Một số tính chất địa phương và toàn cục của mặt đối chiều hai trong không gian lorentz minkowski

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẶNG VĂN CƯỜNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊA PHƯƠNG VÀ TỒN CỤC CỦA MẶT ĐỐI CHIỀU HAI TRONG KHƠNG GIAN LORENTZ-MINKOWSKI LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẶNG VĂN CƯỜNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊA PHƯƠNG VÀ TỒN CỤC CỦA MẶT ĐỐI CHIỀU HAI TRONG KHƠNG GIAN LORENTZ-MINKOWSKI LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Hình học Tơpơ Mã số: 62 46 10 01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS ĐOÀN THẾ HIẾU TS NGUYỄN DUY BÌNH Nghệ An - 2013 i MỤC LỤC Mục lục i Lời cam đoan iii Lời cảm ơn iv Mở đầu 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Đối tượng nghiên cứu 4 Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan luận án 7.2 Cấu trúc luận án Chương Kiến thức sở 11 1.1 Không gian Lorentz-Minkowski 11 1.2 Các độ cong mặt Rn+1 16 a) Độ cong liên kết với trường vectơ pháp 16 b) Elip độ cong 20 Kết luận chương 22 Chương Xây dựng ánh xạ ν-Gauss nhận giá trị HSr , LSr tính chất hình học mặt ν-rốn 2.1 23 Ánh xạ Gauss nhận giá trị HSr mặt n± r -rốn 25 a) Ánh xạ n± r -Gauss 26 b) Mặt n∗r -dẹt đối chiều hai 27 ii c) Mặt n∗r -rốn đối chiều hai 30 d) Một số ví dụ mặt ν -rốn R41 35 Ánh xạ Gauss nhận giá trị LSr mặt l± r -rốn 40 a) Ánh xạ l± r -Gauss 40 b) Mặt l∗r -rốn đối chiều hai 41 Mặt rốn đối chiều hai 46 Kết luận chương 48 2.2 2.3 Chương Tính chất hình học mặt ν-phẳng R41 49 3.1 Mối liên hệ mặt ν -rốn mặt ν -phẳng 49 3.2 Tính phẳng mặt không gian 4-chiều 54 a) Tính phẳng mặt R4 54 b) Tính phẳng mặt kiểu khơng gian R41 58 Một số ví dụ mặt ν -phẳng 62 Kết luận chương 67 Mặt kẻ mặt trịn xoay kiểu khơng gian R41 68 3.3 Chương 4.1 Mặt kẻ 68 4.2 Mặt tròn xoay 72 a) Mặt tròn xoay kiểu hypebolic 73 b) Mặt tròn xoay kiểu eliptic 79 c) Mặt tròn xoay với kinh tuyến phẳng 84 Kết luận chương 87 Kết luận kiến nghị 88 Danh mục cơng trình nghiên cứu sinh liên quan đến luận án 90 Tài liệu tham khảo 91 Chỉ mục 95 iii Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, kết trình bày luận án hoàn toàn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng luận án khơng trùng lặp với tài liệu khác Tác giả iv LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo PGS TS Đoàn Thế Hiếu thầy giáo TS Nguyễn Duy Bình Sự định hướng quý Thầy nghiên cứu, nghiêm khắc Thầy học tập hướng dẫn tận tình quý Thầy làm việc yếu tố tác động nên việc hoàn thành luận án Thêm vào tình u thương hai Thầy dành cho tác giả sống cho tác giả có sức mạnh để vượt qua nhiều khó khăn học tập nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến với hai Thầy Luận án quà tác giả tặng đến gia đình mình, người dành cho tác giả tốt trình học tập Cảm ơn người vợ thân yêu nỗ lực chăm sóc gia đình suốt thời gian tác giả học Tác giả gửi lời cảm ơn đến Khoa Toán Khoa Sau đại học - Trường Đại học Vinh, nơi tác giả học tập nghiên cứu thời gian làm nghiên cứu sinh Tác giả gửi lời cảm ơn đến Trường Đại học Duy Tân Khoa Khoa học tự nhiên - Trường Đại học Duy Tân, nơi tác giả công tác giảng dạy nơi cử tác giả làm nghiên cứu sinh Tác giả gửi lời cảm ơn đến Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Huế, nơi tác giả dành nhiều thời gian làm nghiên cứu Tác giả gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS TS Nguyễn Huỳnh Phán, PGS TS Nguyễn Hữu Quang, GS TSKH Đỗ Ngọc Diệp, TS Kiều Phương Chi PGS TS Trần Văn Ân dành thời gian đọc luận án cho tác giả nhận xét quý báu Tác giả gửi lời cảm ơn đến tất nhà khoa