CAC DANG BAI TAP VE CHIA HET

CHUYÊN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT TOÁN CHIA HẾT ❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈ I) KIÊN THỨC CƠ BẢN 1) Đònh nghóa: a, b ∈ Z ( b ≠ 0 ) bao giờ cũng có duy nhất cặp số q,r sao cho a = bq + r với 0 < r <b + a là số bò chia ; b là số chia ; q là thương số ; r là số dư ( Trong đó r = 0;1;2; . b  -1 ) + Nếu r =0 thì a =bq ta nói a chia hết cho b ( a  b) hay a là bội của b hay b là ước của a + Nếu r ≠ 0 thì phép chia a cho b là phép chia còn dư 2) Một số tính chất: 1) a Μ a ( a ≠ 0 ) 2) a Μ b ;b Μ c ⇒ a Μ c ( b, c ≠ 0) 3) a Μ b ⇒ ka Μ b ( b ≠ 0) 4) a Μ b ,a Μ c trong đó b,c là hai số nguyên tố cùng nhau thì a Μ ( bc) 5) aΜ c , bΜ c thì ( a + b) Μ c ; ( a - b ) Μc 6) ( a.b) Μc trong đó a,c là hai số nguyên tố cùng nhau thì bΜ c 7) ( a - b ) Μ c thì avà b chia cho c có cùng số dư 8) a ≡ b ( M m) ; c ≡ d (M m) ⇒ a+c ≡ b +d ( M m) a.c ≡ b.d ( M m) 9 ) a ≡ b(Mm) ⇒ a n ≡ b n (Mm) 3 ) Dấu hiệu chia hết cho 2;3;5 ;4; 9;25;11 . 4) Một số hằng đẳng thức đáng nhớ : 1 ) ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ; ( a - b ) 2 = a 2 - 2ab + a 2 2) ( a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ; ( a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 3 ) a 2 - b 2 = ( a -b) (a + b) ⇒ ( a 2 - b 2 ) Μ (a - b) ; ( a 2 - b 2 ) Μ ( a + b) 4) a n - b n = ( a -b)( a n-1 + a n-2 b +a n-3 b 2 + ab n-2 + b n-1 ) ⇒ (a n - b n ) Μ ( a -b) 5 ) a 2n+1 + b 2n+1 =(a+b)(a 2n -a 2n-1 b + a 2n-2 b 2 -a 2n-3 b 3 + - .+ ab 2n-1 - b 2n ) ⇒ (a 2n+1 + b 2n+1 ) Μ ( a+b) 6) a 2n - b 2n = ( a+b)(a 2n-1 -a 2n-2 b + a 2n-3 b 2 - . +ab 2n-2 - b 2n-1 ) ⇒(a 2n - b 2n ) Μ (a + b) II) MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHIA HẾT A) PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: Bài 1) Chứng minh rằng : a) S = 5 +5 2 +5 3 + .+ 5 99 +5 100 chia hết cho 6 b) A = 2 + 2 2 +2 3 + .+ 2 99 + 2 100 chia hết cho 31 c ) B =16 5 + 2 15 chia hết cho 33 d) D = 1+2+3+ .+ 1995 chia hết cho 1995 Lời giải b) A= ( 2+2 2 +2 3 +2 4 +2 5 ) + (2 6 +2 7 +2 8 +2 9 +2 10 ) + ( ) (2 k +2 k+1 +2 k+2 +2 k+3 +2 k+4 ) . .+ (2 96 +2 97 +2 98 +2 99 +2 100 ) = 2(1+2+2 2 +2 3 +2 4 ) + 2 6 ( 1+2+2 2 +2 3 +2 4 ) .+2 k (1+2+2 2 +2 3 +2 4 ) .+ 2 96 (1+2+2 2 +2 3 +2 4 ) = 31 (2+2 6 +2 11 +2 16 + .+2 96 ) Vậy A Μ 31 c) B = 16 5 +(2 3 ) 5 = 16 5 + 8 5 = (2.8) 5 + 8 5 = 8 5 ( 2 5 + 1) = 8 5 .33 Vậy B Μ33 d) D = ( 1+ 1995) . 