Sáng kiến kinh nghiệm môn toán

Bản sáng kiến kinh nghiệm môn toán đạt cấp tỉnh năm học 20192020, chưa có trên mạng, do bản thân tự thực hiện và đã đạt cấp tỉnh. Bản sáng kiến kinh nghiem có tên là Góp phần rèn kĩ năng giải toán cho

Mở đầu Những hoạt động toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến toán học, hoạt động trí tuệ chung hoạt động ngôn ngữ có vai trò quan trọng rèn luyện t cho học sinh Vì vậy, rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh vấn đề quan trọng dạy học, phải đợc tiến hành có kế hoạch, thờng xuyên, liên tục có hệ thống qua tất lớp học, cấp học Việc đổi phơng pháp dạy học theo hớng hoạt động hoá ngời học với phơng châm "Học tập hoạt động hoạt động", rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh yêu cầu thiếu việc đổi phơng pháp dạy học Thực tế nay, đứng trớc toán không mẫu mực việc tìm lời giải toán học sinh gặp nhiều khó khăn Tính phân dạng, tính bao quát tính định hớng giải toán cha minh bạch, rõ ràng Nhằm khắc phục hạn chế trình tìm tòi lời giải cho toán Đồng thời thấy chơng trình môn toán bậc THCS, phơng trình vô tỷ lớp có vai trò quan trọng làm sở để nghiên cứu kiến thức toán học có liên quan Việc giải thành thạo phơng trình vô tỷ thể khả linh hoạt sáng tạo t học sinh Từ suy nghĩ với mong muốn góp phần nâng cao chất lợng dạy học toán, chọn đề tài là: "Góp phần rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh thông qua số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ" Nhằm góp phần đồng nghiệp để rèn luyện kỷ giải toán cho học sinh, phát triển t sáng tạo tính linh hoạt trình giải tập toán Nội dung I- Yêu cầu việc rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 1.1 Yêu câu rèn luyện kỹ giải toán Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh bao gồm hai nội dung chủ yếu là: 1.1.1 Rèn luyện khả tìm lời giải toán Đây khâu quan trọng có tính chất định việc rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh Vì vậy, trình dạy học giải tập toán, giáo viên cần tổ chức cho học sinh: - Định hớng phơng pháp giải toán - Thực thao tác giải toán trình bày lời giải (có tính chất kỹ thuật) - Thấy đợc tầm quan trọng khâu rèn luỵên phơng pháp tìm lời giải toán sở quan trọng cho việc rèn luyện khả làm việc độc lập sáng tạo, khả thiếu đợc ngời giải toán 1.1.2 Rèn luyện kỷ giải toán Một số yêu cầu giải toán: (i) Kết đúng, kể bớc trung gian; (ii) Lập luận chặt chẽ; (iii) Lời giải đầy đủ; (iv) Ngôn ngữ xác; (v) Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật; (vi) Tìm nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất; Ngoài yêu cầu (i) - (v), cần khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải cho toán, phân tích, so sánh cách giải khác để tìm lời giải ngắn gọn, hợp lý số lời giải đà tìm đợc hay nói cách khác nhìn nhận toán dới nhiều góc độ (vii) Nghiên cứu giải toán tơng tự, mở rộng hay lật ngợc vấn đề Bốn yêu cầu (i), (ii), (iii) (iv) yêu cầu bản, (v) yêu cầu mặt trình bày (vi) (vii) yêu cầu đề cao Nh vậy, từ hai vấn đề đà nêu trên, ta khẳng định: Trong trình rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh khâu giải toán quan trọng nhng định khâu tìm lời giải toán 1.2 Phơng pháp tìm lời giải toán Không thể có thuật toán tổng quát để giải toán Tuy nhiên, ngời giải toán đợc trang bị hớng dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ, tìm tòi, phát cách giải toán giúp học sinh giải đợc toán Sau ta nêu số bớc chung để tìm lời giải toán: Bớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích nghiên cứu đề Phân biệt đà cho bao gồm giả thiết, điều kiện cho toán để từ xác định đợc dạng toán, tìm đợc phơng hớng giải toán lựa chọn công cụ thích hợp Bớc 2: Tìm cách giải Dựa vào việc phân tích giả thiết, điều kiện toán hay liên hệ giả thiết, điều kiện đà cho với tri thức đà biết, liên hệ toán cần giải với toán cũ tơng tự, trờng hợp riêng, toán tổng quát hay toán có liên quan Bớc 3: Trình bày cách giải Từ cách giải đà đợc phát hiện, xếp việc phải làm thành chơng trình gồm bớc theo trình tự định thực bớc Bớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải Từ kết lời giải, nghiên cứu giải toán tơng tự, mở rộng hay lật ngợc vấn đề, từ sáng tạo toán Để làm tốt việc trớc hết ngời giải toán phải phân tích kỹ để nắm đợc đặc điểm chất toán, yếu tố tạo nên toán Nh thấy đợc mối liên hệ toán loại toán loại toán khác 1.3 Cách thức học phơng pháp tìm lời giải toán Học phơng pháp tìm lời giải học thuật giải mà học kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi, phát Do cách thức học phơng pháp để tìm lời giải toán yêu cầu: - Thông qua việc giải toán cụ thể, học sinh cần nắm đợc bớc tìm lời giải toán có ý thức vận dụng bớc trình giải toán - Cũng thông qua việc giải toán cụ thể, giáo viên cần đặt cho học sinh câu hỏi gợi ý, tạo tình để em tìm tòi, dự đoán, phát cuối tìm lời giải toán Nh vậy, trình học sinh học phơng pháp tìm lời giải toán trình biến tri thức, phơng pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải toán thân thông qua việc giải hàng loạt toán cụ thể Đồng thời đòi hỏi ngời giải toán phải có chặng đờng lao động tích cực, có nhiều yếu tố sáng tạo II- số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ góp phần rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh A Một số kiến thức phục vụ việc giải phơng trình vô tỷ Một số lu ý giải phơng trình vô tỷ Khi giải phơng trình vô tỷ, việc phải xác định điều kiện cho ẩn số (khoảng xác định) Khi giải phơng trình vô tỷ điều cần lu ý tính không thuận nghịch phép toán Chẳng hạn phơng trình đó, ta thay (với A, B biểu thức có chứa x) AB điều kiện xác định phơng trình bị mở rộng, định A A B B ≥ 0, ®ã A B cã ®iỊu kiện xác AB xác định A < vµ B < Nh vËy, sau phÐp biÕn đổi ta thu đợc phơng trình hệ Ngợc lại, ta thay AB A B điều kiện xác định bị thu hẹp lại, ta làm nghiệm phơng trình Một số đồng thức cã ®iỊu kiƯn: ( A) = A víi A ≥ 0; A B = AB nÕu A ≥ vµ B ≥ A A nÕu A ≥ vµ B > = B B AB = −A −B nÕu A ≤ 0; B ≤ A −A = = nÕu A ≤ 0; B < B −B A B = A 2B nÕu A ≥ 0; B ≥ A B = − A B nÕu A ≤ 0; B ≥ B A = AB nÕu A ≥ 0, B > B B A = − AB nÕu A ≤ 0; B < B Một số kết thờng đợc sử dụng giải phơng trình vô tỷ: + Với mäi sè tù nhiªn n: 2n