Dạy giải toán chủ đề phương trình và bất phương trình theo quan điểm hàm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––––– NGUYỄN THỊ NGA DẠY GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH THEO QUAN ĐIỂM HÀM Chuyên ngành: Lý luận phƣơng pháp dạy học môn Toán Mã số: 60.14.01.11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS NGUYỄN HỮU CHÂU THÁI NGUYÊN – 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn thạc sỹ cơng trình nghiên cứu khoa học riêng Các kết nghiên cứu Luận văn trung thực có nguồn gốc rõ ràng Tác giả Luận văn Nguyễn Thị Nga Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN i http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CẢM ƠN Luận văn kết trình học tập nghiên cứu tơi Với tình cảm chân thành, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên – Đại học Thái Nguyên quan tâm, giúp đỡ trình học tập thực đề tài Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến GS TS Nguyễn Hữu Châu, thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi q trình hồn thành Luận văn Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, thầy cô nhóm Tốn thuộc tổ Tự nhiên trường THPT Nguyễn Tất Thành – ng Bí – Quảng Ninh, cảm ơn bạn học viên lớp Cao học Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn khóa 21, em học sinh, người thân gia đình tạo điều kiện thuận lợi, động viên thực đề tài Cuối cùng, dù tâm huyết cố gắng song Luận văn chắn nhiều thiếu sót Kính mong dẫn nhà khoa học bạn đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn ! ng Bí, ngày tháng năm 2015 Học viên Nguyễn Thị Nga Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN ii http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iv MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Khách thể đối tượng nghiên cứu Giả thuyết khoa học Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Những đóng góp luận văn Cấu trúc luận văn Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Hàm quan điểm hàm dạy học tốn trường phổ thơng 1.1.1 Khái niệm hàm 1.1.2 Quan điểm hàm dạy học tốn trường phổ thơng 1.1.3 Đặc trưng quan điểm hàm dạy học tốn trường phổ thơng 1.1.4 Chủ đề hàm chương trình Tốn phổ thơng 1.2 Thực trạng việc dạy giải tốn chủ đề phương trình bất phương trình theo quan điểm hàm trường phổ thơng 24 1.3 Kết luận chương 29 Chƣơng 2: DẠY GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH THEO QUAN ĐIỂM HÀM 31 2.1 Một số dạng tốn giải theo hướng vận dụng quan điểm hàm 31 2.1.1 Phân loại, phân bậc toán 31 2.1.2 Hướng dẫn học sinh phương pháp chung để giải toán theo hướng vận dụng quan điểm hàm 32 2.2 Một số tri thức hàm số 33 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN iii http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.2.1 Dấu hiệu đạo hàm tính đơn điệu hàm số 33 2.2.2 Dấu hiệu đạo hàm tồn nghiệm phương trình 33 2.2.3 Các kết toán 33 2.3 Hệ thống tập gợi ý với giáo viên nhằm rèn luyện kỹ giải phương trình bất phương trình dựa vào quan điểm hàm 34 2.3.1 Vận dụng tri thức hàm số vào việc giải phương trình đại số hữu tỉ phương trình đại số vô tỉ 34 2.3.2 Vận dụng tri thức hàm số vào việc giải phương trình lượng giác 54 2.3.3 Vận dụng tri thức hàm số vào việc giải phương trình mũ phương trình lơgarit 66 2.3.4 Vận dụng tri thức hàm số vào việc giải bất phương trình đại số hữu tỉ, bất phương trình đại số vơ tỉ 90 2.3.5 Vận dụng tri thức hàm số vào việc giải bất phương trình mũ lôgarit 94 2.4 Kết luận chương 98 Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 100 3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 100 3.1.