dung an phu

DNG N PH GII MT S BI TON Trong chng trỡnh toỏn THCS mt s bi toỏn vn cũn khú khn i vi giỏo viờn v hc sinh trong quỏ trỡnh dy v hc . Trong quỏ trỡnh dy hc tụi thy vn cũn nhiu hc sinh khỏ gii cha nm bt c mt s dng toỏn v cha cú phng gii t thự ỏp ng vi tng loi toỏn .Phng phỏp dựng n ph trong gii mt s bi toỏn giỳp cỏc em cú c mt vi kin thc trong gii bi toỏn t ú phỏt trin tớnh tớch cc t duy v t tỡm tũi sỏng to trong mt s tỡnh hung . Bi toỏn 1 : Tớnh giỏ tr ca biu thc: M = 3 1 1 432 4 .2 . 229 433 229 433 299.433 - - Gii : t 1 1 v 229 433 a b= = ta cú: M = 1 1 1 433 1 1 1 3. . 2 . 4. . 229 433 299 433 299 433 ổ ử - ữ ỗ + - - ữ ỗ ữ ỗ ố ứ = 3a ( 2 + b ) a ( 1 b ) 4ab = 6a + 3b a + ab 4ab = 5a Vi a = 1 229 Ta cú M = 5 229 Bi toỏn 2 : Rỳt gn biu thc : A = 4 4 4 4 4 1 7 2 6 7 7 7 7 1 343 1 7 7 7 7 7 - - - + + ổ ử ữ ỗ ữ - + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ Gii : t a = 4 7 ị a 4 = 7 v a 2 = 7 ta cú : A = 2 2 3 2 1 2 6 7 1 1 a a a a a a a a a a - - - + + ổ ử ữ ỗ - + ữ ỗ ữ ỗ ố ứ = 4 2 2 3 2 2 1 2 6 7 1 1 a a a a a a a a a a - - - + + ổ ử - + ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ = ( ) 2 2 3 2 2 1 6 7 1 a a a a a a a - + - + + + = ( ) ( ) 2 2 4 2 6 4 2 3 2 3 2 1 2 13 7 2 2 13 7 1 1 a a a a a a a a a a a a - + + - - + + + = + + = ( ) ( ) 4 2 6 4 2 4 2 6 3 2 3 2 2 2 13 14 2 1 1 a a a a a a a a a a a a + - - + + - = + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 4 4 3 2 3 2 2 7 2 0 1 1 a a a a a a a a a - - = = + + Bài toán 3 : Rút gọn biểu thức : B = 4 4 4 2 4 3 5 2 25 125- + + Giải : Đặt b = 2 3 4 5 6 2 4 4 4 5 25 , b 125 , b 5 , b =5b , b 5 b bÞ = = = = Ta có : B = 2 3 2 4 3 2b b b- + - Mà ( ) ( ) 3 2 3 2 1 1 2 3 4 3 2 4 b b b b b b = - + - + - + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 6 4 2 4 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 4 5 4 3 2 3 2 2 2 2 3 2 4 3 2 4 6 9 4 16 16 3 2 4 3 2 4 3 2 4 5 30 9 20 16 16 2 6 3 2 4 3 2 9 2 3 4 3 6 9 12 5 10 2 9 12 2 5 9 8 2 2 4 2 8 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b + + + + + + = + + - - - + - + + + + + + + = = + + - - - - - + + + - =- - + + + - - - - + - - - =- = - - + - - - = = ( ) 2 1 1 4 2 b + æ ö + ÷ ç =- ÷ ç ÷ ç è ø Nên 2 2 3 3 2 1 1 1 4 3 2 2 3 4 2 b b b b b b b æ ö + ÷ ç =- = ÷ ç ÷ ç è ø - + - - + - Vậy B = 2 3 2 4 3 2b b b- + - = 2. 