g(x) ≥ f (x) = g(x)⇔  2n f (x) = ( g(x) ) + Víi mäi sè tù nhiªn n: 2n +1 f (x) = g(x) ⇔ f(x) = (g(x))2n+1 + Hai dạng phơng trình phép biến đổi tơng ®¬ng g(x) ≥ f (x) = g(x) ⇔  f (x) = (g(x))  g(x) ≥  f (x) = g(x) ⇔  f (x) ≥ f (x) = g(x) B Các phơng pháp Phơng pháp Đặt ẩn phụ đa phơng trình bậc hai 1.1 Đặc điểm phơng pháp * Khi giải phơng trình vô tỷ cách đặt ẩn phụ ta phải xét xem biểu thức thức liên hệ với theo phơng thức nào? Phát mối liên hệ yêu cầu để giải nhanh gọn phơng trình vô tỷ * Để áp dụng đợc phơng pháp phơng trình vô tỷ thờng có đặc điểm bình phơng biểu thức vế phơng trình tích hai biểu thức hai thức vế với số thức 1.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ (Bài 50-SBT Toán 9, Tập 2) Giải phơng trình: x − x − − = (1) * Nhận xét: Trớc hết ta chuyển vị trí số hạng phơng trình cách hợp lý tìm mối liên hệ biểu thức biểu thức căn, từ suy cách giải * Lời giải: ĐKXĐ: x ⇔ x ≥ (1) ⇔ ( x − 3) x = Đặt t = x − , víi t ≥ Khi ®ã ta thu đợc phơng trình bậc 2: t = 1(loai ) t2 − t − = ⇔  t = Víi t = ⇒ x − = ⇔ x = VËy nghiƯm cđa phơng trình x = Ví dụ (Đề thi HSG tỉnh Nghệ An năm học 2003 2004) Giải phơng trình: x x + x − 12 x + = (1) * Nhận xét: Trớc hết ta chuyển vị trí số hạng phơng trình cách hợp lý tìm mối liên hệ biểu thức biểu thức căn, từ suy cách giải * Lời giải: ĐKXĐ: x Đặt x2 - 2x = t thay vào (1) ta có phơng trình: 6t + = t (2) t = −1  x1 = Giải (2) ta đợc t =  x2,3 = ± 2 VËy nghiệm phơng trình là: x1 = 1; x2,3 = ± 2 VÝ dơ (§Ị thi HSG tỉnh Nghệ An năm học 2008 2009) Giải phơng tr×nh: x − x − + 16 x = (1) * NhËn xÐt: Tríc hÕt ta chuyển vế, biến đổi cách hợp lý tìm mối liên hệ biểu thức biểu thức căn, hai vế phơng trình từ suy giải * Cách giải: ĐKXĐ: + 16 x ≥ ⇔ x ≥ − 16 (1) ⇔ x − x = 2(1 + + 16 x ) Đặt 2t = + + 16 x ; t ≥ (2) phơng trình trở thành: x x = 4t t = x ⇔ thay 2 t = − x t − t = x vào (2) giải phơng trình ta có nghiệm: x1 = hc x2,3 = ± 57 1.3 Bài tập vận dụng Giải phơng trình: a, x + x + = x+4 (Đề thi vào trờng THPT Phan Bội Châu năm học 2000 – 2001) b, 2(3x + 5) x + = 3x + x + 30 (§Ị thi vào trờng THPT Phan Bội Châu năm học 2004 – 2005) c, x − + x +1 = (Đề thi vào trờng THPT Phan Bội Châu năm học 2005 2006) Phơng pháp Đa phơng trình giá trị tuyệt đối 2.1 Đặc điểm phơng pháp * Phơng pháp áp dụng đợc lớp phơng trình mà biểu thức dới dấu bình phơng * Nhiều phơng trình mà biểu thức dới dấu bình phơng đúng, nhng qua phép biến đổi đa đợc bình phơng * Sau tìm hiểu phơng pháp này, ta nhận dạng phơng pháp cách máy móc, phơng trình mà biểu thức dới dấu phức tạp, nhng để ý kỹ ta phát điều đặc biệt nằm sau phức tạp Điều đặc biệt bình phơng hay qua biến đổi đa đợc bình phơng 2.2 Các ví dụ minh hoạ Ví dụ Giải phơng trình: (1) x2 − x + + x = Nhận xét lời giải: ĐKXĐ: x Ta cã (1) ⇔ x − x + = − x ⇔ x−2 = 8− x (2) - NÕu ≤ x ≤ , ®ã phơng trình có nghiệm x = - Nếu x < phơng trình vô nghiệm Ví dụ 5: Giải phơng trình: x + x + x x −1 = x+3 (1) * NhËn xÐt: Để ý biểu thức dới dấu căn, ta thấy ®ỵc: x + x − = x −1+ x − 1.1+12 = vµ x − x − = x −1− x − 1.1+12 = ( ( ) x − +1 ) x − 1 2 * Lời giải: ĐKXĐ: x ≥ (1) ⇔ ( x − + 1) + ( x − − 1) = x − +1 + x − −1 = ⇔ Do x +1 + > ⇒ vµ  x − −1 x − −1 =  1− x − x+3 x+3 x − +1 = x − + x ≥ 1≤ x < - NÕu x phơng trình tơng đơng với phơng tr×nh: x −1= x +3 (x + 3) ⇔ x −10x + 25 = ⇔ (x - 5)2 = ⇔ x = giá trị thoả mÃn x nên nghiÖm ⇔ 4(x - 1) = - NÕu ≤ x < phơng trình tơng đơng với: x+3 x = thoả mÃn Vậy phơng trình cã hai nghiƯm x = vµ x =1 2= Ví dụ Giải phơng trình: x + 2x + x − 2x −1 =1 (1) * NhËn xÐt: Ta thấy biểu thức dới dấu không bình phơng Tuy nhiên ta để ý rằng: x+ x- ( ) ( ) 1 2x + 2x −1 = 2x −1 +1 2 1 2x −1 = 2x − 2x −1 = 2x −1 −1 2 2x −1 = ( ) ( ) * Lời giải: ĐKXĐ: x (1) ⇔ 1 ( 2x − + 1) + ( 2x − − 1) =1 2 ⇔ 2x −1 +1 + 2x −1 −1 = Ta thÊy: 2x −1 +1 = 2x −1 +1  2x −1 +1 x ≥ 2x −1 −1 =  1− 2x −1 ≤ x <  - NÕu x ≥ th× ⇔ 2x −1 = (1) ⇔ 2x −1 = 2 ⇔ 2x - = ⇔x = Do x = 2 < nên trờng hợp phơng trình vô nghiệm x < (1) = 2 Trong trờng hợp phơng trình vô nghiệm - Nếu Vậy phơng trình đà cho vô nghiệm 2.3 Bài tập vận dụng: Giải phơng tr×nh: a, x − 2x −1 + 4x +1+ 8x +1 = 2 §S: x = b, x + − x −1 + x + − x − = §S: c, 65 ; x =1; x = ≤ x ≤ 10 x −1 + 2x − + x + + 2x − = (Đề thi vào trờng THPT Phan Bội Châu-Nghệ An) Phơng pháp 10 (1) Và 4x + 5x + − x − x + = 9x − ( ) ( x2 + 5x + − x2 − x + ) = 9x − Tõ nhËn xét để giải phơng trình trên, ta cần biến đổi để đa hệ phơng trình đối xứng kiểu * Lời giải: ĐKXĐ: x Đặt u = hc x ≤ −1 4 x + x + ; v = x − x + (víi u ≥ 0, v ≥ 0) u = v u = − v Thay vào (1) biến đổi ta đợc u v = u2 – v2 ⇔  - NÕu u = v ®ã: 4x2 + 5x + = 4x2 – 4x + ⇔ x = (tho¶ m·n §K) - NÕu u = v – V× u ≥ 0, v = x − x + = x − x + = (2 x − 1) + ≥ nªn u + v – > phơng trình vô nghiệm Vậy phơng trình có nghiƯm nhÊt x = VÝ dơ 20: Trở lại Ví dụ 15 Giải phơng trình: x + = 8x2 + 8x - §KX§: x ≥ -2 Nhận xét hớng dẫn cách giải: Phơng trình chứa thức số thức bậc đa thức vế phải Điều gợi ta nghĩ đến việc đa hệ đối xứng kiểu hai * Bớc 1: Biến đổi vế phải thành luỹ thừa có số mũ số thøc vÕ tr¸i x + = 8x2 + 8x - = 2(2x + 1)2 - (*) * Bíc 2: - Chän biĨu thøc chøa Èn phơ BiĨu thức chứa ẩn phụ đợc thiết lập từ số luỹ thừa vế phải cách thay ẩn phơng trình ẩn phụ 21 - Thành lập đẳng thøc mµ mét vÕ lµ biĨu thøc chøa Èn phơ vế thức Cụ thể: + Chọn ẩn phụ y Cơ số luỹ thừa vế trái kết bớc (2x + 1) Thay Èn x bëi Èn phơ y ta cã biĨu thøc chøa Èn phơ lµ (2y + 1) + Ta có đẳng thức 2y + = x+2 (**) * Bớc 3: Thành lập hệ phơng trình đối xứng kiểu - Bình phơng hai vế (**) ta có: (2y + 1)2= x + (a) Tõ (*) vµ (**) ta cã: 2y + = 2(2x + 1)2 – ⇔ (2x + 1)2 = y + (b) Từ (a) (b) ta có hệ phơng trình hai Èn (2y + 1) = x +  (2x + 1) = y + (1) (2) Đây hệ phơng trình đối xứng kiểu hai Giải hệ cách trừ hai vế cho (2y + 1)2 - (2x + 1)2 = x - y ⇒ (y - x) (4y + 4x + 5) = −4x − Thay y = x vµo (1) ta cã: (2x + 1)2 = x + ⇒ hc y = x hc y = hc x = -1 1 + NÕu x = y = x, y thoả mÃn (**) nên x = 4 nghiệm 4x2 + 3x - = ⇔ x = + NÕu x = -1 → y = -1 nhng x, y không thoả mÃn (**) nên loại 4x + vµo (2) ta cã: 4x + (2x + 1)2 = + ⇔ 16x2 + 20x + = - Thay y = - ⇔x = 22 −5 − 21 −5 + 21 hc x = 8 + Víi x = −5 + 21 lo¹i không thoả mÃn (**) + Với