Đang tải... (xem toàn văn)
Tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn khi vµ chØ khi AB vµ BC vu«ng gãc víi nhau.. 3..[r]
(1)Phòng GD-ĐT Hải Hậu
Trng THCSB Hải Minh Đề thi thử vào lớp10 thptđề dùng cho hs thi vào trờng chuyên
(Thêi gian lµm bµi 150) Bài 1(1đ): Cho biểu thức
P= xx 3
x −2√x −3−
2(√x −3)
√x+1 +
√x+3 3−√x
Rót gän P
Bài 2(1đ): Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng phơng trình:
x2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = vô nghiệm.
Bài 3(1đ): Giải phơng trình sau:
45 x+62x+7=x+25 Bài 4(1đ): Giải hệ phơng trình sau:
2x2 y2
+xy+y −5x+2=0
x2
+y2+x+y −4=0
¿{
¿
Bài 5(1đ): Chứng minh rằng:
(33+22+3322)8>36 Bài 6(1đ): Cho x, y, z> tho¶ m·n: 1x+1
y+
1
z=3
Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc:
P=√2x
+y2
xy +√
2y2 +z2
yz +√
2z2 +x2 zx
Bài 7(1đ): Trong mặt phẳng 0xy cho đờng thẳng (d) có phơng trình 2kx + (k - 1)y = (k tham số)
a) Tìm k để đờng thẳng (d) song song đờng thẳng y = x √3 Khi tính góc tạo đờng thẳng (d) với 0x
b) Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng (d) lớn
Bài 8(1đ): Cho góc vng x0y điểm A, B Ox (OB > OA >0), điểm M cạnh Oy(M O) Đờng trịn (T) đờng kính AB cắt tia MA,MB lần lợt điểm thứ hai:
C , E Tia OE cắt đờng tròn (T) điểm thứ hai F
Chứng minh điểm: O, A, E, M nằm đờng tròn Tứ giác OCFM hình gì? Tại sao?
Bài 9(1đ): Cho tam giác ABC nhọn có đờng cao: AA1, BB1, CC1 đồng quy H
Chøng minh r»ng: HAHA
+HB HB1+
HC
HC1≥6 .DÊu "=" xảy nào?
Bi 10(1): Cho tia Ox, Oy, Oz khơng đồng phẳng, đơi vng góc với Lấy điểm A, B, C Ox, Oy Oz
a) Gäi H lµ trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: OH vuông góc với mặt phẳng ABC
b) Chøng minh r»ng: S2ABC
=S2OAB
+S2OBC
(2)Đáp án:
Bài Bài giải Điểm
Bài 1 (1 điểm)
Điều kiện:
x ≥0
x −2√x −3≠0
√x −3≠0
⇔0≤ x ≠9
¿{ {
¿
* Rót gän:
√x −3¿2−(√x+3)(√x+1)
¿
¿(√x+1)(√x −3)
¿
x√x −3−2¿ ¿
P=¿
0.25
0.25
0.25
0.25
Bµi 2 (1 ®iĨm)
Ta cã: D =(a + b + c)2 - 4(ab + bc + ca) = a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca
* Vì a, b, c cạnh Dị a2 < (b + c)a
b2 < (a + c)b
c2 < (a + b)c Þ a2 + b2 + c2< 2ab + 2ac + 2bc
ịD < ị phơng trình vô nghiệm
0.25 0.25
0.25 0.25
Bµi 3 (1 điểm)
Bài 4 (1 điểm)
* Điều kiÖn:
¿
5− x ≥0 2x+7≥0
⇔−7/2≤ x 5
{
* Phơng trình
¿√2x+7−3=0
√5− x −2=0
¿
⇔x=1
⇔(2x+7−6√2x+7+9)+(5− x −4√5− x+4)=0
⇔(√2x+7−3)2+(√5− x −2)2=0
⇔
{
Gi¶i hƯ:
¿
2x2
+xy− y2−5x+y −2=0(1)
x2+y2+x+y −4=0(2)
¿{
¿
Tõ (1) Û 2x2 + (y - 5)x - y2 + y + = 0
0.25
0.25 0.25
0.25
(3)y −1¿2 ¿
⇒
¿
x=5− y −3(y −1)
4 =2− y
¿
x=5− y+3(y −1)
4 =
y+1
¿ ¿
y −5¿2−8(− y2+y+2)=9¿ ¿
¿ ¿Δx=¿
* Víi: x = - y, ta cã hƯ:
¿ ¿x=2− y
x2+y2+x+y −4=0
¿
⇔
¿x=2− y
y2−2y+1=0
⇔x=y=1
¿{
¿
*Víi x=y+1
2 , ta cã hÖ:
¿ ¿x=y+1
2
x2+y2+x+y −4=0
¿
⇔
¿y=2x −1
5x2− x −4=0
⇒
¿
x=−4
y=−13
¿ ¿{
¿
VËy hÖ cã nghiƯm: (1;1) vµ (−4
5;− 13
5 )
0.25
0.25
(4)Bµi 5 (1 điểm)
Đặt a = x + y, với: x=√3 3+2√2; y=√33−2√2 Ta ph¶i chøng minh: a8 > 36
Ta cã:
x3+y3=6
x.y=1
¿
x+y¿3=x3+y3+3 xy(x+y)=6+3a
¿ ¿ ¿{
¿
⇒a3 =¿
(v×: x > 1; y > Þ a > 1)
Þ a9 > 93.a Û a8 > 36 (®pcm).
0.25 0.25 0.25 0.25 Bài 6 (1 điểm)
* ỏp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky cho: 1, √2 x,
√2
y (12+√22)(
x2+
y2)≥(
x+
2
y)
2
⇒√2x2+y2
xy =√
2
y2+
1
x2≥
1
√3(
x+
2
y)(1)
DÊu "=" x¶y x = y Tơng tự:
√2y2+z2
yz ≥
1
√3(
y+
2
z)(2) √2z2
+x2
zx ≥
1
√3(
z+
2
x)(3) Tõ (1), (2), (3) ⇒P ≥
√3(
x+
3
y+
3
z)=3 Suy ra: Pmin = khi: x = y = z = √3
0.25
0.25
0.25
(5)Bài 7 (1 điểm)
1).* Với k = suy phơng trình (d): x = kh«ng song song: y = √3x
* Víi k 1: (d) cã d¹ng: y=− 2k
k −1.x+
k −1
để: (d) // y = √3x Û −k −2k1=√3 ⇒k=√3(2−√3)
Khi (d) tạo Ox góc nhọn a với: tga = √3 ịa = 600.
