Phương Pháp diện tích

PGD&ĐT HUYỆN HIỆP HÒA TRƯỜNG THCS HỢP THỊNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC VÀ PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH NGƯỜI VIẾT SÁNG KIẾN: PHẠM VĂN NAM DẠY MƠN: TỐN ĐƠN VỊ: TRƯỜNG THCS HỢP THỊNH NĂM HỌC 2015 - 2016 MỤC LỤC PHẦN I : LỜI NÓI ĐẦU PHẦN II NỘI DUNG A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH I Các tính chất diện tích đa giác II Các cơng thức tính diện tích đa giác đặc biệt III Cách giải tốn tính diện tích phương pháp diện tích B MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI I Các tốn tính diện tích đa giác II Các toán chứng minh băng phương pháp diện tích 16 Các tốn chứng minh quan hệ diện tích quan hệ đoạn thẳng 16 Các toán bất đẳng thức cực trị 30 Một số toán chứng minh trung điểm đoạn thẳng, đường thẳng song song, ba đường thẳng đồng quy 37 PHẦN III KẾT LUẬN 39 PHẦN I : LỜI NĨI ĐẦU A Lí chọn đề tài Như biết, với phát triển tư người, toán học đời Toán học môn khoa học đặc biệt, môn khởi đầu cho đời môn khoa học khác cung cần thiết cho ngành khoa học kỹ thuật Toán học rèn luyện cho người nhiều đức tính q: tính cần cù, lịng say mê, sáng tạo, kiên trì Trong tốn học khơng thể khơng kể đến mơn hình học Hình học rèn luyện cho người khả tư trừu tượng, sáng tạo khả phân tích tổng hợp Trong đó, dạng tốn tương đối khó, địi hỏi nhiều tới khả tư cao, vận dụng linh hoạt kiến thức học đồng thời phải quan sát kĩ lưỡng đặc điểm tốn, " Diện tích đa giác phưong pháp diện tích " Trong q trình giảng dạy cho học sinh khá, giỏi mơn tốn lớp trường tơi nhận thấy tập diện tích đa giác chứng minh phương pháp diện tích hay lí thú Chính tơi viết “Sáng kiến kinh nghiệm” chuyên đề để dạy cho học sinh lớp giỏi khối trường để giúp học sinh bớt lúng túng gặp tập loại này, đồng thời giúp học sinh củng cố kiến thức học nâng cao khả tư duy, sáng tạo B Mục đích nghiên cứu - Đề tài với mục đích giúp học sinh biết phương pháp tính diện tích sử dụng phương pháp tính diện tích để chứng minh số tốn hình học - Đơi phương pháp dạy học - Nâng cao chất lượng dạy học, cụ thể chất lượng học sinh giỏi mũi nhọn C Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu " Diện tích đa giác, phương pháp diện tích chứng minh hình học tập vận dụng" Đề tài gồm I Các tốn tính diện tích đa giác II Các tốn chứng minh phương pháp diện tích Các tốn chứng minh quan hệ diện tích sử dụng diện tích để tìm quan hệ độ dài đoạn thẳng Các toán bất đẳng thức cực trị Một số toán chứng minh trung điểm đoạn thẳng, đường thẳng song song, đồng quy D Nhiệm vụ - Tóm tắt kiến thức học - Đưa ví dụ tập dạng để thấy rõ dạng cách giải E Các phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: + Nghiên cứu tài liệu lý luận liên quan đến vấn đề diện tích + Nghiên cứu tài