ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI TOÁN LẦN II ( 04/03/2021) NĂM HỌC 2020 – 2021 (Thời gian làm bài: 120 phút) Bài 1.(5 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: 212.35 46.92 3 a) A = �1 � �1 � : � � : � � 11 22 � � 15 � � b) B = Giả sử p p2 + số nguyên tố Chứng minh : p3 + số nguyên tố Bài (5 điểm) �3 � � x � � 16 Tìm x biết : �7 Cho M = 3n+1 + 3n+2 + 3n+3 + ………+ 3n+100 chia hết cho 120 , với n số tự nhiên a b a c b c 1 c b a a b c ( giả thiết biểu Cho a, b, c thỏa mãn : 2021 2021 thức có nghĩa) Tính giá trị biểu thức : P = 2020a + b + c Bài (4 điểm) 6x Tìm số nguyên x để biểu thức Q = x đạt giá trị lớn Cho hàm số y = f(x) = x2 – mx + n ( với m, n số) , biết f(1) = 3; f(0) = -1 Tính f(-5) Bài (4 điểm) � Cho tam giác ABC có A 120 , kẻ phân giác AD ( D thuộc BC), kẻ DE vng góc với AB, DF vng góc với AC ( E thuộc AB, F thuộc AC) Trên đoạn thẳng BE CF lấy điểm K I cho EK = FI a) Chứng minh : Tam giác DEF b) Chứng minh : AD vng góc với IK c) Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB M Cho CM = a, CF = b ( a,b > 0) Tính độ dài đoạn AD theo a b Bài ( diểm) Cho tam giác ABC có số đo độ dài cạnh số tự nhiên Gọi D điểm tùy ý � cạnh BC ( D khác B C), tia đối tia DA lấy điểm M cho AMB 60 Chứng minh : MA2 + MB2 + MC2 có giá trị n khơng số phương - Hết - Họ tên học sinh : …………………………………………… SBD:…… BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN BÀI CÂU 1a (1,5đ) 1b 1(5đ ) (1,5đ) 2(2đ) BIỂU ĐIỂ M HƯỚNG DẪN CHẤM 212.35 46.92 12 12 12 3 (3 1) 12 12 12 3 3 (3 1) 3.4 A= = 1,5 �1 � �1 � �2 � �1 10 � B : � � : � � : � � : � � � 11 22 � � 15 � �22 22 � � 15 15 � 3 3 110 25 135 : : 22 27 27 27 1,5 Vì p p2 + số nguyên tố nên p lẻ 0,5 +Nếu p = p3 + = 29 số nguyên tố 0,5 +xét p>3 p có dạng p = 6k �1 => p2 + �0(mod3) vơ lí Vậy tốn cm 2(5đ ) 1,0 1(2đ) �3 � 3 3 x5 x 5 � x � �7 � 16 => 0,5 3 3 17 119 x5 x 5� x �x => 7 12 +7 0,75 3 3 23 161 x 5 x 5� x �x => 7 12 +7 0,75 Kl: 2(1,5đ B có 100 số hạng , ta nhóm số hạng liên tiếp tạo thành 25 ) nhóm n+1 n+2 n+3 n+4 B = (3 +3 +3 )+ (3 +(3n+98+3n+99+3n+100) n+5 n+6 n+7 n+8 +3 +3 +3 )+……+ (3 n+97 B= 3n(3+32+33 + 34) +3n+4(3+32+33 + 34)+….+ 3n+96(3+32+33 + 34) 0,5 0,5 B=(3+32+33 + 34)(3n+3n+4+… +3n+96) = 120 (3n+3n+4+… +3n+96)M120 với n số tự nhiên 3(1,5đ ) a b a c b c 1 2 c b a a bc Ta có: 0,25 � b c a � � 1 � a b c � ac b 2 � � a b c � � 0,25 � a � 1 � a 1 b2 c3 � �2 2 2 �b a b c � � 5 c � � 0,5 2021 3(4đ ) 1(2đ) 0,5 2021 �5 � �5 � �� � � = > P = 2020 + �6 � �6 � = 1010 0,5 6x 4 Ta có Q = x = 1+ x Để Qmax x max 0,25 +nếu 2-x >0 => x0 => x >0 (1) 0,5 +nếu 2-x x>2 mà 4>0 => x 2-x =1 => x=1(tm) 0,5 Vậy Qmax = x = 0,25 F(1) =3 => 1-m+n = 2(2đ) F(0)=-1=> n = -1 1,5 =>m=3 Do f(x) = x2 – 3x -1 => f(-5) = 39 4(4đ ) 0,5 Vẽ hình ghi gt-kl 0,5 a(1,5đ) HS cm ADE ADF (ch -gn) 0,75 = > DE = DF => DEF cân AD p/g góc BAC => tính � FDA � 300 EDF � 600 EDA 0,75 Do DEF b(1đ) ADE ADF =>AE=AF mà KE =FI => AK = AI 0,75 � � => AKI cân tai A mà góc BAC = 1200 => AKI AIK 30 � Mà AD p/g góc BAC => KAD 60 c(1đ) � Gọi AD cắt KI O tính AOK 90 => AD KI 0,25 Hs cm ACM =>AC = CM = a 0,5 AF = AC – CF = a- b � ADF vuông F có ADF 30 => AF= AD 0,5 => AD =2(a-b) 5(2đ ) Vẽ hình ghi gt – kl 0,5 Đặt cạnh tam giác ABC a (a�N*) 0,5 Trên cạnh AM lấy điểm N cho BM = MN , BMN => MB = NB � � � Ta có AB = CB ABN CBM( 60 NBC) Cm ABN = CBM=> AN = CM 0,5 = > AM = AN+ MN = CM + MB MB Kẻ BH MN hs cm HM = HN = Pitago vào HMB HAB ta có : x BH2 = MB2 – MH2 = , x ( y)2 x => x2 +xy + y2 = a2 AB2 = AH2 + HB2 = = > MA2 + MB2 + MC2 =2(x2 +xy + y2 )= 2a2 không số c/p 0,5 ... 1,0 1(2đ) �3 � 3 3 x5 x 5 � x � ? ?7 � 16 => 0,5 3 3 17 119 x5 x 5� x �x => 7 12 +7 0 ,75 3 3 23 161 x 5 x 5� x �x => 7 12 +7 0 ,75 Kl: 2(1,5đ B có 100 số hạng , ta nhóm... � : � � : � � � 11 22 � � 15 � �22 22 � � 15 15 � 3 3 110 25 135 : : 22 27 27 27 1,5 Vì p p2 + số nguyên tố nên p lẻ 0,5 +Nếu p = p3 + = 29 số nguyên tố 0,5 +xét p>3 p có dạng...Họ tên học sinh : …………………………………………… SBD:…… BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN BÀI CÂU 1a (1,5đ) 1b 1(5đ ) (1,5đ) 2(2đ) BIỂU ĐIỂ M HƯỚNG DẪN