y z y z z x x y = xy + yz + zx + x2 + + y2 + + z2 + z y x z y x 2 xy + yz + zx + 2x + 2y + 2z a2 + b2 + c2 + a − b + b − c = + c−a 45 Do có (4) Ta có 2 2 (a − b) ma +mb +mc + bc[(b + c) − a2 ] bc 2 = bc − a a = (b + c)2 ra2 +rb2 +rc2 + (b − c)2 + (c − a)2 a2 bc − b+c a2 + b2 + c2 Như 2a + 2b + 2c bc+ca+ab− Kết hợp với bất đẳng a+b+c 2 2 2 2 thức (2) +rb +rc + a + b + c ma +mb +mc + Ví dụ 3.2.12 Cho ∆ABC với diện tích S BC = a, CA = b, AB = c Giả sử , hb , hc ma , mb , mc độ dài đường cao đường trung tuyến ∆ABC Khi ta có bất đẳng thức (m2a + m2b + m2c )(h2a + h2b + h2c ) 27S Bài giải: Vì m2a + m2b + m2c = (a2 + b2 + c2 ) nên (m2a + m2b + m2c )(h2a + h2b + h2c ) 3 (abc)2 3 (ha hb hc )2 = 27S 46 Kết luận Luận văn Hệ tiên đề Pogorelov mơ hình Carte hình học Euclid trình bày lại số kết sau đây: Trình bày sơ lược nội dung phát triển Hình học Euclid Trình bày Hệ tiên đề Hilbert cho Hình học Euclid Trình bày Hệ tiên đề Wayne cho Hình học Euclid Trình bày Hệ tiên đề Pogorelov mơ hình kiểm tra Carte Hình học Euclid Trình bày nội dung Hệ tiên đề xây dựng Hình học Việt Nam vài áp dụng ... Euclid Trình bày Hệ tiên đề Wayne cho Hình học Euclid Trình bày Hệ tiên đề Pogorelov mơ hình kiểm tra Carte Hình học Euclid Trình bày nội dung Hệ tiên đề xây dựng Hình học Việt Nam vài áp dụng 47... quan hệ hệ tiên đề Hilbert hệ tiên đề Wayne 1.4.1 Ưu - khuyết điểm Hệ tiên đề Hilbert 1.4.2 Ưu - khuyết điểm Hệ tiên đề Wayne Chương 2: Hệ tiên đề Pogorelov cho Hình học. .. Luận văn Hệ tiên đề Pogorelov mơ hình Carte hình học Euclid trình bày lại số kết sau đây: Trình bày sơ lược nội dung phát triển Hình học Euclid Trình bày Hệ tiên đề Hilbert cho Hình học Euclid