liệu dạy học nói chung dạy học mơn Tốn nói riêng - Phương pháp điều tra: Tìm hiểu kinh nghiệm đồng nghiệp việc dạy học tốn nói chung dạy học phần hình THCS nói riêng - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: để kiểm tra hiệu phương án dạy học đề xuất lớp 8A, 8B - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm giáo dục: Qua tiết dạy, lớp dạy, năm học qua nghiên cứu tài liệu, suy nghĩ trăn trở để truyền đạt cho học sinh kiến thức hình học cách đơn giản dễ hiểu Sau tiết dạy mà cảm thấy không thành cơng, tơi lại suy nghĩ tìm hướng giải vấn đề, hướng dạy phù hợp đơn gian Và vậy, sau tám năm bước vào nghề, đúc rút số kinh nghiệm, phương pháp dạy đơn giản mà hiệu quả, tìm phương pháp chung cho số vấn đề PHẦN II NỘI DUNG A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH Để giải tốn tính diện tích học sinh cần phải nắm kiến thức sau: I Các tính chất diện tích đa giác Nếu đa giác chia thành đa giác khơng có điểm chung diện tíchcủa tổng diện tích đa giác Các đa giác có diện tích Hình vng có cạnh đơn vị dài diện tích đơn vị vng Hai tam giác có chiều cao tỉ số diện tích tỉ số hai đáy tương ứng với hai chiều cao Hai tam giác có chung cạnh tỉ số diện tích tỉ số hai chiều cao ứng với cạnh Tam giác cạnh a có diện tích 3a II Các cơng thức tính diện tích đa giác đặc biệt Cơng thức tính diện tích hình chữ nhật Diện tích hình chữ nhật tích hai kích thước S = a.b b a Cơng thức tính diện tích hình vng Diện tích hình vng bình phương cạnh S = a2 a Cơng thức tính diện tích tam giác a) Diện tích tam giác: a Diện tích tam giác nửa tích cạnh với chiều cao ứng với cạnh S= a.h h a b) Diện tích tam giác vng Diện tích tam giác vng nửa tích hai cạnh góc vng S= a.b = c.h b a h c Công thức tính diện tích hình thang Diện tích hình thang nửa tích tổng hai đáy với chiều cao a S= (a+b).h h b Cơng thức tính diện tích hình bình hành Diện tích hình bình hành tích cạnh với chiều cao ứng với cạnh S = a.h h a Cơng thức tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc với nửa tích hai đường chéo S= d1.d2 d2 d1 Cơng thức tính diện tích hình thoi Diện tích hình thoi nửa tích hai đường chéo S= d2 d1.d2 d1 III Cách giải tốn tính diện tích phương pháp diện tích Để tính diện tích đa giác + Đa giác có cơng thức tính chưa đủ kiện để tính địi hỏi ta phải tính kiện thiếu tính diện tích đa giác + Đa giác có cơng thức tính sủ dụng cơng thức khơng thể tính phải thơng qua diện tích đa giác khác sử dụng tính chất nêu + Tính diện tích đa giác khơng có cơng thức ta cần biến đổi diện tích diện tích hình khác có biết cách tính diện tích Chứng minh hình phương pháp diện tích + Ta biết số cơng thức tính diện tích đa giác dã nêu Do biết độ dài số yếu tố, ta tính diện tích hình Ngược lại biết quan hệ diện tích hai hình từ kết