Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HƯỜNG DƯỚI THÁC TRIỂN CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI VỚI KỲ DỊ YẾU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HƯỜNG DƯỚI THÁC TRIỂN CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI VỚI KỲ DỊ YẾU Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Hường i Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà 1.2 Toán tử Monge-Ampère phức Chương 2: DƯỚI THÁC TRIỂN CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HOÀ DƯỚI VỚI KỲ DỊ YẾU 17 2.1 Hàm đa điều hoà với độ đo Monge-Ampere bị chặn địa phương 17 2.2 Dung lượng tập mức hàm đa điều hòa lớp e(W) 22 2.3 Dưới thác triển hàm đa điều hòa với độ đo MongeAmpere bị chặn 27 2.4 Dưới thác triển toàn cục hàm đa điều hoà với kỳ dị yếu 30 2.5 Dưới thác triển toàn cục hàm đa điều hoà với độ đo Monge - Ampere bị chặn 34 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 ii Số hóa Trung tâm Học lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cho WÐ £ n miền siêu lồi Ký hiệu e0 (W) lớp hàm đa điều hoà âm j W với giá trị biên độ đo Monge-Ampere hữu hạn W Ký hiệu F (W) lớp hàm đa điều hoà âm j W cho tồn dãy giảm (j ) j hàm đa điều hoà e0 (W) hội tụ đến j thỏa mãn sup ò (dd cj j )n < + ¥ Ta biết toán tử Monge-Ampere xác định tốt j W lớp F (W) với hàm j Ỵ F (W) kết hợp với độ đo Borel dương độ % miền siêu lồi với đo Monge-Ampere bị chặn W Nếu W W % £ n j Ỵ F (W) tồn hàm đa điều hòa WÐ WÐ %) cho j%£ j W j%Ỵ F (W ị (dd j%) £ ị (dd j ) c % W n c n Hàm W % gọi thác triển j tới W E.Bedford D.Burns sau U.Cegrell, năm 1978, chứng minh vài miền trơn bị chặn thỏa mãn điều kiện biên biết miền tồn hàm đa điều hòa El Mir, năm 1980, cho ví dụ hàm đa điều hịa song đĩa đơn vị £ mà hạn chế lên song đĩa bé khơng có thác triển lên tồn khơng gian Tác giả chứng minh rằng, sau làm yếu tính kỳ dị hàm đa điều hòa cho hợp thành với hàm lồi tăng thích hợp, đạt thác triển tồn cục Sau Alexander Taylor vào năm 1984 tổng quát hóa kết với chứng minh đơn giản hiệu Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ E.Bedford B.A.Taylor, năm 1988, chứng minh miền bị chặn trơn tuỳ ý C n miền tồn hàm đa điều hòa trơn Gần đây, tác giả Cegrell Zeriahi chứng minh hàm đa điều hòa với độ đo Monge - Ampere bị chặn miền siêu lồi bị chặn ln có thác triển đa điều hòa đến miền siêu lồi lớn Ở muốn chứng minh vài kết hàm đa điều hòa với độ đo Monge - Ampere miền siêu lồi bị chặn ln có thác triển đa điều hịa tồn cục với cấp tăng lơga vơ Vì chúng tơi chọn đề tài “Dưới thác triển hàm đa điều hoà với kỳ dị yếu” Đề tài có tính thời sự, nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày số kết việc nghiên cứu thác triển hàm đa điều hoà với kỳ dị yếu 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: + Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hồ dưới, tốn tử Monge-Ampère + Trình bày số kết thác triển hàm đa điều hoà với kỳ dị yếu Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp giải tích