x = 21 nghiệm phơng trình thoả mÃn (**) Vậy phơng trình có hai nghiệm x = −5 − 21 vµ x = Ví dụ 21: Giải phơng trình: x3 + = 2x − * NhËn xÐt: - Ta thấy phơng trình chứa thức, số thức vế phải bậc đa thức vế trái, điều gợi ta nghĩ đến việc đa hệ phơng trình đối xứng kiểu hai - Chọn ẩn phụ y Do số luỹ thừa vế trái x, thay ẩn x ẩn phụ y, ta cã biĨu thøc chøa Èn lµ y * Lời giải: Đặt ẩn phụ: y = 2x Từ phơng trình tơng đơng với hệ sau:  x + = 2y   y + = 2x ⇔  x + = 2y ⇔ 3 (2)  x − y = 2(y − x) (1)  x + = 2y  2 (x − y)(x + xy + y + 2) = y  3y  Do x + xy + y + =  x + ÷ + + > 0,   2 ∀x, y  x + = 2y Vì hệ tơng đơng với: x = y Nh vậy, phơng trình đà cho tơng đơng với phơng trình sau: x3 + = 2x ⇔ x3 - 2x + = ⇔ (x - 1) (x2 + x - 1) = ⇔ x = hc x = −1 23 Vậy phơng trình có nghiệm x1 = 1, x2,3 = −1 ± Ví dụ 22: Giải phơng trình: x = (x - 3)3 + * Nhận xét: Đây phơng trình chứa thức số thức vế trái bậc đa thức vế phải Từ nhận xét ta hÃy chuyển hệ đối xứng kiểu hai * Lời giải: Đặt y - = x − ⇒ (y - 3)3 = x - Từ phơng trình tơng đơng víi hƯ sau:  y − = (x − 3)3 + (x − 3)3 − y + = ⇔  3 (y − 3) = x − (y − 3) − x + = (x − 3)3 − y + = ⇔ 3 (x − 3) − (y − 3) + x − y = (x − 3)3 − y + = ⇔ 2 (x − y) (x − 3) + (x − 3)(y − 3) + (y − 3) + 1 = (*) Do (x - 3)2+ (x - 3) (y - 3) + (y - 3)2+ > (x − 3)3 − y + = nªn (*) ⇔  x = y Khi phơng trình đà cho tơng ®¬ng víi: (x - 3)3- x + = ⇔ (x - 1) ((x - 4)2 + 2) = ⇔ x = VËy x = lµ nghiệm phơng trình 7.3 Bài tập vận dụng Giải phơng trình sau: a, 4x + 5x + + = x − x + + 9x (Đề thi HSG huyện Yên Thành năm học 2007 2008) x= b, x2 + x+5 =5 24 §S: §S: x = c, x3 - − 21 − 17 ; x= 2 3x + = §S: x = - 1; x = d, x2 + 1+ x =1 §S: x = 0; -1, 1− Phơng pháp Đa phơng trình có hệ số chứa ẩn 8.1 Đặc điểm phơng pháp * Có nhiều toán mà đặt ẩn phụ biểu thức chứa ẩn lại không biểu diễn đợc triệt để qua ẩn phụ biểu diễn đợc công thức biểu diễn lại phức tạp Trong trờng hợp ta đành chấp nhận: Để phơng trình ë d¹ng chøa Èn phơ nhng hƯ sè vÉn chøa x * Phơng pháp đa phơng trình bậc hai với ẩn phụ thức Các hệ số phơng trình chứa ẩn phơng trình đà cho Ta nhớ giải đợc phơng pháp biệt thức biểu thức bình phơng 8.2 Các ví dụ minh hoạ Ví dụ 23 Giải phơng trình: (4x - 1) x + = 2x + 2x + Lêi giải: Đặt t = 2 x + t = x + 1, phơng trình đà cho biến đổi dạng: (4x - 1) x + = 2(x + 1) + 2x - ⇔ (4x - 1) t = 2t2 + 2x - ⇔ 2t2 - (4x - 1)t + 2x - = Đây phơng trình bËc hai víi Èn t vµ hƯ sè chøa x ∆ = (4x - 1)2 - (2x - 1) = (4x -3)2 Phơng trình ẩn t có nghiệm: 25  2x − 4x − ± ( 4x − )  = t=  < 1lo¹i 2 Víi t = 2x -1 ⇒ x + = 2x − 2x − ≥ ⇔ 2  x + = ( 2x − 1)  x ≥ ⇔ 3x − 4x =  ⇔x = Vậy phơng trình có nghiệm x = Ví dụ 24 Giải phơng trình: 2(1 - x) x + 2x − = x - 2x -1 (1) Lời giải: ĐKXĐ: x2 + 2x - x -1 + Đặt t = hc x ≤ - - 2 x + 2x − ®ã t = x + 2x - (1) ⇔ 2(1- x) ( ) x − 2x − = x + 2x − − 4x ⇔ 2(1 - x)t = t2 - 4x ⇔ t2 - 2(1- x)t - 4x = Ta cã ∆' = (1- x)2 + x = (x + 1)2 Phơng trình ẩn t cã nghiÖm 1 − x + x + = t=  1 − x − ( x + 1) = −2x * Víi t = ⇒ x + 2x − = ⇔ x2 + 2x - = ⇔ x = - ± * Víi t = - 2x ⇒ x + 2x − = −2x −2x ≥ ⇔ 2  x + 2x − = 4x x ≤ ⇔ 