Toán olympic cho sinh viên tập 2

TRẦN LƯU CƯỜNG NGUYỄN NAM BAC TÔ ANH DŨNG HUỲNH BÁ LÂN TOÁN OLYMPIC CHO SINH VIÊN TẬP II (Tái hản lần thử nhất) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU SỬ DỤNG TRONG SÁCH M t ậ p sô tự n h i ê n 7L tập sỏ nguyên Q t ậ p s ố hừu tỉ R t ậ p sô thực c t ậ p sô phức [XI |x| phần nguyên X {x| = X - [X1 (phần lẻ x) n = m (mod k): sô ngun n m có chung sơ dư (đồng dư) chia cho số tự nhiên k n! CỊỊ n! = n, nefc], ! = hệ sơ n hị thức, tro n g n, k e 7Z n(n - l) (n - k + 1) k! k >0 k =0 k DX = EX E X- (a + b) = DX (•) : (a + b) Khi * E X , sử d ụ n g tín h c h ấ t kì vọng, t a có: E v (a + b)" - EX2 (a + b)l EX ^a + b ^ + L J T rừ cộng (EX)2 cho v ế p h ả i đ ẳ n g thứ c t r ê n , ta n h ậ n E rx (a * b )2 rE X _ ( a + b r = DX + Từ (*) (**) t a có: DX < E X - 148 (a + b) > DX Bây t a chứng m in h b ấ t đ ẳ n g thức: E r x _ (laa 4+- bni) l In ( b -— aA ) "I 2 Ta biến đổi: ■(b-a)' E = E X- = — uE x - í i ị ỉ ) +(b-x>' (a + b) E [(b-X )(X -a)] Sô h n g t h ứ hai đ ả n g thứ c n y k h ô n g â m a b giá trị nhỏ lớn n h ấ t X Vì vậy: E X- suy E X- (a + b) (a + b) p Kí hiệu P n(A) xác su ất t h ắ n g giải A sau n ván; Ai Bj biến cô" tương ứng A B t h ắ n g v n Khi P n(A) = PtAiíPn-iíA/Ai) + P(Bi)Pn 1(A/B1) = = a P n-i(A/A,) + pPn-^A/B,) (*) T rong P n_Ị(A/Ai) xác s u ấ t A t h ắ n g giải sau n - v n lại, A đ ă t h ă n g v n ; P n.i(A/Bj) xác s u ấ t A t h ắ n g giải sau n - v n lại, kh i B đ ả t h n g ván 149 X ét n > Để A t h n g giải sau n - v n lại, A t h ắ n g v n đầu, B p h ải t h ắ n g v án t h ứ hai, n g h ĩa là: Pn-IÍA/Ai) = P (B i)P n-2(A) = ò P n_2(A) Tng t: Pn-ilAặù) = P ( A , ) P n 2( A ) = a P n 2(A ) Từ (*) t a có P n(A) = a ß P n_2(A), suy P 4(A ) = a ß a 2, P 2n(A ) = ( a ß ) n" 1a Khi n = t a có P 2(A) = a Vì k h n g có v n h ị a n ê n a + ß = 1, xác s u ấ t t h ắ n g giải A là: P (A ) = ¿ P k ( A ) = a [l + a ò + ( a ò ) +ã] = k=l l- a ß a +ß2 M bi n ẽ m c c h n g ẫ u nhiên vào N hộp Tìm x ác s u ấ t cho N hộp c ó k0 hộp mà hộp khơng c ó bi nào; k! h ộp m hộp c ó đ ú n g bi, ; kM hộp mà hộp c ó tất M bi: k0 + ki + + kM= N; o.kg + kl + -f M kfyj = M T o àn trư n g hợp N M Kí hiệu m s ố trường hợp t h ỏ a m ả n đ ầu bài, m tích sơ' cách chọn hộp với sô cách chọn bi Sô" cách chọn hộp là: GIẢI N! u ! N! Iỉ t ~ M M Ỵ Ị k t\ 1=0 T a tìm số cách để chọn bi Các bi n h ó m đ ầu tiê n rỗ n g (k h ô n g chứa bi); n h ó m 150 p h â n th e o nhóm: th ứ n h t chứa ki bi; n h óm t h ứ i chứa i.k, bi (i = 1, 2, M) S ố cách chọn n h ó m bi _ M! _ M! (l.k j )!(2.k2)!(3.k3 )! (M.kM)! “ M fỊ(i.k ,)! 