phức kết hợp với phương pháp giải tích hàm đại, phương pháp lý thuyết vị phức - Trình bày lại kết U.cegrell, S.kolodziej A.zeriahi Bố cục luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Nội dung luận văn gồm 44 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hồ dưới, tốn tử Monge-Ampère Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày kết nghiên cứu thác triển hàm đa điều hoà với kỳ dị yếu Trong mục 2.1, nhắc lại định nghĩa liên quan đến lớp Cegrell e(W) hàm đa điều hòa với độ đo Monge - Ampere bị chặn địa phương miền siêu lồi WÐ C n Từ cho đặc trưng theo ngơn ngữ dung lượng hàm lớp e(W) Trong mục 2.2, trình bày ước lượng cỡ tập mức hàm đa điều hòa lớp khác lớp e(W) Trong mục 2.3 trình bày kết thác triển hàm đa điều hoà với độ đo bị chặn Trong mục 2.4, sử dụng kết phần 2.2 để tổng quát hóa định lý thác triển Alexander - Taylor, từ suy hàm đa điều hịa có lượng hữu hạn theo nghĩa Cegrell có thác triển tồn cục với cấp tăng lôgarit kiểu logarit bé tùy ý Phần cuối chương này, mục 2.5, sử dụng kết gần từ lý thuyết phương trình Monge - Ampere đa tạp Kahler compact nhờ tác giả Kolodziej, chứng minh hai kết thác triển tồn cục hàm đa điều hịa có độ đo bị chặn miền siêu lồi nhờ hàm đa điều hòa với cấp tăng logarit C n với độ đo Monge - Ampere toàn cục xác định tốt vài trường hợp Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Ngun hướng dẫn tận tình Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn hướng dẫn hiệu kinh nghiệm q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Trường THPT đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt q trình học tập hồn thành luận văn Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết, mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Số hóa Trung tâm Học lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà 1.1.1 Định nghĩa Cho W tập mở £ n u : Wđ [- Ơ , Ơ ) l mt hàm nửa liên tục không trùng với - ¥ thành phần liên thông W Hàm u gọi đa điều hoà với a Ỵ W b Ỵ £ n , hàm l a u(a + l b) điều hồ trùng - ¥ thành phần tập hợp {l Ỵ £ : a + l b Ỵ W} Trong trường hợp này, ta viết u Ỵ P SH (W) ( kí hiệu P SH (W) lớp hàm đa điều hoà W) Sau vài tính chất hàm đa điều hoà dưới: 1.1.2 Mệnh đề Nếu u, v Ỵ P SH (W) u = v hầu khắp nơi W, u º v 1.1.3 Định lý Cho W tập mở £ n Khi (i ) Họ P SH (W) nón lồi, tức a , b số khơng âm u, v Ỵ P SH (W) , a u + b v Î P SH (W) {u } (ii ) Nếu W l liờn thụng v j jẻ Ơ é P SH (W) dãy giảm, u = lim u j ẻ P SH (W) hoc u - Ơ jđ Ơ (iii ) Nu u : Wđ Ă , v nu {u j } jẻ Ơ é P SH (W) hội tụ tới u tập compact W, u Ỵ P SH (W) (iv ) Giả sử {u a } A Ð P SH (W) cho bao u = sup u a A bị chặn địa phương Khi hàm qui nửa liên tục u * đa điều Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ hồ W 1.1.4 Hệ Cho W tập mở £ n w tập mở thực khác rỗng W Nếu u Ỵ P SH (W) , v Ỵ P SH (w) , lim v(x ) £ u (y ) với x® y y ẻ ả w ầ W, thỡ cụng thc íï max {u, v } w w = ïì ïï u W\ w ïỵ xác định hàm đa điều hoà W 1.1.5 Định lý Cho W tập mở £ n (i ) Cho u, v hàm đa điều hoà W v > Nếu f : ¡ ® ¡ lồi, vf (u / v ) đa điều hoà W (ii ) Cho u Ỵ P SH (W) , v Ỵ P SH (W) , v > W Nếu f : ¡ ® ¡ lồi tăng dần, vf (u / v ) đa điều hoà W (iii ) Cho u, - v Î P SH (W) , u ³ W, v > W Nếu f : [0, ¥ ) ® [0, ¥ ) lồi f (0) = , vf (u / v ) Î P SH (W) 1.1.6 Định lý Cho W tập mở £ n F = {z ẻ W: v(z ) = - Ơ } tập đóng W v Î P SH (W) Nếu u Î P SH (W\ F ) bị chặn trên, hàm u xác định íï u (z ) (z Ỵ W\ F ) ïï u (z ) = ì lim sup u (y ) (z ẻ F ) ùù y đ z ïỵ y Ï F Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.3.1 Bổ đề ị (dd j ) Cho j Ỵ F (W) Khi e0 (j ) = c n hữu hạn với dãy W (j j ) j hàm đa điều hòa bị chặn, dần đến biên cho j j ] j W, dãy độ đo Monge-Ampere ò (dd j c j ò (dd j ) )n tăng dần đến c W n W 2.3.2 Định lý % £ n hai miền siêu lồi (Định lý thác triển) Cho WÍ WÍ %) cho j%£ j j Ỵ F (W) Khi tồn hàm đa điều hịa j%Ỵ F (W W ị (dd j%) c % W n £ ò (dd j ) c n W Chứng minh Theo định nghĩa F (W) tồn dãy (j j ) hàm đa điều hòa bị chặn tiến đến biên cho j j ] j ò (dd j c j )n tăng dần đến W ò (dd j ) c n W Khi theo Bổ đề 2.3.1 Cố định số nguyên j W % ý độ đo mj = 1W.(dd cj j )n độ đo Borel với giá compact W %) cho tiêu tập đa cực Khi tồn gj Ỵ F (W % Ta chứng minh g £ j (dd cg j )n = 1W.(dd cj j )n độ đo W j W j %,(dd c y )n ) %) £ f Ỵ L1(W Thật vậy, từ [Ce2] suy tồn y j Ỵ e0(W j j % Vi mi k ẻ Ơ ta xột độ đo Borel cho mj = f j (dd c y j )n độ đo W % Khi (xem [Ce2], [Ko]) $ j mj ,k = inf {k , f j }(dd c y j )n W cho (dd cj j ,k )n = inf {k , f j }(dd c y j )n W j ,k %) gj ,k Ỵ e0(W Ỵ e0(W) sao cho % Theo nguyên lý so sánh (j (dd cg j ,k )n = inf {k , f j }1W(dd cj j )n W 28 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ) j ,k k (gj ,k )k dãy giảm hàm đa điều hoà theo thứ tự thuộc e0 (W) %) thoả mãn g £ j e0 ( W j ,k (j ) giảm đến j j ,k k j % W Suy (gj ,k )k giảm đến g j W j ,k W k đ + Ơ Nh vy g j £ j j W * %) Bây gi vi mi j ẻ Ơ , t g%j = éêsup j £ k (gj )ù Khi g%j Î e0(W ú ë û theo nguyên lý so sánh ò (dd g%) c n j % W £ ò (dd j c j )n g%j £ j j W Khi W %) mà j%£ j W thoả mãn W dãy (g%j ) j giảm đến j%Ỵ F (W ị (dd j%) c % W n £ ò (dd j ) c n Định lý chứng minh W 29 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.4 Dưới thác triển toàn cục hàm đa điều hoà với kỳ dị yếu Trong mục chứng minh định lý thác triển toàn cục lớp hàm đa điều hoà với kỳ dị yếu, tổng quát hoá định lý El Mir ([El]) Alexander Taylor (xem [Al-Ta], [De] ) Từ áp dụng kết đạt để suy định lý thác triển hàm đa điều hoà với lượng hữu hạn Để đạt kết ta cần lớp Lelong hàm đa điều hồ íï ü ïï max z = r u (z ) ï n n ï Lg ( C ) := ì u Ỵ P SH C ; lim sup £ g ïý, g > ïï ïï log r ùợ ù rđ +Ơ ỵ ( ) (2.12) ( ) g = , ta viết L C n = L1( C n ) 2.4.1 Định lý Cho j Ỵ P SH - (W) w Ð W tập mở Định nghĩa hàm c (s ) = c j (s, w) = Cap({z Ỵ w; j (z ) < - s }; W) Giả sử điều kiện tích phân sau +¥ ị c (s ) 1/ n ds < + ¥ Khi với e > tùy ý, tồn hàm U e Ỵ Le ( £ n ) cho U e £ j w Nói riêng nj (a ) = với a Ỵ w tuỳ ý Chứng