hợp với yếu tố biết khác, tổng hợp kiến thức liên quan để suy điều cần chứng minh + Để so sánh hai độ dài phương pháp diện tích, ta làm theo bước sau: - Xác định quan hệ diện tích hình - Sử dụng cơng thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đẳng thức có chứa độ dài - Biến đổi đẳng thức vừa tìm ta có quan hệ độ dài hai đoạn thẳng cần so sánh Để giải toán bất đẳng thức cực trị ta cần nắm được: Phương pháp giải: Xuất phát từ bất đẳng thức biết, vận dụng tính chất bất đẳng thức để suy bất đẳng thức cần chứng minh Các tốn cực trị thường trình bày theo hai cách Cách 1: Đưa hình chứng minh hình khác có yếu tố( đoạn thẳng, góc, diện tích…) lớn nhỏ yếu tố tương ứng hình đưa Cách 2: Thay điều kiện đại lựợng đạt cực trị điều kiện tương đương, cuối dẫn đến điều kiện xác định vị trí điểm để đạt cực trị Các bất đẳng thức thường dùng để giải toán cực trị + Quan hệ đường vng góc đường xiên + Quan hệ đường xiên hình chiếu + Bất đẳng thức tam giác + Các bất đẳng thức đại số B MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI I Các tốn tính diện tích đa giác Để tính diện tích đa giác + Đa giác có cơng thức tính chưa đủ kiện để tính địi hỏi ta phải tính kiện thiếu tính diện tích đa giác + Đa giác có cơng thức tính sủ dụng cơng thức khơng thể tính phải thơng qua diện tích đa giác khác sử dụng tính chất nêu + Tính diện tích đa giác khơng có cơng thức ta cần biến đổi diện tích diện tích hình khác có biết cách tính diện tích Bài 1: Cho tam giác ABC cân A, AB = AC = 5cm, BC = 6cm Gọi O trung điểm đường cao AH Các tia BO CO cắt cạnh AC AB D E Tính SADOE ? A E Hướng giải : D O B N C H Bài giải: Để tính diện tích tập học sinh phải nhận thấy S ABC biết nên ta cần tìm mối quan hệ SADOE với SABC Lại có H O điểm đặc biệt đoạn AC, AH nên ta dễ dàng tìm mối quan hệ cách lấy thêm điểm N trung điểm DC Gọi N trung điểm CD  AD = DN = NC =  AC S AOD AD   (Chung chiều cao hạ từ O xuống AC) S AOC AC S AOC AO   (Chung chiều cao hạ từ C xuống AH) S AHC AH Mà SAHC = SABC ( Chung chiều caoAH) (2) Từ (1) (2)  SAOD = SABC 12 Mà SAOE = SAOD  SADOE = SAOD = SABC áp dụng đlí Pitago vào AHC vng H => AH = 4cm => SAOD = SAHC (1)  SABC = AH.BC 4.6   12cm 2 12 = cm2 Vậy SADOE = Bài 2: Cho hbh ABCD có diện tích Gọi M trung điểm BC, AM cắt BD Q Tính diện tích MQDC ? C D E M N Q A B Phân tích đề hướng giải: Hs cần nhận thấy SABCD = nên dễ dàng suy SBCD = Để tính SMQDC phải thơng qua SBCD SBMQ Do ta cần phải tìm mối quan hệ SBMQ với SBCD Để tìm mối liên hệ ta phải xét xem Q nằm BD có vị trí đặc biệt khơng cách lấy thêm điểm N trung điểm AD Bài giải: Lấy N trung điểm AD Ddcm AMCN hình bình hành  AM // CN  QB = QE ; ED = QE ( Định lí đường trung bình)  BQ = QE = ED  SBMQ = 1 SBCQ ; SQBC = SBCD SBCD 5  SMQDC = SBCD = SABCD = 12 