Một số chuyên đề về tổ hợp dành cho học sinh có năng khiếu toán bậc trung học phổ thồng

ĐạI HọC THáI NGUYÊN Tr-ờng Đại học KHOA học nguyễn THị NGọC áNH Một số chuyên đề tổ hợp dành cho học sinh có khiếu toán bậc trung học phổ thông luận văn thạc sỹ TOáN học TH¸I NGUY£N - 2009 Số hóa Trung tâm Học liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐạI HọC THáI NGUYÊN Tr-ờng Đại học KHOA học -*** - ngun THÞ NGäC áNH Một số chuyên đề tổ hợp dành cho học sinh có khiếu toán bậc trung học phổ thông Chuyên ngành: Ph-ơng pháp toán sơ cấp MÃ số : 60 46 40 luận văn thạc sỹ TOáN học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: TS Nguyễn Đức Hoàng TH¸I NGUY£N - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ ✈➭ ♥❣❤✐➟♠ ❦❤➽❝ ❝đ❛ ❚❙ ✳ ◆❣✉②Ơ♥ ➜ø❝ ❍♦➭♥❣✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❦Ý♥❤ trä♥❣ ✈➭ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ❚❤➬② ✈➭ ❣✐❛ ➤×♥❤✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❇❛♥ ❣✐➳♠ ❤✐Ö✉ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝✱ P❤ß♥❣ ➤➭♦ t➵♦ ✈➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ➤➲ q✉❛♥ t➞♠ ❣✐ó♣ ➤ì✱ t➵♦ ♠ä✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤✉❐♥ ❧ỵ✐ ❝❤♦ t➠✐ ➤➢ỵ❝ ❤ä❝ t❐♣ tèt✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❙ë ●✐➳♦ ❞ô❝ ✈➭ ➜➭♦ t➵♦ ❚Ø♥❤ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❚r➢ê♥❣ ❚r✉♥❣ ❤ä❝ ♣❤æ t❤➠♥❣ ❈❤✉②➟♥ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ➤➷❝ ❜✐Ưt ❧➭ tỉ ❚♦➳♥ ➤➲ ❣✐ó♣ ➤ì t➠✐ ✈Ị t✐♥❤ t❤➬♥ ✈➭ ✈❐t ❝❤✃t tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣✳ ✶ ▼ô❝ ❧ô❝ ▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ✶ ▼ë ➤➬✉ ✸ ❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ✻ ✶✳✶✳ ◗✉② t➽❝ ❝é♥❣ ✈➭ q✉② t➽❝ ♥❤➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ị tổ ợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✶✳✸✳ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ❝❤✉å♥❣ ❝❤✐♠ ❜å ❝➞✉ ✭◆❣✉②➟♥ ❧ý ❉✐r✐❝❤❧❡t✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ị tổ ợ tổ qt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✶✳✺✳ ❈➠♥❣ t❤ø❝ ❜❛♦ ❤➭♠ ✈➭ ❧♦➵✐ trõ ❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ▼ét sè ❝❤✉②➟♥ ➤Ò ✈Ò tỉ ❤ỵ♣ ❞➭♥❤ ❝❤♦ ❤ä❝ s✐♥❤ ❝ã ♥➝♥❣ ❦❤✐Õ✉ t♦➳♥ ❜❐❝ tr✉♥❣ ❤ä❝ ♣❤ỉ t❤➠♥❣ ✶✼ ✷✳✶✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ị ✶✿ ◗✉② t➽❝ ❝é♥❣ ✈➭ q✉② t➽❝ ♥❤➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ✷✳✷✳ ❈❤✉②➟♥ ề ị tổ ợ ề ✸✿ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ❝❤✉å♥❣ ❝❤✐♠ ❜å ❝➞✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ✷✳✹✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✹✿ ❈➳❝ sè ❘❛♠s❡② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷ ✷✳✺✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✺✿ ❈➳❝ sè ❈❛t❛❧❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽ ✷✳✻✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✻✿ ❈➳❝ sè ❙t✐r❧✐♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶ ✷✳✼✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✼✿ ❍♦➳♥ ị tổ ợ tổ qt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✼ ✷✳✽✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✽✿ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ❜❛♦ ❤➭♠ ✈➭ ❧♦➵✐ trõ ✷✳✾✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ị ✾✿ ◆❤÷♥❣ sù ①➳♦ tré♥ ✈➭ ♥❤÷♥❣ sù s➽♣ ➤➷t tr➢í❝ ✳ ✳ ✺✹ ✷✳✶✵✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ị ✶✵✿ ➜➵✐ ❧➢ỵ♥❣ ❜✃t ❜✐Õ♥ ❈❤➢➡♥❣ ✸✳ ▼ét sè ❜➭✐ t❐♣ ➤Ị ♥❣❤Þ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✼ ✻✵ ✷ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✻✼ ✸ ▼ë ➤➬✉ ❈ã t❤Ó ♥ã✐ t➢ ❞✉② ✈Ị tỉ ❤ỵ♣ r❛ ➤ê✐ tõ r✃t sí♠✳ ❱➭♦ t❤ê✐ ♥❤➭ ❈❤✉✱ ♥❣➢ê✐ t❛ ➤➲ ❜✐Õt ➤Õ♥ ❝➳❝ ❤×♥❤ ✈Ï ó q ế ữ ì t í ❝æ ❍② ❧➵♣✱ ♥❤➭ tr✐Õt ❤ä❝ ❑①❡♥♦❦r❛t✱ sè♥❣ ë t❤Õ ❦û t❤ø ✹ tr➢í❝ ❝➠♥❣ ♥❣✉②➟♥✱ ➤➲ ❜✐Õt tÝ♥❤ sè ❝➳❝ tõ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ❧❐♣ tõ ♠ét ❜➯♥❣ ❝❤÷ ❝➳✐ ❝❤♦ tr➢í❝✳ ◆❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ P✐t❛❣♦ ✈➭ ❝➳❝ ❤ä❝ trß ❝đ❛ ➠♥❣ ➤➲ t×♠ r❛ ♥❤✐Ị✉ ❝♦♥ sè ❝ã tÝ♥❤ t ệt ệ tì r ợ số ò ỏ ó ột ệ tt tổ ợ ♥❤✃t ➤Þ♥❤✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ❝ã t❤Ĩ ♥ã✐ r➺♥❣✱ ❧ý t❤✉②Õt tổ ợ ợ ì t ột t ọ ♠í✐ ✈➭ q✉➲♥❣ t❤Õ ❦û ✶✼ ❜➺♥❣ ♠ét ❧♦➵t ❝➳❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♥❣❤✐➟♠ tó❝ ❝đ❛ ❝➳❝ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ①✉✃t s➽❝ ♥❤➢ P❛s❝❛❧✱ ❋❡r♠❛t✱ ▲❡✐❜♥✐t③✱ ❊✉❧❡r✳✳✳▼➷❝ ❞ï ✈❐②✱ tr♦♥❣ s✉èt ❤❛✐ t❤Õ ❦û r➢ì✐✱ tỉ ❤ỵ♣ ❦❤➠♥❣ ❝ã ✈❛✐ trß ♥❤✐Ị✉ tr♦♥❣ ✈✐Ư❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tù ♥❤✐➟♥✳ ➜Õ♥ ỗ trợ ự ủ tí ✱ tỉ ❤ỵ♣ ➤➲ ❝❤✉②Ĩ♥ s❛♥❣ ❧Ü♥❤ ✈ù❝ t♦➳♥ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ✈í✐ sù ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ ♠➵♥❤ ♠Ï✱ ❝ã ♥❤✐Ị✉ ❦Õt q✉➯ ❝ã Ý❝❤ ❝❤♦ ❝♦♥ ♥❣➢ê✐✳ ◆❤❐♥ t❤ø❝ ➤➢ỵ❝ ✈❛✐ trò ủ ý tết tổ ợ ố số ❤✐Ư♥ ➤➵✐✳ ▲ý