2)* Với k = khoảng cách từ O đến (d): x =
* k = suy (d) có dạng: y = -2, khoảng cách từ O đến (d) * Với k k Gọi A = d ầ Ox, suy A(1/k; 0)
B = d Ç Oy, suy B(0; 2/k-1) Suy ra: OA = |1
k|;OB=|
2
k 1|
Xét tam giác vuông AOB, ta có :
1 OH2=
1 OA2+
1 OB2
⇒OH=
√5k2−2k+1
=
√5(k −1
5) +4 ≤ 2 √5 =√5
Suy (OH)max = √5 khi: k = 1/5
Vậy k = 1/5 khoảng cách từ O đến (d) lớn
0.25 0.25
0.25
0.25
Bài 8
(1điểm) y M
a) XÐt tø gi¸c OAEM cã: F O❑+E
❑
=2v E (V×: E❑=1v gãc néi tiÕp )
Suy ra: O, A, E, M B thuộc đờng tròn
O A x C
b) Tø gi¸c OAEM néi tiÕp, suy ra: M❑1=E❑1
*Mặt khác: A, C, E, F thuộc đờng tròn (T) suy ra: E❑ 1=C
❑ Do đó: M❑1=C❑1⇒OM // FC⇒ Tứ giác OCFM hình thang
0.25 0.25 0.25 0.25 Bài (1điểm)
b)* Do tam giác ABC nhọn, nên H nằm tam giác * Đặt S = SDABC; S1 = SHBC; S2 = SHAC; S3 = SHAB A
Ta cã: C1 B1
S S1=
1
2 AA1 BC
2 HA1 BC =AA1
HA1=1+ HA
HA1 H
0.25
(6)T¬ng tù: SS
=1+HB
HB1 B A1
C SS =1+HC HC1 Suy ra: HA HA1+
HB HB1+
HC HC1=S(
1
S1+
1
S2+
1
S3)−3
(S1+S2+S3)(
S1+
1
S2+
1
S3)−3 Theo bất đẳng thức Côsy:
¿=(S1+S2+S3)(
S1+
1
S2+
1
S3)≥9
⇒HA
HA1+ HB HB1+
HC
HC1 ≥9−3=6 Dấu "=" xảy tam giác ABC
0.25
0.25 0.25
Bài 10 (1điểm)
a) Gi AM, CN đờng cao tam giác ABC Ta có: AB ^ CN
AB ^ OC (vì: OC ^ mặt phẳng (ABO) Suy ra: AB ^ mp(ONC) ị AB ^ OH (1)
Tơng tự: BC ^ AM; BC ^ OA, suy ra: BC ^ mp (OAM) ị OH ^ BC (2) Từ (1) (2) suy ra: OH ^ mp(ABC)
b) Đặt OA = a; OB = b; OC = c Ta cã: SΔABC=1
2CN AB⇒SΔABC2= 4CN
2
AB2=1 4(OC
2
+ON2).(OA2+OB2)
Mặt khác: Do tam giác OAB vuông, suy ra:
1 ON2=
1 OA2+
1 OB2=
1
a2+
b2⇒ON
= a
b2 a2
+b2
⇒SΔABC2= 4(c
2 + a
2b2
a2+b2)(a
+b2)=1 a
2b2 +1
4c 2b2
+1 4a
2c2
=¿SOBC2+SOAB2+SOAC2
0.25
0.25
0.25
0.25
Đề 3
Bài 1: Cho biểu thức:
√x+√y
P= x
(√x+√y)(1−√y)−
y
¿(√x+1)¿−
xy
(√x+1)(1−√y)
a) Tìm điều kiện x y để P xác định Rút gọn P b) Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P =
Bài 2: Cho parabol (P) : y = -x2 đờng thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm
M(-1 ; -2)
a) Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trị m (d) cắt (P) hai điểm A , B ph©n biƯt
(7)
¿
x+y+z=9 x+ y+ z=1
xy+yz+zx=27
¿{ {
¿
Bài 4: Cho đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R C điểm thuộc đờng tròn
(C A ;C B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiÕp xóc víi
đờng trịn (O), gọi M điểm cung nhỏ AC Tia BC cắt Ax Q , tia AM cắt BC N
a) Chứng minh tam giác BAN MCN c©n b) Khi MB = MQ , tÝnh BC theo R
Bµi 5: Cho x , y , z∈R tháa m·n : x+ y+ z=
x+y+z
H·y tÝnh giá trị biểu thức : M =
4 + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10)
Đáp án
Bi 1: a) iu kin để P xác định :; x ≥0; y ≥0; y ≠1; x+y ≠0
*) Rót gän P:
(1 ) (1 )
1
x x y y xy x y
P
x y x y
( ) 1
x y x x y y xy x y
x y x y
1 1
x y x y x xy y xy
x y x y
1 1
1
x x y x y x x
x y
1
x y y y x
y
1 1
1
x y y y y
y
x xy y.
VËy P = √x+√xy−√y
b) P = ⇔ √x+√xy−√y = ⇔√x(1+√y)−(√y+1)=1
⇔(√x −1) (1+√y)=1
Ta cã: + y 1 Þ x 1 Û 0 x Þ x = 0; 1; 2; ; 4 Thay vµo ta cócác cặp giá trị (4; 0) (2 ; 2) tho¶ m·n
Bài 2: a) Đờng thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm M(-1 ; -2) Nên phơng trình đờng thẳng (d) : y = mx + m –
(8)Q N M O C B A
⇔ x2 + mx + m – = (*)
Vì phơng trình (*) có =m24m+8=(m2)2+4>0m nên phơng trình (*) có
hai nghiệm phân biệt , (d) (P) ln cắt hai điểm phân biệt A B b) A B nằm hai phía trục tung ⇔ phơng trình : x2 + mx + m – =
cã hai nghiƯm tr¸i dÊu ⇔ m – < ⇔ m <
Bµi :
¿
x+y+z=9(1)
1 x+ y+ z=1(2)
xy+yz+xz=27(3) ¿{ {
¿
§KX§ : x ≠0, y ≠0, z≠0
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
81 81
81 27
2( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
x y z x y z xy yz zx
x y z xy yz zx x y z
x y z xy yz zx x y z xy yz zx
x y y z z x
x y x y
y z y z x y z
z x z x Þ Û Û Û Þ Þ Û Û Û Û
Thay vµo (1) => x = y = z =
Ta thÊy x = y = z = thâa m·n hƯ ph¬ng trình Vậy hệ phơng trình có nghiệm x = y = z =
Bµi 4:
a) XÐt ΔABM vµ ΔNBM
Ta có: AB đờng kính đờng trịn (O) nên :AMB = NMB = 90o
M điểm cung nhỏ AC nên ABM = MBN => BAM = BNM => ΔBAN cân đỉnh B
Tø gi¸c AMCB néi tiÕp
=> BAM = MCN ( bù với góc MCB) => MCN = MNC ( góc BAM) => Tam giác MCN cân đỉnh M
b) XÐt ΔMCB vµ ΔMNQ cã :
MC = MN (theo cm MNC cân ) ; MB = MQ ( theo gt)
BMC = MNQ ( v× : MCB = MNC ; MBC = MQN ).