12  SBMQ = Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD, cạnh BC lấy M: BM = CD lấy N cho CN = CD a) Tính SAMN theo SABCD b) BD cắt AM P, BD cắt AN Q Tính SMNQP theo SABCD BC Trên cạnh A Phân tích đề hướng giải: Để giải câu (a) hs dễ dàng nhận phải sử dung tính chất 1: Nếu đa giác chia thành đa giác khơng có điểm chung diện tích tổng diện tích đa giác ( tính cộng) B P M Q K H D N C Nên để tính diện tích AMN ta phải làm SAMN = SABCD - SABN - SCMN - SADN (b) Tính SMNQP theo SABCD cần phải tìm mối liên hệ SMNPQ với SAMN đỉnh tứ giác nằm cạnh  AMN Muốn tìm mối liên hệ rõ ràng phải thơng qua  APQ Ta nhận thấy  APQ  AMN có hai đáy thuộc đường thẳng nên ta phải kẻ thêm đường vng góc PK MH Từ suy lời giải toán Bài giải: a) SAMN = SABCD - SABN - SCMN - SADN SABM = SABCD ; SCMN = SABCD; SADN = SABCD 10 15 Do ta tính : SAMN = Vậy SMNPQ = 13 SABCD 60 13 SABCD 60 b) Kẻ MH  AN ; PK  AN  PK.PQ SAPQ PK AQ    SAMN MH AN MH.AN Vì PK// MH ( vng góc với AN)  PK  AP (Theo định lí Ta let) MH AM Do AP  AD   AP  PM BM AM Vì DN // AB => AQ  AB   AQ  QN Do DN AN SAPQ AP AQ 1 13       SAPQ  SMNPQ  SAMN  S SAMN AM AN 2 60 ABCD 10 Theo giả thiết SOAC = SABC BC; Nên ddcm : OM = AC Cmtt : ON = Đặt BC = a, AC = b, ta có: OM = 1 a, ON = b 3 Do OA2 = AM2 + OM2 ; OB2 = NB2 + ON2 (Theo định lí Pitago) 2 OA2 =  b    a   b  a 3  3  9 2 OB2 =  a    b   a  b 3  3   b a2   OA2 + OB2 =    (1)   Vì O trọng tâm ABC  OC =  AB2   OC2 =  2 AB AB  CI = 3  a2  b  = (2)  Từ (1) (2)  OA2 + OB2 = 5OC2 Bài 16: Từ điểm M tùy ý  ABC, đường thẳng MA, MB, MC cắt BC, CA, AB A1, B1 , C1 Chứng minh: MA1 MB1 MC1   1 AA1 BB1 CC1 A B1 C1 M B A1 K H C Phân tích đề hướng giải: + Để chứng minh MA MB1 MC1    ta thấy cần phải xét tỉ số hai đoạn AA1 BB1 CC1 thẳng hệ thức + Nếu biểu thị tỉ số với tỉ số diện tích CMA1 CAA1 khơng thể chứng minh 26 Vì ta cần phải vẽ thêm đường phụ: Đó hai đường vng góc hạ từ M, A xuống BC  MA MK  AA1 AH Mà MK AH hai đường vng góc hạ xuống BC nên  MK SMBC = AH S ABC Từ  đpcm Bài giải: Kẻ MK, AH vng góc với BC  MK //AH  MA MK  AA1 AH MK.BC S MA MK  MBC (1) Ta có: =  S ABC AA1 AH AH.BC MB1 SMAC Cmtt ta có : (2)  BB1 S ABC MC1 S AMB (3)  CC1 S ABC Từ (1)(2) (3) ta : S MA MB1 MC1 SMBC SMAC S AMB + + = + + = ABC = ( Đpcm) AA1 BB1 S ABC S ABC S ABC CC1 S ABC Bài 17: Cho ABC ba điểm A', B', C' nằm cạnh BC, CA, AB cho AA', BB', CC' đồng quy ( A', B', C' không trùng với đỉnh tam giác) Chứng minh rằng: A' B B' C C' A  (Định lí Xêva) A' C B' A C' B A B' C' O H B C A' K Phân tích đề hướng giải: Ta thấy vế trái điều phải chứng minh tích tỉ số Để rút gọn tích ta thay đổi tỉ số hai đoạn thẳng tỉ số diện tích hai tam giác thích hợp, sau khử liên tiếp để đpcm 27 Bài giải: Vẽ BH  AA' CK  AA' A' B S AA'B ( hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh A)(1)  A' C S AA' C S BH Mà AA'B  ( hai tam giác có chung cạnh AA') (2) S AA' C CK S BH Ta lại có : AOB  ( hai tam giác có chung cạnh OA)(3) S AOC CK A' B S AOB Từ (1)(2)(3)  (4)  A' C S AOC B' C SBOC C' A SCOA Cmtt  (5) ; (6)   B' A SBOA C' B SCOB   Nhân vế (4)(5)(6) ta được: A' B B' C C' A S S S = AOB BOC COA = (đpcm) A' C B' A C' B S AOC SBOA SCOB Bài 18: Chứng minh định lí Pitago: Trong tam giác vng, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng N lớp học định lí ( cơng nhận , khơng chứng minh) Có nhiều cách để chứng minh cách ta sử dụng phương pháp diện tích G M A F B E C H D K Bài giải: Dựng hình vng ABFG, ACMN, BCDE Muốn chứng minh BC2 = AB2 + AC2 ta cần chứng minh: SBCDE =SABFG + SACMN Vẽ đường cao AH kéo dài cắt DE K Nối AE, CF Dd cm : FBC = ABE (c.g.c)  SFBC = SABE (1) SFBC = AB.BF ( AC //BF )  SFBC = SABFG (2) 2 28 Cmtt SABE = SBHKE (3) Từ (1)(2)(3)  SBHKE = SABFG Cmtt : SCHKD = SACMN Do đó: SABFG +SACMN = SBHKE + SCHKD  SBCDE = SABFG +SACMN Vậy BC2 = AB2 + AC2 Bài 19: Cho hình bình hành ABCD Các điểm E, F, G, H thứ tự thuộc cạnh AB, BC, CD, DA cho EG không song song với AD Cho biết diện tích EFGH nửa diện tích hình bình hành Chứng minh: HF // CD E A B H D F K G C Phân tích đề hướng giải: + Bài ta thấy cần phải tìm tạo tứ giác SABCD + Tìm mối liên hệ tứ giác với tứ giác EFGH + Căn vào gt ta thấy cần vẽ đường phụ cách: kẻ EK// AD Ta có SABCD = SBEKC + SEADK Nối HK, FK ta có tứ giác EFGH EFKH có chung diện tích HEF Vì SGHF = SKHF  đpcm Bài giải: Kẻ EK // AD Ta có SEFGH = 1 SABCD = ( SBEKC + SEADK ) 2 SEFKH = S EFK + SHEK = ( SBEKC + SEADK )  SEFGH = SEFKH Mà S EFGH = SHEF + SHGF SEFKH = SHEF + SKHF  SHGF = SKHF  Chiều cao từ G K xuống HF  HF // KG Vậy HF // BC 29 Bài 20: Cho ABC có AB = 3; AC = 4, BC = Vẽ đường phân giác AD, BE, CF a) Tính diện tích tam giác DEF b) CMR: DF qua trung điểm BE A E F B H D K C Bài giải: a) Đã làm 10 ) h1, h2 chiều cao BFD , DEF hạ từ B E xuống FD b) Theo cmt ta có : S BFD = SDEF (cùng S BFD =  h1 = h2 1 FD h1 ; SDEF = FD.h2 2 Cho DF  BE = {I}  IB = IE Vậy DF qua trung điểm BE Các toán bất đẳng thức cực trị Phương pháp giải: Xuất phát từ bất đẳng thức biết, vận dụng tính chất bất đẳng thức để suy bất đẳng thức cần chứng minh Các toán cực trị thường trình bày theo hai cách; Cách 1: Đưa hình chứng minh hình khác có yếu tố( đoạn thẳng, góc, diện tích…) lớn nhỏ yếu tố tương ứng hình đưa Cách 2: Thay điều kiện đại lựong đạt cực trị điều kiện tương đương, cuối dẫn đến điều kiện xác định vị trí điểm để đạt cực trị Các bất đẳng thức thường dùng để giải toán cực trị: + Quan hệ đường vng góc đường xiên + Quan hệ đường xiên hình chiếu + Bất đẳng thức tam giác + Các bất đẳng thức đại số 30 Bài 1: Cho ABC cân A có Â = 300 BD đường phân giác Chứng minh rằng: SBCD < SABC Bài giải: Hạ DH  AB; DK  BC A  DH = DK (1) ABC cân A Â = 300  B = C = 750 Â< B  BC < AB.