Một số đặc trưng của đa tạp hyperbolic hầu phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————- HỒNG THIỆN CHÍ MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐA TẠP HYPERBOLIC HẦU PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 Người hướng dẫn khoa học: PGS TS PHẠM VIỆT ĐỨC THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa tạp hầu phức Cấu trúc phức 1.1.2 Nhận xét 1.1.3 Ví dụ 1.1.4 Cấu trúc hầu phức 1.1.5 Đa tạp hầu phức 1.1.1 6 8 1.2 Không gian dạng vi phân ánh xạ đạo hàm Định nghĩa 1.2.2 Định nghĩa 1.2.3 Định lý (Newlander - Nirenberg) 1.2.4 Nhận xét 1.2.1 1.3 Giả khoảng cách Kobayashi đa tạp hầu phức Định nghĩa 1.3.2 Bổ đề 1.3.3 Bổ đề 1.3.4 Định nghĩa 1.3.5 Tính chất 1.3.6 Hệ 1.3.7 Mệnh đề 1.3.8 Định nghĩa 1.3.9 Mệnh đề 1.3.10 Định nghĩa 1.3.1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 11 11 11 12 12 13 15 16 17 17 17 17 17 http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.3.12 Định lý 1.3.13 Định nghĩa 1.3.14 Định nghĩa 1.3.15 Họ đồng liên tục 1.3.16 Định lý Ascoli họ đồng liên tục 1.3.11 18 18 18 18 19 19 1.4 Giả metric vi phân Royden-Kobayashi đa tạp hầu phức 20 Mệnh đề 1.4.2 Định nghĩa 1.4.3 Mệnh đề 1.4.4 Ví dụ 1.4.5 Định nghĩa 1.4.6 Nhận xét 1.4.1 20 20 21 21 21 21 Chương Một số đặc trưng đa tạp hyperbolic hầu phức 2.1 Tính hyperbolic đa tạp hầu phức compact Định nghĩa 2.1.2 Định lý Brody 2.1.3 Bổ đề 2.1.4 Bổ đề tham số hoá Brody 2.1.5 Bổ đề 2.1.1 2.2 Tính hyperbolic đa tạp hầu phức Bổ đề 2.2.2 Định lý 2.2.3 Định nghĩa 2.2.4 Hệ 2.2.5 Hệ 2.2.6 Định lý 2.2.1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 22 22 23 23 26 28 30 30 31 33 33 33 34 http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.3 Đặc trưng tính chất ∆∗ -thác triển đa tạp hầu phức 34 Định nghĩa 2.3.2 Ví dụ 2.3.3 Mệnh đề 2.3.4 Định lý 2.3.5 Bổ đề 2.3.6 Nhận xét 2.3.7 Hệ 2.3.8 Nhận xét 2.3.1 34 34 35 35 35 38 38 39 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Đa tạp hầu phức tổng quát hoá cách tự nhiên đa tạp phức Nghiên cứu lớp đa tạp phức hay đa tạp hầu phức vấn đề hấp dẫn lĩnh vực Giải tích phức Khái niệm tính hyperbolic Kobayashi gần mở rộng đa tạp hầu phức nhiều tác giả Một vấn đề thu hút quan tâm tác giả đặc trưng tính hyperbolic Kobayashi đa tạp hầu phức Mục đích luận văn khảo sát số tiêu chuẩn cho tính hyperbolic đa tạp hầu phức Đây tiêu chuẩn gần chứng minh Haggui - Khalfallah [H-Kh] Dabalme [D] Luận văn gồm có hai chương Chương trình bày số kiến thức đa tạp hầu phức, không gian dạng vi phân ánh xạ đạo hàm, giả khoảng cách Kobayashi đa tạp hầu phức giả metric vi phân Royden - Kobayashi đa tạp hầu phức Chương trình bày chi tiết số tiêu chuẩn cho tính hyperbolic Trong chương này, trước tiên trình bày chứng minh định lý Brody, đặc trưng cho tính hyperbolic đa tạp hầu phức compact Tiếp theo luận văn đưa số tiêu chuẩn cho tính hyperbolic đa tạp hầu phức Cuối luận văn trình bày mối liên