Thác triển của ánh xạ chỉnh hình giữa các siêu mặt thực có số chiều khác nhau

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✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ✿ → Cn ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕✱ ♥➳✉ ✐✮ ϕ(V ) ❧➔ t➟♣ ♠ð tr♦♥❣ Cn✱ ✐✐✮ : V (V ) ởt ỗ ổ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳ ❍å A = {(Vi, ϕi)}i∈I ❝õ❛ M ữủ ởt t ỗ t ts ❝õ❛ M ♥➳✉ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ✐✮ {Vi}i∈I ❧➔ ♠ët ♣❤õ ♠ð ❝õ❛ M ✱ ✐✐✮ ❱ỵ✐ ♠å✐ ♠➔ Vi ∩ Vj = ∅✱ →♥❤ ①↕ ϕj (Vi ∩ Vj ) ❧➔ →♥❤ ①↕ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤✳ Vi , Vj ϕj ◦ ϕi −1 : ϕi (Vi ∩ Vj ) → ❳➨t ❤å ❝→❝ ❛t❧❛s tr➯♥ M ✳ ❍❛✐ ❛t❧❛s ❣å✐ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ♥➳✉ ❤đ♣ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❝ơ♥❣ ❧➔ ♠ët ❛t❧❛s tr➯♥ M ✳ ❉➵ t❤➜② sü t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❣✐ú❛ ❝→❝ ❛t❧❛s ✹ (w0 , w0 ) ∈ A∗ ❈❤å♥ q k ∈ π −1 (Qw0 ∩ Ua ), k = 1, 2, , l s❛♦ ❝❤♦ l k=1 Ωq k ❝â ❣✐❛♦ ❦❤→❝ ré♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❜➜t ❦❤↔ q✉② ❝õ❛ π −1 (Qw ∩ Ua )✳ ❈è ✤à♥❤ ♠ët sè q k , k ∈ 1, 2, , l ✈➔ ✤➦t η = w, η = w ✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ✤➦t G = Ωqk × {|(η, η ) − (η0 , η )| < δ} ❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ♥❤ä ❝õ❛ (q k , w0 , w0 ) tr♦♥❣ n N Cnz × CN ζ × Cη × Cη ✳ ❚❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ X1 = {(z, ζ , η, η ) ∈ G : P (ζ , η ) = 0} , ✭✷✳✷✹✮ X2 = (z, ζ , η, η ) ∈ G : ΦkI (z, ζ , η) = 0, |I| ≤ lqk , ✭✷✳✷✺✮ tr♦♥❣ ✤â ΦkI (z, ζ , η) ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ♥❤÷ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ tr♦♥❣ ✭✷✳✷✶✮✳ ❑❤✐ ✤â X1 , X2 ✤➲✉ ❧➔ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝ tr♦♥❣ G✳ ❱➻ ✈➟② t➟♣ ❝→❝ ✤✐➸♠ (w, w ) s❛♦ ❝❤♦ π −1 (Qw ∩ Ua ) ∩ Ωqk ⊂ π −1 (Qw ) ✭✷✳✷✻✮ ✈➝♥ ✤ó♥❣ ❧➔ ❧✐➯♥ ❤đ♣ ✈ỵ✐ t➟♣ X ∗ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ (η, η )✱ X ∗ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ✤➦❝ tr÷♥❣ (η, η ) ∈ X ∗ ✈ỵ✐ ♠é✐ π2 −1 (η, η ) ⊂ π1 −1 (η, η )✱ tr♦♥❣ ✤â πj ❧➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ tå❛ ✤ë tø Xj ❧➯♥ (η, η ) ✲❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥✳ ❚➟♣ X ∗ ❝â t❤➸ ❝ơ♥❣ ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉ X ∗ = (η, η ) : dimπ2 −1 (η, η ) = dimπ12 −1 (η, η ) , ✭✷✳✷✼✮ −1 tr♦♥❣ ✤â π12 : X1 ∩ X2 → Cn+N (η,η ) ❍ì♥ ♥ú❛✱ dimπ2 (η, η ) = m − ✈ỵ✐ ♠å✐ ˜ tr♦♥❣ ✤â (η, η )✱ ✈➔ ✈➻ ✈➟② dimπ12 −1 (η, η ) ≤ m − 1✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ X ∗ = π12 (X) ˜ = (z, ζ , η, η ) ∈ X1 ∩ X2 : diml(z,ζ ,η,η ) π12 > m − X ✭✷✳✷✽✮ ˜ t t ự G ỵ ỵ rtr X ổ ❜✐➳♥ π ˜ ❧➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ tø X (z1 , z2 , , zn−1 , ζ1 , , ζkm−n , η, η ) ✸✻ ❚❤❡♦ ❝→❝❤ ①➙② ❞ü♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ tr♦♥❣ ✭✷✳✷✶✮ t❤➻ π ˜ ❧➔ →♥❤ ①↕ r✐➯♥❣✳ ❉♦ õ t ự t ỵ ①↕ r✐➯♥❣ ❘❡♠♠❡rt✱ π ˜ (X) ˜ → (η, η )✳ ❚ø ❝→❝❤ ①➙② ❞ü♥❣ ❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ ①➨t ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ π(η,η ) : π ˜ (X) ˜ ✱ t❤➻ dim π −1 (η, η ) = m − 1, ✈ỵ✐ (η, η ) ∈ X ∗ ✳ ◆❤÷♥❣ t➟♣ π ˜ (X) (η,η ) −1 dimπ(η,η ) (π(η,η ) (x)) = m − ˜ ✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ t❛ ❝â t ỗ t X ợ ợ x ˜ (X) ˜ ∩ {(z1 , z2 , , zn−1 , ζ1 , , ζk ) = const} π ˜ (X) m−n ✣✐➲✉ ♥➔② ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ t➟♣ X ∗ ❧➔ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝✳ ❚❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ sû r➡♥❣ t➟♣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ tr♦♥❣ ✭✷✳✷✻✮ ❝ô♥❣ ❧➔ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝✳ ◆➳✉ ♠ët t➟♣ ♠ð ❝õ❛ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❜➜t ❦❤↔ q✉② Swj ữủ ự tr (Qw ) ợ ởt số w õ t ỵ t t♦➔♥ ❜ë t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ Swj ♣❤↔✐ ✤÷đ❝ ❝❤ù❛ tr♦♥❣ π −1 (Qw )✳ ❱➻ ✈➟②✱ ✈➻ l k=1 Ωq k ❝â ❣✐❛♦ ❦❤→❝ ré♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ Swj ✱ ❤➺ ❝→❝ ữỡ tr tr ợ k = 1, 2, , l ①→❝ ✤à♥❤ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❜❛♦ ❤➔♠ tr♦♥❣ ✭✷✳✶✺✮ ✈➔ ❞♦ ✤â ♥â ①→❝ ✤à♥❤ A∗ ♥❤÷ ♠ët t➟♣ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝ ❣➛♥ ✈ỵ✐ (w0 , w0 )✳ ❚❛ ✤➣ ❝â A∗ ❧➔ t➟♣ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✭tù❝ ❧➔ t➟♣ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ❤➺ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❣✐↔✐ t➼❝❤ tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ✤✐➸♠ t❤✉ë❝ ♥â ❜➜t ❦➻✮✳ ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ A∗ ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝ ❝õ❛ U ∗ × PN t❛ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ A∗ ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ tr♦♥❣ U ∗ × Pn ✳ ●✐↔ sû (wj , w j ) → (w0 , w ) ❦❤✐ j → ∞✱ ✈ỵ✐ ❞➣② (wj , w j ) ∈ A∗ ✱ ✈➔ ❣✐↔ sû r➡♥❣ (w0 , w ) ∈ Ua × PN ✳ ❱➻ (wj , w j ) ∈ A∗ ♥➯♥ π −1 (Qwj ∩ Ua ) ⊂ π −1 (Qw j )✳ ❱➻ Qwj → Qw0 , Qw j → Qw ✱ t❤❡♦ t➼♥❤ ❣✐↔✐ t➼❝❤ t❛ ❝ô♥❣ ❝â π −1 (Qw0 ∩ Ua ) ⊂ π −1 (Qw0 ) ✈➔ ❞♦ ✤â (w0 , w ) ∈ A∗ ✳ ❱➻ ✈➟②✱ A ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣✳ ✸✼ A ự ỗ t ❝õ❛ f t↕✐ (ξ, f (ξ)) ❍ì♥ ♥ú❛✱ A∗ ∩ ((Uξ ∩ U ∩ U ∗ ) × PN ) ⊂ A ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû z ∈ (Uξ ∩ U ∩ U ∗)✳ ❚❛ ❝➛♥ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ π −1 (Qz ∩ Ua ) ⊂ π −1 (Qf (z) ) ✭✷✳✷✾✮ ▲➜② w ∈ Qz ∩ Ua ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ ❜➜t ❦ý ✈➔ ❧➜② (w, w ) ∈ A✳ ❱➻ (w, w ) ∈ A ♥➯♥ t❛ ❝â f (Qw ∩Uξ ) ⊂ Qw ✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ✈➻ z ∈ Qw ∩Uξ ♥➯♥ t❛ ❝â f (z) ∈ Qw ✳ ❚❤❡♦ ✭✷✳✸✮ t❛ ❝â w ∈ Qf (z) ✳ ❍❛② ♥â✐ ❝→❝❤ ❦❤→❝ t❤➻ (w, w ) ∈ {w} × Qf (z) ❱➻ w ❧➔ ✤✐➸♠ ❜➜t ❦ý tr♦♥❣ A tr➯♥ w✱ ❞♦ ✤â π −1 (w) ⊂ π −1 (Qf (z) )✳ ❉➝♥ ✤➳♥ ❤➺ q✉↔ ✭✷✳✷✾✮ ✈➔ (z, f (z)) ∈ A∗ ✳ ❱➻ π −1 (w) ⊂ π −1 (Qf (z) )✱ t❛ t❤➜② r➡♥❣ ✈ỵ✐ (w, w ) ∈ A tr♦♥❣ ✤â w ✤õ ❣➛♥ ξ ✱ ✈➻ Qw ∩ U ❧➔ ❧✐➯♥ t❤æ♥❣ t❛ ❝â π −1 (Qw ∩ Ua ) ⊂ (Qw ) tữỡ ữỡ ợ (Qw ∩ Uξ ) ⊂ π −1 (Qw )✳ ❚❤❡♦ ♠ö❝ t õ t A ự ỗ t ❝õ❛ f ❣➛♥ ξ ✱ ✈➻ ✈➟② Γf ⊂ A∗ ✱ ❦➨♦ t❤❡♦ f (Qw ∩ Uξ ) ⊂ Qw , ♥❣❤➽❛ ❧➔ (w, w ) ∈ A✳ ❚❤❡♦ ❜ê t t A ự ỗ t f õ A = ú ỵ r ✈➻ PN ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t✱ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ π ∗ : A∗ 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❧➔ ❧✐➯♥ t❤æ♥❣ tr♦♥❣ U ✱ ❞♦ ✤â✱ π −1 (Qz ∩ Uξ ) ⊂ π −1 (Qz )✳ ◆❣❤➽❛ ❧➔ π −1 (w) ⊂ π (Qz ) ữ ợ t ý w π ◦ π −1 (w) t❤➻ w ∈ Qz ❤♦➦❝ z ∈ Qw ✳ ❚❤❡♦ ❜ê ✤➲ ✷✳✷✳✸✱ A∗ ✤÷đ❝ ❝❤ù❛ tr♦♥❣ A ❣➛♥ ξ ✱ ❦❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ❜➜t ❦ý w ∈ π ∗ ◦ π ∗ −1 (w) t❤➻ z ∈ Qw ✳ ❚ø ✭✷✳✸✵✮ t❛ ❝â Z ❝❤ù❛ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ ♥❤ä ❝õ❛ ξ ✳ ✣➦t Z o ⊂ Z ❧➔ t➟♣ ♠ð ❧✐➯♥ t❤ỉ♥❣ ❧ỵ♥ ♥❤➜t ❝❤ù❛ ξ ✈➔ ✤÷đ❝ ❝❤ù❛ tr♦♥❣ Z ✳ ❚❤❡♦ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tr➯♥ t❛ t❤➜② Z o = ∅✳ ❚❛ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ♥➳✉ w ∈ (Z o \Z o ) ∩ (Ω\S ∗ ) t❤➻ w ∈ Z o ✳ ▲➜② (w, w ) ∈ A∗ ✳ ❱➻ dimS ∗ < dimQsw = n − 1✱ t❛ ❝â t❤➸ ❧➜② ✤✐➸♠ α ∈ (Qsw \S ∗ )✱ ✈➔ ❧➦♣ ❧↕✐ ❧➟♣ ❧✉➟♥ ð ❜ê ✤➲ ✷✳✷✳✷ t❛ ❝â t❤➸ ①➙② ✸✾ ❞ü♥❣ ♠ët t➟♣ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝ Aw = (x, x ) ∈ Uw × PN : π ∗ −1 (Qsx ∩ Uα ) ⊂ π ∗ −1 (Qx ) , ✭✷✳✸✶✮ tr♦♥❣ ✤â Uw ✈➔ Uα ❧➔ ❝→❝ ❧➙♥ ❝➟♥ ✤÷đ❝ ❝❤å♥ t❤➼❝❤ ❤đ♣ ❝õ❛ w ✈➔ α t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ❱ỵ✐ ♠å✐ x ∈ Uw ∩ Z o ✈➔ ♠å✐ x s❛♦ ❝❤♦ (x, x ) ∈ A∗ ✱ ❦❤✐ ✤â π ∗ −1 (Qsx ∩ Uα ) ⊂ π ∗ −1 (Qx )✳ ❚ø ✤â t❛ ❝â A∗ ∩ ((Z o ∩ Uw ) × PN ) ⊂ Aw , ✭✷✳✸✷✮ ✤➦❝ ❜✐➺t✱ Aw = ∅✳ ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ỵ t t A (Uw ì PN ) ⊂ Aw ✱ ✈➔ ✈➻ ✈➟② ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ tø Aw ❧➯♥ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ t❤ù ♥❤➜t ❧➔ t♦➔♥ →♥❤✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ ✈ỵ✐ x ∈ Uw ❜➜t ❦ý✱ t➟♣ Qx ∩ Ua s➩ ✏✤÷đ❝ →♥❤ ①↕✑ ❜ð✐ A∗ ✈➔♦ ✤❛ t↕♣ ❙❡❣r❡ ❝õ❛ ✤✐➸♠ x✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ (x, x ) ∈ A∗ ✳ ❉♦ ✤â Uw ⊂ Z ✳ ❱➻ Ω\S ∗ ❧➔ ❧✐➯♥ t❤æ♥❣✱ ♥➯♥ Z = Ω\S ∗ ✳ ❇➙② ❣✐í t❛ ❝❤➾ ①➨t t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❜➜t ❦❤↔ q✉② ❝õ❛ A∗ ❝â sè ❝❤✐➲✉ ♥❤ä ♥❤➜t ✈➔ ❝❤ù❛ ỗ t f t ỵ t A ú ỵ r ú ợ A ♠ỵ✐✳ ❇ê ✤➲ s❛✉ ❝❤♦ t❛ sè ❝❤✐➲✉ ❝õ❛ A∗ ✳ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✺✳ dimA∗ = n ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱➻ π∗ : A∗ → U ∗ ❧➔ t♦➔♥ →♥❤✱ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦ý z ∈ M ∩ U ∗ t➟♣ π ∗ −1 (z) = ∅✳ ❚❛ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ✈ỵ✐ ✤✐➸♠ z0 ∈ \S ∗ ✱ t➟♣ π ∗ −1 (z0 ) ❧➔ rí✐ r↕❝ ❣➛♥ (z0 , f (z0 )) ∈ A∗ ✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ t❤❡♦ ❜ê ✤➲ ✷✳✷✳✹✱ (z, z )) ∈ A∗ \π ∗ −1 (S ∗ ) s✉② r❛ π ∗ −1 (Qsz ) ⊂ π ∗ −1 (Qz )✳ ❚ù❝ ❧➔ π ∗ (π ∗ −1 (z)) ⊂ Qz ✱ ✈➻ t❤➳ t❛ ❝â z ∈ Qz ✳ ❑❤✐ ✤â tø ✭✷✳✹✮ ❝❤♦ t❤➜② ✈ỵ✐ ❜➜t ❦ý z ∈ M ❣➛♥ ✈ỵ✐ z0 ✱ ✈➔ ❜➜t ❦ý z ❞➛♥ ✤➳♥ f (z0 )✱ tø (z, z ) ∈ A∗ s✉② r❛ z ∈ M ✳ ❱➻ π ∗ (π ∗ −1 (z)) ❧➔ ✹✵ ❤ñ♣ ✤➳♠ ✤÷đ❝ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ t➟♣ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝✱ ✈➔ M ❦❤ỉ♥❣ ❝❤ù❛ ❝→❝ ♠➛♠ ❦❤ỉ♥❣ t➛♠ t❤÷í♥❣ ❝õ❛ ✤❛ t↕♣ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝ ✭ t❤❡♦ ❬✹❪ ✮✱ ♥➯♥ π ∗ −1 (z) ❧➔ rí✐ r↕❝ ❣➛♥ (z0 , f (z0 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