Quan hệ song song trong không gian

Chơng I Đờng thẳng và Mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song Đ1. đại cơng về đờng thẳng và mặt phẳng 1. Mở đầu về hình học không gian Trong chơng trình hình học lớp 10 và chơng I của hình học lớp 11, ta chỉ xét các hình trong mặt phẳng nh : tam giác, đờng tròn, vectơ,Chúng đợc gọi là những hình phẳng . Xung quanh chúng ta, còn có các hình không nằm trong mặt phẳng nh : cái bút chì, quyển sách, quả bóng, ngôi nhà, . Nghiên cứu tính chất của các hình có thể không cùng nằm trong một mặt phẳng là nội dung của môn học gọi là Hình không gian. Ngoài điểm, đờng thẳng, hình không gian có khái niệm mới là mặt phẳng. Mặt phẳng là hình nh thế nào? Trang giấy, mặt bảng đen, mặt tờng lớp học, mặt bàn, tấm gơng, mặt hồ nớc khi lặng gió, cho ta hình ảnh về một phần mặt phẳng. Cũng nh điểm, đờng thẳng ngời ta không định nghĩa mặt phẳng. * Vậy làm thế nào để hiểu và sử dụng mặt phẳng ? Trớc tiên, mỗi mặt phẳng đợc quy ớc biểu diễn bằng một hình bình hành và dùng chữ in hoa đặt trong dấu ( ) để đặt tên cho mặt phẳng ấy (h.11). Thí dụ : mặt phẳng (P), mặt phẳng (Q) hoặc viết tắt mp(P), mp(Q) hoặc (P), (Q). Nếu điểm A thuộc mặt phẳng (P) thì viết A(P) hoặc Amp(P) Nếu điểm A không thuộc mặt phẳng (P) thì viết A(P) hoặc Amp(P). Nếu đờng thẳng d thuộc mặt phẳng (P) thì viết d(P) hoặc dmp(P) Nếu đờng thẳng d không thuộc mặt phẳng (P) thì viết d(P) hoặc dmp(P) Ta hiểu và sử dụng mặt phẳng thông qua các tính chất thừa nhận của hình học không gian. 2. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian Tính chất 1 Có một và chỉ một đờng thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trớc (h12). Tính chất 2 Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng (h.13). Tính chất 3 Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng (h.14). Tính chất 4 Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì nó có một đờng thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng ấy (h.15). 1 P A Hình 11 d Đờng thẳng chung của hai mặp phẳng phân biệt đợc gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng ấy. Tính chất 5 Trên mỗi mặt phẳng các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng. Định lý Nếu một đờng thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì đờng thẳng nằm trên mặt phẳng đó (h.14). 3. Điều kiện xác định mặt phẳng Mặt phẳng đợc xác định bằng một trong ba cách sau đây: Mặt phẳng xác định khi biết ba điểm không thẳng hàng thuộc nó (h.16a). (suy từ tính chất 2) Mặt phẳng xác định khi biết nó đi qua một đờng thẳng một điểm không không nằm trên đờng thẳng ấy (h.16b). (suy từ tính chất 2 và 1) Mặt phẳng xác định khi biết nó đi qua hai đờng thẳng cắt nhau (h.16c). (suy từ tính chất 2 và 1) 4. Hình chóp và tứ diện Định nghĩa 1 Cho đa giác A 1 A 2 A n và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P) chứa đa giác. Nối S với các đỉnh A 1 , A 2 , , A n tạo ra n tam giác : SA 1 A 2 , SA 2 A 3 , SA n 1 A n . Hình gồm n tam giác đó và đa giác A 1 A 2 A n gọi là hình chóp và đợc ký hiệu là S. A 1 A 2 A n + Điểm S gọi là đỉnh của hình chóp 2 A B d Hình 12 Hình 14 P A B C D P A Hình 15 a Q Giao tuyến P A Hình 13 B C P Hình 16.c P A Hình 16b d P A Hình 16.a B C a b + Hình đa giác A 1 A 2 A n gọi là mặt đáy của hình chóp. + Các cạnh của mặt đấy gọi là cạnh đáy của hình chóp. + Các đoạn thẳng SA 1 , SA 2 , , SA n gọi là các cạnh bên của hình chóp. + Các hình tam giác SA 1 A 2 , SA 2 A 3 , SA n 1 A n . gọi là các mặt bên của hình chóp. * Nếu đáy của hình chóp là tam giác, tứ giác, ngũ giác, . thì hình chóp tơng ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác, ( Hình chóp chỉ có một đỉnh và một mặt đáy). Định nghĩa 2 Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD gọi là hình tứ diện. + Các điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh của hình tứ diện + Các đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, CD, DB gọi là các cạnh của hình tứ diện + Hai cạnh không đi qua một đỉnh gọi hai cạnh đối diện . + Các tam giác ABC, ACD, ADB, BCD gọi là các mặt của hình tứ diện. + Đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện của mặt đó. (Hình tứ diện có thể xem là hình chóp tam giác. Khi đó mỗi đỉnh của hình tứ diện đều có thể xem là một đỉnh của hình chóp tơng ứng) 5. Các thí dụ và bài toán cơ bản Thí dụ 1 Cho hai đờng thẳng a và b cắt nhau tại điểm I, đờng thẳng c cắt đờng thẳng a tại điểm A (AI), cắt đờng thẳng b tại điểm B (BI). Chứng tỏ ba đờng thẳng a, b, c cùng nằm trong một mặt phẳng. Lời giải Gọi (P) là mặt phẳng xác định bởi hai đờng thẳng cắt nhau a và b (h.17). Nh vậy )( )( Pb Pa )( )( PB PA . Đờng thẳng c đi qua hai điểm A và B của mặt phẳng (P), theo định lý trên suy ra c(P) Vậy a, b, c cùng nằm trong một mặt phẳng (P). (đpcm) Lời bình Từ Thí dụ trên ta suy ra : 1) Nếu ba đờng thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng mà đôi một cắt nhau thì chúng đồng quy tại một điểm (h.18). Thật vậy : Giả sử I=ab, A=ca; B=cb. Gọi (P)=(a, b). Nếu AI kết hợp 3 P Hình 17 I B A a b c P Hình 18 I a b c với ca suy ra BI . Theo Theo thí dụ trên c(P) cả a, b, c đều thuộc (P). Mâu thuẫn. Vậy a, b, c phải đồng qui (đpcm). 2) Cho ba mặt phẳng phân biệt (P), (Q), (R) đôi một cắt nhau : a=(P)(Q), b=(P)(R), c=(Q)(R). Nếu có hai trong ba giao tuyến ấy cắt nhau thì cả ba giao tuyến ấy đồng quy (h.19). Thật vậy, theo giả thiết: (P)=(a, b), (Q)=(a, c), R=(b, c). Do (P), (Q), (R) là ba mặt phẳng phân biệt a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng. Nếu a cắt b tại điểm I thì theo Thí dụ trên a, b, c phải đồng qui tại I (đpcm). Thí dụ 2 Cho hai tam giác ABC và A B C không đồng phẳng sao cho đờng thẳng AB cắt AB tại , đờng thẳng BC cắt BC tại , đờng thẳng CA cắt CA tại . Chứng minh rằng nếu AA cắt BB tại O thì CC cũng đi qua O. Lời giải Gọi (P)=(AB, BB), (Q)=(BC, BC), (R)=(AC, AC). (h.20) Đó là ba mặt phẳng phân biệt. Rõ ràng (P)(Q)=BB, (P)(R)=AA, (R)(Q)=CC. Theo lời bình sau Thí dụ 2 ở trên thì AA, BB, CC đồng quy hay CC đi qua O (đpcm). Bài toán1. Xác định giao điểm giữa đờng thẳng và mặt phẳng. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng Để tìm giao điểm của đờng thẳng ( ) với mặt phẳng (P), ta tìm giao điểm của ( ) với một đờng thẳng (d) thuộc (P). Khi đó ( ) (d) cũng chính là giao điểm giữa ( ) (P). 4 a b c P Q R I Hình 19 A C B C Hình 20 O A B Để tìm giao điểm của hai mặt phẳng, một cách có thể là chỉ ra hai điểm chung giữa chúng. Thí dụ 3 Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng ( ) có hai cạnh AD và BC không song song. Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng ( ) và K(KS, KB) là điểm trên đoạn thẳng SB. 1) Tìm giao điểm đờng thẳng BC với mặt phẳng (SAD). 2) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) với mặt phẳng (SBD). 3) Tìm giao điểm đờng thẳng SC với mặt phẳng (ALD). Lời giải 1) Dựng E=ADBC (Do AD và BC không song song điểm E tồn tại).(h.21) Bởi AD(SAD) Điểm E là giao của đờng thẳng BC với mặt phẳng (SAD). 