A. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx VÀ cosx. 1 2sincos3 =− xx 2 1sin3cos −=− xx 3 xxx 3sin419cos33sin3 3 +=− , 4 4 1 ) 4 (cossin 44 =++ π xx 5 )7sin5(cos35sin7cos xxxx −=− 6 tan 3cot 4(sin 3 cos )x x x x − = + 7 3(1 cos 2 ) cos 2sin x x x − = 8 2 1 sin 2 sin 2 x x+ = II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. 1 2cos 2 x +5sinx – 4 = 0 , 2 2cos2x – 8cosx +5 = 0 3 * 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4 2(sin 4 x + cos 4 x) = 2sin2x – 1 5 sin 4 2x + cos 4 2x = 1 – 2sin4x 6 * x x 2 cos 3 4 cos = S : x = k3Đ π , x= ± 4 π +k3π , x = ± 4 5 π +k3π 7 2 3 3 2tan cos x x = + 8 5tan x -2cotx - 3 = 0 9 2 6sin 3 cos12 4x x + = 10 4 2 4sin 12cos 7x x + = 11 cos 2x + 3cosx +2 = 0 12 2+ cos 2x = - 5sinx 13 6 – 4cos 2 x – 9sinx = 0 14 2cos 2x + cosx = 1 15 2tg 2 x + 3 = xcos 3 III. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP THEO sinx VÀ cosx. 1 2sin 2 x – 5sinx.cosx – cos 2 x = - 2 2 3sin 2 x + 8sinxcosx + ( 8 3 - 9)cos 2 x = 0 3 4sin 2 x +3 3 sin2x – 2cos 2 x = 4 4 * 6sinx – 2cos 3 x = 5sin2x.cosx. 5 2 2 1 sin sin 2 2cos 2 x x x+ − = 6 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 7 sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0 8 cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0 9 sin 2 x + 2sin 2x –3 +7cos 2 x = 0 . 10 cos 3 x – sin 3 x = cosx + sinx. 11 sinxsin2x + sin3x = 6cos 3 x 12 sin 3 x + cos 3 x = 2( sin 5 x + cos 5 x ) S : x= Đ 4 π + 2 π k 13 * sin 3 (x - 4 π ) = 2 sinx S : x = Đ 4 π +kπ 14 3cos 4 x – sin 2 2x + sin 4 x = 0 S :x = Đ ± 3 π + kπ v x= 4 π + 2 π k 15 3sin 4 x +5cos 4 x – 3 = 0 . 16 * 6sinx – 2cos 3 x = 5sin 2x cosx IV. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: a( cosx ± sinx ) + b sinxcosx + c = 0 . 1 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0 2 sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12 3 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 4 cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0 1 5 cos 3 x + sin 3 x = sin 2x + sinx + cosx 6 2cos 3 x + cos 2x +sinx = 0 7 1 + sin 3 x + cos 3 x = 2 3 sin2x 8 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0 9 sin 3 x – cos 3 x = 1 + sinxcosx 10 * tanx + tan 2 x + tan 3 x + cotx+cot 2 x +cot 3 x = 6 11 * x 2 sin 2 + 2tan 2 x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0 12 1 + cos 3 x – sin 3 x = sin 2x 13 cos 3 x – sin 3 x = - 1 14 * 2cos 2x +sin 2 x cosx + cos 2 x sinx = 2(sinx + cosx ). V. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC 1 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . 2 1+ sin 2 x sinx - cos 2 x sin 2 x = 2cos 2 ( − 4 π 2 x ) S: sinx =1 v sinĐ 2 x = 1 3 1+ 3tanx = 2sin 2x S : x = - Đ 4 π + k π 4 2cos 2x – 8cosx + 7 = xcos 1 S : x = k2Đ π , x = ± 3 π +k2π 5 sin2x(cotx +tanx ) = 4cos 2 x S : cosx = 0 , cos 2x =Đ 2 1 6 2cos 2 2x +cos 2x = 4sin 2 2xcos 2 x 7 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx 8 sin2x+ 2tanx = 3 9 sin 2 x + sin 2 3x = 3cos 2 2x 10 tan 3 ( x - 4 π ) = tanx - 1 S:x = kĐ π v x = 4 π + kπ 11 sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx 12 sin2x + cos 2x + tanx = 2 S : x = Đ 4 π + kπ 13 sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 14 sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2 15 sin 2 x + sin 2 3x – 3cos 2 2x = 0 16 cos3x cos 3 x – sin3xsin 3 x = cos 3 4x + 4 1 17 sin 4 2 x + cos 4 2 x = 1 – 2sinx 18 sin 6 x + cos 6 x = sin 4 x + cos 4 x 19 3sin3x - 3 cos 9x = 1 + 4sin 3 x. 20 x x xx sin cos1 sincos = − + 21 sin 2 ) 42 ( π − x tan 2 x – cos 2 2 x = 0 22 cotx – tanx + 4sinx = xsin 1 23 sinxcosx + cosx = - 2sin 2 x - sinx + 1 24 sin 3x = cosxcos 2x ( tan 2 x + tan2x ) 25 32cos) 2sin21 3sin3cos (sin5 += + + + x x xx x 26 sin 2 3x – cos 2 4x = sin 2 5x – cos 2 6x 27 cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0. 