Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HẢI HÀ BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Năng Tâm Thái Nguyên - Năm 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS TS Nguyễn Năng Tâm Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Năng Tâm, người tận tình hướng dẫn phương hướng, nội dung phương pháp nghiên cứu suốt q trình nghiên cứu, thực hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám Hiệu Trường Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên, phòng sau Đại Học tạo điều kiện thuận lợi mặt cho tác giả trình tác giả học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng 10 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Hải Hà CÁC KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG Rn không gian Euclid n-chiều x, y tích vơ hướng x , y chuẩn Euclid Rn intS miền tập hợp S Rn+ nón orthan dương Rn f :X→Y Ánh xạ từ X vào Y IM in(A) Tập hữu hiệu lý tưởng A M in(A) Tập hữu hiệu A W M in(A) Tập hữu hiệu yếu A (M OLP ) Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính IS(X, f ) Tập cực tiểu lý tưởng (MOLP) S(X, f ) Tập cực tiểu (MOLP) W S(X, f ) Tập cực tiểu yếu (MOLP) Mục lục Mở đầu 1 Những kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi tính chất 1.2 Tập affine 1.3 Tập lồi đa diện 1.4 Điểm điểm tương đối 1.5 Hàm lồi 10 1.6 Tính chất cực trị 11 1.7 Quan hệ thứ tự phần điểm hữu hiệu 11 Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính 16 2.1 Khái niệm 16 2.2 Phát biểu toán 19 2.3 Một số khái niệm nghiệm 20 2.4 Sự tồn nghiệm 22 2.5 Vơ hướng hóa 23 2.6 Tính chất tập nghiệm 28 Kết luận 33 Mở đầu Lý chọn đề tài Tối ưu đa mục tiêu tuyến tính [2], [4], [5] có nhiều ứng dụng lý thuyết toán thực tế Lý thuyết tối ưu đa mục tiêu tuyến tính nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu [4] tài liệu trích dẫn Sau thời gian học Cao học, với mong muốn tìm hiểu sâu tốn ứng dụng, tơi chọn đề tài: "Bài tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính" để nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu nhằm nắm định nghĩa, định lí, tính chất "Bài tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính" ứng dụng toán liên quan đến vấn đề thực tiễn Qua đó, giúp củng cố kiến thức học như: giải tích lồi khơng gian Rn , khơng gian affine, giải tích hàm, Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống hoá các kiến thức sở liên quan đến toán Hệ thống hóa nội dung tốn "Bài tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính” Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức giải tích Rn Đóng góp luận văn Đã trình bày cách tương đối có hệ thống nội dung Bài tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận văn có chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức giải tích lồi, quan hệ thứ tự phần số khái niệm điểm hữu hiệu để sử dụng phần sau Chương 2: Trình bày số nội dung Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính bao gồm có tồn nghiệm, tính chất tập nghiệm vơ hướng hóa Chương Những kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số khái niệm kết sử dụng phần sau Nội dung chương lấy từ [1],[2],[3] [4] 1.1 Tập lồi tính chất Định nghĩa 1.1 Một tập M khơng gian Rn gọi tập lồi ∀a, b ∈ M, ∀λ ∈ [0; 1] thì: x = λa + (1 − λ) b ∈ M Nói cách khác, M tập lồi chứa đoạn thẳng nối hai điểm n n Nếu x ∈ R , x = i λi x , λi i=1 n n 0, λi = x gọi tổ hợp lồi i=1 x1 , x2 , , xn ∈ R Mệnh đề 1.1 Tập M ⊂ Rn lồi chứa tất tổ hợp lồi phần tử thuộc M Định lý 1.1 Nếu M , N hai tập lồi Rn tập sau lồi: (i) M ∩ N; (ii) λM + βN := {x = λa + βb : a ∈ M, b ∈ N ; λ, β ∈ R} Dễ thấy, giao họ tập lồi tập lồi Định nghĩa 1.2 Cho S ⊂ Rn Giao tất tập lồi Rn chứa S tập lồi gọi bao lồi S ký hiệu: convS Rõ ràng, convS tập lồi nhỏ chứa S Định lý 1.2 Bao lồi tập S ⊂ Rn chứa tất tổ hợp lồi phần tử 1.2 Tập affine Định nghĩa 1.3 Tập M ⊂ Rn gọi tập affine ∀x, y ∈ M, t ∈ R ta có: tx + (1 − t)y ∈ M Dễ thấy tập affine tập lồi Định nghĩa 1.4 Đường thẳng qua điểm a, b ∈ Rn tập hợp tất điểm x Rn có dạng: x = λa + (1 − λ) b, ∀λ ∈ R Đoạn thẳng qua điểm a, b ∈ Rn ký hiệu [a, b], tập: {x ∈ Rn : x = λa + (1 − λ) b, λ 1} Định lý 1.3 Nếu M tập affine khác rỗng Rn tồn không gian véc tơ W Rn cho M = a + W , a ∈ M Định nghĩa 1.5 Nếu M tập affine khác rỗng Rn W không gian Rn cho M = a + W , a ∈ M W gọi không gian song song với M , số chiều W gọi số chiều tập affine M Định nghĩa 1.6 Cho tập S Rn Giao tất tập affine Rn chứa S tập affine Ta gọi giao bao affine S, ký hiệu aff S Dễ thấy aff S tập affine nhỏ chứa S Định nghĩa 1.7 Cho a ∈ Rn , a = α ∈ R Ta gọi tập: H = {x ∈ Rn : a, x = α} siêu phẳng (xác định a α) Siêu phẳng tập affine có số chiều (n − 1) chứng minh tập affine có số chiều (n − 1) siêu phẳng xác định a α Ví dụ 1.1 Trong R2 , đường thẳng siêu phẳng Trong R3 , mặt phẳng siêu phẳng Định nghĩa 1.8 Cho a ∈ Rn \ {0}, α ∈ R Tập hợp x = {(x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn | a, x α} gọi nửa khơng gian đóng Tập hợp x = {(x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn | a, x < α} gọi nửa không gian mở 1.3 Tập lồi đa diện Định nghĩa 1.9 Tập lồi đa diện giao số hữu hạn nửa không gian đóng Nói cách khác, tập lồi đa diện tập nghiệm hệ bất đẳng thức tuyến tính có dạng: , x bi , i = 1, 2, , n, ∈ Rn , bi ∈ R Một tập lồi đa diện bị chặn gọi đa diện lồi Một tập lồi đa diện bao lồi số hữu hạn điểm số hữu hạn đoạn thẳng Một đa diện lồi bao lồi