t❤✉②Õt tỉ ❤ỵ♣ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ➤➢❛ ✈➭♦ ❝❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❤ä❝ ♣❤ỉ t❤➠♥❣ ✈➭ ❝❤✐Õ♠ ♠ét ♣❤➬♥ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❦ú t❤✐ t♦➳♥ q✉è❝ ❣✐❛ ✈➭ q✉è❝ tÕ✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ë ♥➢í❝ t❛✱ t➭✐ ❧✐Ư✉ ✈✐Õt ✈Ị tỉ ❤ỵ♣ ❝❤➢❛ ♥❤✐Ò✉✳ ❉♦ ➤ã✱ ❜➯♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② sÏ ❝✉♥❣ ❝✃♣ t❤➟♠ ♠ét t➭✐ ❧✐Ư✉ ✈Ị tỉ ❤ỵ♣ ❝❤♦ ❤ä❝ s✐♥❤ ♣❤ỉ t❤➠♥❣❀ ➤➷❝ ❜✐Ưt ❧➭ ❞➭♥❤ ❝❤♦ ♥❤÷♥❣ ❡♠ ❤ä❝ s✐♥❤ ❝ã ♥➝♥❣ ❦❤✐Õ✉ ♠➠♥ t♦➳♥✳ ❈❤ó♥❣ t➠✐ ❤✐ ✈ä♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② sÏ ➤➳♣ ø♥❣ ➤➢ỵ❝ ♣❤➬♥ ♥➭♦ ❧ß♥❣ ②➟✉ t❤Ý❝❤ ❦❤➳♠ ♣❤➳ t♦➳♥ ❤ä❝ ❝đ❛ ❝➳❝ ❡♠✳ ➜å♥❣ t❤ê✐ ➤➞② ❝ị♥❣ ❧➭ ♠ét t➭✐ ❧✐Ư✉ ➤Ĩ ❝➳❝ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣ t❤❛♠ ❦❤➯♦✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ❜❛ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ♠ét ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥ ✹ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ tỉ ❤ỵ♣ t❤❡♦ ♠ét ❧➠❣✐❝ ❦❤➳❝ s♦ ✈í✐ s➳❝❤ ♣❤ỉ t❤➠♥❣ ♥❤➺♠ ❣➞② sù ♠í✐ ❧➵ ❝❤♦ ❤ä❝ s✐♥❤✳ ❈❤➢➡♥❣ ❤❛✐ ❧➭ trä♥❣ t➞♠ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ r ọ s ợ tì ể ➤Ò✿ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò 1✿ ◗✉② t➽❝ ❝é♥❣ ✈➭ q✉② t➽❝ ề ị tổ ợ ➤Ò 3✿ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ❝❤✉å♥❣ ❝❤✐♠ ❜å ❝➞✉✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò 4✿ ❈➳❝ sè ❘❛♠s❡②✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò 5✿ ❈➳❝ sè ❈❛t❛❧❛♥✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò 6✿ ❈➳❝ sè ❙t✐r❧✐♥❣✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò 7✿ ❍♦➳♥ ị tổ ợ tổ qt ề ❧ý ❜❛♦ ❤➭♠ ✈➭ ❧♦➵✐ trõ✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ị 9✿ ◆❤÷♥❣ sù ①➳♦ tré♥ ✈➭ ♥❤÷♥❣ sù s➽♣ ➤➷t tr➢í❝✳ ❈❤✉②➟♥ ề 10 ợ t ế r ỗ ề t tờ ợ t t ữ ủ ề t ị ó ọ s tự tì t ì ữ ế tứ q ế ủ ề ợ tờ ỗ ề ó ❝❤✐ t✐Õt✱ ♥❣➽♥ ❣ä♥✱ ➤➬② s➳♥❣ t➵♦ ✈➭ ❜✃t ♥❣ê✳ ❈➳❝ ❧ê✐ ❣✐➯✐ ♥➭② Ýt ❣➷♣ tr♦♥❣ ❝➳❝ t➭✐ ❧✐Ö✉ ề tổ ợ ó tr tị trờ ✈ä♥❣ ❝❤Ý♥❤ ➤✐Ị✉ ♥➭② ❦Ý❝❤ t❤Ý❝❤ sù ❤❛♠ ❤✐Ĩ✉ ❜✐Õt✱ ❧ß♥❣ s❛② ♠➟ ❝đ❛ ❝➳❝ ❤ä❝ s✐♥❤ ❝ã ♥➝♥❣ ❦❤✐Õ✉ t♦➳♥✳ ❈❤➢➡♥❣ ❜❛ ❝ã ♥é✐ ❞✉♥❣ ❧➭ ♥❤÷♥❣ ❜➭✐ t❐♣ ề ị ợ ọ ự ĩ ỡ ú ụ ữ ế tứ t ợ từ ❝❤➢➡♥❣ tr➢í❝ ➤Ĩ ♥➞♥❣ ❝❛♦ ❦ü ♥➝♥❣ ❣✐➯✐ t♦➳♥ tỉ ợ ủ ì ột tờ ứ ✈➝♥ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥ sÏ ❦❤➠♥❣ tr➳♥❤ ❦❤á✐ ♥❤✐Ị✉ s❛✐ sãt✳ ❑Ý♥❤ ♠♦♥❣ sù ❣ã♣ ý ❝đ❛ q✉ý t❤➬② ❝➠✱ ❝➳❝ ❜➵♥ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣ ✈➭ ❝➳❝ ❡♠ ❤ä❝ s✐♥❤✳ ❈❤ó♥❣ t➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥✦ ✺ ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ✶✳✶✳ ◗✉② t➽❝ ❝é♥❣ ✈➭ q✉② t➽❝ ♥❤➞♥ ◗✉② t➽❝ ❝é♥❣✿ ◆Õ✉ Ei (i = 1, , k) ❧➭ k sù ❦✐Ö♥ t❤♦➯ ♠➲♥✿ (i) ❑❤➠♥❣ ❝ã ❤❛✐ sù ❦✐Ư♥ ♥➭♦ tr♦♥❣ sè ❝❤ó♥❣ ①➯② r❛ ➤å♥❣ t❤ê✐ (ii) Ei ❝ã t❤Ó ①➯② r❛ t❤❡♦ t❤× ♠ét tr♦♥❣ k ni sù ❦✐Ư♥ ❝ã t❤Ĩ ①➯② r❛ t❤❡♦ ▼ét ❧í♣ ❤ä❝ ❝ã ❱Ý ❞ơ ✶✳✶✳✶ 18 + 12 = 30 ❝➳❝❤ 18 (n1 + n2 + + nk ) ❝➳❝❤✳ ❤ä❝ s✐♥❤ ♥❛♠ ✈➭ 12 ọ s ữ tì ó ọ ột ọ s✐♥❤ ✭❦❤➠♥❣ ❦Ĩ ♥❛♠✱ ♥÷✮ ❧➭♠ ♥❣➢ê✐ ➤➵✐ ❞✐Ư♥ ❝❤♦ ❧í♣✳ ❱Ý ❞ơ ✶✳✶✳✷ ●✐➯ t❤✐Õt E ❧➭ sù ❦✐Ư♥ ❝❤ä♥ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè ♥❤á ❤➡♥ ❧➭ sù ❦✐Ö♥ ❝❤ä♥ ❝➳❝ sè tù ♥❤✐➟♥ ❝❤➼♥ ♥❤á ❤➡♥ ❚❤×✿ E ❝ã ❝➳❝❤ ①➯② r❛✱ F ❝ã tè ❝❤➼♥ ♥➟♥ ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐ sù ❦✐Ö♥ 10✳ ❝➳❝❤ ①➯② r❛✳ ◆❤➢♥❣ ✈× E ❤♦➷❝ F 10 ✈➭ F ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ ❝ã t❤Ó ①➯② r❛ t❤❡♦ 4+4−1 = ❝➳❝❤✳ ◗✉② t➽❝ ♥❤➞♥✿ n1 ❝➳❝❤❀ E2 ◆Õ✉ ❝ã t❤Ó ①➯② r❛ t❤❡♦ r❛ ♥❤➢ t❤Õ ♥➭♦✮❀ E1 ✈➭ E2 Ei (i = 1, , k) E3 n2 ❧➭ k sù ❦✐Ư♥ ✈➭ E1 ❝➳❝❤ ✭❦❤➠♥❣ ♣❤ơ t❤✉é❝ ➤Õ♥ ✈✐Ư❝ ❝ã t❤Ĩ ①➯② r❛ t❤❡♦ n3 ❱Ý ❞ơ ✶✳✶✳✸ nk − 1✮ sù ❦✐Ư♥ tr➢í❝ ①➯② r❛ ♥❤➢ t❤Õ ♥➭♦✮✱ t❤× k r❛ ➤å♥❣ t❤ê✐ t❤❡♦ n1 n2 n3 nk ▼ét ❣✐➳ s➳❝❤ ❝ã E1 ①➯② ❝➳❝❤ ✭❦❤➠♥❣ ♣❤ô t❤✉é❝ ➤Õ♥ ✈✐Ư❝ ①➯② r❛ ♥❤➢ t❤Õ ♥➭♦✮✱✳✳✳✱Ek ❝ã t❤Ĩ ①➯② r❛ t❤❡♦ t❤✉é❝ ➤Õ♥ ✭k ❝ã t❤Ó ①➯② r❛ t❤❡♦ ❝➳❝❤ ✭❦❤➠♥❣ ♣❤ơ sù ❦✐Ư♥ ❝ã t❤Ĩ ①➯② ❝➳❝❤✳ q✉②Ó♥ s➳❝❤ t✐Õ♥❣ ❆♥❤ ➤➠✐ ♠ét ❦❤➳❝ ♥❤❛✉❀ q✉②Ó♥ s➳❝❤ t✐Õ♥❣ P❤➳♣ ➤➠✐ ♠ét ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ✈➭ 10 q✉②Ó♥ s➳❝❤ t✐Õ♥❣ ➜ø❝ ➤➠✐ ♠ét ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ (i) ❈ã 6.8.10 = 480 ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ ❧✃② q✉②Ó♥ s➳❝❤ tr♦♥❣ ó ỗ qể ột tứ tế (ii) ó + + 10 = 24 ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ ❧✃② q✉②Ó♥ s➳❝❤ ❜✃t ❦ú tr♦♥❣ sè ❝➳❝ q✉②Ó♥ s➳❝❤ ♥ã✐ tr➟♥✳ ◆Õ✉ ♠ét ❜➭✐ t❤✐ tr➽❝ ♥❣❤✐Ư♠ ❝ã ❱Ý ❞ơ ỏ ỗ ỏ ó ➳♥ tr➯ ❧ê✐ ✭♠ét ♣❤➢➡♥❣ ➳♥ ➤ó♥❣ ✈➭ ❤❛✐ ♣❤➢➡♥❣ ➳♥ s❛✐✮✳ ❱❐② sè ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ ❝➞✉ tr➯ ❧ê✐ ❝ñ❛ tt ị tổ ợ X ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✶ ♣❤➬♥ tư ✈➭ r ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ ❦❤➠♥❣ n✳ r✲❤♦➳♥ ✈Þ ❝đ❛ X ▼ét ❧➭ ♠ét ❜é s➽♣ t❤ø tù ❣å♠ r ♣❤➬♥ tö n ♣❤➬♥ tư ❝đ❛ X ✳ ▼ét ❙è n ❧➭ ♠ét t❐♣ ❤ỵ♣ ❜❛♦ ❣å♠ ➞♠ ♥❤á ❤➡♥ ❤♦➷❝ ❜➺♥❣ tõ ❝➞✉ ❤á✐ tr➟♥ ❧➭ 38 = 6561 ❝➳❝❤✳ n✲❤♦➳♥ ✈Þ ủ X ợ ọ ột ị ủ X r ị ủ ột t ợ n tử ợ ❦ý ❤✐Ư✉ ❧➭ P (n, r)✳ ❱Ý ❞ơ ✶✳✷✳✷ {2, 3, 4} ✈➭ {2, 4, 3} ❧➭ ❤❛✐ 3✲❤♦➳♥ ✈Þ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ❝ñ❛ X = {1, 2, 3, 4, 5}✳ ị ĩ ột rtổ ợ ủ X ột t❐♣ ❝♦♥ ❣å♠ r ♣❤➬♥ tư ❝đ❛ X ✳ r✲tỉ ❤ỵ♣ ❝đ❛ ♠ét t❐♣ ❤ỵ♣ n ♣❤➬♥ tư ➤➢ỵ❝ ❦ý ❤✐Ư✉ ❧➭ C(n, r)✳ n! ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✹ (i) P (n, r) = (n − r)! P (n, r) n! (ii) C(n, r) = = = C(n, n − r) r! r!(n − r)! ❙è ë ➤➞② ❝❤ó♥❣ t❛ ➤➢❛ r❛ ❤➭♠ ❣✐❛✐ t❤õ❛✿ m! ≡ (1).(2) (m) ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ t✐➟♥ tr♦♥❣ r (i) ❈ã ✈Þ trÝ❀ ❝ã n ✈➭ 0! ≡ ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ ♠ét ♣❤➬♥ tö ❜✃t ❦ú ❝đ❛ (n − 1) ❝➳❝❤ X ❝❤ä♥ ♠ét ♣❤➬♥ tư từ ó tử ò ể ế ị trí tứ ❤❛✐ tr♦♥❣ sè r ✈➭♦ ✈Þ trÝ ➤➬✉ (n − 1) ♣❤➬♥ ✈Þ trÝ✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ sè ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ ♣❤➬♥ tư ❝❤✐Õ♠ ✈Þ trÝ t❤ø ❤❛✐ ❦❤➠♥❣ ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ ♣❤➬♥ tư ❝❤✐Õ♠ ë ✈Þ trÝ t❤ø ♥❤✃t ♥❤➢ t❤Õ ♥➭♦✳ ✼ ❉♦ ➤ã t❤❡♦ q✉② t➽❝ ♥❤➞♥✱ ❤❛✐ ✈Þ trÝ ➤➬✉ t✐➟♥ ❝ã t❤Ĩ ❧✃♣ ➤➬② ❜ë✐ r ❝➳❝❤✳✳✳✈➭ t✃t ❝➯ n(n − 1) ✈Þ trÝ ❝ã t❤Ó ❧✃♣ ➤➬② ❜ë✐✿ n! (n − r)! P (n, r) = n(n − 1) (n − r + 1) = ❝➳❝❤✳ (ii) ➜Ĩ ➤➳♥❤ ❣✐➳ C(n, r)✱ ❝❤ó ý r ột r ị ủ t ợ n tư X r✲t❐♣ ❝♦♥ ♥➭♦ ➤ã ❝đ❛ X ✳ ❧➭ ị ủ ột ữ ữ rt ❜✐Ưt s✐♥❤ r❛ r✲tỉ ❤ỵ♣ ♣❤➞♥ ❜✐Ưt✳ ❉♦ ➤ã✱ ❜➺♥❣ q✉② t➽❝ ❝é♥❣ t❛ ❝ã✿ P (n, r) = P (r, r) + P (r, r) + + P (r, r) ❙è ❝➳❝ sè ❤➵♥❣ ë ✈Õ ♣❤➯✐ ❧➭ sè ❝➳❝ r✲t❐♣ ❝♦♥ ❝ñ❛ X tø❝ ❧➭ C(n, r)✳ ❉♦ ➤ã t❛ ❝ã✿ P (n, r) = C(n, r)P (r, r) = C(n, r)r! ỗ rt ủ X (n − r)✲t❐♣ ❝♦♥✳ ❝ã ♠ét t❐♣ ❝♦♥ ❜ï ❞✉② ♥❤✃t ❧➭ ❚õ ➤ã t❛ ❝ã ♠ét q✉❛♥ ❤Ö q✉❛♥ trä♥❣ ❧➭✿ C(n, r) = C(n, n − r) ➜➷❝ ❜✐Ưt✱ sè ❤♦➳♥ ✈Þ ❝đ❛ n ♣❤➬♥ tư ❧➭✿ P (n, n) = n! ◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✷✳✺ ❤ỵ♣ ❝ã r✲ ❤♦➳♥ ✈Þ ❝đ❛ ♠ét t❐♣ ❝đ❛ n ♣❤➬♥ tư✱ ♠ét r✲ tỉ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ♣❤ỉ t❤➠♥❣✱ ♠ét n ♣❤➬♥ tư ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ❝❤Ø♥❤ ❤ỵ♣ ❝❤❐♣ r ❤ỵ♣ ❝đ❛ ♠ét t❐♣ ❤ỵ♣ ❝ã n ♣❤➬♥ tư ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét tỉ ❤ỵ♣ ❝❤❐♣ r ❝đ❛ n ♣❤➬♥ tư ➤ã✳ ❱Ý ❞ô ✶✳✷✳✻ ▼ét ❝➞✉ ❧➵❝ ❜é ❣å♠ ❤ä❝ s✐♥❤ ❦❤è✐ 10✳ ❤ä❝ s✐♥❤ ❦❤è✐ 11❀ 12 ❤ä❝ s✐♥❤ ❦❤è✐ 12❀ 10 ❤ä❝ s✐♥❤ ❦❤è✐ 11❀ ❈➬♥ ❧❐♣ r❛ ♠ét ❜❛♥ ➤➵✐ ❞✐Ö♥ ❣å♠✿ ❤ä❝ s✐♥❤ ❦❤è✐ 10✳ ✽ ❱❐② t❛ ❝ã✿ ❤ä❝ s✐♥❤ ❦❤è✐ C(12, 4) = 12❀ 12! = 495 4!8! 2; p2 = 3; p3 = 5; p4 = 7✳ 100 100 100 100 S1 = + + + = 117 100 100 100 100 100 100 S2 = + + + + + = 45 (2).(3) (2).(5) (2).(7) (3).(5) (3).(7) (5).(7) 100 100 100 100 S3 = + + + =6 (3).(5).(7) (2).(5).(7) (2).(3).(7) (2)(3).(5) 100 =0 S4 = (2).(3).(5).(7) ❱❐②✿ π(100) = 100 − + − 117 + 45 − + = 25 ❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✽✳✾ ❧í♣ ❤é✐ ❤♦➵✱ ❈ã 30 s✐♥❤ ✈✐➟♥ tr♦♥❣ ❦ý tó❝ ①➳✱ 15 s✐♥❤ ✈✐➟♥ t❤❛♠ ❣✐❛ ❤ä❝ s✐♥❤ ✈✐➟♥ t❤❛♠ ❣✐❛ ❤ä❝ ❧í♣ s✐♥❤ ❤ä❝✱ s✐♥❤ ✈✐➟♥ t❤❛♠ ❣✐❛ ❤ä❝ ❤ä❝ ❤♦➳ ❤ä❝✳ ❇✐Õt r➺♥❣ ❝ã r➺♥❣ ❝ã Ýt ♥❤✃t s✐♥❤ ✈✐➟♥ t❤❛♠ ❣✐❛ ❝➯ ❧í♣ tr➟♥✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ s✐♥❤ ✈✐➟♥ ❦❤➠♥❣ t❤❛♠ ❣✐❛ ❧í♣ ❤ä❝ ♥➭♦✳ ●✐➯✐✿ ●ä✐ A ❧➭ t❐♣ ❤ỵ♣ ❝➳❝ s✐♥❤ ✈✐➟♥ tr♦♥❣ ❦ý tó❝ ①➳ t❤❛♠ ❣✐❛ ❧í♣ ❤é✐ ❤♦➵✳ B t❐♣ ❤ỵ♣ ❝➳❝ s✐♥❤ ✈✐➟♥ tr♦♥❣ ❦ý tó❝ ①➳ t❤❛♠ ❣✐❛ ❧í♣ s✐♥❤ ❤ä❝✳ s✐♥❤ ✈✐➟♥ tr♦♥❣ ❦ý tó❝ ①➳ t❤❛♠ ❣✐❛ ❧í♣ ❤♦➳ ❤ä❝✳ ❚❛ ❝ã✿ S3 = 3✳ ●ä✐ X C ❧➭ ❧➭ t❐♣ ❤ỵ♣ ❝➳❝ S1 = 15 + + = 19✱ ❧➭ sè s✐♥❤ ✈✐➟♥ ❦❤➠♥❣ t❤❛♠ ❣✐❛ ❧í♣ ❤ä❝ ♥➭♦✳ ❑❤✐ ➤ã✿ x = 30 − 29 + S2 − = S2 − ▼➷t ❦❤➳❝✿ n(A ∩ B ∩ C) = ♥➟♥    n(A ∩ B) ≥    n(A ∩ C) ≥     n(B ∩ C) ≥ ❙✉② r❛ S2 ≥ 9✳ ❱❐② x ≥ − = ✷✳✾✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ị ✾✿ ◆❤÷♥❣ trộ ữ s t trớ ị ♥❣❤Ü❛ ✷✳✾✳✶ ▼ét ❤♦➳♥ ✈Þ P ❝đ❛ t❐♣ ✺✹ X = {x1 , x2 , , xn } ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ P (xi ) = xi ❧➭ ♠ét sù ①➳♦ tré♥ ♥Õ✉ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✾✳✷ Dn = n! − ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ●ä✐ Ai i = 1, 2, , n✳ ●ä✐ Dn ❧➭ sè ❝➳❝ ①➳♦ tré♥ ❝đ❛ t❐♣ ❤ỵ♣ X = {x1 , , xn }✳ ❑❤✐ ➤ã✿ n!✳ ✈í✐ ♠ä✐ ●ä✐ Q 1 + − + (−1)n 1! 2! n! ❧➭ t❐♣ ❤ỵ♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❤♦➳♥ ✈Þ ❝đ❛ ❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ❝đ❛ Q X ❝❤ø❛ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❤♦➳♥ ✈Þ ❝ã s✉② r❛ xi n(Q) = ❝è ➤Þ♥❤ (i = 1, 2, , n)✳❚❛ ➳♣ ❞ô♥❣ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❙✐❡✈❡ ✿ n(Ai1 ∩ Ai2 ∩ ∩ Aik ) = C(n, k)(n − k)! = Sk = n! k! ❉♦ ➤ã Dn = n(A1 ∩ A2 ∩ ∩ Ak ) = n! − ❍Ö q✉➯ ✷✳✾✳✸ ▲❐♣ ❜➯♥❣ tÝ♥❤ Dn ✈í✐ 1 + − + (−1)n 1! 