1995/2 = 1995.998 ⇒ D Μ 1995 Bài2 ) Chứng minh rằng : Nếu ab Μ13 khi và chỉ khi ( a + 4b) Μ13 Giải ab = 10a + b =13a -3a +13b -12b =13a - 13b -3(a + 4b) Nếu (a + 4b) Μ 13 thì ab Μ 13 Nếu ab Μ 13 ⇒ 3(a + 4b) Μ13 ;mà 3và 13 là hai số nguyên tố cùng nhau . Cho nên (a + 4b) Μ13 2 Bài 3) Chứng minh rằng :Số có 3 chữ số có tổng các chữ số bằng 7 chia hết cho 7 khi và chỉ khi chữ số hàng chục và hàng đơn vò bằng nhau. Giải Gọi số đã cho là abc (a,b,c là các chữ số ,a ≠ 0) và a + b + c = 7 Xét abc = 100a + 10b + c = 98a + 7b +2a + 2b +2c +b - c = 98a +7b + 2(a + +b +c) +b-c vì a,b c là các chữ số ,theo bài ra các chữ số này đều nhỏ hơn7 , mà a+b+c =7 ⇒ ä2(a+b+cΜ7 Nếu . abc Μ 7 ⇒ ( b - c ) Μ 7 ,vì b,c < 7 nên b -c = 0 ⇒ b = c Bài4 : Cho a,b ∈ Z .chứng minh rằng : ( 3a + 2b) Μ 17 khi và chỉ khi ( 10a + b ) Μ17 Giải Cách 1 : 10a +b =34a + 17b - 24a -16b = 17( 2a + b) -8( 3a + 2b) (10a + b) Μ17 khi và chỉ khi ( 3a + 2b) Μ17 Cách 2 : Xét 2(10a + b) - ( 3a + 2b) = 17a Μ17 Vậy nếu (10a + b) Μ17 khi và chỉ khi (3a + 2b) Μ17 Bài 5 : Chứng minh rằng : A = 2 9 + 2 99 chia hết cho 200 Giải A = 2 9 + 2 99 = 2 9 ( 1 + 2 90 ) = 2 9 [ 1 + (2 10 ) 9 ] mà [ 1 + (2 10 ) 9 ] Μ ( 1 + 2 10 ) ; 1 + 2 10 = 1025Μ25 Vậy AΜ 200 B) PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG VIỆC PHÂN TÍCH RA THỪA SỐ LOẠI I : PHÂN TÍCH SỐ CHIA Bài 1 : Chứng minh rằng : 21 39 + 39 21 chia hết cho 45 Nhận xét : 45 = 5.9 Dễ thấy A M 9 vì 21 M 3 ; 39 M 3 ⇒ 21 39 M 9 , 39 21 M 9 A = 21 39 + 39 21 = ( 21 39 - 1) + (39 21 + 1) 3 mà (21 39 - 1) M ( 21 - 1) ⇒ 21 39 - 1 M 5 (39 21 + 1) M ( 39 +1) ⇒ 39 21 + 1 M 5 Vậy A M 5 Từ điều kiện trên ta có A M 45 Bài 2 ) Chứng minh : A = ( 11 2n - 2 6n )( 1996 4 - 1) M 285 nhận xét : 285 = 5.57 1996 ≡ 1(M 5) ⇒ 1996 4 ≡ 1(M 5) ⇒ (1996 4 - 1) M 5 11 2n - 2 6n = (11 2 ) n - (2 6 ) n = (121 n - 64 n ) M ( 121 - 64 ) ⇒ ( 11 2n - 2 6n ) M 57 Vậy A M 285 Bài 3 ) Chứng minh rằng : ( 20 15 - 1 ) M 20861 * 20861 = 11.31.61 Đặt A = 20 15 - 1 = (20 15 + 2 15 ) - ( 2 15 + 1) = ( 20 15 + 2 15 ) - [(2 5 ) 3 + 1] = ( 20 15 + 2 15 ) - ( 32 3 + 1) mà (20 15 + 2 15 ) M ( 20 + 2) =22 ; (32 3 + 1) M 33 ⇒ A M 11 Cách 1* 20 3 = 8000 ≡ 2(M 31) ⇒ (20 3 ) 5 ≡ 2 5 (M 31) mà 2 5 = 32 ≡ 1(M 31) ⇒ 20 15 = (20 3 ) 5 ≡ 1(M 31 ) ⇒ ( 20 15 - 1) M 31 ⇒ A M 31 * A = 20 15 - 1 = (20 3 ) 5 - 1 mà 20 3 = 8000 ≡ 9(M 61) ⇒ 8000 5 ≡ 9 5 (M 61) mà 9 2 = 81 ≡ 20(M 61) ⇒ 81 2 ≡ 20 2 (M 61) Vậy suy ra 9 .81 2 ≡ 9 .400(M 61 ) ; mà 9.400 = 3600 ≡ 1(M 61) ⇒ 20 15 ≡ 1(M 61) ⇒ 20 15 -1 M 61 hay A M 61 Vậy A M 20861 