hệ tính hyperbolic với tính chất ∆∗ -thác triển đa tạp hầu phức compact Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Luận văn có đề số hướng nghiên cứu phát triển để độc giả tham khảo Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình, chu đáo PGS.TS Phạm Việt Đức Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy mình, người bảo hướng dẫn suốt thời gian học tập nghiên cứu Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Tôi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới tồn thể thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội tận tình giảng dạy động viên suốt thời gian học tập Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Toán, Khoa Sau Đại học, Trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên, Sở GD - ĐT Sơn La, bạn bè đồng nghiệp đặc biệt người thân gia đình động viên, ủng hộ tơi mặt để tơi hồn thành khóa học Trong q trình làm luận văn khơng thể tránh khỏi sai sót, mong độc giả đóng góp ý kiến Tơi hy vọng thân có điều kiện tiếp tục sâu nghiên cứu vấn đề đặt luận văn Thái nguyên, tháng năm 2011 TÁC GIẢ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa tạp hầu phức 1.1.1 Cấu trúc phức Giả sử V R-không gian vectơ J : V −→ V R-đẳng cấu J gọi cấu trúc phức V J := J ◦ J = −Id Giả sử J cấu trúc phức R-không gian vectơ V , ta xây dựng V thành C-không gian vectơ cách đặt (α + iβ)v := αv + βJ(v) = αv + βJv Giả sử V C-khơng gian vectơ có sở {v1 , v2 , , } Xem V R-không gian vectơ VR , xét J : VR −→ VR v −→ Jv = iv Khi J cấu trúc phức VR khơng gian phức mà cảm sinh trùng với khơng gian vectơ phức V ban đầu 1.1.2 Nhận xét VR có R-cơ sở {v1 , v2 , , , Jv1 , Jv2 , , Jvn } Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.3 Ví dụ a) Cn = {(z1 , , zn ) : zj = xj + iyj ∈ C} ∼ = R2n = {(x1 , y1 , x2 , y2 , , xn , yn )} J : R2n → R2n cho bởi: J((x1 , y1 , , xn , yn )) = (−y1 , x1 , , −yn , xn ) Khi J cấu trúc phức R2n b) Giả sử M đa tạp phức m chiều Khi cảm sinh M0 đa tạp thực nhẵn 2m chiều Gọi Tx (M0 ) không gian tiếp xúc thực M0 x gọi Tx (M ) không gian tiếp xúc phức M x Giả sử (U, h) đồ địa phương M quanh x Ta có h : U −→ U ⊂ Cm h = (h1 , h2 , , hn ), cảm sinh h : U −→ R2m cho h(x) = (Reh1 (x), Imh1 (x), , Rehm (x), Imhm (x)) Ta có (U, h) đồ địa phương M0 quanh x Gọi ∂ ∂ , , ∂z1 x ∂zn C-cơ sở Tx (M ) x Nó cảm sinh ∂ ∂ , ∂xj x ∂yj n R-cơ sở Tx (M0 ) x j=1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Xét J : Tx (M0 ) −→ Tx (M0 ) cho v = α1 ∂ ∂x1 + β1 x ∂ ∂y1 + + αn x ∂ ∂xn + βn x ∂ ∂yn ∈ Tx (M0 ) x Jv = (−β1 ) ∂ ∂x1 + α1 x ∂ ∂y1 + + (−βn ) x ∂ ∂xn + αn x ∂ ∂yn x Khi J cấu trúc phức Tx (M0 ) 1.1.4 Cấu trúc hầu phức Giả sử M đa tạp vi phân 2n chiều Gọi π : T M → M phân thớ tiếp xúc thực Giả sử J : T (M ) → T (M ) tự đẳng cấu T (M ) liên kết với ánh xạ đồng M thỏa mãn ∀x ∈ M : Jx = J : Tx (M ) → Tx (M ) Tx (M ) cấu trúc phức R-không gian vectơ Tx (M ) Khi J gọi cấu trúc hầu