3x − 2x + = 26 Hệ vô nghiệm phơng trình 3x2 - 2x +1 = vô nghiệm Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm x1,2 = - 8.3 Bài tập vận dụng Giải phơng tr×nh sau: a, x2 + 3x + = (x + 3) x + §S: x = ± 2 b) + x − 1= 3x + − x + − x §S: x = − ; x = (híng dẫn: Đặt t = x ) c) x2 + x + 12 x + = 36 §S: x = d) + x - 2x2 = 4x − − 2x + §S: x = - ;x =1 Phơng pháp Chứng minh nghiệm 9.1 Đặc điểm phơng pháp Nhiều phơng trình vô tỷ phức tạp, ta thờng gặp không khó khăn tìm phơng pháp giải Trong trờng hợp ta thờng nghĩ đến việc đoán nghiệm phơng trình sau tìm cách chứng minh nghiệm ra, nghiệm khác Chú ý tìm đợc nghiệm phơng trình có nghiệm Phơng pháp chứng minh nghiệm không dùng phơng trình đà cho có nhiều nghiệm Để tìm đợc nghiệm có nhờ trực giác, có qua số bớc biến đổi bản, có nhờ kinh nghiệm giải toán 9.2 Các ví dụ minh hoạ Ví dụ 25: Giải phơng trình: x − 5x + + x − 5x + = * NhËn xÐt: 27 Quan sát phơng trình, ta thấy biểu thức dới dấu phức tạp, ta không thấy dấu hiệu ẩn phụ, hay bình phơng hai vế để đa phơng trình tơng đơng thu đợc phơng trình phức tạp Thoạt đầu nhìn nhận nh vậy, làm ta nghĩ đến việc đoán nghiệm phơng trình Ta thấy vế phải phơng trình số nguyên, vế trái thức Để có đẳng thức vế trái phải nguyên Các biểu thức vế trái chứa 5x 5x sÏ nguyªn nÕu x = Nh vËy x = giá trị làm vế trái nguyên Bằng cách thử ta thấy x = nghiệm phơng trình * Lời giải: ĐKXĐ: x ≥ Ta thÊy x = lµ nghiƯm phơng trình nghiệm Thật vậy: - NÕu x > th× x2 > 5x ⇒ x > 5x ⇒ x > 5x ⇒ x2 - 5x > ⇒ x2 - 5x + > ⇒ x − 5x + > (*) Mặt khác x > ⇒ x > ⇒ 5x > ⇒ 5x > 15 ( ) x2 - 5x + = x − 5x + 5x + > 5x + > 16 ⇒ x − 5x + > Tõ (*) vµ (**) suy (**) x − 5x + + x − 5x + > - NÕu x < 5, t¬ng tù cã: ; x − 5x + < ⇒ x − 5x + < x − 5x + + x − 5x + < VËy x = nghiệm phơng trình Ví dụ 26: Giải phơng trình: 2x + x − 3x − = 2x + 2x + + x − x + Nhận xét hớng dẫn giải: Để ý mối liên hệ biểu thức dới dấu 28 (2x2 - 1) - (2x2 + 2x + 3) = (x2 - 3x - 2) - (x2 - x + 2) = - 2x -4 Tõ ®ã ta biÕn ®ỉi phơng trình dạng: 2x 2x + 2x + = x − x + − x − 3x − Thùc phép nhân liên hợp ta đợc: ( x + ) 2x − + 2x + 2x + 2( x + 2) = x − x + + 2x − 3x − (1) - Râ rµng x = - thuộc miền xác định phơng trình đà cho (làm cho thức có nghĩa), thoả mÃn (1) - Rõ ràng x > -2 nghiệm (1) không thuộc miền xác định (1) thuộc miền xác định (1) với giá trị x ta cã VP(1) > cßn VT(1) < - Tơng tự x < -2 nghiệm (1) Vậy phơng trình nhận x = - làm nghiệm 9.3 Bài tập vận dụng Giải phơng trình: a) ( x + ) ( 2x − 1) − x+6 =4− ( x + ) ( 2x − 1) + x+2 Híng dẫn: Đa phơng trình dạng tơng đơng ( x+6 + x+2 )( ) 2x − − =4 §S: x = b) − x − 3x − = §S: x = ± c) x −1 + x + + ( x − 1) ( x + 3) = 2x ĐS: x = 10 Phơng pháp 10 Sử dụng phơng trình hệ phơng trình tơng đơng 10.1 Sử dụng phơng trình hệ Phơng pháp thờng dùng để giải phơng trình d¹ng f ( x) + g( x) = h( x) (*) Muốn để khử bậc ba, ta lập phơng hai vế để đợc phơng trình tơng ®¬ng ( f ( x) + g( x) ) = h ( x ) Sau ®ã dïng c«ng thøc 29 ( f ( x) + g( x) råi thay thÕ tæng ) = f ( x ) + g( x ) +33 f ( x ) g( x ) f ( x ) + g ( x ) bëi ( g( x) + g( x) ) h ( x ) đến phơng