2! n! n = 1, 2, , 10 ♥ ✶ ✷ ✸ ✹ ✺ ✻ ✼ ✽ ✾ ✶✵ Dn ✵ ✶ ✷ ✾ ✹✹ ✷✻✺ ✶✽✺✹ ✶✹✽✸✸ ✶✸✸✹✻✾ ✶✸✸✹✾✻✶ ❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✾✳✹ ❚r♦♥❣ ♠ét ❧í♣ ❤ä❝ ❝ã n ❤ä❝ s✐♥❤ ✈➭ n q✉②Ĩ♥ s ệt t ỗ ❤ä❝ s✐♥❤ ♠ét q✉②Ó♥ s➳❝❤ ✈➭ ②➟✉ ❝➬✉ ❤ä❝ s✐♥❤ ♣❤➯✐ ♥é♣ ❧➵✐ s❛✉ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❝❤♦ t✉➬♥✳ ❚✉➬♥ s❛✉✱ ữ qể s ó ợ t n ọ s ❍á✐ ❝ã ❜❛♦ ♥❤✐➟✉ ❝➳❝❤ ♣❤➞♥ ♣❤è✐ s❛♦ ❝❤♦ ❦❤➠♥❣ ❤ä❝ s✐♥❤ ♥➭♦ ♥❤❐♥ ●✐➯✐✿ ❧➬♥ ❝ï♥❣ ♠ét q✉②Ó♥ s➳❝❤❄ ❚✉➬♥ ➤➬✉✱ ❝➳❝ q✉②Ó♥ s➳❝❤ ❝ã t❤Ó ♣❤➞♥ ♣❤➳t t❤❡♦ ❝➳❝❤ ♣❤➞♥ ♣❤➳t ➤ã ❝ã Dn ❝➳❝❤ ♣❤➞♥ ♣❤➳t ❝ñ❛ t✉➬♥ t❤ø ❤❛✐ s❛♦ ❝❤♦ t❤♦➯ ♠➲♥ ②➟✉ ❝➬✉ ❜➭✐ t♦➳♥✳ ❱❐② ❦Õt q✉➯ ❝➬♥ t×♠ ❧➭ ❇➭✐ t ó n! ứ ỗ n!Dn n ♣❤ơ ♥÷ t❤❛♠ ❞ù ♠ét ❜✉ỉ✐ t✐Ư❝✳ ❑❤✐ ➤Õ♥ ỗ ề t ột ế ũ ột ❝❤✐Õ❝ ➳♦ ❦❤♦➳❝ ✈➭ ❣ư✐ ë ♣❤ß♥❣ t✐Õ♣ t➞♥✳ ❑❤✐ r ề ỗ ụ ữ ♠ét ❝❤✐Õ❝ ♠ị ✈➭ ♠ét ❝❤✐Õ❝ ➳♦ ❦❤♦➳❝✳ ❚×♠ sè ❝➳❝❤ ❧✃② ♥❤÷♥❣ ❝❤✐Õ❝ ♠ị ✈➭ ♥❤÷♥❣ ❝❤✐Õ❝ ➳♦ ❦❤♦➳❝ ♥➭② ♥Õ✉✿ a) ❑❤➠♥❣ ♥❣➢ê✐ ♣❤ơ ♥÷ ♥➭♦ ♥❤❐♥ ➤ó♥❣ ♠ị ❤♦➷❝ ➳♦ ❝đ❛ ❝➠ ✃②✳ ✺✺ b) ❑❤➠♥❣ ♥❣➢ê✐ ♣❤ơ ♥÷ ♥➭♦ ♥❤❐♥ ➤ó♥❣ ❝➯ ♠ị ✈➭ ➳♦ ❝đ❛ a) ữ ế ị tré♥ t❤❡♦ Dn ①➳♦ tré♥ t❤❡♦ Dn ❝➳❝❤✳ ❱❐② t❛ ó (Dn )2 ữ ế ũ ị ♥❤÷♥❣ ❝❤✐Õ❝ ♠ị ✈➭ ♥❤÷♥❣ ❝❤✐Õ❝ ➳♦ ❦❤♦➳❝ t❤♦➯ ♠➲♥ ②➟✉ ❝➬✉ ❜➭✐ t♦➳♥✳ b) Ai ●ä✐ ❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ❝ñ❛ t❐♣ ❳ t✃t ❝➯ ❝➳❝ sù ♣❤➞♥ ♣❤è✐✱ tr♦♥❣ ➤ã ♥❣➢ê✐ ♣❤ơ i ♥❤❐♥ ➤ó♥❣ ❝➯ ♠ị ✈➭ ➳♦ ❦❤♦➳❝ ❝ñ❛ ❝➠ ✃②✳ (i = 1, 2, , n) ♥÷ t❤ø n(X) = (n!)2 ; Sr = C(n, r)[(n − r)!]2 , (r = 1, 2, , n) ❱❐② ❦Õt q✉➯ ❝➬♥ t×♠ ❧➭✿ n(X) − S1 + S2 − + (−1)n Sn ❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✾✳✻ ❈ã sè ❝➳❝❤ ♣❤➞♥ ♣❤è✐ ❜ø❝ t❤➢ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ➤Ĩ ❣ư✐ ế ị ỉ ì ứ t ♥➭② s❛♦ ❝❤♦ Ýt ♥❤✃t ♠ét ❜ø❝ t❤➢ ➤Õ♥ ➤ó♥❣ t❛② ♥❣➢ê✐ ♥❤❐♥✳ ●✐➯✐✿ ❉Ơ t❤✃② ❦Õt q✉➯ ❝➬♥ t×♠ ❧➭✿ ❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✾✳✼ 8! − D8 = 40320 − 14833 = 25487 ì số từ t ữ ❤➵♥ X n ♣❤➬♥ tö ✈➭♦ ❝❤Ý♥❤ ♥ã ❝ã s❛♦ ỗ ó t ột ể ố ị n0 tì n0 X ế f (n0 ) = n0 ợ ọ ột ể ố ị ❝ñ❛ ➤➡♥ ➳♥❤ ❢✮ ✳ ❚➢➡♥❣ tù ❜➭✐ tr➟♥ ❦Õt q✉➯ ❝➬♥ t×♠ ❧➭✿ ❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✾✳✽ ❈ã n! − Dn ✳ ➤➠✐ ❣➝♥❣ t❛② tr❰ ❡♠ tr♦♥❣ ♠ét ❤é♣✳ ❈➳❝ ➤➠✐ ❝ã ♠➭✉ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ ●✐➯ sö ❝➳❝ ❝❤✐Õ❝ ❣➝♥❣ t❛② ♣❤➯✐ ➤➢ỵ❝ ♣❤➞♥ ♣❤➳t ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❝❤♦ ❡♠ ✈➭ s❛✉ ➤ã ♥❤÷♥❣ ❝❤✐Õ❝ ❣➝♥❣ t❛② tr➳✐ ❧➵✐ ợ t 6 ó ì ①➳❝ s✉✃t ➤Ó✿ a) ❑❤➠♥❣ ❡♠ ♥➭♦ ♥❤❐♥ ➤➠✐ ❣➝♥❣ t❛② ♣❤ï ❤ỵ♣✳ b ❚✃t ❝➯ ❡♠ ➤Ị✉ ♥❤❐♥ ➤➠✐ ❣➝♥❣ t❛② ♣❤ï ❤ỵ♣✳ c) ❈❤Ø ❝ã ♠ét ❡♠ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ➤➠✐ ♥❣➝♥❣ t❛② ♣❤ï ❤ỵ♣✳ d) Ýt ♥❤✃t ❤❛✐ ❡♠ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ➤➠✐ ❣➝♥❣ t❛② ♣❤ï ❤ỵ♣✳ ●✐➯✐✿ ❙➳✉ ❝❤✐Õ❝ ❣➝♥❣ t❛② ♣❤➯✐ ❝ã ♣❤➳t ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ 6! ❝➳❝❤ ♣❤➞♥ ♣❤➳t✳ ❙❛✉ ➤ã ❝ã ❝❤✐Õ❝ ❣➝♥❣ t❛② tr➳✐✳ ❱❐② ❝ã t✃t ❝➯ ①➯② r❛✳ ✺✻ (6!)2 6! ❝➳❝❤ ♣❤➞♥ ❦❤➯ ♥➝♥❣ ❝ã t❤Ó a) ❈ã 6! ❝➳❝❤ ♣❤➞♥ ♣❤➳t ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❝❤✐Õ❝ ❣➝♥❣ t❛② ♣❤➯✐✳ ø♥❣ ỗ ó ó D6 ố ❝❤✐Õ❝ ❣➝♥❣ t❛② tr➳✐ ➤Ó ❝ã ❦Õt q✉➯ t❤❡♦ ②➟✉ ❝➬✉ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥✳ ❱❐② ①➳❝ s✉✃t ❝➬♥ t×♠ ❧➭✿ b) ứ ỗ t t c) 6!D6 D6 = ✳ (6!)2 6! ❝❤✐Õ❝ ❣➝♥❣ t❛② ♣❤➯✐ t❤× ❝ã ♠ét ❝➳❝❤ ♣❤➞♥ ❝❤✐Õ❝ ❣➝♥❣ t❛② tr➳✐ ó t ó ết q ứ ỗ ♣❤➞♥ ♣❤➳t 6!.1 = (6!)2 6! ❝❤✐Õ❝ ❣➝♥❣ t❛② ♣❤➯✐ t❤× ❝ã 6.(1).D5 ❝➳❝❤ ❣➝♥❣ t❛② tr➳✐ s❛♦ ❝❤♦ ❝ã ➤ó♥❣ ♠ét ♥❣➢ê✐ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ➤➠✐ ❣➝♥❣ t❛② D5 6!.(6).(1).D5 = ✳ ♣❤ï ❤ỵ♣✳ ❱❐② t❛ ❝ã ❦Õt q✉➯✿ (6!)2 5! D6 D5 d) ❙ư ❞ơ♥❣ ❦Õt q✉➯ a) ✈➭ c) t❛ ❝ã ①➳❝ s✉✃t ❝➬♥ t×♠ ❧➭✿ − − ✳ 6! 5! ♣❤➞♥ ♣❤➳t ✷✳✶✵✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ị ✶✵✿ ➜➵✐ ❧➢ỵ♥❣ ❜✃t ❜✐Õ♥ ➜➵✐ ❧➢ỵ♥❣ ❜✃t ❜✐Õ♥ ❧➭ ♠ét tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❦❤➠♥❣ t❤❛② ➤ỉ✐ q✉❛ sù t➳❝ ➤é♥❣ ❜✐Õ♥ ➤ỉ✐ ❝đ❛ ❤Ư t❤è♥❣✳ ◆❤✐Ị✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥❤ê ♣❤➳t ❤✐Ư♥ r❛ ❤♦➷❝ ❝è t×♥❤ t➵♦ r❛ ♥❤÷♥❣ ❜✐Õ♥ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❜✃t ❜✐Õ♥ ❤♦➷❝ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❜✃t ❜✐Õ♥ tõ ➤ã ➤➢❛ t❛ ➤Õ♥ ❦Õt ❧✉❐♥ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✶✵✳✶ ❚r➟♥ ❜➯♥❣ t❛ ✈✐Õt ✷✵ ❞✃✉ ❝é♥❣ ✈➭ ✷✺ ❞✃✉ trõ t➵✐ ❝➳❝ ị trí t ì tự ệ ó ❜✃t ❦× ✈➭ ✈✐Õt ✈➭♦ ➤ã ♠ét ❞✃✉ ❝é♥❣ ♥Õ✉ ①ã❛ ❤❛✐ ❞✃✉ ❣✐è♥❣ ♥❤❛✉ ✈➭ ❞✃✉ trõ ♥Õ✉ ①ã❛ ❤❛✐ ❞✃✉ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉❀ ➤Õ♥ ❦❤✐ tr➟♥ ❜➯♥❣ ❝❤Ø ❝ß♥ ♠ét ❞✃✉ ✳ ❍á✐ ❞✃✉ ➤ã ❧➭ ❞✃✉ ❣×❄ ●✐➯✐✿ t ỗ ộ số ò ỗ trừ số t tự ❤✐Ö♥ ❧➭✿ ①ã❛ ❤❛✐ sè ✈➭ ✈✐Õt ❧➵✐ ♠ét sè ❜➺♥❣ tÝ❝❤ ❝đ❛ ❝❤ó♥❣✳ ❱× t❤Õ tÝ❝❤ ❝đ❛ t✃t ❝➯ ❝➳❝ sè ✈✐Õt tr➟♥ ❜➯♥❣ sÏ ❦❤➠♥❣ ➤æ✐✳ ❇❛♥ ➤➬✉ tÝ❝❤ ♥➭② ❜➺♥❣ ✭✲✶✮✳ ❱❐② sè ❝✉è✐ ❝ï♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ✭✲✶✮✳ ❍❛② ❞✃✉ ❝➬♥ t×♠ ❧➭ ❞✃✉ trõ✳ ❈➳❝❤ ✷✿ ỗ t t số trừ ❦❤➠♥❣ t❤❛② ➤æ✐ ❤♦➷❝ ❧➭ ❣✐➯♠ ➤✐ ❤❛✐✳ ❇❛♥ ➤➬✉ sè ❞✃✉ trõ ❧➭ ❧❰ ♥➟♥ t❛ ❝ã ❞✃✉ ❝➬♥ tì trừ ỗ ộ số ò ỗ trừ số ✶✳ ❚❤❛♦ t➳❝ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ ❧➭ tỉ♥❣ ❤❛✐ sè ❧➭ ✵ ❤♦➷❝ ✷ t❤× ✈✐Õt ❧➵✐ ❜➺♥❣ sè ✵✱ tỉ♥❣ ❤❛✐ sè ❧➭ sè ✶ t❤× ✈✐Õt ❧➵✐ ❜➺♥❣ sè s ỗ t t tự ệ tổ ❝➳❝ sè tr➟♥ ❜➯♥❣ ❤♦➷❝ ❦❤➠♥❣ ➤æ✐ ❤♦➷❝ ❣✐➯♠ ➤✐ ❤❛✐✳ ➜➬✉ t✐➟♥✱ tæ♥❣ ❝➳❝ sè tr➟♥ ❜➯♥❣ ❧➭ sè ❧❰ ♥➟♥ sè ❝✉è✐ ❝ï♥❣ ❧➭ sè ❧❰✳ ❉♦ ➤ã ❞✃✉ ❝➬♥ t×♠ ❧➭ ❞✃✉ trõ✳ ◆❤❐♥ ①Ðt ✷✳✶✵✳✶ P❤➞♥ tÝ❝❤ ❜❛ ❝➳❝❤ ❣✐➯✐✱ t❛ t❤✃②✱ ❝➳❝❤ ✶ ❧ỵ✐ ❞ơ♥❣ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ➤ỉ✐ ❝đ❛ tÝ❝❤ ❝➳❝ sè ✈✐Õt tr➟♥ ❜➯♥❣❀ ❝➳❝❤ ✷ ❧➭ sù ❦❤➠♥❣ ➤ỉ✐ ❝đ❛ sè ❝❤➼♥ ❝➳❝ ❞✃✉ trõ ❀ ❝➳❝❤ ✸ sư ❞ơ♥❣ sù ❦❤➠♥❣ ➤ỉ✐ tÝ♥❤ ❝❤➼♥ ❧❰ ❝đ❛ tỉ♥❣ ❝➳❝ sè✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✶✵✳✷ ❚r➟♥ ❜➯♥❣ t❛ ✈✐Õt ❜❛ sè ♥❣✉②➟♥✳ ❙❛✉ ➤ã ①ã❛ ➤✐ ♠ét sè ✈➭ t❤❛② ✈➭♦ ➤ã tỉ♥❣ ❝đ❛ ❤❛✐ sè ❝ß♥ ❧➵✐ trõ ➤✐ ✶✳ ❚❤❛♦ t➳❝ ♥❤➢ ✈❐② ➤Õ♥ ❦❤✐ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ❜❛ sè ✶✺✱ ✷✵✵✼✱ ✷✵✵✾✳ ❍á✐ ❜❛ sè ➤➬✉ t✐➟♥ ❝ã ♣❤➯✐ ❧➭ ✷✱ ✷✱ ✷❄ ●✐➯✐✿ ●✐➯ sö ❜❛ sè ➤➬✉ t✐➟♥ ❧➭ ✷✱ ỗ t t tr số ❝ã ❤❛✐ sè ❝❤➼♥ ✈➭ ♠ét sè ❧❰✳ ◆❤➢♥❣ ❦Õt q✉➯ ➤➲ ❝❤♦ ➤Ò✉ ❧➭ ❜❛ sè ❧❰ ♥➟♥ ❝➞✉ tr➯ ❧ê✐ ❝➬♥ t×♠ ❧➭ ❜❛ sè ➤➬✉ t✐➟♥ ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ✷✱ ✷✱ ✷✳ ◆❤❐♥ ①Ðt ✷✳✶✵✳✸ ❇➭✐ t♦➳♥ tr➟♥ ➤➢ỵ❝ ❣✐➯✐ ♥❤ê ♣❤➳t ❤✐Ư♥ r❛ tÝ♥❤ ❝❤➼♥ ❧❰ ❝đ❛ ❜❛ sè ❦❤➠♥❣ t❤❛② ➤ỉ✐✱ ♥➟♥ tõ tr➵♥❣ t❤➳✐ ①✉✃t ♣❤➳t ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ tr➵♥❣ t❤➳✐ ❦Õt t❤ó❝✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✶✵✳✹ tr➽♥❣ ✈➭ n2 ❚r➟♥ ❜➯♥❣ ➠ ✈✉➠♥❣ n × n ✭♥ ❝❤➼♥✮ ➠ ✈✉➠♥❣ ❜❛♦ ❣å♠ n2 ➠ ➠ ➤❡♥✳ ❚r♦♥❣ ❝ï♥❣ ♠ét ❤➭♥❣ ❤♦➷❝ ♠ét ❝ét ❜✃t ❦×✱ t❛ t❤❛② t✃t ❝➯ ❝➳❝ ➠ tr➽♥❣ t❤➭♥❤ ➤❡♥✱ ❝➳❝ ➠ ➤❡♥ t❤➭♥❤ tr➽♥❣✳ ❍á✐ ❝ã t❤Ĩ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ❜➢í❝ t❤❛② ➤ỉ✐ ♥❤➢ ✈❐② ➤Ĩ tr➟♥ ❜➯♥❣ ❝❤Ø ❝ß♥ ❧➵✐ ♠ét ➠ ➤❡♥ ❤❛② ❦❤➠♥❣❄ ●✐➯✐✿ ❑❤➠♥❣✳ ◆Õ✉ ❝ã ➤ó♥❣ k ➠ ➤❡♥ tr♦♥❣ ♠ét ❤➭♥❣ ❤♦➷❝ ♠ét ❝ét tr➢í❝ ❦❤✐ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ t❤❛② ➤ỉ✐ t❤×✱ s❛✉ ❦❤✐ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ ♠ét ❧➬♥ t❤❛② ➤ỉ✐✱ sè ➠ ➤❡♥ tr♦♥❣ ❤➭♥❣ ➤ã ❤♦➷❝ tr♦♥❣ ❝ét ➤ã sÏ ❧➭ n − k✳ ❙ù t❤❛② ➤æ✐ sè ➠ ➤❡♥ tr♦♥❣ ❜➯♥❣ ❧➭ (n − k) − k = n − 2k ✳ ➜➞② ♠ét sè ❝❤➼♥✳ ❉♦ ➤ã tÝ♥❤ ❝❤➼♥ ❧❰ ❝đ❛ sè ♥❤÷♥❣ ➠ ➤❡♥ ✈➱♥ ❣✐÷ ♥❣✉②➟♥✳ ▼➷t ❦❤➳❝ ❜➽t ➤➬✉ ❝ã ❝❤➼♥ sè ➠ ➤❡♥ ♥➟♥ ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ ❝❤Ø ❝ß♥ ❧➵✐ ♠ét ➠ ➤❡♥ tr➟♥ ❜➯♥❣ t➵✐ ♠ét ❜➢í❝ ❜✐Õ♥ ➤ỉ✐ ♥➭♦ ➤ã✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✶✵✳✺ ❈ã ❜❛ ➤è♥❣ sá✐ ❝ã sè ❧➢ỵ♥❣ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➭ ✶✾✱ ✽✱ ✾ ✈✐➟♥ sá✐✳ ❚❛ ➤➢ỵ❝ ♣❤Ð♣ ❝❤ä♥ ố sỏ ể ột sỏ ủ ỗ ➤è♥❣ sá✐ ➤➲ ✺✽ ❝❤ä♥ s❛♥❣ ➤è♥❣ t❤ø ❜❛✳ ❙❛✉ ♠ét sè ❧➬♥ ❧➭♠ ♥❤➢ ✈❐② t❤× ❝ã ❦❤➯ ♥➝♥❣ t➵♦ r❛ ❜❛ ➤ã♥❣ sá✐ ➤Ò✉ ❝ã ✶✷ ✈✐➟♥ sá✐ ❤❛② ❦❤➠♥❣❄ ●✐➯✐✿ ❑❤➠♥❣✳ ➜➷t sè ✈✐➟♥ sá✐ tr♦♥❣ ❜❛ ➤è♥❣ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➭ a✱ b ✈➭ c✳ ❚❛ ①Ðt sè ❞➢ ❝ñ❛ ❜❛ sè ♥➭② ❦❤✐ ❝❤✐❛ ❝❤♦ ✸✳ ➜➬✉ t✐➟♥ ♥❤÷♥❣ sè ❞➢ ♥➭② ❧➭ ✶✱ ✷✱ ✵✳ ỗ tự ệ ữ số ✵✱ ✶✱ ✷ ✈í✐ ♥❤÷♥❣ t❤ø tù ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ ❉♦ ➤ã t✃t ❝➯ ❝➳❝ ➤è♥❣ sá✐ ➤Ò✉ ✶✷ ✈✐➟♥ ❧➭ tể ợ ì ó số t ỗ t ủ ♠ét ❝➞✉ ❧➵❝ ❜é ❝ã ♥❤✐Ò✉ ♥❤✃t ❧➭ ❜❛ ➤è✐ t❤ñ tr♦♥❣ ❝➞✉ ❧➵❝ ❜é ✭➤è✐ t❤ñ ë ➤➞② ❧➭ t➢➡♥❣ t➳❝ ❧➱♥ ♥❤❛✉✮✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ ♥❤÷♥❣ t❤➭♥❤ ✈✐➟♥ ❝đ❛ ❝➞✉ ❧➵❝ ❜é ❝ã t❤Ĩ ❝❤✐❛ t❤➭♥❤ ❤❛✐ ♥❤ã♠ s ỗ t tr ỗ ó ó ề ♥❤✃t ♠ét ➤è✐ t❤ñ tr♦♥❣ ♥❤ã♠✳ ●✐➯✐✿ ➜➬✉ t✐➟♥ t❛ ❝❤✐❛ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ♥❤÷♥❣ t❤➭♥❤ ✈✐➟♥ tr♦♥❣ ❝➞✉ ❧➵❝ ❜é t❤➭♥❤ ❤❛✐ ♥❤ã♠✳ ❑Ý ❤✐Ö✉ ❙ ❧➭ sè ❝➳❝ ❝➷♣ ➤è✐ t❤ñ tr♦♥❣ ❝ï♥❣ ♠ét ♥❤ã♠✳ ◆Õ✉ ♠ét t❤➭♥❤ ✈✐➟♥ ❝ã Ýt ♥❤✃t ❤❛✐ ➤è✐ t❤ñ tr♦♥❣ ❝ï♥❣ ♠ét ♥❤ã♠ t❤× t❤➭♥❤ ✈✐➟♥ ♥➭② ❝ã ♥❤✐Ị✉ ♥❤✃t ♠ét ➤è✐ t❤đ tr♦♥❣ ♥❤ã♠ ❦❤➳❝✳ ❚❤➭♥❤ ✈✐➟♥ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❞✐ ❝❤✉②Ĩ♥ s❛♥❣ ♥❤ã♠ ❦❤➳❝✱ t❛ sÏ ❣✐➯♠ ❙ ➤✐ Ýt ♥❤✃t ❧➭ ✶✳ ❱× ❙ ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ ❦❤➠♥❣ ➞♠✱ ♥ã ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ ❣✐➯♠ ♠➲✐ ➤➢ỵ❝✳ ◆❤➢ ✈❐② s❛✉ ♠ét sè ❤÷✉ ❤➵♥ ❧➬♥ ❝❤✉②Ĩ♥ ➤ỉ✐ sÏ t❤á❛ ♠➲♥ ②➟✉ ❝➬✉ ❜➭✐ t♦➳♥✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✶✵✳✼ ❆ ✈➭ ❇ t✐Õ♥ ❤➭♥❤ trß ❝❤➡✐ ✈í✐ ✷✵✵✾ ❤➵t ❣➵♦✳ ▼ét ♥➢í❝ ➤✐ ❧➭ ❧✃② ❦❤á✐ ➤è♥❣ ❤➵t ❣➵♦ ✶✱ ✷ ❤♦➷❝ ✸ ❤➵t✳ ❆ ➤✐ tr➢í❝ ✈➭ t❤❛② ♣❤✐➟♥ ♥❤❛✉✳ ◆❣➢ê✐ ♥➭♦ ❧✃② ➤➢ỵ❝ ❤➵t ❣➵♦ s❛✉ ❝ï♥❣ ❧➭ ♥❣➢ê✐ ❝❤✐Õ♥ t❤➽♥❣✳ ❱❐② ♥❣➢ê✐ ♥➭♦ ❝ã ❝❤✐Õ♥ t❤✉❐t ➤Ó ❧✉➠♥ t❤➽♥❣ ✈➭ ❝❤✐Õ♥ t❤✉❐t ➤ã ♥❤➢ t❤Õ ♥➭♦❄ ●✐➯✐✿ ❆ ❧✉➠♥ t❤➽♥❣ ♥Õ✉ ❆ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ❝❤✐Õ♥ t❤✉❐t s❛✉✿ ❑❤ë✐ ➤➬✉ ❆ ❧✃② ♠ét ❤➵t ❣➵♦✱ ♥➢í❝ t✐Õ♣ t❤❡♦ ❆ sÏ ❧✃② ➤✐ − x ❤➵t✱ ë ➤➞② x ❧➭ sè ❤➵t ❇ ➤➲ ❧✃② ë ♥➢í❝ ➤✐ tr➢í❝ ➤ã✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ s❛✉ ❦❤✐ ❆ ➤✐ ❧➬♥ ➤➬✉ t✐➟♥✱ ❝ß♥ ❧➵✐ ✷✵✵✽ ❤➵t ❣➵♦✳ ❚✐Õ♣ ➤ã✱ t❤❡♦ ❝❤✐Õ♥ t❤✉❐t tr➟♥ t❤× s❛✉ ỗ rồ ế số t ❣➵♦ ❝ß♥ ❧➵✐ tr♦♥❣ ➤è♥❣ ❜➺♥❣ ❜é✐ sè ❝đ❛ ✹✳ ố ù ế ợt tì ò ✹ ❤➵t✳ ❉ï ❇ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ ❝➳❝❤ ♥➭♦ t❤× ❆ ❝ò♥❣ ❧➭ ♥❣➢ê✐ ❝❤✐Õ♥ t❤➽♥❣✳ ✺✾ ❈❤➢➡♥❣ ✸ ▼ét sè t ề ị ợ A = {1, 2, , 100} ➤➢ỵ❝ ❝❤✐❛ t❤➭♥❤ ✼ t❐♣ ❤ỵ♣ t rỗ ột ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ tå♥ t➵✐ Ýt ♥❤✃t ♠ét t❐♣ ❝♦♥ s tr t tì ợ tử tì ợ ♣❤➬♥ tö ❡✱ ❢✱ ❣ s❛♦ ❝❤♦ a+b = c+d e + f = 2g ✳ ❍➢í♥❣ ❣✐➯✐✿ ❙ư ❞ơ♥❣ ý rt t ợ ỗ t ợ ❝ã ✹✵ ♣❤➬♥ tư✳ ❇✐Õt r➺♥❣ ❤❛✐ t❐♣ ❤ỵ♣ ❇➭✐ ✸✳✷ ❜✃t ❦ú ❝ã ➤ó♥❣ ♠ét ♣❤➬♥ tư ❝❤✉♥❣✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ tå♥ t➵✐ Ýt ♥❤✃t ♠ét ♣❤➬♥ tö t❤✉é❝ t✃t ❝➯ ✶✾✼✽ t❐♣ ❤ỵ♣ ➤➲ ❝❤♦✳ ❍➢í♥❣ ❣✐➯✐✿ ❙ư ❞ơ♥❣ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ❉✐r✐❝❤❧❡t✳ ❇➭✐ ✸✳✸ ❈❤♦ ❤❛✐ t❐♣ ❤ỵ♣ rỗ số s ỗ ♣❤➬♥ tư ❝đ❛ ❝➳❝ t❐♣ ❤ỵ♣ ♥➭② ♥❤á ❤➡♥ ♥ ✭♥ ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ❝❤♦ tr➢í❝✱ n ≥ 2)✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ ♥Õ✉ tỉ♥❣ sè ♣❤➬♥ tư ❝đ❛ ❤❛✐ t ợ é tì ó tể ọ tr ỗ t ợ ột tử s tổ sè ❝đ❛ ❝❤ó♥❣ ❜➺♥❣ ♥✳ ❍➢í♥❣ ❣✐➯✐✿ ❙ư ❞ơ♥❣ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ❉✐r✐❝❤❧❡t✳ ❇➭✐ ✸✳✹ ❈❤♦ A = {0, 1, , 8}✱ t×♠ sè ➳♥❤ ①➵ f : A −→ A t❤á❛ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥✿ ✶✱ ◆Õ✉ ✐ ❦❤➳❝ ❥ ✭✐✱❥ t❤✉é❝ ❆✮ t❤× ❢✭✐✮ ❦❤➳❝ ❢✭❥✮✳ ✷✱ ◆Õ✉ i + j = t❤× f (i) + f (j) = 8✳ ❍➢í♥❣ ❣✐➯✐✿ ❙ư ❞ơ♥❣ q✉② t➽❝ ♥❤➞♥✳ ❇➭✐ ✸✳✺ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ tõ t❐♣ ❤ỵ♣ ❣å♠ ✷✺ sè ❞➢➡♥❣ ❧✉➠♥ ❝ã t❤Ĩ ❝❤ä♥ ➤➢ỵ❝ ❤❛✐ sè ♠➭ tỉ♥❣ ✈➭ ❤✐Ư✉ ❝đ❛ ❝❤ó♥❣ ❦❤➠♥❣ trï♥❣ ✈í✐ ✷✸ sè ❝ß♥ ❧➵✐✳ ❍➢í♥❣ ❣✐➯✐✿ ❙ư ❞ơ♥❣ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ❉✐r✐❝❤❧❡t✳ ❇➭✐ ✸✳✻ ❈❤♦ t❐♣ ❤ỵ♣ ❳ ❝ã ❦ ♣❤➬♥ tư ✈➭ t❐♣ ❤ỵ♣ ❨ ❝ã ♠ ♣❤➬♥ tư✳ ❍á✐ ❝ã ❜❛♦ ✻✵ ♥❤✐➟✉ ➳♥❤ ①➵ tõ ❳ ➤Õ♥ ❨✳ ❍➢í♥❣ ❣✐➯✐✿ ❙ư ❞ô♥❣ q✉② t➽❝ ♥❤➞♥✳ ❈❤♦ ❇➭✐ ✸✳✼ S = {1, 2, , 280}✳ ❚×♠ sè tù ♥❤✐➟♥ ♥ ♥❤á ♥❤✃t s❛♦ ❝❤♦ ♠ä✐ t❐♣ ❤ỵ♣ ❝♦♥ ❣å♠ ♥ ♣❤➬♥ tư ❝đ❛ ❙ ➤Ị✉ ❝❤ø❛ ✺ sè ➤➠✐ ♠ét ♥❣✉②➟♥ tè ❝ï♥❣ ♥❤❛✉✳ ❍➢í♥❣ ❣✐➯✐✿ ❙ư ❞ơ♥❣ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ✈Ị sè ♣❤➞♥ tư ❝đ❛ ❤ỵ♣ ❝➳❝ t❐♣ ❤ỵ♣ ✈➭ ♥❣✉②➟♥ ý rt ứ r ỗ n ∈ N∗ t❛ ❝ã ➤➻♥❣ t❤ø❝✿ =n 1≤i1 < ✳ A = {a1 , a2 , , an } ∈ N ∗ ✈➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ♠ s❛♦ ❇✐Õt r➺♥❣ sè ❞➢ tr♦♥❣ ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tư ❝đ❛ ❆ ❝❤♦ ♠ ❧➭ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ➤➠✐ ♠ét✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r ỗ k Z tết s ❝❤♦ sè tå♥ t➵✐ + aj − k i, j ∈ {1, 2, , n} ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ ✭✐✱ ❥ ❦❤➠♥❣ ♥❤✃t m✳ ❍➢í♥❣ ❣✐➯✐✿ ❙ư ❞ơ♥❣ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ❉✐r✐❝❤❧❡t✳ n ∈ N ∗ ✱ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➻♥❣ t❤ø❝✿ n n + n+1 2k = n+1 ✳ C(n, k) k k=1 k=0 ❇➭✐ ✸✳✶✵ ❈❤♦ ❍➢í♥❣ ❣✐➯✐✿ ◗✉② ♥➵♣ ✈➭ ❜✐Õ♥ ➤ỉ✐ tỉ ❤ỵ♣✳ ❇➭✐ ✸✳✶✶ ❈❤♦ k ∈ [−n, n] P (x) ∈ R[x] t❤× ❝ã ❜❐❝ | P (x) |≤ 1✳❈❤ø♥❣ ≤ 2n✳ ết r ỗ số r ọ x ∈ [−n, n] t❤× | P (x) |≤ 22n ❍➢í♥❣ ❣✐➯✐✿ ❉ï♥❣ ➤❛ t❤ø❝ ♥é✐ s✉② ▲❛❣r❛♥❣❡ ✈➭ ❜✐Õ♥ ➤ỉ✐ tỉ ❤ỵ♣✳ ❇➭✐ ✸✳✶✷ ❈❤♦ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ✿ xn + a1 xn−1 + + an ✳ x0 < x1 < < xn ✈➭ ❝❤♦ ➤❛ t❤ø❝ P (x) = P (xj ), j = 0, 1, , n n! ❧✉➠♥ tå♥ t➵✐ Ýt ♥❤✃t ♠ét sè ❝ã ❣✐➳ trÞ t✉②Ưt ➤è✐ ❦❤➠♥❣ ♥❤á ❤➡♥ ✳ 2n ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ tr♦♥❣ ❝➳❝ sè ❍➢í♥❣ ❣✐➯✐ ✿ ●✐è♥❣ ❜➭✐ ✸✳✶✶✳ ✻✶ ❚×♠ t✃t ❝➯ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ❦ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✿ ◆Õ✉ ❇➭✐ ✸✳✶✸ F (x) ∈ Z(x) s❛♦ ❝❤♦ ≤ F (c) ≤ k ✈í✐ ♠ä✐ c ∈ {0, 1, , k + 1} t❤× F (0) = F (1) = = F (k + 1)✳ ❍➢í♥❣ ❣✐➯✐✿ ❙ư ❞ơ♥❣ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ❉✐r✐❝❤❧❡t✳ (1.x + 2.x2 + + n.xn )2 = a0 + a1 x + a2n x2n ✳ ❈❤ø♥❣ n(n + 1)(5n2 + 5n + 2) ♠✐♥❤ r➺♥❣ an+1 + an+2 + + a2n = ✳ 24 ❇➭✐ ✸✳✶✹ ●✐➯ sư ✿ ❍➢í♥❣ ❣✐➯✐ ✿ ❇✐Õ♥ ➤ỉ✐ tỉ ❤ỵ♣✳ ❇➭✐ ✸✳✶✺ (bn ) ❈❤♦ P (x) ∈ Z[x] ①➳❝ ị s d N s ỗ x ∈ N∗ b1 = 1, bk+1 = P (bk ), ∀k ≥ 1✳ ❧✉➠♥ tå♥ t➵✐ Ýt ♥❤✃t ♠ét sè ❤➵♥❣ ❝ñ❛ ❞➲② ♠✐♥❤ r➺♥❣✿ t❛ ❝ã P (x) > x ết r ỗ (bn ) ❤Õt ❝❤♦ ❞✳ ❈❤ø♥❣ P (x) = x + 1, ∀x ∈ N ∗ ✳ ❍➢í♥❣ ❣✐➯✐✿ P❤➯♥ ❝❤ø♥❣ ✈➭ ❞ï♥❣ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ❉✐r✐❝❤❧❡t✳ p1 , p2 , , pn ∈ [0, 1]✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ ❜✃t ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤✿ 1 1 ≤ 8n(1 + + + + ) ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ t❤✉é❝ [0, 1]✳ 2n − i=0 | x − pi | ❇➭✐ ✸✳✶✻ n ❈❤♦ ♥ sè ❍➢í♥❣ ❣✐➯✐✿ ❙ư ❞ơ♥❣ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ❉✐r✐❝❤❧❡t✳ [n/2] ∗ (C(n, k) − C(n, k − 1))2 ✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❇➭✐ ✸✳✶✼ ❈❤♦ n ∈ N ✱ ➤➷t Sn = k=0 r➺♥❣ Sn = C(2n, n)✳ n+1 ❍➢í♥❣ ❣✐➯✐ ✿ ❇✐Õ♥ ➤ỉ✐ tỉ ❤ỵ♣✳ ❇➭✐ ✸✳✶✽ t❤✉é❝ ✈➭♦ ♠➭ ❈❤♦ ❝➳❝ sè t❤ù❝ α1 , α2 , , αn α1 , α2 , , αn ✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ tå♥ t➵✐ sè ❝ ♣❤ô s❛♦ ❝❤♦ ❝ã ✈➠ sè ❜é ❝➳❝ sè | α1 m1 + + αn mn |< c ✳ | m1 | + + | mn |n−1 (m1 , m2 , , mn ) ∈ Z n ❍➢í♥❣ ❣✐➯✐ ✿ ❉ï♥❣ q✉✐ t➽❝ ♥❤➞♥ ✈➭ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ❉✐r✐❝❤❧❡t✳ ❇➭✐ ✸✳✶✾ ❈❤♦ ❝➳❝ t❐♣ ❤ỵ♣ {1, 2, , 14}✳ M = {1, 2, , 27} ✈➭ A = {a1 , , ak } ⊂ ó tí t s ỗ tử ủ ♠ét ♣❤➬♥ tư ❝đ❛ ❆ ❤♦➷❝ ❧➭ tỉ♥❣ ❝đ❛ ❤❛✐ ♣❤➬♥ tư ✭❦❤➠♥❣ ♥❤✃t t❤✐Õt ♣❤➞♥ ❜✐Ưt✮ ❝đ❛ ❆✳ ❚×♠ ❣✐➳ trÞ ♥❤á ♥❤✃t ❝đ❛ ❦✳ ❍➢í♥❣ ❣✐➯✐ ✿ ❉ï♥❣ tỉ ❤ỵ♣ ✈➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♣❤➯♥ ❝❤ø♥❣ ➤Ĩ ❝ã ❦Õt q✉➯ ❣✐➳ trÞ ♥❤á ♥❤✃t ❝đ❛ ❦ ❜➺♥❣ ✽✳ ✻✷ ❇➭✐ ✸✳✷✵ ❈❤♦ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❣å♠ q = 2p ➮♥✿    a11 x1 + + a1q xq =        ap1 x1 + + apq xq = tr♦♥❣ ➤ã aij ∈ {−1, 0, 1}✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ (x1 , , xq ) ❦❤➳❝ (0, 0, , 0), xj ∈ Z ✈➭ | xj |≤ q, ∀j = 1, 2, , q ✳ ❍➢í♥❣ ❣✐➯✐ ✿ ❉ï♥❣ q✉✐ t➽❝ ♥❤➞♥ ✈➭ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ❉✐r✐❝❤❧❡t✳ ❇➭✐ ✸✳✷✶ ❈❤♦ t❐♣ ❤ỵ♣ ▼ ❣å♠ ✷✵✵✷ số ỗ số ỉ ó tố ❦❤➠♥❣ ✈➢ỵt q✉➳ ✷✸✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ tå♥ t➵✐ ✹ sè ♣❤➞♥ ❜✐Ưt tr♦♥❣ ▼ ❝ã tÝ❝❤ ❧➭ ❧ị② t❤õ❛ ❜❐❝ ✹ ❝đ❛ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥✳ ❍➢í♥❣ ❣✐➯✐✿ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ❉✐r✐❝❤❧❡t✳ ❇➭✐ ✸✳✷✷ ❈❤♦ t❐♣ ❤ỵ♣ ❆ ❣å♠ ♥ ♥❣✉②➟♥ tè ♣❤➞♥ ❜✐Öt ✈➭ ▼ ❧➭ t❐♣ ❣å♠ n+1 sè tự ệt s ỗ số tr ➤Ị✉ ❦❤➠♥❣ ❧➭ sè ❝❤Ý♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ✈➭ ❝❤Ø ❝ã ➢í❝ ♥❣✉②➟♥ tè t❤✉é❝ ❆✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ ❝ã t❤Ó ❝❤ä♥ r❛ tr♦♥❣ ▼ ♠ét sè ❝ã tÝ❝❤ ❧➭ ♠ét sè ❝❤Ý♥❤ ♣❤➢➡♥❣✳ ❍➢í♥❣ ❣✐➯✐✿ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ❉✐r✐❝❤❧❡t✳ ❇➭✐ ✸✳✷✸ ❈❤♦ S = {1, 2, 3, , 100} ✈➭ P ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ t❐♣ ❝♦♥ ❝ñ❛ S ♠➭ |T | = 49 ỗ T P t số ♠ét ❝➳❝❤ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥✱ ❝➳❝ sè ❧✃② tõ t❐♣ S ✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ tå♥ t➵✐ t❐♣ ❝♦♥ M ❝ñ❛ S ó số tử ỗ x ∈ M ✱ t❐♣ M \ {x} ❦❤➠♥❣ ➤➢ỵ❝ ➤➳♥❤ sè ❜ë✐ x✳ ❍➢í♥❣ ❣✐➯✐✿ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ❉✐r✐❝❤❧❡t✳ ❇➭✐ ✸✳✷✹ ❚➠ ♠➭✉ ❝➳❝ ➠ ❝ñ❛ ❜➯♥❣ ① ❜ë✐ ❤❛✐ ♠➭✉✿ ➤❡♥✱ tr➽♥❣✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ t tồ t ột ì ữ t ó ❝➳❝ ❝➵♥❤ ♥➺♠ tr➟♥ ➤➢ê♥❣ ❧➢í✐ s❛♦ ❝❤♦ ✹ ➠ ë ✹ ❣ã❝ ❝ï♥❣ ♠➭✉✳ ❍➢í♥❣ ❣✐➯✐✿ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ❉✐r✐❝❤❧❡t✳ ❇➭✐ ✸✳✷✺ ❳Ðt ❜➯♥❣ ➠ ✈✉➠♥❣ ✹ ① ✹✳ ➜✐Ò♥ ỗ ột số s tổ số tr ỗ tổ số tr ỗ ột ỏ ó ✻✸ ➜➳♣ ➳♥✿ ✾✵ ❝➳❝❤✳ ❇➭✐ ✸✳✷✻ ▲➢í✐ ➠ ✈✉➠♥❣ ♥ ① ♥✱ tr♦♥❣ ➤ã ♥ ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣✳ ỗ út t t ột tr ỏ s ỗ ì ị ó ❤❛✐ ➤Ø♥❤ ♠➭✉ ➤á ✈➭ ❤❛✐ ➤Ø♥❤ ♠➭✉ ①❛♥❤✳ ❍á✐ ❝ã ❜❛♦ ♥❤✐➟✉ ❝➳❝❤❄ 2n+2 − ❝➳❝❤✳ ➜➳♣ ➳♥✿ ❇➭✐ ✸✳✷✼ ❈❤♦ ♥ ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣✳ ❑Ý ❤✐Ö✉ Zn = {0, 1, 2, , n − 1}✳ ❳Ðt ❝➳❝ t❐♣✿ An = {(a, b, c) : a, b, c ∈ Zn , a < b < c, a + b + c ≡ 0(modn)} ✱ Bn = {(a, b, c) : a, b, c ∈ Zn , a ≤ b ≤ c, a + b + c ≡ 0(modn)} ❛✮ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ ❜✮ ❚Ý♥❤ |Bn | = |An | + n✳ |An |✳ ❍➢í♥❣ ❣✐➯✐✿ ❜✮ ❉ï♥❣ s♦ s➳♥❤ ➤Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ |An+3 | = |Bn | ❙✉② r❛ |An+3 | = |An | + n ❚õ ➤ã tÝ♥❤ ➤➢ỵ❝ |An |✳ ❇➭✐ ✸✳✷✽ ❈❤♦ t❐♣ X = {1, 2, , 2000} ♠➭ tỉ♥❣ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tư ❝ñ❛ T m ✈➭ ❝ét t❤ø ▲➬♥ t❤ø ♥❤✃t t➠ ❜❛ ➠ ≤ s ≤ 1990✳ ❝ñ❛ X 402 (2 + 22000 ) ❈❤♦ ❜➯♥❣ ➠ ✈✉➠♥❣ ✶✾✾✶ ① ✶✾✾✷✳ ❑Ý ❤✐Ư✉ ➠ ❝đ❛ ❤➭♥❣ t❤ø T ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ ✺✳ ➜➳♣ sè✿ ❙è t❐♣ ❝♦♥ ❝➬♥ t×♠ ❧➭ ❇➭✐ ✸✳✷✾ ❍á✐ ❝ã ❜❛♦ ♥❤✐➟✉ t❐♣ ❝♦♥ n✳ (m, n) ❧➭ ♥➺♠ ë ❣✐❛♦ ❚➠ ♠➭✉ ❝➳❝ ➠ ❝ñ❛ ❜➯♥❣ t❤❡♦ q✉② t➽❝ s❛✉✿ (r, s), (r + 1, s + 1), (r + 2, s + 2) ✈í✐ ≤ r ≤ 1989✱ ❚õ ❧➬♥ t❤ø ỗ t ó ❜➟♥ ❝➵♥❤ ♥❤❛✉ tr♦♥❣ ❝ï♥❣ ♠ét ❤➭♥❣ ❤♦➷❝ tr♦♥❣ ❝ï♥❣ ♠ét ❝ét✳ ❍á✐ t❛ ❝ã t❤Ó t➠ ♠➭✉ ❤Õt t✃t ❝➯ ❝➳❝ ➠ ❝đ❛ ❜➯♥❣ ➤➢ỵ❝ ❦❤➠♥❣❄ ➜➳♣ sè✿ ❑❤➠♥❣ ✭ ❙ư ❞ơ♥❣ ❜✃t ❜✐Õ♥✮ ✳ ❇➭✐ ✸✳✸✵ ❈❤♦ ❣ã❝ ✈✉➠♥❣ ❖①②✳ ❈❤✐❛ ❣ã❝ ➤ã t❤➭♥❤ ❝➳❝ ❤×♥❤ ✈✉➠♥❣ ➤➡♥ ✈Þ ❜ë✐ ✻✹ ❝➳❝ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈í✐ ❖① ✈➭ ❖②✳ ❑Ý ❤✐Ư✉ ➠ ❝đ❛ ❞ß♥❣ t❤ø i ✈➭ ❝ét t❤ø j (i, j) ❧➭ ➠ ♥➺♠ ë ❣✐❛♦ tứ tự ò ột ợ tí từ ❧➟♥ ✈➭ tõ tr➳✐ s❛♥❣ ♣❤➯✐✮✳ ❚❤ù❝ ❤✐Ö♥ t❤✉❐t t♦➳♥ s ỗ r ỏ ó ë ➠ (i, j) ♥➭♦ ➤ã ♠➭ t➵✐ ❝➳❝ ➠ (i + 1, j) ✈➭ (i, j + 1) ➤Ò✉ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❜✐✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ t❤➟♠ ✈➭♦ ❤❛✐ ➠ ♥➭② ỗ ột ỏ s ột số t❤ù❝ ❤✐Ư♥ t❤✉❐t t♦➳♥ t❛ ❝ã t❤Ĩ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ tr➵♥❣ t❤➳✐ ♠➭✿ ❛✮ ❈➳❝ ➠ ✭✶✱✶✮✱✭✶✱✷✮✱✭✷✱✶✮✱✭✷✱✷✮ ➤Ò✉ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❜✐❄ ❜✮ ❈➳❝ ➠ ✭✶✱✶✮✱✭✶✱✷✮✱✭✷✱✶✮✱✭✷✱✷✮✱ ✭✶✱✸✮ ✈➭ ✭✸✱✷✮ ➤Ò✉ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❜✐❄ ➜➳♣ sè✿ ❛✮ ❈ã ❜✮ ❑❤➠♥❣ ✭ ❙ư ❞ơ♥❣ ❜✃t ❜✐Õ♥✮ ✳ ❇➭✐ ✸✳✸✶ ❍❛✐ ♥❣➢ê✐ ❧✉➞♥ ♣❤✐➟♥ ✈✐Õt ❝➳❝ sè ✵ ❤♦➷❝ ✶ ✈➭♦ ❝➳❝ ➠ ❝ñ❛ ❜➯♥❣ ✶✾✾✸ ① ✶✾✾✹✳ ●ä✐ An ✈➭ Bn t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➭ ❣✐➳ trÞ ❧í♥ ♥❤✃t ❝đ❛ tỉ♥❣ ❝➳❝ sè t❤✉é❝ ❝ï♥❣ ♠ét ❤➭♥❣ ✈➭ tæ♥❣ ❝➳❝ sè t❤✉é❝ ❝ï♥❣ ♠ét ❝ét✳ ◆❣➢ê✐ t❤ø ♥❤✃t t❤➽♥❣ ♥Õ✉ An > Bn ✱ ♥❣➢ỵ❝ tì tứ t ỏ ó ế ợ t❤➽♥❣✳ ➜➳♣ sè✿ ◆❣➢ê✐ t❤ø ❤❛✐ ❝ã ❝❤✐Õ♥ ❧➢ỵ❝ t❤➽♥❣✳ ❇➭✐ ✸✳✸✷ ❚r➟♥ ❜➯♥❣ ❝❤♦ tr➢í❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ n0 ≥ 2✳ ❝❤➡✐ s❛✉✿ ◆❣➢ê✐ t❤ø ♥❤✃t ➤➢ỵ❝ ♣❤Ð♣ ✈✐Õt ❧➟♥ ❜➯♥❣ sè n0 ✱ ♥❣➢ê✐ t❤ø ❤❛✐ ➤➢ỵ❝ ♣❤Ð♣ ✈✐Õt sè n2 s❛♦ ❝❤♦ n1 n2 n1 ❍❛✐ ♥❣➢ê✐ ❝❤➡✐ trß s❛♦ ❝❤♦ n0 ≤ n1 ≤ ps ✱ tr♦♥❣ ➤ã ♣ ❝ã ❞➵♥❣ ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè ✈➭ s ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣✳ ❙❛✉ ➤ã t❤❛② ❣✐➳ trÞ ❝đ❛ trÞ ❝đ❛ n2 n0 ❜ë✐ ❣✐➳ ✈➭ t✐Õ♣ tơ❝ ❝❤➡✐✳ ◆❣➢ê✐ t❤ø ♥❤✃t sÏ t❤➽♥❣ ♥Õ✉ ✈✐Õt ➤➢ỵ❝ sè ✷✵✵✶ ✈➭ ♥❣➢ê✐ t❤ø ❤❛✐ sÏ t❤➽♥❣ ♥Õ✉ ✈✐Õt ➤➢ỵ❝ sè ✶✳ ●✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣✱ ❤❛✐ ♥❣➢ê✐ ❝❤➡✐ ➤Ị✉ r✃t t❤➠♥❣ ♠✐♥❤✳ ❍á✐ ❛✐ ❧➭ ♥❣➢ê✐ ❝❤✐Õ♥ t❤➽♥❣✳ ➜➳♣ sè✿ ◆Õ✉ n0 ∈ {2, 3, 4, 5} t❤× ♥❣➢ê✐ t❤ø ❤❛✐ sÏ t❤➽♥❣✳ ◆Õ✉ n0 ∈ {6, 7} t❤× ò trờ ợ ò tì t❤ø ♥❤✃t sÏ t❤➽♥❣✳ ❇➭✐ ✸✳✸✸ ❚r♦♥❣ ♠ét ❝✉é❝ t❤✐ ỗ ợ ề ị tí s✐♥❤ ✈➭♦ ✈ß♥❣ ❝❤✉♥❣ ❦Õt✳ ▼ét ♥❤ã♠ t❤Ý s✐♥❤ ❣ä✐ ❧➭ ❝❤✃♣ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ➤è✐ ✈í✐ ❣✐➳♠ ❦❤➯♦ ❆ ♥Õ✉ tr♦♥❣ ♥❤ã♠ ➤ã ❝ã Ýt ♥❤✃t ♠ét t❤Ý s✐♥❤ ❞♦ ❆ ➤Ị ♥❣❤Þ✳ ❇✐Õt ✻✺ r➺♥❣✱ ✈í✐ ✻ ❣✐➳♠ ❦❤➯♦ ❜✃t ❦× ➤Ị✉ tå♥ t➵✐ ♠ét ♥❤ã♠ ❣å♠ ➤ó♥❣ ✷ t❤Ý s✐♥❤ ❧➭ ♥❤ã♠ ❝❤✃♣ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ➤è✐ ✈í✐ ❝➯ ✻ ❣✐➳♠ ❦❤➯♦ ➤ã✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ tå♥ t➵✐ ♠ét ♥❤ã♠ ❣å♠ ✶✵ t❤Ý s✐♥❤ ❧➭ ♥❤ã♠ ❝❤✃♣ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ➤è✐ ✈í✐ ♠ä✐ t❤➭♥❤ ✈✐➟♥ ❝đ❛ ❜❛♥ ❣✐➳♠ ❦❤➯♦✳ ❍➢í♥❣ ❞➱♥✿ P❤➯♥ ❝❤ø♥❣✳ ❈❤♦ ❇➭✐ ✸✳✸✹ ➜➷t 3k ① k, n ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ✈➭ ♠ét ❜➯♥❣ ➠ n q tr ì ữ t 3k n ét s ỗ q ❝ê sÏ ♥❤➯② ♥❣❛♥❣ ❤♦➷❝ ♥❤➯② ❞ä❝ q✉❛ ♠ét ➠ ❦Ị ♥ã ❝❤ø❛ q✉➞♥ ❝ê ➤Ĩ ➤Õ♥ ➠ t✐Õ♣ t❤❡♦ ♥Õ✉ ➠ ♥➭② ❝ß♥ trè♥❣✳ ❙❛✉ ❦❤✐ ❧➭♠ ♥❤➢ ✈❐② tì ỏ q ị qỏ ó ❦❤✐ ♥➭♦ tr➟♥ ❜➯♥❣ ➠ ✈✉➠♥❣ ➤➲ ❝❤♦ ❝❤Ø ❝ß♥ ❧➵✐ ➤ó♥❣ ♠ét q✉➞♥ ❝ê❄✳ ❍➢í♥❣ ❣✐➯✐✿ ❙ư ❞ơ♥❣ ❜✃t ế r ì trò ị ➤✐Ó♠ t➵♦ t❤➭♥❤ ➤❛ ❣✐➳❝ ❧å✐ A1 A2 A2 000✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ tå♥ t➵✐ ✸ ➤✐Ó♠ tr♦♥❣ sè ➤ã t➵♦ t❤➭♥❤ t❛♠ ❣✐➳❝ ❝ã ❞✐Ư♥ tÝ❝❤ ❦❤➠♥❣ ✈➢ỵt q✉➳ ✳ 31250000 ❍➢í♥❣ ❣✐➯✐✿ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝ù❝ ❤➵♥✳ ❇➭✐ ✸✳✸✻ ❚r➟♥ ♠➷t ♣❤➻♥❣ ❝❤♦ ♠ét sè ➤✐Ó♠ ➤á ✈➭ ♠ét sè ➤✐Ĩ♠ ①❛♥❤✳ ▼ét sè ❝➷♣ ➤✐Ĩ♠ ➤➢ỵ❝ ♥è✐ ột ể ợ ọ ì ị ♥Õ✉ q✉➳ ♥ư❛ sè ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ ①✉✃t ♣❤➳t tõ ➤✐Ĩ♠ ♥➭② ❝ã ➤➬✉ ♠ót ❝ß♥ ❧➵✐ ❧➭ ❦❤➳❝ ♠➭✉ ✈í✐ ó ự ệ tt t s ỗ ọ tr ột ể ì ị ổ ó ứ r s ữ tt ể ì ❞Þ ➤Ị✉ ❜Þ ①ã❛✳ ❍➢í♥❣ ❣✐➯✐✿ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝ù❝ ❤➵♥✳ ❇➭✐ ✸✳✸✼ ❳❡♠ ❦Õt q✉➯ ❤ä❝ t❐♣ ❝đ❛ ♠ét ❧í♣ ❤ä❝✱ ♥❣➢ê✐ t❛ t❤✃② ❤➡♥ ✷✴✸ sè ❤ä❝ s✐♥❤ ➤➵t ➤✐Ĩ♠ ❣✐á✐ ë ♠➠♥ ❚♦➳♥ ❝ị♥❣ ➤å♥❣ t❤ê✐ ➤➵t ➤✐Ĩ♠ ❣✐á✐ ë ♠➠♥ ❱❐t ▲ý❀ ❤➡♥ ✷✴✸ sè ❤ä❝ s✐♥❤ ➤➵t ➤✐Ĩ♠ ❣✐á✐ ë ♠➠♥ ❱❐t ▲ý ❝ị♥❣ ➤å♥❣ t❤ê✐ ➤➵t ➤✐Ĩ♠ ❣✐á✐ ë ♠➠♥ ◆❣÷ ✈➝♥❀ ❤➡♥ ✷✴✸ sè ❤ä❝ s✐♥❤ ➤➵t ➤✐Ĩ♠ ❣✐á✐ ë ♠➠♥ ◆❣÷ ✈➝♥ ❝ị♥❣ ➤å♥❣ t❤ê✐ ➤➵t ➤✐Ĩ♠ ❣✐á✐ ë ♠➠♥ ▲Þ❝❤ sư❀ ❤➡♥ ✷✴✸ sè ❤ä❝ s✐♥❤ ➤➵t ➤✐Ĩ♠ ❣✐á✐ ë ♠➠♥ ▲Þ❝❤ sư ❝ị♥❣ ➤å♥❣ t❤ê✐ ➤➵t ➤✐Ĩ♠ ❣✐á✐ ë ♠➠♥ ❚♦➳♥✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ tå♥ t➵✐ Ýt ♥❤✃t ♠ét ❤ä❝ s✐♥❤ ➤➵t ➤✐Ó♠ ❣✐á✐ ë ❝➯ ❜è♥ ♠➠♥ ♥➟✉ tr➟♥✳ ✻✻ ❍➢í♥❣ ❞➱♥✿ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ❜ï trõ✳ ❇➭✐ ✸✳✸✽ ❈❤♦ tr➢í❝ n ❧➭ sè tù ♥❤✐➟♥ ❧❰ ❧í♥ ❤➡♥ ✶✱ ✈í✐ ỗ ị a = (a1 , a2 , , an ) tr♦♥❣ sè n! ❤♦➳♥ ✈Þ ❝đ❛ 1, 2, , n✱ t❛ ➤➷t n 2i S(a) = i=1 ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ tå♥ t➵✐ ✷ ❤♦➳♥ ✈Þ ❝đ❛ b ✈➭ c✱ b ❦❤➳❝ c s❛♦ ❝❤♦ n! ❧➭ ♠ét ➢í❝ sè S(b) − S(c)✳ ❍➢í♥❣ ❞➱♥✿ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♣❤➯♥ ứ ột ì trò ợ t ì qt tr ỗ ì qt t ột q ỗ é ể ột q ë ♠ét ❤×♥❤ q✉➵t s❛♥❣ ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐ ❤×♥❤ q✉➵t ❜➟♥ ❝➵♥❤✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ ❦❤➠♥❣ t❤Ó ❞å♥ ❝➳❝ q✉➞♥ ❝ê ✈➭♦ ♠ét ❤×♥❤ q✉➵t s❛✉ ✷✵✵✻ ❧➬♥ t❤ù❝ ❤✐Ư♥✳ ❍➢í♥❣ ❞➱♥ ✿ ❳➞② ❞ù♥❣ ❤Ư t❤ø❝ tr✉② ❤å✐✳ ❇➭✐ ✸✳✹✵ ❈❤♦ P1 , P2 , , Pn N, ≤ p ≤ n✳ ❧➭ n ➤✐Ó♠ tr➟♥ ❝ï♥❣ ♠ét ➤➢ê♥❣ trß♥✳ ❈❤♦ ❈ã ❜❛♦ ♥❤✐➟✉ ❝➳❝❤ t➠ ♠➭✉ n ❞✐Ĩ♠ ➤➲ ❝❤♦ ❜➺♥❣ ❝❤♦ ❤❛✐ ➤✐Ĩ♠ ❦Ị ♥❤❛✉ ➤➢ỵ❝ t➠ ❜ë✐ ❤❛✐ ♠➭✉ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ ➜➳♣ sè✿ a1 = p, a2 = p(p − 1), an = (p − 1)an−2 + (p − 2)an−1 ✳ ✻✼ p p∈ ♠➭✉ s❛♦ ❚➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❚✐Õ♥❣ ❱✐Ưt ✶✳ ◆❣✉②Ơ♥ ❍÷✉ ➜✐Ĩ♥ ✭✷✵✵✹✮✱ ●✐➯✐ t♦➳♥ ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤➵✐ ❧➢ỵ♥❣ ❜✃t ❜✐Õ♥✱ ◆①❜ ●✐➳♦ ❞ơ❝✱ ❍➭ ◆é✐✳ ✷✳ ◆❣✉②Ơ♥ ➜ø❝ ◆❣❤Ü❛✱ ◆❣✉②Ô♥ ❚➠ ❚❤➭♥❤ ✭✷✵✵✹✮✱ ❚♦➳♥ rê✐ r➵❝✱ ◆①❜ ➜➵✐ ❤ä❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➭ ◆é✐✱ ❍➭ ◆é✐✳ ✸✳ ◆❣✉②Ô♥ ❱➝♥ ▼❐✉✱ r ũ ũ ì ò ❍ï♥❣ ❚❤➽♥❣ ✭✷✵✵✽✮✱ ❈❤✉②➟♥ ➤Ị ❝❤ä♥ ❧ä❝ tỉ ❤ỵ♣ ✈➭ t♦➳♥ rê✐ r➵❝✱ ◆①❜ ●✐➳♦ ❞ô❝✱ ❍➭ ◆é✐✳ ✹✳ ◆❣➠ ý tết tổ ợ tị ◆①❜ ➜➵✐ ❤ä❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➭ ◆é✐✱ ❍➭ ◆é✐✳ ❚✐Õ♥❣ ❆♥❤ ✺✳ ❱✳❑✳ ❇❛❧❛❦r✐s❤♥❛♥✱ P❤✳❉ ✭✶✾✾✺✮✱ ❚❤❡♦r② ❛♥❞ ♣r♦❜❧❡♠s ♦❢ ❝♦♠❜✐♥❛t♦r✐❝s✱ ▼❝●r❛✇✲❍✐❧❧✱ ■◆❈✱ ❙✐♥❣❛♣♦r❡✳ ✻✳ ❚✐t✉ ❆♥❞r❡❡s❝✉ ❩✉♠✐♥❣ ❋❡♥❣ ✭✷✵✵✹✮✱ ❆ P❛t❤ t♦ ❈♦♠❜✐♥❛t♦r✐❝ts ❢♦r ❯♥❞❡r✲ ❣r❛❞✉❛t❡s ✭ ❈♦✉♥t✐♥❣ ❙tr❛t❡❣✐❡s✮✱ ❇✐r❦❤❛✉s❡r ❇♦st♦♥✱ ❯♥✐t❡❞ st❛t❡s ♦❢ ❆♠❡r✲ ✐❝❛✳ ✻✽ ...ĐạI HọC THáI NGUYÊN Tr-ờng Đại học KHOA học -*** - nguyễn THị NGọC áNH Một số chuyên đề tổ hợp dành cho học sinh có khiếu toán bậc trung học phổ thông Chuyên ngành: Ph-ơng pháp toán. .. Ph-ơng pháp toán sơ cấp MÃ số : 60 46 40 luận văn thạc sỹ TOáN học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: TS Nguyễn Đức Hoàng THáI NGUYÊN - 2009 S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn... ị tổ ợ tổ qt ị tổ qt t❤➢ê♥❣ ➳♣ ❞ô♥❣ ✈➭♦ ❜➭✐ t♦➳♥ s➽♣ ①Õ♣ ❝➳❝ ✈❐t tr♦♥❣ ➤ã ❝ã t❤Ĩ ❝ã sù ❧➷♣ ❧➵✐✳ ❈ß♥ tỉ ❤ỵ♣ tỉ♥❣ q✉➳t ❧➭ ❝➠♥❣ ❝ơ ♠➵♥❤ tr♦♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈Ò sù ♣❤➞♥ ♣❤è✐ ❝➳❝ ✈❐t ✈➭♦ ❝➳❝ ✧❤é♣ ✧ số