ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - BÙI THỊ HẰNG MƠ MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ LÝ THUYẾT SỐ, ĐẠI SỐ, GIẢI TÍCH VÀ PHẦN MỀM GEOGEBRA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - BÙI THỊ HẰNG MƠ MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ LÝ THUYẾT SỐ, ĐẠI SỐ, GIẢI TÍCH VÀ PHẦN MỀM GEOGEBRA Chun ngành: Phƣơng pháp Tốn sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS TẠ DUY PHƢỢNG THÁI NGUYÊN - 2019 ✶ ▼ö❝ ❧ư❝ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ▼❐❚ ❙➮ ▲➏◆❍ ❈❒ ❇❷◆ ❈Õ❆ ●❊❖●❊❇❘❆ ❚❘❖◆● ❚➑◆❍ ❚❖⑩◆ ❙➮ ❍➴❈✱ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❙➮✱ ✣❸■ ❙➮ ❱⑨ ●■❷■ ❚➑❈❍ ✺ ✶✳✶✳ ❈➔✐ ✤➦t ✈➔ sû ❞ö♥❣ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ●❡♦❣❡❜r❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✶✳✶✳ ●✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ♣❤➛♥ ♠➲♠●❡♦❣❡❜r❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✺ ✶✳✶✳✷✳ ❈➔✐ ✤➦t ♣❤➛♥ ♠➲♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻ ✶✳✶✳✸✳ ▼ët sè ❝❤ù❝ ♥➠♥❣ ❝❤➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✶✳✶✳✹✳ ▼ët sè ❤➔♠ t♦→♥ ❤å❝ tr♦♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽ ✶✳✷✳ ▼ët sè ❧➺♥❤ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ sè ❤å❝ ỵ tt số q✉❛♥ ✤➳♥ sè ♥❣✉②➯♥ tè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✷✳✷✳ ❈→❝ ❧➺♥❤ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ ✈➔ sè ❞÷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✶✳✷✳✸✳ ❈→❝ ❧➺♥❤ ✈➲ ✤↕✐ ❧÷đ♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶ ✶✳✷✳✹✳ ❈→❝ ❝➙✉ ❧➺♥❤ ▲æ❣✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷ ✶✳✷✳✺✳ ●❡♦❣❡❜r❛ ✈ỵ✐ ✣↕✐ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ✶✳✷✳✻✳ ●❡♦❣❡❜r❛ ✈ỵ✐ ●✐↔✐ t➼❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ❙Û ❉Ư◆● ●❊❖●❊❇❘❆ ❚❘❖◆● ▼❐❚ ❙➮ ❈❍❯❨➊◆ ✣➋ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❙➮✱ ✣❸■ ❙➮✱ ●■❷■ ❚➑❈❍ ✹✵ ✷✳✶✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ♠ët sè r❛ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ✷✳✶✳✶✳ ❚➻♠ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❞↕♥❣ 1000 01 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ✷✳✶✳✷✳ ❑✐➸♠ tr❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè ▼❡rs❡♥♥❡ ❞↕♥❣ 2p − ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✶ n ✷✳✶✳✸✳ ❑✐➸♠ tr❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❋❡r♠❛t ❞↕♥❣ 22 + ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✺ ✷✳✶✳✹✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ❝→❝ sè ❞↕♥❣ An = p2 p3 pn − r❛ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✼ ✷✳✷✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỗ t số ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✼ ✷✳✹✳ ❚➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✸ ✷✳✹✳✶✳ ❚➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ tr➯♥ ●❡♦❣❡❜r❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✸ ✷✳✹✳✷✳ ❱➲ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❞↕② t➼❝❤ ♣❤➙♥ ①→❝ ✤à♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✶ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✾✾ ✸ ▲❮■ ◆➶■ ✣❺❯ ❉♦ ♥❤ú♥❣ ÷✉ ✤✐➸♠ ✈÷ñt trë✐ ✭♠✐➵♥ ♣❤➼✱ ❝â ❝➔✐ ✤➦t t✐➳♥❣ ❱✐➺t✱ ♣❤õ ❤➛✉ ❤➳t ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ♣❤ê t❤ỉ♥❣ ✈➔ ✤↕✐ ❤å❝✱ ❣✐❛♦ ❞✐➺♥ t❤➙♥ t❤✐➺♥✱✳✳✳✮✱ ❜r❛ ●❡♦❣❡✲ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ ✶✵ ♥➠♠ trð ❧↕✐ ✤➙② ✤➣ ✤÷đ❝ ♣❤ê ❜✐➳♥ t↕✐ ❱✐➺t ◆❛♠✳ ◆❤✐➲✉ ❣✐→♦ ✈✐➯♥ ✤➣ sû ❞ö♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ t❤✐➳t ❦➳ ❜➔✐ ❣✐↔♥❣✱ ✈✐➳t ❝→❝ s→♥❣ ❦✐➳♥ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ✈➔ ❝→❝ ❝❤✉②➯♥ ✤➲✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❝❤÷❛ ❝â ♠ët ❝✉è♥ s→❝❤ ♥➔♦ ✈✐➳t ●❡♦❣❡❜r❛✱ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ tr➯♥ ♠↕♥❣ t❤÷í♥❣ t tr ữợ sỷ r ữ õ ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ ✈✐➳t ✈➔ t➔✐ ❧✐➺✉ ♠❛♥❣ t➼♥❤ ❝❤✉②➯♥ s➙✉✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ t❤✉②➳t ♠✐♥❤ t➼♥❤ ❤✐➺✉ q✉↔ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ✈➲ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❝õ❛ ❙è ❤å❝ ✈➔ ▲➼ t❤✉②➳t sè✱ ✣↕✐ số t ỗ ữỡ ữỡ ✶ t➟♣ ❤đ♣ ♠ët sè ❧➺♥❤ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ❙è ❤å❝ ✈➔ ▲➼ t❤✉②➳t sè✱ ✣↕✐ sè ✈➔ ●✐↔✐ t➼❝❤✱ ♥❤➡♠ t❤✉➟♥ t✐➺♥ ❝❤♦ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ▼➦❝ ❞ị ❝❤÷❛ ❧✐➺t ❦➯ ✤➛② ✤õ ❝→❝ ❧➺♥❤ ✈➔ ❝❤÷❛ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❤➳t ❝→❝ ❦❤↔ ♥➠♥❣ sû ❞ö♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ❙è ❤å❝ ✈➔ ▲➼ t❤✉②➳t sè✱ ✣↕✐ sè ✈➔ ●✐↔✐ t➼❝❤✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❝ơ♥❣ ❤✐ ✈å♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❧➔ t➔✐ ❧✐➺✉ ❝â ➼❝❤ ✈➔ t❤✉➟♥ t✐➺♥ ❝❤♦ ♥❤ú♥❣ ❛✐ ♠ỵ✐ ❜➢t q ợ ữỡ ỗ ố ❈❤✉②➯♥ ✤➲ ✶ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❦❤↔ ♥➠♥❣ sû ❞ö♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛✳ ❝❤➾ ♠ët ❧➺♥❤ ✐❢❛❝t♦r ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➔ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♠ët sè ❣✐↔ t❤✉②➳t ✈➲ sè ♥❣✉②➯♥ tè✳ ❈❤✉②➯♥ ✤➲ ✷ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❦❤↔ ♥➠♥❣ sû ❞ö♥❣ ❝❤➾ ♠ët ❧➺♥❤ ❢❛❝t♦r ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ r❛ t❤ø❛ sè✳ ❈â t❤➸ ❝♦✐ ●❡♦❣❡❜r❛ ♥❤÷ ♠ët ❝ỉ♥❣ ❝ö t❤➼ ♥❣❤✐➺♠ ✤➸ t➻♠ r❛ q✉② ❧✉➟t tr♦♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ♠ët sè r❛ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❤♦➦❝ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ r❛ t❤ø❛ sè✳ ❈❤✉②➯♥ ✤➲ ✸ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❦❤↔ ♥➠♥❣ sû ❞ö♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ❞↕② ✈➔ số ỗ t ởt q trå♥❣ tr♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ♣❤ê t❤ỉ♥❣✳ ❈❤✉②➯♥ ✤➲ ✹ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❦❤↔ ♥➠♥❣ t➼♥❤ ❝→❝ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❦❤â ❝❤➾ ởt P r ỗ tớ ú tỉ✐ ❝ơ♥❣ ♥➯✉ ❦❤↔ ♥➠♥❣ ❦❤❛✐ t❤→❝ ●❡♦❣❡❜r❛ ✈➔ ▼❛♣❧❡ tr♦♥❣ ❞↕② ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ①→❝ ✤à♥❤✳ ❚r♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ tỉ✐ ✤➣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ sü ❣✐ó♣ ✤ï ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ✱ ❝→❝ ❛♥❤ ❝❤à ✈➔ ❣✐❛ ✤➻♥❤✳ ❱ỵ✐ t➜t ❝↔ t➜♠ ❧á♥❣ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤✱ tæ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ P●❙✳ ❚❙✳ ❚↕ ❉✉② Pữủ ữớ t t ú ù ữợ tổ tỹ ự õ ỵ sỷ ❝❤ú❛ ✤➸ tæ✐ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳ ❚æ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝→♠ ì♥ ❝→❝ ❚❤➛②✱ ❈ỉ ❣✐→♦ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ tr✉②➲♥ ✤↕t ❝❤♦ tæ✐ ❦✐➳♥ t❤ù❝ tr♦♥❣ s✉èt ❤❛✐ ♥➠♠ ❤å❝ t➟♣✱ ❧➔ ♥➲♥ t↔♥❣ ❝❤♦ tæ✐ tr♦♥❣ q✉→ tr ự tr qỵ t❤❡♦ tỉ✐ tr♦♥❣ s✉èt ❝✉ë❝ ✤í✐✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ♥❤➜t ✤➳♥ ❣✐❛ ✤➻♥❤ t❤➙♥ ②➯✉ ❝õ❛ tỉ✐✱ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ ✤➣ ❧✉ỉ♥ ð ❜➯♥ tỉ✐✱ õ♥❣ ❤ë ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ ✈➔ ❧➔ ❝❤é ❞ü❛ ✈ú♥❣ ❝❤➢❝ ✤➸ tæ✐ ②➯♥ t➙♠ ❤å❝ t➟♣ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❤å❝ ố ũ tổ ú qỵ ổ ỗ ọ t ❝ỉ♥❣ tr♦♥❣ sü ♥❣❤✐➺♣✦ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝→♠ ì♥✦ ✺ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ▼❐❚ ❙➮ ▲➏◆❍ ❈❒ ❇❷◆ ❈Õ❆ ●❊❖●❊❇❘❆ ❚❘❖◆● ❚➑◆❍ ❚❖⑩◆ ❙➮ ❍➴❈✱ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❙➮✱ ✣❸■ ❙➮ ❱⑨ ●■❷■ ❚➑❈❍ ✶✳✶✳ ❈➔✐ ✤➦t ✈➔ sû ❞ö♥❣ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ●❡♦❣❡❜r❛ ✶✳✶✳✶✳ ●✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ♣❤➛♥ ♠➲♠●❡♦❣❡❜r❛ ●❡♦❣❡❜r❛ ❧➔ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ✤➢❝ ❧ü❝ trđ ❣✐ó♣ ❣✐↔♥❣ ❞↕②✱ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t♦→♥ ❤å❝✳ ●❡♦❣❡❜r❛ ❝â t❤➸ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤÷đ❝ ❤➛✉ ❤➳t ❝→❝ t➼♥❤ t♦→♥ t♦→♥ ❤å❝ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ♣❤ê t❤æ♥❣ ✈➔ ✤↕✐ ❤å❝ ✭sè ❤å❝✱ ✤↕✐ sè✱ ❣✐↔✐ t➼❝❤✱ ❤➻♥❤ ❤å❝✱ t♦→♥ t❤è♥❣ ❦➯✱✳ ✳ ✳✮✱ ❞♦ ✤â r➜t t✐➺♥ ❞ò♥❣ tr♦♥❣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ t➟♣✱ ✤➦❝ ❜✐➺t tr♦♥❣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ t➟♣ t❤❡♦ ❝❤÷ì♥❣ tr s ợ ợ ữợ t tr✐➸♥ ♥➠♥❣ ❧ü❝✱ ❦❤✉②➳♥ ❦❤➼❝❤ ❤å❝ s✐♥❤ tü ❤å❝✱ tü ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ÷✉ ✤✐➸♠ ♥ê✐ trë✐ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ ❧➔ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ♠✐➵♥ ♣❤➼✱ ✈➔ ❝â t❤➸ ❝❤✉②➸♥ ✤ê✐ ♥❣ỉ♥ ♥❣ú✱ t❤➼ ❞ư✱ tø t✐➳♥❣ ❆♥❤ s❛♥❣ t✐➳♥❣ ❱✐➺t ❤♦➦❝ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐✱ ❝➔✐ ✤➦t ✈➔ t❤❛♦ t→❝ ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ t❤✉➟♥ t✐➺♥✳ ❈â t❤➸ ❧➯♥ ♠↕♥❣ t↔✐ ●❡♦❣❡❜r❛✱ t➻♠ ❤✐➸✉ ❝➔✐ ✤➦t ✈➔ sû ❞ö♥❣ q✉❛ ❝→❝ ❜➔✐ ✈✐➳t ✭t✐➳♥❣ ❱✐➺t ❤♦➦❝ t✐➳♥❣ ❆♥❤✮ ❤♦➦❝ q✉❛ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ tr ố r ữủ ợ t❤✐➺✉ ð ❱✐➺t ◆❛♠ ❦❤♦↔♥❣ ✶✵ ♥➠♠ trð ❧↕✐ ✤➙②✱ ữủ tứ ợ ❧ỵ♣ ✶✷ ✈➔ ✣↕✐ ❤å❝✮ sû ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ❜➔✐ ❣✐↔♥❣✱ tr♦♥❣ ✻ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝→❝ s→♥❣ ❦✐➳♥ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ❣✐↔♥❣ ❞↕②✱ ✤↕t ❤✐➺✉ q✉↔ tèt✳ ❈â t❤➸ sû ❞ö♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ ỗ t t t t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝→❝ t❤❛♦ t→❝ t♦→♥ ❤å❝ ♣❤ù❝ t↕♣ ✭♣❤➙♥ t➼❝❤ ♠ët sè r❛ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè✱ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ r❛ t❤ø❛ sè✱ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❜✐➸✉ t❤ù❝✱ t➼♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠✱ t➼❝❤ ♣❤➙♥✱ ❧➟♣ ❜↔♥❣ t❤è♥❣ ❦➯✱✳ ✳ ✳✮ ♠➔ ❦❤ỉ♥❣ ♠➜t ♥❤✐➲✉ t❤í✐ ❣✐❛♥✳ ●❡♦❣❡❜r❛ ❝ơ♥❣ ✤➣ ✤÷đ❝ ✤÷❛ ✈➔♦ ❈❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❚✐♥ ❤å❝ ❚r✉♥❣ ❤å❝ ❈ì sð✳ ợ r õ t ữợ s ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤ä ♥❤÷ t➻♠ ❤✐➸✉ ♠ët sè ❣✐↔ t❤✉②➳t ✈➲ sè ♥❣✉②➯♥ tè✱ ❤♦➦❝ ❝→❝ tr↔✐ ♥❣❤✐➺♠ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ t♦→♥ ❤å❝ ✈➔ t❤ü❝ t➳✳ ❚❤➼ ❞ö✱ ❝â t❤➸ sû ❞ö♥❣ ❣â✐ ❧➺♥❤ t❤è♥❣ ❦➯ ✤➸ ❦❤↔♦ s→t tr➻♥❤ ✤ë ❤å❝ t➟♣ ❝õ❛ ❤å❝ s✐♥❤ ♠ët tr÷í♥❣✱ ✤ë t✉ê✐ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝õ❛ ❞➙♥ sè ♠ët ①➣✱ ✳ ✳ ✳ ✈ỵ✐ ♥❤ú♥❣ ❞ú ❧✐➺✉ t❤ü❝ ✈➔ ❜↔♥❣ ❞ú ❧✐➺✉ ❧ỵ♥✱ ✳ ✳ ✳ ✶✳✶✳✷✳ ❈➔✐ ✤➦t ♣❤➛♥ ♠➲♠ • ❱➔♦ ❤tt♣✿✴✴✇✇✇✳❣❡♦❣❡❜r❛✳♦r❣✴❞♦✇♥❧♦❛❞ ✤➸ t↔✐ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ✈➲ ♠→②✳ ❙❛✉ ❦❤✐ ❝➔✐ ✤➦t✱ ❝❤å♥ ❘✉♥✱ ●❡♦●❡❜r❛ s➩ ❦❤ð✐ ✤ë♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ữ ữợ ã s ổ ♥❣ú ❦❤→❝✱ ✈➼ ❞ö✱ tø t✐➳♥❣ ❆♥❤ s❛♥❣ t✐➳♥❣ ❱✐➺t✿ ♥❤→② ❖♣t✐♦♥s tr➯♥ t❤❛♥❤ ❝ỉ♥❣ ❝ư ✭♠❡♥✉✮✱ ❝❤å♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡✱ ❝❤å♥ ❘✲❩✱ ❝❤å♥ ❱✐❡t♥❛♠❡s❡✴❚✐➳♥❣ ❱✐➺t ✤÷đ❝ ❣✐❛♦ ❞✐➺♥ t✐➳♥❣ ❱✐➺t ♥❤÷ ữợ ởt số ự • ❈❤å♥ ♠ỉ✐ tr÷í♥❣ ❧➔♠ ✈✐➺❝✿ ❑❤✐ ❦❤ð✐ ✤ë♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s➩ ①✉➜t ❤✐➺♥ ❜↔♥❣ ♣❤è✐ ❝↔♥❤ ❞ò♥❣ ✤➸ ❧ü❛ ổ trữớ ỗ số ỗ t ỗ st tố ❦➯✱✳✳✳ ▼ỉ✐ tr÷í♥❣ ❧➔♠ ✈✐➺❝ ✤÷đ❝ ♠➦❝ ✤à♥❤ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ số ỗ t õ t ❝❤♦ ➞♥✴❤✐➺♥ ❜↔♥❣ ♣❤è✐ ❝↔♥❤ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❝❧✐❝❦ ❝❤✉ët ✈➔♦ ❜✐➸✉ t÷đ♥❣ ♠ơ✐ t➯♥ ð ❝↕♥❤ ♣❤↔✐ ❝õ❛ ❝û❛ sê ✤➸ ❝❤å♥ ❧↕✐ ♠ët ♠ỉ✐ tr÷í♥❣ ❧➔♠ ✈✐➺❝ ❦❤→❝✳ ❚r♦♥❣ õ t số ỗ t ữợ ũ ỷ sờ ũ trỹ t t t ữợ ✽ ●❡♦❣❡❜r❛ ❝â t❤➸ ❧➔♠ ✤÷đ❝ ❦❤→ ♥❤✐➲✉ ✈✐➺❝✿ sè ❤å❝✱ ❣✐↔✐ t➼❝❤✱ ❤➻♥❤ ❤å❝✱ t❤è♥❣ ❦➯ ✈➔ ①→❝ s✉➜t✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ÷✉ ✤✐➸♠ ♥ê✐ trë✐ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ ❧➔ ✈❛✐ trá ❝õ❛ ♥â tr♦♥❣ trđ ❣✐ó♣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❤➻♥❤ ❤å❝ ♠ët ❝→❝❤ trü❝ q✉❛♥✱ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✤ë♥❣✱ ❝❤♦ ♣❤➨♣ ✈➩ ❤➻♥❤✱ ✈➩ t❤✐➳t ❞✐➺♥ ✈➔ ①♦❛②✱ t➻♠ q✉ÿ t➼❝❤✱✳✳✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ t➟♣ tr✉♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❧➺♥❤ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ r tr ố ỵ tt số số ●✐↔✐ t➼❝❤✳ ❙û ❞ö♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❤♦➦❝ ①→❝ s✉➜t t❤è♥❣ ❦➯ ❝â t❤➸ ①❡♠ tr♦♥❣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ tr➼❝❤ ❞➝♥ ð ❝✉è✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ✶✳✶✳✹✳ ▼ët sè ❤➔♠ t♦→♥ ❤å❝ tr♦♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ √ ✶✳ sqrt(x) : ❈➠♥ ❜➟❝ ❤❛✐ ❝õ❛ x ✭ x✮ ✷✳ ❛❜s(x) : ❚rà t✉②➺t ✤è✐ ❝õ❛ x ✭|x|✮✳ ✸✳ ❢❧♦♦r(x) : ❍➔♠ s➔♥✱ ❤➔♠ số ợ t ổ ữủt q x ❱➼ ❞ö✿ ❢❧♦♦r(3.14) = 3; √ ❢❧♦♦r(− 2) = −2 ✹✳ ❝❡✐❧(x) : ❍➔♠ tr➛♥ ✭sè ♥❣✉②➯♥ ♥❤ä ♥❤➜t ❧ỵ♥ ❤ì♥ ❤♦➦❝ ❜➡♥❣ x✮✳ √ ❱➼ ❞ư✿ ❝❡✐❧(3.14) = 4; ❝❡✐❧(− 2) = −1 ✺✳ r♦✉♥❞(x) : ▲➔♠ trá♥ ♠ët sè tỵ✐ ♠ët sè ❝❤ú sè ✤➣ ①→❝ ✤à♥❤✳ ❱➼ ❞ö✿ ❛✳ ▲➔♠ trá♥ sè 23, 7825 ✤➳♥ ❤❛✐ ❝❤ú sè t❤➟♣ ♣❤➙♥✿ r♦✉♥❞(23.7855, 2) = 23.79 ❜✳ ▲➔♠ trá♥ sè 21, ✤➳♥ ♠ët ✈à tr➼ t❤➟♣ ♣❤➙♥ ✈➲ ❜➯♥ tr→✐ ❝õ❛ ❞➜✉ t❤➟♣ ♣❤➙♥✿ r♦✉♥❞(21.5, −1) = 20 ✻✳ ❡①♣(x) : ex ✼❛✳ ❧❣(x) : ❧æ❣❛r✐t t❤➟♣ ♣❤➙♥ ✭❧➔ log10 x ✮✳ ✼❜✳ ❧♥(x) : ▲æ❣❛r✐t tü ♥❤✐➯♥ ✭❧➔ ❧ỉ❣❛r✐t ❝ì sè e✮✳ ✽✳ ❍➔♠ sè ❧÷đ♥❣ ❣✐→❝✿ sin(x), cos(x), tan(x), cot(x) ex − e−x ✾✳ s✐♥❤(x) := ex + e−x ✶✵✳ ❝♦s❤(x) := s✐♥❤(x) ✶✶✳ t❛♥❤(x) := ❝♦s❤(x) ✽✺ ●✐↔✐✿ π π (cos3 x − 1) cos2 xdx = I= π cos5 xdx − 0 ✣➦t t = sin x ⇒ dt = cos xdx π ❑❤✐ x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = π π (1 − sin2 x)2 cosxdx cos5 xdx = I1 = cos2 xdx 0 (1 − t2 )2 dt = = (t − t3 + t5 ) π = (1 + cos 2x)dx π = (x + sin 2x) = ❱➟② I = I1 − I2 = 15 π cos2 xdx = I2 = π π π − 15 ❑✐➸♠ tr❛ ❜➡♥❣ ♠→② t➼♥❤ ❈❛s✐♦ ❢①✲ ✺✽✵❱◆❳✿ ❱➼ ❞ö ✷✳✷✹ ✭✣➲ t❤✐ t✉②➸♥ s✐♥❤ ✣↕✐ ❤å❝✱ ❦❤è✐ ❆✱ ♥➠♠ ✷✵✵✽✮ ❚➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ✽✻ π I= tan4 x dx cos 2x ●✐↔✐✿ π π tan x dx = cos 2x I= π tan x dx = cos2 x − sin2 x tan4 x dx cos2 x(1 − tan2 x) dx ✣➦t t = tan x ⇒ dt = cos2 x √ π ✣ê✐ ❝➟♥✿ x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = √ √ 10 t4 3+1 √ √ ❑❤✐ ✤â✿ I = ln − dt = − t2 3−1 √ √ 3+1 10 10 ❱➟② I = ln √ − √ = ln(2 + 3) − √ 2 3−1 9 ❑✐➸♠ tr❛ ❜➡♥❣ ♠→② t➼♥❤ ❈❛s✐♦ ❢①✲ ✺✽✵❱◆❳ ❱➼ ❞ö ✷✳✷✺ ✭✣➲ t❤✐ t✉②➸♥ s✐♥❤ ✣↕✐ ❤å❝✱ ❦❤è✐ ❆✱ ♥➠♠ ✷✵✵✽✮ ❚➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ π I= π sin(x − ) dx sin 2x + 2(1 + sin x + cos x) ✽✼ ●✐↔✐✿ π sin(x − ) dx sin 2x + 2(1 + sin x + cos x) π I= √ π ✣➦t t = sin x + cos x ⇒ dt = (cos x − sin x)dx = − sin(x − )dx √ π ✣ê✐ ❝➟♥✿ x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = ❚❛ ❝â✿ t2 = sin2 x + cos2 x + sin x cos x = + sin 2x ⇒ sin 2x = t2 − ❑❤✐ ✤â✿ √ √ 2 I=− √ t2 dt =− − + 2(1 + t) √ √ 2 × t+1 √ 4−3 = √ √ 1 √ − 2+1 = = dt (t + 1)2 √ 4−3 ❱➟② I = P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t➼❝❤ ♣❤➙♥ tø♥❣ ♣❤➛♥ b ❈ỉ♥❣ t❤ù❝ t➼♥❤✿ b b − udv = uv a a vdu a ❱➼ ❞ö ✷✳✷✻✿ ❚➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ I = (2x − 1)ln(x3 + 1)dx ●✐↔✐✿ I= (2x − 1)ln(x3 + 1)dx 0 ✣➦t u = ln(x3 + 1) dv = (2x − 1)dx ⇒ du = 3x2 dx (x + 1)(x2 − x + 1) v = x2 − x + 1dx ✽✽ ❇➻♥❤ t❤÷í♥❣ t❛ ❧➜② v = x2 − x, ♥❤÷♥❣ ð ✤➙② t❛ ❝❤å♥ C = ♠ư❝ ✤➼❝❤ ❧➔ ❦❤û ❜ỵt ♠➝✉ sè tr♦♥❣ vdu ❑❤✐ ✤â✿ 1 I = (x − x + 1) ln(x + 1) − 3x2 dx x+1 = ln − x−1+ dx x+1 x2 = ln − − x + ln |x + 1| ❱➟② I = = − ln 2 − ln 2 ❑✐➸♠ tr❛ ❜➡♥❣ ♠→② t➼♥❤ ❈❛s✐♦ ❢①✲ ✺✽✵❱◆❳ π ❱➼ ❞ö ✷✳✷✼✿ ❚➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ I = x2 dx (x sin x + cos x)2 ●✐↔✐✿ ✣➸ ❣✐↔♠ ❜➟❝ ♠➝✉ t❤➻ (x sin x +1 cos x) ♣❤↔✐ ♥➡♠ tr♦♥❣ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ dv, ✤➸ t➻♠ ✤÷đ❝ ♥❣✉②➯♥ ❤➔♠ t❤❡♦ ❜✐➳♥ x sin x + cos x t❛ ❝➛♥ ❝â d(x sin x + cos x) = −x cos xdx π π x dx = − (x sin x + cos x)2 I= ✣➦t u = −x cos x x × dx (x sin x + cos x) cos x x cos x −x cos x d(x sin x + cos x) dv = dx = (x sin x + cos x) (x sin x + cos x)2 ⇒ x sin x + cos x du = dx cos2 x v = x sin x + cos x ✽✾ ❑❤✐ ✤â x I=− cos x(x sin x + cos x) ❱➟② I = 4−π 4+π π π dx 2π = − + tan x cos2 x π+4 + 0 π = 4−π 4+π ❑✐➸♠ tr❛ ❜➡♥❣ ♠→② t➼♥❤ ❈❛s✐♦ ❢①✲ ✺✽✵❱◆❳ ❱➼ ❞ö ✷✳✷✽✿ ❚➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ I = [ln(3x4 + x2 ) − ln x]dx ●✐↔✐✿ ❚➼♥❤ I = [ln(3x4 + x2 ) − ln x]dx ❉♦ ln(3x4 + x2 ) − ln x = ln[x2 (3x2 + 1)] − ln x2 = ln ♥➯♥ I = x2 (3x2 + 1) = ln(3x2 + 1) x2 ln(3x2 + 1)dx ✣➦t u = ln(3x2 + 1) du = 6xdx 3x2 + ⇒ v = x dv = dx 1 I = x ln(3x2 + 1) − 6x2 4ln2 + ln dx = − J 3x + 3 J= 6x2 dx = 3x2 + 2− dx 3x2 + ✾✵ 1 = dx ( 3x)2 + √ −2 = 2x − 2K 1 dx ( 3x)2 + 1 √ √ ✣➦t 3x = tan t ⇒ 3dx = (1 + tan2 t)dt ✈ỵ✐ K = √ π + tan2 t π π √ √ dt = ⇒ J = − 3 + tan2 t π √ 12 ln + ln − 12 + π ❱➟② I = ⇒K= √ ❑✐➸♠ tr❛ ❜➡♥❣ ♠→② t➼♥❤ ❈❛s✐♦ ❢①✲ ✺✽✵❱◆❳ π ❱➼ ❞ö ✷✳✷✾✿ ❚➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ I = 2x cos 4xdx π ●✐↔✐✿ I = ✣➦t u = 2x 2x cos 4xdx du = 2x ln 2.dx ⇒ v = sin 4x π dv = cos 4xdx I = 2x sin 4x π π 2 − ln 2x sin 4xdx = − ln 2x sin 4xdx ✾✶ ✣➦t u = 2x du = 2x ln2dx ⇒ −1 v = dv = sin 4xdx cos 4x π π 2 ln2 −1 x ln I=− cos 4x − ln 2x cos 4xdx 4 4 0 π 2 − ln ln2 ln2 π ln2 2 −1 − I ⇒ I + = I= 16 16 16 16 π 2 − ln I= 16 + ln2 π 2 − ln ❱➟② I = 16 + ln2 ❑✐➸♠ tr❛ ❜➡♥❣ ♠→② t➼♥❤ ❈❛s✐♦ ❢①✲ ✺✽✵❱◆❳ ❑➳t ❧✉➟♥✿ ✶✮ P❤➛♥ ♠➲♠ ●❡♦❣❡❜r❛ ❝❤♦ ❦➳t q✉↔ ✤ó♥❣✱ ♥❤÷♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐✳ ✷✮ ▼→② t➼♥❤ ❢①✲✺✽✵❱◆❳ ❝❤➾ ❝❤♦ ❦➳t q✉↔ ❣➛♥ ✤ó♥❣✳ ❈ư t❤➸✿ √ 2−1 ✰ ❚r♦♥❣ ✈➼ ❞ö tr♦♥❣ ♠ö❝ 2.3.1 : I = ≈ 0, 6094757082 π ✰ ❚r♦♥❣ ✈➼ ❞ö tr♦♥❣ ♠ö❝ 2.3.1 : I = − ≈ −5, 898944004 × 10− 15 ✰ ❚r♦♥❣ ✈➼ ❞ö tr♦♥❣ ♠ö❝ 2.3.1 : √ 10 I = ln(2 + 3) − √ ≈ 7, 304978398 × 10− 10 ✷✳✹✳✷✳ ❱➲ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❞↕② t➼❝❤ ♣❤➙♥ ①→❝ ✤à♥❤ ✣➦t ✈➜♥ ✤➲ ●✐↔✐ t➼❝❤ 12✱ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ♥❣✉②➯♥ ❤➔♠ ♥❤í ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥✲▲❡✐❜♥✐③ ✭①❡♠ ●✐↔✐ t➼❝❤ ✶✷✱❬✶❪✱ tr❛♥❣ ✶✵✺✮✳ ▲à❝❤ sû ♣❤➨♣ t➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ✤÷đ❝ ✤÷❛ ✈➔♦ ♠ư❝ ❇↕♥ ❝â ❜✐➳t ✭①❡♠ ❬✶❪✱ tr❛♥❣ ✶✷✷✮✳ ▼ư❝ ❚r♦♥❣ ✾✷ ❇➔✐ ✤å❝ t❤➯♠ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ❚➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ t❤❛♥❣ ❝♦♥❣ ❜➡♥❣ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ✭①❡♠ ❬✶❪✱ tr❛♥❣ ✶✷✷✲✶✷✻✮✳ ❈â t❤➸ ♥â✐ ♣❤➛♥ ❧ỵ♥ ❝→❝ ❣✐→♦ ✈✐➯♥ t♦→♥ ♣❤ê t❤æ♥❣ tr✉♥❣ ❤å❝ trü❝ t✐➳♣ ✤ù♥❣ ợ ữỡ sỷ ổ tự ◆❡✇t♦♥✲▲❡✐❜♥✐③ ❧➔♠ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❧➔ ♣❤ò ❤đ♣ ✈ỵ✐ tr➻♥❤ ✤ë ❤å❝ s✐♥❤ ✈➔ ❞➵ ❞➔♥❣ ❝❤♦ ỵ ữ tố t r➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❞↕② ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t➼❝❤ ♣❤➙♥ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ợ tờ ữ trữợ õ ❦❤➠♥ ❝❤♦ ❝↔ ❤å❝ s✐♥❤ ✈➔ t❤➔②✱ ❝ỉ ❣✐→♦✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ ❝â t❤➸ ♥â✐ ♣❤÷ì♥❣ →♥ sû ❞ư♥❣ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥✲▲❡✐❜♥✐t③ ❧➔♠ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❧➔ ❝â ❝ì sð t❤ü❝ t➳✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ♥➔② ❝ơ♥❣ ❝â✱ t❤❡♦ ❝❤ó♥❣ tỉ✐✱ ➼t ♥❤➜t ❧➔ ❜è♥ ♥❤÷đ❝ ✤✐➸♠✿ ✶✳ ❑❤ỉ♥❣ ♣❤ị ❤đ♣ ✈ỵ✐ ❧à❝❤ sû ❤➻♥❤ t❤➔♥❤ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t➼❝❤ ♣❤➙♥✳ ✷✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✤÷❛ r❛ ❝â t➼♥❤ →♣ ✤➦t✳ ❉♦ ✤â ❦❤ỉ♥❣ ❣✐ó♣ ❤å❝ s✐♥❤ ❝↔♠ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ q✉→ tr➻♥❤ ❤➻♥❤ t❤➔♥❤ ♠ët ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t♦→♥ ❤å❝ ✭t➼❝❤ ♣❤➙♥ ①→❝ ✤à♥❤✮ ✈➔ q✉→ tr➻♥❤ ①➙② ❞ü♥❣ ♠ët ❧➼ t❤✉②➳t✱ ♠ët ❝ỉ♥❣ ❝ư t♦→♥ ❤å❝ ✭♣❤➨♣ t➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥✮ ❧➔ ①✉➜t ♣❤→t tø t❤ü❝ t✐➵♥ ✈➔ ❧↕✐ trð ✈➲ ♣❤ư❝ ✈ư t❤ü❝ t✐➵♥✳ ✸✳ ◆❤✐➲✉ ♥❣✉②➯♥ ❤➔♠ ❦❤ỉ♥❣ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ✤÷đ❝ q✉❛ ❝→❝ ❤➔♠ ❝ì ❜↔♥✱ ✈➻ ✈➟② ❦❤ỉ♥❣ t➼♥❤ ✤÷đ❝ t❤❡♦ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥✲ ▲❡✐❜♥✐t③✳ ❍å❝ s✐♥❤ s➩ ❧ó♥❣ tó♥❣ ❦❤✐ ♣❤↔✐ t➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ♥❤ú♥❣ ❤➔♠ sè ♠➔ ♥❣✉②➯♥ ❤➔♠ ❦❤ỉ♥❣ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ✤÷đ❝ q✉❛ 2π sint dt ❉♦ ✤â ❝→❝❤ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥➔② ❦❤æ♥❣ ✤→♣ t ❝→❝ ❤➔♠ ❝ì ❜↔♥✱ t❤➼ ❞ư✱ t➼♥❤✱ ự ợ t tr tữ t ỳ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐✳ ✹✳ ❈â sü ❦❤æ♥❣ ❧✐➯♥ t❤æ♥❣ ❣✐ú❛ ❝→❝❤ tr➻♥❤ ❜➔② ð ♣❤ê t❤ỉ♥❣ ✈➔ ✤↕✐ ❤å❝✳ ❱ỵ✐ trđ ❣✐ó♣ ❝õ❛ ♣❤➛♥ ♠➲♠ t➼♥❤ t♦→♥ ▼❛♣❧❡✱ ❝â t❤➸ ❧➔♠ s→♥❣ tä ❤ì♥ ÷✉ ✤✐➸♠ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ♥❤ú♥❣ ✤✐➸♠ ②➳✉ ❝õ❛ ❤❛✐ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❞↕② ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t➼❝❤ ♣❤➙♥✿ t❤❡♦ tr✉②➲♥ t❤è♥❣ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ →♥ sû ❞ư♥❣ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥✲▲❡✐♣♥✐t③ ❧➔♠ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❍➻♥❤ t❤➔♥❤ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ▼❛♣❧❡ ✭①❡♠ ❬✷❪✮ ❝â t❤➸ ❤é trñ ✤➢❝ ❧ü❝ tr♦♥❣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ♠ö❝ ❚➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ t❤❛♥❣ ❝♦♥❣✳ ❱➼ ❞ư ✷✳✸✵ ✿ ❚➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❝♦♥❣ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❜ð✐ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ y = x ✱ trư❝ ❤♦➔♥❤ y = ✈➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ x = ❈❤✐❛ ✤♦↕♥ [0; 1] t❤➔♥❤ 10 ♣❤➛♥ ✈➔ t➼♥❤ tê♥❣ ❘✐❡♠❛♥♥ ♥❤í ❝→❝ ❧➺♥❤ s❛✉ ✤➙② ❝õ❛ ▼❛♣❧❡ ✿ ❑❤ð✐ ✤ë♥❣ ✾✸ ▼❛♣❧❡ ✿ ❃ r❡st❛rt❀ ❱➔♦ ❣â✐ ❝ỉ♥❣ ❝ư st✉❞❡♥t✿ ❃ ✇✐t❤ ✭st✉❞❡♥t✮❀ ❱➩ ❝→❝ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ①➜♣ ①➾ ❦❤✐ ❝❤å♥ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝❤✐❛ ❧➔ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❜➯♥ ♣❤↔✐ ✤♦↕♥ ❝❤✐❛ (xi = 0.1; 0.2; ; 1.0) ✿ ❃ r✐❣❤t❜♦①(x2 , x = 1, 10); ❚➼♥❤ tê♥❣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝→❝ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t✿ ❃r✐❣❤ts✉♠(x2 , x = 1, 10); 10 i 10 i=10 100 ❚➼♥❤ ❣✐→ trà ❝õ❛ tê♥❣ tr➯♥✿ ❃ ✈❛❧✉❡✭✪✮❀ 77 200 ❚➼♥❤ ❣✐→ trà sè ❝õ❛ tê♥❣ tr➯♥✿ ❃ ❡✈❛❧❢✭✪✮❀ 0, 3850000000 ❚÷ì♥❣ tü✱ ✈➩ ❝→❝ ❝❤ú ♥❤➟t ①➜♣ ①➾ ❦❤✐ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝❤✐❛ ❧➔ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❜➯♥ tr→✐ ✭❤♦➦❝ ✤✐➸♠ ❣✐ú❛✮✿ ❃ ❧❡❢t❜♦①(x2 , x = 1, 10); ❤♦➦❝ ❃ ♠✐❞❞❧❡❜♦①✭x2 , x = 1, 10); ✾✹ ❚➼♥❤ tê♥❣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝→❝ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t✿ ❃❧❡❢ts✉♠(x2 , x = 1, 10)❀ ❤♦➦❝ ❃♠✐❞❞❧❡s✉♠(x2 , x = 1, 10); 10 ❤♦➦❝ 10 i=0 i=0 i 100 1 i+ 10 20 ❚➼♥❤ ❣✐→ trà ❝õ❛ tê♥❣ tr➯♥✿ 57 133 ❃ ✈❛❧✉❡✭✪✮❀ ❤♦➦❝ 200 400 ●✐→ trà sè ❝õ❛ tê♥❣ tr➯♥✿ ❃ ❡✈❛❧❢✭✪✮❀ 0, 2850000000 ❤♦➦❝ 0, 3325000000 ◆❤÷ ✈➟②✱ ❣â✐ ❝ỉ♥❣ ❝ư st✉❞❡♥t ❝❤♦ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ①➜♣ ①➾ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ t❤❛♥❣ ❝♦♥❣ ❜➡♥❣ tê♥❣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝→❝ ❝❤ú ♥❤➟t ❦❤✐ ❝❤å♥ ✤✐➸♠ ❝❤✐❛ ð ❜➯♥ ♣❤↔✐✱ ❜➯♥ tr→✐ ❤♦➦❝ ✤✐➸♠ ❣✐ú❛ ❝→❝ ✤♦↕♥ ♥❤ä❀ t➼♥❤ tê♥❣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝→❝ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ①➜♣ ①➾✱ t➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥✱ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥✱✳✳✳ ❈â t❤➸ ♥❤➟♥ ①➨t t❤➜② ①➜♣ ①➾ ❜ð✐ ❝→❝ ❝❤ú ♥❤➟t ✈ỵ✐ ✤✐➸♠ ❝❤✐❛ ❧➔ ✤✐➸♠ ❣✐ú❛ ❝❤♦ ❣✐→ trà ❝❤➼♥❤ ①→❝ ♥❤➜t tr♦♥❣ ❜❛ ❝→❝❤ ①➜♣ ①➾ tr➯♥✳ ❱➩ ❝→❝ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ①➜♣ ①➾ ❦❤✐ ❝❤å♥ 100 ❤♦➦❝ 1000 ✤✐➸♠ ❝❤✐❛ ✈➔ ✤✐➸♠ ❝❤✐❛ ❧➔ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❣✐ú❛✿ ❃ ♠✐❞❞❧❡❜♦①✭x2 , x = 1, 100); ❤♦➦❝ ❃ ♠✐❞❞❧❡❜♦①✭x2 , x = 1, 1000); ❚➼♥❤ tê♥❣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝→❝ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t✿ ❃♠✐❞❞❧❡s✉♠✭x2 , x = 1, 100); 99 1 i+ 100 i=0 100 200 ❤♦➦❝ ❃♠✐❞❞❧❡s✉♠✭x2 , x = 1, 1000); 999 1 ❤♦➦❝ i+ 1000 i=0 1000 2000 ✾✺ ●✐→ trà ❝õ❛ tê♥❣ tr➯♥✿ ❃ ✈❛❧✉❡✭✪✮❀ 13333 ❤♦➦❝ 40000 ●✐→ trà sè ❝õ❛ tê♥❣ tr➯♥✿ ❃ ❡✈❛❧❢✭✪✮❀ 1333333 4000000 ❤♦➦❝ 0.3333250000 0.3333332500 ❱➔ ❝✉è✐ ❝ò♥❣✱ t❛ ❝â t❤➸ ❞➵ ❞➔♥❣ t➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❝õ❛ x2 dx ♥❤í ❧➺♥❤ ✐♥t ✭✐♥t❡❣r❛❧✮ ▼❛♣❧❡ ✿ ◆❤÷ ✈➟②✱ ❦❤✐ ❝❤✐❛ ✤♦↕♥ [0; 1] t❤➔♥❤ ❝→❝ ✤♦↕♥ ❝â ✤ë ❞➔✐ ❝➔♥❣ ♥❤ä✱ t❛ ❝➔♥❣ ✤÷đ❝ ❃ ✐♥t(x2 , x = 1); ♥❤✐➲✉ ❝❤ú ♥❤➟t ①➜♣ ①➾ ✈➔ tê♥❣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝→❝ ❝❤ú ♥❤➟t ❝➔♥❣ ①➜♣ ①➾ tèt ❤ì♥ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ t❤❛♥❣ ❝♦♥❣✳ ▼❛♣❧❡ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❦❤→ trü❝ q✉❛♥ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ✭q✉❛ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ tê♥❣ ❘✐❡♠❛♥♥✮✳ ❍♦➔♥ t♦➔♥ ❝â t❤➸ t❤❛② ❤➔♠ sè y = x2 ❜➡♥❣ ❤➔♠ sè y = f (x) ❜➜t ❦➻ ✈➔ ❧➦♣ ❧↕✐ ❝→❝ ❧➺♥❤ tr➯♥ ❝õ❛ ▼❛♣❧❡ ✤➸ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ t➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ①→❝ ✤à♥❤ x f (t)dt x0 ◆❣✉②➯♥ ❤➔♠ ❦❤ỉ♥❣ t➼♥❤ ✤÷đ❝ q✉❛ ❝→❝ ❤➔♠ ❝ì ❜↔♥ ◆❤✐➲✉ ♥❣✉②➯♥ ❤➔♠ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ sè ❦❤ỉ♥❣ t➼♥❤ ✤÷đ❝ q✉❛ ❝→❝ ❤➔♠ ❝ì ❜↔♥✳ õ tỗ t õ ỳ t➼♥❤ ❝❤➜t tèt✳ ❱➝♥ ❝â t❤➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥â ♠ët ❝→❝❤ ❜➻♥❤ t❤÷í♥❣ ♥❤í x ❱➼ ❞ư ✷✳✸✶ ✿ ❍➔♠ Si(x) := x ▼❛♣❧❡✳ sint dt t sint sint dt tỗ t số y = t = ✈➔ y = t t ❚➼❝❤ ♣❤➙♥ Si(x) := x sint dt tỗ t ữ t ❦❤✐ t = ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ t♦➔♥ trö❝ sè✳ ❉♦ ✤â t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❦❤ỉ♥❣ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ✤÷đ❝ q✉❛ ❝→❝ ❤➔♠ ❝ì ❜↔♥✳ ✾✻ x sint dt t ◆❣÷í✐ t❛ ✤➦t ❝❤♦ ♥â ♠ët ❝→✐ t➯♥ ❧➔ Si(x), Si(x) := ❈â t❤➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ Si(x) ❱➼ ❞ö✱ t❛ ❝â t❤➸✿ sin x ✮✿ ❚➼♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ Si(x) ✭t➜t ♥❤✐➯♥ s➩ ✤÷đ❝ x sin x ❃ ❞✐❢❢✭✐♥t✭s✐♥✭t✮✴t, t = x), x); x ❚➼♥❤ ❣✐→ trà ❝õ❛ Si(x) t↕✐ ♠ët sè ✤✐➸♠✿ ❃ ❡✈❛❧❢✭❙✐✭✶✮✮❀ ❃ ❡✈❛❧❢✭❙✐✭P✐✮✮❀ 0.9460830704 1.851937052 ❃ ❡✈❛❧❢✭❙✐✭100000000✮✮❀ 1.570796330 ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❙✐✭①✮ t↕✐ t↕✐ ✈ỉ ❝ị♥❣✿ π ❃ ❧✐♠✐t✭❙✐✭①✮✱①❂✐♥❢✐♥✐t②✮❀ ỗ t Si(x) tr ởt ✤â✿ ❃ ♣❧♦t✭❙✐✭①✮✱ x = −10 10✮❀ ❃ ♣❧♦t✭❙✐✭①✮✱ x = 100 100 st ỗ t t õ t ♥❤➟♥ ❜✐➳t ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ y = Si(x)✳ ❱➼ π ❞ö✱ y = Si(x) ❧➔ ❤➔♠ ❧➫✱ lim Si(x) = ✱✳✳✳❱➔ ❜➙② ❣✐í t❛ ❝â t❤➸ ♥â✐ r➡♥❣ t❛ ❤✐➸✉ x→0 ✈➲ Si(x) ❝❤➥♥❣ ❦➨♠ sin(x) ❜❛♦ ♥❤✐➯✉✦ ❑➳t ❧✉➟♥ ✿ ❚❤ỉ♥❣ q✉❛ ❤❛✐ ✈➼ ❞ư tr➯♥✱ tỉ✐ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❦❤↔ ♥➠♥❣ sû ❞ư♥❣ ▼❛♣❧❡ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ t❤➔♥❤ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ tr♦♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ♥❣✉②➯♥ ❤➔♠ ❦❤æ♥❣ ❝â ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ q✉❛ ❝→❝ ❤➔♠ ❝ì ❜↔♥✳ ❚➜t ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ t❤✐➳t ❦➳ ❜➔✐ ❣✐↔♥❣✱ ❝â t❤➸ ❞➵ ❞➔♥❣ t❤❛② ✤ê✐ ❞ú ❧✐➺✉ ✭t❤❛② ❤➔♠ sè✱ ❧➛♥ ❧÷đt t➠♥❣ sè ✤✐➸♠ ❝❤✐❛✱✳✳✳✮ ✤➸ ✤÷đ❝ sè ❝→❝ ❝❤ú ♥❤➟t ♥❣➔② ❝➔♥❣ t➠♥❣ ❧➯♥✱ ①➜♣ ①➾ ♥❣➔② ❝➔♥❣ ♠à♥ ❞➛♥ ✤➸ ♠✐♥❤ ❤å❛ ①➜♣ ①➾ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ t❤❛♥❣ ❝♦♥❣ ❜ð✐ ❝→❝ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ❝➔♥❣ ✤÷đ❝ rã ♥➨t ❤ì♥✳ ❱➔ s❛✉ ✤â✱ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ✤÷đ❝ ❤➻♥❤ t❤➔♥❤ ♠ët ❝→❝❤ tü ♥❤✐➯♥✳ ❚➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ trð ♥➯♥ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ✭❝❤➾ ❝➛♥ ♠ët ❧➺♥❤ ❃ ✐♥t✭❢✭①✮✱ ✾✼ ①❂❛✳✳❜✮❀✮✳ ▼❛♣❧❡ ❝ơ♥❣ trđ ❣✐ó♣ ♠✐♥❤ ❤å❛ ♥❤✐➲✉ ✈➜♥ ✤➲ ❦❤→❝ ❝õ❛ t➼♥❤ t♦→♥ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ✭❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t➼♥❤ ①➜♣ ①➾ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ✭♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤➻♥❤ t❤❛♥❣✱ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❙✐♠♣s♦♥✱✳✳✮ ✈➔ ✤➸ t➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❝õ❛ ❤➔♠ y = f (x) tr➯♥ ✤♦↕♥ ❬❛❀❜❪✳ P❤➛♥ ✷ ❝õ❛ ❈❤✉②➯♥ ✤➲ ♥➔② ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❞ü❛ tr➯♥ t÷ ❧✐➺✉ ❞♦ P●❙ ❚↕ ❉✉② P❤÷đ♥❣ ❝✉♥❣ ❝➜♣✳ ❈❤ó♥❣ tỉ✐ ❤✐ ✈å♥❣ r➡♥❣ ❝â t❤➸ sû ❞ö♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t➼❝❤ ♣❤➙♥✱ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr➯♥ ▼❛♣❧❡✳ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ t❤➔♥❤ ✾✽ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ▲✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② ❦❤↔ ♥➠♥❣ sû ❞ö♥❣ ♣❤➛♥ ♠➲♠ t♦→♥ ❤å❝ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ ❝→❝ ♣❤➛♥ ❙è ❤å❝ ✈➔ ▲➼ t❤✉②➳t sè✱ ✣↕✐ sè ✈➔ ●✐↔✐ t➼❝❤✳ ◆❤➡♠ ❧➔♠ s→♥❣ tä t➼♥❤ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❝ơ♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② t❤ü❝ ❤➔♥❤ t➼♥❤ t♦→♥ tr➯♥ ❈❆❙■❖ ❢①✲✺✽✵❱◆❳✳ ❈→❝ ❝❤✉②➯♥ ✤➲ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❦❤↔ ♥➠♥❣ ♠↕♥❤ ♠➩ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ ❦❤æ♥❣ ❝❤➾ tr♦♥❣ ❞↕② ✈➔ ❤å❝✱ ♠➔ ❝á♥ ❝↔ tr♦♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ✈➜♥ ✤➲ ❦❤→❝✿ ❍➻♥❤ ❤å❝✱ ❚❤è♥❣ ❦➯✱✳✳✳ ❍✐ ✈å♥❣ ▲✉➟♥ ủ ỵ ổ ú ỵ sû ❞ö♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ❈â t❤➸ sû ❞ö♥❣ ❞↕② ✈➔ ❤å❝✳ ✾✾ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❚✐➳♥❣ ❱✐➺t ❬✶❪ ❇ë ●✐→♦ ❞ö❝ ✈➔ ✣➔♦ t↕♦✱ ●✐↔✐ t➼❝❤ ✶✷✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ●✐→♦ ❞ö❝✱ ✷✵✵✾✳ ❬✷❪ P❤↕♠ ❍✉② ✣✐➸♥✱ ✣✐♥❤ ❚❤➳ Pữủ ữợ tỹ t t tr➯♥ ▼❛♣❧❡ ❱✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ●✐→♦ ❞ö❝✱ ✶✾✾✽✳ ❬✸❪ P❤↕♠ ❍✉② ✣✐➸♥✱ ✣✐♥❤ ❚❤➳ ▲ư❝✱ ❚↕ ❉✉② P❤÷đ♥❣✱ ●✐↔✐ t➼❝❤ t♦→♥ ❤å❝✿ ◆❤ú♥❣ ♥❣✉②➯♥ ❧➼ ❝ì ❜↔♥ ✈➔ t➼♥❤ t♦→♥ t❤ü❝ ❤➔♥❤✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ❣✐❛✱ ỡ ữợ sỷ ♠→② t➼♥❤ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❈❛s✐♦ ❢①✲✺✽✵ ❱◆ ❳✱ ❈æ♥❣ t② ❝ê ♣❤➛♥ ①✉➜t ♥❤➟♣ ❦❤➞✉ ❇➻♥❤ ❚➙②✱ ✷✵✶✽✳ ❬✺❪ ❇ò✐ t ữợ sỷ r t ❆♥❤ ❬✻❪ ❏✉❞✐t❤ ❍♦❤❡♥✇❛rt❡r ❛♥❞ ▼❛r❦✉s ❍♦❤❡♥✇❛rt❡r✱ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ●❡♦❣❡❜r❛✱ ✇✇✇✳❣❡♦❣❡❜r❛✳♦r❣✳ ❬✼❪ ●❡♦●❡❜r❛ ▼❛♥✉❛❧✳ ❚❤❡ ♦❢❢✐❝✐❛❧ ♠❛♥✉❛❧ ♦❢ ●❡♦●❡❜r❛✱ ❤tt♣s✿✴✴r❡s❡❛r❝❤✳s❤✉✳❛❝✳✉❦✴❣❡♦❣❡❜r❛ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ●❡♦●❡❜r❛ ✐♥t♦ ❚❡❛❝❤✐♥❣ ❙♦♠❡ ❚♦♣✐❝s ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛t t❤❡ ❈♦❧❧❡❣❡ ▲❡✈❡❧✱ ❬✽❪ ▲❥✉❜✐❝❛ ❉✐❦♦✈✐✁❝✱ ❯❉❈ ✵✵✹✳✼✸✽✱ ❉❖■✿ ✶✵✳✷✷✾✽✴❝s✐s✵✾✵✷✶✾✶❉✳ ❬✾❪ P❡t❡r ❏♦❤♥st♦♥ ❲✐❧❞❡r✱ ❆❧✐s♦♥ P❛r✐s❤✱ ●❡tt✐♥❣ ❙t❛rt❡❞ ✇✐t❤ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ●❡♦♠❡tr② ❙♦❢t✇❛r❡ ●❡♦●❡❜r❛✱ ❆♠❛③♦♥✱ ✷✵✵✼✳ ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - BÙI THỊ HẰNG MƠ MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ LÝ THUYẾT SỐ, ĐẠI SỐ, GIẢI TÍCH VÀ PHẦN MỀM GEOGEBRA Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: ... sè❃✱❁❇✐➳♥❃✮ ❚➼❝❤P❤➙♥✭❁❍➔♠ sè❃✱❁❈➟♥ ữợ tr P số ữợ tr Pỳố số số ữợ tr Pỳố số số ữợ tr P số ữợ tr P số số tr tr ❝✉è✐❃✮ ❱➼ ❞ö ✶✳✺✽ ✭❚✉②➸♥ s✐♥❤ ✤↕✐ ❤å❝ ♥➠♠ ✷✵✵✾✱ ố ỷ P số ữợ tr t t➼❝❤ ♣❤➙♥ π (cos3 x −... ❯♦❝❙♦✭❁❙è❃✮ t➻♠ số ữợ số số 1000000001 s ÷ỵ❝ sè ❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿ ❉❛♥❤❙❛❝❤❯♦❝❙♦✭ ❁❙è❃✮ ▲➺♥❤ ❉❛♥❤❙❛❝❤❯♦❝❙♦✭❁❙è❃✮✿ ❈❤♦ s t tt ữợ số ❝õ❛ sè ✤➣ ❝❤♦✳ ❱➼ ❞ö ✶✳✶✷✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ố t ữợ số số 1000000001✳