đề cuong môn phuong trinhh vi phân

[r]

Bµi 1: xy’ –y = (y-x)ln y x

x



Bµi lµm : xy’- y = (y-x)ln y x

x



 y’ -

y x = (

y

x -1)ln( y

x -1) (1)

®Ët

y

x = u  y = ux 

dy

dx = u + xdu

dx thay vào (1) ta đợc : u + xdu

dx - u = (u-1)ln(u-1)



xdu

dx = (u-1)ln(u-1)  ( 1) ln( 1)

du

u u =

dx

x  ( 1) ln( 1)

du dx

c u u  x 

  

ln( 1)

ln ln( 1) ln ln(u 1) cx ln( 1)

d u dx

c u x c

u x



        



   ln y x cx

x

 

Bµi 2: y’ =

y y x

tg

x x

 

Bµi lµm: y’ =

y y x

tg

x x

 

 y’ = ( 1)

y y

tg

x x (1) ®Ët y

x = u  y = ux 

dy

dx = u + xdu

dx thay vµo

(1) ta đợc: u +

xdu

dx = u + tg ( u-1) 

xdu

dx = tg ( u-1)

cos(u 1) du sin( 1)

ln ln

( 1) ( 1) sin( 1) sin( 1)

ln sin( 1) ln sin( 1) sin

du dx du dx d u

c x c x c

tg u x tg u x u u

y x

u x c u Cx Cx

x

 

          

   



        

   

Bµi 3: xy’-y = xtg y x Bµi lµm: xy’-y = xtg y

x  '

y y

y tg

x x

 

(1) ®Ët

y

x =u y = ux 

dy

dx = u + xdu

dx thay vµo (1)

ta đợc: u +

xdu

dx - u = tgu

cos sin

ln ln ln sin ln

sin sin

sin sin

du dx du dx udu d u

C x C x C u x C

tgu x tgu x u u

y

u Cx Cx

x

             

   

   

Bµi : xy’ – y = (y + x )ln y x

x



Bµi lµm: : xy’ – y = (y + x )ln y x

x



' y (y 1) ln(y 1)

y

x x x

    

(1)

đặt

y

x =u y = ux 

dy

dx = u + xdu

dx thay vào (1) ta đợc: u + xdu

dx - u = (u1)ln(u1) ( 10 ln( 1)

( 1) ln( 1) ( 1) ln(u 1)

ln( 1)

ln ln ln( 1) ln ln( 1) ln

ln( 1)

xdu du dx du dx

u u C

dx u u x u x

d u y x

x C u x C u Cx Cx

u x

        

   

 

           



 

Bµi 5: xy’ = y - x

y x

e

Bµi lµm: xy’ = y - x

y x

e '

y x

y

y e

x

  

(1)

đặt

y

x = u y = ux 

dy

dx = u + xdu

dx thay vào (1) ta đợc: u + xdu

dx = u -eu

ln ln ln ln

y

u u u x

u u

du dx du dx

C e du x C e x C x e C x e C

e x e x



  

                   

Bµi 6: (2x-4y)dx + (x + y) dy = 0

Bµi lµm:

4

4

1

y

dy y x dy x

y

dx x y dx

x

 

  





(1) đặt

y

x = u y = ux 

dy

dx = u + xdu

dx thay vµo

(1) ta đợc:

2

4

1

xdu u xdu u u

u

dx u dx u

  

   

 

( 1)

u du dx

u u x



 

 

( 1)

u du dx

C

u u x



  

 

 

( 1) 3

( ) ln ln

( 1)( 2) 2

u du dx du du

C du x C x C

u u x u u u u

  

          

     

    

3

1

2ln 3ln ln ln ln ln

( 1)

u u x C u x C

u

           



3

3

2

( ) ( )

ln ( ) ( )

( ) ( )

y x y x

C C y x C y x

y x y x

 

       

 

Bµi : Giải phương trình vi phân: (2x+3y)dx+(x+4y)dy=0 Bµi lµm: (2x+3y)dx + (x+4y)dy=0

