Sự ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TẠ VĂN HƯỞNG SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Thái Ngun - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TẠ VĂN HƯỞNG SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Giải tích Mã số : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Đào Thị Liên Thái Ngun - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ i Mục lục MỞ ĐẦU Chương Kiến thức sở 1.1 Hệ phương trình vi phân thường 1.2 Hệ phương trình vi phân đại số 1.3 Hệ chuyển mạch 19 Chương Sự ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính 28 2.1 Hàm Lyapunov hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính 28 2.2 Hệ phương trình chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính ví dụ chuyển động 31 2.3 Sự ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính 37 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Trong khoa học ứng dụng thực tiễn có nhiều tốn, chẳng hạn mơ tả hệ thống chuyển mạch mạng điện, hệ thống mạng viễn thơng, địi hỏi phải giải xét tính ổn định hệ chuyển mạch vi phân thường dạng: x˙ = fσ (x) (0.1) σ : R → {1, 2, , N } , N ∈ N, tín hiệu chuyển mạch, x tín hiệu Rn , n ∈ N, hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính dạng: Eσ x˙ = Aσ x (0.2) Ep , Ap ∈ Rn×n , ma trận với tham số p ∈ {1, 2, , N }, detEp = 0, σ tín hiệu chuyển mạch Khi ma trận Ep khả nghịch hệ (0.2) đưa hệ chuyển mạch vi phân thường (0.1)(hoặc gọi tắt hệ chuyển mạch) Bài toán ổn định hệ chuyển mạch nhận nhiều ý nhà khoa học hai thập niên qua vấn đề mang tính thời Có ví dụ hệ chuyển mạch tất hệ ổn định hệ chuyển mạch khơng ổn định, có ví dụ hệ chuyển mạch tất hệ ổn định hệ chuyển mạch ổn định tùy thuộc vào tín hiệu chuyển mạch Hệ chuyển mạch ổn định tiệm cận với chuyển mạch tùy ý hệ có chung hàm Lyapunov thích hợp Năm 1892 A M Lyapunov (1857-1918) nhà toán học người Nga giải tốn ổn định hai phương pháp, phương pháp số mũ đặc trưng Lyapunov (còn gọi phương pháp phổ hay phương pháp thứ Lyapunov) phương pháp hàm Lyapunov (còn gọi phương pháp Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ thứ hai Lyapunov) Phương pháp nghiên cứu sử dụng luận văn phương pháp hàm Lyapunov Vấn đề đặt ta cần phát triển đầy đủ điều kiện đảm bảo ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số sở tồn hàm Lyapunov thích hợp Nội dung luận văn dựa kết báo “ On stability of linear switched differential algebraic equations” tác giả D Liberzon and S Trenn, nêu điều kiện đủ ổn định cho hệ chuyển mạch vi phân đại số, tính ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số vai trị hàm Lyapunov thích hợp hệ chuyển mạch vi phân đại số Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo Luận văn gồm chương: Chương Các kiến thức sở Nội dung chương trình bày kiến thức sở hệ phương trình vi phân thường, hệ phương