số hữu hạn điểm Cho tập lồi đa diện M , tập F ⊂ M gọi diện nếu: x ∈ F, a, b ∈ M, < λ < 1, x = λa + (1 − λ) b ∈ F ⇒ a, b ∈ F 20 Ánh xạ f : Rn → Rm ánh xạ tuyến tính, Rm trang bị m thứ tự nón Rm + , nghĩa với x, y ∈ R , x y y − x ∈ Rm + Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính ứng với X f tìm x ∈ X, gọi nghiệm tối ưu (nghiệm hữu hiệu lí tưởng, nghiệm cực tiểu lí tưởng) cho: f (x) viết    f (y), ∀y ∈ X f (x);   với điều kiện x ∈ X (M OLP ) Hàm f gọi hàm mục tiêu, tập đa diện X gọi tập ràng buộc Tập tất nghiệm tối ưu (MOLP) kí hiệu IS(X, f ) Nếu x ∈ IS(X, f ) f (x) gọi giá trị cực tiểu lí tưởng tốn 2.3 Một số khái niệm nghiệm Nhận xét rằng, f (X) ⊂ Rm nên nhiều trường hợp hai phần tử f (x), f (y) khơng so sánh với theo quan hệ Do đó, nghiệm cực tiểu lí tưởng thường khơng tồn Do người ta đưa khái niệm nghiệm hữu hiệu nghiệm hữu hiệu yếu cho toán sau: Định nghĩa 2.2 Một điểm x0 ∈ X gọi nghiệm hữu hiệu (cực tiểu Pareto) tốn (MOLP), khơng tồn x ∈ X cho f (x) f (x0 ) , f (x) = f (x0 ) 21 Định nghĩa 2.3 Một điểm x ∈ X gọi nghiệm hữu hiệu yếu tốn (MOLP), khơng tồn x ∈ X cho f (x) f (x) Tập nghiệm hữu hiệu tập nghiệm hữu hiệu yếu tốn (MOLP) kí hiệu S(X, f ) W S(X, f ) Khi m = 1, tốn ( MOLP) tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Trong trường hợp khái niệm nghiệm vừa định nghĩa trùng Mệnh đề 2.1 Đối với tốn (MOLP), ta ln có: S(X, f ) ⊂ W S(X, f ) Ngoài ra, IS(X, f ) = ∅ IS(X, f ) = S(X, f ) Chứng minh: Suy trực tiếp từ định lý 1.10 Ví dụ 2.1 Xét f : R2 → R cho bởi: f (x1 , x2 ) = (5x1 + x2 , x1 + 2x2 ), đa diện X tập nghiệm hệ sau:     3x1 + x2 ≥        x1 + x2 ≥    x1 + 3x2 ≥        x ≥ 22 Dễ dàng kiểm tra IS(X, f ) = ∅, S(X, f ) = W S(X, f ) S(X, f ) = {t(0, 6)+(1−t)(1, 3) | t ∈ [0, 1]}∪{s(1, 3)+(1−s)(3, 1) | s ∈ [0, 1]} 2.4 Sự tồn nghiệm Định lý 2.1 Cho tốn (MOLP) Khi đó, X đa diện lồi S(X, f ) khác rỗng Chứng minh: Vì X đa diện nên f (X) đa diện f (X) compact Điều phải chứng minh suy từ Định lý 1.11 Định lý 2.2 Cho toán (MOLP) Khi đó, S(X, f ) khác rỗng khi: Rec(f (X)) ∩ −Rm + = {0} Chứng minh: Vì f ánh xạ tuyến tính nên f (X) tập đa diện Giả sử f (X) có biểu diễn dạng f (X) = A + C, A đa diện lồi C = Rec(f (X)) m nón đa diện Nếu C ∩ −Rm + = {0} tồn v ∈ C ∩ −R+ \ {0} cho f (x) + v ∈ f (X) với f (x) ∈ f (X) f (x) − (f (x) + v) = −v ∈ Rm + \ {0}, suy S(X, f ) tập rỗng Đảo lại, giải sử Rec(f (X)) ∩ −Rm + = {0} Vì dimf (X) hữu hạn, kết suy từ Định lý 1.12 23 Định lý 2.3 Cho tốn (MOLP) Khi đó, W S(X, f ) khác rỗng Rec(f (X)) ∩ −intRm + = ∅ Chứng minh: Giả sử W S(X, f ) khác rỗng, tồn véc tơ v cho: v ∈ Rec(f (X)) ∩ −intRm + Với f (x) ∈ f (X), dễ thấy v ∈ Rec(f (X) − f (x)) Theo Mệnh đề 1.2 chương v ∈ −intRm + ta chọn lân cận mở U ∈ Rm tập mở V ⊂ Rm cho ∈ / V, cone(v + U ) ∩ (f (X) − f (x)) ∩ V = ∅; cone(v + U ) \ {0} ⊂ −intRm + Vì ∈ / V , quan hệ ra: (f (X) − f (x)) ∩ −intRm + = ∅ Nói cách khác, tồn f (y) ∈ f (X) cho f (x) − f (y) ∈ intRm + , nghĩa x nghiệm hữu hiệu yếu (MOLP) 2.5 Vơ hướng hóa Xét tốn (MOLP):    f (x);   với điều kiện x ∈ X (M OLP ) 24 toán tối ưu vô hướng (SP):    s(x);   với điều kiện x ∈ X (SP ) s : X → R Định nghĩa 2.4 Ta nói i) (SP) biểu diễn vơ hướng (MOLP) với x, y ∈ X: f (y) f (x) suy s(y) s(x) f (y) < f (x) suy s(y) < s(x); ii) (SP) biểu diễn vô hướng chặt (MOLP) với x, y ∈ X: f (y) f (y) f (x) suy s(y) s(x) f (x) suy s(y) < s(x); iii) (SP) biểu diễn vô hướng yếu (MOLP) với x, y ∈ X: f (y) f (x) suy s(y) < s(x); Dễ thấy i) ⇒ ii) ⇒ iii) Định nghĩa 2.5 Nếu biểu diễn vơ hướng (SP) (MOLP) tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính ta gọi (SP) biểu diễn tuyến tính (MOLP) 25 Bổ đề 2.1 Cho A tập đa diện Rm cho A ∩ (Rm + \ {0}) = ∅ ∗ Khi đó, tồn ξ ∈ C ∗ với C ∗ = (Rm + ) cho ξ với a ∈ A Chứng minh: Không giảm tổng qt, ta giả sử A nón Kí hiệu B đáy lồi, compact A Vì A ∩ B rỗng, theo định lý tách tập lồi, tồn véc tơ ξ ∈ Rm cho: ξ, a < ξ, b với a ∈ A, b ∈ B ∗ Điều ξ ∈ int(Rm +) Định lý 2.4 Bài toán (MOLP) Khi đó, x ∈ S(X, f ) (tương ứng, x ∈ W S(X, f )) x nghiệm tối ưu biểu diễn tuyến tính (tương ứng, biểu diễn tuyến tính yếu) (SP) (MOLP) với hàm mục tiêu có dạng s = ξ ◦ f với ξ ∈ C ∗ (tương ứng, ξ ∈ C ∗ \ {0}), C ∗ = {ξ ∈ Rm | ξ, x ≥ ∀x ∈ Rm + } Chứng minh: Trước hết, lưu ý với ξ ∈ C ∗ , toán (SP) với s = ξ ◦ f ln tuyến tính Hơn thế, ξ ∈ intC ∗ phiếm hàm tăng Thật m vậy, với a, b ∈ R+ ta có: a − b ∈ Rm + suy ξ, (a − b) 0, a − b ∈ Rm + \ {0} suy ξ, (a − b) > 0, 26 trái lại, ξ, (a − b) = với ξ ∈ C ∗ suy hai véc tơ (a − b) (b − a) thuộc (C ∗ )∗ = Rm + , nghĩa a − b = 0, mâu thuẫn Như vậy, s = ξ ◦ f cho ta biểu diễn tuyến tính (MOLP) Vì vậy, x lời giải tối ưu (SP) thì, theo mệnh đề 2.2 [4], lời giải tối ưu (MOLP) Ngược lại, giả sử x ∈ S(X; f ) Khi đó, hai tập đa diện f (X) f (x) − ∗ Rm + \{0} khơng có điểm chung Theo bổ đề trên, tồn véc tơ ξ ∈ intC tách tập Nói riêng ra: ξ, f (x) ξ, f (y) ∀y ∈ X, nghĩa x ∈ S(X, ξ ◦ f ) Định lý 2.5 Tồn hữu hạn véc tơ ξ1 , , ξn (C ∗ ) = Rn+ (tương ứng, intRn+ ) cho tập W S(X, f ) (tương ứng, S(X, f )) hợp: {S(X, ξi ◦ f ) | i = 1, k.