28 2 4 4 (2 sin 2 )sin3 tan 1 cos x x x x − + = 29 tanx +cosx – cos 2 x = sinx (1+tanx.tan 2 x ) 30 cotx – 1 = 2 cos2 1 sin sin 2 1 tan 2 x x x x + − + B. QUYTẮCĐẾM – HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP 1 Mười người muốn chụp ảnh chung. Họ muốn chụp nhiều ảnh khác nhau bằng cách đổi chỗ đứng lẫn nhau. Cho rằng mỗi lần đổi chỗ và chụp ảnh mất 1 phút, hỏi cần bao lâu để có thể chụp tất cả các ảnh khác nhau? 2 2 Một phòng khách có 3 chỗ có thể đặt tranh, ảnh hoặc tượng. Chủ nhà muốn trang trí bằng cách xếp đặt 4 bức tranh khác nhau vào một chỗ, 3 tấm ảnh khác nhau vào chỗ thứ hai và 2 pho tượng khác nhau vào chỗ còn lại. Hỏi có bao nhiêu cách trang trí phòng khách? 3 Ta muốn mời 6 người ngồi vào một dãy 6 ghế . Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: a) Có 3 người trong bọn họ muốn ngồi kề nhau? b) Có 2 người trong bọn họ không muốn ngồi kề nhau? c) Có 3 người trong bọn họ không muốn ngồi kề nhau đôi một? 4 Một bàn dài có 12 ghế, mỗi bên 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 12 người khách gồm 6 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: a. họ ngồi chỗ nào cũng được ? b. nam ngồi một bên, nữ ngồi một bên ? c. nam nữ ngồi đối diện nhau ? d.nam nữ ngồi xen kẽ và đối diện nhau ? 5 Cho các số 0,1,2,3,4,5,6. Lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau được lấy từ các số đã cho, sao cho: a. Số đó chẵn b. Số đó chia hết cho 5 c. Luôn có mặt chữ số 1 và 3 6 Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6,7. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số đã cho sao cho các số lẻ luôn đứng liền nhau. 7 Cho các số : 0,1,2,3,4,5,6 a. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 9 chữ số được lấy từ các số đã cho sao cho số 3 có mặt 3 lần, các số khác có mặt đúng 1 lần. b. Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số được lấy từ các số đã cho sao cho số 3 có mặt 1 lần, các số khác có mặt một vài lần. 8 Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6. Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số được lấy từ các số đã cho sao cho: a) Số đầu và số cuối giống nhau, các số giữa khác nhau. b) 2 chữ số đầu và 2 chữ số cuối giống nhau. 9 Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6,7 a.Có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số sao cho số 0 có mặt 2 lần, số 3 có mặt 2 lần. Các số khác có mặt một lần. b. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số sao cho số 2 có mặt 2 lần, các số khác có mặt một vài lần. 10 Một bộ đề thi có 15 câu hỏi. Mỗi thí sinh phải rút ra 4 câu (4 câu rút ra là “ đề thi ” của thí sinh này). a. Có bao nhiêu đề thi khác nhau? ( Hai đề thi được coi là khác nhau nếu có ít nhất một câu khác nhau. ) b. Tham gia kỳ thi có 2736 thí sinh. Chứng tỏ rằng có ít nhất 3 thí sinh gặp cùng một đề thi. 11 Một bình đựng 5 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ, chúng chỉ khác nhau về màu. Lấy ra hai viên. a. Có bao nhiêu kết quả khác nhau? b. Có bao nhiêu cách lấy ra được 2 viên bi xanh?, hai viên bi đỏ? Hai viên bi khác màu? 12 Giáo viên hướng dẫn lao động muốn chia 9 học sinh ra làm 3 nhóm gồm 4, 3, và 2 học sinh. Có bao nhiêu cách chia? 13 Cho một đa giác lồi có n đỉnh ( 4n ≥ ). a. Tính số đường chéo của đa giác này; b. Biết rằng ba đường chéo không cùng đi qua một đỉnh thì không đồng quy, hãy tính số các giao điểm (không phải là đỉnh) của các đường chéo ấy. 14 Tính số đường chéo của một đa giác lồi có n cạnh. Tìm đa giác có số cạnh bằng số đường chéo. 15 Từ các số: 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số sao cho: a, Chữ số hàng mười nghìn là số 3. b, Chữ số hàng đơn vị khác 4. c, Các chữ số đều khác nhau. 16 Từ các số: 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau sao cho: a, Số tạo thành đêu bắt đầu bởi chữ số 5 b, Số tạo thành không bắt đầu bởi chữ số 1 c, Số tạo thành đêu bắt đầu bởi số 23 d, Số tạo thành không bắt đầu bởi số 345 17 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng hai lần. 18 Giải các phương trình và bất phương trình sau. a, 2 x2 2 x A50A2 =+ b, 8x.Px.P 3 2 2 =− c, 2 x7 CCC 3 x 2 x 1 x =++ d, x14x9C6C6C 23 x 2 x 1 x −=++ e, n 18 2n 18 CC > − f, 2n 13 n 13 CC + < g, 1x 7 2x 7 x 7 C2CC ++ =+ h, ( ) xxxx PAAP 2672. 22 +=+ i 3 4 1 3 1 14 1 P A C n n n < + − − 19 Giải các phương trình và bất phương trình sau. 3 a. b. c. d. e. f. g. h. i. C. NHỊ THỨC NEWTON 1 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 20 x 2 x + với 0x ≠ . 2 Tìm hệ số của số hạng chứa 4 x trong khai triển ( ) 7 x32 − 3 Tìm số hạng chứa 2 x trong khai triển 10 x x2 3 + với 0x ≠ . 4 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 15 2 x 2 x + với 0x ≠ . 5 * Tìm số hạng thứ 7 trong khai triển ( ) 15 3 2x + với 0x > . 6 * Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của: với x > 0 7 Tìm hệ số của số hạng chứa 35 x trong khai trển 25 3 2 x x − ÷ với 0x ≠ . 8 Tìm hệ số của số hạng chứa 7 x trong khai trển 15 x 1 x + với 0x ≠ . 9 Tìm hệ số của số hang chứa 20 x trong khai triển ( ) 10 3 xx − 10 Tìm hệ số của số hạng chứa 6 x trong khai triển 30 2 x 2 x − với 0x ≠ . 11 * Tìm các số âm trong dãy số x 1 , x 2 , …, x n , … với: x n = nn n PP A 4 143 2 4 4 − + + 12 Tìm hệ số của 1025 yx trong khai triển ( ) 15 3 xyx + . 13 Chứng minh: 1 1 2 1 . . k k k k k k k k k m k m C C C C C + + + + − + + + + + = 14 Cho m ≤ k ≤ n. Chứng minh: 0 1 1 2 2 . . k k k m k m k m n m n m n m n m n C C C C C C C C C − − − + + + + + = 15 Chứng minh rằng: ( ) ( ) 0 1 2 . 1 . 1 0. k n k n n n n n n C C C C C− + − + − + + − = 16 a) Chứng minh: ( ) ( ) 2 3 2 2.1. 3.2. . . 1 . . 1 .2 . n n n n n C C n n C n n − + + + − = − b) Chứng minh: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 1 2 . . n n n n n n C C C C+ + + = 17 * Trong khai triển 17 3 4 3 2 1 .x x + ÷ Tìm số hạng không chứa x của khai triển. 4 18 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 7 3 4 1 x x + ÷ với x > 0. 19 Khi khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức: ( ) ( ) ( ) ( ) 5 6 7 11 1 1 1 . 1 .x x x x+ + + + + + + + Ta được một đa thức: 2 11 ( ) 0 1 2 11 . . . . . x P A A x A x A x= + + + + Tính 7 A =?. 