học, thầy cô, người thân, bạn bè góp ý, ủng hộ động viên tinh thần vật chất dành cho tác giả Nghệ An, tháng 01 năm 2013 Đặng Văn Cường Mở đầu Lý chọn đề tài 1.1 Việc nghiên cứu tính chất địa phương toàn cục mặt vấn đề hình học vi phân Tính chất địa phương mặt tính chất liên quan đến tham số hóa địa phương mặt, cịn tính chất tồn cục tính chất thể tồn mặt mà không chịu chi phối tham số hóa địa phương Chúng ta biết, hình học vi phân cổ điển, công cụ để nghiên cứu tính chất địa phương mặt ánh xạ Gauss Ánh xạ Gauss đưa đến khái niệm độ cong bao gồm: độ cong Gauss; độ cong trung bình; độ cong chính, Với mặt đối chiều một, mặt R3 siêu mặt Rn , ánh xạ Gauss chứng tỏ công cụ hữu hiệu để nghiên cứu tính chất địa phương chúng Chẳng hạn, dựa vào tính chất độ cong nhận kết quả: mặt quy R3 mặt rốn (một phần của) mặt cầu (một phần của) mặt phẳng Đối với tính chất tồn cục mặt, cơng cụ để tìm mối liên hệ tính chất địa phương với tính chất tồn cục trường Jacobi dọc theo đường trắc địa Thông qua cơng cụ số tính chất tồn cục mặt R3 đưa lý thuyết hình học vi phân cổ điển Chẳng hạn, mặt quy R3 có độ cong Gauss đồng khơng mặt kẻ khả triển Việc tìm hiểu kết thể tính chất hình học lớp mặt kiểu không gian đối chiều hai không gian Lorentz-Minkowski, tương tự trường hợp mặt R3 , vấn đề quan tâm 1.2 Hình học mặt R4 quan tâm nghiên cứu số cơng trình như: [10], [31], [32], [38], [34], [26], [30], [39] Chúng ta điểm lại số kết đạt lĩnh vực sau Vào năm 1969, Little [26] xây dựng bất biến hình học, chẳng hạn elip độ cong, để nghiên cứu tính kỳ dị đa tạp đối chiều hai khơng gian Ơ-clít Cũng [26] tác giả mặt R4 thoả mãn điều kiện trường vectơ pháp trường trùng pháp mặt kẻ khả triển Đến năm 1995, Mochida số tác giả khác [31] đưa số điều kiện cần đủ tồn trường trùng pháp mặt R4 Trong báo tác giả khẳng định điều kiện cần đủ để mặt R4 chấp nhận hai trường trùng pháp lồi ngặt địa phương Các kết mở rộng lên mặt đối chiều hai Rn+2 Mochida số tác giả khác [32] vào năm 1999 Hướng nghiên cứu tiếp tục Romero-Fuster Sánchez-Brigas [38] vào năm 2002, để nghiên cứu khái niệm rốn mặt Trong [38] tác giả mối quan hệ tương đương lớp mặt: ν-rốn, tồn hai phương tiệm cận trực giao với điểm, nửa rốn độ cong pháp đồng không Đến năm 2010, Nuno-Ballesteros Romero-Fuster [34] xây dựng khái niệm quỹ tích độ cong (curvature locus), mở rộng khái niệm elip độ cong cho mặt đối chiều hai Rn+2 , để nghiên cứu tính chất đa tạp đối chiều hai Trong báo tác giả chuyển số kết [38] lên đa tạp đối chiều hai Rn+2 Việc phát triển kết nghiên cứu mặt R4 lên mặt kiểu không gian đối chiều hai không gian Lorentz-Minkowski vấn đề quan tâm nghiên cứu 1.3 Những năm gần số kết nghiên cứu mặt kiểu không gian đối chiều hai không gian Lorentz-Minkowski công bố, chẳng hạn [17], [20], [21], [22], [24], [23], Chúng ta điểm qua số kết cho lĩnh vực sau Bằng cách sử dụng tính chất độ cong liên kết với trường vectơ pháp để nghiên cứu mặt kiểu không gian đối chiều hai, vào năm 2004 Izumiya số tác giả khác [20] mặt chứa giả cầu mặt ν-rốn, ν trường vectơ vị trí mặt Với chiều ngược lại mệnh đề này, tác giả [20] bổ sung thêm giả thiết song song ν để mặt ν-rốn chứa giả cầu Trong báo tác giả trình bày lại cách xây dựng khái niệm elip độ cong cho mặt kiểu không gian hai chiều không gian Lorentz-Minkowski số chiều lớn mối liên hệ mặt ν-rốn mặt nửa rốn, mặt mà elip độ cong suy biến thành đoạn thẳng Xuất phát từ tính chất mặt phẳng pháp mặt kiểu không gian đối chiều hai 2-phẳng kiểu thời gian, dễ dàng có sở giả trực chuẩn với vectơ kiểu không gian vectơ kiểu thời gian Bằng cách sử dụng tổng hiệu hai