Định lý về điều kiện chia hết: Nếu một số A chi hết cho một số B thì mọi số nguyên tố có trong B phải có trong A, số mũ mỗi số nguyên tố đó ít nhất phải bằng số mũ cữ số đó trong B... * [r]
(1)TÍNH CHIA ĐÚNG CỦA CÁC SỐ NGUYÊN SỐ NGUYÊN TỐ - BSCNN - USCLN I Tính chia hết các số nguyên: Định nghĩa: a gọi là chia hết cho b nào đạt ba điều kiện sau: * a = bq (r = 0) * a = kb (k là số nguyên, a là bội b) * b= a (k là số nguyên, b là ước a) k Đặc biệt : Số chia hết cho tất các số Tính chia hết: a Hai số a và a/ chia đúng cho d thì tổng chúng chia hết cho d Chứng minh : Vì a = dq và a/ = dq/ nên a ± a / = d (q ± q / ) Hệ quả: Một tổng đại số chia hết cho số số hạng tổng chia hết cho số đó b Tích nhiều số chia hết cho số thừa số tích chia hết cho số đó Hệ quả: a Md Þ ka Md (Béi sè cña a Md) a Md Þ a m Md c Nếu hai số a và b chia hết cho m, số không chia hết cho m thì a + b và a – b đề không chia hết cho m Nếu tổng hiệu hai số chia hết cho m và hai số chia hết cho m thì số còn lại chia hết cho m Qui ước: Chia hết: “M ” Không chia hết: “M” Điều kiện chia hết: a Chia hết cho và 5: * Nhận xét: Số dư phép chia số nguyên cho và số dư phép chia chữ số cuối cùng bên phải số đó cho và VÝ dô: abc = 100a + 10b + c = BS5 + BS5 + c abc = 100a + 10b + c = BS2 + BS2 + c Nh vËy abc vµ c chia cho hoÆc chia co cã cïng sè d VËy: Muèn abc chia hÕt cho vµ th× c chia hÕt cho vµ * Ta có điều kiện: - Một số chia hết cho chữ số tận cùng chia hết cho2 - Một số chia hết cho và 25 số hợp hai chữ số tận cùng bên phải số đó chia hết cho và 25 - Một số chia hết cho và 125 số hợp ba chữ số tận cùng bên phải số đó chia hết cho và 125 - Một số vừa chia hết cho và thì chia hết cho 10 - Một số vừa chia hết cho và 25 thì chia hết cho 100 - Một số vừa chia hết cho và 125 thì chia hết cho 1000 b Chia hết cho và 9: * Nhận xét: Số dư phép chia số nguyên cho và số dư phép chia tổng các chữ số số đó cho và http://kinhhoa.violet.vn Lop6.net (2) Thật vậy: 10 = = = Bs9 + = Bs3 + 100 = 99 = = Bs9 + = Bs3 + 10n = 99 + = Bs9 + = Bs3 + Vì số abcd = 1000a + 100b + 10c + d = = a(Bs9 + 1) + b(Bs9 + 1) + c(Bs9 + 1) + d = aBs9 + a + bBs9 + b + cBs9 + c + d = Bs9(a = b = c) + a = b = c = d = Bs9 + (a + b + c + d) * Điều kiện: Một số nguyên chia hết cho và tổng các chữ số nó chia hết cho và * Lưu ý: - Một số chia hết cho và thì chia hết cho 18 - Một số chia hết cho và thì chia hết cho 6, chia hết cho và thì chia hết cho 18 - Một số chia hết cho và thì chia hết cho 15, chia hết cho và thì chia hết cho 45 c Chia hết cho 11: Trong số nguyên N gọi L là tổng các chữ số hàng lẻ (Kể từ phải sang trái) và C là tổng các chữ số hàng chẵn (Kể từ phải qua trái), thì số dư phép chia N co 11 số dư hiệu (L – C) hay (C – L) ch 11 Thật vậy: 102 = 99 + = Bs11 + 104 = 999 + = Bs11 + 102n = Bs11 + 2n+1 Mặt khác: 10 = 102n.10 = Bs11 – Vì ta có số : abcdef = a.105 + b.104 + c.103 + d.102 + e.10 + f = a(Bs11 -1) + b(Bs11 + 1) + c(Bs11 - 1) + d(Bs11 + 1) + e(Bs11 - 1) + f ù é ù = é ëBs11+ (f + d + b )û- ëBs11+ (a + c + e)û ù = Bs11 + é ë(f + d + b)- (a + c + e)û * Điều kiện: Một số nguyên chia hết cho 11 hiệu tổng các chữ số hàng lẻ với tổng các chữ số hàng chẵn chia hết cho 11 Lưu ý : - Một số nguyên chia hết cho và 11 thì chia hết cho 22 - Một số nguyên chia hết cho và 11 thì chia hết cho 33 - Một số nguyên chia hết cho và 11 thì chia hết cho 55 - Một số nguyên chia hết cho và 11 thì chia hết cho 99 ……………………………………………………………………… Bài tập áp dụng: Chứng minh (a3 – a) chia hết cho Giải: Ta thấy a3 – a = a(a2 -1) = a.