4

2

2

x

dx x y dx y

x

dy x y dy

y

 

   



 (*)

đặt

x

y = u x = uy 

dx

dy = u + ydu

dy Vì vậy:

(*)

   

        

  

2

4 4

2 3

ydu u du u du u u

u y u y

dy u dy u dy u

2

(2 3)

2 4

u du dy

u u y



 

  Lấy tích phân hai vế ta được:

2

2

2

2

(2 3) (2 2)

2

2 4 2

( 2)

2 ln( 2) arctan(u+1)=-2ln|y|+C

2 ( 1)

u du dy u dy

du

u u y u u y

d u u dy

du u u

u u u y

  

  

   

 

      

   

   

  

Thay

x u

y



vào ta :

2

x

ln( 2) arctan( 1) ln | | , y

x x

y C C R

Bµi : y + xy’= 2 y y       

Bµi lµm : y + xy’= 2

2 y y       

2

2 2

2 ( 1)

( 1) ( 1) ( 1)

dy y dy y y dy y y

x y x x

dx y dx y dx y

              2 ( 1) ( 1)

y dy dx

y y x



 



2

2 2

( 1) 2

( ) ln ln

( 1) 1

y dy dx dy dy

C dy x C x C

y y x y y y y



          

  

    

ln y 2arctgy ln x C



Dạng 2:

Bài 1: xy’- 2y = 2x4

Bµi lµm: xy’ – 2y = 2x4  y’ -

3

2

y x

x  (*)

Giải phơng trình: y -

0

y

x 

2 2

0

dy dy dx dy dx

y C

dx x y x y x

        

2

ln y ln x C y Cx

 

Công thức nghiệm (*) : y=

2

3

2

1

2

dx dx

x x

e x e dx C x x dx C

x                    

2 2 2( )

x  xdx C x x C

   

 

Bµi 2: (2x+1)y’=4x+2y Bµi lµm: (2x+1)y’=4x+2y

2

'

2

x

y y

x x

  

 (*)

Giải phơng trình:

2 ' y y x   

2 2

2 2

dy y dy dx dy dx

C

dx x y x y x

      

    

(2 1)

dy d x

C

y x



  



   ln y ln 2x 1 C y C x (2 1)

Công thức nghiệm (*) y =

2

2 (2 1)

2 2

dx dx

x x x x

e e dx C x dx C

x x x

                            2

4 2

(2 1) (2 1) ( )

(2 1) (2 1)

xdx

x C x dx C

x x x

   

          

  

   

2

(2 1)

2 (2 1)

dx dx x C x x             

(2x 1)

 

1 ln

2 x C x          

Bµi 3: x(y’-y) = ex

Bµi lµm: x(y’-y) = ex  y’ - x e y x  (*)

Giải phơng trình: y - y 0

ln x

dy dy dy

y dx dx C y x C y Ce

dx y y

            

Theo c«ng thøc nghiƯm (*) cã nghiƯm lµ: y =

x x

dx e dx x e x

e e dx C e e dx C

x x                   ln x x

e dx C e x C

x

 

       

Bµi 4: x2y’ + xy + = 0

Bµi lµm: x2y’ + xy + = 0

1

'

y y

x x



(*)

Giải phơng tr×nh :

'

y y

x

  dy y dy dx dy dx C ln y ln x C

dx x y x y x

           y C1

x

 

Theo c«ng thøc nghiƯm (*) cã nghiƯm :

y =

1

2

1 1

dx dx

x x

e e dx C xdx C

x x x

       

   

   

 

  

1

dx C

x x



 

   

 

ln x C

x

    

Bµi 5: y = x(y’-cosx) Bµi lµm: y = x(y’-xcosx)

1

' cos

y y x x

x

  

(*)

Gi¶i phơng trình:

'

y y

x

  dy y dy dx dy dx C ln y ln x C

dx x y x y x

          

y Cx

 