Cách 2 : A = 5 15 2 30 - 1 = 5 15 2 30 - 5 15 + 5 15 - 1 = 5 5 (32 6 - 1) + (125 5 - 1) vì 32 - 1 = 31 ; 125 - 1 = 124 M 31 . Vậy A M 31 4 A = 20 15 - 1 = ( 81 15 - 1) - ( 81 15 - 20 15 ) = [(3 5 ) 12 - 1] - ( 81 15 - 20 15 ) 3 5 = 243 ≡ -1(M 61) ⇒ (3 5 ) 12 ≡ 1(M 61) ⇒ ( 81 15 - 1) M 61 ( 81 15 - 20 15 ) M ( 81 - 20 ) ⇒ ( 81 15 - 20 15 ) M 61 Vậy A M 20861 Bài 4 ) Cho số M = 3 40 - 1 và số N = 396880 .Chứng minh rằng M M N N = 16.5.121.41 Giải : M = (3 4 ) 10 - 1 = 81 10 - 1 = (81 5 - 1) (81 5 + 1) mà (81 5 - 1) M 80 ; 80 =16.5 ⇒ (81 5 - 1) M (16.5) (81 5 + 1) M 82 ; 82 = 2. 41 ⇒ (81 5 + 1) M 41 M = (3 5 ) 8 - 1 = ( 243 8 - 1) M ( 243 - 1) mà 242 =2.121 ⇒ M M 121 Vậy M M N Bài 5) Cho số B = 27195 8 - 10887 8 + 10152 8 Chứng minh : B  26460 Giải : 26460 = 2 2 .3 3 .5.7 2 ma(27195 8 - 10887 8 )ø M (27195 - 10887) ; mà 16308 = 4.27.121 M 2 2 .27 ; Μ 10152 = 2 2 .3 3 .94 M 2 2. 3 3 .Vậy B M 2 2 .3 3 mà 27195 = 3.5.7 2 .37 ; (10887 8 - 10152 8 ) M (10887 - 10152) M 3.5.7 2 ⇒ B M 5.7 2 Vậy B M ( 2 2 .3 3 .5.7 2 ) hay B M 26460 LOẠI 2 :PHÂN TÍCH SÔ BỊ CHIA Bài 1 ) Chứng minh rằng : ( n 5 - n ) M 30 với mọi n ∈ Z Giải Ta có 30 = 5.6 * n 5 - n = n( n 4 - 1) = n( n -1)( n + 1)( n 2 + 1) vì n ; n -1; n + 1; là 3 số nguyên liên tiếp nên tích n(n+1)(n-1) M 6 * Nếu n M 5 ⇒ n 5 - n M 5 Nếu n không chia hết cho 5 thì n khi chia cho 5 sẽ có các dạng sau 5 n = bs 5 + 1 ⇒ n 2 =bs5 +1 n = bs5 +2 ⇒ n 2 = bs5 +4 n = bs5 + 3 ⇒ n 2 = bs5 +1 n = bs5 + 4 ⇒ n 2 = bs5 + 4 trong các trường hợp trên ta luôn có n 2 - 1 hoặc n 2 + 1 luôn chia hết cho 5 . Vậy ( n 4 - 1) M 5 Vậy ( n 5 - n ) M 30 với mọi n ∈ Z Bài 2 ) Chứng minh rằng : Nếu n là số lẻ không chia hết cho 3 và n > 2 thì ( n 2 - 1) M 24 Giải Vì n là số lẻ lơn hơn 2 nên n = 2k + 1 n 2 - 1 =( n - 1)( n + 1) = 2k.(2k + 2) M 8 với mọi k ∈ Z Vì n không chia hết cho 3 nên n 2 = bs3 + 1 ⇒ ( n 2 - 1 ) M 3 Vậy ( n 2 - 1) M 24 với mọi n ∈ Z Bài 3 ) Chứng minh rằng : n là số chẵn lớn hơn 4 thì n 4 - 4n 3 - 4n 2 + 16n chia hết cho 384 Nhận xét : 384 = 2 7 .3 Phân tích : n 4 - 4n 3 - 4n 2 + 16n = n( n - 2)(n + 2)( n - 4) vì n là số chẵn lớn hơn 4 ,nên n = 2k ( k> 1,k ∈ Z ) n 4 - 4n 3 - 4n 2 + 16n = 2k( 2k - 2)( 2k + 2)( 2k - 4) = 2 4 .k( k - 1)( k + 1)( k - 2) mà tích của 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3 và 8 . Vì vậy k( k - 1)( k + 1)( k - 2)  24 Vậy n 4 - 4n 3 - 4n 2 + 16n chia hết cho 384 Bài 4 ) Cho a,b,c ∈ Z .Chứng minh rằng :( a 3 + b 3 + c 3 )  6 khi và chỉ khi (a + b + c )  6 Cách 1 : nhận xét : n 3 - n = n( n - 1)( n + 1) 6 với mọi n Z Xét hiệu :( a 3 + b 3 + c 3 ) - ( a + b + c) = [ ( a 3 -a) + ( b 3 - b) + ( c 3 - c)]  6 do vậy ( a 3 + b 3 + c 3 )  6 khi và chỉ khi (a + b + c ) 6 Cách 2 ( a 3 + b 3 + c 3 ) = ( a + b) 3 + c 3 - 3ab( a + b) = ( a + b + c)(a 2 +b 2 +c 2 - 2ab - bc - ac ) - 3ab( a+ b) 6 Dễ thấy 3ab( a + b) 6 vói mọi a,b  Z . Vậy : ( a 3 + b 3 + c 3 )  6 khi và chỉ khi (a + b + c ) 6 Bài 5) Chứng minh rằng : 25n 4 + 50n 3 - n 2 - 2n chia hết cho 24 ( n  N*) Giải Đặt A = 25n 4 + 50n 3 - n 2 - 2n = 24n 4 + 48n 3 +n 4 + 2n 3 - n 2 - 2n Phân tích n 4 + 2n 3 - n 2 - 2n = n( n +1)( n -1)( n +2) 24 . Vậy (25n 4 + 50n 3 - n 2 - 2n)24 Bài 6 ) Chứng minh rằng : 4a 2 + 3a + 5 chia hết cho 6 ( a  Z) Với a không chia hết cho 3và 2 giải Cách 1 :Vì a không chia hết cho 2  a là số lẻ  3a +5 là số chẵn  (4a 2 + 3a + 5) 2 4a 2 + 3a + 5 = 3a 2 + 3a + 3 + ( a 2 + 2) ; vì a không chia hết cho 3a 2 = bs3 + 1 vì vậy a 2 + 2 chia hết cho 3 . Vậy (4a 2 + 3a + 5) 3 . Do vậy (4a 2 + 3a + 5 )  6 ( a Z) Cách 2 : 4a 2 + 3a + 5 = 3a 2 + 3 + a 2 +3a +2 = 3 ( a 2 + 1) + (a + 1)( a + 2) vì a là số lẻ  a 2 + 1 là số chẵn  3( a 2 + 1)  6 a + 1; a + 2 là hai số nguyên liên tiếp  ( a + 1)( a + 2) 2 vì a không chia hêt cho 3  trong hai số a + 1 ; a + 2 bao giờ cũng có một số chia hết cho 3 . Vậy ( a + 1)( a + 2)  6 Vậy với a không chia hết cho 2 và 3 thì 4a 2 + 3a + 5 chia hết cho 6 ( aZ) D) PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Bài 1 : Chứng minh rằng : Nếu ( x 2 + y 2 )  3 khi và chỉ khi x  3 và y  3 Giải Giả sử trong 2 số có ít nhất một số không chia hết cho 3 + Nếu x 3 ; y3  ( x 2 + y 2 ) không chia hết cho 3 ( trái với gt) + Nếu x 3 ; y 3 thì x = 3k  1  x 2 = ( 3k  1) 2 =Bs 3 + 1 y = 3n  1  y 2 = ( 3n  1) 2 = Bs 3 + 1 Do vậy suy ra x 2 + y 2 = Bs 3 + 2  (x 2 + y 2 ) 3 ( trái với gt ) Vậycả hai số x và y đều chia hết cho 3 7 Bài 2) Cho m , n  N thỏa mãn 24m 4 + 1 = n 2 . Chứng minh tích m.n chia hết cho 5 . Giải Giả sử trong hai số m , n không có số nào chia hết cho 5 . Vậy m chỉ có các dạng sau : m = 5k 1 ; 5k  2  m 2 = Bs 5 + 1 ; m 2 = Bs 5 + 4  m 4 = Bs 5 + 1 24m 4 + 1 = 24.