20 Khi khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức ( ) 9 2 3 1 x x+ − . Ta được một đa thức: 2 2 0 1 2 . x P A A x A x= + + + . Tính 7 .A 21 Tìm hệ số của 8 x trong khai triển của biểu thức: ( ) 8 2 1 1 .x x + − 22 * Tìm số hạng thứ 7 trong khai triển nhị thức: ; 23 Tìm hệ số của 3 x trong khai triển của biểu thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 5 1 1 1 1 . x P x x x x= + + + + + + + 24 * Trong khai triển: 7 3 2 1 x x + ÷ ÷ .Tìm số hạng chứa 2 x của khai triển đó. 25 * Trong khai triển: 21 3 3 a b b a + ÷ ÷ . Tìm số hạng có số mũ của a và b như nhau. 26 * Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị: 0 1 2 , , , ., . n n n n n C C C C 27 Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển: ( ) n a b+ , biết rằng tổng các hệ số bằng 4096. 28 Chứng minh rằng: 1332211 433323 −−−− =++++ nn n n n n n n n .nC.n .C.C.C 29 Khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức: ( ) ( ) ( ) 14109 111 x .xx ++++++ ta sẽ được đa thức:P(x) = A 0 + A 1 x + A 2 x 2 + … + A 14 x 14 Hãy xác định hệ số A 9 30 Chứng minh rằng: ( ) ( ) 242 2112312 − −=−+++ nn nnn .nnCnn .C C 31 Tính tổng S = ( ) n n n nnnn nC .C.C.C.C 1 4321 1432 − −++−+− (n ≥ 2) 32 * Chứng minh rằng: 1616 16 2 16 141 16 150 16 16 2333 =+−+− C .CCC 33 Tìm hệ số của x 5 trong khai triển của biểu thức sau thành đa thức: f(x) = ( ) ( ) ( ) ( ) 7654 12121212 +++++++ xxxx 34 Trong khai triển của 10 3 2 3 1 + x thành đa thức: P(x) = 10 10 9 910 xaxa .xaa ++++ Hãy tìm hệ số a k lớn nhất (0 ≤ k ≤ 10) 35 Tìm số nguyên dương n sao cho: 243242 210 =++++ n n n nnn C .CCC . 36 CMR: ( ) 122333 200120002000 2001 20004 2001 42 2001 20 2001 −=++++ C .CCC 37 Với mỗi n là số tự nhiên, hãy tính tổng: a. ( ) n n n nnn C n .CCC 1 1 1 3 1 2 1 210 + −+−+− 5 b. nn nnnnn C n .C.C.CC 2 1 1 2 4 1 2 3 1 2 2 1 332210 + +++++ 38 Cho đa thức P(x) = (3x - 2) 10 i. Tìm hệ số của x 2 trong khai triển trên của P(x) ii. Tính tổng của các hệ số trong khai triển trên của P(x) 39 * Trong khai triển nhị thức: n xxx + − 15 28 3 hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x biết rằng: 79 21 =++ −− n n n n n n CCC 40 Chứng minh: 144332111 3242322 −−−−− =+++++ nn nn n n n n n n n .nnC .C.C.CC 41 * Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức: 17 4 3 2 1 + x x x ≠ 0 42 * Khai triển nhị thức: n x n n n x x n n x n x n n x n n xx CC .CC + ++ + = + − − − − − − − −−−− 3 1 32 1 1 3 1 2 1 1 2 1 0 22 1 22222222 43 Biết rằng trong khai triển đó 13 5 nn CC = và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x 44 * Trong khai triển: 21 3 3 + a b b a Tìm số hạng chứa a, b có số mũ bằng nhau. 45 Tìm số nguyên dương n sao cho: 46 Cho : Sau khi khai triên và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm bao nhiêu số hạng? 47 Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển nhị thức Newton của 48 , biết rằng: 49 Khai triển biểu thức (1 - 2x) n ta được đa thức có dạng: . 50 Tìm hệ số của , biết a o +a 1 +a 2 = 71 51 Tìm hệ số của x 5 trong khai triển đa thức: 52 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức n x x + 3 2 1 Biết rằng: 6 . 2 x ) 30 cotx – 1 = 2 cos2 1 sin sin 2 1 tan 2 x x x x + − + B. QUY TẮC ĐẾM – HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP 1 Mười người muốn chụp ảnh chung. Họ muốn chụp. giác này; b. Biết rằng ba đường chéo không cùng đi qua một đỉnh thì không đồng quy, hãy tính số các giao điểm (không phải là đỉnh) của các đường chéo ấy.