trình vi phân đại số, kiến thức mở đầu hệ chuyển mạch Chương Trình bày tóm tắt kết chuyển mạch vi phân đại số hệ số hằng, đưa số ví dụ minh họa cho tốn ổn định khơng ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số, nghiên cứu tính ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên Qua xin chân thành cảm ơn thầy giáo Khoa Tốn, Ban Giám hiệu, Phịng Quản lý Sau Đại học nhà trường trang bị kiến thức tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS Đào Thị Liên, người tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ tơi có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập Do thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý thầy bạn để luận văn hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2013 Tác giả Tạ Văn Hưởng Soá hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Chương Kiến thức sở 1.1 Hệ phương trình vi phân thường 1.1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Hệ phương trình vi phân thường (ODE)là hệ phương trình dạng dyi = fj (t, y1 , y2 , , yn ), (j = 1, 2, , m) dt (1.1) t biến độc lập; y1 , y2 , , yn hàm cần tìm; fj hàm xác định bán trụ T = It + × Dy , It + = {t0 < t < ∞} Dy miền mở thuộc R2 ; m khác n Định nghĩa 1.1.2 Hệ phương trình vi phân thường tuyến tính có dạng  dy1   dt = a11 (t)y1 + a12 (t)y2 + + a1n (t)yn + f1 (t)    dy2 = a (t)y + a (t)y + + a (t)y + f (t) 21 22 2n n dt (1.2)      dyn = a (t)y + a (t)y + + a (t)y + f (t) dt n1 n2 nn n n t biến độc lập; y1 (t), , yn (t) hàm cần tìm, hàm aij fi (t) gọi hệ số hệ số tự chúng giả thiết liên tục khoảng I = (a, b) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Dùng kí hiệu ma trận viết hệ (1.2) dạng thu gọn dY = A(t)Y + F (t (1.3) dt A(t) = (aij (t)) ma trận cấp n × n, F (t) = (f1 (t), , fn (t))T vector cột Nếu F (t) ≡ ta gọi hệ hệ phương trình vi phân tuyến tính nhất, F (t) = ta gọi hệ hệ tuyến tính khơng Định nghĩa 1.1.3 Nghiệm Z = Z(t) (a < t < ∞) hệ dY = F (t, Y ) dt (1.4) Y = colon(y1 , y2 , , yn ) F (t, Y ) = colon (f1 (t, Y ), , fn (t, Y )) dY dy1 dyn = colon( , , ) dt dt dt gọi ổn định theo nghĩa Lyapunov t → +∞(hay ổn định Lyapunov) với ε > t0 ∈ (a, ∞) tồn δ = δ(ε, t0 ) > cho Tất nghiệm Y = Y (t) hệ (1.4)(bao gồm nghiệm Z(t)) thỏa mãn điều kiện Y (t0 ) − Z(t0 ) < δ (1.5) xác định khoảng [t0 , +∞) tức Y (t) ∈ Dy t ∈ [t0 , +∞) Đối với nghiệm bất đẳng thức sau thỏa mãn Y (t) − Z(t) < ε t0 ≤ t < ∞ (1.6) Định nghĩa 1.1.4 Nghiệm Z = Z(t) (a < t < ∞) gọi ổn định tiệm cận t → +∞ Ổn định Lyapunov Với t0 ∈ (a, ∞) tồn δ = δ(t0 ) > cho nghiệm Y (t), (t0 ≤ t < ∞) thỏa mãn điều kiện Y (t0 ) − Z(t0 ) < δ lim Y (t) − Z(t) = t→∞ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ (1.7) 1.1.2 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.3) ma trận A(t) vector F (t) liên tục khoảng (a,∞) Giả sử X(t) = [xij (t)] (det X = 0) (1.8) ma trận nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính tương ứng dY = A(t)Y dt (1.9) tức ma trận gồm n nghiệm độc lập tuyến tính (1.9)  (1)   X (t) = colon (x11 (t), , xn1 (t))   (n) X (t) = colon (x1n (t), , xnn (t)) Nếu ma trận nghiệm X(t) chuẩn hóa t = t0 , tức X(t0 ) = In , Y (t) = X(t)Y (t0 ) (1.10) Định nghĩa 1.1.5 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.3) gọi ổn định(hoặc khơng ổn định) tất nghiệm Y = Y (t) ổn định (hoặc khơng ổn định) Lyapunov t → +∞ Định nghĩa 1.1.6 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.3) gọi ổn định tiệm cận tất nghiệm ổn định tiệm cận t → +∞ Định lý 1.1.7 Điều kiện cần đủ để hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.3) ổn định với số hạng tự F (t) nghiệm tầm thường Y0 ≡ (t0 < t < ∞, t0 ∈ (a, ∞)) hệ tương ứng (1.9) ổn định Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Định lý 1.1.8 Hệ phương trình vi phân tuyến (1.3) ổn định tiệm cận nghiệm tầm thường Y0 ≡ hệ vi phân tuyến tính tương ứng (1.9) ổn định tiệm cận t → +∞ Xét hệ vi phân tuyến tính (1.9), A(t) liên tục khoảng(a, ∞) Định lý 1.1.9 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.9) ổn định Lyapunov nghiệm Y = Y (t) (t0 ≤ t < ∞) hệ bị chặn nửa trục t0 ≤ t < ∞ Định lý 1.1.10 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.9) ổn định tiệm cận tất nghiệm Y = Y (t) dần tới không t → +∞, tức lim Y (t) = t→∞ (1.11) Định lý 1.1.11 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.9) với ma trận ổn định tất nghiệm đặc trưng λi = λi (A) có phần thực không dương Reλi (A) ≤ (i = 1, 2, , n) Định lý 1.1.12 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.9) với ma trận ổn định tiệm cận tất nghiệm đặc trưng λi = λi (A) A có phần thực âm, tức Reλi (A) < (i = 1, 2, , n) 1.2 Hệ phương trình vi phân đại số 1.2.1.Các khái niệm Định nghĩa 1.2.1 Cho P ∈ L(Rn ) P gọi phép chiếu P2 = P Nhận xét 1.2.2 Cho P phép chiếu Khi ta có KerP ⊕ ImP = Rn Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 33 phép chiếu tương thích tương ứng = 0 1 , = Theo nhận xét 2.8 với S1 = S2 = I ta có (E1 T1 , A1 T2 ) = 0 , −1 0 = (E2 T2 , A2 T2 ) Do hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính hiệu chỉnh hệ phương trình vi phân vơ hướng sở y˙ = −y , cụ thể tất phương trình (DAEs) ổn định tiệm cận Hơn dễ dàng thấy V : R2 → R≥0 x → xT x giới hạn khơng gian tương thích tương ứng hàm Lyapunov hệ Mặc dù hệ chuyển mạch không ổn định chuyển mạch (đảo mạch) tùy ý Hình 2.2: Minh họa nghiệm ví dụ với tín hiệu chuyển mạch khác Bên trái: ∆t < 12 ln tất nghiệm không tầm thường tăng không bị chặn Ở giữa: ∆t = 12 ln nghiệm tuần hoàn [0, ∞) Bên phải: ∆t > 12 ln tất nghiệm hội tụ khơng Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 34 Ví dụ 2: Cho   (E1 , A1 ) =  0   (E2 , A2 ) =  0    −1 8π     ,  2π −  , 0 −1    −4π −     ,  −1 4π  −1 −4 Khơng