phức M 1.1.5 Đa tạp hầu phức (M, J) gọi đa tạp hầu phức M đa tạp vi phân chẵn 2n chiều trang bị cấu trúc hầu phức J Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2 Không gian dạng vi phân ánh xạ đạo hàm 1.2.1 Định nghĩa Giả sử M đa tạp vi phân m chiều Đặt T (M )C = T (M ) ⊗R C Tương tự ta định nghĩa T ∗ (M )C = T ∗ (M ) ⊗R C Từ ta định nghĩa tích ngồi ΛT ∗ (M )C εr (M )C = ε(M, Λr T ∗ (M )C ) Gọi εr (M ) không gian dạng vi phân bậc r với giá trị phức Tức với ϕ ∈ εr (M ), ta có ϕ(x) = ϕI (x)dxI |I|=r ϕI hàm giá trị phức = 1≤i1 cho gn (∆r ) ⊂ W với n đủ lớn Theo bổ đề 2.2.1 ta có gn C (∆ 2r ) ≤ cr gn C (∆r ) , từ suy dãy (|g n (0)| = Rn ) bị chặn (3) Từ (1); (2); (3) suy mâu thuẫn Vậy (iii) thoả mãn (iii) ⇒ (i) : Cho p, p ∈ M với p = p W lân cận compact J dạng tích phân metric tương đối p cho p ∈ / W Từ kM J (nhận xét 1.4.6), ta có vi phân Royden - Kobayashi KM J kM (p, p ) ≥ cdg (p, ∂W) > Do (M, J) hyperbolic Định lý chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 2.2.3 Định nghĩa Một đa tạp hầu phức (M, J) gọi có tính chất Landau với p ∈ M với lân cận compact tương đối W p, tồn số C > cho sup { |f (0)| : f ∈ OJ (∆, M ) với f (0) ∈ W } ≤ C Hệ sau tương tự kết Hahn-Kim [H-K] đa tạp phức 2.2.4 Hệ Cho (M, J) đa tạp hầu phức Khi mệnh đề sau tương đương: (i) (M, J) hyperbolic (ii) (M, J) có tính chất Landau Đặc biệt ta có đặc trưng sau tính hyperbolic đa tạp hầu phức compact 2.2.5 Hệ Cho (M, J) đa tạp hầu phức compact Khi mệnh đề sau tương đương: (i) (M, J) hyperbolic (ii) sup {f (0) : f ∈ OJ (∆, M ) < ∞ Chứng minh Theo Hệ 2.2.4 giả thiết (M, J) compact nên (i) tương đương với (M, J) có tính chất Landau, theo Định nghĩa 2.2.3 ta suy (i) tương đương với (ii) Ta điều phải chứng minh Sử dụng Bổ đề tham số hoá Brody cho đa tạp hầu phức, ta có định lý sau Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 2.2.6 Định lý Cho (N, J) đa tạp hầu phức M tập compact N Khi hai mệnh đề sau xảy ra: (i) Tồn lân cận mở M N mà hyperbolic (ii) Tồn J -đường thẳng phức khác M 2.3 Đặc trưng tính chất ∆∗-thác triển đa tạp hầu phức Kết phần là: Một đa tạp hầu phức compact hyperbolic có tính chất ∆∗ -thác triển 2.3.1 Định nghĩa Một đa tạp hầu phức (M, J) gọi có tính chất ∆∗ -thác triển đường cong giả chỉnh hình f : ∆∗ → (M, J) thác triển thành đường cong giả chỉnh hình f : ∆ → (M, J) 2.3.2 Ví dụ Trong [H-Kh] Haggui A.Khalfallah chứng minh rằng: Mỗi đa tạp hyperbolic hầu phức compact có tính chất ∆∗ -thác triển Để chứng minh kết phần này, trước hết ta xét mệnh đề sau Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 2.3.3 Mệnh đề Cho (M, J) đa tạp hầu phức Nếu (M, J) có tính chất ∆∗ thác triển (M, J) khơng chứa J -đường thẳng phức Chứng minh Giả sử tồn đường cong J -chỉnh hình khác σ : C → (M, J) với σ(1) = σ(−1) Xét ánh xạ chỉnh hình g từ ∆∗ đến C cho g n = (−1)n Rõ ràng σ ◦ g khơng thác triển được, (M, J) khơng có tính chất ∆∗ -thác