vectơ sở mặt phẳng pháp, vào năm 2007 Izumiya số tác giả [21], xây dựng khái niệm ánh xạ Gauss nón ánh sáng nghiên cứu khái niệm dẹt mặt kiểu không gian đối chiều hai Tìm cách xác định trường vectơ pháp mặt kiểu không gian đối chiều hai, xem ánh xạ Gauss, thuận tiện cho việc nghiên cứu tính chất hình học mặt, vấn đề quan tâm 1.4 Nghiên cứu tính phẳng, điều kiện chứa mặt phẳng, đường cong R3 toán cổ điển hình học vi phân Tính phẳng đường cong phụ thuộc vào độ xoắn đường cong, đường cong phẳng độ xoắn khơng Điều tương đương với trường vectơ trùng pháp đường cong trường vectơ Ngồi số tính chất mặt phẳng mật tiếp đường cong cho số điều kiện đủ để đường cong phẳng Tìm kiếm điều kiện đủ để mặt kiểu không gian R41 chứa siêu phẳng vấn đề quan tâm 1.5 Việc nghiên cứu lớp mặt đặc biệt không gian, chẳng hạn mặt kẻ, mặt tròn xoay, , vấn đề nhà hình học quan tâm Khi xây dựng cơng cụ để nghiên cứu lớp mặt, cơng cụ thực có giá trị đưa phân loại cho lớp mặt đặc biệt Chúng mong muốn đưa định lí phân loại cho lớp mặt đặc biệt, chẳng hạn mặt kẻ cực đại, mặt tròn xoay cực đại hay khảo sát khái niệm rốn lớp mặt Bởi lý nêu trên, tơi chọn đề tài “Một số tính chất địa phương tồn cục mặt đối chiều hai khơng gian Lorentz-Minkowski” làm đề tài luận án tiến sĩ Mục đích nghiên cứu Trong luận án chúng tơi nghiên cứu số tính chất hình học mặt đối chiều hai không gian Lorentz-Minkowski với mục đích sau (1) Xây dựng số cơng cụ hữu hiệu để nghiên cứu tính chất hình học mặt kiểu không gian đối chiều hai (2) Nghiên cứu khái niệm rốn mặt kiểu không gian đối chiều hai, đưa số kết phân loại mặt kiểu không gian ν-rốn đối chiều hai mặt kiểu không gian rốn đối chiều hai (3) Nghiên cứu mối quan hệ mặt ν-rốn mặt ν-phẳng (4) Nghiên cứu điều kiện chứa siêu phẳng mặt không gian R4 sau mở rộng lên mặt kiểu khơng gian R41 (5) Sử dụng kết đạt theo hướng nghiên cứu để ứng dụng vào việc khảo sát tính chất hình học số lớp mặt kiểu không gian đặc biệt không gian Lorentz-Minkowski R41 , mặt kẻ mặt trịn xoay Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án bao gồm: mặt kiểu không gian đối chiều hai; công cụ nghiên cứu mặt kiểu không gian đối chiều hai; tính chất hình học mặt kiểu khơng gian đối chiều hai không gian Lorentz-Minkowski Vậy nên, không nhắc lại, đối tượng mặt luận án hiểu mặt kiểu không gian đối chiều hai Phạm vi nghiên cứu Trong luận án chúng tơi nghiên cứu số tính chất địa phương tồn cục mặt kiểu khơng gian đối chiều hai, nghiên cứu số lớp mặt kiểu không gian đối chiều hai đặc biệt không gian Lorentz-Minkowski Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp lý thuyết trình thực đề tài Bằng cách sử dụng công cụ độ cong mặt, chẳng hạn độ cong liên kết với trường vectơ pháp; elip độ cong; độ cong Gauss, chúng tơi tìm kiếm tính chất hình học mặt đối chiều hai thoả mãn tương ứng điều kiện độ cong mối liên hệ lớp mặt 82 Chú ý 4.2.11 Bằng phép đổi tham số t= C2 (u − C1 ), v = v, ta nhận phương trình tham số hóa mặt trịn xoay kiểu elip rốn X(t, v) = (B sinh t cos v, B sinh t sin v, A cosh t, CB cosh t) , A = ± √ √C+1 , B C2 = ± √1C2 số Định lí 4.2.12 ([6]) Nếu [RE] mặt cực đại ρ(u) = ± (u − C1 )2 − C, C2 g(u) = √ arccosh C u − C1 √ C C22 − C √ arccosh C f (u) = + m, u − C1 √ C + k, C, C1 , C2 , m, k số cho công thức xác định Chứng minh Các công thức (4.16), (4.17) (4.18) điều kiện cực đại [RE] l+ l− l+ l− k11 = −k21 and k11 = −k21 Vậy nên, ta có hệ phương trình vi phân xác định điều kiện cực đại [RE]    (f )2 + (ρ )2 − (g )2 = 1, (a )    ρg = −ρ g , (b )      ρ(ρ f − f ρ ) = f (c ) (4.23) Tương tự cách giải hệ phương trình (4.19) ta nhận phương trình vi phân theo hàm ρ ρ(u).