1= Bây t a xác đ ịn h sô cách chọn bi tron g n h ó m i cho hộp từ k, hộp chứa i bi Sô cách n y là: (i-kị)! _ (i.k1 )! i! i! i! ~ (i! )k' Cịn sơ cách chọn t ấ t bi cho t ấ t n hó m , b ằ n g tích sơ trên: (i! ) T ấ t cách chọn bi tích (*) (**): M M! f[ũ M il M! M M ~ M f ] ( i k j ) ! Ị~[ (i!)k' Ị- Ị ( i ! ) k‘ 1=1 1=1 1=1 N h â n số cách chọn h ộ p sô' cách chọn bi (***) t a n h ậ n được: N! M! m = M M ] > # » ' i=0 i=l Ci cùng, từ đó, xác s u ấ t c ầ n t ì m là: m N! M! M M p ' NM " N M ]“ [ k , ' P ] ( i ! ) k' 1=0 27 1=1 Trong xe buýt c ó n hành khách Ở trạm đỗ mổi hành khách x uốn g xe với x ác su ất p; với x c s u ấ t Po không c ó hành khách lẽn xe; với x ác su ất - Po c ó hành khách lên xe Tim xác su ấ t s a o cho s a u hai trạm đỏ xe vẩn c ó n hành khách 151 trước (trong đó, m ổ i hành khách c ũ n g c ó thể x u ố n g xe với xác s u ấ t p trạm kê tiếp) GĨẢỈ G ọ i A k iệ n sa u h a i t r m t r o n g xe v ẩ n c h ỉ có n h n h k h c h C ó t h ể x ả y r a m ộ t t r o n g c c g iả t h u y ế t sau: H o o ' sau h a i t r m k h ô n g có a i lê n xe; H ị 0: t r m đ ầ u t iê n có m ộ t n g i lê n xe, c ò n t r m t h ứ h a i k h ô n g a i lê n ; H o : t r m đ ầ u t iê n k h ô n g a i lê n , c ò n t r m t h ứ h a i có m ộ t n g i lê n xe; H i i: m ỗ i t r m có m ộ t n g i lê n xe; P(Hqo) = (po)2Ị P(Hịo) = ( l “ po)poi P (H 0,i) = po(l-po)Ị P ( H U ) = (Ì-P o )2 T r o n g g iả t h u y ế t Hoo> đ ể s ố h n h k h c h v ẩ n n h trư c t h ì c ầ n p h ả i k h n g có a i x u ố n g xe t r m th ứ n h â t c ù n g n h t r m th ứ h a i: P(A/Ho,o) = [(1 - p )"]2 = ( l - p ) 2n T r o n g g iả th u y ế t H 10, đ ể sô» h n h k h c h v ẫ n n h trư c t h ì c ầ n p h ả i h o ặ c t r m đ ầ u t iê n m ộ t n g i x u ố n g xe, cò n t r m th ứ h a i k h n g có a i x u ố n g xe; h o ặ c t r m đ ầu t iê n k h ô n g a i x u ố n g x e , c ò n t r m t h ứ h a i m ộ t n g i x u ố n g xe: P ( A / H lto) = n p ( l- p ) n_1( l - p ) n + ( l - p ) n(n + )p( l - p ) n = = p ( l- p ) 2n_1[n + ( n + ix i- p ) ] T n g tự , n h n g đ ể ý r ằ n g , n g i lê n xe t r m t h ứ h a i k h ô n g x u ố n g xe: P (A /H o i) = n p ( l- p ) n" l ( l - p ) n+ ( l - p F n p ü - p ) " - = n p ( l- p ) 2n' T r o n g g iả th u y ế t H i , k h i có h a i h n h k h c h lê n x e đ ể s ố h n h k h c h v ẫ n n h trư c t h ì c ầ n p h ả i h o ặ c t r m đ ầ u t iê n h a i n g i x u n g xe, c ò n t r m th ứ h a i k h n g có a i x u ô n g xe; h o ặ c t r m đ ầ u t iê n k h ô n g a i x u ố n g xe, cò n t r m th ứ h a i có h a i n g i x u ô n g xe; h o ặ c m ỗ i t r m có m ộ t n g i x u ố n g xe: 152 P ( A / H U )= c ^ d - p r ^ i - p ) " - + u - p r c ^ p ^ i - p r + + cỉ,p(i-p)n-1cỉ1p (i- p r = = p2( l - p )2n-3 P ( A ) = P ( H 0,f))P(A/Hi) ũ) + P ( H i ) P ( A / H 10) + 28 Hàm ph ản phối F(x) c ủ a biến ngẫu nhiên không â m