(a + 1)(a – 1) = (a – 1)a(a + 1) Đây là tích ba số tự nhiên liên tiếp đó có ít là thừa số là bội Nghĩa là: (a3 – a) chia hết cho ………………………………… Chứng minh (2n + 1)2 – chia hết cho Giải: Ta có (2n + 1) – = 4n2 + 4n + – = 4n2 + 4n = 4n(n + 1) Đây là tích thừa số đó có thừa số và thừa số còn lại là hai số nguyên liên tiếp, cho nên tích trên vừa chia hết cho vừa chia hết cho http://kinhhoa.violet.vn Lop6.net (3) Do đó (2n + 1)2 – chia hết cho ………………………………… x chia hết cho Hãy tìm số ? Giải: 3x2 M3 Û (3 + x + 2) M3 Û (5 + x)M3 Mµ x ³ vµ x £ nªn ta sÏ cã: Cho số ìï x = Þ ïï (5 + x) M3 Û ïíï x = Þ ïï ïïî x = Þ (5 + 1) = M3 (5 + 4) = M3 (5 + 7) = 12 M3 VËy c¸c sè cÇn t×m lµ: 312; 342; 372 Tìm số 80x2 Giải: , biÕt r»ng chia cho 11 cßn d 80x2 = Bs11 + => 80x2 + = Bs11 = 80x6 Vậy theo điều kiện chia hết cho 11 ta có: (8 + x) – (0+ 6) = 11k (k nguyên) hay 11k hay x = 11k – Vì £ x £ nªn k = th× x = Số phải tìm là: 8092 ……………………………………… Tìm số 742 x, Giải : 8+x–6=x+2= biết số đó chia hết cho và * 742x M4 nªn 2x M4 vµ 2x cã thÓ lµ: 20; 24; 28 Tøc lµ x = 0; 4; * 742x M3 nªn (7 + + + x) M3 => 13 + x = Bs3 => x = Bs3 -1= Bs3 + = 3k +2 Mµ £ x £ nªn k = => x =2 k = => x = k = => x = So s¸nh c¶ hai ®iÒu kiÖn th× ta thÊy r»ng chØ cã x = lµ thÝch hîp VËy sè ph¶i t×m lµ 7428 ………………………………………… Cho số N gồm chữ số khác không Biết chữ số hàng nghìn chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm chữ số hàng chục a Chứng minh N chia hết cho 11 b Tính N N chia hết cho và Giải: a Theo đề bài ta biểu diễn số phải tìm sau: abba Khi đó muốn cho abba chia hết cho 11 é thì ê(a + b)- ( b + a )ù ú M11 ë û Thật vậy: (a + b) – (b + a) = a + b – b – a = Mà M11 nên abba M11 b - N chia hết cho nên chữ số cuối cùng bên phải a = 5, theo điều kiện bài là a khác nên a = số phải tìm có dạng: 5bb5 http://kinhhoa.violet.vn Lop6.net (4) - N chia hÕt cho nªn (5 + b + b + 5) M9 Þ (10 + 2b)M9 Û (5 + b)M9 Û (5 + b)M9 mà b Ê nên có trường hợp b = VËy sè ph¶i t×m lµ: 5445 ………………………………………… Tìm số tự nhiên n cho: a) n + chia hết cho n – b) 2n + chia hết cho n + c) 2n + chia hết cho – n d) 3n chia hết cho – 2n e) 4n + chia hết cho 2n + Giải: Căn vào tính chất chia hết tổng, hiệu, tich tâ có thể rút phương pháp chung để giải loại toán này dựa vào nhận xét sau đây: th× (mA ± nB)MB (m, n Î N* ) (n + 2) M(n – 1) suy [(n + 2) – (n – 1)] M(n – 1) hay Nếu A MB a) ước Với n – = ta suy n = Với n – = ta suy n = Vậy với n = n = thì n + chia hết cho n – M(n – 1) Do đó (n -1) phải là b) (2n + 7) M(n + 1) => [(2n + 7) – 2(n + 1)] M(n + 1) => M (n + 1) Với n + = thì n = Với n + = thì n = Số n phải tìm là c) (2n + 1) M (6 – n) => [(2n + 1) + 2(6 - n)]M (6 – n) => 13 M (6 – n) Với – n = thì n = Với – n = 13 thì không có sô tự nhiên nào thỏa mãn Vậy với n = thì 2n + chia hết cho – n d) 3n M (5 – 2n) => [2.3n + 3(5 – 2n)] M ((5 – 2n) => 15 M (5 – 2n) Với – 2n = thì n = Với – 2n = thì n = Với – 2n = thì n = Với – n = 15 thì không có số tự nhiên n nào thỏa mãn Vậy với n lấy các giá trị 0, 1, thì 3n chia hết cho – 2n e) Ta thấy với số tự nhiên n thì 4n + = 2(2n + 1) + là số lẻ và 2n + = 2(n + 3) là số chẵn Một số chẵn không thể là ước số lẻ Vậy không thể có số tự nhiên n nào để 4n + chia hết cho 2n + ………………………………………… Với a, b là các chữ số khác 0, chứng minh: (abab - baba)M9 vµ 101 (a > b) Giải: http://kinhhoa.violet.vn Lop6.net (5) abab - baba = (1000a + 100b + 10a + b) - (1000b + 100a + 10b + a) = (1000 + 10 - 100 - 1)a - (1000 + 10 - 100 - 1)b = 909a - 909b = 101.(a - b) Vậy: với a > b ta có (abab - baba)M9 vµ 101 ………………………………………… Tìm tất các số có chữ số có dạng : Giải: 34x5y mà chia hết cho 36 34x5y vừa chia hết cho vừa chia hết cho Để 34x5y M9 ta ph¶i cã (3 + +x + + y) M9 Vì x và y là các chữ số nên có thể x + y = Vì 36 = 9.4 nên số x + y = 15 Mặt khác 34x5y M4 nªn 5y M4, suy y = hoÆc y = Kết hợp với các điều kiện trên, ta có : Nếu y = thì x = – = Nếu y = thì x = – = x = 15 – = Vậy các số phải tìm là : 34452 ; 34056 ; 34956 …………………………………… 10 Cho A = 9999931999 – 555571997 Chứng minh A chia hết cho Giải: Để chứng minh A chia hết cho 5, ta xét chữ số tận cùng A việc xét chữ số tận cùng số hạng Ta có: 31999 = (34)499.33 = 81499.27 Suy số bị trừ có số tận cùng Mặt khác: 71997 =(74)499.7 = 2041499.7 Do đó số trừ có tận cùng bằn Vậy A tận cùng (7 – 7=) 0, nên A chia hết cho 11 Cho số tự nhiên A người ta đổi chỗ các chữ số A để số B gấp ba lần số A Chứng minh số B chia hết cho 27 Giải: Theo đầu bài ta có B = 3A (1) , suy B M3, tổng các chữ số B và A (vì người ta đổi chỗ các chữ số) nên ta có A M3 (2) Từ (1) và (2) suy B M9 Nếu thì A M9 (vì các chữ số chúng nhau) (3) Từ (1) và (3) ta suy B M27 …………………………………… 12 Cho B = 88 .88 14442 4443 - + n Chøng minh r»ng B chia hÕt cho n ch÷ sè Giải: B = 88 - 8n + 9n - { Ta viết B dạng sau: n = 8(11 - n) + (n - 1) { n Vì n chính là tổng các chữ số số 11 nªn 11 - n chia hÕt cho { { n http://kinhhoa.violet.vn n Lop6.net (6) Từ đó suy B chia hết cho …………………………………… 13 Tìm số tự nhiên viết chữ số 1, hai chữ số 2, ba chữ số 3, … , chữ số cho số này lại lập phương số tự nhiên Giải: Giả sử số tự nhiên N viết chữ số 1, chữ số 2, chữ số 3,… ,9 chữ số 9.Như tổng các chữ số số N bằng: + 2.2 + 3.3 + ….+ 9.9 = 285 Số 285 chia hết cho không chia hết cho Nếu thì N không thể là lập phương số tự nhiên (vì n = a3 M3 thì là số nguyên tố nên a3 ch hết cho 3.3.3.) Vậy không có số tự nhiên nào thỏa mãn điều kiện đầu bài ……………………………………… 14 Có bao nhiêu số có chữ số thỏa mãn hai điều kiện sau: a Chia hết cho b Có ít chữ số Giải: Số các số có chữ số là: 99999 – 10000 + = 90000 (số) Cứ ba số tự nhiên liên tiếp lại có số chia hết cho nên số các số có chữ số chia hết cho là: 90000 : = 30000 (số) Bây giờ, ta tìm các số có chữ số chia hết cho mà không có chữ số nào Có cách chọn chữ số hàng vạn (chọn các số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9) Có cách chọn chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục (chọn các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9) Có cách chọn chữ số hàng đơn vị (phụ thuộc vào tổng các chữ số bốn hàng trên để chia hết cho nên là 0, 3, là 1, 4, là 2, 5, Do đó số các số có chữ số chia hết cho mà không có chữ số nào là: 8.9.9.9.3 = 17496 (số) Vậy số các số có chữ số thoả mãn hai điều kiện đầu bài là: 30000 – 17796 = 12504 (số) 15 Chứng minh A = 10n + 18n – chia hết cho 27 Giải: Ta viết số A dạng sau: A = 10n + 18n – = 10n – – 9n + 27 n = 99 9n + 27n n = 9(11 n) + 27n n n lµ tæng c¸c ch÷ sè cña 11 nªn (11 n) n n Từ đó suy A 27 với n tự nhiên …………………………………………………………………………… II SỐ NGUYÊN TỐ Định nghĩa : Số nguyên tố là số có hai ước số là và chính nó Lưu ý : - Hai số gọi là nguyên tố cùng UCLN chúng - Hợp số là số có từ ước số trở lên - Số chính phương là số bình phương các số tự nhiên http://kinhhoa.violet.vn Lop6.net (7) Định lý và tìm các số nguyên tố : a Định lý : Muốn tìm các số nguyên tố không lớn số N nào đó Ta viết tất các số tự nhiên từ đến N Sau đó bỏ số và các bội số các số nguyên tố không lớn N , trừ chính số đó Những số còn lại là số nguyên tố b Định lý : Muốn phát xem số N cho trước có phải là số nguyên tố không ta làm sau : Lần lượt đem chia N cho các số nguyên tố từ nhỏ đến lớn và dừng lại thương số nhỏ số chia Nếu các phép chia trên tất các số dư khác không thì N chắn là số nguyên tố Phân tích số thừa số nguyên tố: a Định lý: Mọi số phức hợp phân tích nhiều thừa số nguyên tố Phép phân tích này có cách độc b Định lý điều kiện chia hết: Nếu số A chi hết cho số B thì số nguyên tố có B phải có A, số mũ số nguyên tố đó ít phải số mũ cữ số đó B , , , Tæng qu¸t: A = a m bn c p vµ B = a m bn c p (a, b, c lµ c¸c sè nguyªn tè vµ nÕu m ³ m,; n ³ n,; p ³ p, th× A MB) Chú ý : * Nếu số chia hết cho hai số nguyên tố cùng thì nó chia hết cho tích hai số đó * Nếu tích ab chia hết cho m, đó b và m là hai số nguyên tố cùng thì a chia hết cho m c Cách làm: Muốn phân tích số N thừa số nguyên tố, ta chia N cho số nguyên tố từ đến (không theo thứ tự), đến nào thương là thì dừng lại Ví dụ: 10200 510 255 85 17 1020 = 22.3.5.17 Cách tìm các ước số số N: b g * Ta phân tích số đó thừa số nguyên tố: N = aa b c * Số các ước số N là tích x = (a + 1)(b + 1)(g + 1) * các ước số có giá trị theo công thức: P = (1 + a + a2 + a3 + + a a )(1 + b + b2 + b3 + + b a )(c + ) Bài tập áp dụng: Phân tích các số sau thừa số nguyên tố: 10200; 11274 Giải: 10200 5100 2550 1275 2 11274 5637 1879 http://kinhhoa.violet.vn Lop6.net (8) 10200 = 23.3.52.17 255 51 17 17 Tìm xem 72 có bao nhiêu ước số? Liệt kê các ước số đó ? Giải: Áp dụng định lý tìm ước số số ta làm sau: a b + Phân tích 72 thừa số nguyên tố: 72 = 23 32 = + Vậy số ước 72 là: n = (a + 1) (b + 1) = (3 + 1) (2 + 1) = 12 + Giá trị các ước số dó là : ( P = (1 + a + a2 +….+ aa ) + b + b2 + + b b ) Ta có P = (1 + + 22 + 23).(1 + + 32) = (1 + + + 8).(1 + + ) = + + + + + 18 + + 12 + 36 + + 24 + 72 Vậy các ước số là 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 24, 36, 72 và …………………………………… Tìm số nhỏ có 15 ước số ? Giải : b g Gọi số nhỏ đó là N ; Ta thấy N = aa b c và số ước số tính công thức: n = (a + 1)(b + 1)(g+ 1) Ở đây số US 15.1 3.5 5.3 Vậy: - N = 15.1 thì n = (a + 1) (b + 1) Û a = 14 vµ b = và số đó là: N = 214 30 = 214 = 16348 - Nếu n = 3.5 thì n = (a + 1) (b + 1) Û a = vµ b = và số đó là : N = 22.34 = 324 - Nếu n = 5.3 thì n = (a + 1) (b + 1) Û a = vµ b = và số đó là : N = 24.32 = 144 So sánh ba số vừa tìm thì số 144 thỏa mãn là nhỏ và bảo đảm có 15 ước số ……………………………………… Cho số N phân tích thừa số nguyên tố có dạng: N = 2x.5y, biết N có 15 ước số Nhưng đem chia cho thì số cjỉ còn ước số Tìm số N ? Giải : Theo bài ta có: N = 2x.5y (1) n = (x + 1)(y + 1) = 15 (2) N th× n, = Từ (2) ta có xy + x + y = 14 (3) (4) N 2x 5y 2x 5y = = = 2x-3.5y và n = (x – + 1).(y + 1) = Mặt khác 8 23 => (x – 2)(y + 1) = => xy + x – 2y – = => xy + x – 2y = Trừ vế (4) và (5) cho ta có : http://kinhhoa.violet.vn (5) Lop6.net (9) xy + x + y = 14 xy + x - 2y = 3y = y=2 Thay y = vào (5) ta có : 2x + x – = => 3x = 12 => x = Do đó N = 2x.5y = 24.52 = 16.25 = 400 ………………………………………… Hãy chứng tỏ số nguyên nào tạo thành ba chữ số giống chia hết cho 37 Giải : Gäi sè ph¶i t×m lµ xxx ta cã xxx = 100x + 10x + x 111x = 3.37x ®iÒu nµy chøng tá xxx M37 ………………………………………… Cho số N phân tích thừa số nguyên tố có dạng N = 2x.3y đem chi N cho thì số có 10 ước số Nếu đem chia N cho thì số có ước số Tìm số N ? Giải: Theo bài ta có : N 2x 3y = = 2x - 1.3y Þ n = (x - + 1)( y + 1) = 10 Û xy + x = 10 * 2 x N 3y = = 2x - 1.3y - Þ n = (x - + 1)( y -1 + 1) = Û xy = * (1) (2) Từ (1) 2.3 và (2) ta suy x = và y = Vậy N = 22 34 = 4.81 = 324 ………………………………………… Một số có chữ số giống có hai ước số là số nguyên tố Hãy tính số đó và các ước số nguyên tố nó ? Giải: Ta biểu diễn số N đó là aaaa = 1000a + 100a + 10a + a = 1111a = 101.11.1 => a = vµ sè N = 1111 C¸c íc sè cña nã lµ: 11 vµ 101 Tìm tất các số nguyên tố p và q cho các số 7p + q và pq + 11 là số nguyên tố Giải: Nếu pq + 11 là số nguyên tố thì nó phải là số lẻ (vì là số nguyên tố lớn 2) Suy ít các số p và q phải chẵn tức là a) Giả sử p = Khi đó 7p – q = 7.2 + q = 14 + q pq + 11 = 2q + 11 Nếu q = thì 14 + q = 14 + = 16 là hợp số Nếu q là số nguyên tố lớn thì nó không chia hết cho Với q = 3k + thì 14 + q = 14 + 3k + = 3(k + 5) là hợp số Với q = 3k + thì 2q + 11 = 2(3k + 2) + = 6(k + 1) là hợp số Vậy p = và q = là đáp số cần tìm b) Giả sử q = Lập luận tương tự phần a), ta có đáp số là : p = , q = Như các số nguyên tố cần tìm là : p = ; q = và p = ; q = Chứng tỏ với số tự nhiên n khác thì số : http://kinhhoa.violet.vn Lop6.net (10) 11 11 lµ hîp sè n ch÷ sè n ch÷ sè Giải: 11 11 = 11 00 11 n ch÷ sè n ch÷ sè (n + 1) ch sè n ch÷ sè (n + 1) ch sè = 11 (10n + 1) (n + 1) ch sè Số đã cho phân tích thành tích hai thừa số lớn VËy nã lµ hîp sè 10 Tìm tổng tất các số có ba chữ số mà số là tích số nguyên tố khác Giải: Ta bắt đầu xét các thừa số nguyên tố nhỏ Vì 2.3.5 = 30 ; 2.3.7 = 42 ; 2.3.11 = 66 nên các thừa số thứ tư có thể là các số nguyên tố sau đây : 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 Đối với tích thứ hai, ta có : 11, 13, 17, 19, 23 Đối với tích thứ có số là Như tổng tất các tích trên : 30.(7 + 11 + 13 + 17 = 19 + 23 + 29 + 31) + 42.(11 + 13 + 17 + 19 + 23) + 66.13 = 8814 Vì 2.3.13.17 > 1000 nên các trường hợp khác mà hai thừa số đầu 2.3 không thoả mãn đầu bài Với hai thừa số đầu là và ta có : 2.5.7.11.