( Bs 5 + 1) = Bs 5 + 25  n 2  5  n  5 ( Trái với giả sử ) Vậy trong hai số có ít nhất một số chia hết cho 5 , nên tích m.n chia hết cho 5 Bài 3) Cho a,b,c  N thỏa mãn a 2 + b 2 = c 2 thì a) Trong hai số a và b có một số chia hết cho 3 b) Một trong các số a và b chia hết cho 4 c) Một trong các số a,b,c chia hết cho 5 Giải a) Giả sử trong hai số a và b không có số nào chia hết cho 3 thì a 2 + b 2 chia cho 3 luôn có số dư là 2 (1) . Do vậy c không chia hết cho 3  c 2 chia cho 3 có số dư là 1 ( 2) Như vậy (1) và (2) mâu thuẫn với nhau . Vậy trong hai số a và b có ít nhất một số chia hét cho 3 . b) Nếu a và b chẵn thì c 2 cho nên a =2k ,b = 2n , c =2q thay vào a 2 + b 2 = c 2 ta dễ có k 2 + n 2 = q 2 ; lập luận tưong tự ta lại có k 2 hoặc n 2  a 4 hoặc b  4 Nếu a và b cùng lẻ thì a 2 + b 2 chia cho 4 dư 2  c  2 nên c 2 4 ( vô lý ) Vậy trong hai số a và b có một số chẵn còn số kia là số lẻ Giả sử a = 2k ; b = 2n + 1 dễ thấy c là số lẻ  c = 2q +1 Thay vào a 2 + b 2 = c 2 ta được (2k) 2 + (2n +1) 2 = ( 2q +1) 2  4k 2 = ( 2q +1) 2 - ( 2n + 1) 2 8 . Vì hiệu các bình phương hai số lẻ thì chia hết cho 8 . Từ đó suy ra k 2 2  k2 Vậy a 4  Trong hai số a và b có một số chia hêt cho 4 c) Giả sử trong 3 số trên không có số nào chia hết cho 5 . bằng các phếp thử ta dễ thấy a 2 = Bs5 + 1 ; Bs 5 + 4 b 2 = Bs5 + 1 ; Bs 5 + 4 c 2 = Bs5 + 1 ; Bs 5 + 4 (1) ta có a 2 + b 2 chia cho 5 có các số dư lần lượt là 0;2;3  c 2 chia cho 5 có số dư là 0;2;3 (2) . Vậy (1) và (2) mâu thuẫn Vậy trong 3 số a , b, c có một số chia hết cho 5 Bài 4) Cho n là số tự nhiên , p là số nguyên tố . Chứng minh rằng : Nếu n 2  p khi và chỉ khi n  p Giải Giả sử n  p  n và p là hai số nguyên tố cùng nhau  n 2  p ( trái với gt ) Vậy Nếu n 2  p khi và chỉ khi n  p D) PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐỒNG DƯ THỨC Bài 1) Chứng minh : A = 36 38 + 41 33 chia hết cho 77 Giải : ta chứng minh A 7 và A11 Ta có : 36 ≡ 1(M 7)  36 38 ≡ 1(M 7) 41 ≡ -1(M 7)  41 33 ≡ -1(M 7) A ≡ 0 (M 7)  A7 36 ≡ 3(M 11)  36 38 ≡ 3 38 (M 11) ; 41 ≡ -3(M 11)  41 33 ≡ -3 33 (M 11) A ≡ 3 38 - 3 33 (M 11) . Mà 3 38 - 3 33 = 3 33 ( 3 5 - 1) = 3 33 . 242 11  3 38 - 3 33 ≡ 0(M11) 8 A ≡ 0(M 11)  A 11 Vậy A = 36 38 + 41 33 chia hết cho 77 Bài 2) Chứng minh a) 2222 5555 + 5555 2222 chia hết cho 7 b) 1961 1962 +1963 1964 + 1965 1966 + 2 chia hết cho7 Giải: a) 2222 ≡ 3(M 7)  2222 5555 ≡ 3 5555 (M 7) 5555 ≡ 4(M 7)  5555 2222 ≡ 4 2222 (M 7) 3 5 = 243 ≡ -2(M 7)  3 5555 = (3 5 ) 1111 ≡ (-2) 1111 (M 7) 4 2 = 16 ≡ 2(M 7)  4 2222 = (4 2 ) 1111 ≡ 2 1111 (M 7) 2222 5555 + 5555 2222 ≡ (-2) 1111 + 2 1111 (M 7) ≡ 0(M 7) Vậy 2222 5555 + 5555 2222 chia hết cho 7 b) 1961 ≡ 1(M 7)  1961 1962 ≡ 1(M 7) 1963 ≡ 3(M 7)  1963 1964 ≡ 3 1964 (M 7) Mà 3 3 = 27 ≡ -1(M 7) 3 1964 = (3 3 ) 654 .3 