X c h o hinh Kỉ v ọ n g c ủ a X chứng tò m Hãy rằng, m diện tích c ủ a mién c ó g c h hình (giới hạn đường c o n g y = F(x), đường thẳng y = trục tung) GIẢI Ta có: ao 00 m = | x f (x )d x = J x F '( x ) d x = 0 Jx[l - F (x )] đ x Lấy tích p h â n p h ẩ n , t a có: 00 m = -X [l - F(X)] Ị” + J[l - F(x)]dx x [ l - F (x )] r = li m x [ l - F (x )] = 153 T h ậ t vậy, đôi với biến ngẫu n h i ê n X > có kì v ọn g hửu 00 h n , t hội tụ tích p h â n Jxf(x)dx kéo th e o cn ịx f(x )d x —> M (M -> oo), vì: oc cc M jY(x)dx < | x f ( x ) d x M M n ê n t a n h ậ n được: M[1 - F(M)] -> (M-> 00) Từ đó: lim x[l - F(x)] = x->00 m = J[l -F (x )]d x B BÀI T Ậ P T ự GIẢI T ro n g h ì n h vuỏng đơn vị chứa t ậ p hợp lồi A có d iện tích s chu vi 2p, t ấ t đ iể m A n ằ m cách b iên h ì n h vuỏng m ộ t k h o ả n g cách lớn c > Một đường tr ị n b án k í n h £ n é m lên m ặ t p h ă n g cho t â m p h â n phối tro n g h ì n h vng T ín h xác s u ấ t để đường t r ò n giao với A T ro n g hộp th ứ n h t có a bi t r ắ n g b bi đen (a * b), hộ p th ứ hai có b bi t r ắ n g a bi đen Từ hộp lấy lầ n lượt có h o àn lại N bi Sau đổ t ấ t bi vào h ộ p từ hộp n y lấy lầ n lượt có h o n lại 2N bi Xác s u ấ t n lớn hơn: t r o n g t h í n g h iệ m đầu t i ê n tổ n g sô bi t r ắ n g lấy r a n ằ m tro n g k h o ả n g N - k N + k hay tro n g t h í n g h iệ m t h ứ hai sô bi t r ắ n g n ằ m tro n g giới h n dó? 154 Biến n gẫu nhiên ị có h m m ật độ p h â n phối xác s u â t p(x) = 2~1e " ^ t x e R C ng m in h r ằ n g với h m số bâ't kì geC^IR), với kì vọng E|g'(Ç)| < X, tồ n t i đ ẳ n g thức sau: E g ’(Ç) = E(g(Ç)signÇ) Giả sử ị r) b iến ngẫu n h i ê n n guyên độc lập v bin ỗ+r| cú p h õ n phi n hị thức Chứng m i n h r ằ n g ị rị có p h â n phối nh ị thức Ở m ộ t nước, từ n ă m 1789 đ ến 1960 có 33 t ổ n g thống T ín h xác s u ấ t để có h người n o sơ họ có n g y sinh Một xổ s ố có 100 vé, vé giá 30 đồng Có loại giải thưởng: 10 đồng, đồng, đồng đồng T í n h kì vọng số t i ề n th n g đ ã t r t i ề n m ua vé m ộ t người m u a hai vé T h n h phơ có n qu ận , tro n g có Jij q u ậ n m q uận có Ẹj d â n cư (ni + n + + n k = n) C họn n g ẫ u n h i ê n kliỏng h o n lại r q uận v t í n h sơ d ả n tro n g q u ậ n Gọi Xi, xr sơ d â n tương ứng T í n h kì vọng phương sai Xi + x2 + + xr X Y l h b iến n g ẫu n h i ê n độc lậ p có p h â n phơi t r ê n (-b, b) H ã y t ì m xác s u â t đê phương t r ì n h t + t x + Y = có n g h iệ m thực H y tìm giới h n xác s u â t b - > X Các s ố 1, 2, n t r ộ n xếp th e o t h ứ tự n g ẫu n hiên T ín h xác s u ấ t p n để nhâ't có m ộ t sơ' n ằ m đ ú n g chồ m ình 10 T rong cầu b n k í n h R = 10 có m ộ t k h o ả n g trố n g h ì n h cầu cỏ b n k í n h r = đồng t â m với cầu H ã y t í n h xác s u ấ t để qưỳ đạo m ộ t h t, rơi vào cầu, qua k h o ả n g trơ n g bên Một sơ kí hiệu: IR : T ậ p hợp sô thực CVR) : T ậ p hợp h m liên tục có đ ạo h m bậc n h ấ t t r ê n [R 155 11 Các biến n gẫu n h iê n Xj, x 2, Xn độc lập có p h â n phối t r ê n đ oạn [0; 1] Gọi Y biến n g ầu n h i ê n , b ằ n g k, tổng: Sk = Xi + X2 + + l ầ n đầu t i ê n vượt C ng m in h rằng: EY = e 12 G iả sử b iến ngẫu n h i ê n X, (i = 1, n) độc lập p h â n phôi với h m p h â n phối liên tục F(x) Kí hiệu Y(x) sô Y(x) X, < X C h ứ n g m in h rằng, p h â n phối Dn = s u p ——— F(x) X n k h ô n g phụ thuộc vào F(x) Tìm p h â n phối Y(x) 13 M ột sách 500 t r a n g có 50 lỗi H ã y tìm xác su ất d ể chọn n gẫu n h i ê n m ộ t t r a n g t r a n g n y có k h n g lỗi 14 M ột loại b n h mì có t r ộ n n h o khơ Các b n h mì p h ải chứa t r u n g b ìn h bao n h iêu t r i nho khô dể xác s u ấ t tro n g m ột b n h mì có n h ấ t m ột t r i nho khô k h ô n g nhỏ 0,99? 15 Vào t h ế kỉ 16 có m ộ t đơn vị đo chiều dài độ dài bàn chân Đ ể xác đ ịn h đơn vị n ày người t a m n h sau: chọn ngảu n h i ê n 16 đ n ô ng lấy tổn g chiều dài b n c h â n t r i họ ch ia cho 16, chiều dài n y coi độ d ài “đơn vị b n c h â n tiêu c h u ẩ n ” B iết rằng, độ dài b n ch â n đ n ông b iế n n g ẫu n h i ê n có p h â n phơi ch u ẩ n với tru n g b ìn h 262,5m m độ lệch ch u ẩ n 12mm T ìm xác s u â t để hai độ d ài “đơn vị bàn c h â n tiêu c h u ẩ n ” xác đ ịn h theo h n h ó m đ n ông k h c n h a u có c h ê n h lệch 5mm C ần chọn bao n h iêu đ n ông dể xác suât cho độ d ài tru n g bình b n ch â n họ lệch so với 62 ,5 m m n h ỏ 0,5mm? 16 Mỗi vé xe buýt có m ộ t sô gổm sáu chừ sô Vé gọi “h n h p h úc” n ếu tổ n g ba chừ sô dầu b ằ n g tổ n g ba chữ sô sau T ìm xác s u ấ t mua “vé h n h phúc” b ằ n g cách trực tiế p b ă n g định lí giới h n địa phương So s n h h k ế t 156 17 T r è n p h ố có m ột người b n báo Giả sử r ằ n g người n g a n g qua mua báo với xác su ất — Gọi X sô người n gang qua tro n g th i gian người b n báo b n 100 tờ T ìm p h ả n phối X 18 Hai đấu th ủ A B có số tiề n tương ứng a b, chơi m ột trò chơi may rủi gồm v n đâu r i ê n g rẽ Xác s u â t t h ắ n g v n hai đáu th ủ b ằ n g n h au b ằ n g — Sau ván, t h u a p h ải t r ả đồ ng cho người th ắ n g Trò chơi k ế t th ú c có m ộ t người h ế t tiền T ìm xác su ất t h ắ n g người t h ứ hai 19 Giả sử tro ng t ậ p 18, xác s u ấ t t h ắ n g v n A p > — th u a với xác s u ấ t q = - p T ìm xác s u ấ t t h ắ n g người t h ứ hai 20 T ro n g p hép th tu n g xúc xắc, biến cố' A chuổi liên tiếp ba số x u ấ t h iệ n trước chuỗi n s ố khác T ìm n cho xác s u â t A b ằ n g — 21 P h é p t h có ba k ế t A, B, c với xác s u â t tương ứng p, q r (p+q+r = 1) T ìm xác s u ấ t b iến cố sau: a) Chuỗi n biến cô A xảy trước chuỗi m b iến cố B b) Chuỗi n biến cô A xảy r a trước chuỗi m b iến cố B chuỗi k b iến cô c 22 Theo k ê n h t h ô n g tin liên lạc tru yền m ộ t tro n g ba dảy chữ sau: AAAA, BBBB, cccc, xác s u â t dăy tương ứng 0,3; 0,4; 0,3 B iết rằ n g , n h iễ u n ê n xác su ất n h ậ n đú ng chữ m y g iảm ,6 , xác suất n h ậ n m ột chữ t h n h hai chữ k h c t ă n g đ ế n ,2 Giả sử chừ bị sai lạc độc lập với T ìm xác s u ấ t để p h t d ã y AAAA m áy n h ậ n ABCA 157 23 G iả sử r ằ n g , m ộ t xúc xắc có s m ặ t , s > 2, m ặ t xuất h i ệ n với xác s u ấ t b ằ n g Ki hiệu g(m,n) xác s u ấ t cho t u n g m l ầ n xúc xắc, m ộ t m ặ t xác đ ịn h xu ất h iệ n hơ n n lần C h ứ n g m i n h điều sau: a) g(sn, n ) k h ô n g g i ả m k h i s t ă n g n cô" định; b) g(sn, n) < z c) g(sn, n) —> — k h i n -> 00 24 T r ê n đ o n [0;1] n é m n g ẩ u n h i ê n n điểm Giả sử vị t r í đ iểm , độc lậ p với n h a u có p h â n phơi t r ê n [0;1] Tìm: a) m ậ t độ p h â n phôi Y ị = max(Xi, Xn); b) m ậ t độ p h â n phôi đ iể m t h ứ i từ t r i qua; c) m ậ t độ p h â n phôi đồ n g thời h o n h độ đ i ể m th ứ i t h ứ m t t r i qua (i < m); d) m ậ t độ p h â n phôi Y2 = m ax X k - m in X k k k 25 C h ọ n n g ầ u n h i ê n h tro n g G4 ô t r o n g b n cờ vua v đ ặ t vào h a i q u â n cờ giông n h a u m u t r ắ n g đen Tìm xác s u ấ t cho q u â n cờ k h n g ă n nhau, đ ặ t h a i hậu; h a i tượng; hai mả 26 Có n m y đ ế m h t v ậ t c h ấ t đ ặ t c n h n h a u đ ể đ ế m m ộ t d ò n g có k h t Mỗi h t với xác s u ấ t b ằ n g n h a u rơi v m ộ t m áy đ ế m b ấ t kì T ìm xác s u ấ t cho h t đ ế m r máy 158 MỤC LỤC Trang M ột s ố kí h iệ u sử dụ n g sách Chương I Đ ịn h thức, ma trận toá n tử tuyến tín h A Bài tập có lời giải B Bài tập tự giải Chương II Đ ại sơ tuyến tinh tro n g kh ị n g gian E u c l id e 62 70 dạng tồn phương A Bài tập có lời giải 70 B Bài tập tự giải 87 Chương III Đa thứ c đa thức lư ợng giác A Bài tập có lời giải B Bài tập tự giải Chương IV Xác suất 89 89 127 132 A Bài tập có lời giải 132 B Bài tập tự giải 154 159 ... Cu ln 12 c .21 C 21 11 L11 nl c nl c n - c ln C11 11 C21 21 c 22 C‘2n _ c l l 12 11 11 = cn c? ?2 - c 12 nl 11 c 22 c ll c 12c 21 Cn2C ll - c 12c n l c n - c ln nl C11 c n c l l " c l n c 21 11 n... thỉ: C11 • c 12 c ln C11 c 12 C 11 c 13 C11 ^ln C21 c 22 C21 c 23 C21 c 2n C11 c 12 C11 c 13 C11 Cln c nl c n2 ^nl c n3 c nl c nn Cn C11 "2 ^n l ^nn ^n2 GIẢI Lây dòng t h ứ i (i = 2, 3, n) đ ịn... ew ton cho biểu thức (XE + N )1 /2: 1 /2 1 /2 (XE + N )1 /2 = X U l- Ì = X 1 /2 + 38 ,2 ; (1 Ï k +2 / k-1 ^2 ) N (27 ) với Ằm = ylx ta kí hiệu m ộ t bậc n o từ X Ta chứng tỏ v ế p h ả i (27 ) thực