=> ΔMCB=ΔMNQ(c.g.c) => BC = NQ
Xét tam giác vuông ABQ có ACBQ AB2 = BC BQ = BC(BN + NQ)
=> AB2 = BC ( AB + BC) = BC( BC + 2R)
=> 4R2 = BC( BC + 2R) => BC =
(√5−1)R Bµi 5:
Tõ : x+ y+ z=
x+y+z => x+ y+ z−
x+y+z=0
=> xyx+y+x+y+z− z
(9)⇒(z+y)( xy+
1
z(x+y+z))=0
⇒(x+y)(zx+zy+z
+xy xyz(x+y+z) )=0
⇒(x+y)(y+z)(z+x)=0
Ta cã : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).=
y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - + z8)
z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5)
VËy M =
4 + (x + y) (y + z) (z + x).A =
§Ị 4
Bài 1: 1) Cho đờng thẳng d xác định y = 2x + Đờng thẳng d/ đối xứng với
đ-ờng thẳng d qua đđ-ờng thẳng y = x lµ: A.y =
2 x + ; B.y = x - ; C.y =
2 x - ; D.y = - 2x -
Hãy chọn câu trả lời
2) Một hình trụ có chiều cao gấp đơi đờng kính đáy đựng đầy nớc, nhúng chìm vào bình hình cầu lấy mực nớc bình cịn li
3 bình Tỉ số
bán kính hình trụ bán kính hình cầu A.2 ; B
√2 ; C
√3 ; D kết khác
Bìa2: 1) Giải phơng trình: 2x4 - 11 x3 + 19x2 - 11 x + = 0
2) Cho x + y = (x > 0; y > 0) Tìm giá trị lớn A = x + y Bài 3: 1) Tìm số nguyên a, b, c cho ®a thøc : (x + a)(x - 4) -
Phân tích thành thừa số đợc : (x + b).(x + c)
2) Cho tam giác nhọn xây, B, C lần lợt điểm cố định tia Ax, Ay sao cho AB < AC, điểm M di động góc xAy cho MA
MB =
Xác định vị trí điểm M để MB + MC đạt giá trị nhỏ
Bài 4: Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB CD vng góc với nhau, lấy điểm I đoan CD
a) Tìm điểm M tia AD, điểm N tia AC cho I lag trung điểm cña MN
b) Chứng minh tổng MA + NA khơng đổi
c) Chứng minh đờng trịn ngoại tiếp tam giác AMN qua hai điểm cố định
Hớng dẫn Bài 1: 1) Chọn C Trả li ỳng.
2) Chọn D Kết khác: Đáp sè lµ: Bµi : 1)A = (n + 1)4 + n4 + = (n2 + 2n + 1)2 - n2 + (n4 + n2 + 1)
= (n2 + 3n + 1)(n2 + n + 1) + (n2 + n + 1)(n2 - n + 1)
(10)M D
C B
A
x
K O
N
M
I
D C
B A
VËy A chia hÕt cho sè chÝnh ph¬ng khác với số nguyên dơng n 2) Do A > nªn A lín nhÊt ⇔ A2 lín nhÊt.
XÐt A2 = (
√x + √y )2 = x + y + 2
√xy = + √xy (1) Ta cã: x+y
2 √xy (Bất đẳng thức Cô si)
=> > √xy (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: A2 = + 2
√xy < + = Max A2 = <=> x = y =
2 , max A = √2 <=> x = y =
Bài3 Câu 1Víi mäi x ta cã (x + a)(x - 4) - = (x + b)(x + c) Nªn víi x = th× - = (4 + b)(4 + c)
Cã trêng hỵp: + b = vµ + b = + c = - + c = - Trêng hỵp thø nhÊt cho b = - 3, c = - 11, a = - 10
Ta cã (x - 10)(x - 4) - = (x - 3)(x - 11) Trêng hỵp thø hai cho b = 3, c = - 5, a =
Ta cã (x + 2)(x - 4) - = (x + 3)(x - 5) Câu2 (1,5điểm)
Gọi D điểm cạnh AB cho: AD =
4 AB Ta có D điểm cố định
Mµ MA
AB =
2 (gt) AD MA =
1
Xét tam giác AMB tam giác ADM có MâB (chung) MA
AB = AD MA =
1
Do AMB ~ ADM => Δ Δ MB
MD = MA
AD =
=> MD = 2MD (0,25 ®iĨm)
Xét ba điểm M, D, C : MD + MC > DC (không đổi) Do MB + 2MC = 2(MD + MC) > 2DC
Dấu "=" xảy <=> M thuộc đoạn thẳng DC Giá trị nhỏ MB + MC DC * Cách dựng điểm M
- Dựng đờng trịn tâm A bán kính
2 AB
- Dùng D trªn tia Ax cho AD =
4 AB
M giao điểm DC đờng tròn (A;
2 AB)
Bài 4: a) Dựng (I, IA) cắt AD M cắt tia AC N Do MâN = 900 nên MN đờng kính
Vậy I trung điểm MN b) Kẻ MK // AC ta có : INC = IMK (g.c.g)Δ Δ => CN = MK = MD (vì MKD vng cân)Δ Vậy AM+AN=AM+CN+CA=AM+MD+CA => AM = AN = AD + AC không đổi
(11)Vậy đờng tròn ngoại tiếp AMN qua hai điểm A, B cố địnhΔ
§Ị 5
Bài Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời :
2 2 1 2 1 2 1 0
x y y z z x
TÝnh giá trị biểu thức :A x 2007y2007z2007
Bài 2) Cho biÓu thøc :M x2 5x y 2xy 4y2014
Với giá trị x, y M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ Bài Giải hệ phơng trình :
2 18
1 72
x y x y x x y y
Bài Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB bán kính R Tiếp tuyến điểm M bbất kỳ đờng tròn (O) cắt tiếp tuyến A B lần lợt C D
a.Chøng minh : AC BD = R2.
b.Tìm vị trí điểm M để chu vi tam giác COD nhỏ Bài 5.Cho a, b số thực dơng Chứng minh :
2 2
2
a b
a b a b b a
Bài 6).Cho tam giác ABC có phân giác AD Chứng minh : AD2 = AB AC - BD DC. Híng dÉn gi¶i
Bài Từ giả thiết ta có :
2 2
2
2
2
x y y z z x Cộng vế đẳng thức ta có :
2 2 1 2 1 2 1 0
x x y y z z
x 12 y 12 z 12
Þ 1 x y z Û
Þ x y z 1 2007 2007 2007
2007 2007 2007 1 1 1 3
A x y z
Þ
Vậy : A = -3 Bài 2.(1,5 điểm) Ta cã :
4 4 2 1 2 2 2007
M x x y y xy x y
22 12 2 1 2007
M x y x y
(12)
2
1
2 1 2007
2
M x y y
Þ
Do
1
y
vµ
1
2
2
x y
x y, 2007
M
Þ Þ Mmin 2007Û x2;y1
Bµi Đặt :
1
u x x v y y
Ta cã :
18 72 u v uv
ị u ; v nghiệm phơng
trình :
2
1
18 72 12;
X X Þ X X
Þ 12 u v ; 12 u v Þ 12 x x y y ; 12 x x y y
Giải hai hệ ta đợc : Nghiệm hệ :
(3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) hoán vị
Bµi 4 a.Ta cã CA = CM; DB = DM Các tia OC OD phân giác hai góc AOM MOB nªn OC ^ OD
Tam giác COD vng đỉnh O, OM đờng cao thuộc cạnh huyền CD nên : MO2 = CM MD
Þ R2 = AC BD
b.C¸c tø gi¸c ACMO ; BDMO néi tiÕp
;
MCO MAO MDO MBO
Þ
COD AMB g g
ị
(0,25đ)
Do :
Chu vi COD OM Chu vi AMB MH
(MH
1 ^ AB)
Do MH1 OM nªn
1
OM
MH Þ Chu vi COD chu vi AMB
DÊu = x¶y Û MH1 = OM MO ị M điểm cung AB
Bài (1,5 ®iÓm) Ta cã :
2 1 0; 2 a b
a , b >
(13)1
0;
4
a a b b
Þ
1
( ) ( )
4
a a b b
Þ
a , b > 0
1
0
a b a b
Þ
Mặt khác a b ab Nh©n tõng vÕ ta cã :
1 2
a b a b ab a b
2 2
2
a b
a b a b b a
Þ
Bài (1 điểm) Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp ABC Gọi E giao điểm AD (O)
Ta cã:ABDCED (g.g)
BD AD
AB ED BD CD ED CD Þ Þ
AD AE AD BD CD AD AD AE BD CD
Þ
ị
Lại có : ABDAEC g g
2
AB AD
AB AC AE AD AE AC
AD AB AC BD CD
Þ Þ
Þ
Đè 6
Câu 1: Cho hàm sè f(x) = √x2
−4x+4
a) Tính f(-1); f(5) b) Tìm x để f(x) = 10
c) Rót gän A = f(x)
x2−4 x 2
Câu 2: Giải hệ phơng trình
¿
x(y −2)=(x+2)(y −4) (x −3)(2y+7)=(2x −7)(y+3)
¿{
¿
C©u 3: Cho biĨu thøcA = (x√x+1 x −1 −
x −1
√x −1):(√x+
√x
√x −1) víi x > vµ x
a) Rót gän A
b) Tìm giá trị x để A =
Câu 4: Từ điểm P nằm ngồi đờng trịn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB Gọi H chân đờng vng góc hạ từ A đến đờng kính BC
d
e
c b
(14)a) Chøng minh r»ng PC cắt AH trung điểm E AH b) Giả sử PO = d Tính AH theo R d
Câu 5: Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - = 0
Không giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa
m·n: 3x1 - 4x2 = 11
đáp án
C©u 1a) f(x) =
x −2¿2 ¿ ¿
√x2−4x+4=√¿
Suy f(-1) = 3; f(5) =
b)
f(x)=10⇔
x −2=10
¿
x −2=−10
¿
x=12
¿
x=−8
¿ ¿ ¿
⇔¿ ¿ ¿ ¿
c) A= f(x)
x2−4=
|x −2|
(x −2)(x+2)
Víi x > suy x - > suy A=
x+2
Víi x < suy x - < suy A=−
x+2
C©u 2
( 2) ( 2)( 4) 2
( 3)(2 7) (2 7)( 3) 21 21
x y x y xy x xy y x x y
x y x y xy y x xy y x x y
Û Û Û
x -2
y
C©u a) Ta cã: A = (x√x+1 x −1 −
x −1
√x −1):(√x+
√x √x −1) = ((√x+1)(x −√x+1)
(√x −1)(√x+1) −
x −1
√x −1):(
√x(√x −1)
√x −1 +
√x
(15)(x −√x+1
√x −1 −
x −1
√x −1):(
x −√x+√x
√x −1 ) =
x −√x+1− x+1
√x −1 :
x
√x −1 =
−√x+2
√x −1 :
x
√x −1
= −√x+2 √x −1 ⋅
√x −1
x =
2−√x x b) A = => 2−√x
x = => 3x + √x - = => x = 2/3 C©u 4
Do HA // PB (Cïng vu«ng gãc víi BC)
a) nên theo định lý Ta let áp dụng cho CPB ta có EH
PB = CH
CB ; (1)
Mặt khác, PO // AC (cùng vng góc với AB) => POB = ACB (hai góc đồng vị)
=> D AHC ∞ D POB Do đó: AH
PB = CH
OB (2)
Do CB = 2OB, kết hợp (1) (2) ta suy AH = 2EH hay E lµ trung ®iĨm cđa AH
b) Xét tam giác vng BAC, đờng cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH
Theo (1) vµ AH = 2EH ta cã
AH2=(2R −AH CB
2PB )
AH CB 2PB
⇔ AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB
⇔ 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2
⇔ AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB
2R¿2
¿
4PB2+¿
¿
⇔ AH=4R CB PB PB2+CB2=
4R 2R PB
Câu Để phơng trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 D >
<=> (2m - 1)2 - (m - 1) > 0
Từ suy m 1,5 (1)
Mặt khác, theo định lý Viét giả thiết ta có:
O
B H C
(16)¿
x1+x2=−2m−1 x1.x2=m−1
2 3x1−4x2=11
⇔
¿{ {
¿
¿
x1=13-4m x1=7m−7
26-8m 313-4m
7 −4
7m−7 26-8m=11
{ {
Giải phơng trình 313-4m −4
7m−7
26-8m=11
ta đợc m = - m = 4,125 (2)
Đối chiếu điều kiện (1) (2) ta có: Với m = - m = 4,125 phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: x1 + x2 = 11
§Ị 7
C©u 1: Cho P =
2 x x x + 1 x x x - 1 x x
a/ Rót gän P
b/ Chøng minh: P <
1
3 víi x x 1.
Câu 2: Cho phơng trình : x2 2(m - 1)x + m2 – = ( ) ; m lµ tham sè.
a/ Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm
b/ Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm cho nghiệm ba ln nghim
Câu 3: a/ Giải phơng trình :
1
x +
1
2 x = 2
b/ Cho a, b, c số thực thõa mÃn :
0
2
2 11
a b
a b c
a b c
Tìm giá trị lớn giá trÞ bÐ nhÊt cđa Q = a + b + 2006 c
Câu 4: Cho ABC cân A với AB > BC Điểm D di động cạnh AB, ( D không trùng với A, B) Gọi (O) đờng tròn ngoại tiếp BCD Tiếp tuyến (O) C D
c¾t ë K
a/ Chøng minh tø gi¸c ADCK néi tiếp b/ Tứ giác ABCK hình gì? Vì sao?
c/ Xác định vị trí điểm D cho tứ giác ABCK hình bình hành Đáp án
Câu 1: Điều kiện: x x 1 (0,25 ®iĨm) P = x x x + 1 x x x -
( 1)( 1)
x
x x
(17)=
2
( )
x x + 1 x x x - 1 x =
2 ( 1)( 1) ( 1)
( 1)( 1)
x x x x x
x x x
= ( 1)( 1)
x x
x x x
=
x x x
b/ Víi x vµ x 1 Ta cã: P <
1
3 Û
x
x x <
1
Û 3 x < x + x + ; ( v× x + x + > ) Û x - 2 x + > 0
Û ( x - 1)2 > ( Đúng x x 1)
Câu 2:a/ Phơng trình (1) cã nghiƯm vµ chØ D’ 0. Û (m - 1)2 – m2 – 0
Û – 2m 0
Û m 2.
b/ Víi m th× (1) cã nghiƯm.
Gäi mét nghiƯm (1) a nghiệm 3a Theo Viet ,ta cã:
3 2
.3
a a m
a a m
Þ a=
1
m
Þ 3(
1
m
)2 = m2 – 3
Û m2 + 6m – 15 = 0
Û m = –32 6 ( thâa m·n ®iỊu kiƯn).
Câu 3:
Điều kiện x ; – x2 > Û x ; x < 2.
Đặt y = 2 x2 >
Ta cã:
2 2 (1)
1 (2) x y x y
Tõ (2) cã : x + y = 2xy Thay vào (1) có : xy = xy =
-1
* Nếu xy = x+ y = Khi x, y nghiệm phơng trình: X2 – 2X + = Û X = ị x = y = 1.
* NÕu xy =
-1
(18)X2 + X -
1
2 = Û X =
1
2
Vì y > nên: y =
1
2
Þ x =
1
2
Vậy phơng trình có hai nghiệm: x1 = ; x2 =
1
2
C©u 4: c/ Theo c©u b, tứ giác ABCK hình thang
Do ú, tứ giác ABCK hình bình hành Û AB // CK
Û BACACK
Mµ
2
ACK
s®EC =
1
2sđBD = DCB
Nên BCD BAC
Dựng tia Cy cho BCy BAC Khi đó, D giao điểm AB Cy Với giả thiết AB > BC BCA > BAC > BDC
Þ D AB
Vậy điểm D xác định nh điểm cần tìm
§Ị 8
Câu 1: a) Xác định x R để biểu thức :A = √x2+1− x −
x2+1 x Là số tự
nhiên
b Cho biÓu thøc: P = √x √xy+√x+2+
√y √yz+√y+1+
2√z
√zx+2√z+2 BiÕt x.y.z = , tính
P
Câu 2:Cho điểm A(-2;0) ; B(0;4) ; C(1;1) ; D(-3;2)
a Chøng minh điểm A, B ,D thẳng hàng; điểm A, B, C không thẳng hàng b Tính diện tích tam giác ABC
Câu3 Giải phơng trình: x −1−3
√2− x=5
Câu Cho đờng tròn (O;R) điểm A cho OA = R √2 Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đờng trịn Một góc xOy = 450 cắt đoạn thẳng AB AC lần lợt D
vµ E
Chøng minh r»ng:
a.DE tiếp tuyến đờng tròn ( O ) b
3R<DE<R
đáp án Câu 1: a
A = √x2+1− x − √x
2+1+x
(√x2+1− x).(√x2+1+x)
=√x2+1− x (x2+1+x)=2x
A số tự nhiên -2x số tự nhiên x = k
2
(trong k Z k )
O
K
D
C B
(19)b.Điều kiện xác định: x,y,z 0, kết hpọ với x.y.z = ta đợc x, y, z > √xyz=2
Nhân tử mẫu hạng tử thứ với √x ; thay mẫu hạng tử thứ √xyz ta đợc:
P =
√x+2+√xy
¿
√z¿
√x √xy+√x+2+
√xy
√xy+√x+2+ 2√z
¿
(1đ)
P=1 P >
Câu 2: a.Đờng thẳng qua điểm A B có dạng y = ax + b Điểm A(-2;0) B(0;4) thuộc đờng thẳng AB nên ⇒ b = 4; a = Vậy đờng thẳng AB y = 2x +
Điểm C(1;1) có toạ độ không thoả mãn y = 2x + nên C không thuộc đờng thẳng AB
⇒ A, B, C không thẳng hàng
im D(-3;2) cú to tho mãn y = 2x + nên điểm D thuộc đờng thẳng AB ⇒ A,B,D thẳng hàn
b.Ta cã :
AB2 = (-2 – 0)2 + (0 – 4)2 =20
AC2 = (-2 – 1)2 + (0 –1)2 =10
BC2 = (0 – 1)2 + (4 – 1)2 = 10
⇒ AB2 = AC2 + BC2 DABC vuông C
Vậy SDABC = 1/2AC.BC =
1
2√10 √10=5 ( đơn vị diện tích )
Câu 3: Đkxđ x 1, đặt √x −1=u ;√32− x=v ta có hệ phơng trình:
¿
u − v=5
u2+v3=1
¿{
¿
Giải hệ phơng trình phơng pháp ta đợc: v = ⇒ x = 10
C©u 4
a.áp dụng định lí Pitago tính đợc AB = AC = R ⇒ ABOC hỡnh vuụng (0.5)
Kẻ bán kính OM cho
BOD = MOD ⇒
MOE = EOC (0.5®)
Chøng minh DBOD = DMOD ⇒ OMD = OBD = 900
T¬ng tù: OME = 900
⇒ D, M, E thẳng hàng Do DE tiếp tuyến đờng trịn (O) b.Xét DADE có DE < AD +AE mà DE = DB + EC
⇒ 2ED < AD +AE +DB + EC hay 2DE < AB + AC = 2R ⇒ DE < R Ta cã DE > AD; DE > AE ; DE = DB + EC
Cộng vế ta đợc: 3DE > 2R ⇒ DE >
3 R
VËy R > DE >
3 R
B
M A
O
C D
(20)Đề 9
Câu 1: Cho hµm sè f(x) = √x2−4x +4
a) Tính f(-1); f(5) b) Tìm x để f(x) = 10
c) Rót gän A = f(x)
x2−4 x 2
Câu 2: Giải hệ phơng trình
¿
x(y −2)=(x+2)(y −4) (x −3)(2y+7)=(2x −7)(y+3)
¿{
¿
C©u 3: Cho biĨu thøc
A = (x√x+1 x −1 −
x −1
√x −1):(√x+
√x
√x −1) víi x > vµ x
a) Rót gän A
2) Tìm giá trị x để A =
Câu 4: Từ điểm P nằm đờng trịn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB Gọi H chân đờng vng góc hạ từ A đến đờng kính BC
a) Chøng minh PC cắt AH trung điểm E AH b) Gi¶ sư PO = d TÝnh AH theo R d
Câu 5: Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - = 0
Khơng giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa
m·n: 3x1 - 4x2 = 11
đáp án Câu 1
a) f(x) =
x −2¿2 ¿ ¿
√x2−4x+4=√¿
(21)b)
f(x)=10⇔
x −2=10
¿
x −2=−10
¿
x=12
¿
x=−8
¿ ¿ ¿
⇔¿ ¿ ¿ ¿
c) A= f(x)
x2−4=
|x −2|
(x −2)(x+2)
Víi x > suy x - > suy A=
x+2
Víi x < suy x - < suy A=−
x+2
C©u 2
¿
x(y −2)=(x+2)(y −4) (x −3)(2y+7)=(2x −7)(y+3)
¿
⇔
xy−2x=xy+2y −4x −8
2 xy−6y+7x −21=2 xy−7y+6x −21
¿
⇔ x − y=−4
x+y=0 ⇔
¿x=-2
y=2
¿ ¿{
¿
C©u 3a) Ta cã: A = (x√x+1 x −1 −
x −1
√x −1):(√x+
√x √x −1)
= ((√x+1)(x −√x+1)
(√x −1)(√x+1) −
x −1
√x −1):(
√x(√x −1)
√x −1 +
√x √x −1)
= (x −√x+1 √x −1 −
x −1
√x −1):(
x −√x+√x
(22)= x −√x+1− x+1 √x −1 :
x √x −1
= −√x+2 √x −1 :
x
√x −1 =
−√x+2
√x −1 ⋅
√x −1
x =
2−√x x
b) A = => 2−√x
x = => 3x + √x - = => x = 2/3 C©u 4
a) Do HA // PB (Cïng vu«ng gãc víi BC)
b) nên theo định lý Ta let áp dụng cho tam giác CPB ta có
EH PB =
CH
CB ; (1)
Mặt khác, PO // AC (cïng vu«ng gãc víi AB)
=> POB = ACB (hai góc đồng vị) => D AHC ∞ D POB
Do đó: AH
PB = CH
OB (2)
Do CB = 2OB, kÕt hỵp (1) vµ (2) ta suy AH = 2EH hay E trug điểm
AH
b) Xét tam giác vuông BAC, đờng cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH
Theo (1) vµ AH = 2EH ta cã
AH2=(2R −AH CB 2PB )
AH CB 2PB
⇔ AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB
⇔ 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2
⇔ AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB
O
B H C
(23)2R¿2
¿
4PB2 +¿
¿
⇔ AH=4R CB PB PB2+CB2=
4R 2R PB
¿
C©u (1đ)
Để phơng trình có nghiệm phân biƯt x1 ; x2 th× D >
<=> (2m - 1)2 - (m - 1) > 0
Từ suy m 1,5 (1)
Mặt khác, theo định lý Viét giả thiết ta có:
¿
x1+x2=−2m−1 x1.x2=m−1
2 3x1−4x2=11
⇔
¿{ {
¿
¿
x1=13-4m x1=
7m−7 26-8m 313-4m
7 −4
7m−7 26-8m=11
¿{ {
Giải phơng trình 313-4m 4
7m−7
26-8m=11
ta đợc m = - m = 4,125 (2)
Đối chiếu điều kiện (1) (2) ta có: Với m = - m = 4,125 phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt t
§Ị 10
Câu I : Tính giá trị biểu thức:
A =
√3+√5 +
√5+√7 +
√7+√9 + +
1
√97+√99
B = 35 + 335 + 3335 + + 3333 35⏟
99sè3
C©u II :Phân tích thành nhân tử :
1) X2 -7X -18
2) (x+1) (x+2)(x+3)(x+4) 3) 1+ a5 + a10
C©u III :
1) Chøng minh : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2)
2) ¸p dơng : cho x+4y = T×m GTNN cđa biÓu thøc : M= 4x2 + 4y2
Câu : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), I trung điểm BC, M điểm đoạn CI ( M khác C I ) Đờng thẳng AM cắt (O) D, tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác AIM M cắt BD DC P Q
(24)b) TÝnh tØ sè : MP
MQ
C©u 5:
Cho P = √x
2−4x+3 √1− x
Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa, rút gọn biểu thức.
đáp án Câu :
1) A =
√3+√5 +
√5+√7 +
√7+√9 + +
1
√97+√99
=
2 ( √5−❑√3 + √7−√5 + √9−√7 + + √99−√97 ) =
2 ( √99−√3 )
2) B = 35 + 335 + 3335 + + 3333 35⏟
99sè3 =
=33 +2 +333+2 +3333+2+ + 333 33+2 = 2.99 + ( 33+333+3333+ +333 33)
= 198 +
3 ( 99+999+9999+ +999 99)
198 +
3 ( 102 -1 +103 - 1+104 - 1+ +10100 – 1) = 198 – 33 +
B = (10101−102
27 ) +165
C©u 2: 1)x2 -7x -18 = x2 -4 – 7x-14 = (x-2)(x+2) - 7(x+2) = (x+2)(x-9) (1®)
2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) -3= (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-3
= (x2+5x +4)(x2 + 5x+6)-3= [x2+5x +4][(x2 + 5x+4)+2]-3
= (x2+5x +4)2 + 2(x2+5x +4)-3=(x2+5x +4)2 - 1+ 2(x2+5x +4)-2
= [(x2+5x +4)-1][(x2+5x +4)+1] +2[(x2+5x +4)-1]
= (x2+5x +3)(x2+5x +7)
3) a10+a5+1
= a10+a9+a8+a7+a6 + a5 +a5+a4+a3+a2+a +1
- (a9+a8+a7 )- (a6 + a5 +a4)- ( a3+a2+a )
= a8(a2 +a+1) +a5(a2 +a+1)+ a3(a2 +a+1)+ (a2 +a+1)-a7(a2 +a+1)
-a4(a2 +a+1)-a(a2 +a+1)
=(a2 +a+1)( a8-a7+ a5 -a4+a3 - a +1)
Câu 3: 4đ
1) Ta có : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2) <=>
a2b2+2abcd+c2d2 a2b2+ a2d2 +c2b2 +c2d2 <=>
a2d2 - 2cbcd+c2b2 <=>
(ad - bc)2 (®pcm )
DÊu = x·y ad=bc
2) áp dụng đẳng thức ta có :
52 = (x+4y)2 = (x + 4y) (x2 + y2) (1+16) =>
x2 + y2 25
17 => 4x2 + 4y2
100
17 dÊu = x·y x=
17 , y = 20
(25)Câu 4 : 5đ
Ta có : góc DMP= góc AMQ = góc AIC Mặt khác góc ADB = góc BCA=> Δ MPD đồng dạng với Δ ICA => DM
CI = MP
IA => DM.IA=MP.CI hay
DM.IA=MP.IB (1)
Ta cã gãc ADC = gãc CBA,
Gãc DMQ = 1800 - AMQ=1800 - gãc AIM = gãc BIA.
Do Δ DMQ đồng dạng với Δ BIA =>
DM BI =
MQ
IA => DM.IA=MQ.IB (2)
Tõ (1) vµ (2) ta suy MP
MQ =
C©u
Để P xác định : x2-4x+3 1-x >0
Tõ 1-x > => x <
Mặt khác : x2-4x+3 = (x-1)(x-3), Vì x < nên ta cã :
(x-1) < (x-3) < từ suy tích (x-1)(x-3) > Vậy với x < biểu thức có nghĩa
Víi x < Ta cã : P = √x
2−4x+3 √1− x =
√(x −1)(x −3)
1 x =3 x
Đề 11
Câu 1 : a Rót gän biĨu thøc A=√1+1
a2+
(a+1)2 Víi a > b TÝnh giá trị tổng B=1+
12+ 22+√1+
1 22+
1
32+ +√1+ 992+
1 1002
C©u 2 : Cho pt x2−mx+m−1=0
a Chøng minh r»ng pt lu«n lu«n cã nghiƯm víi ∀m
b Gäi x1, x2 lµ hai nghiƯm cđa pt T×m GTLN, GTNN cđa bt
P= 2x1x2+3
x12+x
22+2(x1x2+1)
C©u : Cho x ≥1, y ≥1 Chøng minh.
1 1+x2+
1 1+y2≥
2 1+xy
Câu Cho đờng tròn tâm o dây AB M điểm chuyển động đờng tròn,
từM kẻ MH ^ AB (H AB) Gọi E F lần lợt hình chiếu vng góc H MA MB Qua M kẻ đờng thẳng vng góc với è cắt dây AB D
1 Chứng minh đờng thẳng MD qua điểm cố định M thay đổi đờng tròn
(26)MA2 MB2 =
AH BD
AD BH
H
íng dÉn C©u 1 a Bình phơng vế A=a
2 +a+1
a(a+1) (Vì a > 0)
c áp dụng c©u a
A=1+1
a−
1
a+1
¿⇒B=100−
100= 9999 100
C©u a : cm Δ≥0∀m
B (2 ®) ¸p dơng hƯ thøc Viet ta cã: ¿
x1+x2=m
x1x2=m−1 ¿{
¿
⇒P=2m+1
m2+2 (1) Tìm đk đẻ pt (1) có nghiệm theo ẩn
⇒−1
2≤ P≤1
⇒GTLN=−1
2⇔m=−2 GTNN=1⇔m=1
Câu : Chuyển vế quy đồng ta đợc bđt ⇔ x(y − x)
(1+x2)(1+xy)+
y(x − y) (1+y2)(1+xy)≥0
⇔(x − y)2(xy−1)≥0 xy≥1
C©u 4: a
- Kẻ thêm đờng phụ
- Chứng minh MD đờng kính (o) =>
b
Gọi E', F' lần lợt hình chiếu D MA MB Đặt HE = H1
HF = H2
⇒AH
BD AD BH =
HE h1 MA2 HF.h2 MB
2 (1) ⇔ΔHEF ∞ ΔDF'E' ⇒HF h2=HE h
Thay vµo (1) ta cã: MA MB2 =
AH BD
AD BH
§Ị 12
M
o E'
E A
F F'
B I
(27)C©u 1: Cho biĨu thøc D = [√a+√b
1−√ab+
√a+√b
1+√ab ] : [1+
a+b+2 ab 1−ab ]
a) Tìm điều kiện xác định D rút gọn D
b) TÝnh giá trị D với a =
23
c) Tìm giá trị lớn D
Câu 2: Cho phơng trình
23 x
2- mx +
2−√3 m
2 + 4m - = (1)
a) Giải phơng trình (1) với m = -1
b) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm thoã mãn x1+
1
x2=x1+x2
Câu 3: Cho tam giác ABC đờng phân giác AI, biết AB = c, AC = b, ^A=α(α=900 )
Chøng minh r»ng AI = bc Cos α
2
b+c
(Cho Sin2 α=2 SinαCosα )
Câu 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB điểm N di động nửa đờng tròn cho N A ≤ N B Vễ vào đờng trịn hình vng ANMP
a) Chứng minh đờng thẳng NP qua điểm cố định Q
b) Gọi I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác NAB Chứng minh tứ giác ABMI nội tiếp
c) Chứng minh đờng thẳng MP qua điểm cố định Câu 5: Cho x,y,z; xy + yz + zx = x + y + z = -1
HÃy tính giá trị cña: B = xy
z +
zx
y +
xyz
x
Đáp án
Câu 1: a) - Điều kiện xác định D
¿
a ≥0
b ≥0 ab≠1
¿{ {
¿
- Rót gän D D = [2√a+2b√a
1−ab ] : [
a+b+ab 1−ab ]
(28)c b a
I
C B
A
a
2
a
2
b) a =
2+√3
¿
√3+1¿2⇒√a=√3+1 2¿
2 2+√3=¿ VËy D =
2+2√3 2√3+1
=2√3−2 4−√3
c) áp dụng bất đẳng thức cauchy ta cú
2a a+1D 1
Vậy giá trị D
Câu 2: a) m = -1 phơng trình (1) 1
2x
+x −9
2=0⇔x
+2x −9=0
⇒ x1=−1−√10
x2=1+10
{
b) Để phơng trình cã nghiƯm th× Δ≥0⇔−8m+2≥0⇔m ≤1 (*)
+ Để phơng trình có nghiệm khác
m1 432
m2≠ −4+3√2
¿
⇔1
2m
+4m−1≠0
⇒
{
(*)
+
1
x1 +
x2
=x1+x2⇔(x1+x2)(x1x2−1)=0⇔
x1+x2=0
x1x2−1=0
¿{
⇔
2m=0
m2
+8m−3=0
⇔
¿m=0
m=−4−√19
m=−4+√19
¿{
Kết hợp với điều kiện (*)và (**) ta đợc m = m=−4−√19
C©u 3: + SΔABI=1
2AI cSin
α
2;
+ SΔAIC=1
2AI bSin
α
(29)+ SΔABC=1
2bcSinα ;
SΔABC=SΔABI+SΔAIC
⇒bcSinα=AISinα 2(b+c)
⇒AI=bcSinα Sinα
2(b+c) =
2 bcCosα
b+c
C©u 4: a) Nˆ1 Nˆ2Gäi Q = NP (O) QA QB
ị Suy Q cố định
b) ^A
1= ^M1(¿^A2)
ị Tứ giác ABMI nội tiếp
c) Trên tia đối QB lấy điểm F cho QF = QB, F cố định Tam giác ABF có: AQ = QB = QF
ị ABF vuông A ị B^=450AF B^ =450 Lại có ị Þ
0
1 45 ˆ
ˆ AFB P
P Tø gi¸c APQF néi tiÕp Þ A^P F
=AQ F^ =900 Ta cã: A^P F+A^P M=900
+900=1800
ị M1,P,F Thẳng hàng
Câu 5: Biến đổi B = xyz (1 x2+
1
y2+
1
z2) = ⋯=xyz
2 xyz=2
§Ị 13
Bµi 1: Cho biĨu thøc A =
4( 1) 4( 1)
1 4( 1)
x x x x
x
x x
a) Tìm điều kiện x để A xác định b) Rút gọn A