2 ≡ (-1) 654 .3 2 (M 7) ≡ 9(M 7) ≡ 2 (M 7) . Vậy 1963 1964 ≡ 2(M 7) 1965 ≡ -2(M 7)  1965 1966 ≡ (-2) 1966 (M 7) . Mà 2 3 ≡ 1(M 7)  2 1966 = (2 3 ) 665 .2 ≡ 1 665 .2(M 7)  1965 1966 ≡ 2 (M 7) Vậy 1961 1962 +1963 1964 + 1965 1966 + 2 ≡ 2+ 2+ 2+1 (M 7) ≡ 0 (M 7)  1961 1962 +1963 1964 + 1965 1966 + 2 chia hết cho 7 E ) PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Bài 1 ) Chứng minh rằng : 3 2n+2 - 8n - 9 chia hết cho 64 ( n  N) Giải * Với n = 0 , 3 2.0 + 2 - 8.0 - 9 = 064 * Giả sử n =k thì 3 2k+2 -8k - 9  64 . Ta phải c/m n = k +1 thì 3 2(k+1) +2 - 8(k+1) - 9 64 Thật vậy 3 2(k+1) +2 - 8(k+1) - 9 = 3 2k+2 .3 2 - 8k -8 - 9 = 9.3 2k+2 - 9.8k - 81 + 64k +64 = 9(3 2k+2 -8k - 9 ) + 64k + 64 ; mà 3 2k+2 -8k - 9  64 Vậy 3 2(k+1) +2 - 8(k+1) - 9 chia hết cho 64 Vậy 3 2n+2 - 8n - 9 chia hết cho 64 ( n N) Bài 2 ) Chứng minh : 7 2n+1 - 48n - 7 chia hết cho 288 ( n  N ) Hướng dẫn chứng minh với n = k+1 7 2(k+1) +1 - 48(k+1) - 7 = 7 2 .7 2k +1 - 48k -48 -7 = 49 ( 7 2k+1 - 48k - 7) + 8.288k +288 Vì 7 2k+1 - 48k - 7  288  đpcm Bài 3) Chứng minh : ( n+1)(n+2)(n+3) .(n +2n-1)(n + 2n) chia hết cho 3 n ( n > 0 ,n  N) Giải * n = 1 thì (1 + 1)( 1 + 2) = 6  3 * Giả sử n = k thì A k = (k+1)(k+2)(k+3) (3k-1)(3k)  3 k Ta chứng minh n = k+1 thì A k+1 = (k+2)(k+3)(k+4) (3k-1)(3k)(3k+1)(3k+2)(3k+3)  3 k+1 Xét A k+1 = (k+2)(k+3)(k+4) (3k-1)(3k)(3k+1)(3k+2) 3(k+1) = 3(k+1) (k+2)(k+3)(k+4) (3k-1)(3k)(3k+1)(3k+2) = A k .3.(3k+1)(3k+2) ; mà A k  3 k  A k+1  3 k+1 Vậy ( n+1)(n+2)(n+3) .(n +2n-1)(n + 2n) chia hết cho 3 n ( n > 0 ,nN) 9 Bài thi học sinh giỏi toàn quốc 1995 - 1996 Tìm số dư ( 1995+1)(1995+2)(1995+3) .(1995 + 3990) chia cho 3 1995 F ) PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG NGUYÊN TẮC ĐI-RÍCH-CLÊ Bài 1 ) Chứng minh rằng trong 6 số tự nhiên liên tiếp túy ý ,bao giờ ta cũng chọn được 2 số có hiệu chia hết cho 5 Giải Ta biết : Một số tự nhiên a khi chia cho 5 có 5 khả năng về số dư khác nhau là 0;1;2;3;4 Vậy trong 6 số tự nhiên vơi 5 khả năng về số dư , do vậy chắc chắn bao giờ cũng có 2 số khi chia cho 5 có cùng số dư . Vậy hiệu của chúng chia hết cho 5. (đpcm) Bài 2) Chứng minh rằng : Trong 3 số nguyên tố lớn hơn 5 , bao giờ cũng tìm dược hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12 . Giải Nếu a là số nguyên tố lớn hơn 5 , khi chia a cho 12 ta nhận được các số dư sau :1;5;7 và 11 Trong 3 số nguyên tô trên khi chi cho 12 chỉ có số dư là một trong các số trên. - Nếu 2 trong 3 số chia cho 12 có