Theo c«ng thøc nghiƯm (*) cã nghiƯm :

y

1

1

cos x cos

dx dx

x x

e x xe dx C x x dx C

x

 

     

        

 

   xcosxdx C  xsinx C  xsinx Cx

Bµi 6: y’ = 2x(x2+y)

Bµi lµm: y’ = 2x(x2+y)  y' xy2x3 (*)

Giải phơng trình: y' xy0

2

2 2 ln

dy dy dy

xy xdx xdx C y x c

dx y y

           x2

y Ce

  Theo c«ng thøc nghiƯm (*) cã nghiƯm :

y =

2

2 3 3

2

xdx xdx x x

e  x e dx C e  x e dx C 

  

   

  

2 2 2

2 ( )

x x

e  x e d x C



Đặt x2 = t

2

2

( )

x t

x e d x te dt

Đặt u = t  du dt ; dv = e-tdt  vet

t t t t t

te dt udv uv vdu te e dt te e

         

2 2

2 x ( )2 x x

x e d x x e e

   

2 2 2

2

x x x

y e  x e e C

    

 

Bµi 7: (xy’-1)lnx = 2y Bµi lµm: (xy’-1)lnx = 2y

2

' ln

y y

x x x

  

(*)

Giải phơng trình

2

'

ln

y y

x x

  2

ln ln ln

dy y dy dx dy dx

C

dx x x y x x y x x

       

2

(ln )

ln ln 2ln ln ln

ln

d x

y C y x C y C x

x

         

Theo c«ng thøc nghiÖm (*) cã nghiÖm :

y =

2

2

2 ln(ln ) ln ln

2

1 1

ln ln

ln

dx dx x

x x x x

e e dx C x e dx C x dx C

x x x x

 

        

    

     

   

   

2 2

2

(lnx)

ln ln ln

ln ln

d

x C x C C x

x x



   

          

bµi 8: xy’ + ( x+1)y = 3x2e-x

bµi lµm: xy’ + ( x+1)y = 3x2e-x

1

' x x

y y xe

x



Giải phơng trình :

1

' x

y y

x



  dy x 1y dy (x 1)dx dy (x 1)dx C

dx x y x y x

  

       

1

ln y (1 )dx C ln y ( dx dx) C ln y (x ln )x C

x x

             y C 1x

xe

  

Theo c«ng thøc nghiƯm (*) cã nghiÖm

y =

1

3

x dx x dx

x

x x

e xe e dx C

 





 

 



 

  

2

1 1

3 x x

x xe xe dx C x x dx C x x C

xe xe xe



     

       

   

2

x x

x C

e xe

Dạng :

Bài : y” + y’+ y = 4x + 16 e2x (1)

Bài làm : Giải phơng trình tơng ứng: y + 4y + 4y= (2)

Phơng trình đặc trng :

2

1

4

k  k   k k 

Nghiệm tổng quát phơng trình (2) : y0= c1e-2x+ c 2xe-2x

Tìm nghiệm riêng phơng trình: y + y+ y = 4x (3)

Vì khơng phải nghiệm phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng (3) :

Y1= (ax+b)e0x  y’1= a ; y1” = thay vào (3) ta đợc : 4a + 4(ax +b) = 4x  4(a+b) + 4ax =

4x

0

4

a b a

a b

  

 

   

 

Nghiệm riêng (3) y1= x 1

Tìm nghiệm riêng phơng tr×nh: y” + y’+ y = 16 e2x (4)

Vì khơng phải nghiệm phơng trình đặc trng nên nghiêm riêng (4) là: y2=ae2x

 y’2= 2ae2x vµ y”

2= 4ae2x thay vào (4) ta đợc 4ae2x+ 8ae2x + 4ae2x = 16e2x  a =

 NghiƯm riªng cđa (4) lµ: y2= e2x

 Nghiệm riêng phơng trình cho là: y1+y2= x-1+e2x

Vậy nghiệm tổng quát phơng trình cho là: y = C1e-2x +C2xe-2x +x-1+e2x

Bµi 2: y“- 2y’-3y = 4e2x- 8xex (1)

Bài làm: Giải phơng trình nhÊt t¬ng øng: y“- 2y’-3y = (2)

Phơng trình đặc trng:

2

1

2 1;

k  k   k  k 

 NghiÖm tổng quát phơng trình (2) : y0= c1e-x+ c 2e3x

* Tìm nghiệm riêng phơng trình: y“- 2y’-3y = 4e2x (3)

Vì khơng phải nghiệm phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng (3) : y1= ae2x

Y’1=2ae2x y1” = 4ae2x thay vào (3) ta đợc: 4ae2x-4ae2x-3ae2x = 4e2x  a

=-4  NghiƯm riªng cđa (3) y1=

-4 3e2x

* Tìm nghiệm riêng phơng trình: y- 2y-3y = - 8xex (4)

Vì khơng phải nghiệm phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng (4) là:

Y2= (ax+b)ex  y’2= aex+(ax+b)ex vµ y”2= aex + aex+(ax+b)ex= 2aex + (ax+b)ex Thay vµo (4) ta

đ-ợc: 2aex + (ax+b)ex - 2aex-2(ax+b)ex- 3(ax+b)ex = -8xex  -4axex – 4bex=-8xex  a=2;b=0

 NghiÖm riêng (4) là: y2= 2ex

Nghim riờng phơng trình cho là: y1+y2 =-4

3e2x + 2ex

Vậy nghiệm tổng quát phơng trình cho là: y = C1e-x +C2e3x

-4

Bµi 3: : y” + y-2y = 3ex -10sinx (1)

Bài làm: Giải phơng trình tơng ứng: y + y -2y= (2)

Phơng trình đặc trng :

2

1

2 1;

k  k   k  k 

 Nghiệm tổng quát phơng trình (2) : y0= c1ex+ c 2e-2x

* Tìm nghiệm riêng phơng trình: y + y-2y = 3ex (3)

Vì nghiệm phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng (3) là: y1= x aex=axex

 y1’= aex+axex vµ y

1” = aex+aex+axex=2aex+axex thay vào (3) ta đợc:

2aex+axex+ aex+axex-2axex=3ex  3aex=3ex a=1 Nghiệm riêng (3) là: y 1=xex

* Tìm nghiệm riêng phơng trình: y + y-2y = -10sinx

Vì i  0 1i i khơng nghiệm phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng (4) là: Y2= acosx+ bsinx  y’2= -asinx + bcosx y2”= -acosx – bsinx Thay vào (4) ta đợc :

-acosx – bsinx -asinx + bcosx - 2acosx - 2bsinx= -10sinx  (b-3a)cosx-(a+3b)sinx=-10sinx

3

3 10

b a a

a b b

  

 

    

  

  Nghiệm riêng (4) là: y2 = cosx+3sinx  Nghiệm riêng phơng trình cho là: y1+y2= xex+ cosx+3sinx

Vậy nghiệm tổng quát phơng trình cho là: y = C1ex +C2e2x +xex+ cosx+3sinx

Bài 4: y -3y +2y =36xe-x-10cosx

Bài làm: giải phơng trình tơng ứng : y -3y + 2y = (1)

Phơng trình đặc trng : k2 – 3k + =  k11;k2 2

 nghiƯm tỉng qu¸t cđa (1) lµ : y0 = c1ex + c 2e2x

Tìm nghiệm riêng phơng trình : y -3y + 2y = 36x e-x (2)

Vì -1 khơng phải nghiệm phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng (2) y1 = (ax +b) e-x '1 ae ( )

x x

y  ax b e

   

; y”1= -ae-x-ae-x+(ax+b)e-x=-2ae-x+(ax+b)e-x

thay vào (2) ta đợc

-2ae-x + (ax + b) e-x - 3a e-x+3(ax + b) e-x+ (ax+ b)e-x = 36xe-x  6axex (5a )b ex 36xex