(2) SDBC = H D 1 DK.BC ; SDAB = DH.AB (3) 2 Từ (1)(2)(3)  SDBC < SDAB  2SBCD < SABC Vậy SBCD < B K C SABC (đpcm) Bài 2: Cho ABC vng cân có AB = AC = 10cm DEF vng cân D nội tiếp ABC ( D  AB, E  BC, F  AC ) Xác định vị trí D để diện tích DEF nhỏ Bài giải: Gọi AD = x Kẻ EH  AB B H Thì AD = EH = BH = x DH = 10 - 2x E SDEF = = [x2 + ( 10 - 2x)2 ] = (5x2 - 40x + 100) D A F C 1 DE.DF  DE2  (EH2  DH2 ) 2 5 ( x2 - 8x + 20) = (x - 4)2 + 10  10 2 (SDEF )min = 10  x = D  AB : AD = cm S DEF nhỏ 31 Bài 3: Cho hình vng ABCD có cạnh a Lấy điểm M tùy ý đường chéo AC, kẻ ME  AB, MF BC Xác định vị trí M đuờng chéo AC để diện tích DEF nhỏ E A M B Bài giải: F Dễ thấy SDEM = SAME ( chung cạnh ME, chiều cao từ D A xuống ME nhất) SDMF = SCMF SDEF = SDEM + SDMF + SEMF = SABC - SBEF C D = ( a2 - BE BF) SDEF đạt giá trị nhỏ  BE.BF lớn (1) Do BE + BF = a không đổi nên BE.BF lớn  BE = BF = a/2 a2  M trung điểm AC SDEF = (a - ) = a 2 Bài 4: Cho tứ giác ABCD có cạnh AB = a, BC = b, CD = c, DA = d Chứng minh rằng: SABCD  H (a+c)(b+d) Bài giải: A Vẽ BH  AD; BK DC a B d (H  AD, K  CD) Ta có: BH  AB  BH  a b D c BK  BC  BK  b C K SABCD = SABD + SCBD 2 = BH.AD + BK.CD  Cmtt ta có : SABCD  (ab +cd) 2  2SABCD  (ab +ad +bc + cd)  SABCD  (ad+bc) (ab +ad +bc + cd) (1) Mà ab + ad +bc + cd = (ab +ad) + (bc +cd) = a(b+d) + c(b+d) = (a+c)(b+d)(2) Từ (1)và (2)  SABCD  (a+c)(b+d) (đpcm) 32 Bài 5: Cho ABC Gọi D trung điểm BC Trên hai cạnh AB AC lấy hai điểm E F Chứng minh rằng: SDEF SABC A E F B C D I Phân tích đề hướng giải: Để cm SDEF  SABC hay 2SDEF  SABC hay cần cm: SDEF  SDFC + SBED Ta cần tạo tam giác với tam giác BED kết hợp với tam giác DFC thành hình so sánh diện tích tam giác DEF với hình Đã có D trung điểm BC nên ta cần lấy thêm điểm I cho D trung điểm EI  đpcm Bài giải: Dựng I đối xứng E qua D, ta có :  BED = CID (c.g.c)  SBED = SCID Có SDEF = SFDI (chung đường cao, hai đáy nhau) Mà SFDI  SDICF  SDEF  SDICF => SDEF  SDFC + SDIC  SDEF  SDFC + SBED (1) Ta lại có: SDEF  SAEDF (2) Từ (1) (2) ta có : 2SDEF  SDFC + SBED + SAEDF  2SDEF  SABC Vậy SDEF  SABC Dấu xảy EF  AC AB, (SDEF)max = 33 SABC Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi O giao điểm AC BD SABC Chứng minh rằng: SOAB + SOCD  B A K O O H F E L D Hình vẽ cách D C Hình vẽ cách C Bài giải: Cách 1: Vẽ AH  BD ; CK  BD (H, K  BD) Ta có : SOAD SOBC = ( AH.OD)( CK.OB) 2 = ( AH OB) ( CK OD) = SOAB SOCD Ta có ( SOAB + SOCD)2  4SOAB.SOCD (bất đẳng thức đại số)  ( SOAB + SOCD)2  SOAD SOBC Theo ta cm: SOAD = SOBC Do ( SOAB + SOCD)2( SOAD + SOBC)2  SOAB + SOCD  SOAD + SOBC  2(SOAB + SOCD )  SOAD + SOBC + SOAB + SOCD  2(SOAB + SOCD )  SABCD Vậy SOAB + SOCD  B A SABCD (đpcm) Cách 2: Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD kéo dài E Từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt AE F Ta chứng minh được: SAODF  SAEC ( SAOB  SCOD )  S EFD + SOCD  SAEC (1) Bài tr13 ta cm được: SAOD = SBOC Do SAOD = SBOC = SAFD (2) 34 Chứng minh : EFD = OAD  SEFD = SAOD (3) Từ (1)(2)(3)  SOAB +SOCD = SEFD + SOCD   SOAB +SOCD  SOAB +SOCD  SAEC (SEFD + SADF SAOD + SOCD ) (SAOB + SBOC + SAOD + SOCD ) Vậy SOAB +SOCD  SABCD (đpcm) Bài 7: Cho tứ giác ABCD P, Q theo thứ tự trung điểm cạnh BC CD Chứng minh rằng: AP +AQ =a SABCD < A a2 Bài giải: M D I Gọi M, N trung điểm AD, AB I giao điểm AP MN N Q B Từ I kẻ IK // NP K P C 1 IP  IQ  Ta có: SIPQ  IP.IQ => SIPQ    => SIPQ 2   a2 <  SMNPQ = SIKPN + SIKQM = 2SIPQ < a2 (1) Mặt khác SAMN + SBNP + SCPQ + SDMQ = SABCD Bài 8: Cho hình bình hành ABCD điểm M cố định cạnh BC Lấy điểm N cạnh AD Gọi P(2)là giao điểm AM BN Q giao điểm MD NC Từ (1) (2) => S  ( đpcm) ABCD Tìm vị trí N để diện tích tứ giác MPNQ lớn A N D P Q B M C 35 Bài giải: áp dụng kết Ta có SAPM + SBPM   SAPB + SNPM  SABMN 1 SABMN Mà SAPB = SNPM (đã cm)  SNPM  SABMN (1) đẳng thức xảy AB // MN Chứng minh tương tự ta có SNQM  Từ (1) (2)  SNPM + SNQM   SMPNQ  SDCMN (2) đẳng thức xảy MN // AB 1 SABMN + SDCMN 4 SABCD Vậy (SMPNQ) max = SABCD  MN// AB Bài 9: Cho tứ giác có diện tích khơng đổi S O nằm tứ giác ABCD Xác định hình dạng tứ giác ABCD vị trí điểm O để tổng OA2 + OB2 +OC2 + OD2 đạt giá trị nhỏ B C O A H D Bài giải: Gọi BH đường cao AOB Ta có OA2 +OB2 = (OA2 - 2OA.OB + OB2) + 2OA.OB = (OA -OB)2 + 2OA.OB  2OA.OB SOAB = Do OA.BH có BH  OA  OB  BH OA2 + OB2  4SOAB Chứng minh tương tự  OB2 + OC2  4SOBC OC2 + OD2  4SOCD 36 OD2 + OA2  4SODA  2(OA2 + OB2 + OC2 + OD2)  4(SOAB + SOBC + SOCD + SODA) Vậy OA2 + OB2 + OC2 + OD2  2S (không đổi) Dấu "= "xảy  OA = OB =OC = OD AOB  BOC  COD  DOA Một số toán chứng minh trung điểm đoạn thẳng, đường thẳng song song, ba đường thẳng đồng quy Bài Cho ΔABC nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C lấy điểm D cho diện tích ΔABC diện tích ΔABD Gọi E giao điểm AB CD Chứng minh E trung điểm CD D Bài giải : SABC  SADB  ABC ABD có chiều cao ứng với cạnh AB E  SBCE  SDBE  DE = EC (Do có A chiều cao ứng với cạnh DC) C Mà D, E, C thẳng hàng  E trung điểm CD B Bài Cho góc xOy, tia ot nằm góc xOy Gọi A, B hai điểm cố định nằm cạnh Ox, Oy C điểm di động Ot Tia Ot cắt AB M Chứng minh S AOC = SBOC M trung điểm AB x A C t M O B y Bài Giải Nếu M trung điểm AB  SAMO  SBMO ;SAMC  SBOC  SAOC  SBOC Nếu SAOC  SBOC  AOC; BOC có đường cao ứng với cạnh OC  SAMO  SBMO  MA = MB (do AOM; BOM có chiều cao ứng với cạnh AB)  M trung điểm AM Vậy SAOC  SBOC M trung điểm AB 37 Bài Cho ABC , lấy E trung điểm AB, BC lấy M, N cho