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 100 3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 100 3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 100 3.3 Đối tượng thực nghiệm sư phạm 101 3.4 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 101 3.5 Kết thực nghiệm sư phạm 101 3.5.1 Cơ sở để đánh giá kết thực nghiệm 101 3.5.2 Kết thực nghiệm sư phạm 114 3.6 Kết luận chương 117 KẾT LUẬN 118 TÀI LIỆU THAM KHẢO 119 PHỤ LỤC Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN iv http://www.lrc.tnu.edu.vn/ DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT CĐ Cao đẳng ĐH Đại học ĐK Điều kiện HS Học sinh NXB Nhà xuất QĐH Quan điểm hàm SGK Sách giáo khoa THPT Trung học phổ thông TXĐ Tập xác định VD Ví dụ Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN iv http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong môn học nhà trường phổ thơng, mơn Tốn có vị trí quan trọng Tốn học cơng cụ nhiều mơn học khác Mơn Tốn có khả to lớn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh óc tư trừu tượng, tư xác, tư lơgic Qua có tác dụng lớn việc rèn luyện cho học sinh tính tư lơgic Trong năm gần đây, nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học mơn Tốn nói riêng yêu cầu cấp bách ngành giáo dục Đảng nhà nước ta đề nhiều chủ trương, sách nhằm phát triển giáo dục với mục tiêu đào tạo người Việt Nam phát triển tồn diện, có tri thức, phẩm chất tốt, có trình độ thẩm mỹ lòng yêu nghề nghiệp, đáp ứng yêu cầu nghiệp xây dựng bảo vệ Tổ quốc thời kỳ Một nhiệm vụ giải pháp lớn giáo dục đề Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ XI Đảng là: "Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện Đổi cấu, tổ chức, nội dung, phương pháp dạy học theo hướng chuẩn hoá, đại hố, xã hội hố Phát huy trí sáng tạo, khả vận dụng, thực hành người học" Điều 28 khoản Luật Giáo dục nêu rõ: "Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh" [19] Với mục tiêu đổi nội dung phương pháp dạy học nói chung, nội dung phương pháp dạy học mơn Tốn nói riêng diễn sâu rộng tất bậc học cấp học Trong mơn Tốn trường Phổ thơng chủ đề phương trình bất phương trình giữ vị trí quan trọng Kiến thức kỹ chủ đề có mặt xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối cấp Những kiến thức Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ phương trình bất phương trình cịn chìa khóa để giải nhiều vấn đề thuộc hầu hết chủ đề kiến thức Đại số, Giải tích Hình học, đặc biệt Hình học giải tích Bên cạnh kiến thức hàm số có vai trị quan trọng tồn chương trình mơn Tốn phổ thơng Hàm số giữ vị trí trung tâm, việc đảm bảo vị trí trung tâm hàm số tăng cường tính thống giáo trình Tốn phổ thơng, góp phần xóa bỏ ranh giới giả tạo phần khác chương trình Theo [17, trang 93], quan điểm thể rõ nét chương trình Tốn trường THPT : - Nghiên cứu hàm số coi nhiệm vụ chủ yếu suốt chương trình bậc Phổ thơng; - Phần lớn chương trình Đại số Giải tích giành cho việc trực tiếp nghiên cứu hàm số; - Cấp số cộng cấp số nhân nghiên cứu hàm số đối số tự nhiên; - Lượng giác chủ yếu nghiên cứu hàm số lượng giác, cịn phần cơng thức biến đổi giảm nhẹ; - Phương trình bất phương trình trình bày liên hệ chặt chẽ với hàm số Trong dự thảo chương trình mơn Tốn trường THPT (Dự thảo 1989 – trang 17) có quy định: " Nghiên cứu hàm số coi nhiệm vụ chủ yếu suốt chương trình bậc Phổ thơng trung học…" theo [4] Có thể nói hàm nói chung hàm số nói riêng sợi đỏ xun suốt nội dung mơn Tốn trường Phổ thơng Các kiến thức hàm thể nhiều lĩnh vực, đặc biệt phương trình bất phương trình Nhưng thực tế dạy học phương trình bất phương trình THPT nhận thấy HS thường mắc số sai lầm đa số em chưa có kỹ thành thạo để giải phương trình bất phương trình theo QĐH Hơn Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ năm gần đề thi CĐ - ĐH, thi học sinh giỏi cấp ln có dạng tập phương trình bất phương trình, có nhiều tập giải theo QĐH Đã có số cơng trình nghiên cứu biện pháp nâng cao chất lượng dạy học nội dung phương trình, bất phương trình Nhưng chưa có cơng trình nghiên cứu việc dạy giải tốn phương trình bất phương trình theo QĐH Xuất phát từ lý nên chọn đề tài "Dạy giải tốn chủ đề phương trình bất phương trình theo quan điểm hàm" Mục đích nghiên cứu Tổng kết số yếu tố lý luận thực tiễn dạy giải toán theo QĐH đề xuất số biện pháp sư phạm nhằm phát triển khả giải tốn phương trình, bất phương trình theo QĐH cho học sinh THPT Khách thể đối tƣợng nghiên cứu 3.1 Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học phương trình bất phương trình trường THPT 3.2 Đối tượng nghiên cứu: Các mơ hình dạy giải tốn chủ đề phương trình bất phương trình cho học sinh THPT theo QĐH Giả thuyết khoa học Trên sở lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn thực tiễn dạy học phương trình bất phương trình, khai thác vận dụng thành thạo QĐH để giải phương trình bất phương trình phát huy khả phát tìm lời giải, phân tích tập, hệ thống dạng tốn HS việc học tập, qua nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn trường THPT Nhiệm vụ nghiên cứu 5.1 Tổng kết số vấn đề lý luận QĐH giải toán theo QĐH 5.2 Đề xuất số biện pháp sư phạm giúp HS phát triển khả giải phương trình bất phương trình theo QĐH thơng qua việc phân loại tập phương trình, bất phương trình giải theo QĐH Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 5.3 Tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi hiệu nội dung đề xuất Phƣơng pháp nghiên cứu 6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu dạy học theo QĐH, phương pháp dạy học mơn Tốn tài liệu khác liên quan đến đề tài 6.2 Phương pháp điều tra, quan sát: Khảo sát thực trạng dạy học giải tốn phương trình, bất phương trình theo QĐH trường THPT 6.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi hiệu việc dạy giải tốn chủ đề phương trình bất phương trình theo QĐH trường Phổ thơng Những đóng góp luận văn 7.1 Góp phần hệ thống lại số yếu tố lý luận thực tiễn dạy giải tốn theo QĐH trường Phổ thơng 7.2 Hệ thống phân loại dạng tập phương trình bất phương trình thường gặp THPT giải theo QĐH 7.3 Đưa số dẫn cho giáo viên giúp HS giải hệ thống tập phương trình, bất phương trình theo QĐH Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, phụ lục, nội dung luận văn gồm ba chương Chương 1: Cơ sở lý luận thực tiễn Chương 2: Dạy giải tốn chủ đề phương trình bất phương trình theo quan điểm hàm