trình: f(x) + g(x) + 3 f ( x ) g ( x ) h ( x ) = h(x) (**) Rõ ràng (**) phơng trình hệ phơng trình (*) mà Do cần phải thử lại nghiệm * Chú ý 1: Nếu ®Ỉt f ( x ) =a, g ( x ) = b, h( x) = c Khi ®ã (**) trë thµnh: a3 + b3 + 3abc = c3 ⇔ a3 + b3 + 3abc - c3 = ⇔ (a+b)3 - 3ab(a + b) - c3 + 3abc = ⇔ (a+b-c) [(a + b)2 + c (a + b) + c2] - 3ab (a + b - c) = ⇔ (a + b - c) [a2 + b2 + c2 + ac +bc - ab] = ⇔ (a + b - c) [(a - b)2 + (a + c)2 +(b + c)2] = Vậy phơng trình (**) tơng đơng với: ( ) f ( x) + g( x) − h( x) ×    ( f ( x) − g( x) ) +( f ( x) + g( x) ) +( g( x) + h( x) )  =0   f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) ( 1)   f ( x ) = g ( x ) = − h ( x ) ( 2)  ⇔ Nh vËy (**) tơng đơng với (*) hệ (2) vô nghiệm hc tËp nghiƯm cđa (2) n»m tËp nghiƯm cđa (1) Nghiệm x (2) không thoả (1) nghiệm ngoại lai Ví dụ 27: Giải phơng trình: 2x − + x − = 3x + Lời giải: Lập phơng hai vế ta nhận đợc phơng trình tơng đơng sau: 2x - + x - + 3 ( 2x − 1) ( x − 1) ⇔ ( ) 2x − + x − = 3x + ( 2x − 1) ( x − 1) ( 2x − + x − ) = 1( 1) 30 (1) Do 2x − + x − = 2x nên từ (1) dẫn đến phơng trình sau: ( 2x − 1) ( x − 1) 3x + = (2) ⇔ (2x2 - 3x +1) (3x + 1) = ⇔ 6x3 - 7x2 = ⇔ x = hc x = 7 Do phÐp biÕn ®ỉi tõ (1) sang (2) phép biến đổi hệ nên ta Vậy (2) cã hai nghiƯm x = vµ x = phải thử lại để tìm nghiệm phơng trình Ta thấy x = không thoả (1) x = tho¶ m·n * Chó ý 2: Ta mở rộng dạng toán thành dạng sau: Vậy phơng trình có nghiệm x = f ( x) + g( x) = h( x) + r( x) tỉng mµ cách giải nh dạng đầu, f ( x ) + g ( x ) thay bëi tæng h( x) + r( x) 10.2 Sư dơng phơng trình tơng đơng * Phơng pháp thờng sử dụng phơng trình đặc biệt phơng trình phải qua nhiều phép biến đổi tơng đơng xuất dạng đặc biệt ta giải tiếp phơng pháp đà trình bày Ví dụ 28 : Giải phơng trình: x − x2 − + x + x2 −1 = Lêi gi¶i: x − ≥  §KX§:  x + x − ≥ ⇔ x ≥   x − x − ≥ )( ( ) 2 Do x − x − x + x = (1) Đặt u = + x + x2 −1 = x + x2 −1 x + x − 1, ta thu đợc phơng trình ẩn u: 31 (1) u2 + = ⇔ u3 - 2u + = u u = ⇔  u = −1 ±  ⇔ (u - 1) (u + u -1) = §èi chiÕu ®iỊu kiƯn u ≥ 1, chØ cã u = tho¶ m·n Víi u = ta cã: x + x − =1 ⇔ x + x − = ⇔ x2 −1 = x x = Vậy phơng trình có nghiệm x = Ví dụ 29: Giải phơng trình: ( (x + 1)2 = (2x + 10) − + 2x ) (2) NhËn xÐt vµ hớng dẫn giải: Để ý mối liên hệ biểu thức tham gia toán, ta phát ĐKXĐ: x - đợc ( + 2x )( + + 2x ) = 1 − ( + 2x )  = ( x + 1) Khi ®ã: ( ) (1+ ( ) ( (2) ⇔ − + 2x ⇔ − + 2x 2 + 2x )  + + 2x  ) ( = ( 2x + 10 ) 1− + 2x ) − 2x − 10  =  1 − + 2x = ⇔  + + 2x = 2x + 10  ( ) 1 = + 2x ⇔ 1 + + 2x + + 2x = 2x + 10  x = −1  x = −1 ⇔ ⇔  + 2x =  x = §èi chiÕu ®iỊu kiƯn ta thÊy x = -1; x = thoả mÃn Vậy phơng trình có nghiệm x = -1 vµ x= 10.3 Bµi tËp vËn dơng 32 ( Giải phơng trình: ) ( a) x + x + 4x + = x +1 + x + − ) (1) Hớng dẫn: Tạo thừa số chung đa (1) phơng trình tơng đơng x+3 ( ) x +1 + x + = ( x +1 + x + ) §S: x = − b) x + + 4x + 13 = 3x + 12 §S: x = - c) x − x +1 − x + + x + = §S: x = 33 KÕt luËn Néi dung đề tài "Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh thông qua việc trình bày phơng pháp giải phơng trình vô tỷ" Qua trình thực