gian tương thích tương ứng     C1 = R3 , C2 = im   , 1 ma trận T1 T2 (như ví dụ 1)     0     T1 =   , T2 =  0  0 1 1 Từ nhận xét 2.8 ta rút S2 = 14 I cở sở chiều hệ phương trình vi phân thường hệ cho y˙ = Chọn ∆t = −1 − 4π π −1 y cho việc chuyển mạch xuất nghiệm đặt giao khơng gian tương thích (tức khơng gianC2 ) Do nghiệm hệ phương trình vi phân đại số chuyển mạch khơng có bước nhảy Các nghiệm hệ phương trình vi phân đại số không chuyển mạch biểu diễn phần bên trái hình 2.3 nghiệm khơng ổn định hệ phương trình vi phân chuyển mạch thể bên phải hình 2.3 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 35 Hình 2.3: Minh họa nghiệm ví dụ Bên trái: Giữa đảo mạch, mầu đỏ nghiệm hệ ba đường xoắn ốc hội tụ không, mầu xanh: nghiệm hệ hai đường xoắn ốc hội tụ không Bên phải: Giữa đảo mạch, nghiệm tăng khơng bị chặn khơng có bước nhảy Ví dụ 3: Cho    0 −1    (E1 , A1 ) =   ,  −2π 0 0    4π    (E2 , A2 ) =  1  ,  −1 0  2π  −  ,  − 4π  π −  , 0 Không gian tương thích tương ứng   C1 = im  0 Số hóa trung tâm học lieäu   0    , C2 = im  0   0 http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 36 ma trận T1 T2 (như ví dụ 1)     0 0     T1 =   , T2 =  0  0 1 −1 phép chiếu tương thích tương ứng    0    =  , = 0 1  0  0 Hệ phương trình vi phân thường sở hệ phương trình vi phân đại số ứng với cặp (E1 , A1 ) đọc trực tiếp từ cặp ma trận (E1 , A1 ), hệ phương trình vi phân thường cở sở hệ phương trình vi phân đại số ứng với cặp (E2 , A2 ) cho y˙ = −1 −π 4π −1 y Nghiệm hệ không chuyển mạch thể bên trái hình 2.4 Khi ∆t = giá trị ban đầu t = giới hạn vị trí nằm trục x2 , không tồn bước nhảy tất nghiệm hội tụ không Hơn chọn ∆t = sinh bước nhảy hệ khơng ổn định (bên phải hình 2.4) Chú ý V (x) = xT x hàm Lyapunov giao khơng gian tương thích Hình 2.4: Minh họa nghiệm ví dụ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 37 Bên trái nghiệm hệ Bên phải nghiệm hệ chuyển mạch(đường nét đứt biểu diễn bước nhảy), nghiệm tăng không bị chặn 2.3 Sự ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính 2.3.1 Nghiệm suy rộng hệ chuyển mạch Định nghĩa 2.9.[11] Không gian hàm suy rộng cho D := D : C∞ → R D tuyến tính liên tục C∞ khơng gian hàm trơn ϕ : R → R với giá bị chặn Định nghĩa 2.10.[11](Hàm suy rộng trơn khúc) • Cho C∞ pw không gian hàm trơn khúc, cho tất hàm α : R → R để tồn tập chặt hữu hạn địa phương {ti ∈ R |i ∈ R } họ hàm trơn (αi )i∈R cho α = αi [ti , ti+1 ) với ∀i ∈ R • Hàm suy rộng D ∈ D gọi trơn khúc tồn hàm trơn khúc f ∈ C∞ pw tập hữu hạn địa phương T ⊆ R cho D = fD + Dt t∈T t ∈ T , hàm suy rộng Dt giá t, tức tồn N ∈ N a0 , a1, , aN cho (N ) Dt = a0 δt + a1 δt + + aN δt • Khơng gian tất hàm suy rộng trơn khúc kí hiệu DpwC∞ 2.3.2 Các giả thiết hệ chuyển mạch vi phân đại số hệ (0.2)(Xem [8]) Trong phần đưa giả thiết cho hệ chuyển mạch vi phân đại số (0.2) A1 Tín