cùng số dư thì hiệu của chúng chia hết cho 12 - Nếu trong 3 số không có 2 số nào chia cho 12 có cùng số dư , do vậy số dư của 3 số đó chỉ có thể nhận được từ các bộ số sau ( 1 ; 5 ; 7 ) ; (1 ;5; 11 ) ;( 1;7 ;11) ; ( 5 ; 7; 11) . Mà trong các bộ số đó luôn có tổng hai số bằng 12 Do vậy dù có xảy ra trường hợp nào ta cũng tìm được hai số có tổng chia hết cho 12 Vậy : Trong 3 số nguyên tố lớn hơn 5 , bao giờ cũng tìm dược hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12 . Bài 3) Chứng minh rằng : Trong 5 số tự nhiên bất kỳ , bao giờ cũng tìm được một số hoặc một số số có tổng của chúng chia hết cho 5 Giải Gọi 5 số tự nhiên lần lượt là a 1; a 2 ; a 3 ; a 4 ; a 5 * Nếu trong các số đó có một số chia hêt cho 5  Đpcm * Nếu trong 5 số không có số nào chia hết cho 5 Lập các tổng : S 1 = a 1 S 4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 S 2 = a 1 + a 2 S 5 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 S 3 = a 1 + a 2 +a 3 Nếu trong 5 tông trên có một tổng cia hết cho 5  đpcm Nếu trong 5 tổng trên không có tổng nào chia hết cho 5 , do vậy khi chia tổng trên cho 5 ta được 4 khả năng về số dư là 1 ;2 ;3 ;4 . Mà 5 tổng trên khác nhau và có 4 khả năng về số dư . Do vậy chắc chắn tồn tại hai tông khi chia cho 5 có cùng số dư , vì vậy hiệu của hai tổng đó chia hết cho 5 Với cách lập tổng như trên thì hiệu của hai tổng của đó sẽ là tổng của hai hay nhiều số trong 5 số trên Vậy : Trong 5 số tự nhiên bất kỳ , bao giờ cũng tìm được một số hoặc một số số có tổng của chúng chia hết cho 5 Bài 4) Chứng minh rằng : Luôn tồn tại số tự nhiên n  N sao cho 13 n - 1 chia hết cho 1996 Giải Xét 1996 số sau : S 1 = 13 S 1995 = 13 1995 S 2 = 13 2 S 1996 = 13 1996 S 3 = 13 3 . 10 [...]... có 6 chữ số chia hết cho 13 khi và chỉ khi hiệu của số tạo bởi 3 chữ số cuối với số tạo bởi 3 chữ số đầu chia hết cho 13 Bài toán 2 Cho một số có 6n chữ số chia hết cho 7 Chứng minh rằng nếu chuyển chữ số cuối cùng lên đầu mà không thay đổi vò tri các chữ số còn lại thì ta được một số mới chia hết cho 7 Bài toán 4 Chứng minh rằng : Vơi m là số nguyên lẻ thì số có dạng n3 - 3n2 - n + 3 chia hết cho... n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49 b) n2 + 3n + 5 không chia hết cho 8 với n là số lẻ c) n2 + 3n + 5 không chia hết cho 121 Bài toán 10 Chứng minh rằng ( m2 + mn + n2 )  9 khi và chỉ khi m , n đồng thời chia hết cho 3 Bài toán 11 Tìm các chữ số x , y để cho số có dạng N = 30x0yo3  13 Bài toán 12 11 Chưng minh rằng với n là số tự nhiên không chia hết cho 5 thì ( 112n - 26n )(n4 - 1)  285 Bài toán... số nguyên tố thì ap - a chia hết cho p vói aZBa Bài toán 17 Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5 Chứng minh rằng luôn tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số 1 chia hết cho p Bài toán 18 Chứng minh rằng : Luôn tồn tại số tự nhiên n sao cho 1997n - 1 chia hết cho 1999 Bài toán 19 a) Cho 1998 số tự nhiên bất kỳ , chứng minh rằng luôn tồn tại trong đó một số hoặc một vài số có tổng chia hết cho 1998 b) Cho... 199800000 000 ( Trong đó có 1998 nhóm số 1998 ) chia hết cho 1999 Bài toán 22 Chứng minh rằng: Tổng các lập phương của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 9 Bài toán 23 Cho a1, a2; a3 ; an  Q và  ai  = 1 thỏa mãn a1a2 + a2a3 + a3a4 + +an-1an + ana1 = 0 Chứng minh rằng n chia hết cho 4 Bài toán 24 1 2 Chứng minh rằng : 1.2.3 69.70.( 1+ + 1 1 1 + + + ) chia hết cho 71 3 4 70 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỢNG HỌC... 7778.7779 7780.7781.7782.7783 - 6 chia hết cho 7 Bài toán 14 Chứng minh rằng với n là số tự nhiên thì a) ( 11n+2 + 122n+1 ) 133 b) ( 32n+1 + 40n - 67 )  64 c) ( 2n+2.3n + 5n - 4 )  25 d) (16n - 15n - 1) 225 e) n! chia hết cho 2n2 ( n > 4 ) f) ( n+1 23 + 1 )  3 n Bài toán 15 Chứng minh rằng : Trong 51 số tự nhiên bất kỳ , bao giờ cũng chọn được hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 100 Bài toán 16 Chứng... p2 - p - 1 chia hếùt cho 48 Bài toán 6 Chứng minh rằng : Với mọi n  Z thì a ) 3n4 - 14n3 + 21n2 - 10n  24 b) n5 + 10n4 - 5n3 - 10n2 + 4n  120 Bài toán 7 Cho a , b là các số chính phương lẻ liên tiếp thì ( a - 1)( b - 1)  192 Bài toán 8 Chứng minh rằng : Nếu n là số tự nhiên chẵn thì 20n + 16n - 3n - 1 chia hết cho 323 Bài toán 9 Chứng minh rằng : Với mọi n  N thì a) n2 + 11n + 39 không chia hết...Dễ thấy Si  1996 ( i = 1;2;3 1996 ) Khi chia Si cho 1996 có 1996 số dư khác nhau là 1; 2; 3; 4; .1994; 1995 mà có 1996 số Si , mà chỉ có 1995 khả năng về số dư Do vậy chắc chắn tồn tại 2 số khi chia cho 1996 có cùng số dư Vậy hiệu của chúng chia hết cho 1996 Giả sử 2 số đó là Sm và Sn trong đó Sm = 13m ; Sn = 13n ( m > n ; m,nN ) Sm - Sn . a và b chia hết cho 4 c) Một trong các số a,b,c chia hết cho 5 Giải a) Giả sử trong hai số a và b không có số nào chia hết cho 3 thì a 2 + b 2 chia cho. 2 + 2 2 +2 3 + .+ 2 99 + 2 100 chia hết cho 31 c ) B =16 5 + 2 15 chia hết cho 33 d) D = 1+2+3+ .+ 1995 chia hết cho 1995 Lời giải b) A= (