ρ (u) + (ρ (u))2 − = Chú ý 4.2.3 cho kết luận định lí Chú ý 4.2.13 Bằng phép đổi tham số t = arccosh u − C1 √ C , v = v, ta nhận phương trình tham số hóa mặt trịn xoay kiểu eliptic cực đại X(t, v) = (A sinh t cos v, A sinh t sin v, Bt + m, Dt + k) , √ C −C C2 √ √ A = ± C , B = ± C , D = √2C số 83 Với chứng minh tương tự mặt tròn xoay kiểu hypebolic, ta có kết số lượng trường trùng pháp số lượng trường vectơ pháp ν, để mặt ν-rốn, mặt tròn xoay kiểu eliptic Mệnh đề 4.2.14 ([8]) Với giả thiết f g − f g = 0, ta có: Trên [RE] tồn hai trường trùng pháp B1 B2 thoả mãn hai trường tiệm cận tương ứng trực giao với Tồn trường vectơ pháp ν = B1 − B2 [RE] để [RE] mặt ν-rốn Chú ý 4.2.15 Thuộc tính (kiểu khơng gian kiểu thời gian) mặt [RH] [RE] phụ thuộc vào thuộc tính đường kinh tuyến C Khi khơng nhắc đến thuộc tính C (kiểu khơng gian kiểu thời gian) [RH] (t.ư [RE]) gọi mặt tròn xoay kiểu hypebolic (t.ư kiểu eliptic) Tiếp theo nghiên cứu tính chất hình học mặt [RH] [RE] có độ cong Gauss Nhắc lại, với tham số hoá trực giao (u, v), độ cong Gauss mặt kiểu không gian kiểu thời gian 2-chiều (đa tạp nửa Riemann 2-chiều) xác định thông qua hệ số dạng thứ Sử dụng ký hiệu E = g11 = Xu , Xu , F = g12 = Xu , Xv = 0, G = g22 = Xv , Xv , công thức độ cong Gauss xác định ([35, Mệnh đề 4.4, tr 81]) sau K=− gu ε1 eg e u + ε2 ev g , v e = |E|1/2 , g = |G|1/2 ε1 , ε2 tương ứng dấu E, G Định lí sau khẳng định tính chất độ cong Gauss mặt [RH] [RE] trùng phụ thuộc vào hàm bán kính quay Định lí cho xác định cơng thức hàm bán kính quay tương ứng với trường hợp âm, dương hay khơng K Định lí 4.2.16 ([7]) Mặt trịn xoay kiểu hypebolic (eliptic) R41 có độ cong Gauss hằng, K = C, ρ(u) = C1 eλu + C2 e−λu , εC = −2λ2 < 0, 84 ρ(u) = C1 sin(λu) + C2 cos(λu), εC = 2λ2 > 0, ρ(u) = C1 u + C2 , C = 0, C1 , C2 số ε dấu E Chứng minh Các hệ số dạng thứ [RH] ([RE]) xác định E = (f (u))2 + (g (u))2 − (ρ (u))2 = ε, F = 0, G = (ρ(u))2 > 0, ε = ±1 Vậy nên ta có độ cong Gauss mặt K=− 2ρ ρ Bằng cách giải phương trình vi phân K = C, ta có kết luận định lí c) Mặt trịn xoay với kinh tuyến phẳng Cho C đường cong kiểu không gian chứa 2-phẳng span{e1 , e3 } với phương trình tham số r(u) = (f (u), 0, g(u), 0) , u ∈ I, (4.24)   cos αv − sin αv 0      sin αv cos αv 0   , v ∈ R,  Av =    0 cosh βv sinh βv    0 sinh βv cosh βv thoả mãn α2 f (u) − β g (u) > 0, nhóm nhóm phép biến đổi đẳng cự R41 , u ∈ J ⊂ R α, β số dương Quỹ đạo C tác động nhóm Av mặt [GR1] xác định phương trình tham số X(u, v) = (f (u) cos αv, f (u) sin αv, g(u) cosh βv, g(u) sinh βv) Ta có Xu = (f cos αv, f sin αv, g cosh βv, g sinh βv) , (4.25) 85 Xv = (−αf sin αv, αf cos αv, βg sinh βv, βg cosh βv) Các hệ số dạng thứ [GR1] xác định g11 = (f )2 + (g )2 > 0, g12 = 0, g22 = α2 f − β g > Vậy, [GR1] mặt kiểu không gian gọi mặt trịn xoay kiểu I với kinh tuyến phẳng Về phương diện hình học, mặt [GR1] nhận cách quay đường cong C đồng thời quanh hai mặt phẳng Oxy Ozt với hai tốc độ quay α β Dễ dàng kiểm tra được, hệ {n1 , n2 } với n1 = n2 = (f )2 + (g )2 α2 f − β g (g cos αv, g sin αv, −f cosh βv, −f sinh βv) , (−βg sin αv, βg cos αv, αf sinh βv, αf cosh βv) , trường mục tiêu phân thớ pháp [GR1] Khi hệ số dạng thứ hai liên kết với n1 n2 xác định bn111 = f g −f g (f )2 + (g )2 , bn121 = 0, bn221 = − bn112 = 0, bn122 = αβ(f g − f g ) α2 f − β 2g2 β f g + α2 f g (f )2 + (g )2 , , bn222 = Với n trường vectơ pháp [GR1], ta có biểu diễn n = λn1 + µn2 , λ, µ hàm trơn [GR1] Khi ta có   n1 n2 λb11 µb12  (bnij ) = λ(bnij1 ) + µ(bnij2 ) =  n2 n1 µb12 λb22 Vậy nên, Kn = λ2 bn111 bn221 − µ2 (bn122 )2 ((f )2 + (g )2 ) (α2 f − β g ) Số lượng trường trùng pháp [GR1] phụ thuộc vào mối liên hệ hàm f hàm g Chúng ta xét trường hợp cụ thể sau: (a) n2 trường trùng pháp f = cg, c số thoả mãn điều kiện α2 − cβ > Khi bn221 = nên n1 trường trùng pháp, dễ dàng kiểm tra trường vectơ pháp [GR1] trường trùng pháp Điều có nghĩa [GR1] mặt hoàn toàn phẳng C đường thẳng qua gốc tọa độ 86 (b) n1 trường trùng pháp f = cg + c1 α2 f g + β f g = 0, (4.26) c, c1 số Trong trường hợp c1 = [GR1] có trường trùng pháp, n1 Vậy nên, [GR1] chấp nhận trường trùng pháp n1 trường trùng pháp n2 không trường trùng pháp Điều xảy ta có (4.26) c1 = Một ví dụ mặt [GR1] chấp nhận trường trùng pháp X(u, v) = ((u + 1) cos v, (u + 1) sin v, u cosh v, u sinh v) , u > 1, v ∈ [0, 2π) (c) Trên [GR1] không tồn trường trùng pháp −(f g − f g )(β f g + α2 f g ) < αβ(f g − g f ) = Một ví dụ mặt [GR1] khơng tồn trường trùng pháp X(u, v) = u2 cos v, u2 sin v, u cosh v, u sinh v , u > 1, v ∈ [0, 2π) Chứng minh chi tiết giới thiệu Ví dụ 3.3.3 (d) Điều kiện cần đủ để [GR1] có hai trường trùng pháp −(f g − f g )(β f g + α2 f g ) > αβ(f g − g f ) = Một ví dụ mặt [GR1] có hai trường trùng pháp không tồn trường vectơ pháp ν để mặt ν-rốn cho phương trình tham số X(u, v) = e2u cos v, e2u sin v, e−u cosh v, e−u sinh v , với u > 1, v ∈ (0, 2π) Chứng minh chi tiết khẳng định trình bày Ví dụ 3.3.5 Cho C đường cong kiểu không gian span{e1 , e4 } với tham số hóa r(u) = (f (u), 0, 0, g(u)) , u ∈ I,   cos αv − sin αv 0      sin αv cos αv 0  , v ∈ R Bv =     0 cosh βv sinh βv    0 sinh βv cosh βv 87 nhóm nhóm phép biến đổi đẳng cự R41 cho α2 f (u) + β g (u) > u ∈ J ⊂ R, v ∈ R α, β số dương Quỹ đạo C tác động nhóm Bv mặt [GR2] xác định phương trình tham số X(u, v) = (f (u)cosαv, f (u) sin αv, g(u) sinh βv, g(u) cosh βv) , (4.27) Ta có Xu = (f cos αv, f sin αv, g sinh βv, g cosh βv) , Xv = (−αf sin αv, αf cos αv, βg cosh βv, βg sinh βv) Các hệ số dạng thứ [GR2] xác định g11 = (f )2 − (g )2 > 0, g12 = 0, g22 = α2 f + β g > Điều có nghĩa [GR2] mặt kiểu khơng gian gọi mặt tròn xoay kiểu với kinh tuyến phẳng Hoàn toàn tương tự mặt [GR1], đưa điều kiện tương đương với số lượng trường trùng pháp mặt [GR2] Kết luận Chương Trong chương này, giải vấn đề sau: (1) Giới thiệu khái niệm mặt kẻ kiểu không gian mặt kẻ kiểu không gian khả triển, xác định số lượng trường trùng pháp trường vectơ pháp ν mặt kẻ để ν-rốn đưa đặc trưng mặt kẻ cực đại (2) Giới thiệu mặt tròn xoay kiểu hypebolic kiểu eliptic, xác định trường trùng pháp trường vectơ ν để mặt tròn xoay ν-rốn, xác định phương trình tham số hóa mặt tròn xoay kiểu hypebolic kiểu eliptic cực đại chúng mặt rốn (3) Giới thiệu khái niệm mặt tròn xoay với kinh tuyến phẳng R41 , đưa điều kiện tương ứng với số lượng trường trùng pháp lớp mặt Kết Chương trình bày báo [6], [7] [8] 88 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Trong luận án nghiên cứu mặt kiểu không gian đối chiều hai không gian Lorentz-Minkowski, bao gồm: Cấu trúc không gian Lorentz-Minkowski đối tượng nó; số cơng cụ để nghiên cứu mặt đối chiều cao; mặt ν-rốn đối chiều hai; mặt ν-phẳng đối chiều hai; mặt kẻ mặt tròn xoay kiểu không gian không gian R41 Các kết luận án là: Bằng cách giải hệ phương trình đại số, chúng tơi xác định cặp trường vectơ pháp, đồng thời kiểm soát thuộc tính phân thớ pháp mặt đối chiều hai, sau sử dụng cặp trường vectơ pháp khảo sát số tính chất hình học mặt ν-rốn (Định lí 2.1.5, 2.1.12, 2.1.14, 2.1.15, 2.1.16, 2.2.7, 2.2.8, 2.2.9) Kết hợp kết mặt ν-rốn để đưa định lí thể tính chất mặt rốn (Định lí 2.3.2) Chúng tơi đưa ví dụ với tính tốn chi tiết nhằm làm rõ kết đạt Các kết trình bày báo [5], [6] [9] Đưa tiêu chuẩn để kiểm tra trường vectơ pháp trường trùng pháp (Mệnh đề 3.1.2) Xác định số lượng trường trùng pháp mặt ν-rốn, đồng thời tìm mối quan hệ bao hàm lớp mặt ν-rốn ν-phẳng (Định lí 3.1.3) Dựa vào tính chất mặt phẳng tiếp xúc chúng tơi đưa điều kiện đủ để mặt ν-dẹt (Mệnh đề 3.2.5) Dựa vào điều kiện ràng buộc siêu phẳng ν-pháp, đưa điều kiện đủ để mặt ν-phẳng (Mệnh đề 3.2.6) Nghiên cứu tính phẳng mặt khơng gian 4-chiều R4 từ đưa số điều kiện đủ để chúng chứa siêu phẳng (Mệnh đề 3.2.7) Khi phát triển kết đạt mặt ν-phẳng điều kiện chứa siêu phẳng mặt R4 lên mặt kiểu không gian R41 , nhận thấy kết R4 nói chung R41 Sự khác biệt xuất ν trường vectơ pháp kiểu ánh sáng Với trường vectơ pháp kiểu ánh sáng ν, giảm bớt giả thiết Mệnh đề 3.2.7 nhận điều kiện đủ để mặt chứa siêu phẳng kiểu ánh sáng (Mệnh đề 3.2.13, 3.2.15) Các kết 89 trình bày báo [2] [8] Đưa khảo sát chi tiết mặt kẻ R41 bao gồm: xác định số lượng phương trùng pháp điểm (Mệnh đề 4.1.3); xác định điều kiện ν-rốn xác định tính chất hình học mặt kẻ cực đại (Mệnh đề 4.1.5) Nghiên cứu tính chất hình học mặt tròn xoay kiểu hypebolic kiểu eliptic R41 bao gồm: xác định trường trùng pháp mặt xác định trường vectơ pháp ν mặt để mặt ν-rốn (Mệnh đề 4.2.8, 4.2.14); xác định phương trình tham số mặt rốn mặt cực đại (Định lí 4.2.4, 4.2.10, 4.2.6, 4.2.12); xác định điều kiện để mặt có độ cong Gauss (Định lí 4.2.16) Đưa điều kiện tương ứng với số lượng trường trùng pháp mặt tròn xoay R41 với kinh tuyến phẳng cho ví dụ tương ứng cho trường hợp Các kết trình bày báo [6], [7] [8] Kiến nghị Trong thời gian tới, mong muốn tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau Tiếp tục nghiên cứu mặt đối chiều hai để làm rõ cấu trúc hình học mặt ν-rốn đối chiều hai, ν-phẳng, Tìm hiểu xây dựng công cụ hữu hiệu để nghiên cứu mặt kiểu thời gian kiểu ánh sáng đối chiều cao không gian Lorentz-Minkowski Xây dựng khái niệm mặt helicoid R41 nghiên cứu tính chất hình học Nghiên cứu lý thuyết mật độ (density) lên khơng gian Lorentz-Minkowski 90 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA NGHIÊN CỨU SINH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Binh Ng D, Cuong D V, Hieu D Th (2013), “Hyperplanarity of surfaces in 4-dimensional spaces”, submitted Cuong D V (2008), “The flatness of spacelike surfaces of codimension two in Ln+1 ”, Vinh university Journal of science., 37 (2A), 11-20 Cuong D V (2009), “The umbilicity of spacelike surfaces of codimension two in Ln+1 ”, Vinh university Journal of science., 39 (3A), 5-14 Cuong D V (2010), “On general Gauss maps of surfaces”, East-West J of Mathematics., 12 (2), 153-162 Cuong D V (2012), “LSr -valued Gauss maps and spacelike surfaces of revolution in R41 ”, App Math Sci., (77), 3845 - 3860 Cuong D V (2013), “Surfaces of Revolution with constant Gaussian curvature in four-Space”, Asian-Eur J Math., DOI 10.1142/S1793557113500216 Cuong D V (2012) “ The bi-normal fields on spacelike surfaces in R41 ”, submitted Cuong D V and Hieu D Th (2012), “HSr -valued Gauss maps and umbilic spacelike sufaces of codimension two”, submitted Các kết luận án báo cáo thảo luận Hội nghị Đại Số - Hình học - Tơpơ, Vinh 2007 Hội nghị Đại Số - Hình học - Tơpơ, Huế 2009 Hội nghị quốc tế Toán học ứng dụng (ACMA-MU), Thái Lan 2009 Hội nghị Nghiên cứu sinh trường Đại học Vinh, Vinh 2010 Hội nghị Đại Số - Hình học - Tơpơ, Thái Ngun 2011 Hội nghị quốc tế Toán học ứng dụng (ACMA-MU), Thái Lan 2011 Tài liệu tham khảo ¨ urk G (2012), “Generalized rota[1] Arslan K, Bayram B , Bulca B and Oztă tion surfaces in E4 , Results Math., 61 (3-4), 315-327 [2] Binh Ng D, Cuong D V , Hieu D Th (2013), “Hyperplanarity of surfaces in 4-dimensional spaces”, submitted [3] Cuong D V (2008), “The flatness of spacelike surfaces of codimension two in Ln+1 ”, Vinh university Journal of science., 37 (2A), 11-20 [4] Cuong D V (2009), “The umbilicity of spacelike surfaces of codimension two in Ln+1 ”, Vinh university Journal of science., 38 (3A), 5-14 [5] Cuong D V (2010), “On general Gauss maps of surfaces”, East-West J of Mathematics., 12 (2), 153-162 [6] Cuong D V (2012), “LSr -valued Gauss maps and spacelike surfaces of revolution in R41 ”, App Math Sci., (77), 3845 - 3860 [7] Cuong D V (2013), “Surfaces of Revolution with constant Gaussian curvature in four-Space”, Asian-Eur J Math., DOI 10.1142/S1793557113500216 [8] Cuong D V (2012) “ The bi-normal fields on spacelike surfaces in R41 ”, submitted [9] Cuong D V and Hieu D Th (2012), “HSr -valued Gauss maps and umbilic spacelike sufaces of codimension two”, submitted [10] Dreibelbis D (2003), “Singularities of the Gauss map and the binormal surface”, Adv Geom., 3, 453-468 [11] Carmo M P (1976), Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall 91 92 [12] Dursun U, Turgay N C (2012), “Minimal and Pseudo-umbilical Rotational Surfaces in Euclidean Space E4 ”, Mediterr J Math., DOI 10.1007/s00009-011-0167 [13] Ganchev G, Milousheva V (2008), “On the Theory of Surfaces in the FourDimensional Euclidean Space”, Kodai Math J., 31, 183-198 [14] Ganchev G, Milousheva V (2011), “Chen rotational surfaces of hyperbolic or elliptic type in the four-dimensional Minkowski space”, C R Acad Bulg Sci., 64 (5), 641-652 [15] Ganchev G, Milousheva V (2012), “An invariant theory of spacelike gian surfaces in the four-dimensional Minkowski space”, Mediterr J Math., (2), 267-294 [16] Hoffman D A and Osserman R (1983), “The Gauss map of surfaces in Rn ”, J Differential Geom., 18 (4), 733-754 [17] Izumiya S, Pei D-H and Sano T (2003), “Singularities of hyperbolic Gauss maps”, Proceedings of the London Mathematical Society, 86, 485-512 [18] Izumiya S, Pei D and Romero Fuster M C (2004), “The lightcone Gauss map of a spacelike surface in Minkowski 4-space”, Asian J Math., (3), 511-530 [19] Izumiya S, Pei D and Takahashi M (2004), “Singularities of evolutes of hypersurfaces in hyperbolic space”, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 47, 131-153 [20] Izumiya S, Pei D and Romero-Fuster M.C (2004), “Umbilicity of spacelike submanifolds of Minkowski space”, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 134A, 375-387 [21] Izumiya S, and Romero-Fuster M C (2007), “The lightlike flat geometry on spacelike submanifolds of codimension two in Minkowski space”, Selecta Math., 13 (1), 23-55 [22] Izumiya S, Nuno Ballesteros J J and Romero-Fuster M.C (2010), “Global properties on spacelike submanifolds of codimension two in Minkowski space”, Advances in Geometry., 10, 51-75 93 [23] Kasedou M (2009), “Singularities of lightcone Gauss images of spacelike hypersurfaces in de Sitter space”, J Geom., 94, 107-121 [24] Kossowski M (1989), “The S -valued Gauss maps and split total curvature of a spacelike codimension-2 surface in Minkowski space”, J London Math Soc., 40 (2), 179-192 [25] Lane E P (1932), “ Projective differential geometry of curves and surfaces”, University of Chicago Press [26] Little J A (1969), “On singularities of submanifolds of higher dimensional Euclidean pace”, Ann Mat PuraAppl., 83 (4A), 261-336 [27] Lopez ˙ R (2003), “Surfaces of constant Gauss curvature in Lorentz-Minkowski threespace”, Rocky Mountain Journal of Mathematics, 33 (3), 971-993 [28] L´opez R (2008), Diffirential Geomety of Curves and Surfaces in Lorentz-Minkowski space, Universidad de Granada [29] Mello L F (2009), “Orthogonal asymptotic lines on surfaces immersed in R4 ”, Rocky Mountain J Math 39 (5), 1597-1612 [30] Milosheva V (2010), “General rotational surfaces in R4 with meridians lying in two-dimension planes”, C R Acad Bulg Sci., 63 (3), 339-348 [31] Mochida D K H, Romero Fuster M.C, Ruas M A S (1995), “The Geometry of Surfaces in 4-Space from a Contact Viewpoint”, Geom Dedicata., 54, 323-332 [32] Mochida D K H, Romero Fuster M.C, Ruas M A S (1999), “Osculating hyperplanes and asymptotic directions of codimension 2-submanifolds of Euclidean spaces”, Geom Dedicata., 77, 305-312 [33] Navarro M , S´achez F (2009), “A theorem of Gauss-Bonnet type in codimension for Riemannian manifolds of even dimension”, Abstraction and Application., 1, 4-17 [34] Nu˜ no-Ballesteros J J , Romero Fuster M.C (2010), “Contact properties of codimension two submanifolds with flat normal bundle”, Rev Math Iberoamericana., 26 (3), 799-824 94 [35] O’Neill B (1983), Semi-Riemannian Geometry, Academic Press, Orland [36] Palais R S , Terng Ch (1988), Critical Point Theory and Submanifold Geometry, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag [37] Plass M H (1939), Ruled surfaces in Euclidean four space, Ph.D thesis, MIT [38] Romero Fuster M.C, Sánchez-Bringas F (2002), “Umbilicity of surfaces with orthogonal asymptotic lines in R4 ”, Diff Geom and its Appl., 16, 213-334 [39] Weiner J (1984), “The Gauss map for surfaces in 4-space”, Math Ann 269, 541560 Chỉ mục Aνp , 17 [RH], 73 HP n (c), 12 Độ cong, 17 HP n , 12 ν-Gauss-Kronecker, 17 HSr , 27 ν-chính, 17 H n (a, R), 12 ν-trung bình, 17 Hpν , 17 Độ cong pháp, 22 H+n (a, R), 13 Ánh xạ, 16, 17, 27, 41 Hp , 22 l± r -Gauss, 41 Kpν , 17 ν-Gauss, 16 LC, 13 ν-Weingarten, 17 LC(a), 13 n± r -Gauss, 27 LC ∗ , 13 LC+∗ , 13 LC+ (a), 13 LSr , 40 kiν , 17 Elip độ cong, 21 Giả cầu, 12 Np , 22 S+n , de Sitter, 12 13 hypebolic, 12 S1n (a, R), 12 , Rn+1 nón ánh sáng, 13 11 l∗r , 41 Không gian Lorentz-Minkowski, 11 l± r , 41 Mặt, 14, 18, 22, 68, 74, 80, 84, 87 n∗r , 27 ν−cực đại, 19 n± r , 27 ν−phẳng, 19 x, 13 ν−rốn, 18 [GR1], 84 kiểu không gian (kiểu thời gian, kiểu [GR2], 87 ánh sáng) đối chiều hai, 14 [RE], 80 ν−dẹt, 18 95 96 hoàn toàn phẳng, 19 cực đại, 22 kẻ, 68 kẻ khả triển, 68 nửa rốn, 22 rốn, 19 tròn xoay, 74, 80, 84, 87 kiểu với kinh tuyến phẳng, 84 kiểu với kinh tuyến phẳng, 87 kiểu eliptic, 80 kiểu hypebolic, 74 Phép đẳng cự Lorentz-Minkowski, 15 Phương, 19 ν-tiệm cận, 19 tiệm cận, 19 trùng pháp, 19 Siêu phẳng, 12, 19 ν-pháp, 19 ν-mật tiếp, 19 Tích ngoài, 14 Trường, 17, 19 vectơ pháp song song, 17 tiệm cận, 19 trùng pháp, 19 Vectơ, 12, 22 độ cong trung bình, 22 kiểu ánh sáng, 12 kiểu khơng gian, 12 kiểu thời gian, 12 ... cứu Trong luận án nghiên cứu số tính chất địa phương tồn cục mặt kiểu không gian đối chiều hai, nghiên cứu số lớp mặt kiểu không gian đối chiều hai đặc biệt không gian Lorentz- Minkowski Phương. .. gian đối chiều hai; tính chất hình học mặt kiểu khơng gian đối chiều hai không gian Lorentz- Minkowski Vậy nên, không nhắc lại, đối tượng mặt luận án hiểu mặt kiểu không gian đối chiều hai Phạm vi... khái niệm rốn mặt kiểu không gian đối chiều hai, đưa số kết phân loại mặt kiểu không gian ν-rốn đối chiều hai mặt kiểu không gian rốn đối chiều hai (3) Nghiên cứu mối quan hệ mặt ν-rốn mặt ν-phẳng