2 2 3 1 1 2. 4 3 2 2 b b b b æ ö + ÷ ç = ÷ ç ÷ ç è ø - + - = 2. 4 1 1 5 1 2 b b + = + = + Bài toán 4 : Chứng minh rằng : Nếu ax 3 = by 3 = cz 3 và 1 1 1 1 và x 0 ; y 0 ; z 0 x y z + + = ¹ ¹ ¹ Thì 2 2 2 3 3 3 3 ax by cz a b c+ + = + + Giải : Đặt A = 2 2 2 3 ax by cz+ + Ta có : A = 3 3 3 3 3 3 3 3 ax by cz ax ax ax x y z x y z + + = + + = 3 3 3 1 1 1 ax .x a x y z æ ö ÷ ç + + ÷= ç ÷ ç ÷ ç è ø ương tự ta cũng có : A = 3 3 và A =z cy b Do đó : 3 3 3 ; ; A A A a b c x y z = = = Suy ra : 3 3 3 3 3 3 1 1 1 A A A a b c x y z A a b c x y z + + = + + æ ö ÷ ç + + ÷= + + ç ÷ ç ÷ ç è ø Do 1 1 1 1 nên x y z + + = A = 3 3 3 a b c+ + Vậy : 2 2 2 3 3 3 3 ax by cz a b c+ + = + + Bài toán 5: Giải phương trình ( ) 3 1 1 2 1 2x x x- + + - = - Giải : ( ) 3 1 1 2 1 2x x x- + + - = - ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 0 x x x x x Û - + + - + + - = Û - + + - + - = Đặt 1 1x- + = t . Ta có : t 3 +t 2 -2 = 0 Û t 3 - t 2 + 2t 2 – 2t +2t – 2 = 0 Û t 2 ( t – 1 ) + 2t ( t – 1 ) + 2 ( t – 1 ) = 0 Û ( t – 1 ) ( t 2 + 2t + 2 ) = 0 Û t = 1 . Vì t 2 + 2t + 2 = ( t +1 ) 2 + 1 f 0 Với t = 1 ta có : 1 1x- + = 1 Û 1 0 1x x- = Û = Bài toán 6 : Phương trình quy về được phương trình bậc hai Giải phương trình : 2 2 3 21 18 2 7 7 5x x x x+ + + + + = Giải : Đặt : 2 7 7 x x y+ + = với y f 0 Suy ra : x 2 + 7x +7 = y 2 Ta có : 3( x 2 + 7x +7 ) + 2 2 7 7x x+ + - 5 = 0 3y 2 +2y – 5 = 0 Suy ra : y 1 = 1 ; y 2 = - 5/2 ( loại ) Với y = 1 ta có : 2 7 7 1x x+ + = Û x 2 + 7x +6 = 0 Suy ra : x 1 = - 1 ; x 2 = - 6 Bài toán 7 : sử dụng hai ẩn phụ để giải toán Giải phương trình : ( ) 2 3 2 2 5 1x x+ = + Giải : Đặt u = 1x + và v = 2 1x x- + với x ³ -1 ; u f 0 ; v f 0 Ta có u 2 = x + 1 ; v 2 = x 2 – x + 1 ; uv = x 3 + 1 x 2 = v 2 + x – 1 Û x 2 + 2 = v 2 + x + 1 = v 2 + u 2 Do đó : 2 ( u 2 + v 2 ) = 5 uv Û 2u 2 +2v 2 – 5 uv = 0 Û 2u 2 – 4 uv + 2v 2 – uv = 0 Û 2u ( u – 2 v ) – v ( u – 2 v ) = 0 Û ( u – 2 v ) ( 2u – v ) = 0 Suy ra : u = 2v hoặc v = 2u * Với u = 2v thì 1x + = 2 2 1x x- + Û x+1 = 4 ( x 2 – x + 1 ) Û 4x 2 – 5x + 3 = 0 . Vô nghiệm * Với v = 2u thì 2 1x x- + = 2 1x + Û x 2 – 5x - 3 = 0 Û x = 5 37 2 + và x = 5 37 2 - Bài toán 8 : Dùng ẩn phụ để đưa về hệ phương trình Giải phương trình 3 1 2 x+ + 1 2 x- =1 Giải : Đặt : 3 1 2 x+ = u và 1 2 x- = v với v ³ 0 Ta có : u 3 + v 2 = 1 2 + x + 1 2 - x = 1 Ta có hệ phương trình : 3 2 1 1 u v u v ì + = ï ï í ï + = ï î Û ( ) ( ) 3 2 1 1 1 0 u v v v ì = - ï ï ï í ï - - - = ï ï î ( 1 v ) 3 - ( 1 v 2 ) = 0 ( 1 v ) ( ) ( ) 2 1 1v v ộ ự - - + ờ ỳ ở ỷ = 0 ( 1 v )( 1 2v + v 2 1 v ) = 0 ( 1 v )( v 2 3v ) = 0 v( 1 v )( v 3 ) = 0 v = 0 ; v = 1 ; v = 3 * Vi v = 0 Ta cú : 1 2 x- = 0 x = 1 2 * Vi v = 1 Ta cú : 1 2 x- = 1 x = - 1 2 * Vi v = 3 Ta cú : 1 2 x- = 3 x = - 17 2 Vy tp nghim ca h phng trỡnh : 17 1 1 ; ; 2 2 2 ỡ ỹ ù ù ù ù - - ớ ý ù ù ù ù ợ ỵ Bi toỏn 9 : Gii h phng trỡnh 5 2 5 0 x y y x x y ỡ ù ù + = ù ù ớ ù ù ù + - = ù ợ Gii : t : x y = t thỡ y x = 1 t vi t > 0 Ta cú : t + 1 t = 5 2 2t 2 5t + 2 = 0 2 1 2 t t ộ = ờ ờ ờ = ờ ở * Vi t = 2 thỡ x y = 2 x = 4y Ta cú 4 4 5 1 x y x x y y ỡ ỡ = = ù ù ù ù ớ ớ ù ù + = = ù ù ợ ợ * Vi t = 1 2 thỡ x y = 1 2 4x = y Ta cú : 4 1 5 4 x y x x y y ỡ ỡ = = ù ù ù ù ớ ớ ù ù + = = ù ù ợ ợ Vy nghim ca h phng trỡnh : ( x = 4 ; y = 1 ) v ( x = 1 ; y = 4 ) Bài toán 10 : Phân tích thành nhân tử a/ A = ( x 2 + x ) 2 + 4x 2 + 4x – 12 b/ B = ( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 )( x + 4 ) – 3 Giải : a/ / A = ( x 2 + x ) 2 + 4x 2 + 4x – 12 Đặt : x 2 + x = y ta có : y 2 + y – 12 = y 2 – 2y + 6y – 12 = ( y – 2 )( y + 6 ) A = ( x 2 + x - 2 )( x 2 + x + 6 ) = ( x – 1 )( x + 2)( x 2 + x +6) b/ B = ( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 )( x + 4 ) – 3 = (x 2 + 5x + 4 ) ( x 2 + 5x + 6) – 3 Đặt : x 2 + 5x + 4 = t ta có t( t + 2 ) – 3 = t 2 + 2t – 3 = t 2 – t + 3t – 3 = ( t – 1 )( t + 3 ) Vậy B = ( x 2 + 5x + 3 ) ( x 2 + 5x + 7 ). Chân thành cám ơn. PHO ̀ NG GIA ́ O DU ̣ C – ĐA ̀ O TA ̣ O PHU ́ VANG TRƯƠ ̀ NG TRUNG HO ̣ C CƠ SƠ ̉ VINH THANH CHUYÊN ĐÊ ̀ DÙNG ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN Gia ́ o viên thư ̣ c hiê ̣ n : HÔ ̀ MINH SINH TÔ ̉ KHOA HO ̣ C TƯ ̣ NHIÊN 1 NĂM HO ̣ C 2010 - 2011 . thành cám ơn. PHO ̀ NG GIA ́ O DU ̣ C – ĐA ̀ O TA ̣ O PHU ́ VANG TRƯƠ ̀ NG TRUNG HO ̣ C CƠ SƠ ̉ VINH THANH CHUYÊN ĐÊ ̀ DÙNG ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN