CHƯƠNG I – ĐOẠN THẲNG - BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP 6

Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 CHƯƠNG I – ĐOẠN THẲNG A – KIẾN THỨC CƠ BẢN a) ĐIỂM ĐƯỜNG THẲNG BA ĐIỂM THẲNG HÀNG a) Vị trí điểm đường thẳng a) Điểm A thuộc đường thẳng a, kí hiệu A ∈ a b) Điểm B không thuộc đường thẳng a, kí hiệu B a b) Ba điểm thẳng hàng chúng thuộc đường thẳng ba điểm không thẳng hàng chúng khơng thuộc đường thẳng c) Trong ba điểm thẳng hàng có điểm điểm nằm hai điểm lại Trong hình dưới, điểm M nằm hai điểm A B d) Nếu có điểm nằm hai điểm khác ba điểm thẳng hàng e) Quan hệ ba điểm thẳng hàng mở rộng thành nhiều (4, 5, 6,…) điểm thẳng hàng II – ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM a) b) c) d) Có đường thẳng đường thẳng qua hai điểm A B Có ba cách đặt tên đường thẳng: Dùng chữ in thường: ví dụ a Dùng hai chữ in thường: ví dụ xy Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 e) Dùng hai chữ in hoa: ví dụ AB c) Có ba vị trí hai đường thẳng phân biệt: f) Hoặc khơng có điểm chung (gọi hai đường thẳng song song) g) Hoặc có điểm chung (gọi đường thằng cắt nhau) d) Muốn chứng minh hai hay nhiều đường thẳng trùng ta cần chứng tỏ chúng có hai điểm chung e) Ba (hay nhiều) đường thẳng qua điểm gọi ba (hay nhiều) đường thẳng đồng quy Muốn chứng minh nhiều đường thẳng đồng quy ta xác định giao điểm đường thẳng chứng minh đường cịn lại qua giao điểm III – TIA a) Hình gồm điểm O phần đường thẳng bị chia điểm O gọi tia gốc O b) Hai tia chung gốc tạo thành đường thẳng gọi hai tia đối c) Quan hệ điểm nằm hai điểm với hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau: Xét điểm A, O, B thẳng hàng h) Nếu OA OB đối gốc O nằm A B i) Ngược lại O nằm A B thì: + Hai tia OA, OB đối + Hai tia AO, AB trùng nhau; hai tia BO, BA trùng IV- ĐOẠN THẲNG ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG CỘNG ĐỘ DÀI HAI ĐOẠN THẲNG a) Đoạn thẳng AB hình gồm điểm A, điểm B tất điểm nằm A B Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 b) Mỗi đoạn thẳng có độ dài Độ dài đoạn thẳng số dương c) AB=CD  AB CD có độ dài AB < CD  AB ngắn CD AB > CD  AB dài CD d) Nếu điểm M nằm điểm A điểm B AM + MB = AB Ngược lại, AM + MB = AB điểm M nằm hai điểm A B Nếu AM + MB ≠ AB điểm M khơng nằm A B Nếu điểm M nằm hai điểm A B; điểm N nằm hai điểm M B thì: AM + MN + NB = AB V- VẼ ĐOẠN THẲNG CHO BIẾT ĐỘ DÀI a) Trên tia Ox vẽ điểm M cho OM = a(đơn vị dài) b) Trên tia Ox, OM = a, ON = b, < a < b điểm M nằm hai điểm O N Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 c) Trên tia Ox có điểm M, N, P; OM = a; ON = b; OP = c; < a < b điểm N nằm hai điểm M P VI – TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG a) Trung điểm đoạn thẳng điểm nằm hai đầu đoạn thẳng cách hai đầu