hiệu chuyển mạch σ : R → {1, , N } hàm khúc với tập hợp hữu hạn bước nhảy liên tục phải Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 38 A2 Cặp ma trận (Ep , Ap ) ,với p ∈ {1, , N } quy tức det(sE − A) ∈ R [s] \ {0} A3 Với phép chiếu tương thích p := (Ep ,Ap ) , p ∈ {1, , N }, tương ứng với cặp ma trận quy (Ep , Ap ) từ hệ chuyển mạch vi phân đại số (0.2), ta có ∀p, q ∈ {1, , N } : Ep (I − p) q = Với giả thiết ta có kết sau Định lý 2.11.[11](Sự tồn tính nghiệm hàm suy rộng) Xét hệ chuyển mạch (0.2) với giả thiết A1, A2 Khi quỹ đạo nghiệm x0 ∈ (DpwC∞ )n thời gian đầu t0 ∈ R tồn x ∈ DpwC∞ với x(−∞, t0 ) = x0 (−∞, t0 ) (Eσ x) ˙ [t0 ,∞) = (Aσ x)[t0 ,∞) Chứng minh Giả thiết A1 Eσ , Aσ ∈ C∞ pw n×n , với αx := αD x hệ chuyển mạch (0.2) hàm suy rộng DAE Giả thiết A2 với cặp ma trận (Ep , Ap ), p = 1, 2, , N tồn ma trận nghịch đảo Sp , Tp ∈ Rn×n cho (Sp Ep Tp , Sp Ap Tp ) = I Np , Jp I , Jp ∈ Rnp ×np , np ∈ N vài ma trận, I ma trận đơn vị cỡ Do đó, với S = Sσ T = Tσ ta suy điều phải chứng minh Nhận xét 2.12.[11] Chú ý rằng, định lý 2.11 khơng nói nghiệm hệ chuyển mạch (0.2) vài khoảng mở [0, ∞) x không nghiệm địa phương Do nghiệm định lý 2.11 gọi nghiệm quỹ đạo ban đầu (nghiệm ITP) với quỹ đạo đầu x0 thời gian đầu t0 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 39 Bổ đề 2.13.[11](nghiệm địa phương) Cố định giả thiết A1, A2 cho x ∈ (DpwC∞ )n vài nghiệm (0.2) với thời gian đầu t0 ∈ R Hơn nữa, cho s, t ∈ R với t0 ≤ s < t thỏa mãn tín hiệu chuyển mạch σ [s, t) Do tồn ma trận nghịch đảo T ∈ Rn×n , ma trận J ∈ Rn1 ×n1 , n ∈ N v0 ∈ Rn1 cho x(s,t) = T τ → eJ(τ −s) v0 D (s,t) Định lý 2.14.[11] Giả sử hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính (0.2)thỏa mãn giả thiết A1, A2, A3 Khi nghiệm suy rộng hệ chuyển mạch Eσ x˙ = Aσ x không xung biểu diễn hàm trơn khúc x : R → Rn Hơn nữa, tất nghiệm x : R → Rn ∀t ∈ R x(t) = x(t−) σ(t) Chúng ta nói hệ chuyển mạch vi phân đại số (0.2) ổn định tiệm cận tất nghiệm suy rộng hệ phương trình khơng xung nghiệm x : R → Rn thỏa mãn x(t) → t → ∞ Định lý 2.15.[8] Giả sử hệ chuyển mạch vi phân đại số thỏa mãn giả thiết A1, A2, A3 Với p = 1, 2, , N , giả sử Cp := C(Ep ,Ap ) ⊆ Rn := (Ep ,Ap ) ∈ Rn×n khơng gian tương thích phép chiếu tương thích ứng với cặp ma trận (Ep , Ap ) Giả sử hệ chuyển mạch vi phân đại số p Ep x˙ = Ap x với ∀p = 1, , N , ổn định tiệm cận với hàm Lyapunov Vp : Rn → R≥0 Nếu ∀p, q = 1, , N, ∀x ∈ Cq : Vp ( p x) ≤ Vq (x) (2.2) hệ chuyển mạch vi phân đại số Eσ x˙ = Aσ x ổn định tiệm cận với tín hiệu chuyển mạch σ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 40 Chứng minh Định lý 2.14 tất nghiệm hệ phương trình (0.2) khơng xung, hội tụ không Bước Định nghĩa hàm Lyapunov chung Nếu x ∈ Cp ∩ Cq với p, q ∈ {1, , N } x = px = qx Khi (2.2) kéo theo Vp x = Vq x , ta có V : Rn → R x → V (x) = Vp (x) x ∈ Cp x ∈ / Cp Bước V (x(t)) → t → ∞ Với ∀p = 1, , N , cho Pp , Qp ∈ Cn×n ma trận nêu định nghĩa 2.3 tương ứng với hệ phương trình vi phân đại số Ep x˙ = Ap x Hơn xT Qp x λp := = xT Qp x > x∈Cp \{0} Vp (x) x∈Cp ,Vp (x)=1 biểu thức Vp Qp xác định dương Cp Xét nghiệm x : R → Rn hệ phương trình (0.2), theo bổ đề 2.13[11] khoảng mở (s, t) không chứa thời điểm chuyển mạch σ , hàm x trơn nghiệm địa phương Ep x˙ = Ap x p = σ(τ ), τ ∈ (s, t) Từ x(τ ) ∈ Cp , ∀τ ∈ (s, t) V (x(τ )) = Vp (x(τ )) d Vp (x(τ )) = x(τ )T Qp x(τ ) ≤ −λp Vp (x(τ )) dt Cho t ∈ R bước nhảy σ , x(t−) x(t−) ∈ Cσ(t−) x(t) = σ(t) Vì nhờ (2.2) V (x(t)) = Vσ(t) (x(t)) = Vσ(t) (x(t−)) σ(t) ≤ Vσ(t−) (x(t−)) = V (x(t−)) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 41 Với λ := λp t0 ∈ R ta có p ∀t ∈ R : V (x(t)) ≤ e−λ(t−t0 ) V (x(t0 )) kéo theo V (x(t)) → với nghiệm (0.2) Bước Nghiệm dần khơng 0, tồn ε > dãy (si )i∈N ∈ RN phân kỳ (khi i → ∞ ) cho x(si ) ≥ ε với ∀i ∈ N Có p ∈ {1, , N } cho tập hợp {i ∈ N | σ (si ) = p} có vơ hạn phần tử giả sử σ (si ) = p với vài p ∀i ∈ N Khi Giả sử ngược lại x(t) x(si ) ∈ Cp \ {ξ ∈ Cp | ξ < ε} với ∀i ∈ N Vp xác định dương Cp nên tồn δ > cho V (x(si )) > δ với ∀i ∈ N Điều mâu thuẫn với giả thiết V (x(t)) → t → ∞ Do x(t) → t → ∞ Điều kiện (2.2) kéo theo hai hàm Lyapunov Vp Vq trùng giao Cp ∩ Cq Do định lý 2.15 tổng quát hệ phương trình vi phân chuyển mạch ODE mà việc tồn hàm Lyapunov chung đủ đảm bảo ổn định cho chuyển mạch tùy ý Tuy nhiên tồn hàm Lyapunov chung khơng đủ cho trường hợp hệ phương trình vi phân đại số DAE, điều thấy rõ ràng ví dụ phần 2.2 Với chuyển mạch tùy ý nghiệm biểu diễn chung bước nhảy, bước nhảy mô tả phương chiếu tương thích phương chiếu phải phù hợp với hàm Lyapunov theo nghĩa (2.2) để đảm bảo ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số DAE chuyển mạch Nếu giả sử tín hiệu chuyển mạch chọn cho khơng có bước nhảy xuất điều kiện phép chiếu tương thích khơng cần thiết ta có hệ sau Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 42 Hệ 2.16 Giả sử hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính (0.2) thỏa mãn giả thiết A1, A2, A3 giả sử hệ chuyển mạch vi phân đại số Ep x˙ = Ap x, p = 1, , N , tiệm cận ổn định với hàm Lyapunov Vp := σ : R → {1, , N } σ thỏa mãn giả thiết A1, ∃ nghiệm x (0.1) x(0) = x0 x khơng có bước nhảy Nếu ∀p, q ∈ {1, , N } , x ∈ Cp ∩ Cq : Vp (x) = Vq (x) (2.3) Cho x0 tất nghiệm (0.2) thỏa mãn x(0) = x0 ∈ Rn σ ∈ x0 → t → ∞ Chú ý thực tế không cần áp đặt giả thiết A1, A2, A3 hệ A1 có sẵn định nghĩa x0 , A2 rút từ giả thiết hệ phương trình vi phân chuyển mạch tiệm cận ổn định [5], A3 không cần giả thiết khơng có bước nhảy xuất có nghĩa khơng xảy xung (xem [11]) Trong ví dụ thỏa mãn giả thiết hệ 2.16 khơng có bước nhảy xuất tất nghiệm hội tụ khơng Ngược lại ví dụ có tín hiệu chuyển mạch dẫn tới ổn định cho nghiệm