Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 15 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
15
Dung lượng
440,21 KB
Nội dung
NHĨM SOẠN TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A LÝ THUYẾT: Các đẳng thức đáng nhớ: ( a + b) 1) = a2 + 2ab + b2 ( a − b) 2) = a2 − 2ab + b2 2 3) a − b = ( a − b) ( a + b) a + b) 4) ( = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + b3 + 3ab( a + b) a − b) 5) ( = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = a3 − b3 − 3ab( a − b) ( ) ( ) 6) a3 + b3 = ( a + b) a2 − ab + b2 7) a3 − b3 = ( a − b) a2 + ab + b2 a + b + c) 8) ( = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc a + a + + an ) 9) ( 2 = a12 + a22 + + a2n + 2a1a2 +2a1a3 + + 2a1an + 2a2a3 + + 2a2an + + 2an−1an ( ) 10) an − bn = ( a − b) an−1 + an−2b + an−3b2 + + a2bn−3 + abn−2 + bn−1 11) a2k − b2k = ( a + b) a2k−1 − a2k−2b + a2k−3b2 − − a2b2k−3 + ab2k−2 − b2k−1 12) an + bn = ( a + b) an−1 − an−2b + an−3b2 − + a2bn−3 − abn−2 + bn−1 * với n∈ N ( ( ) với n lẻ B BÀI TẬP: Bài Rút gọn biểu thức: (a a) + b2 + c2 ) − ( a − b − c ) a + b + c) b) ( 2 − ( a + b) − ( b + c) − ( c + a ) 2 Giải: (a a) + b2 + c2 ) − ( a − b − c ) ) = ( a + b + c ) − ( a − b − c ) ( a + b + c ) + ( a − b − c ) = ( 2b + 2c ) 2a = 4a ( b + c ) THAM GIA NHÓM ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ NHĨM SOẠN TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ a + b + c) b) ( − ( a + b) − ( b + c) − ( c + a ) 2 = a + b + c2 + 2ab + 2bc + 2ca − ( a + b2 + 2ab ) − ( b + c + 2bc ) − ( c + a + 2ca ) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca − a − b − 2ab − b − c − 2bc − c − a − 2ca = − ( a + b2 + c2 ) Bài Tính giá trị biểu thức: a) A = 123 ( 123 + 154 ) + 77 2 2 2 2 b) B = 85 + 75 + 65 + 55 − 45 − 35 − 25 − 15 2 2 2 c) C = − + − + + 2015 − 2016 d) D = 324 – (274 + 1)(96 – 1) 1352 + 130.135 + 652 E= 1352 − 652 e) Giải: a) Ta có: A = 123 ( 123 + 154 ) + 77 = 1232 + 123.154 + 77 = 1232 + 2.123.77 + 77 = ( 123 + 77 ) = 40000 2 2 2 2 b) Ta có: B = 85 + 75 + 65 + 55 − 45 − 35 − 25 − 15 = ( 852 − 152 ) + ( 752 − 252 ) + ( 652 − 352 ) + ( 552 − 452 ) = ( 85 − 15 ) ( 85 + 15 ) + ( 75 − 25 ) ( 75 + 25 ) + ( 65 − 35 ) ( 65 + 35 ) + ( 55 − 45 ) ( 55 + 45 ) = 100 ( 70 + 50 + 30 + 10 ) = 16000 2 2 2 c) C = − + − + + 2015 − 2016 = ( 12 − 22 ) + ( 32 − 42 ) + + ( 20152 − 20162 ) = ( − ) ( + ) + ( − ) ( + ) + + ( 2015 − 2016 ) ( 2015 + 2016 ) = −3 − − − 4031 = − ( + + + 4031) =− ( 4031 + 3) ( 4031 − 3) : + 1 = −2033136 d) D = 324 – (274 + 1)(96 – 1) = 324 – (312 + 1)(312 – 1) = 324 – (324 – 1) = 1352 + 130.135 + 652 ( 135 + 65) 20 E= = = 2 135 − 65 ( 135 − 65 ) ( 135 + 65 ) e) THAM GIA NHÓM ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ NHĨM SOẠN TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ Bài Tính giá trị biểu thức: a) A = x − 6x + 6x − 6x + 6x − 6x + với x = b) B = x − 50x + 50x − 50x + 50x − 50x + 50 với x 49 c) C = x + 3x + 3x với x = 99 d) D = ( x + y ) − ( x + y3 ) với x + y =1 e) E = x3 – 3x2 + 3x2y + 3xy2 + y3 – 3y2 – 6xy + 3x + 3y + 2015 với x+y =101 Giải: a) Ta có: x = ⇒ x + = Suy ra: A = x − ( x + 1) x + ( x + 1) x − ( x + 1) x + ( x + 1) x − ( x + 1) x + ( x + 1) = x6 − x − x5 + x5 + x − x − x3 + x3 + x − x − x + x + = b) Ta có: x = 49 ⇒ x + = 50 Suy ra: B = x − 50x + 50x − 50x + 50x − 50x + 50 = x − ( x + 1) x + ( x + 1) x − ( x + 1) x + ( x + 1) x − ( x + 1) x + ( x + 1) = c) C = x + 3x + 3x = x + 3x + 3x + − = ( x + 1) − = ( 99 + 1) − = 999999 d) D = ( x + y ) − ( x + y3 ) = 3x + 3y − ( x + y ) ( x − xy + y ) 3 = 3x + 3y − ( x − xy + y ) = x + 2xy + y = e) E = x3 – 3x2 + 3x2y + 3xy2 + y3 – 3y2 – 6xy + 3x + 3y + 2015 = (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (3x2 + 3y2 + 6xy) + (3x + 3y) + 2015 = (x + y)3 – 3(x + y)2 + 3(x + y) – + 2016 = (x + y – 1)3 + 2016 = 1003 + 2016 = 1002016 Bài a) Cho D= 2011 6033 − 3 + ÷+ 2015 2013 2015 2013 2013.2015 Tính D M= b) Tính 1974 1946 − 1÷− − 1 − ÷− 1975 1945 1945 1975 1975 1945 1975.1945 Giải: a) Đặt a= 2011 ; b= 2015 2013 , ta có: THAM GIA NHĨM ĐỂ CĨ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ NHĨM SOẠN TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ 2011 6033 2011 = 1− = 1− b = = 3ab 2013 2013 2015 2013 và 2013.2015 ⇒ D = 4a ( + b ) + a ( − b ) − 3ab = 12a + 4ab + a − ab − 3ab = 13a = ⇒ 13 = 2015 155 = 155 D b) Đặt a= 1 ; b= 1975 1945 , ta có: M = a ( 2b − 1) − b ( − 2a ) + ( − a ) ( b + 1) − 3ab = − 2a = 1973 1975 * Nhận xét: Khi tính giá trị biểu thức, tùy trường hợp thay số chữ thay chữ số cho phù hợp để bài toán đơn giản, thuận lợi Bài a) Rút gọn biểu thức: b) So sánh A = 24 ( 52 + 1) ( 54 + 1) ( 58 + 1) ( 516 + 1) A = 10 ( 92 + 1) ( + 1) ( 98 + 1) ( 916 + 1) 32 và B = − Giải: a) Ta có: A = 24 ( 52 + 1) ( 54 + 1) ( 58 + 1) ( 516 + 1) = ( − 1) ( + 1) ( 52 + 1) ( 54 + 1) ( 58 + 1) ( 516 + 1) = ( 52 − 1) ( 52 + 1) ( 54 + 1) ( 58 + 1) ( 516 + 1) = ( 54 − 1) ( 54 + 1) ( 58 + 1) ( 516 + 1) = ( 58 − 1) ( 58 + 1) ( 516 + 1) = ( 516 − 1) ( 516 + 1) = 532 − b) Ta có: A = 10 ( 92 + 1) ( 94 + 1) ( 98 + 1) ( 916 + 1) = ( + 1) ( + 1) ( + 1) ( 98 + 1) ( 916 + 1) ⇒ 8A = ( − 1) ( + 1) ( 92 + 1) ( + 1) ( 98 + 1) ( 916 + 1) = 932 − = B Vậy B = 8A Bài So sánh: a) 2011.2013 + 2012.2014 và 20122 + 20132 – x − y2 x−y 2 b) x + y và x + xy + y với x > y >0 Giải: THAM GIA NHÓM ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ NHĨM SOẠN TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ a) Ta có: * Cách 1: 2011.2013 + 2012.2014 = (2012-1)(2012+1) + (2013-1)(2013+1) = 20122 – + 20132 – = 20122 + 20132 – * Cách 2: 20122 + 20132 – 2= = 20122 – + 20132 – = (2012-1)(2012+1) + (2013-1)(2013+1) = 2011.2013 + 2012.2014 b) Với x > y > 0, ta có: x − y ( x − y) ( x + y) x − y2 x − y2 = = < x + y ( x + y ) ( x + y ) x + 2xy + y x + xy + y Bài Tìm x, y, z biết: a) 5x ( x − 3) ( x + 3) − ( 2x − 3) − ( x + ) + 34x ( x + ) = b) x − 2x + y + 4y + + ( z − 3) = c) 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = Giải: 5x ( x − 3) ( x + 3) − ( 2x − 3) − ( x + ) + 34x ( x + ) = a) Ta có: ⇔ 5x ( x − ) − ( 2x − 12x + ) − ( x + 6x + 12x + ) + 34x + 28x = ⇔ −25x = 50 ⇔ x = −2 x − 2x + y + 4y + + ( z − 3) = b) Ta có: ⇔ ( x − 2x + 1) + ( y + 4y + ) + ( z − 3) = ⇔ ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 2 ⇔ x −1 = y + = z − = ⇔ x = 1; y = −2; z = c) 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = ⇔ (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) = ⇔ (x + y + z)2 + (x + 5)2 + (y + 3)2 = ⇔ (x + y + z)2 = 0; ( x + 5)2 = 0; (y + 3)2 = ⇔ x = - ; y = -3; z = Bài Chứng minh rằng: (a a) b) − b ) ( c2 − d ) = ( ac + bd ) − ( ad + bc ) ( a + b + c) = a + b + c3 + ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) THAM GIA NHÓM ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ NHĨM SOẠN TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ Giải: a) Ta có: (a −b ) (c −d ) = a c −a d = ( a c + 2abcd + b d ) − ( a d 2 2 2 2 2 a + b + c) b) Ta có: ( 2 2 − b c + b d = ( a c + b 2d ) − ( a 2d + b c ) + 2abcd + b 2c ) = ( ac + bd ) − ( ad + bc ) 2 = ( a + b ) + c = ( a + b ) + c3 + ( a + b ) c ( a + b ) + c 3 = a + b3 + 3ab ( a + b ) + c3 + ( a + b ) ( ac + bc ) + c = a + b3 + c3 + ( a + b ) ( ab + ac + bc + c ) = a + b3 + c3 + ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) Bài 2 a) Cho a + b + c = ab + bc + ca , chứng minh a = b = c P = ( x + y) + ( y + z) + ( z + x ) b) Cho 2 Q = ( x + y) ( y + z) + ( y + z) ( z + x ) + ( z + x ) ( x + y) Chứng minh rằng: Nếu P = Q x = y = z Giải: a) Ta có: a + b + c = ab + bc + ca ⇔ a + b + c − ab − bc − ca = ⇔ 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ca = ⇔ ( a − 2ab + b ) + ( b − 2bc + c ) + ( a − 2ac + c ) = ⇔ ( a − b) + ( b − c) + ( a − c) 2 a − b = o = ⇔ b − c = ⇔ a = b = c a − c = 2 b) Đặt x + y = a; y + z =b; z + x = c, ta có: P = a + b + c ; Q = ab + bc + ca THAM GIA NHÓM ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ NHĨM SOẠN TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ P = Q ⇒ P−Q = ⇔ a + b + c − ab − bc − ca = ⇔ 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ca = ⇔ ( a − 2ab + b ) + ( b − 2bc + c ) + ( a − 2ac + c ) = ⇔ ( a − b) + ( b − c) + ( a − c) = 2 a − b = ⇔ b − c = ⇔ a = b = c ⇔ x + y = y + z = z + x ⇔ x = y = z a − c = Bài 10 Chứng minh rằng: 3 a) Nếu a + b + c = a + b + c = 3abc 3 3 b) Nếu a + b + c + d = a + b + c + d = ( ab − cd ) ( c + d ) Giải: a) Ta có: a + b + c = ⇒ a + b = −c ⇒ c = − ( a + b ) ⇒ a + b3 + c3 = a + b3 − ( a + b ) = a + b3 − a + b3 + 3ab ( a + b ) = −3ab ( a + b ) = 3abc a + b + c + d = ⇒ a + b = −( c + d) ⇒ ( a + b) = −( c + d) b) ⇒ a + b3 + 3ab ( a + b ) = −c3 − d − 3cd ( c + d ) ⇒ a + b3 + c3 + d = −3ab ( a + b ) − 3cd ( c + d ) ⇒ a + b3 + c3 + d = 3ab ( c + d ) − 3cd ( c + d ) ⇒ a + b3 + c3 + d3 = ( c + d ) ( ab − cd ) Bài 11 Chứng minh rằng: a) Tích số nguyên liên tiếp cộng với là số phương b) n + n + khơng là số phương ( n ∈ N *) Giải: a) Xét số nguyên liên tiếp a, a+1, a+2, a+3 ( a ∈ Z ) , ta có: THAM GIA NHĨM ĐỂ CĨ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ NHĨM SOẠN TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ a ( a + 1) ( a + ) ( a + 3) + = ( a + 3a ) ( a + 3a + ) + = ( a + 3a ) ( a + 3a ) + + = ( a + 3a ) + ( a + 3a ) + = ( a + 3a+1) Vậy tích số nguyên liên tiếp cộng với là số phương b) Ta có: n < n + n + < n + 2n + ⇒ n < n + n + < ( n + 1) 2 Số n + n + nằm số phương liên tiếp nên n + n + không là số phương Bài 12 a) Cho a + b + c = và a2 + b2 + c2 = 14 Tính: B = a4 + b4 + c4 b) Cho a + b + c = Chứng minh rằng: a + b + c = (a2 + b2 + c2)2 4 Giải: a) Từ a2 + b2 + c2 = 14 => (a2 + b2 + c2)2 = 196 ⇒ a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2b2 c2 + 2a2c2 = 196 ⇒ B = a4 + b4 + c4 = 196 – (a2b2 + b2 c2 + a2c2) Từ a + b + c = => (a + b + c)2 = ⇒ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) = −(a2 + b2 + c2 ) −14 = = −7 ⇒ ab + bc + ac = ⇒ (ab + bc + ac)2 = 49 2 ⇒ a2b2 + b2c2 + a2c2 + 2ab2c + 2a2bc + 2abc2 = 49 ⇒ a2b2 + b2c2 + a2c2 = 49 – 2abc(a + b + c) = 49 Vậy B = 196 – 49 = 196 – 98 = 98 b) Từ a + b + c = ⇒ a = – (b + c) ⇒ a2 = (b + c)2 ⇒ a2 – b2 – c2 = 2bc ⇒ (a2 – b2 – c2)2 = 4b2c2 ⇒ a4 + b4 + c4 – 2a2b2 + 2b2c2 – 2a2c2 = 4b2c2 ⇒ a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 ⇒ 2(a4 + b4 + c4) = a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2b2 c2 + 2a2c2 ⇒ 2(a4 + b4 + c4) = (a2 + b2 + c2 )2 ⇒ a + b + c = (a2 + b2 + c2)2 4 THAM GIA NHÓM ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ NHÓM SOẠN TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ Bài 13 Cho ba số x, y, z thoả mãn x + y + z = và x2 + y2 + z2 = a2 Tính giá trị biểu thức x4 + y4 + z4 Giải: Từ x + y + z = ⇒ x = – (y + z) ⇒ x2 = (y+ z)2 ⇒ x2 = y2 + z2 + 2yz ⇒ x2 – y2 – z2 = 2yz ⇒ (x2 – y2 – z2)2 = 4y2z2 ⇒ x4 + y4 + z4 – 2x2y2 – 2x2z2 + 2y2 z2 = 4y2z2 ⇒ x4 + y4 + z4 = 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2 z2 ⇒ 2(x4 + y4 + z4 ) = x4 + y4 + z4 + 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2 z2 = (x2 + y2 + z2)2 = a4 a4 ⇒ x4 + y4 + z4 = 1 + + =0 Bài 14 Cho a + b + c = và a b c Chứng minh a2 + b2 + c2 = Giải: Từ a + b + c = ⇒ (a + b + c)2 = ⇒ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = ⇒ a2 + b2 + c2 + 2(ab+ bc+ ac) = (*) 1 bc + ac + ab + + = =0 ⇒ bc + ac + ab = (**) abc Từ a b c Từ (*) và (**) suy a2 + b2 + c2 = 1 1 1 + + + 2+ =2 a b c a b c Bài 15 Chứng minh = và a + b + c = abc Giải: 1 1 1 + + a + b + c÷ =4 ⇒ Từ a b c = 1 2 1 c + a+ b + 2+ + + + 2+ 2 ⇒ a b c + ab bc ac = ⇒ a b c + abc = c + a+ b 1 + 2+ 2 ⇒ ⇒ abc a b c =4–2=2 Vì a + b + c = abc =1 Bài 16 Cho a, b, c là số hữu tỉ, đôi khác Chứng minh rằng: 1 + + 2 N = (a − b) (b − c) (c − a) là bình phương số hữu tỉ Giải: THAM GIA NHÓM ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ NHĨM SOẠN TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ 1 + + ÷ Xét a − b b − c c − a 1 2 + + + + 2 = (a − b) (b − c) (c − a) + (a − b)(b − c) (b − c)(c − a) (a − b)(c − a) =N+ 2(c − a) + 2(a − b) + 2(b − c) ( a− b) (b − c)(c − a) =N+0=N 1 + + ÷ ⇒ N = a− b b − c c − a Vậy N là bình phương số hữu tỉ x y z = = Bài 17 Cho a + b + c = 1; a2 + b2 + c2 = 1; a b c Tính giá trị biểu thức: P = xy + yz + zx Giải: x y z = = Đặt a b c = k => x = ak ; y = bk ; z = ck ⇒ P = xy + yz + zx = k2ab + k2bc + k2ac = k2(ab + bc + ac) Từ a + b + c = ⇒ (a + b + c)2 = ⇒ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = ⇒ + 2(ab + bc + ac) = ⇒ ab + bc + ac = ⇒ P = k2.0 = a b c x y z x2 y2 z2 + + + + + 2+ 2 Bài 18: Cho a b c = và x y z = Tính A = a b c Giải: x y z x y z xy yz zx x2 y2 z2 + + + + + 2+ + + Từ a b c = ⇒ ( a b c )2 = ⇒ a b c + ab bc ac = xyc + yza+ xzb xy yz zx + + ⇒ A = – 2( ab bc ac ) = – abc a b c xyc + yza + xzb + + abc Từ x y z = ⇒ = ⇒ yza + xzb + xyc = 0 ⇒ A = – abc = 10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ NHĨM SOẠN TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ Bài 19 Cho a, b, c thoả mãn (a + b – 2c) + (b + c – 2a)2 + (c + a – 2b)2 = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 Chứng minh a = b = c Giải: Ta có: (a + b – 2c)2 = a2 + b2 + 4c2 + 2ab – 4bc – 4ac (b + c – 2a)2 = b2 + c2 + 4a2 + 2bc – 4ac – 4ab (c + a – 2b)2 = a2 + c2 + 4b2 + 2ac – 4ab – 4bc ⇒ (a + b – 2c)2 + (b + c – 2a )2 + (c + a – 2b)2 = 3(a – b)2 + 3(b – c)2 + 3(c – a)2 ⇒ 3(a – b)2 + 3(b – c)2 + 3(c – a)2 = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 2 ⇒ 2é =0 ⇒ a =b =c (ëa - b) +( b - c) +( c - a ) ù ê ú û Bài 20 