nghiệm từ kết thu đợc kết luận: 1.1 Yêu câu rèn luyện kỹ giải toán Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh bao gồm hai nội dung chủ yếu là: 1.1.1 Rèn luyện khả tìm lời giải toán Đây khâu quan trọng có tính chất định việc rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh Vì vậy, trình dạy học giải tập toán, giáo viên cần tổ chức cho học sinh: - Định hớng phơng pháp giải toán - Thực thao tác giải toán trình bày lời giải (có tính chất kỹ thuật) - Thấy đợc tầm quan trọng khâu rèn luỵên phơng pháp tìm lời giải toán sở quan trọng cho việc rèn luyện khả làm việc độc lập sáng tạo, khả thiếu đợc ngời giải toán 1.1.2 Rèn luyện kỷ giải toán Trong trình rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh khâu giải toán quan trọng nhng định khâu tìm lời giải toán 1.2 Phơng pháp tìm lời giải toán Không thể có thuật toán tổng quát để giải toán Tuy nhiên, ngời giải toán đợc trang bị hớng dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ, tìm tòi, phát cách giải toán giúp học sinh giải đợc toán Sau ta nêu số bớc chung để tìm lời giải toán: Bớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích nghiên cứu đề Phân biệt đà cho bao gồm giả thiết, điều kiện cho toán để từ xác định đợc dạng toán, tìm đợc phơng hớng giải toán lựa chọn công cụ thích hợp 34 Bớc 2: Tìm cách giải Dựa vào việc phân tích giả thiết, điều kiện toán hay liên hệ giả thiết, điều kiện đà cho với tri thức đà biết, liên hệ toán cần giải với toán cũ tơng tự, trờng hợp riêng, toán tổng quát hay toán có liên quan Bớc 3: Trình bày cách giải Từ cách giải đà đợc phát hiện, xếp việc phải làm thành chơng trình gồm bớc theo trình tự định thực bớc Bớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải Từ kết lời giải, nghiên cứu giải toán tơng tự, mở rộng hay lật ngợc vấn đề, từ sáng tạo toán Để làm tốt việc trớc hết ngời giải toán phải phân tích kỹ để nắm đợc đặc điểm chất toán, yếu tố tạo nên toán Nh thấy đợc mối liên hệ toán loại toán loại toán khác 1.3 Cách thức học phơng pháp tìm lời giải toán Học phơng pháp tìm lời giải học thuật giải mà học kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi, phát Do cách thức học phơng pháp để tìm lời giải toán yêu cầu: - Thông qua việc giải toán cụ thể, học sinh cần nắm đợc bớc tìm lời giải toán có ý thức vận dụng bớc trình giải toán - Cũng thông qua việc giải toán cụ thể, giáo viên cần đặt cho học sinh câu hỏi gợi ý, tạo tình để em tìm tòi, dự đoán, phát cuối tìm lời giải toán 35 ... kỹ giải toán cho học sinh khâu giải toán quan trọng nhng định khâu tìm lời giải toán 1.2 Phơng pháp tìm lời giải toán Không thể có thuật toán tổng quát để giải toán Tuy nhiên, ngời giải toán đợc... Nh thấy đợc mối liên hệ toán loại toán loại toán khác 1.3 Cách thức học phơng pháp tìm lời giải toán Học phơng pháp tìm lời giải học thuật giải mà học kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm... tìm cách chứng minh nghiệm ra, nghiệm khác Chú ý tìm đợc nghiệm phơng trình có nghiệm Phơng pháp chứng minh nghiệm không dùng phơng trình đà cho có nhiều nghiệm Để tìm đợc nghiệm có nhờ trực giác,