không tầm thường khơng có bước nhảy Do hệ (2.16) khơng hữu dụng, ví dụ khơng thể tìm hàm Lyapunov cho hai hệ thỏa mãn điều kiện (2.3) Đối với hệ chuyển mạch vi phân thường, biết ổn định hệ con,việc chuyển mạch hệ ổn định dẫn đến hệ ổn định với khoảng thời gian dừng đủ lớn Xét tập tín hiệu chuyển mạch tham số hóa thời gian dừng τd > cho τd := σ : R → {1, , N } |∀ thời điểm chuyển mạch, ti ∈ R, i ∈ N ti+1 − ti ≥ τd Định lý 2.17 Giả sử hệ chuyển mạch DAE (0.2) thỏa mãn giả thiết A1, A2, A3 giả thiết hệ chuyển mạch Ep x˙ = Ap x, p = 1, , N ổn định tiệm cận với hàm Lyapunov Vp ma trận Qp ∈ Cn×n tương ứng Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 43 xT Qp x x∈Cp \{0} Vp (x) Cho λ := min p Với µ ≥ cho ∀p, q ∈ {1, , N } , ∀x ∈ Cq : Vp ( Khi hệ chuyển mạch DAE (0.2) với σ ∈ µ τd > ln λ p x) τd = µVq (x) (2.4) ổn định tiệm cận Chứng minh Đầu tiên ý tất nghiệm (0.2) theo định lý 2.14 không xung Cố định nghiệm x : R → Rn (0.2) với tín hiệu chuyển mạch cố định τd σ ∈ Nếu σ có hữu hạn lần chuyển mạch ổn định tiệm cận (0.2) hiển nhiên, giả thiết tập hợp lần chuyển mạch {ti ∈ R | i ∈ Z } σ vô hạn Cho v : R → R≥0 t → Vσ(t) (x(t)) < ε := τd − ln µ λ Theo chứng minh định lý 2.10 ta có −λ(ti+1 −ti ) v (ti+1 −) ≤ e e−λε v(ti ) ≤ v(ti ) µ Hơn nữa, từ (2.4) suy v(ti ) = Vσ(ti ) σ(ti ) x(ti −) ≤ µVσ(ti −) (x(ti −)) = µv(ti −) Đồng thời ∀i ∈ Z v(ti+1 −) ≤ e−λε v(ti −) v(ti −) → i → ∞ Vì v (t) ≤ e−λ(t−ti ) v(ti ) ≤ µv (ti −) với ∀t ∈ [ti , ti+1 ] , i ∈ Z, kéo theo v(t) → t → ∞ Như chứng minh định lý 2.15 x(t) → t → Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 44 Nhận xét 2.18 Từ hàm Lyapunov Vq , q ∈ {1, , N } hàm toàn phương xác định dương Cq ∀p, q ∈ {1, , N } kéo theo Vp µp,q := x∈Cq \{0} px Vq (x) = x∈Cq : Vq (x)=1 Vp p x >0 Do (2.4) ln thỏa mãn với µ ≥ maxq,p µq,p Định lý 2.17 nói lên chuyển mạch ổn định tiệm cận hệ dẫn đến ổn định tiệm cận tín hiệu chuyển mạch với khoảng dừng đủ lớn Trong ví dụ điều kiện (2.4) thỏa mãn với hàm Lyapunov x → V (x) = xT x với λ = 2, µ = Do khoảng thời gian dừng lớn ln hệ chuyển mạch (0.1) ổn định tiệm cận xem hình 2.2 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 45 KẾT LUẬN Bản luận văn tập hợp số kết nghiên cứu ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính, trình bày hai điều kiện đủ cho ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số sở tồn hàm Lyapunov phù hợp thu số kết sau: Kết 1:(định lý 2.15) Chỉ có hàm Lyapunov chung đảm bảo ổn định hệ với chuyển mạch tùy ý ta thêm vào điều kiện phép chiếu tương thích; điều kiện phép chiếu tương thích khơng cần thiết tín hiệu chuyển mạch chọn mà khơng có bước nhảy (hệ 2.16 Kết 2: Sự ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính đảm bảo khoảng thời gian dừng lớn (định lý 2.17) Kết bước đầu việc nghiên cứu ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số dựa phương pháp hàm Lyapunov, mở hướng nghiên cứu tương lai Sự ổn định hệ chuyển mạch với khoảng thời gian dừng trung bình Sự ổn định hệ chuyển mạch với tín hiệu chuyển mạch khác Sự ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số phi tuyến Định lý đảo Lyapunov hệ chuyển mạch vi phân đại số với đầu vào, đầu Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 46 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hồn Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục, 2009 [2] Đào Thị Liên,Về ổn định hệ phương trình vi phân hệ phương trình vi phân đại số, Luận án Tiến sĩ Toán học, Đại học Sư phạm Hà Nội, 2004 [3] T Berger,“ Zur asymptotischen Stabilitat linearer differential algebraischer Gleichungen,” September 2008, bachelor thesis, Institute for Mathematics, Ilmenau University of Technology [4] T Berger, A Ilchmann and S Trenn, “ A generalized Jordan canonical form for linear matrix pencils”, in preparation, 2009 [5] E Griepentrog and R Marz, “ Differential-Algebraic Equations and Their Numerical Treatment”, Teubner-Texte Math 88, Leipzing 1986 [6] J P Hespanha, “ Stability of switched systems; Aribitrary switching”, Lecture 11 [7] D Liberzon, Switching in Systems and Control, ser Systems and Control: Foundations and Appplications Boston: Birkhauser, 2003 [8] D Liberzon and S Trenn, “ On stability of linear switched differential algebraic equations”, hội thảo toán học thượng hải, 2009 [9] D H Owens and D L Debeljkovic, “ Consistency and Lyapunov stability of linear descriptor systems: A geometric analysis”, IMA Journal of Mathematical Control and Information, pp.139-151, 1985 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 47 [10] S Trenn, “ Regularity of distributional algebraic equations,” submitted for publication, 2008, preprint available online, Institute for Mathematics, Ilmenau University of Technology, Preprint Number 08-2 [11] S Trenn, “ Impulse free solutions for switched differential algebraic equation,” submitted for publication, 2009, preprint available online, Institute for Mathematics, Ilmenau University of Technology, Preprint Number 09-03 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ... mang tính thời Có ví dụ hệ chuyển mạch tất hệ ổn định hệ chuyển mạch không ổn định, có ví dụ hệ chuyển mạch tất hệ ổn định hệ chuyển mạch ổn định tùy thuộc vào tín hiệu chuyển mạch Hệ chuyển mạch. .. Trenn, nêu điều kiện đủ ổn định cho hệ chuyển mạch vi phân đại số, tính ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số vai trò hàm Lyapunov thích hợp hệ chuyển mạch vi phân đại số Ngoài phần mở đầu, kết... Với hệ chuyển mạch vi phân thường (ODE) ta biết ví dụ hệ chuyển mạch khơng ổn định Vì ví dụ không ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số (Vì hệ chuyển mạch vi phân thường trường hợp đặc biệt hệ chuyển