} Chứng minh Vì X tập đa diện, f ánh xạ tuyến tính, ta có f (X) tập đa diện Do phân hoạch f (X) thành hữu hạn diện mở tương đối rời nhau: f (X) = {Xi | i = 1, , m} Vì Xi mở tương đối nên, ánh xạ tuyến tính f đạt cực tiểu điểm Xi điểm Xi điểm cực tiểu f Kí hiệu X1 , , Xk diện phân hoạch xét có tính chất: Hợp chúng chứa W M in(f (X)) khơng có diện chúng không 27 cần đến Theo định lý 2.9 chương [4] với xi ∈ W S(X, f ) cố định mà f (xi ) ∈ Xi , tồn ξi ∈ Rn+ cho: f (xi ) ∈ S(f (X), ξi ) Dựa vào điều ta có: Xi ⊂ S(f (X), ξi ) Từ suy W M in(f (X)) chứa hợp Xi , i = 1, 2, , k có: W S(X, f ) = ∪{S(X, ξ ◦ f ) | i = 1, 2, , k} Với tập S(X, f) chứng minh tương tự Định lý 2.6 Xét tốn (MOLP) Khi tồn hàm tăng chặt g : Rm → R cho: W S(X, f ) = S(X, g ◦ f ) Chứng minh Nếu tập nghiệm yếu W S(X, f ) rỗng hàm liên tục tăng chặt thỏa mãn Do giả sử W S(X, f ) khác rỗng Đặt: A = W M in(f (X)) − Rm + lấy e véc tơ intRm + Ta xây dựng hàm g sau: g(a) = inf{t | a ∈ te + A}, với a ∈ Rm Dựa vào định lý 1.6 ([4], p.83) ta có hàm g mong muốn 28 2.6 Tính chất tập nghiệm Xét toán    f (x);   với điều kiện x ∈ X (M OLP ) Định nghĩa 2.6 Cho X ⊂ Rn f : X → Rm Ta nói f Rm + - liên tục x0 ∈ X lân cận V f (x0 ) Rm tồn lân cận U x0 Rn cho: f (x) ∈ V + Rm + , ∀x ∈ U ∩ X, m f Rm + - liên tục X R+ - liên tục x0 ∈ X Định lý 2.7 Nếu X đóng f Rm + - liên tục X W S(X, f ) tập đóng Chứng minh: Giả sử phản chứng rằng, tồn dãy {xk } ⊂ W S(X, f ) hội tụ tới x0 ∈ / W S(X, f ) Khi đó, X đóng ta có x0 ∈ X, tồn x ∈ X cho: f (xk ) − f (x) ∈ intRm + Lấy lân cận V f (x0 ) cho: V ⊂ f (x) + intRm + Vì f Rm + - liên tục X, tồn số k0 cho: f (xk ) ∈ V + Rm + , ∀k > k0 (2.1) 29 kết hợp điều với (2.1) ta nhận xk ∈ / W S(X, f ), mâu thuẫn Hệ 2.1 Nếu f (X) đóng W M in(f (X)) đóng Nói riêng ra, X compact f liên tục W M in(f (X)) đóng Chứng minh: Nếu f (X) đóng theo định lý ta có W S(X, f ) đóng Kí hiệu id ánh xạ đồng f (X) Vì W M in(f (X)) trùng với W S(f (X), id), ta suy WMin(f(X)) đóng Nếu X compact f liên tục f (X) đóng Nhắc lại rằng, tập X0 đa diện lồi X gọi diện X0 = X tồn siêu phẳng H cho X chứa trọn nửa không gian sinh H cho X0 = X ∩ H Định nghĩa 2.7 Tập B ⊂ Rn gọi liên thông cung với a, b ∈ B tồn hữu hạn điểm B : b0 = a, , bl+1 = b cho đoạn thẳng [bi , bi+1 ], i = 0, , l thuộc B Định lý 2.8 Với đa diện lồi X Rn , tập M in(X) W M in(X) khác rỗng chúng gồm số diện X chúng liên thông cung Chứng minh 30 Chúng ta biết rằng, với hàm tuyến tính ξ Rn , tập điểm cực tiểu ξ X diện đóng X Do đó, khẳng định thứ suy từ Theorem 3.3, [4] Phần lại định lý suy từ phần thứ kết tính liên thơng liên quan đến tập lồi Dưới cách chứng minh Podinovski-Nogin (1983) [4], p.137 Kí hiệu X1 , X2 , , Xk mặt mở tương đối X đôi không giao hợp chúng M in(A) Lấy ∈ Xi xét nón lồi đóng: C ∗ (ai ) = {ξ ∈ Rn | ∈ S(X, ξ)}, i = 1, 2, , k Nếu kí hiệu: C0 = {ξ ∈ ri(C ∗ ) | min{ ξ, x | x ∈ X}} tồn C0 ⊆ C ∗ (a1 ) ∪ · · · ∪ C ∗ (ak ) (2.2) Thực vậy, với ξ ∈ C , tập nghiệm S(X, ξ) mặt đóng X thuộc vào M in(X) Do tồn i cho: xi ⊆ S(X, ξ) Điều