minh Chúng ta sử dụng cách xây dựng giống ([Al-Ta]) Ký hiệu M (s ) := maxV s = - logT W(w(j ; s )), s > , W w(j ; s ) := {z Î w; j (z ) < - s } V s L - -Taylor ([Al - Ta]), suy 30 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ M (s ) ³ c (s ) - n , "s > 0, (2.13) c (s ) = c j (s; w) s > Định nghĩa hàm ws (z ) = w(z ; s ) := V s (z ) - M (s ),(z , s ) Ỵ C n ´ R + (2.14) Ta chứng minh hàm thoả mãn tính chất sau (i ) ws Ỵ L ws (z ) £ a + log+ z , " z Ỵ C n , " s > , (ii ) ws (z ) = - M (s ), " z Î w(j , s ), " s > , ò w (z )dl (z ) ³ (iii ) max W ws = s - b, " s > , W a, b > số tuyệt đối Giả sử tồn tính chất thoả mãn ý với z Ỵ Cn cố định tùy ý, s a ws (z ) hàm có biến phân bị chặn (bằng hiệu hai hàm đơn điệu) bị chặn trên R + , theo điều kiện (i ) +¥ vc (z ) := ị w(z, s )c (s ) 1/ n ds, z Ỵ C n với c > c Từ điều kiện (i ) suy vc (z ) £ a.hc + hc log+ z , " z Ỵ C n , (2.15) +¥ hc := ị c (s ) 1/ n ds Bây từ (iii ) suy c ò v (z )dl c 2n (z ) ³ - b.hc W Khi từ (2.15) (2.16) suy vc đa điều hoà C n 31 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (2.16) Bây cố định t > c ³ z Ỵ w(j , t ) Khi theo (iii ) , với s < t tùy ý, ta có j (z ) < - t ws (z ) = - M (s ) Từ ws £ W, nên từ (2.13) ta nhận ước lượng sau t vc (z ) £ ò w (z )c (s ) 1/ n s ds £ (- t + c ) c Điều có nghĩa vc (z ) £ j (z ) + c j (z ) < - c Nhưng j (z ) ³ - c bất đẳng thức rõ ràng thoả mãn, vc (z ) £ với z Ỵ W tùy ý Đặt uc (z ) := vc (z ) - c z Ỵ Cn Rõ ràng uc £ j w (2.15) suy uc (z ) £ a.hc - c + hc log+ z , " z Ỵ C n (2.17) Bây cho e > , ta chọn c = c(e) > cho h(c) < e , hàm tương ứng U e := uc ( e ) thoả mãn kết luận định lý với g(e) := a.hc( e) - c( e) Bây vấn chất (i ) , (ii ) (iii ) Theo định nghĩa ws Ỵ L max W ws = Khi ws £ V W C n với s > tùy ý, điều chứng minh (i ) , V W Ỵ L Điều kiện (ii ) tầm thường V s = V w (j ,s ) = w(j , s ) Điều kiện (iii ) liên quan đến bất đẳng thức Alexander (xem [Al], [Si], [De] ) chứng minh sau Chú ý lớp chuẩn hóa LW = {w Ỵ L; max W = 0} hợp compac tương đối L L1loc -tơpơ (xem [Ze]) 32 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ wa ị w(z )dl (z ) L Vì bị chặn LW Điều W chứng minh điều kiện (iii ) Bây từ kết chúng ta, ta suy định lý thác triển Alexander - Taylor Cho h : R - ® R - hàm lồi tăng cho +¥ ò - h(- t ) dt < + ¥ t 1+ 1/ n (2.18) Ta có kết sau 2.4.2 Hệ Cho u Ỵ P SH - (W) h : R - ® R U e Î Le ( C n ) (2.18) Khi với miền w Ð W e > cho U e £ h(u ) w Chứng minh Giả sử g : R - ® R - hàm ngược h Khi w(h(u ); s ) = w(u; g(- s )) với s > tùy ý Bây sử dụng ước lượng dung lượng thơng thường u ta có Cap(w(h(u ); s ); W) £ A , "s > - g(- s ) (2.19) +¥ Chú ý điều kiện (2.18) h kéo theo ò (- g(- s )) - 1/ n ds < + ¥ +¥ (2.19) suy điều kiện ò c (s ) 1/ n ds < + ¥ ) thoả mãn hàm h(u ) 2.4.1 2.3 định lý 2.4.1, ta thấy hàm thuộc lớp ep (W), với p > , có thác triển tồn cục có cấp tăng lơgarit vơ cực bé tuỳ ý 33 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.4.3 Hệ Giả sử j Ỵ ep (W) , với p > Khi với e > tùy ý, tồn hàm U e Ỵ Le ( C n ) cho U e £ j W Chứng minh từ ước lượng (2.7) Mệnh đề 2.2.1 suy điều kiện +¥ ị c (s ) 1/ n ds < + ¥ Định lý 2.4.1 t w = W, điều kéo theo kết 2.5 Dưới thác triển toàn cục hàm đa điều hoà với độ đo Monge Ampere bị chặn C2 - WÐ C n hàm thuộc lớp F (W) ln có thác triển (xem [Ce - Ze]) Trong phần chứng minh hàm có thác triển tồn cục hàm đa điều hồ cấp tăng lơgarit C n Ngồi lớp Lg ( C n ) 2.4, ta cần lớp sau íï L+g C n := ì u Ỵ P SH ( C n ); sup u(z ) - log + z < + Ơ ùợù zẻ Ê n ( ) ỹ ùý ùỵ ù Bõy gi ta cú kết 2.5.1 Định lý Cho WÍ £ n miền siêu lồi bị chặn j Ỵ F (W) Khi tồn hàm đa điều hịa u Ỵ Lg ( £ n ) với g n = ò (dd j ) c n cho max u = W u£ j W 34 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ W Chứng minh 1) Trước tiên giả sử j Î e0 (W) định nghĩa độ đo Borel sau B Ð C n cho WÐ B Khi nói chung m := 1W(dd cj )n khơng có hàm đa điều hoà bị chặn v B cho (dd cv )n ³ m B Ta xấp xỉ độ đo m độ đo mà hàm đa điều hồ bị chặn tồn Thật vậy, m triệt tiêu tập đa cực, nên theo ([Ce]) tồn y Ỵ e0 (B) f Î L1 (B, m) cho m = f (dd c y )n B mk := 1W inf {f , k }(dd c y )n , k Ỵ N với giá compact B 1n Cố định k ³ Vì mk £ (dd c y k )n B , y k := k y Ỵ e0 (B), ( ) nên tồn u k Ỵ L+gk C N cho (dd cu k )n = mk C n , gkn := mk (B) Có thể chuẩn hố u k cho max W u k = Ta tìm gk Ỵ e0 (W) cho (dd c gk )n = mk W Khi theo Nguyên lý so sánh, ta có uk £ gk W dãy độ đo (mk ) tăng, nên dãy hàm đa điều hoà (g )giảm k đến j W Theo Bổ đề Hartogs, * u := (lim sup k đ + Ơ u k ) đa điều hoà C n max W u = rõ ràng u £ j W u Ỵ Lg ( C n ) , g n := ị (dd u ) c n , gk £ g , " k Ỵ N W j Ỵ F (W) Theo Bổ đề 2.1.1, tồn dãy giảm (j hàm ò (dd j ) c n thuộc = lim j ò (dd cj j )n W g n := lớp e0 (W) ta hội xác tụ đến định j g> W j ) cho W ò (dd j ) c n < + Ơ v c nh j ẻ N Khi theo trường hợp thứ W 35 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ tồn u j Ỵ L+g ( £ n ) cho max W u j = u j £ j j g nj = j W, * c n n ò (dd j j ) Suy u = (lim sup j đ + Ơ u j ) Ỵ Lg (C ) thoả mãn bất W đẳng thức u £ j W theo Bổ đề Hartogs ta có max W u = Từ kết ta nhận Hệ sau 2.5.2 Hệ Cho WÍ £ n miền siêu lồi bị chặn j Ỵ e(W) Khi với tập mở w Ð W tùy ý, tồn hàm u Ỵ Lg ( £ n ) , g > cho u £ j W Chứng minh Kết suy từ Định lý 2.4.1 áp dụng cho hàm j%w Ỵ F (W) thỏa mãn j%w = j w theo Mệnh đề 2.1.2 2.5.3 Định lý Cho WÍ £ n miền siêu lồi bị chặn y Ỵ F a (W) với ò (dd y ) c n = W Khi tồn u Ỵ L(£ n ) cho u £ y W (dd cu )n = 1W(dd c y )n £ n Ở (dd cu )n độ đo có tính chất với dãy v j Ỵ L+ ( £ n ) tùy ý giảm tới u ta có (dd cv j )n ® (dd cu )n yếu £ n W¢ chứa W Khi theo [Ce 3], tồn Chứng minh hàm đa điều hoà ( dd cj n ) ( = 1W dd c y n ) j ẻ F a (WÂ) cho j £ y = : d m độ đo Borel W¢ W m(U j ) đ j đ Ơ , ú U j = z ẻ WÂ; j (z ) < - j Đặt d mj = d m - dm\ U ý { } n j dd c sup {j , - j } ³ d mj W¢ (xem [De], [Ce - Ko]) Khi tồn ( ) 36 Số hóa Trung taõm Hoùc lieọu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ n j j ẻ e0(WÂ) cho dd cj ( j ( ) $ u j Ỵ L+ C n ) = d mj Đặt a j = sup W¢ u j = , u j £ j vj ³ u j Đặt v j = (sup u k )* k³ j ý a j ³ , mj (W¢) ( dd cu j j n ) = a jd mj y ³ j ³ u := lim v j Ỵ L Chú ý với j Ỵ N cố định, dãy v%j ,k = sup {ul ; j £ l £ k }, k ³ j dãy tăng hàm đa điều hoà L+ ( C n ) mà hội tụ hầu khắp nơi C n ( dd cul n ) ( ³ dm C n \ U j , với l ³ j bất kỳ, nên ta có dd cv j ,k ( C n \ U j Theo Định lý hội tụ [Be-Ta1], suy dd cv j n ) n ) v j Vì ³ dm ³ dm C n \ U j với M > ta có n ( ) dd c max (v j , - M ) ³ dm C n \ (U j È V M ),V M := {u < - M } Vì theo Định lý hội tụ [Be - Ta1] n ( jđ Ơ n ) ( ) ( ) lim dd c max (v j , - M ) = dd c max (u, - M ) nên ta (dd c n ) n max (u, - M ) = lim dd c max (v j , - M ) ³ dm C n \ V M j® ¥ Do n ( ) lim dd c max (u, - M ) dm MđƠ trờn C n Do ( n ) d mM = dd c max (u, - M ) ® d m 37 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lấy dãy (w j ) hàm liên tục L+ ( C n ) u Ta phải chứng minh n (dd w ) c j ® dm Khơng tính tổng quát giả sử w j > w j + với " j Với j Ỵ N , đặt ( dv j = dd cw j n n ( ) ) dv j ,M = dd c max (w j , - M ) { } Cố định t > Khi E j = w j > u + (t - 1) Ç {u ³ - M + 1} ta có ị dm ® (2.20) Ej (vì E j giảm đến Ỉ ) Vì {w j < - M } w j đơn điệu chặt nên tìm k đủ lớn vk < w j với k > k tập hợp Chú ý w j (z ) < - M ( ) w j (z ) + M > vk (z ) + M > t vk (z ) + M Từ đó, theo Nguyên lý so sánh ta có n ò (dd w ) c ò £ j {w j < - M } n (dd w ) c j {t (vk + M )< w j + M } ò £ tn ( dd cvk n ) ò £ tn ( {u < - M + 1}È E j {t (vk + M )< w j + M } Khi đó, theo (2.20) ta có lim sup j® ¥ ò ( dd cw j n ) ò ( £ lim inf {w j < - M } k® ¥ dd cvk n ) = : e(M ) {u < - M + 1} Từ ước lượng dv j ,M = dv j {w j > - M } ta suy v j ,M - v j £ 2e (M / 2), j ³ j (M ) 38 Số hóa Trung tâm Học lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ n ) dd cvk Ta chứng minh e (M ) ® M ® ¥ Thật vậy, n ị (dd v ) c k ( ) = = m Cn ( dd cvk n ) ³ dm W\ U k É W\ (U k È V M - ), Cn nên suy n ò (dd v ) c k £ m(U k È V M - ) £ m(U k ) + m(V M - ) U k ÈV M - Vì độ đo m triệt tiêu tập đa cực nên m(U k ) đ 0, k đ Ơ Suy e (M ) £ m(V M - ) Do hàm kiểm tra c ta làm cho số hạng thứ thứ ba bên phải cơng thức ị c d (v j - m) = ò c d (v - v j ,M ) + j ò c d (v j ,M - mM ) + ò c d (m ớn j j (M ) j đ Ơ theo M - m) KẾT LUẬN Luận văn trình bày: - Tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hồ số tính chất toán tử Monge-Ampère - Định nghĩa liên quan đến lớp Cegrell e(W) hàm đa điều hòa với độ đo Monge - Ampere bị chặn địa phương miền siêu lồi WÐ C n Từ cho đặc trưng theo ngơn ngữ dung lượng hàm lớp e(W) - Ước lượng cỡ tập mức hàm đa điều hòa lớp khác lớp e(W) 39 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ - Tổng quát hóa định lý thác triển Alexander - Taylor, từ suy hàm đa điều hịa có lượng hữu hạn theo nghĩa Cegrell có thác triển tồn cục với cấp tăng lôgarit kiểu logarit bé tùy ý - Chứng minh hai kết thác triển tồn cục hàm đa điều hịa có độ đo bị chặn miền siêu lồi nhờ hàm đa điều hòa với cấp tăng logarit C n với độ đo Monge - Ampere toàn cục xác định tốt vài trường hợp 40 Soá hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [Dieu-Hai] Nguyễn Quang Diệu Lê Mậu Hải, Cơ sở lí thuyết đa vị, NXB Đại học sư phạm Hà Nội, (2009) Tiếng Anh: [Al] H Alexander, Projective capacity, Ann of Math Studies, Conference on Several Complex Variables, Princeton, 100 (1981), pp 3-27 [Al-Ta] H Alexander and B.A Taylor, Comparison of two capacities in C n , Math Zeit., 186 (1984), 407-417 [Be-Ta1] E Bedford and B.A Taylor, A new capacity for plurisubharmonic functions, Acta Math., 149 (1982), 1-40 [Be-Ta2] E Bedford and B.A Taylor, Smooth plurisubharmonic functions Without subextension, Math Zeit 198-3 (1988), 331-337 [Bl] Z Blocki, Estimates for the complex Monge-Ampere operator, Bull Polish Acad Sci Math., 41 (1993), 151-157 [Ce1] U Cegrell, On the domains of existence for plurisubharmonic functions, Complex Analysis (Warsaw 1979), 33-37, Banach Center Publ., 11, PWN, Warsaw 1983 Acta Math., 180 (1998), 187-217 [Ce2] U Cegrell, Pluricomplex energy, Acta Math., 180 (1998), 187-217 [Ce3] U Cegrell, The general definition of the complex Monge-Ampere operator (to appear in Ann Inst Fourier) 10 [Ce-Ko] U Cegrell and S.Kolodziej, The Dirichlet problem for the complex Monge-Ampere operator: Perron classes and rotation invariant measures, Michigan Math J.,41 (1994), 563-569 41 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 11 [Ce-Ze] U Cegrell and A.Zeriahi, Subextension of plurisubharmonic functions with bounded Monge-Ampere mass, C.R.Acad Sci Paris Ser.I 336(2003) 12 [De] J.-P Demailly, Potential theory in several complex variables, Ecole D’ete d’Analyse complex du CIMPA, Nice, 1989 13 [EI] H El Mir, Fonctions plurisousharmoniques et ensembles pluripolaires, Se- minaire Lelong-Skoda, Lecture Notes in Math 822, Spring-Verlag 1980, 61-76 14 [Fo-Sib] J.E Fornaess and N Sibony, plurisubharmonic functions on ring Do -mains, Complex Analysis (Univ Park, 1986), Lecture Notes in Math 1268 Springer-Verlag, (1987), 111-120 15 [Ko] S Kolodziej, The range of the complex Monge-Ampere operator II, India U.Math.J.44,3 (1995), 765-782 16 [Si] J.Siciak, Extremal plurisubharmonic functions and capacities in C N , Sophia Kokyuroku in Math., Tokyo, 14 (1982) 42 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... mức hàm đa điều hòa lớp e(W) 22 2.3 Dưới thác triển hàm đa điều hòa với độ đo MongeAmpere bị chặn 27 2.4 Dưới thác triển toàn cục hàm đa điều hoà với kỳ dị yếu 30 2.5 Dưới. .. kết hàm đa điều hòa với độ đo Monge - Ampere miền siêu lồi bị chặn ln có thác triển đa điều hịa tồn cục với cấp tăng lơga vơ Vì chúng tơi chọn đề tài ? ?Dưới thác triển hàm đa điều hoà với kỳ dị yếu? ??... BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà 1.2 Toán tử Monge-Ampère phức Chương 2: DƯỚI THÁC TRIỂN CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HOÀ DƯỚI VỚI KỲ DỊ YẾU 17 2.1 Hàm đa điều hoà với độ đo Monge-Ampere