= 770 và 2.5.7.13 = 910 Vì 2.7.11.13 và 3.5.7.11 lớn 1000 nên không còn bốn số nguyên tố nào khác để tích chúng là số có ba chữ số Vậy tổng phải tìm là : 8844 + 770 + 910 = 10524 ……………………………………………………………… III ƯỚC SỐ CHUNG LỚN NHẤT – BỘI SỐ CHUNG NHỎ NHẤT Ước số chung lớn nhất: ƯSC: a Khi nhiều số cùng chia đúng cho d, thì ta nói d là ước số chung các số Ví dụ: 18 và 30 có các ước số chung là 1, 2, 3, Lưu ý: là ước chung tất các số b Ước số chung lớn (USCLN): Ước chung lớn nhiều số là số lớn chia hết cho các số Ví dụ: Trong các ước chung 18 và 30 : 1, 2, 3, thì là số lớn nên là USCLN 18 và 30 Kí hiệu: USCLN a và b là d viết là: USCLN(a,b) = d Ước số chung lớn số: (ta khảo sát USCLN a và b với a > b) a Trường hợp chia hết: a Mb hay a = bq - Như rõ ràng US b là US bq tức là a - Ta lại thấy b là US a b là USCLN a và b Định lý 1: Khi a chia hết cho b thì: * Tập hợp các USC a và b là tập hợp các ước số b * USCLN a và b là b b Trường hợp chia không hết: a = bq + r hay a – bq = r Vậy US a và b là US a và bq nên là US a – bq = r Mọi US b và r tất nhiên là US bq và r nên là US bq + r = a Nên ta có định lý 2: Khi a không chia hết cho b thì: http://kinhhoa.violet.vn 10 Lop6.net (11) * Tập hợp các USC a và b là tập hợp các ước số số dư áp chót rn phép chia liên định luật Ơ Cơ lit * Ước số chung lớn a và b là số dư rn c Chú ý: Thật tính Ơ Cơ lit có nội dung sau: Khi chia hai số a và b ta số dư r, lấy b chia cho r ta số dư r1, lấy r chia cho r1 số dư r2, lấy r1 chia cho r2 số dư r3, …… Vì số dư nhỏ dần nên đến lúc nào đó số dư lúc đó số dư đứng trước số dư phép chia trên gọi là số dư áp chót rn (trong định luật Ơ Cơ lit) Ví dụ: Tìm USCLN 19521 và 1357 ? * Ta có 19521 : 1357 = 14 dư 253 1357 : 253 = dư 92 253 : 92 = dư 69 92 : 69 = dư 23 69 : 23 = dư USCLN (19521, 1357) = 23 * Khi thực hành ta đặt: Thương số Phép chia Số dư 14 19521 1357 253 253 92 69 USCLN (19521, 1357) = 23 92 23 69 23 d Cách tìm USCLN số: Có cách Cách 1: * Nếu a chia hết cho b thì b là USCLN a và b * Nếu a không chia hết cho b thì USCLN a và b là số dư áp chót phép chia a cho b thuật tính Ơ Cơ lit Cách 2: Phân tích hai số thừa số nguyên tố lấy tích tất các thừa số chung Mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ các số đã cho đ Cách tìm USCLN nhiều số: Có cáh Cách 1: Tìm USCLN cặp số, sau đó tìm USCLN cặp đó a{ bc{ d Ví dụ: d d 142 444 243 1444 d Cách 2: Tìm USCLN số đầu bao nhiêu tìm USCLN USCLN đó với số thứ ……Cho đến USCLN USCLN lần thứ n – với số cuối cùng Ví dụ: a{ b c d 44 14d42 d42 444 1444 43 d3 e Tính chất USCLN: * T/c 1: Tập hợp các USC nhiều số a, b, c, d …… là tập hợp các ước số USCLN * T/c 2: Khi nhân (hay chia đúng) nhiều số a, b, c, d …… cho cùng số m thì USCLN chúng nhân hay chia cho m * T/c 3: Điều kiện có và đủ để d là USCLN nhiều số a, b, c, d,… Là thương số a b c d ; ; ; …… nguyên tố cùng d d d d Chú ý: Khi chia nhiều số a, b, c, d … cho USCLN chúng thì nhiều số nguyên tố cùng http://kinhhoa.violet.vn 11 Lop6.net (12) f Ứng dụng vào tính chia hết: * Định lý 1: Nếu số N chia hết cho nhiều số a, b, c, nguyên tố cùng thì N chia hết cho tích a.b.c Ví dụ: N M2 và thì N M6 N M3 và thì N M12 N M3 và thì N M15 * Định lý 2: Nếu số N nguyên tố với nhiều số a, b, c thì N nguyên tố với a.b.c => (a và b nguyên tố cùng thì am và bm nguyên tố cùng ………………………………………………………………………………… Bội số chung nhỏ : a Bội số chung : Bội số chung nhiều số là số chia hết cho các số đó Ví dụ : 48 là BSC 6, 12, 16 b Bội số chung nhỏ (BSCNN) : BSCNN nhiều số là số nhỏ chia hết cho các số đó (Ký hiệu là D) Bội số chung nhỏ số: a Định lý : Khi hai số A và B coc BSCNN là D và USCLN là d thì : Dxd=AxB b Cách tìm BSCNN hai số : ta làm theo cách Cách 1: Dựa vào định lý trên : D= A.B Nếu d = thì D = A.B d Cách 2: Phân tích các số dố thừa số nguyên tố, đem nhân tất các thừa số nguyên tố với nhau, thừa số với số mũ cao / b / g/ b / æ ö b g Ví dụ : A = aa b c ; B = aa b c d çça > a / ; b > b / ; g > g / ÷ thì : ÷ ÷ è ø b g b/ D = aa b c d c Cách