b) Lập phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp ABCD. Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp ACD.. b) Viết phương trình tham số của đường (d) vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD. Viế[r]
(1)PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM I- đạo hàm ứng dụng 1/- Các quy tắc đạo hàm:
+ Quy t¾c céng, trõ: [u(x)± v(x)± w(x)]′=u'
(x)± v'(x)± w'(x)
(Đạo hàm tổng tổng đạo hàm). + Quy tắc nhõn: [u(x).v(x)]=u'(x).v
(x)+u(x).v'(x)
+ Quy tắc thơng: [u(x)
v(x)]
′
=u
'
(x).v(x)−v'(x).u(x)
[v(x)]2
2/- Bảng đạo hàm bản.
Trong đó: u hàm hợp x
xα¿'=2.xα−1
¿ ( (α∈ℜ) u α
¿'=α.uα −1.u' ¿
sinx¿'=cosx
¿ sinu
¿'=u' cosu ¿
cosx¿'=−sinx
¿ cosu
¿'=− u' sinu ¿
(tgx \{)'=
cos2x (tgu \{)
'
=
cos2u u ’
cotx¿'=−
sin2x
¿
cotu¿'=−sin12u
¿
ex ¿'=ex
¿ eu
¿'=u'eu ¿ ax
¿'=axlna
¿ au
¿'=u'.au lna ¿
ln|x|¿'=1 x
¿
ln|u|¿'=u '
u ¿
1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: I Định nghĩa
Cho hàm số y=f(x) xác định (a,b)
1) f tăng (a,b) với x1, x2 (a,b) mà x1<x2 f(x1)<f(x2) 2) f giảm (a,b) với x1, x2 (a,b) mà x1<x2 f(x1)>f(x2) 3) x0 (a,b) gọi điểm tới hạn hàm số f’(x) khơng xác định hay
2 CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
(2)Định lý fermat: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a,b) có đạo hàm x0(a,b) đạt cực trị điểm f’(x) =
Nói cách vắn tắt: Nếu x qua x0, đạo hàm đổi dấu điểm x0 điểm cực trị
Định lí 2 Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp x0 f’(x0) = 0, f''(xo) # xo điểm cực trị hàm số Hơn
1) Nếu f”(x0) > x0 điểm cực tiểu 2) Nếu f”(x0) < x0 điểm cực đại Nói cách khác:
1) f’(x0) = 0, f”(x0) > ; ⇒ x0 điểm cực tiểu 2) f’(x0) = 0, f”(x0) < ⇒ x điểm cực đại
3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1) Cách tìm GTLN-GTNN (a,b)
+ Lập bảng biến thiên hàm số (a,b)
+ Nếu bảng biến thiên có cực trị cực đại( cực tiểu) giá trị cực đại (cực tiểu) GTLN(GTNN) hàm số (a,b)
2)-Cách tìm GTLN-GTNN [a,b].
+ Tìm điểm tới hạn x1,x2, , xn f(x) [a,b] + Tính f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b)
+ Tìm số lớn M số nhỏ m số [ , ]
[ , ]
max ( ) ; ( )
a b a b
M f x m f x
5 TIỆM CẬN
A/CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1/- Tiệm cận đứng: Nếu
lim ( )
xx f x đường thẳng (d) có phương trình x=x0 tiệm
cân đứng đồ thị (C)
2/- Tiệm cận ngang:
Nếu lim ( )x f x y0
đường thẳng (d) có phương trình y=x0 tiệm cân ngang đồ thị (C)
PHẦN II: ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ
- toánkhảo sát.
Bi toỏn 1: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số.
1/- Hµm sè bËc 3: y = ax3+ bx2 + cx + d ( a 0 ) Bíc 1: TX§: R
Bíc 2: Sù biÕn thiªn: y’ = 3ax2 + 2bx + c.
(3)+ y’ = có nghiệm kép vơ nghiệm HS ln đồng biến nghịch biến
trªn R vËy HS cực trị *y = 6ax + 2b, y = x=−b
3a đồ thị có điểm uốn có hồnh độ:
x=−b
3a
* Giới hạn: limy=x ; * Bảng biÕn thiªn:
Bớc 3: Đồ thị: Xem SGK –tr35( dạng đồ thị) Nhận xét: Đồ thị ln có tâm đối xứng điểm uốn Cỏc dạng đồ thị hàm số:
Hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0)
Hµm sè bËc 4: y = ax4 + bx2 + c ( a 0 )
Bíc 1: TX§: R
Bíc 2: Sự biến thiên: y = 4ax3 + 2bx : xảy hai trêng hỵp:
+ y’ = cã ba nghiệm phân biệt HS có cực trị.
+ y’ = cã nghiÖm HS cã mét cực trị.
* Giới hạn: limy=limx4(a+xb2+ c x4)
❑
=
¿ +∞neua>0
− ∞neua<0 ¿{
* Bảng biến thiên:
Bc 3: thị: Xem SGK –tr38( dạng đồ thị) Nhận xét: Đồ thị ln có trục đối xứng Oy
Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a 0)
x y
O
I
x y
O
I
a < a >
Dạng 2: hàm số khơng có cực trị ?
x y
O
I
x y
O
I
a < a >
Dạng 1: hàm số có cực trị ?
x y
O x
y
O
a < a >
Dạng 2: hàm số có cực trị ?
x y
O x
y
O
a < a >
(4)3/-HµmsèbËcnhÊt/bËcnhÊt: y=ax+b
cx+d , ( c )
B
íc : TX§: D = R/ {− d
c }
B
íc : Sù biÕn thiªn: y = adcb
(cx+d) Xảy hai trờng hợp
+ y < HS nghịch biến D.
+ y’ > HS đồng biến trờn D.
Chú ý: Hàm số cực trị *Giới hạn: lim
x ax+b
cx+d = a
c x →lim(−dc)
ax+b
cx+d=
(Nhìn vào bảng biến thiên mà viết giới hạn)
th HS cú tim cn ng: x=d
c
Đồ thị HS cã tiÖm cËn ngang: y=a
c y
*Bảng biến thiên + Nếu y’> hai nhánh đồ thị góc phần t thứ II;IV O x Sự khỏc biệt : Hàm đa thức khụng cú tiệm cận, hàm hữu tỉ khụng cần xột đaọ hàm cấp hai
Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận phương trình:
f(x) = m f(x) = g(m) (1)
+ Với đồ thị (C) hàm số y = f(x) khảo sát
+ Đường thẳng (d): y = m y = g(m) đường thẳng thay đổi phương với trục Ox
Các bước giải
Bước : Biến đổi phương trình cho dạng pt (1) dùng bảng sau:
Bước : Dựa vào đồ thị ta có bảng biện luận: m Số giao điểm (C) &
(d)
Số nghiệm pt (1)
y
I
x y
O
Dạng 2: hsố nghịch biến Dạng 1: hsố đồng biến
x O
(5)g(m) m Số giao điểm (C) & (d)
Số nghiệm pt (1)
Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể trịn xoay
Nhấn mạnh cho học sinh nhớ vận dụng thành thạo cơng thức: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(C): y = f(x), trục Ox đường thẳng x = a, x = b ( a < b)
Ta sử dụng công thức
( )
b a
S f x dx
(I) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(C): y = f(x), y = g(x) / [a;b]
Ta sử dụng công thức
( ) ( )
b a
S f x g x dx (II)
Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh từ hình phẳng (H) giới hạn (C): y = f(x), trục Ox đường thẳng x = a, x = b ( a < b), (H) quay quanh Ox
Ta dùng công thức
2
b a
V f x( ) dx
(III)
Dạng 3: Cực trị hàm số
Yêu cầu học sinh:
Hàm số bậc : y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) cực trị có 2 cực trị
Hàm số bậc dạng : y = ax4 + bx2 + c (a 0) có cực trị cưc trị.
Hàm số biến dạng:
ax+b cx+d
y
tăng giảm khơng có cực trị
Nếu f’(x0) = f’’(x0) hàm số có cực trị x = x0 Nếu f’(x0) = f’’(x0) > hàm số có cực tiểu x = x0
Bảng
(6)Nếu f’(x0) = f’’(x0) < hàm số có cực đại x = x0
Dạng 4: Viết PTTT đồ thị hàm số?
Yêu cầu học sinh nắm bước trình bày giải dạng tốn sau:
Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y = f(x) tại M0(x0;y0) (C) Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y0 = f’(x0)x x 0 hay y – y0 = k(x –
x0) (*)
Bước 2: Tìm thành phần chưa có x0, y0, f’(x0) thay vào (*) Rút gọn ta có kết
CÁC BÀI TẬP :
Bài 1: Cho hàm số y x 3 3mx23(2m1)x1. a) Khảo sát hàm số m=1
b) Xác định m để hàm số đồng biến tập xác định c) Định m để hàm số giảm (1,4)
Bài 2: Cho hàm số y 2x x a) Tính y’’(1)
b) Xét tính đơn điệu hàm số Bài 3: Cho hàm số
1
mx y
x m
Khảo sát vẽ đồ thị m=2
Xác định m để đồ thi hàm số không cắt đường thẳng x=-1
Chứng minh với giá trị m hàm số đồng biến khoảng xác định
Bài 4: Chứng minh a) x > sinxx ( 0,π/2) b) ex1 x x R
. c) ln x>1
x e
x .
Bài : Chứng minh phương trình sau có nghiệm : x5 x3 2x 1 0
Bài 6: Cho hàm sốyx42mx2 2m1 (1)
a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số m=1/3
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) trục hoành c) Biện luận theo m số cực trị hàm số (1)
Bài 7: Cho hàm số y=2x3−3(m+1)x2+6 mx−2m
a)Khảo sát hàm số m = gọi đồ thị (C) Chứng tỏ trục hoành tiếp tuyến (C)
(7)c) Định m để hàm số tăng khoảng (1;)
Bài 8 Định m để hàm số
3 2
1
( 1)
3
y x mx m m x
đạt cực tiểu x =
Bài 9: Cho hàm số yf x( )x33x2 x+3m-4m
a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn m
b) Chứng minh tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn tất tiếp tuyến đồ thị hàm số
Bài 10:Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: a) y2x33x21 [-2;-1/2] ; [1,3).
b) y x 4 x2 . c)
3 2sinx- sin
3
y x
đoạn [0,π] (TN-THPT 03-04/1đ) d)y os2x+4sinxc x[0,π/2] (TN-THPT 01-02/1đ)
e) yx2 3x2 đoạn [-10,10]
Bài 11: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số
y= x 1 3x 6x trên đoạn[-1,3].
Bài 12,1 Biện luận phương trình
3
1
3x x = m ( dùng bảng 1) Biện luận phương trình
3
1
3x x = 3m -2 ( dùng bảng 2) Biện luận phương trình
3
1
3x x =
3
1
3m m
Bài tập12: Định tham số m để:
Hàm số y =
3
1
( 6)
3x mx m x có cực đại cực tiểu.
Kết quả: m < - hay m >
Hsố y =
2 2
1 x mx
mx
có cực trị Kết quả: - < m <
Hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + có cực đại cực tiểu x1, x2 x2 – x1 khơng phụ thuộc tham số m
Kết : m x2 – x1 =
Hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + – m có cực đại cực tiểu Giả sử M1(x1;y1), M2(x2;y2) điểm cực trị đồ thị hàm số Chứng minh :
1 2
( )( 1)
y y x x x x
= 2. Kết : m < 1
(8)Bài 1: Cho hàm số y = x2 – 2x + có đồ thị (C)và (d): 8x – 4y + = 0 a) CMR (C) (d) cắt điểm A B
b) CMR tiếp tuyến (C) A,B vng góc Bài 2: Cho hàm số y = x3 + mx2 – m – 1, có đồ thị (C)
a) Tìm điểm cố định (Cm) b) Lập pttt điểm cố định
Bài 3: Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 – 2m + Tìm m để tiếp tuyến đồ thị
hàm số A(1;0), B(-1;0) vng góc
Bài 4: Cho hàm số y =
2 x x
Lập pttt đồ thị (C) hàm số giao điểm với
trục tung trục hoành
Bài 5: Cho hàm số y =
2 x x
Viết pttt (C) qua A(-6;5)
Bài 6) Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 – 12x – Tìm M đồ thị (C) hàm số đã cho
cho tiếp tuyến M qua gốc tọa độ O
MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP
Bài : Cho hàm số y=x+3
x+1 gọi (C) đồ thị hàm số cho
a-Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
b-Tìm điểm (C ) có tọa độ số nguyên
c-Chứng minh đường thẳng D:y=2x+m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt MN ;xác định m để đoạn MN có độ dài nhỏ
d-Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị (C) cho khoảng cách giửa chúng bé
Bài 2:
Cho hàm số x −1¿2(4− x) y=¿
a.-Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số
b-Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(3;5)
c-Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn d-Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt
3 6 9 4 0
x x x m
Bài 3
Cho hàm số
3
-
3
y x x x
a/Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số
b/Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình 3x3-6x2 -5x+m=0
(9)e/Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) trục hồnh
Ch¬ngII:Phương trình bất phương
trình mũlogarit
<1> c¸c tÝnh chÊt cña luü thõa
1 am an=am+n 2.
am an=a
m −n
3 (am
)n=am.n
=(an
)m
(a
b)
n
= a
n
b❑n
5 (a.b)n=an.bn
* m,n số nguyên a,b * m,n hữu tỉ a,b>0
6 .a>1 a ❑n≻am⇔n≻m
0<a1 th× an≻
am⇔n≺m
<6>Hàm số mũ:
ãH số y=ax (a#1&a>0) HS mũ
ã Đạo hàm: (a
x
)'=ax lna (ex)'
=ex ãTXĐ:R
ã a>1 HS ng bin : 0<a<1HS n bin
Đồ thị có tiệm cận ngang trục ox qua điểm (0;1), (1;a) nằm trục hoành
<2>Luỹ thừa mũ nguyên âm:
a n=
an ;
1
a−n=a
n
<3>Luü thõa mị sè h÷u tØ: a
n m
(10)<4>Hàm số luỹ thừa:
a.Đ n:là HS d¹ng y=x ❑α ( α¿∈
¿ R )
b.TXĐ:- nguyên dơng D=R
- nguyên âm
thì x#0
không nguyênthì D= (0;+)
c Đạo hµm: (xα
)'=α.xα−1
<7> Hµm sè logarit:
• Hs y=logax(a>0, a ≠1) •
(logax)'=¿ xln1a
ãTXĐ:(0, + )
ãĐồ thị nằm bên fải trục tung
<5>Lôgarit:
a.Đ n: Số thoả mÃn a
=b gọi
loogarit số a cu¶ b:
logab=α⇔aα=b
(a ,b>0 ,a#1) b.TÝnh chÊt:
loga1=0
;logaa=1; logaam
=m ; aloga
b
=b c Các quy tắc:
*TÝch: logab.c=logab+logac
*Th¬ng: logab/.c=logab−logac
*Luü thõa: logabn=n logab;
đ Công thức đổi số:
logax=logb
x logba ;*logab log
b a
=1;
logac=
logc a
* lnx=loge
x
logx=log10
x
I. Phương trình bất phương trình mũlogarit
1. Phương trình mũlogarit
a Phương trình mũ :
Đưa số +0<a1: af(x)=ag(x) (1)
f(x)=g(x) + 0<a1: af(x)=b
¿ b>0 f (x)=logab
¿{ ¿
Đặt ẩn phụ: Ta đặt t=ax (t>0), để đưa phương trình đại số
Lưu ý cặp số nghịch đảo như: (2 3), (74 3),… Nếu phương trình
có chứa {a2x;b2x;axbx} ta chia hai vế cho b2x(hoặc a2x) đặt t=(a/b)x (hoặc
t=(b/a)x.
Phương pháp logarit hóa: af(x)=bg(x) f(x).log
ca=g(x).logcb,với a,b>0; 0<c1
b P hương trình logarit :
Đưa số: +logaf(x)=g(x) {f(x)=ag(x)
+logaf(x)= logag(x)
¿ ¿f(x)>0
f(x)=g(x) ¿{ {
¿
Đặt ẩn phụ
2. Bất phương trình mũlogarit
a. Bất phương trình mũ :
* Nếu a>1 thì: af(x)>ag(x)
f(x)>g(x);
af(x) ag(x)
(11)* Nếu 0<a<1 thì: af(x)>ag(x)
f(x)g(x); af(x)ag(x) f(x)g(x).
b. Bất phương trình logarit :
+ Nếu a>1 thì: logaf(x)>logag(x)
¿ f (x)>g(x)
g(x)>0 ¿{
¿
;
+ Nếu 0<a<1 thì: logaf(x)>logag(x)
¿ f (x)<g(x)
f(x)>0 ¿{
¿
A/ Ph ¬ng tr×nh mị:
1) 52x-1+5x+1 - 250 = ⇒ x =2
2) 5|4x−6|
=253x−4 ⇒ x =7/5
3) 3|3x −4|
=92x−2
4) 22x-3 - 3.2x-2 + = ⇒ x =1 vµ
x=2
5) 2¿
4x −2
2 5¿
2x −4 =¿ ¿
⇒ x =1
6) 34√x−4 32√x
+3=0 ⇒ x =0 vµ
x=
4
7) 52x - 7x - 52x.35 + 7x.35 = ⇒ x = −1
2 8)
2x −2= 10+4
x
2
4 ⇒ x =3 9)
2x
100x=2 0,3 x
+3 ⇒ x =
lg lg 3−1
10) 2x.5x=0,1(10x-1)5 ⇒ x = 23) 8x-3.4x-3.2x+1+8=0
24) 2x+3
−3x2+2x−6=3x
2
+2x−5 −2x 25) 9x2
−1
−36 3x2−3+3=0 ⇒
x=?
11)3x+3x+1+3x+2=5x+5x+1+5x+2 ⇒ x = log3
5
31
43 12)2x+2x-1+2x-2=7x+7x-1+7x-2
⇒ x = log2
228 343 13) 2√x+1.
√2√6
=4√x+1 ⇒ x =
1
14) √5+2√6¿ x
=10
√5−2√6¿x+¿ ¿
⇒ x =2 vµ x=-2
15)
2√2¿x √4+√15¿x=¿ √4−√15¿x+¿
¿
⇒ x =2
16) √5−2√6¿
sinx
=2
√5+2√6¿sinx+¿ ¿
⇒ x=
kΠ víi: k∈Z
17) 5 32x−1−7 3x −1
+√1−6 3x+9x+1=0
⇒ x= log33
5 ;x= −log35
18) 22x2+1−9 2x2+x
+22x+2=0 ⇒
x=-1;x=2
19) 8 3x
+3 2x=24+6x ⇒ x=1 vµ
x=3
(12)26) 25x-2(3-x)5x+2x-7 =
27) 9x+2(x-2)3x+2x-5 =
22) 2x
=3
x
2 +1
B/ Bất Ph ơng trình mũ:
1)
1 2¿
4−3x
1 2¿
4x2 −15x+13
<¿ ¿
⇒ x =?
2)22x-1 + 22x-3 - 22x-5 >27-x + 25-x - 23-x ⇒
x>8/3 3) 31x+3
+3
x>84 ⇒ 0<x<1
4) 4x2+3√x.x
+31+√x<2 3√x.x2+2x+6
5) √5−2¿ x−1
x+1
√5+2¿x −1≥¿ ¿
⇒ x
6) 25− x2
+2x+1 +9− x
2
+2x+1
34 15− x2+2x
7) 4x≤3 2√x+x
+41+√x 8) 4x+0,5−5 32x−1
>3x 0,54x
C/ Ph ơng trình loga rit:
) log2(2x-5)2=2 ⇒ x=1,5;x=3,5 2)
log3(2x2−54)+log1
(x+3)=log3(x −4)
⇒ x=6
3) log2x −8 logx22=3 ⇒ x=16,
x=0,5
4) lg2x3−20 lg
√x+1=0 ⇒ x=10, x=
√10
5) √log2x4+4 log4√2
x=2 ⇒ x=2
6) log√x2+4 log4x
+9=0
x=1/4,x=1/ √4 2
7)log2(x2-3) - log2(6x-10) + = ⇒
x=2
8) log3(x2-6) = log3(x-2) + ⇒
x=3
9) logx(2x2-3x-4) = ⇒ x=4 10)
1−2x+x2
3−√¿ ¿ logx+3¿
11) log2(9x+5.3x+1) = 12) log2(4x+1)=log2(2x+3-6) + x ⇒ x=0 20) 2log5x2−21+log5x+2log5x −1=0 ⇒
x=5
13)
log5(x2+1)+log1
5=log5(x+2)−2 log1 25
(x −2)
⇒ x= √21 /2
14)
(x+2)log3
(x+1)+4(x+1)log3(x+1)−16=0 ⇒ x=2, x= −80
81
15) logx+3(3−√1−2x+x2)=1
2
⇒ x ¿−3+√5
2 vµ x =
9−√29
16) log2(9−2x)=3− x ⇒ x=0 vµ x =3
17) log3(9x+1−4 3x−2)=3x+1
⇒ x=0 vµ x= log3(3+√15)−1
18 ) 4 log
22x − x log26
=2 3log24x2 ⇒ x=
1/4
19)
4+x¿3
x+1¿2+2=log√2√4− x+log8¿ log4¿
⇒
x=2 vµ x= 224
D/ Bất Ph ơng trình loga rit: 1) lg(x+4)+lg(3x+46)>3
⇒ x 8) log25− x2
16
24−2x − x2
(13)2) log1
4x+6
x ≥0 ⇒ x ¿
3)lg2x-lgx3+2 0 ⇒ x ¿∪¿
4) 1+log2(x-1) logx-14
⇒ x ¿∪(3;+∞)
5) √x −5
log√2(x −4)−1≥0
⇒ x=5 vµ (4+√2;+∞)
6) log√2
(x −3)
x2−4x −5 ≥0 ⇒ x=4 vµ x
(5;+∞)
6 ) log5√x −2≥logx
5 ⇒ x
(1;+∞)
7.)logx2.log2x2.log24x>1 ⇒ x
(2−√2;0,5)∪(1;2√2)
15 ) √log32x −3
1− x <1
9) logx+1
log22x −1
x+3 <0 ⇒ x (4;+∞) 10) log2x64+logx216≥3 ⇒ x (1
2;2 −1
3)∪¿
11)logx(4+2x)<1 ⇒ x
(−2;−1)∪(−1;0)∪(0;1)∪(2;∞)
12) log2(2x−1)log1
(2x+1−2)>−2 ⇒ x (−2+log25 ;log23)
13) √log2
x+log1
x2−3>√5(log4x2−3) ⇒ x ¿∪(8;16)
14) log1
(3x−8)>x −2
16) √log9(3x2+4x+2)+1>log3(3x2+4x+2)
⇒ x ¿∪¿
Ch
¬ng 3: NGUN HÀM & TÍCH PHÂN
§1 NGUYÊN HÀM:
1) Định nghĩa :
Hàm số F x gọi nguyên hàm hàm số f x a b,
, ,
F x f x x a b .
Ghi nhớ : Nếu F x là nguyên hàm f x mọi hàm số có dạng
F x C (Clà số) nguyên hàm f x chỉ hàm số
có dạng F x Cmới nguyên hàm f x Ta gọi F x Clà họ nguyên hàm hay tích phân bất định hàm số f x ký hiệu làf x dx
Như vậy: f x dx F x C
2) Tính chất:
a.TC1: kf x dx k f x dx k ; 0 b.TC2: f x g x dx f x dx g x dx
(14)dx x C
dx 1lnax b C
ax b a
1
1
1 ,
x
x dx C
x x e dx e C
sinxdx cosx C
e dxax 1eax C
a
cosxdxsinx C
sinaxdx 1cosax C
a
2 , 2
cos
dx tgx C x k
x
cosaxdx1asinax C
2 cot ,
sin
dx gx C x k
x
1
2
, cos
dx tgx C x k
ax a
0
ln ,
dx x C x
x
1cot ,
sin
dx gax C x k
ax a
Ghi nhớ:
Nguyên hàm tổng (hiệu) nhiều hàm số tổng (hiệu) nguyên hàm hàm số thành phần
Muốn tìm nguyên hàm hàm số ta phải biến đổi hàm số thành tổng hiệu hàm số tìm nguyờn hm
Bài tập phần nguyên hàm:
Bi 1: Cho hai hàm số
1
2 4sin
F x x x
; f x cos2x a Chứng minh F x là nguyên hàm f x b Tìm nguyên hàm G x biết G
.
Bài 2: Cho hàm số 4
2
cos cos cos cos sin
x x x
f x
x x
Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x biết F
(15)b Tìm nguyên hàm F x hàm số f x biết đồ thị hàm số F x qua điểm
0 8;
M
.
Bài 4: Biết hàm số
sin cos
x F x
x
nguyên hàm f x Hãy tìm giá trị x cho f x f x 0
Bài 5: Cho hàm số y xe x a Tính yvà y 2
b Tìm ngun hàm hàm số f x x 2007ex
Bài 6: Cho hàm số f x exsinx Chứng minh hàm số f x f x nguyên hàm hàm số 2f x
Bài 7: Tìm nguyên hàm F x hàm số
3
2
3
2
x x x
f x
x x
,biết
rằng 1
3
F
(Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2003)
Bài 8: Cho hàm số
x f x
x
hàm số F x ln x21. a Chứng minh F x là nguyên hàm f x
b Áp dụng câu a tính
1
0
xdx
x
Bài 9: Cho hàm số f x xln2x 2x xln a Tính f x
b Áp dụng câu a tính
2
ln
e
xdx
(16)Bài 10: Biết hàm số
cos sin cos sin
x x
F x
x x
nguyên hàm f x .
Hãy tính :
4
0
f x dx
§2 TÍCH PHÂN : 1) Định nghĩa:
b
b a a
f x dx F x F b F a
2) Tính chất:
a TC1:
b a
a b
f x dx f x dx
b TC2:
( 0)
b b
a a
kf x dx k f x dx k
c TC3:
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
d TC4:
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
(a<c<b)
Ghi nhớ:
Muốn tính tích phân định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dấu tích phân thành tổng hiệu hàm số biết nguyên hàm
Nếu hàm số dấu tích phân hàm số hữu tỷ có bậc tử lớn
hơn bằng bậc mẫu ta phải thực phép chia tử cho mẫu
Nếu hàm số dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm dấu GTTĐ Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành đoạn cho đoạn biểu thức nằm dấu GTTĐ không đổi dấu Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ
Bài 1: Tính tích phân sau đây:
a
4
0
2
cos cosx xdx
b
cosx sinx dx
(17)c
2
1
2
2
x x
dx x
d
2
1
ln x x
e dx
x
C¸c ph ơng pháp Tính nguyên hàm vàtích phân
A/- Ph ơng pháp :
Tỡm nguyờn hm trực tiếp từ biến đổi theo vi phân dựa vo bng nguyờn hm
B/- Ph ơng pháp : §ỉi biÕn sè : 1/- TÝnh I=
a b
f(x)dx
Có hai dạng đổi biến s: Dng 1: t x=u(t)
Dạng 2: Đặt t=v(x)
Đối với phơng pháp đổi biến số phải thực đổi 1/- d(x)=? d(t)
2/- BiÕn f (x) = theo t
3/- Đổi cận x = a -> t = ? x = b -> t = ? sau thay theo biến t vào I để tính
Cần nhớ rằng: Khi đó: ❑
ax+b dx =
1
a❑
d(ax+b)
ax+b =
1
aln|ax+b|+c
ax+b¿n
1
Đặt u=ax+b
❑
x2+a2dx ta đặt x= atgt
❑dx
x2−a2 = ❑
dx
(x − a)(x+a) = ❑( A x − a+
B (x+a))dx
Chó ý : NÕu ax2+ bx +c cã hai nghiƯm ; th×
ax2+ bx +c = a(x-)(x-)
NÕu ax2+ bx +c cã nghiƯm kÐp th× ax2+ bx +c = a(x-)2
Nếu ax2+ bx +c vô nghiệm có thÓ viÕt ax2+ bx +c = X2+B2
đặt X = Atgt
2/- TÝch ph©n cđa hàm số l ơng giác
a/- Một số dạng tích phân l ợng giác cần ý Dạng 1: R(sinx)cosxdx Đặt t = sin x
Dạng 2: R(cosx)sinxdx Đặt t = cosx
Dạng 3: f(cos2x ;sin2x)dx dùng công thức hạ bậc
sin2x=1cos 2x
2 ; cos
2
x=1+cos 2x
2
Dạng4:+ cos ax sin bxdx Dùngcôngthứctínhtổng
cosA sinB=1
(18)
+ ❑cos ax cos bxdx ; cosA cosB=1
2⟨cos(A+B)+cos(A − B)⟩ + ❑sin ax sin bxdx ; sinA.sinB=1
2⟨cos(A − B)−cos(A+B)⟩ sinA.cosB=1
2⟨sin(A+B)+sin(A − B)⟩
D¹ng 5: a)
ln
f x dx
x
Đặt tlnx
b).:
1
cos
f tgx dx
x
Đặt t tgx
t ptgx q p q,
c).:
1
sin
f cotgx dx
x
Đặt t cotgx
t pcotgx q p q, 3/- Tích phân hàm chứa thức
a/- D¹ng
x R(¿;❑
√a2− x2)dx I=¿
đặt x = asint x = acost
b/- D¹ng
x
R(¿;❑√a2+x2)dx I=¿
đặt x = atgt
c/- D¹ng
x R(¿;❑
√x2− a2)dx I=¿
đặt x= a
cost Bài tập phần tích phân:(pp đổi biến số)
Bài 1: Tính tích phân sau đây:
a
4
0
2
cos cosx xdx
b
2
1
ln x x
e dx
x
(19)Bài 2: Tính tích phân sau đây:
a
6
3
0
cos sin xdx x b
6cosx 1sinxdx
c 3ln 2
e dx
x x
d 19 xdx x
Bài 3: Tính tích phân sau đây:
a 2 x dx x x b cos tgx e dx x
c
2
2
3cot sin
dx gx x d 1 x dx
e x
Bài 4: Tính tích phân sau đây:
a 3 cos tgxdx x b 2
sin cosx xdx
c 4 sin cos sin xdx x x
d
4 2 cos sin cos xdx x x
Bài 5: Tính tích phân sau đây:
a 3 sin cos xdx x b 3
x x dx
c 2 sin sin xdx x d dx tgx tg x
C/- Ph ơng pháp : TNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG
PHẦN:
1) Công thức tổng quát :
b b
b a
a a
uv dx uv vu dx
(20)hay
b b
b a
a a
udv uv vdu
(1)
2) Các dạng tích phân tính phương pháp phần:
Tích phân phần thường áp dụng để tính tích phân có dạng sau:
a).Dạng 1:
b a
p x q x dx
Trong p x là hàm số đa thức, q x hàm sin ( ) x
cos ( ) x .hc ekx
Trong trường hợp ta đặt:
u p x dv q x dx
Ghi nhớ : Trong trường hợp đặt ngược lại
vào công thức ta
b a
vdu
phức tạp
b a
udv
ban đầu
b).Dạng 2:
b a
p x q x dx
Trong p x là hàm số đa thức, q x hàm logarit
Trong trường hợp ta đặt:
u q x dv p x dx
Ghi nhớ: Trong trường hợp đặt ngược lại ta gặp khó
khăn suy v t dv
Bài tập phần tích phân:(pp tích phân phần)
Bi 1: Tớnh cỏc tích phân sau đây:
a
0
2x sinxdx
e
1
2 2
1 x
x e dx
b
2
2 cos
x x xdx
f
1
0
3
x
x dx
e
(21)c cos x xdx g
(x ) xdx d cos xdx x
h
1
2
x
x e dx
Bài 2: Tính tích phân sau đây:
a
3
3x 1 lnxdx c ln e xdx b 1 ln
x x dx
d
1
2
1
ln
x x dx
§5 CÁC BÀI TỐN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN:
Tính tích phân sau đây:
a 2 cos sin x dx x b
2
1
lnx x e dxx
x
c
2 cot sin sin
g x x dx
x d 2
3cosx x sinxdx
e
sin cos cos x xdx x f 1
2 x xdx
x e
g
2 2 cos cos sin x xdx x h ln
x x dx
Diện tích thể tích hình
1/- Hình phẳng giới hạn đ êng :
¿ y=f(x) y=0(truc Ox)
x=a x=b(a<b)
¿{ { { ¿
cã diƯn tÝch lµ S=
a b
(22)+ NÕu f(x) trªn [a ;b] th× CT (1) S=
a b
f(x)dx
+ Nếu f(x) < [a ;b] CT (1) S=
a b
− f(x)dx
+ NÕu f(x)= cã nghiÖm c [a ;b] tức a<c<b CT (1)
S=
a c
|f(x)|dx+
c b
|f(x)|dx=|
a c
f(x)dx|+|
c b
f(x)dx|
2/- Diện tích hình phẳng đ ợc giới hạn hai ® êng: ¿
y=f(x) y=g(x)
¿{
¿ Ph
ơng pháp giải :
+Gii phng trình f(x) = g(x) để tìm nghiệm ( tức cận)
Gi¶ sư PT f(x) = g(x) cã nghiệm a< b < c DT hình phẳng lµ:
S=
a b
|f(x)− g(x)|dx+
b c
|f(x)− g(x)|dx(2) S=|
a b
[f(x)− g(x)]|+|
b c
[f(x)− g(x)]|
ChØ [a ;b] PT f(x) = g(x) nghiƯm th×
a b
|f(x)− g(x)|dx=|
a b
[f(x)− g(x)]dx|
3- ThÓ tÝch vật thể giới hạn hình thang cong
y=f(x) y=0 truc Ox
x=a x=b(a<b)
¿{ { { ¿
quay quanh Ox
đợc tính theo cơng thức: V=
a b
π[f(x)]2dx
*Chó ý: Nếu toán nói vật thể sinh hình phẳng y = f1(x) y = f2(x)
( tức khơng phải sinh hình phẳng gắn với trục toạ độ) khơng đợc tính theo cơng thức nêu mà phải vẽ hình tính thể tíchcủa vật đợc sinh từ hình phẳng giới hạn
¿ y=f1(x) y=f2(x)
¿{ ¿
cách lấy thể tích hình lớn trừ thể tích h×nh bÐ y
1) Bài tập:
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong
2 6 5
2
: x x
C y
x
(23)Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong
C y x x: 32 trục Ox.
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong
C y x: 4 x2 trục Ox.
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong
C y x: 3x1 đường thẳng d y: 3.
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường:
2 2 2
1
: x x
C y
x
; đường tiệm cận xiên C ; Ox; x e 1.
Bài 6: Cho đường cong C y x: 3 3x2 4x Viết phương trình tiếp tuyến d C gốc tọa độ O Từ tính diện tích hình phẳng giới hạn
C và d.
Bài 7: Cho parabol P y x: 2 6x 5
a Viết phương trình tiếp tuyến P giao điểm P với trục Ox
b Tính diện tích hình phẳng giới hạn P tiếp tuyến nói câu a
Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: C y: x ;
:
d y x trục Ox.
Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol P y: 4x đường thẳng d y: 2x
Bài 10: Cho parabol P y: 4x
a Viết phương trình tiếp tuyến P điểm tung độ
b Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: P , trục Ox tiếp tuyến nói câu a
1 TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠTỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ
A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I/. Tọa độ điểm : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
1).M x ; y ;z M M M OM x i y j z k M M M
(24)2).Cho A x ; y ;z A A Avà B x ; y ;z B B Bta có:
B A B A B A
AB (x x ; y y ;z z )
2 2
B A B A B A
AB (x x ) (y y ) (z z )
@/ Đặc biệt M trung điểm AB ta có :
A B A B A B
M x x M y y M z z
x ; y ;z
2 2
II/. Tọa độ véctơ : Trong không gian với hệ tọa độ Oyz 1).a (a ;a ;a ) a a i a j a k
2).Cho a (a ;a ;a )
b (b ;b ;b )
ta có :
1
2
3
a b
a b a b
a b
a b (a 1b ;a1 2b ;a2 3b )3
k.a (ka ;ka ;ka )
a.ba b cos(a;b) a b 1a b2 2a b3
2 2
a a a a
III/. Tích có hướng hai vectơ ứng dụng:
1).Nếu a (a ;a ;a )
b (b ;b ;b )
2 3 1
2 3 1
a a a a a a
a, b ; ;
b b b b b b
IV/. Điều kiện khác:
1).a b phương
1
2
3
a kb
a, b k R : a kb a kb
a kb
2).a b vng góc a.b 0 a b1 1a b2 2a b3 0
(25)3).G trọng tâm tam giác ABC
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
3
y y y
y
3
z z z
z
3
4).G trọng tâm tứ diện ABCD GA GB GC GD 0
B/.BÀI TẬP:
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1) a/-Tính FAB,AC (OA 3CB)
b/-Chứng tỏ OABC hình chữ nhật tính diện tích hình chữ nhật
c/-Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
Bài 2: Cho bốn điểm A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) , D(-2;1;-1) a) Chứng minh A,B,C,D bốn đỉnh tứ diện b) Tìm tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD
c)Tính góc tam giác ABC
Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’biết A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;3), C’(1;2;3)
a) Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình hộp b) Tính thể tích hình hộp
c)Chứng tỏ AC’ qua trọng tâm hai tam giác A’BD B’CD’ d) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc D lên đoạn A’C
Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(2;3;4) Gọi M1, M2, M3 lần
lượt hình chiếu A lên ba trục tọa độ Ox;Oy,Oz N1, N2, N3 hình chiếu A lên ba mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz, Ozx
a)Tìm tọa độ điểm M1, M2, M3 N1, N2, N3
b)Chứng minh N1N2 AN3
c)Gọi P,Q điểm chia đoạn N1N2, OA theo tỷ số k xác định k để PQ//M1N1
2 MẶT PHẲNG
A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I/. Phương trình mặt phẳng:
1). Trong khơng gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = với
A2+B2+C2≠0 phương trình tổng quát mặt phẳng, n (A;B;C) là
một vectơ pháp tuyến
2). Mặt phẳng (P) qua điểm M0(x0;y0;z0) nhận vectơ n (A;B;C)
(26)A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) =
3). Mặt phẳng (P) qua M0(x0;y0;z0) nhận a (a ;a ;a )
b (b ;b ;b ) làm cặp vectơ phương mặt phẳng (P) có vectơ pháp
tuyến :
2 3 1
2 3 1
a a a a a a
n a, b ; ;
b b b b b b
II/. Vị trí tương đối hai mặt phẳng
1).Cho hai mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0 (P) cắt (Q) A : B : C ≠ A’: B’: C’
(P) // (Q) A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’ (P) ≡ (Q) A : B : C : D = A’: B’: C’: D’
III/. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = cho công thức :
0 0
0 2 2 2
Ax By Cz D
d(M , )
A B C
B/ BÀI TẬP:
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D( -1;1;2)
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AC
c) Viết phương trình mặt phẳng (P)chứa AB song song với CD d) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD vng góc với mp(ABC)
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – = 0, (Q): x – 2y – 2z + =
a) Chứng tỏ hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc
b) Viết phương trình tham số đường thẳng () giao tuyến hai mặt phẳng
c) Chứng minh đường thẳng () cắt trục Oz Tìm tọa độ giao điểm
d) Mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ tai ba điểm A,B,C Tính diện tích tam giác ABC
e) Chứng tỏ điểm O gốc tọa độ khơng thuộc mặt phẳng (P) từ tính thể tích tứ diện OABC
(27)a) Viết phương trình mp (Q) qua gốc tọa độ song song với mp (P)
b) Viết phương trình tham số ,chính tắc đường thẳng qua gốc tọa độ O vng góc với mặt mp(P)
c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) ( TNPT năm 1993)
Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y – z + = (Q): 2x – z =
a) Chứng tỏ hai mặt phẳng cắt nhau,tính góc chúng
b) Lập phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) qua A(-1;2;3)
c) Lập phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) song song với Oy
d) Lập phương trình mặt phẳng (R) qua gốc tọa độ O vng góc với hai mặt phẳng (P)và (Q)
Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y – z + = điểm M(2;1;-1)
a) Tính độ dài đoạn vng góc kẽ từ M đến mặt phẳng (P)
b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vng góc với mặt phẳng (P)
Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + ky + 3z – =
0 (Q): mx – 6y – z + =
a) Xác định giá trị k m để hai mặt phẳng (P) (Q) song song nhau,lúc tính khoảng cách hai mặt phẳng
b) Trong trường hợp k = m = gọi (d) giao tuyến (P) (Q) tính khoảng cách từ A(1;1;1) đến đường thẳng (d)
3 ĐƯỜNG THẲNG
A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I/. Phương trình đường thẳng:
1).Phương trình ttham số đường thẳng :
0
0
0
x x a t
y y a t (t R)
z z a t
Trong M0(x0;y0;z0) điểm thuộc đường thẳng a (a ;a ;a )
là vectơ phương đường thẳng
2).Phương trình tắc đuờng thẳng :
0 0
1
x x y y z z
a a a
(28)Trong M0(x0;y0;z0) điểm thuộc đường thẳng a (a ;a ;a )
vectơ phương đường thẳng
II/. Vị Trí tương đối đường thẳng mặt phẳng:
1). Vị trí tương đối hai đường thẳng :
a/ Trong không gian đt xảy vị trí tơng đối sau: * d // d’ ; d trùng d’ ;
d ∩d'=0 ; d,d’ chÐo
b/ Cách xét vị trí tơng đối hai đờng thẳng Giả sử:
- Đờng thẳng (d) có VTCP u=(a ;b ;c) qua điểm M0(x0;y0;z0)
- Đờng thẳng (d) có VTCP u'
=(a';b'; c') qua điểm M0(x0;y0;z0)
TH1: u u' không phơng d cắt d d chéo d; Muốn tìm giao
điểm ta giải hệ chứa hai đt d; d Hệ vô nghiệm d d chéo ,còn hệ có
nghiệm d d cắt nhau.
TH2: u u' ph¬ng ⇔a
a'= b b'=
c
c' ta lấyđiểm M0 thuộc d
Nếu M0 thuéc d’ => d trïng d’
NÕu M0 kh«ng thuéc d ‘=> d // d’
2/- Vị trí t ơng đối đ ờng thẳng mặt phẳng
a/- (d) vµ mp(P) cã mét vÞ trÝ:
d∈(P) d//(P) d ∩(P)
b/-Cách xét vị trí tơng đối đờng thẳng (d) mp(P)
Gi· sư ®t d cã VTCP u=(a ;b ;c) ®i qua ®iĨm M0(x0;y0;z0) mp(P)
cã VTPT n=(A ; B ;C) n d
TH1: d cắt (P) u không vuông góc với n
u . n # P
aA +bB + cC # n
TH2: d//(P)
¿ u.n=0 M0∉(P)
⇔
¿Aa+Bb+Cc=0
Ax0+By0+Cz0+D ≠0 ¿{
¿
d
TH3:
¿ d⊂(P)⇔
u.n= M0⊂(P)
¿
⇔
Aa+Bb+Cc=0
Ax0+By0+Cz0+D=0
{
*Đặc biệt: d⊥(P)⇔n ; ucung phuong⇔A a=
B b=
C
(29)-NÕu PT cã nghiƯm th× d cắt (P) M0
-Nếu PT vô nghiệm d không cắt (P) -Nếu PT có vô sô nghiƯm th× d n»m (P)
III/. Khoảng cách :
1). Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng () qua M0 có VTCP a
-Tìm hình chiếu vuông góc M lên () H - Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng () lµ MH
2). Khoảng cách hai đường chéo :
-Khoảng cách đờng thẳng chéo k/c từ DT đến MP chứa DT mà song với DT thứ
IV/. Góc :
1). Góc hai đường thẳng :
() qua M(x0;y0;z0) có VTCP a (a ;a ;a )
(’) qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP a (a ' ;a ' ;a ' )
1 2 3
2 2 2
1 3
a.a ' a a ' a a ' a a ' cos cos(a,a ')
a a ' a a a a ' a ' a '
B/ BÀI TẬP: Bài 1:
a) Viết phương trình tham số tắc tổng qt đường thẳng qua hai điểm A(1;3;1) B(4;1;2)
b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(2;-1;1) vng góc với mặt phẳng (P) : 2x – z + 1=0 Tìm tọa độ giao điểm (d) (P)
Bài 2 : Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(0;1;1), B(-1;0;2), C(3;1;0) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua ba điểm A,B,C
a) Viết phương trình tham số tắc đường thẳng BC
Bài 3: Trong khơng gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật có đỉnh A(3;0;0),
B(0;4;0), C(0;0;5), O(0;0;0) D đỉnh đối diện với O
a) Xác định tọa độ đỉnh D.Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (A,B,D)
b) Viết phương trình đường thẳng qua D vng góc với mặt phẳng (A,B,D)
c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABD) (TNPT năm 1999)
Bài 4: Cho hai đường thẳng:
x t x 2z
( ) : ( ') : y t
y
z 2t
(30)a) Chứng minh hai đường thẳng () (’) khơng cắt vng góc
b) Tính khoảng cách hai đường thẳng ()và (’)
c) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua () vng góc với (’) d) Viết phương trình đường vng góc chung ()và (’)
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1) D(-1;-5;3)
a) Lập phương trình đường thẳng AB
b) Lập phương trình mp (P) qua điểm C vng góc với đường thẳng AB
c) Lập phương trình đường thẳng (d) hình chiếu vng góc đường thẳng CD xuống mặt phẳng (P)
d) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD
Bài 6: Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0), B(0;-7;3), C(-2;1;-1), D(3;2;6) a) Tính góc tạo cặp cạnh đối diện tứ diện ABCD b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
c) Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vng góc với mặt phẳng (ABC)
d) Tìm tọa độ điểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC) e) Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng C qua đường thẳng AB
Bài 7: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(5;0;0), B(0;5/2;0), C(0;0;5/3)
và đường thẳng
x t
y 2t
z 3t
.
a) Lập phương trình mặt phẳng (α) di qua A , B, C Chứng minh (α) () vng góc nhau, tìm tọa độ giao điểm H chúng
b) Chuyển phương trình () dạng tổng quát Tính khoảng cách từ M(4;-1;1) đến ()
c) Lập phương trình đường thẳng (d) qua A vng góc với (), biết (d) () cắt
(Đề HK2 2005)
4 MẶT CẦU
A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I/. Phương trình mặt cầu:
1).Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R là: (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
2).Phương trình x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = với A2+B2+C2– D>0 phương trình mặt cầu tâm I(-A;-B;-C), bán kính R A2B2 C2 D .
(31)Bài 1: Trong KG Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z = hai điểm M(1;1;1) N(2;-1;5)
a) Xác định tọa độ tâm I bán kính mặt cầu (S) b) Viết phương trình đường thẳng MN
c) Tìm k để mặt phẳng (P): x + y – z + k = tiếp xúc mặt cầu(S) d) Tìm tọa độ giao điểm mặt cầu (S) đường thẳng MN Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu giao điểm
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4;1;0) a) Chứng minh A,B,C,D bốn đỉnh tứ diện
b) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A,B,C
c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định tọa độ tâm bán kính
Bài 3: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z – =
mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 3x + 4y – 5z + = 0.
a) Xác định tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu (S)
b) Tính khoảng cách từ tâm I đên mặt phẳng (P).Từ suy mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn mà ta ký hiệu (C) Xác định bán kính R tọa độ tâm H đường tròn (C)
(Thi HK2, 2002-2003)
Bài 4 Trong không gian Oxyz ,cho A(1;-1;2), B(1;3;2), C(4;3;2), D(4;-1;2) a) Chứng minh A, B, C, D bốn điểm đồng phẳng
b) Gọi A’ hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng Oxy viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A’, B, C, D
c) Viết phương trình tiếp diện (α) mặt cầu (S) điểm A’
Bài 5 Trong không gian Oxyz cho A(1;0;0) B(1;1;1) C(1/3; 1/3;1/3)
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) vng góc OC C Chứng minh O, B, C thẳng hàng Xét vị trí tương đối mặt cầu (S) tâm B, bán kính R 2 với mặt phẳng(P).
b) Viết phương trình tổng qt đường thẳng hình chiếu vng góc đường thẳng AB lên mặt phẳng(P)
Bài 6: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x + y + z – = mp(P) cắt
trục tọa độ A, B, C
a) Tìm tọa độ A, B, C Viết phương trình giao tuyến (P) với mặt tọa độ Tìm tọa độ giao điểm D (d):
2
2
x y x y z
với mp(Oxy) Tính
thể tích tứ diện ABCD
b) Lập phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp ABCD Lập phương trình đường trịn ngoại tiếp ACD Xác định tâm bán kính đường trịn
(TN THPT 2001-2002)
Bài 7: Trong không gian Oxyz cho điểm A, B, C, D có tọa độ xác định :
(32)b) Viết phương trình tham số đường (d) vng góc chung hai đường thẳng AB CD Tính góc (d) mặt phẳng (ABD)
c) Viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm A, B, C, D Viết phương trình tiếp diện (α ) (S) song song với mặt phẳng (ABD)
Bài 8 Trong không gian Oxyz cho điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) mặt
phẳng (P): x + y + z – =
a) Viết pt mặt cầu qua điểm A, B, C có tâm thuộc mp (P) b) Tính độ dài đường cao kẽ từ A xuống BC
c) Cho D(0;3;0).Chứng tỏ DC song song với mp(P) từ tính khoảng cách đường thẳng DC mặt phẳng (P)
Bài10: Trong không gian Oxyz cho A(2;0;0) , B(0;4;0), C(0;0;4)
a) Viết phương trình mặt cầu qua điểm O, A, B, C Tìm tọa độ tâm I bán kính mặt cầu
b) Viết phương trình mặt phẳng(ABC)
c)Viết phương trình tham số đường thẳng qua I vng góc mặt phẳng(ABC)
d) Tìm tọa độ tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 11: Cho mặt cầu (S) có phương trình x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z =0 a) Xác định tâm bán kính mặt cầu (S)
b) Gọi A, B, C giao điểm (khác điểm gốc tọa độ) mặt cầu (S) với trục tọa độ Ox, Oy, Oz Tính tọa độ A, B, C viết phương trình mặt phẳng (ABC)