6 36

5

a a

a b b

 

 

    

  

nghiệm riêng (2) là: y1 = (6x +5)e-x

* Tìm nghiệm riêng phơng trình : y”-3y’ + 2y = -10 cosx (3)

Vì i   0 i i nghiệm phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng (3) y2= acosx + bsinx  y’2= -asinx + bcosx  y” = -acosx- bsinx thay vào (3) ta đợc

-acosx- bsinx+ 3ainx -3bcosx +2acosx + 2bsinx = -10cosx  (a-3b) cosx + (3a+b)sinx = -10 cosx

3 10

3

a b a

a b b

  

 

    

  

  nghiƯm riªng cđa (3) lµ y2= -cosx + 3sinx

 nghiệm riêng phơng trình cho : y1+y2 = (6x +5)e-x -cosx + 3sinx

Kết luận : nghiệm tổng quát phơng trình cho :

y = y0+y1+y2 = c1ex+c2e2x+(6x +5)e-x -cosx +3sinx

bµi : y” +y =1 + 4sinx

Bài làm: giải phơng trình tơng ứng : y” + y = (1)

Phơng trình đặc trng : k2 + =  k1 i k; i

 nghiệm tổng quát (1) : y0 = c1eix + c 2e-ix

Tìm nghiệm riêng phơng tr×nh : y“ + y = (2)

Vì khơng phải nghiệm phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng (2)

y1= a  y’1 = ; y”1 = Thay vào (2) ta đợc a =  nghiệm riêng (2) l: y1=

* Tìm nghiệm riêng phơng trình : y+ y = 4sinx (3)

y” = - asinx + bcosx-asinx+bcosx+x(-acosx-bcosx)= -2asinx+ 2bcosx-(a+b)xcosx

thay vào (3) ta đợc : -2asinx + 2bcosx - (a+b)xcosx + x(acosx + bsinx) = 4sinx  -2asinx + 2bcosx-bxcosx +bxsinx = 4sinx  a = ; b =

 nghiệm riêng (3) y2= 4xcosx

nghiệm riêng phơng trình cho : y1+y2 = + 4xcosx Kết luận : nghiệm tổng quát phơng trình cho :

y = y0+y1+y2 = c1eix+c2e-ix+1 +4xcosx

Bµi 6: y” - 5y’ + 4y = 4x e2x + 34cosx

Bài làm: giải phơng trình t¬ng øng : y” -5y’ + 4y = (1)

Phơng trình đặc trng : k2- 5k + =  k11;k2 4

nghiệm tổng quát (1) : y0 = c1ex + c2e4x

 T×m nghiƯm riêng phơng trình : y -5y + 4y = 4x e2x (2)

Vì khơng phải nghiệm phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng (2) y1 = (ax +b) e2x

2

1

' ae x 2( ) x

y ax b e

   

y”1 = 2ae2x + 2ae2x + 4( ax + b )e2x = 4ae2x + 4( ax + b )e2x

thay vào (2) ta đợc: 4ae2x + 4( ax + b )e2x -5ae2x10(ax b e ) 2x+4(ax +b) e2x= 4x e2x

 -(a+2b)e2x-2axe2x = 4x e2x

2

2

a b a

a b

  

 

    

  

  nghiƯm riªng (2) là:y1 = (-2x +1)e2x

* Tìm nghiệm riêng phơng trình : y-5y + 4y = 34cosx (3)

Vì i   0 i i khơng phải nghiệm phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng (3) y2= acosx + bsinx  y’2= -asinx + bcosx  y” = -acosx- bsinx thay vào (3) ta đợc

-acosx- bsinx+ 5asinx -5bcosx +4acosx + 4bsinx = 34cosx

3 34

(3 ) cos (5 )sin 34cos

5

a b a

a b x a b x x

a b b

  

 

        

  