này nghĩa ξ ∈ C ∗ (ai ) Bây lấy a, b ∈ M in(X) với a ∈ Ai , b ∈ Aj với i, j ∈ {1, 2, , k} Ta phải có b0 , , bl+1 ∈ M in(X) cho: a = b0 , b = bl+1 [br , br+1 ] ⊆ M in(X), r = 0, , l (2.3) 31 Khi đó, theo Proposition 3.2, Chapter [4], tồn ξa ∈ C ∩ C ∗ (ai ), ξb ∈ C ∗ (aj ) cho: a ∈ S(X, ξa ), b ∈ S(X, ξb ) Rõ ràng C nón lồi, [ξa , ξb ] ⊆ C Dựa vào (2.2), tồn ξ1 , , ξl cho: ξ1 = ξa , ξl = ξb (2.4) [ξa , ξb ] = [ξ1 , ξ2 ]∪, , ∪[ξl−1 , ξl ] (2.5) [ξr , ξr+1 ] ⊆ C ∗ (ai(r) ), (2.6) i(r) ∈ {1, , k}, r = 1, , l − Từ suy ra: ξr+1 ∈ C ∗ (ai(r) ) ∩ C ∗ (ai(r+1) ) ∩ C [ai(r) , ai(r+1) ] ⊆ S(X, ξr+1 ) ⊆ M in(X) (2.7) Vì ξ1 = ξa , a ∈ S(X, ξ1 ) a ∈ Xi ta có xi ⊆ S(X, ξ1 ) Nói cách khác ai(1) − [ai , ai(1) ] ⊆ S(X, ξ1 ) ⊆ M in(X) (2.8) [ai(l) , b] ⊆ S(X, ξl ) ⊆ M in(X) (2.9) Tương tự Đặt b0 = a, br = ai(r) , bl+1 = b, r = 1, 2, , l sử dụng (2.7), (2.8), (2.9) ta nhận (2.3) 32 Với W M in(X) chứng minh tương tự Định lý 2.9 Tập S(X, f ) tập W S(X, f ) toán (MOLP) tập liên thông cung bao gồm số diện đóng tập lồi đa diện X Chứng minh Định chứng minh tương tự định lý (xem [4], p.138) 33 Kết luận Luận văn trình bày tổng quan số nội dung tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính như: • Những kết tồn nghiệm • Những kết điều kiện hữu hiệu • Những mối quan hệ xuất kết trình bày Các kết đạt luận văn là: • Trình bày cách tương đối có hệ thống số kết cho tốn quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính sở kết toán đa mục tiêu tổng quát Một số kết tổng quát diễn giải tính tốn lại cách chi tiết 34 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học kĩ thuật Hà Nội [2] Đinh Thế Lục (1998), Giáo trình tối ưu hóa đa mục tiêu, Viện Toán học, Hà Nội [3] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền (bản thảo), Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng Tài liệu tiếng Anh [4] Dinh The Luc (1989), Theory Of Vector Optimization, SpringerVerlag [5] M Zeleny (1974), Linear Multiobjective Programming, Springer Verlag ... tối ưu đa mục tiêu sau:    f1 (x), f2 (x), max f3 (x);   với ràng buộc dinh dưỡng 2.2 Phát biểu toán Một phận quan trọng tối ưu đa mục tiêu tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Bài tốn tối ưu đa. .. tài: "Bài tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính" để nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu nhằm nắm định nghĩa, định lí, tính chất "Bài tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính" ứng dụng toán. .. int(Rn+ ) suy f (x) − f (y) ∈ int(Rm + ) 16 Chương Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Chương trình bày số nội dung toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Những kiến thức trình bày chương tham khảo