tìm BSCNN cảu nhiều số : (Tương tự cách tìm USCLN nhiều số) d Tính chất BSCNN : * Ngoài các t/c tương tự t/c USCLN còn có tính chất sau : Điều kiện có và đủ để D là BSCNN nhiều số A, B, … Là các thương D D ; ; lµ nguyªn tè cïng A B Chú ý : Khi chia BSCNN nhiều số cho các số ấy, thì nhiều số nguyên tố cùng Bài tập áp dụng : Chứng minh hai số nguyên liên tiếp thì nguyên tố cùng Giải: Ta có n và n + là hai số nguyên liên tiếp => USCLN (n, n + 1) = d Ta thấy n Md và (n + 1) Md nên [(n + 1) – n] Md hay Md Û d = Vậy (n, n + 1) = nên n và n + nguyên tố cùng ……………………………………… Chứng minh 2752 và 221 là hai số nguyên tố cùng Giải: 2752 và 221 nguyên tố cùng USCLN chúng là d = Vậy ta tìm USCLN 2752 và 221 Theo thuật toán Ơ Cơ lit ta có: http://kinhhoa.violet.vn 12 Lop6.net (13) 12 2752 221 100 21 16 100 21 16 USCLN (2752, 221) = nên 2752 và 221 nguyên tố cùng Chia 7600 và 629 cho số nguyên N thì các số dư là và Tính N Giải: N > (vì số dư là và 5) 7600 – = 7596 MN 629 – = 624 MN Vậy N là USC 7596 và 624 nên nó là US USCLN 7596 và 624 Ta tìm USCLN 7596 và 624 là 12 Các Ú 7596 và 624 là : 1, 2, 3, 4, 6, 12 Mà N > nên N = hay N = 12 ……………………………………… Tìm hai số nguyên, biết tổng số chúng là 192 và USCLN là 24 ? Giải : Gọi A và B là là hai số phải tìm, a và b là các thương số chúng với 24 Ta có A = 24a ; b = 24b Hay A + B = 24(a + b) = 192 => (a + b) = 192 : 24 = Mặt khác theo định lý thì : Vậy: ( A B = a, = b) = nªn (a, b) = 24 24 a = => = a = => b = (không hợp lý) a = => b = a = => b = (không hợp lý) Do đó số phải tìm là: a = 1, b = => A = 24 ; B = 168 a = 3, b = => A = 72 ; B = 120 …………………………………… Cho ba số chẵn liên tiếp, chứng minh tích ba số chia hết cho 48 Giải: Gọi 2n, 2n + 2, 2n + là ba số chẵn liên tiếp Ta có 2.(2n + 2)(2n + 4) = 8n(n + 1)(n + 2) n(n + 1)(n + 2) là tích ba số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho và số chia hết cho Suy n(n + 1)(n + 2) M8 Vậy ta có 8n(n + 1)(n + 2) M48 Tìm BSCNN 3080 và 1100 ? Giải : * Ta tìm theo cách : 3080 1100 880 220 => d = (3080, 1100) = 220 Vậy : D = 880 220 3080.1100 = 15400 220 …………………………………… Tìm hai số A và B, biết USCLN và BSCNN 120 Giải : Gọi BSCNN A và B là D, USCNN A và B là d Ta có : A.B = D.d http://kinhhoa.violet.vn 13 Lop6.net (14) Nếu a= A B A B D.d D 120 vµ b = th× a.b = = = = = 20 d d d d d d Như a và b xẩy các trường hợp sau: ïìï a = ïì a = 10 ïì a = ïì a = 20 ; ïí ; ïí ; ïí í ïï b = 10 ïï b = ïï b = 20 ïï b = î î î î ïì a = ïì a = ; ïí Như vì (a, b) = nên có thể ïí ïîï b = 20 ïîï b = Suy ra: * * ; ïìï a = í ïï b = î ; ïìï a = í îïï b = A = ad = 1.6 = A = 20.6 = 120 hoÆc B = bd = 20.6 = 120 B = 1.6 = A = ad = 4.6 = 24 A = 5.6 = 30 hoÆc B = bd = 5.6 = 30 B = 4.6 = 24 ………………………………… Tìm số nhỏ 400 mà chia cho 2, 3, 4, 5, dư Khi chia cho thì không còn dư Giải: N – = BSC 2, 3, 4, 5, Như N = BS BSCNN (2,3,4,5,6) = 60 Số đó có thể là : 61, 121, 181, 241, 301, 361 Căn theo điều kiện là N M7 nên ta có N = 301 ……………………………………… Tìm hai số biết tổng chúng là 288 và USCLN chúng là 24 Giải: Gọi hai số phải tìm là a và b (giả sử a £ b ) Ta có a + b = 288 và (a,b) =24 Vì 24 là ƯSCLN a và b nên ta có thể viết a = 24a,, b = 24 b, đó a, và b, là hai số tự nhiên nguyên tố cùng và a, £ b, Do đó : 24a, + 24b = 288 24(a, + b, ) = 288 a, + b ¢= 288 : 24 = 12 12 có thể là tổng hai cặp số nguyên tố cùng nhau: và 11, và Víi a, = 1, b, = 11 ta cã a = 1.24 = 24, b = 11.24 = 264 Víi a, = 5, b, = ta cã a = 5.24 = 120, b = 7.24 = 168 Hai số phải tìm là : 24 và 264, 120 và 168 ……………………………………… 10 Tìm hai số biết tích chúng là 4320 và BSCNN chúng là 360 Giải: Gọi hai số phải tìm là a và b (giả sử a £ b ), gọi d = (a, b) nên a = a’.d, b = b’.d đó (a’,b’) = Ta đã biết: [a,b] = a.b Từ đó ta có a.b = a’.b’.d2 và [a,b] = a’b’d (a,b) http://kinhhoa.violet.vn 14 Lop6.net (15) Theo đầu bài, ta suy ra: d= 4320 360 = 12 vµ a, b, = = 30 360 12 Đảo lại, (a’,b’) = và a’.b’ = 30 thì các số a = a’.12 và b = b’.12 có tích 4320 và có BCNN là 360 Vậy cần tìm hai số a ’ b’ nguyên tố cùng (a đê bđ) vẾ cọ tÝch bÍng 30 Ta cọ bảng sau: a’ b’ 30 15 10 a 12 24 36 60 b 360 180 120 72 Vậy các cặp số phải tìm là : 12 và 360, 24 và 180, 36 và 120, 60 và 72 ……………………………………… 11 Một số chia cho dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13 Hỏi số đó chia cho 1292 dư bao nhiêu? Giải: Gọi số đã cho là A Theo bài ta có: A = 4q1 + = 17q2 + = 19q3 + 13 (q1, q2, q3 Î N ) Nếu ta thêm vào số đã cho 25 thì ta có: A + 25 = 4q1 + + 25 = 4.