Chương 3: Thực nghiệm sư phạm Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ K gọi chung hàm số đơn điệu K) Chú ý : Nếu f’(x) = 0, x  K f(x) khơng đổi K Ta có định lí mở rộng sau Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm K Nếu f’(x)  (f’(x)  ), x  K f’(x) = số hữu hạn điểm hàm số đồng biến (nghịch biến) K ? Hãy nêu dấu hiệu đạo hàm Dấu hiệu đạo hàm tồn tồn nghiệm phương trình ? nghiệm phƣơng trình Hs suy nghĩ, trả lời Định lí Cho hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a ; b] f(a).f(b) < phương trình f(x) = có nghiệm nằm khoảng (a ; b) ? Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu Các kết toán khoảng (a ; b) phương trình f(x) = Kết Nếu hàm số y = f(x) đơn k có nghiệm (a ; b)? điệu khoảng (a ; b) phương HS : Có khơng q nghiệm trình f(x) = k có khơng q nghiệm khoảng (a ; b) ? Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu Kết Nếu hàm số y = f(x) đơn khoảng (a ; b) f(u) = f(v) ? điệu khoảng (a ; b) f(u) = HS : u = v f(v)  u = v, u   a; b  ? Nếu hàm số y = f(x) đồng biến, hàm y = g(x) nghịch biến khoảng (a ; b) phương trình f(x) = g(x) có tối đa nghiệm (a ; b) ? HS : có khơng q nghiệm Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN v   a; b  Kết Nếu hàm số y = f(x) đồng biến, hàm y = g(x) nghịch biến khoảng (a ; b) phương trình f(x) = g(x) có khơng q nghiệm (a ; b) 111 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Hoạt động : Hƣớng dẫn HS vận dụng tri thức hàm số để giải phƣơng trình dạng f(x) = k, x K, f(x) hàm đơn điệu K Hoạt động Thầy trị ? Đêr giải phương trình, bước ta cần làm ? HS : Tìm điều kiện phương trình ? Nếu hàm số f(x) đơn điệu khoảng K phương trình f(x) = k có tối đa nghiệm K ? HS : có tối đa nghiệm Khi giáo viên nêu nhận xét :  nghiệm phương trình nghiệm phương trình ? Hãy nêu bước giải phương trình dạng ? HS : Trả lời Sau giáo viên xác hóa đưa phương pháp giải ? Hãy áp dụng vào làm ví dụ: Nội dung Đối với dạng tập nên giải theo bước sau : - Viết điều kiện K phương trình - Nhẩm nghiệm   K phương trình (có thể dùng máy tính bỏ túi giải trước) - Xét hàm số f(x) K tính đạo hàm f(x) - Nếu hàm số f(x) đơn điệu K viết k = f   phương trình f(x) = k có dạng f(x) = f    x   nghiệm phương trình (hoặc lập luận phương trình f(x) = k có nghiệm K  ) Thơng thường dạng phương trình có nghiệm tập hàm số ta xét liên tục có đạo hàm tập cho Ví dụ: Giải phương trình 1) x5  x3  x   2) cot x  x   , x   0;  3) 3x  x3  x  x  ?Hãy nêu ĐK PT ? Xét hàm số vế trái PT ? Tính đạo hàm, chứng minh hàm số đơn điệu tập xác định ? Hãy nhẩm nghiệm phương trình ? Kết luận ? 11 0 Lời giải 1) ĐK : x Xét hàm số f(x) = x5  x3  x  , x Ta có f‟(x) = 5x  3x  > 0, x  Suy hàm số đồng biến  f(1) = nên phương trình có dạng f(x) = f(1)  x = Vậy phương trình có nghiệm x = Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN 112 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2) Phương trình cho tương đương với Tương tự giải phương  phương trình cot x  x   trình 2, ? Giáo viên xác hóa  Xét hàm số f(x) = cot x  x  x   0;  Ta có f‟(x) =  ,    cot x sin x  0, x   0;  f‟(x) =  x   Suy hàm số f(x) nghịch biến khoảng  0;  , mà   f    Phương trình có 2    dạng f  x   f    x  (thỏa mãn) 2 Vậy phương trình cho có nghiệm x   3) ĐK : x  Xét hàm số f(x) = 3x  x3  x  x  11 , x  Ta có f '( x)  3x ln3  3x  x  2 1   3x ln  3 x  x    9  1  = ln   x     0, x   3  Suy hàm số f(x) đồng biến  , mà f(1) = nên phương trình cho có dạng f(x) = f(-1)  x  1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = -1 x Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN 113 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4.4 Củng cố - Các lý thuyết học - Các dạng tập học 4.5 Hƣớng dẫn học nhà làm tập nhà Bài tập nhà : Giải phương trình sau : 1) x   x   x   2) 2sin x  sinx  x sin x  x    3) log3  x  x  log x 4)  26 x  24 x  34 x Rút kinh nghiệm dạy 3.5.2 Kết thực nghiệm sư phạm 3.5.2.1 Phân tích, đánh giá kết đề kiểm tra số Kết kiểm tra số Học Phạm sinh Anh Điểm 2,5 Đinh Thị Ba 5,5 Trần Bùi Trần Nguyễn Vũ Trần Dương Vũ Hằng Hương Huynh Huỳnh Linh Linh 2,5 2,0 2,5 2,5 1,5 1,5 Thủy Tới 2,0 5,0 Từ bảng điểm kiểm tra số Trên TB (%) Khá (%) Giỏi (%) Điểm TB nhóm 20 0 2,75 - Đánh giá kết kiểm tra số 1: + Đa số em điểm trung bình + Lúc đầu hầu hết em làm câu phần phương pháp nhẩm nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử Câu phần em dùng phương pháp nhẩm nghiệm chưa kết cuối Câu phần 3) em bỏ trống, câu phần em dùng phương pháp bình phương hai vế để làm em không làm đơn giản phương trình khơng kết Câu phần em nhân khai triển rút gọn đưa Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN 114 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ phương trình bậc phân tích đa thức thành nhân tử Câu phần em bỏ trống Câu em chưa có hướng giải Như khơng em sử dụng QĐH để giải Nhưng sau gợi ý nên vận dụng tri thức hàm số em Ba em Tới nhanh chóng làm câu phần 4, câu phần 2, hai em cịn trình bày chưa xác 3.5.2.2 Phân tích, đánh giá kết kiểm tra số Kết kiểm tra số Học Anh Ba Hằng Hương Huynh Huỳnh sinh Điểm 7,5 10 7,0 8,0 5,0 4,5 Vũ Trần Dương Linh Linh 8,5 6,5 Thủy 6,5 Tới Từ bảng điểm kiểm tra số Trên TB (%) Khá (%) Giỏi (%) Điểm TB nhóm 90 40 40 7,25 -Đánh giá kết kiểm tra : + Điểm kiểm tra số cao điểm kiểm tra số 1, 90% em đạt điểm trung bình trở lên + Đa số em đạt điểm giỏi + Trong trình học thực nghiệm, em tiến nhiều Đặc biệt hai em Ba Tới, lúc đầu hai em gặp khó khăn kiểm tra số Nhưng gợi ý cho em nên vận dụng tri thức hàm số hai em nhanh em cịn lại, nhanh chóng làm câu phần 4, câu phần 2, nhiên hai em trình bày chưa xác Sau học xong chun đề, hai em nắm dạng tập tập hai em giải cách dễ dàng nhiều Còn hai em Hương Em Vũ Linh lúc đầu kiểm tra hai em điểm 2,0 2,5, hai em gần khơng có chút ý niệm QĐH sau trình học thực nghiệm tuần hai em biết cách vận dụng QĐH vào giải phương trình, bất phương trình Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN 115 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ thành thạo xác Tuy nhiên hai em cịn gặp khó khăn phương trình câu hai em chưa nhìn cách để phân tích tìm hàm số đặc trưng phương trình câu việc biến đổi phương trình chia hai vế cho (x – 1) làm thay đổi điều kện phương trình nên hai em làm nghiệm phương trình Vì hai em đạt điểm 8,0 8,5, điểm giỏi thể cố gắng có nhiều tiến hai em so với ban đầu Trong nhóm đạt điểm thấp em Huỳnh, em có tiến từ điểm 1,5 lên 4,5 em cịn mắc nhiều sai sót trình trình bày Đối với phương trình, bất phương trình địi hỏi linh hoạt, sáng tạo em gặp khó khăn Em giải tập dạng vận dụng tập xác định, tập giá trị dạng f(x) = k, f(x) > k (f(x)