đoạn thẳng AB b) Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB MA = MB = AB c) Nếu M nằm hai đầu đoạn thẳng AB MA = M trung điểm AB d) Mỗi đoạn thẳng có trung diểm B - BÀI TẬP VẬN DỤNG PHẦN 1: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Điểm A không thuộc đường thẳng d kí hiệu là: A A  d D d  A B A  d C A  d Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Cho hai tia Ax Ay đối Lấy điểm M tia Ax, điểm N tia Ay Ta có: A Điểm M nằm A N B Điểm A nằm M N C Điểm N nằm A M điểm cịn lại D Khơng có điểm nằm Số đường thẳng qua hai điểm S T : A.1 B.2 C.3 D.Vô số L điểm nằm hai điểm I K Biết IL = 2cm, LK = 5cm Độ dài đoạn thẳng IK là: A.3cm D.7cm B.2cm C.5cm Điểm I trung điểm đoạn thẳng MN khi: A IM = IN B C IM + IN = MN IM  IN  D MN IM = IN Cho điểm A, B, C, D, E nằm đường thẳng Có đoạn thẳng tạo thành từ điểm ? A B 10 C 15 D 20 Đường thẳng có đặc điểm đặc điểm sau ? A Giới hạn đầu B Kéo dài phía C Giới hạn hai đầu D Kéo dài hai phía Ba điểm M, N, P thẳng hàng Trong câu sau, câu sai ? Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 A Đường thẳng MP qua N B Đường thẳng MN qua P C M, N, P thuộc đường thẳng D M, N, P không thuộc đường thẳng Điểm E nằm hai điểm M N thì: A ME + MN = EN B MN + EN = ME C ME + EN = MN D Đáp án khác 10 Có đường thẳng qua điểm phân biệt mà khơng có điểm thẳng hàng? A 15 B 10 C D Vô số PHẦN 2: TỰ LUẬN Bài 1:Cho đường thẳng xy Lấy điểm O  xy ; điểm A  xy điểm B tia Ay (điểm B khác điểm A)  kể tên tia đối , tia trùng ;  Kể tên hai tia khơng có điểm chung ;  Gọi M điểm di động xy Xác định vị trí điểm M tia Ot qua điểm M không cắt hai tia Ax , By Bài 2: Vẽ hai đường thẳng mn xy cắt O a kể tên hai tia đối ; b Trên tia Ox lấy điểm P , tia Om lấy điểm E ( P E khác O ) Hãy tìm vị trí điểm Q để điểm O nằm P Q ; Tìm vị trí điểm F cho hai tia OE , OF trùng Bài : Cho điểm A , B , C , O Biết hai tia OA , OB đối ; hai tia OA , OC trùng Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 a) Giải thích điểm A, B , C , O thẳng hàng b)Nếu điểm A nằm C O điểm A có nằm hai điểm O B khơng ? Giải thích Vì ? Bài 4: Cho điểm O nằm hai điểm A B ; điểm I nằm hai điểm O B Giải thích : a O nằm A I ? b I nằm A B ? Bài 5: Gọi A B hai điểm nằm tia Ox cho OA = cm , OB = cm Trên tia BA lấy điểm C BC = cm So sành AB với AC Bài 6: Vẽ đoạn thẳng AB = cm Lấy hai điểm E F nằm A B cho AE + BF = cm a Chứng tỏ điểm E nằm hai điểm B F b Tính EF Bài 7: Vẽ hai tia chung gốc Ox, Oy Trên tia Ox lấy hai điểm A B (điểm A nằm O B) Trên tia Oy lấy hai điểm M N cho OM = OA ; ON = OB Chứng tỏ điểm m nằm O N So sánh AB MN Bài 8: Trên tia Ox lấy hai điểm A M cho OA = cm ; OB = 4,5 cm Trên tia Ax lấy điểm B cho M trung điểm AB Hỏi điểm A có phải trung điểm đoạn thẳng OB khơng ? Vì ? Bài 9: Cho đoạn thẳng AB = cm Lấy hai điểm C D thuộc đoạn AB cho AC = BD = cm Gọi M trung điểm AB Giải thích M trung điểm đoạn thẳng CD Tìm hình vẽ điểm khác trung điểm đoạn thẳng Bài 10 : Gọi O điểm đoạn thẳng AB Xác định vị trí điểm O để : Tổng AB + BO đạt giá trị nhỏ Tổng AB + BO = BO Tổng AB + BO = 3.BO Bài 11: Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB C điểm đoạn thẳng Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Cho biết AB = cm ; AC = a ( cm ) ( < a  ) Tính khoảng cách CM Bài 12:Cho đoạn thẳng CD = cm.Trên đoạn thẳng lấy hai điểm I K cho CI=1cm;DK=3 cm Điểm K có trung điểm đoạn thẳng CD khơng ? ? Chứng tỏ điểm I trung điểm CK Bài 13: Cho đoạn thẳng AB ;điểm O thuộc tia đối tia AB.Gọi M, N thứ tự trung điểm OA, OB Chứng tỏ OA < OB Trong ba điểm O , M , N điểm nằm hai điểm lại ? Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB) Bài 14: Cho đoạn thẳng AB = cm Trên tia AB lấy điểm C cho AC = cm Tính CB Lấy điểm D thuộc tia đối tia BC cho BD = cm Tính CD Bài 15: Trên tia Ox , lấy hai điểm E F cho OE = cm , OF = cm Điểm E có nằm hai điểm O F khơng ? Vì ? So sánh OE EF Điểm E có trung điểm đoạn thẳng OF khơng ? Vì ? Ta khẳng định OF có trung điểm hay khơng ? Vì ? Bài 16: Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho OA = 3cm, OB = 6cm Điểm A có nằm O B khơng ? Vì sao? Tính độ dài đoạn thẳng AB Điểm A có phải trung điểm OB khơng ? Vì ? Gọi P trung điểm đoạn thẳng OA, Q trung điểm đoạn thẳng AB Chứng tỏ OB = 2PQ Bài 17: Cho đoạn thẳng AB = cm Điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho BC = cm Tính độ dài có đoạn thẳng AC Bài 18 Vẽ tia Ax Lấy B Ax cho AB = cm, điểm M nằm đoạn thẳng AB cho AM = cm Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Điểm M có nằm A B khơng? Vì sao? So sánh MA MB M có trung điểm AB khơng? Vì sao? Lấy N Ax cho AN= 12 cm So sánh BM BN Câu 19 a) Vẽ đường thẳng xy Trên xy lấy ba điểm A,B.C theo thứ tự b) Kể tên tia có hình vẽ (Các tia trùng kể lần) c) Hai tia Ay By có phải hai tia trùng khơng? Vì sao? d) Kể tên hai tia đối gốc B Câu 20 a) Trên tia Ox, vẽ hai điểm A, B cho OA = 3.5cm, OB = 7cm b) Điểm A có nằm hai điểm O B khơng? c) So sánh OA AB d) Điểm A có trung điểm đoạn thẳng OB khơng? Vì sao? Câu 21: Hãy vẽ sơ đồ trồng trường hợp sau: Có 10 trồng thành hàng , hàng Câu 22: Vẽ liền nét đoạn thẳng qua điểm: Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 PHẦN 3: CHUYÊN ĐỀ 12: ĐIỂM – ĐƯỜNG THẲNG – ĐOẠN THẲNG Bài 1: Cho đoạn thẳng AB = 5cm, điểm C nằm A B, điểm D E theo thứ tự trung điểm AC CB Tính độ dài DE Bài 2: Cho điểm C thuộc đường thẳng AB không thuộc đoạn thẳng AB Biết CA = a, CB = b Gọi I trung điểm AB Tính độ dài IC Bài 3: Trên mặt phẳng có bốn đường thẳng Số giao điểm đường thẳng bao nhiêu? Bài 4: Cho n điểm (n >= 2) Nối cặp hai điểm n điểm thành đoạn thẳng a Hỏi có đoạn thẳng n điểm khơng có ba điểm thẳng hàng? b Hỏi có đoạn thẳng n điểm có ba điểm thẳng hàng? c Tính n biết có tất 1770 đoạn thẳng Bài 5: Cho n điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Biết có tất 105 đường thẳng Tính n? Bài 6: Cho n đường thẳng hai đường thẳng cắt nhau, khơng có ba đường thẳng đồng quy Biết số giao điểm đường thẳng 780 Tính n? Bài 7: Cho 101 đường thẳng hai đường thẳng cắt nhau, ba đường thẳng đồng quy Tính số giao điểm chúng Bài 8: Cho 20 điểm, có a điểm thẳng hàng Cứ điểm, ta vẽ đường thẳng Tìm a , biết vẽ tất 170 đường thẳng Bài 9: Cho ba điểm A, B, C nằm đường thẳng a Biết hai đoạn thẳng BA, BC cắt đường thẳng a Hỏi đường thẳng a có cắt đoạn thẳng AC khơng? Vì sao? Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Bài 10: Trên tia Ox cho điểm A, B, C, D biết A nằm B C; B nằm C D ; OA = 5cm; OD = cm ; BC = cm độ dài AC gấp đôi độ dài BD Tìm độ dài đoạn BD; AC Bài 11: Gọi A B hai điểm tia Ox cho OA = cm ; OB = cm Trên tia BA lấy điểm C cho BC = cm So sánh AB với AC Bài 12: Trên tia Ox cho điểm A, B, C, D Biết A nằm B C; B nằm C D ; OA = 7cm; OD = 3cm ; BC = 8cm AC =3BD a) Tính độ dài AC b) Chứng tỏ rằng: Điểm B trung điểm đoạn thẳng AD Bài 13: Trên tia Ox lấy hai điểm M N, cho OM = 3cm ON = 7cm Tính độ dài đoạn thẳng MN Lấy điểm P tia Ox, cho MP = 2cm Tính độ dài đoạn thẳng OP Trong trường hợp M nằm O P Chứng tỏ P trung điểm đoạn thẳng MN Bài 14: Cho đường thẳng xy Trên xy lấy điểm A; B; C cho AB = a cm; AC = b cm (b > a) Gọi I trung điểm AB Tính IC ? Lấy điểm M; N; P; Q nằm đường thẳng xy Chứng tỏ đường thẳng xy không cắt, cắt ba, cắt bốn đoạn thẳng đoạn thẳng sau: MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ HƯỚNG DẪN – LỜI GIẢI PHẦN 3: CHUYÊN ĐỀ 12: ĐIỂM – ĐƯỜNG THẲNG – ĐOẠN THẲNG Bài 1: Cho đoạn thẳng AB = 5cm, điểm C nằm A B, điểm D E theo thứ tự trung điểm AC CB Tính độ dài DE Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 GIẢI: (H1) DE = DC + CE = 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 = 𝐴𝐶+𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 = = 2,5 (cm) Bài 2: Cho điểm C thuộc đường thẳng AB không thuộc đoạn thẳng AB Biết CA = a, CB = b Gọi I trung điểm AB Tính độ dài IC Giải (H2) Trường hợp a > b(H2a):IC = IB – CB = Trường hợp a < b (H2b): IC = 𝑎+𝑏 –b= 𝑎−𝑏 𝑏−𝑎 Trường hợp a = b I ≡ C Bài 3: Trên mặt phẳng có bốn đường thẳng Số giao điểm đường thẳng bao nhiêu? GIẢI Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Bài toán đòi hỏi phải xét đủ trường hợp: Bốn đường thẳng đồng quy: có giao điểm (H3.1 a) Có ba đường thẳng đồng quy: j) Có hai đường thẳng song song: giao điểm (H3.1 b) k) Khơng có hai đường thẳng song song: giao điểm (H3.1c) Khơng có ba đường thẳng đồng quy l) Bốn đường thẳng song song: giao điểm (H3.2 a) m) Có ba đường thẳng song song: giao điểm (H3.2b) n) Có hai cặp đường thẳng song song: giao điểm (H3.2c) o) Có cặp đường thẳng song song: giao điểm (H3.2d,e) p) Khơng có hai đường thẳng song song: giao điểm (H3.2g) Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Bài 4: Cho n điểm (n >= 2) Nối cặp hai điểm n điểm thành đoạn thẳng a Hỏi có đoạn thẳng n điểm khơng có ba điểm thẳng hàng? Giải: Chọn điểm Nối điểm với điểm n – điểm lại, ta vẽ n – đoạn thẳng Làm với n điểm, ta n(n-1) đoạn thẳng Nhưng đoạn thẳng tính hai lần, tất có 𝑛(𝑛−1) đoạn thẳng b Hỏi có đoạn thẳng n điểm có ba điểm thẳng hàng? Giải: Tuy hình vẽ có ba điểm thẳng hàng, số đoạn thẳng phải đếm khơng thay đổi, có 𝑛(𝑛−1) c Tính n biết có tất 1770 đoạn thẳng Giải: đoạn thẳng Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Ta có: 𝑛(𝑛−1) = 1770 Do đó: n(n – 1) = 2.1170 = 22.3.5.59 = 59.60 Suy : n = 60 Bài 5: Cho n điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Biết có tất 105 đường thẳng Tính n? HD: Ta có: 𝑛(𝑛−1) = 105 nên n(n-1) = 210 = 2.3.5.7 = 15.14 Vậy n = 15 Bài 6: Cho n đường thẳng hai đường thẳng cắt nhau, khơng có ba đường thẳng đồng quy Biết số giao điểm đường thẳng 780 Tính n? HD: Từ 𝑛(𝑛−1) = 780 ta tính n = 40 Bài 7: Cho 101 đường thẳng hai đường thẳng cắt nhau, khơng có ba đường thẳng đồng quy Tính số giao điểm chúng HD: Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng lại tạo nên 100 giao điểm Có 101 đường thẳng nên có: 101.100 giao điểm giao điểm tính hai lần nên có: 101.100:2 = 5050 (giao điểm) Bài 8: Cho 20 điểm, có a điểm thẳng hàng Cứ điểm, ta vẽ đường thẳng Tìm a , biết vẽ tất 170 đường thẳng GIẢI Giả sử 20 điểm, khơng có điểm thẳng hàng Khi đó, số đường thẳng vẽ là: 19 20:2 = 190 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Trong a điểm, giả sử khơng có điểm thẳng hàng.Số đường thẳng vẽ : (a – ) a : Thực tế, a điểm ta chi vẽ đường thẳng Vậy ta có : 190 – ( a- 1)a : + = 170 => a = Bài 9: Cho ba điểm A, B, C nằm đường thẳng a Biết hai đoạn thẳng BA, BC cắt đường thẳng a Hỏi đường thẳng a có cắt đoạn thẳng AC khơng? Vì sao? GIẢI (H9) Đường thẳng a cắt đoạn thẳng AB thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ a Lập luận tương tự hai điểm B, C thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ a Hai điểm A, C thuộc nửa mặt phẳng bờ a Vậy đường thẳng a không cắt đoạn thẳng AC Bài 10: Trên tia Ox cho điểm A, B, C, D biết A nằm B C; B nằm C D ; OA = 5cm; OD = cm ; BC = cm độ dài AC gấp đơi độ dài BD Tìm độ dài đoạn BD; AC GIẢI O D B A C x Vì A nằm B C nên BA +AC = BC  BA +AC =4 (1) Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Lâp luân  B nằm A D Theo gt OD < OA  D nằm O A Mà OD + DA = OA  + DA =5  DA =3 cm Ta có DB + BA = DA DB +BA =3 (2) (1) –(2) AC – DB = (3) theo đề : AC = 2BD thay (3) Ta có 2BD – BD =  BD =  AC = 2BD  AC = cm Bài 11: Gọi A B hai điểm tia Ox cho OA = cm ; OB = cm Trên tia BA lấy điểm C cho BC = cm So sánh AB với AC GIẢI O C A B x Hai điểm A B tia Ox mà OA< OB (41) Bài 12: Trên tia Ox cho điểm A, B, C, D Biết A nằm B C; B nằm C D ; OA = 7cm; OD = 3cm ; BC = 8cm AC =3BD Tính độ dài AC Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 xD O B A 3x C x Đặt BD = x (cm) => AC = 3x (cm) Vì D nằm O A (Do OD < OA) nên: OD+DA = OA => DA = => DB+BA = hay x + BA = (1) Vì A nằm B C nên: BA + AC = BC hay 3x + BA = (2) Từ (1) (2) ta có: (3x + BA) - (x + BA) = 8-4  2x  = x = AC = 3.2 = (cm) Chứng tỏ rằng: Điểm B trung điểm đoạn thẳng AD Theo (1) ta có: x + BA = mà x = => BA = Mà BD = x = => BD = BA (=2) => B trung điểm đoạn thẳng AD Bài 13: Trên tia Ox lấy hai điểm M N, cho OM = 3cm ON = 7cm Tính độ dài đoạn thẳng MN Lấy điểm P tia Ox, cho MP = 2cm Tính độ dài đoạn thẳng OP Trong trường hợp M nằm O P Chứng tỏ P trung điểm đoạn thẳng MN GIẢI Do M, N thuộc tia Ox mà OM < ON nên M nằm hai điểm O N => OM + MN = ON Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 => + MN = => MN = – = (cm) Vậy MN = 4(cm) b) TH1: Nếu P nằm M N M nằm O P => OP = OM + MP => OP = + = 5(cm) TH2: Nếu Nếu P nằm O M => OM = OP + PM = OP + => OP = 1(cm) c) (1,0 đ) M nằm O P  OP = 5(cm) < ON = 7(cm) nên P nằm O N suy OP + PN = ON  + PN =  PN = 2(cm) Do đó: MP = PN, mà P nằm M N nên P trung điểm MN Bài 14: Cho đường thẳng xy Trên xy lấy điểm A; B; C cho AB = a cm; AC = b cm (b > a) Gọi I trung điểm AB Tính IC ? Lấy điểm M; N; P; Q nằm đường thẳng xy Chứng tỏ đường thẳng xy không cắt, cắt ba, cắt bốn đoạn thẳng đoạn thẳng sau: MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ GIẢI TH1 B ; C nằm phía với so với điểm A A HS tính IC = b - I B a TH2 B; C nằm khác phía so với điểm A C Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 C A b) HS tính IC = b + I B a *) TH 1: Nếu điểm thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng xy đường thẳng xy khơng cắt đoạn thẳng: MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ *) TH 2: Nếu có điểm (giả sử M ; N ; P) thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng điểm Q nằm khác phía bờ đường thẳng xy đường thẳng xy cắt đoạn thẳng sau: MQ, NQ, PQ *) TH 3: Nếu có điểm ( giả sử M ; N ) thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng điểm (P ; Q) nằm khác phía bờ đường thẳng xy đường thẳng xy cắt đoạn thẳng sau: MP; MQ, NP; NQ  ... ba ? ?i? ??m thẳng hàng? Gi? ?i: Chọn ? ?i? ??m N? ?i ? ?i? ??m v? ?i ? ?i? ??m n – ? ?i? ??m l? ?i, ta vẽ n – đoạn thẳng Làm v? ?i n ? ?i? ??m, ta n(n-1) đoạn thẳng Nhưng đoạn thẳng tính hai lần, tất có