(q1 + 7) = 17q2 + + 25) = 17.(q2 + 2) = 19q3 + 13 + 25 = 19.(q3 + 2) Như A + 25 đồng thời chia hết cho 4, 17, 19 Nhưng 4, 17, 19 là ba số đôi nguyên tố cùng nhau, suy A + 25 chia hết cho 4.17.19 = 1292 Vậy A + 25 = 1292.k (k = 1, 2, 3, 4,….) Suy A = 1292k – 25 = 1292 (k – 1) + 1267 = 1292 k’ + 1267 Do 1267 < 1292 nên 1267 là số dư phép chia số đã cho A cho 1292 ……………………………………… 12 Tìm hai số biết hiệu BSCNN và ƯSCLN chúng 18 Giải: Gị hai số phải tìm là a và b, ƯSCLN a và b là d Ta có a = a’.d; b = b’.d (a’ và b’ là hai số nguyên tố cùng nhau) BCNN a và b là a’b’d Theo đầu bài ta có: a’b’d – d = 18 (a’b’ – 1)d = 18 => a’b’ = 1+ 18 d Vì a’b’ là số tự nhiên nên d phải là ước 18 Không tính tổng quát, ta giả sử a b, a , b, Ta cã b¶ng sau: d a’b’ 19 10 a’ 19 10 b’ 1 1 http://kinhhoa.violet.vn a 19 20 10 21 24 27 b 15 Lop6.net (16) 18 2 36 18 13 Tìm tất các số lớn 10000 nhỏ 15000 mà chia chúng cho 393 chia chúng cho 655 số dư là 210 Giải: Gọi số phải tìm là A Theo đầu bài ta có: 10000 < A < 15000 (1) A = 393q1 + 210 (2) A = 655q2 + 210 (3) (q1, q2 N) Từ (2) và (3) ta suy A – 210 chia hết cho 393 và 655 tức là A – 210 chia hết cho [393,655] = 1965 Do đó A – 210 = 1965 q (q N), nên A = 1965q + 210 Từ (1) suy q có thể 5, 6, Với q = thì A = 1965.5 + 210 = 10035 Với q = thì A = 1965.6 + 210 = 12000 Với q = thì A = 1965.7 + 210 = 13965 Vậy các số phải tìm là: 10035, 12000, 13965 ……………………………… 14 Cho các số tự nhiên khác là a, b, c cho: p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b Chứng minh hai các số p, q, r phải Giải: Trong ba số tự nhiên a, b, c phải có ít hai số cùng tính chẵn, lẻ Giả sử hai số đó Vì bc cùng tính chẵn lẻ với b nên p = bc + a chẵn, p lại là số nguyên tố, đó p = 2, suy b = a = Khi đó q = ab + c = + c = ca + = ca + r Nếu hai số cùng tính chẵn lẻ là a và c b và c thì lý luận tương tự, ta suy ba số nguyên tố p, q, r phải có hai số … …………………………………………………………………………… C: PHÂN SỐ I Các khái niệm bản: * a lµ ph©n sè víi a lµ tö sè, b lµ mÉu sè (a, b N, b 0) b Các số tự nhiên có thể coi là phân số có mẫu số * a lµ ph©n sè tèi gi¶n nÕu a, b nguyªn tè cïng tøc lµ (a,b) = b Các phân số chưa tối giản có phân số tối giản nó II Tính chất bản: a a.m a.n = = (m, n 0) Ta áp dụng t/c này để rút gọn phân số b b.m b.n a:n a = với n có thể là UCLN a và b (rút gọn lần để phân số tối giản) n b:n b có thể là các ước a và b (rút gọn nhiều lần) III Các cách so sánh hai phân số: 1) Qui đồng tử hay mẫu số: a Nếu hai phân số có cùng tử số, phân số nào có mẫu số ớn thì phân số đó nhỏ b Nếu hai phân số có cùng mẫu số, phân số nào có tử số lớn thì phân số đó lớn 2) Phân số phần bù đến đơn vị: http://kinhhoa.violet.vn 16 Lop6.net (17) Hai phân số nhỏ đơn vị, phân số phần bù đến đơn vị phân số nào lớn thì phân số đó nhỏ (hai phân số phần bù đến đơn vị có tử số nhau) 3) Phân số trung gian thứ 3: Thông thường có hai cách sau: a Chọn phân số trung gian thứ ba có cùng tử số với hai phân số đã cho, cùng mẫu số với phân số còn lại b Chọn phân số trung gian thứ ba thể mối quan hệ tử số và mẫu số hai phân số IV Bài tập áp dụng: So sánh hai phân số sau: Giải: 12 13 vµ 49 47 12 12 12 lµm ph©n sè trung gian, ta cã: (1) 47 49 47 12 13 12 13 (2) nªn tõ (1) vµ (2) ta suy 47 47 49 47 Ta chọn phân số Ta lại có: So sánh hai phân số: 15 24 vµ 59 97 Giải: Ta thấy 59 gấp gần lần 15; 97 gấp lần 24 15 15 59 60 15 24 Từ (1) và (2) 59 97 Ta có: Cho phân số hay bé a b (1); 24 24 97 96 (2) a (a < b) b Cùng thêm m đơn vị vào tử số và mẫu số thì phân số