BM = MN = NC Trên tia đối tia BA lấy điểm K cho KB = BE Chứng minh CE, KM, AN đồng quy A E B E’ I N C M K Bài Giải Giả sử I giao KM AN Gọi E’ giao CI AB Ta chứng minh E’ trung điểm AB từ suy đường thẳng đồng quy S S 1 KB  AB  KBI   KBI  SBIA SKIA (1) Do KB = Do BM = MN = NC  SKBI  SKIN (2) S 1 Từ (1)(2)  KIN   IN  AI  SCIN  S AIC SKIA 3 Ta có SCIN  S IBC (do BM = MN = NC)  S IBC  SAIC  SAE 'C  SBE 'C => E’A = E’B  E’ trung điểm với AB  E’ trùng với E  AN, KM, CE đồng quy Bài Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB BC lấy điểm E F Gọi M, N, K thứ tự trung điểm DE, DF EF Gọi O giao điểm AM CN Chứng minh điểm B, O, K thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC, đường phân giác AD cắt tia phân giác góc B I Cho BC trung bình cộng AB AC, gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh IG//BC 38 PHẦN III KẾT LUẬN Tôi thấy tốn tính diện tích giải tốn phương pháp diện tích đóng vai trị khơng nhỏ chương trình hình học học sinh, dạng tốn khó học sinh khai thác chương trình nội dung đưa dành cho học sinh đại trà Bởi để học sinh hiểu rõ có hứng thú, say mê dạng toán toán học điều mà giáo viên mong muốn Được phân công dạy mơn tốn trường THCS Hợp Thịnh Tơi dạy chuyên đề vào lớp khá, giỏi có nhiều học sinh có khả tư tốt Tuy nhiên khơng phải học sinh nắm bắt với dạng toán nên dạy dẫn dắt em theo kinh nghiệm mà tơi trình bày: Từ lý thuyết đến tập Khi cho tập phân theo dạng, dạng cho từ dễ đến khó dần hướng dẫn cho học sinh phân tích đề hướng giải để em biết tư chuyên đề Năm chưa đưa cho học sinh biết phương pháp cụ thể để giải tốn phương pháp diện tích : Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém 4% 12,4% 61% 16,4% 6,2% Năm sau đưa cho học sinh biết phương pháp cụ thể số lượng học sinh giỏi tăng lên cách rõ rệt, cụ thể là: Giỏi Khá Trung bình Yếu 16% 32,2% 45,3% 6,5% Kém 0% Trong trình biên soạn để giảng dạy, cố gắng song viết khơng thể tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Rất mong góp ý chân thành từ q thầy cô, bạn bè đồng nghiệp Người viết SKKN PHẠM VĂN NAM 39 ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRÊN ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… 40 ... nghiệm, phương pháp dạy đơn giản mà hiệu quả, tìm phương pháp chung cho số vấn đề PHẦN II NỘI DUNG A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH Để giải tốn tính diện tích. .. giải tốn tính diện tích phương pháp diện tích B MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI I Các tốn tính diện tích đa giác II Các toán chứng minh băng phương pháp diện tích 16 Các... tài nghiên cứu " Diện tích đa giác, phương pháp diện tích chứng minh hình học tập vận dụng" Đề tài gồm I Các tốn tính diện tích đa giác II Các toán chứng minh phương pháp diện tích Các tốn chứng