Cho a > b > 0, thỏa mãn: a) 3a2 + 3b2 = 10ab, tính b) 2a2 + 2b2 = 5ab, tính M= N= a- b a +b a +b a- b Giải: æa - b ö a - 2ab + b 3a + 3b - 6ab 10ab - 6ab ÷ ç M =ç ÷ ÷ = a + 2ab + b = 3a + 3b + 6ab = 10ab + 6ab = ỗ ố ứ a + b a) Ta có: ⇒M= (vì a > b > nên M > 0) b) Tương tự 11 15 11 19 123 123 Bài 21 Cho x = n chữsố1; y = n chữsố1 Chứng minh xy + là số phương Giải: 11 19 11 15 123 123 n n chö õ số Ta có: y = = chữsố1+ = x + Do đó: xy + = x(x + 4) + = x2 + 4x + = ( x + )2 11 17 14 43 hay xy + = n chữsố1 là số phương 11 THAM GIA NHĨM ĐỂ CĨ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ NHÓM SOẠN TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ Bài 22 Cho x ≠ và A = x2 + x2 x+ =a x Tính biểu thức sau theo a: B = x3 + x3 C = x6 + x6 D = x7 + Giải: Ta chứng minh được, n>1, ta có: xn+1 + n n−1 = x + x + − x + ÷ ÷ xn+1 xn x xn−1 ÷ Ta tính A = a − C = a6 − 6a4 + 9a2 − B = a3 − 3a D = a7 − 7a15 + 14a3 − 7a Bài 23: Tìm GTNN biểu thức: a) A = 4x + 4x + 11 b) B = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) 2 c) C = x − 2x + y − 4y + Giải: A = 4x2 + 4x + 11 = 4x2 + 4x + 1+ 10 = ( 2x + 1) + 10 ≥ 10 a) ⇒ Min A = 10 x= − b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3) = (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36 ≥ -36 ⇒ Min B = -36 x = x = -5 2 c) C = x − 2x + y − 4y + = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + = (x – 1)2 + (y – 2)2 + ≥ ⇒ Min C = x = 1; y = Bài 24: Tìm GTLN biểu thức: a) A = – 8x – x2 b) B = – x2 + 2x – 4y2 – 4y C = ( 2x − 1) − 32x − + = 2x − − 32x − + 2 c) Giải: 12 THAM GIA NHÓM ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ x7 NHĨM SOẠN TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ a) A = – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21 ≤ 21 ⇒ Max A = 21 x = -4 b) B = – x2 + 2x – 4y2 – 4y = -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + = -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + ≤ ⇒ Max B = x = 1, y= − C = ( 2x − 1) − 32x − + = 2x − − 32x − + 2 c) Đặt t = 2x − t ≥ Do N = t2 – 3t + = Dấu “=” xảy và t− (t − 32 )2 − 1 ⇒N≥− 4 3 = 0⇔ t = 2 2x − = x= 3 ⇒ t = ⇒ 2x − = ⇒ 2 1 2x − = − x= − N=− 4 Do Vậy N=− ⇔ x= x= − 4 hay Bài 25: Cho x + y = Tìm GTNN biểu thức M = x3 + y3 Giải: M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2 x2 y2 x2 y2 y x 2 = + + − xy + = (x + y2 ) + − ÷ ⇒ M ≥ (x + y ) 2 2 2 2 Ngoài ra: x + y = ⇒ x2 + y2 + 2xy = ⇒ 2(x2 + y2) – (x – y)2 = => 2(x2 + y2) ≥ Do x2 + y2 ≥ 1 x2 + y2 = ⇔ x = y = và 2 1 1 M ≥ (x2 + y2 ) (x2 + y2 ) ≥ ⇒ M ≥ = 2 2 Ta có: và Do M≥ 1 ⇔ x= y= và dấu “=” xảy 13 THAM GIA NHÓM ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ NHĨM SOẠN TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ Vậy GTNN M= 1 ⇔ x= y= Bài 26: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = Tìm GTLN và GTNN biểu thức x2 + y2 Giải: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = ⇔ [(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = ⇔ x4 + 2x2 + + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = ⇔ x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + = ⇔ x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + = -4x2 ⇔ (x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2 Đặt t = x2 + y2 Ta có: t2 – 3t + = -4x2 Suy ra: t2 – 3t + ≤ 5 3 ⇔ t − .t + − ≤ ⇔ t − ÷ ≤ ⇔ t − ≤ 4 2 2 ⇔− 5 3− 3+ ≤ t− ≤ ⇔ ≤ t≤ 2 2 3+ Vì t = x2 + y2 nên : GTLN x2 + y2 = 3− GTNN x2 + y2 = Bài 27: Cho ≤ a, b, c ≤ Tìm GTLN và GTNN biểu thức: P = a + b + c – ab – bc – ca Giải: Ta có: P = a + b + c – ab – bc – ca = (a – ab) + (b - bc) + (c – ca) = a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) (vì ≤ a,b,c ≤ 1) Dấu “=” xảy chẳng hạn: a = b = c = Vậy GTNN P = Theo giả thiết ta có: – a ≥ 0; – b ≥ 0; – c ≥ 0; ⇒ (1-a)(1-b)(1-c) = + ab + bc + ca – a – b – c – abc ≥ ⇒ P = a + b + c – ab – bc – ac ≤ 1− abc ≤ 14 THAM GIA NHÓM ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ NHÓM SOẠN TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ Dấu “=” xảy chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý ∈ [ 0;1] Vậy GTLN P = Bài 28: Cho x + y = Tìm GTNN biểu thức: A = x2 + y2 Giải: Ta có: x + y = ⇒ y = – x Do đó: A = x2 + y2 = x2 + (2 – x)2 = x2 + – 4x + x2 = 2x2 – 4x + = 2( x2 – 2x) + = 2(x – 1)2 + ≥ Vậy GTNN A là x = y = Bài 29: Cho M = a + 3− a − + a + 15− a − Tìm TGNN M Giải: M = a + 3− a − + a + 15 − a − = a − 1− a − + + a − 1− a − + 16 = ( ) a− − + ( ) a− − Điều kiện để M xác định là a – ≥ a ≥ Ta có: M= a− − + a− − Đặt x = a − điều kiện x ≥ 0, ta có: M = M = x − + x − = x − + − x …x − + − x = Dấu “=” xảy ⇔ £ x £ ⇔ £ a- £ ⇔ £ a- 1£ 16 ⇔ £ a £ 17 15 THAM GIA NHÓM ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY https://www.facebook.com/groups/382232702686361/ ... ( 58 + 1) ( 516 + 1) = ( − 1) ( + 1) ( 52 + 1) ( 54 + 1) ( 58 + 1) ( 516 + 1) = ( 52 − 1) ( 52 + 1) ( 54 + 1) ( 58 + 1) ( 516 + 1) = ( 54 − 1) ( 54 + 1) ( 58 + 1) ( 516 + 1) = ( 58 − 1) ( 58 +... 10 ( 92 + 1) ( 94 + 1) ( 98 + 1) ( 916 + 1) = ( + 1) ( + 1) ( + 1) ( 98 + 1) ( 916 + 1) ⇒ 8A = ( − 1) ( + 1) ( 92 + 1) ( + 1) ( 98 + 1) ( 916 + 1) = 932 − = B Vậy B = 8A Bài So sánh: a) 2011.2013... https://www.facebook.com/groups/ 382 232702 686 361/ NHĨM SOẠN TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/ 382 232702 686 361/ Dấu “=” xảy chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý ∈ [ 0;1] Vậy GTLN P = Bài 28: Cho x + y