 

 nghiƯm riªng cđa (3) lµ y2= 3cosx -5 sinx

 nghiệm riêng phơng trình cho : y1+y2 = (-2x +1)e2x + 3cosx -5 sinx

Kết luận : nghiệm tổng quát phơng trình cho là:

y = y0+y1+y2= c1ex + c2e4x +(-2x +1)e2x + 3cosx -5 sinx

Bµi 7: y” -3y’ + 2y = 2x e2x + 10 sin x

Bài làm: giải phơng trình tơng ứng : y” -3y’ + 2y = (1)

Phơng trình đặc trng : k2 – 3k + =  k1 1;k2 2

 nghiệm tổng quát (1) : y0 = c1ex + c 2e2x

Tìm nghiệm riêng phơng trình : y -3y + 2y = 2x e2x (2)

Vì ngiêm phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng (2) y1 = x(ax +b) e2x = (ax2 + bx)e2x

2 2

' (2ax b) e x 2( ) x

y ax bx e

    

y”1 = 2ae2x + 2( 2ax + b )e2x + 2( 2ax + b )e2x + ( ax2 + bx) e2x

= 2ae2x + (2ax + b) e2x + (ax2 + b)e2x thay vào (2) ta đợc

2ae2x + (2ax + b) e2x + (ax2 + b)e2x- 3( 2ax + b)e2x- 6(ax2 + bx) e2x+ (ax2+ bx)e2x = 2xe2x

 2ae2x + (2ax + b)e2x = 2x e2x

2

2

a a

a b b

 

 

    

  

  nghiệm riêng (2) là: y1 = (x2 -2x)e2x

* Tìm nghiệm riêng phơng trình : y”-3y’ + 2y = 10 sinx (3)

Vì i   0 i i nghiệm phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng (3) y2= acosx + bsinx  y’2= -asinx + bcosx  y” = -acosx- bsinx thay vào (3) ta đợc

-acosx- bsinx+ 3ainx -3bcosx +2acosx + 2bsinx = 10sinx  (a-3b) cosx + (3a+b)sinx = 10sinx

3

3 10

a b a

a b b

  

 

    

  

 nghiệm riêng phơng trình cho : y1+y2 = (x2 -2x)e2x + 3cosx + sinx

Kết luận : nghiệm tổng quát phơng trình cho :

y = y0+y1+y2 = c1ex+c2e2x+(x2-2x)e2x+3cosx +sinx

Bµi 8: : y” - 4y’ + 8y = 4e2x + 20 cos2x

Bài làm: giải phơng trình nhÊt t¬ng øng : y” - 4y’ + 8y = (1)

Phơng trình đặc trng là: k2- 4k + =  k 1 2 2i; k2  2 2i

 nghiƯm tỉng qu¸t cđa (1) lµ : y0= C1e(2+2i)x + C 2e(2-2i)x

Tìm nghiệm riêng phơng trình : y - 4y’ + 8y = 4e2x (2)

Vì khơng nghiệm phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng (2) y1= ae2x  y’1= 2ae2x ; y”1 = 4ae2x thay vào (2) ta đợc phơng trình

4ae2x - 8ae2x + 8ae2x= 4e2x  4ae2x = 4e2x  a =

 nghiệm riêng (2) : y1= e2x

Tìm nghiệm riêng phơng trình : y - 4y + 8y = 20cos2x (3)

Vì  i  0 i2 2 i khơng nghiệm phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng (3) y2= acos2x + bsin2x  y’2= -2asin2x + 2bcos2x ; y2”= -4acos2x - 4bsin2x

Thay vào (3) ta đợc : -4acos2x - 4bsin2x +8asin2x -8bcos2x + 8acos2x + 8bsin2x = 20cos2x  (4a-8b)cos2x + (4b + 8a) sin2x = 20 cos2x

4 20

4

a b a

b a b

  

 

 

 

  

  nghiệm riêng (3) : y2= cos2x – 2sin2x  nghiệm riêng phơng trình cho : y1+y2 =e2x+ cos2x- 2sin2x

Kết luận: Nghiệm tổng quát phơng trình cho :