lớn ? Giải: Cách 1: Nếu a < b thì: a b-a (phần bù đến đơn vị) b b a+m b-a b-1 b-a b-1 b-a So sánh víi ta ®îc b+m b+m b b+m b b+m a a+m Vậy: b b+m Khi đó : Cách 2: Qui đồng mẫu số: MSC là b(b + m) http://kinhhoa.violet.vn 17 Lop6.net (18) a a(b + m) ab + am b b(b + m) b(b + m) a + m b(a + m) ab + bm b + m b(a + m) b(b + m) ab + am ab + bm So s¸nh víi cã cïng mÉu sè b(b + m) b(b + m) NÕu a < b th× ab + am < ab + bm ab + am ab + bm a a+m VËy: hay < b(b + m) b(b + m) b b+m Cách 3: Nếu a < b thì am < bm => ab + am < ab + bm => a(b + m) < b(a + m) => a a+m b b+m …………………………………… Tìm tất các số tự nhiên n > để Giải: n + 19 lµ ph©n sè tèi gi¶n n-2 Vì n là số cần tìm có tử số và mẫu số nên cần biến đổi cho n còn tử mẫu số n +19 thành tổng các phân số n-2 n + 19 n - + 21 n - 21 21 1 n -2 n-2 n-2 n-2 n-2 Muốn n + 19 21 lµ ph©n sè tèi gi¶n th× ph¶i lµ ph©n sè tèi gi¶n n-2 n-2 hay 21 và n – là nguyên tố cùng nhau, mà 21 chia hết cho và nên (n – 2) không chia hết cho và Vậy n 3k + vµ n 7k + (k N) th× n + 19 tèi gi¶n N -2 ………………………………………… Với giá trị nào số tự nhiên a thì: 5a - 11 có giá trị lớn nhất, giá trị đó là bao nhiêu? 4a - 13 Giải: a có giá trị lớn tử số a không đổi, mẫu số b là nhỏ b 5a - 11 cho a chØ cã ë mÉu sè Vậy cần biến đổi 4a - 13 5a - 11 4(5a - 11) 20a - 44 5(4a - 13) + 21 21 4a - 13 4(4a - 13) 4(4a - 13) 4(4a - 13) 4(4a - 13) 21 5a - 11 Muốn có giá trị lớn thì ta cần tìm với giá trị nào a để có giá trị 4(4a - 13) 4a - 13 Biết lớn http://kinhhoa.violet.vn 18 Lop6.net (19) Muèn 21 cã gi¸ trÞ lín nhÊt th× a ph¶i cã gi¸ trÞ nhá nhÊt 4(4a - 13) Giá trị nhỏ a để phép trừ 4a – 13 thực là a = Khi đó 5a - 11 5a - 11 3, đó là giá trị lớn 4a - 13 4a - 13 ……………………………………… Tính giá trị phân số: 2.4 2.4.8 4.8.16 8.16.32 3.4 2.6.8 4.12.16 8.24.32 Giải: Ta thấy tử và mẫu phân số là tổng bốn số hạng, số hạng là tích ba thừa số Ta có: 2.4 2.4.8 4.8.16 8.16.32 1.2.4 1.2.4.2.2.2 1.2.4.4.4.4 1.2.4.8.8.8 = 3.4 2.6.8 4.12.16 8.24.32 1.3.4 1.3.4.2.2.2 1.3.4.4.4.4 1.3.4.8.8.8 1.2.4(1 23 43 83 ) = 1.3.4(1 23 43 88 ) …………………………………… Tìm phân số tối giản biết giá trị nó không thay đổi cộng tử số với và mẫu số với Giải: a a a+6 Suy ra: Theo đầu bài ta có: b b b+8 a A(b + 8) = b(a + 6) => ab + 8a = ab + 6b => 8a = 6b => b Gọi phân số cần tìm là Vậy phân số đã cho là Cho phân số Giải: Giả sử ……………………………………… a a+b tèi gi¶n, h·y gi¶i thÝch còng tèi gi¶n b b a+b kh«ng tèi gi¶n th× a + b vµ b cã UCLN = d > Suy (a + b) chia hết b cho d và b chia hết cho d nên (a + b) – b chia hết cho d đó a chia hết cho d Điều đó có nghĩa là a và b cùng có UC là d khác 1, tức là phân số Vậy a kh«ng tèi gi¶n (®iÒu nµy tr¸i víi ®Çu bµi) b a+b lµ ph©n sè tèi gi¶n b ………………………………………… Chứng minh phân số sau tối giản với n là số tự nhiên lớn 0: 8n + 6n + http://kinhhoa.violet.vn 19 Lop6.net (20) Giải: Giả sử a là số tự nhiên lớn 0, phân số 6n +4) = d > Suy (8n + 5) 3(8n + 5)] = d vô lý Vậy 8n + 6n + không tối giản thì ƯCLN (8n + 5, d và (6n + 4) d Do đó [4(6n + 4) – 3(8n + 5)] d, mà [4(6n + 4) – 8n + lµ ph©n sè tèi gi¶n 6n + ……………………………………… 10 Tìm tất các số tự nhiên n lớn 0, để Giải: 4n + 5n + có thể rút gọn được? 4n + cã thÓ rót gän ®îc th× 4n + vµ 5n + có ƯCLN là d > 1, ta 5n + (4n +5) d và (5n + 4) d, đó (20n + 25) d (1) và (20n + 16) d (2) Từ (1) và(2) ta d, phân số rút gọn thì tử số và mẫu số chia hết cho Vì (5n + 4) và (4n + 5) chia hết cho nên (n – 1) hay n = 3k + (k 0) NÕu ………………………………… 11 Tìm tất các số tự nhiên n để: Giải: n 2n lµ sè tù nhiªn n-2 n 2n n (n - 2) + n n - 3 = n2 n-2 n-2 n-2 n-2 n-2 Muốn là số tự nhiên thì n – phải là ước 3, đó n – = n-2 n – = Vậy n = n = ……………………………………… 12 Hãy chứng tỏ rằng: Giải: Ta thấy từ 1 1 41 42 43 79 80 12 1 đến cã 40 ph©n sè 41 80 Tất các phân số trên có tử số là Ta có thể nhóm các phân số thành nhóm dựa vào kiến thức so sánh các phân số có tử số giống 1 1 41 42 43 79 80 1 1 1 = 59 60 61 62 79 80 41 42 1 1 vµ (2) Vì 41 60 61 80 Vậy: http://kinhhoa.violet.vn (1) 20 Lop6.net (21)