triển Mâu thuẫn với giả thiết Vậy mệnh đề chứng minh Với giả thiết (M, J) hyperbolic, việc thác triển đường cong giả chỉnh hình xác định ∆∗ đặc trưng kết sau 2.3.4 Định lý Cho (M, J) đa tạp hyperbolic hầu phức u : ∆∗ → (M, J) đường cong J -chỉnh hình Khi u thác triển với dãy (zk ) ∆∗ với zk → 0, dãy (u(zk )) nằm tập compact M Trước chứng minh định lý trên, ta xét bổ đề sau 2.3.5 Bổ đề Cho (M, J) đa tạp hyperbolic hầu phức, u ∈ OJ (∆∗ , M ) p ∈ M Lấy (zk ) dãy ∆∗ cho zk → u(zk ) → p Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 Nếu σk = {z ∈ ∆∗ : |z| = |zk |} u(σk ) → p Chứng minh Ta biết dãy độ dài hyperbolic (l(σk )) thoả mãn l(σk ) → Do đó, với wk ∈ σk , ta có J kM (u(wk ), u(zk )) ≤ l(σk ) Theo tính chất hyperbolic (M, J) u(σk ) → p Bổ đề chứng minh Chứng minh Định lý 2.3.4 Ta phải chứng minh điều kiện đủ Theo giả thiết, có dãy (zk ) thuộc ∆∗ với zk → cho (u(zk )) nằm tập compact thuộc M Bằng cách xét dãy con, ta giả thiết u(zk ) → p ∈ M Giả sử u khơng thác triển Khi tồn hai lân cận toạ độ địa phương compact tương đối W, U p cho W ⊂ U, W đồng phơi với hình cầu đơn vị B(p, 1) Cn , tâm p, có dãy (zk ) (zk ) thuộc ∆∗ với u(zk ) ∈ M \U với k, zk → 0, zk → zk < zk < |zk | , u(zk ) ∈ ∂W với k , u(zk ) → q ∈ ∂W Cho G hàm độ dài M Từ (M, J) hyperbolic, tồn số c > cho Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 J ≥ cG U KM (1) Theo Bổ đề 2.3.5, ta có u(σk ) → p, σk = {z ∈ ∆∗ : |z| = |zk |} Gọi Rk vành khuyên mở lớn chứa σk thoả mãn u(Rk ) ⊂ W (2) Từ u(zk ) → q ∈ ∂W , tồn ak ≥ zk bk ≥ zk cho Rk = {z ∈ C : ak < |z| < bk } Ta giả sử ak = zk Nếu không, tồn dãy (wk ) ⊂ ∆∗ cho |wk | = ak u(wk ) → q ∈ ∂W Lấy Rk = z ∈ C : zk < |z| < |zk | ρk = z ∈ ∆∗ : |z| = zk Lại theo Bổ đề 2.3.5, ta có u(ρk ) → q Khi đó, với k đủ lớn ta có u(σk ) ⊂ B(p, 41 ), u(ρk ) ⊂ U \B(p, 43 ) Do đó, có điểm ck ∈ Rk cho u(ck ) ∈ ∂B(p, ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 Vì tất đường cong u(Rk ) chứa W , theo Bổ đề tính đơn điệu Gromov [Mu] tồn số dương ε0 , α cho với ε∈ 0, inf ε0 , , ta có AreaG (u(Rk )) ≥ AreaG (u(Rk ) ∩ B(u(ck ), ε)) ≥ αε2 Mặt khác, ta ký hiệu Area∆∗ (Rk ) diện tích Rk metric Poincaré ∆∗ Khi ta có Area∆∗ (Rk ) = 2π( 1 ) → − log(|zk |) log( zk ) Từ (1) (2) ta nhận AreaG (u(Rk )) ≤ Area∆∗ (Rk ) → 0, c suy mâu thuẫn Vậy định lý chứng minh 2.3.6 Nhận xét Trong chứng minh sử dụng Bổ đề đơn điệu Gromov thay cho lập luận Noguchi [No] sử dụng số Lelong Từ kết Định lý 2.2.6, Định lý 2.3.4 Mệnh đề 2.3.3 ta có hệ sau: 2.3.7 Hệ Cho (M, J) đa tạp hầu phức compact Khi điều kiện sau tương đương: (i) (M, J) hyperbolic (ii) (M, J) có tính chất ∆∗ -thác triển Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 2.3.8 Nhận xét Mỗi đa tạp hyperbolic hầu phức compact có tính chất ∆∗ -thác triển Chứng minh Cho M đa tạp hyperbolic hầu phức compact, G hàm độ dài M f : ∆∗ → (M, J) đường cong J -chỉnh hình Theo Định lý 2.2.2, tồn số c > cho J KM ≥ cG, điều f (z) G 1 J ≤ f ∗ (KM )(z) ≤ K∆∗ (z) c c Do E(f |∆r ) ≤ ( 21 c2 ) ∆r K∆∗ (z) < ∞ với r ∈ (0, 1) Vậy f thác triển đến đường cong J -chỉnh hình f : ∆ → (M, J) Ta có điều phải chứng minh —————————————————————————– Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 Kết luận Luận văn tìm hiểu số đặc trưng tính hyperbolic Kobayashi đa tạp hầu phức Cụ thể trình bày kết sau: Định lý Brody đặc trưng tính hyperbolic đa tạp hầu phức compact (Định lý 2.1.2) Một số tiêu chuẩn cho tính hyperbolic đa tạp hầu phức (Định lý 2.2.2, Hệ 2.2.4, Hệ 2.2.5, Định lý 2.2.6) Chứng minh tính hyperbolic tương đương với tính chất ∆∗ -thác triển đa tạp hầu phức compact (Hệ 2.3.7) Đề tài tiếp tục nghiên cứu phát triển theo hướng: +) Tìm thêm đặc trưng cho tính hyperbolic đa tạp hầu phức +) Mở rộng tương tự trường hợp phức tính nhúng hyperbolic hay tính hyperbolic yếu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 Tài liệu tham khảo [Ba] T.J Barth, The Kobayashi distance induces the standard topology, Proc Amer Math Soc 35 (1972), 439-440 [Br] R.Brody, Compact manifolds and hyperbolicity, Trans Amer Math Soc 235 (1978), 213-219 [D] R Dabalme, Kobayashi hyperbolicity of almost complex manifolds, Pul Irma, Lille 1999 [H-Kh] F Haggui and A.Khalfallah, Some characterizations of hyperbolic almost complex manifolds, Annales Polonici Mathematici (to appear) [H-Ki] T.K Hahn and T.K.Kim, Hyperbolicity of a complex manifold and other equivalent properties, Proc Amer Math Soc 91 (1984), 49-53 [Kr] B Kruglikov, Existence of close pseudoholomorphic disks for almost complex and their application to the Kobayashi-Royden pseudonorm, Funct Anal Appl 33 (1999), 38-48 [La] S.Lang, Introduction to Complex Hyperbolic Spaces, Springer Verlag, NY, 1987 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 [Mu] M.P Muller, Gromov’s Schwarz lemma, in: Holomorphic Curves in Symplectic Geometry, M.Audin and J Lafontaine (eds), Birkhauser, Basel, 1994, 217-231 [Ro] H.Royden, Remarks on the Kobayashi metric, in Lecture Note in Math 185, Springer, 1971, 125-137 [Sk] J.Sikorav, Some properties of holomorphic curves in almost complex manifolds, Holomorphic curves in symplectic geometry (M.Audin and J Lafontaine, eds), Birkhauser, Basel, 1994, pp.165189 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... hyperbolic đa tạp hầu phức Trước tiên đặc trưng cho tính hyperbolic đa tạp hầu phức compact Tiếp theo số tiêu chuẩn cho tính hyperbolic đa tạp hầu phức Cuối cùng, ta đa tạp hầu phức compact hyperbolic. .. cấu trúc phức R-khơng gian vectơ Tx (M ) Khi J gọi cấu trúc hầu phức M 1.1.5 Đa tạp hầu phức (M, J) gọi đa tạp hầu phức M đa tạp vi phân chẵn 2n chiều trang bị cấu trúc hầu phức J Số hóa Trung... 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Đa tạp hầu phức tổng quát hoá cách tự nhiên đa tạp phức Nghiên cứu lớp đa tạp phức hay đa tạp hầu phức vấn