2) Dựng O=ACBD Ta có )( )( SBDOBDO SACOACO O là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). (1) Lại có S là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). (2) Từ (1), (2) suy ra của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là đờng thẳng SO. 3) Trong mặt phẳng (SBD), nối KD, lấy I=KDSO. Trong mặt phẳng (SAC) kẻ đờng thẳng AL. Lấy L=SCAL. Rõ ràng )()(, AKDLAKDAIAIL SCL L là giao điểm của đờng thẳng SC với mặt phẳng (AKD). Lời bình Bài toán tìm giao điểm của đờng thẳng với mặt phẳng là bài toán dựng hình. Nhng lời giải không phải trình bày chứng minh. Bài toán 2. Chứng minh ba điểm thẳng hàng. Chứng minh ba đờng thẳng dồng quy. 5 A B C D S L I K O E Hình 21 Các điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt là một đờng thẳng. Bởi thế, một cách để chứng minh ba điểm thẳng hàng là chứng minh mỗi điểm trong chúng đều là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt. Để chứng minh ba đờng thẳng đồng quy, bạn có thể làm theo hai cách sau: Cách 1: Chứng minh chúng là giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt Cách 2: Chứng minh một đờng thẳng đi qua giao điểm của hai đờng còn lại. Thí dụ 4. Cho mặt phẳng (P) ba điểm A, B, C không thẳng hàng và không nằm trên (P). Chứng minh rằng nếu các đờng thẳng AB, BC, CA đếu cắt mặt phẳng (P) thì ba giao điểm ấy thẳng hàng. Lời giải Gọi , , theo thứ tự lần lợt là giao điểm của các đờng thẳng BC, CA, AB với mặt phẳng (P). (h. 22) Gọi (Q) là mặt phẳng xác định bởi ba điểm không thẳng hàng A, B, C. Ta có điểm thuộc đờng thẳng BC (Q). Lại có (P), nên là điểm chung của hai mặt phẳng (P) và (Q) (P) và (Q) cắt nhau. Gọi ( )=(P)(Q) ta có ( ) (1) Tơng tực ( ), ( ) cũng là các điểm thuộc (). (2) Từ (1), (2) suy ra cả ba điểm , , thẳng hàng (đpcm). Thí dụ 5 Cho hình bình hành ABCD và điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABCD). Gọi B, C, D theo thứ tự là ba điểm thuộc SB, SC, SD sao cho 3 1' = SB SB , 3 2' = SC SC , 2 1' = SD SD 1) Xác định , theo thứ tự là giao điểm của mặt phẳng (BCD) lần lợt với các đờng thẳng BC, CD. 2) Xác định Atheo thứ tự là giao điểm của mặt phẳng (BCD) với đờng thẳng SA. 3) Xác định giao điểm I của đờng thẳng BC với mặt phẳng (SAC). 4) Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Chứng minh S, I, O thẳng hàng. 5) Chứng minh các đờng thẳng , AD và BC đồng quy. Lời giải 6 S A D B C A B D I O C Hình 23 J P Hình 22 Q A B C ( ) 1) (h.23) Trong mặt phẳng (SAC), kéo dài BC và BC cho chúng cắt nhau tại . Do 3 1' = SB SB , 3 2' = SC SC SC SC SB SB '' nên tồn tại. Do BC(BCD) là giao điểm của mặt phẳng (BCD) với đờng thẳng BC. Tơng tự =CDCD là giao điểm của mặt phẳng (BCD) với đờng thẳng CD. 2) Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ đờng thẳng ( ) đi qua hai điểm và . Kéo dài AC cắt ( ) tại J. Trong mặt phẳng (SAC) kẻ đờng thẳng JC cắt SA tại A. Điểm Achính là giao của đờng thẳng SA với mặt phẳng (BCD) mà ta phải tìm. 3) Lấy I=BCAC ta có I chính là giao của đờng thẳng BC với mặt phẳng (SAC) mà ta phải tìm. 4) Thấy rằng S, I, O là những điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) nên chúng thẳng hàng (đpcm) 5) Ta có =(ABCD)(BCD), AD=(SAD)(BCD), AD=(BCD)(ABCD). Đờng thẳng ( ) cắt đờng thẳng BC, mà BC//AD nên ( ) cắt đờng thẳng AD. Bởi thế theo lời bình sau Thí dụ 1 thì , AD và BC đồng quy (đpcm). Thí dụ 6 Cho tứ diện ABCD. Gọi A, B, C, D theo thứ tự là trọng tâm các tam giác BCD, ACD, ADB, ABC. Chứng minh các đờng thẳng AA, BB, CC, DD đồng quy. Lời giải Gọi I là trung điểm CD. Nối IB, IA IB, IA theo thứ tự là các trung tuyến của tam giác BCD và ACD (h.24) Bởi thế A là trọng tâm BCD AIB và 3 1' = IB IA (1) Tơng tự B là trọng tâm ACD BIA và 3 1' = IA IB (2) Từ (1), (2) suy ra AB//BA. Bởi vậy, gọi G=AABB ta có 3 1''''' ==== IB IA BA BA GA GA GB GB (3) Tơng tự, gọi G 1 = AADD ta 7 A B A I B G C D Hình 24 có cũng có 3 1 '' 1 1 1 1 == AG AG DG DG (4) Từ (3), (4) suy ra G 1 G hay DD cũng đi qua G. Tơng tự ta cũng có CC cũng đi qua G hay các đờng thẳng AA, BB, CC, DD đồng quy (đpcm) Chú ý : Điểm G nói trên đợc gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD.Đờng thẳng nối mỗi đỉnh với trọng tâm của mặt đối diện gọi là đờng trọng tuyến của tứ diện. Thí dụ trên cho thấy: các đờng trọng trong một tứ diện tuyến đồng quy tại một điểm. Bài toán 3. Dựng thiết diệnPhơng pháp giao tuyến gốc Trong Hình 23 ở trên, tứ giác ABCD đợc gọi là thiết diện của hình chóp SABCD tạo bởi mặt phẳng (BCD) Trong Hình 24 ở trên, tam giác ABI đợc gọi là thiết diện của tứ diện ABCD tạo bởi mặt phẳng (ABI). Tập hợp các giao điểm của các cạnh của một hình không gian (H) với mặt phẳng (P) lập thành các đỉnh của một đa giác. Đa giác tạo thành nh thế gọi là thiết diện (hay còn gọi là mặt cắt) của hình không gian (H) tạo bởi mặt phẳng (P). Bài toán dựng thiết diện là bài toán dựng hình nhng không phải trình bày chứng minh. Thí dụ 7 Cho tứ diện ABCD và các điểm MAB, NAcsao cho không có điểm nào trùng với các đỉnh của tứ diện và MN không song song với BC. Gọi K là một điểm thuộc miền trong của tam giácBCD. Dựng thiết diện của tứ diện tạo bởi mặt phẳng (MNK). Lời giải 8 A B D C T M N E F K Hình 25 Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đờng thẳng MN cắt BC tại T (do MN không song song với BC nên luôn có điểm T) (h.25) Trong mặt phẳng (BCD) kẻ đờng thẳng TK cắt CD tại E, cắt BD tại F. Nối M N E F M. Thiết diện là tứ giác MNEF. Lời bình Bài toán dựng thiết diện thực chất là bài toán xác định giao tuyến của của mặt cắt với các mặt của hình (H), trong đó mấu chốt là xác định giao điểm của các cạnh với mặt phẳng (P). Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng cần phải biết hai điểm. Trong Thí dụ trên, bài toán đã cho giao tuyến của mặt phẳng (MNK) với mặt (ABC) của tứ diện là MN. Trong các mặt còn lại chỉ mới biết một điểm. Để xác giao tuyến với các mặt ấy, trong mỗi mặt ta cần phải tìm một điểm thứ hai khác nữa. Điểm Tđiểm thứ hai của giao tuyến với (BCD) đ- ợc tìm thấy nhờ sự khai thông T=MNBC. Rõ ràng T là một nút điểm để giải bài toán và đờng thẳng MN là sứ giả khai thông bí mật ấy. Bởi thế nên đờng thẳng MN đợc gọi là giao tuyến gốc. Phát triển từ giao tuyến gốc, chúng ta tìm đợc các giao tuyến còn lại của thiết diện. Cách dựng thiết diện nh vậy gọi là phơng pháp giao tuyến gốc. Trong Thí dụ trên, giao tuyến gốc đã cho lộ thiên. Trong nhiều bài bài toán khác không có sự may mắn ấy.Trong trờng hợp đó, ta phải làm xuất hiện giao tuyến gốc. Các bạn theo dõi tiếp thí dụ dới đây. Thí dụ 8 Cho hành chóp SABCD. Gọi N là một điểm thuộc cạnh BC (IB, IC) và K, L theo thứ tự là các điểm thuộc miền trong của các mặt bên SAB, SCD. Dựng thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (NKL). Lời giải Trong mặt phẳng (SAB) kẻ đờng thẳng SK cắt AB tại K. Trong mặt phẳng (SCD) kẻ đờng thẳng SL cắt CD tại L. Trong mặt phẳng (SKL) kẻ các đờng thẳng KL, KL và lấy T 1 =KL KL Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ đờng thẳng T 1 N cắt CD tại M, cắt AB tại T 2 . Trong mặt phẳng (SAB) kẻ đờng thẳng T 2 K cắt SB tại X, cắt SA tại Y. Trong mặt phẳng (SCD) kẻ đờng thẳng ML cắt SD tại Z. Nối M N X Y Z M. Thiết diện là ngũ giác MNXYZ. Lời bình 1 ý nghĩa của kẻ các đờng thẳng SK, SL là tạo ra một mặt phẳng phụ ( ) bất kì miễn rằng nó chứa hai trong ba điểm đã cho (điểm K và L) và ( ) có cắt mặt phẳng chứa điểm còn lại (điểm I). Bạn nhớ điều này để vận dụng khi gặp các hình khác. Trong mặt phẳng ( ), ta dễ dàng tìm đợc nút điểm T 1 , từ đó khai thông các giao tuyến còn lại. Bằng mặt phẳng phụ ( ), ta đã cắt hình chóp SABC thành hai hình. Mỗi hình mới tạo ra đều đã lộ thiên giao tuyến gốc (đờng thẳng KL). Đó là điều cắt nghĩa bản chất của việc dựng mặt phẳng phụ. Lời bình 2 9 T 1 Hình 26 A B C D S L L K K T 2 M N X Y Z Để suôn sẻ, lời giải trên cố lãng quên rằng nút điểm T 1 có thể không tồn tại. Nếu sự thật này xảy ra, cách dựng trên bị đỗ vỡ, ta có tìm đợc thiết diện không? Xét ba mặt phẳng (ABCD), (KMN) và ( ). Ta có ( )(KMN)=SK, ( )(ABCD)=SK. Gọi Nt là giao tuyến của ( ) và (ABCD). Nếu Nt cắt SK tại U, theo lời bình sau Thí dụ 1 trang 20, ta suy ra SK, SK và Nt đồng quy tại U SK cắt (ABCD) tại U. Điều này mâu thuẫn với nút điểm T 1 không tồn tại. Vậy Nt//SK. Bởi thế, trong lời giải của bài toán, thay vì kẻ đờng thẳng T 1 N, ta kẻ đờng thẳng Nt//SK cắt CD tại M, cắt AB tại T 2 . Các bớc tiếp theo của lời giải vẫn nh trên. Bài tập Bài 1. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai? 1) Hai mặt phẳng có một điểm chung duy nhất. 2) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đờng thẳng. 3) Ba đờng thẳng cắt nhau thì cùng nằm trong một mặt phẳng. 4) Có đúng hai mặt phẳng cắt nhau theo một đờng thẳng cho trớc. Bài 2. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai? 1) Hai mặt phẳng cùng chứa hai cạnh của một tam giác thì trùng nhau. 2) Mặt phẳng là hình bình hành. 3) Hai đờng thẳng nằm trong hai mặt phẳng phân biệt chỉ có thể cắt nhau tại một điểm trên giao tuyến của hai mặt phẳng ấy. 4) Có hai mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt. Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F là trung điểm các cạnh AC, AD và G là trọng tâm tam giác BCD. 1) Xác định giao điểm của đờng thẳng EF với mặt phẳng (ABG). 2) Xác định giao điểm của đờng thẳng AG với mặt phẳng (BEF). 3) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ABG) và (BEF). Bài 4. Cho hình chóp SABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. I là một điểm trên SO. 1) Dựng thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (ABI) 2) Xác định giao điểm của mặt phẳng đờng thẳng CD với mặt phẳng (ABI). Bài 5. Cho mặt phẳng (P), điểm I(P). Gọi a, b là hai đờng thẳng thuộc mặt phẳng (P) và cắt nhau tại điểm O, C là đờng thẳng cắt mặt phẳng (P) tại điểm I (IO). Gọi M là một điểm trên đờng thẳng c. Chứng minh khi M thay đổi, giao tuyến của hai mặt phẳng (M, a) và (M, b) nằm trong một mặt phẳng cố định. Bài 6. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, AD và SC. Xác định Thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (MNP). Bài 7. Cho hai hình thang ABCD và BBEF có chung đáy lớn AB và không cùng nằm trong một mặt phẳng. 1) Xác định giao tuyến của từng cặp mặt phẳng sau đây: (AEC) và (BFD); (BCE) và (ADF) 2) Lấy một điểm M trên đoạn DF. Xác định giao điểm của đờng thẳng AM với mặt phẳng (BCE) 3) Chứng minh hai đờng thẳng AC và BF là hai đờng thẳng không cắt nhau. 10 . Đờng thẳng và Mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song Đ1. đại cơng về đờng thẳng và mặt phẳng 1. Mở đầu về hình học không gian Trong chơng trình hình. các hình có thể không cùng nằm trong một mặt phẳng là nội dung của môn học gọi là Hình không gian. Ngoài điểm, đờng thẳng, hình không gian có khái niệm