Bài : Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) B(3; -4) a) Viết phơng tình đờng thẳng AB
b) Xác định điểm M trục hoành để tam giác MAB cân M Bài : Tìm tất số tự nhiên m để phơng trình ẩn x sau:
x2 - m2x + m + = 0
cã nghiÖm nguyªn
Bài : Cho tam giác ABC Phân giác AD (D BC) vẽ đờng tròn tâm O qua A D đồng thời tiếp xúc với BC D Đờng tròn cắt AB AC lần lợt E F Chứng minh
1
1
2
F
I
Q P N
M
(30)a) EF // BC
b) Các tam giác AED ADC; àD ABD tam giác đồng dạng c) AE.AC = à.AB = AC2
Bµi : Cho số dơng x, y thỏa mÃn điều kiện x2 + y2 x3 + y4 Chøng minh:
x3 + y3 x2 + y2 x + y 2
Đáp án Bài 1:
a) Điều kiÖn x tháa m·n
2
1
4( 1) 4( 1) 4( 1)
x x x x x x x Û 1 x x x x
Û x > vµ x 2
KL: A xác định < x < x > b) Rút gọn A
A =
2
2
( 1) ( 1)
1 ( 2)
x x x
x x A =
1 1 2
2
x x x
x x
Víi < x < A =
2 1 x Víi x > A =
2
x
KÕt luËn
Víi < x < th× A =
2 1 x Víi x > th× A =
2
x
Bµi 2:
a) A B có hồnh độ tung độ khác nên phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b
A(5; 2) AB Þ 5a + b = B(3; -4) AB Þ 3a + b = -4 Gi¶i hƯ ta cã a = 3; b = -13
Vậy phơng trình đờng thẳng AB y = 3x - 13 b) Giả sử M (x, 0) xx’ ta có
MA = (x 5)2 (0 2)2 MB = (x 3)2 (04)2
MAB cân
ị MA = MB (x 5)2 4 (x 3)2 16 Û (x - 5)2 + = (x - 3)2 + 16
Û x =
(31)Bµi 3:
Phơng trình có nghiệm nguyên = m 4 - 4m - số phơng
Ta lại có: m = 0; < loại m = = = 2 nhËn
m th× 2m(m - 2) > Û 2m2 - 4m - > 0 Û - (2m2 - 2m - 5) < < + 4m + 4 Û m4 - 2m + < < m
Û (m2 - 1)2 < < (m 2)2
không phơng
Vậy m = giá trị cần tìm Bài 4:
a)
( )
2
EADEFD sd ED
(0,25)
( )
2
FADFDC sd FD
(0,25)
mµ EDA FAD Þ EFD FDC (0,25)
Þ EF // BC (2 góc so le nhau) b) AD phân giác góc BAC nên DE DF
sđ
2
ACD
s®(AED DF ) =
1
2sđAE = sđADE ACDADE v EAD DAC
ị D ADC (g.g) Tơng tự: s®
( )
2
ADF sd AF sd AFD DF =
1
( )
2 sd AFD DE sd ABD ị ADFABD AFD ~ (g.g
c) Theo trªn:
+ AED ~ DB
Þ
AE AD
AD AC hay AD2 = AE.AC (1)
+ ADF ~ ABD Þ
AD AF AB AD
Þ AD2 = AB.AF (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã AD2 = AE.AC = AB.AF
Bài (1đ):
Ta có (y2 - y) + Þ 2y3 y4 + y2
Þ (x3 + y2) + (x2 + y3) (x2 + y2) + (y4 + x3)
mà x3 + y4 x2 + y3 đó
x3 + y3 x2 + y2 (1)
+ Ta cã: x(x - 1)2 0: y(y + 1)(y - 1)2 0 Þ x(x - 1)2 + y(y + 1)(y - 1)2 0 Þ x3 - 2x2 + x + y4 - y3 - y2 + y 0
Þ (x2 + y2) + (x2 + y3) (x + y) + (x3 + y4)
mµ x2 + y3 x3 + y4
Þ x2 + y2 x + y (2)
vµ (x + 1)(x - 1) (y - 1)(y3 -1) 0
x3 - x2 - x + + y4 - y - y3 + 0
F E
A
B
(32)Þ (x + y) + (x2 + y3) + (x3 + y4)
mà x2 + y3 x3 + y4 ị x + y Tõ (1) (2) vµ (3) ta cã:
x3 + y3 x2 + y2 x + y 2
Đề 14
Câu 1: x- 4(x-1) + x + 4(x-1)
cho A= ( - )
x2- 4(x-1) x-1
a/ rót gän biĨu thøc A
b/ Tìm giá trị ngun x để A có giá trị nguyên
Câu 2: Xác định giá trị tham số m để phơng trình
x2-(m+5)x-m+6 =0
Có nghiệm x1 x2 thoã mãn điều kiện sau: a/ Nghiệm lớn nghiệm đơn vị
b/ 2x1+3x2=13
Câu 3Tìm giá trị m để hệ phơng trình
mx-y=1
m3x+(m2-1)y =2
vô nghiệm, vô số nghiệm
Câu 4: tìm max biểu thức: x 2 +3x+1
x2+1
Câu 5: Từ đỉnh A hình vng ABCD kẻ hai tia tạo với góc 450.
Một tia cắt cạnh BC E cắt đờng chéo BD P Tia cắt cạnh CD F cắt đ-ờng chéo BD Q
a/ Chứng minh điểm E, P, Q, F C nằm đờng trịn b/ Chứng minh rằng: SAEF=2SAQP
c/ KỴ trung trực cạnh CD cắt AE M tính sè ®o gãc MAB biÕt CPD=CM
h
íng dÉn
Câu 1: a/ Biểu thức A xác định x x>1≠
( x-1 -1)2+ ( x-1 +1)2 x-2
A= ( )
(x-2)2 x-1
x- -1 + x-1 + x- x- = = = x-2 x-1 x-1 x-1 b/ §Ĩ A nguyên x- ớc dơng
* x- =1 x=0 loại * x- =2 th× x=5
vËy víi x = A nhận giá trị nguyên
Câu 2: Ta có ∆x = (m+5)2-4(-m+6) = m2+14m+1≥0 để phơng trìnhcó hai nghiệmphân
biƯt vµchØ m≤-7-4 vµ m -7+4 (*) ≥ a/ Gi¶ sư x2>x1 ta cã hƯ x2-x1=1 (1)
x1+x2=m+5 (2)
x1x2 =-m+6 (3)
Giải hệ tađợc m=0 m=-14 thoã mãn (*) b/ Theo giả thiết ta có: 2x1+3x2 =13(1’)
(33)x1x2 =-m+6 (3’)
giải hệ ta đợc m=0 m= Thoả mãn (*)
Câu 3:*Để hệ vô nghiệm m/m3=-1/(m2-1) 1/2
3m3-m=-m3 m2(4m2- 1)=0 m=0 m=0
3m2-1 -2 3m≠ 2≠-1 m=±1/2 m=±1/2
m∀ *Hệvô số nghiệm thì: m/m3=-1/(m2-1) =1/2
3m3-m=-m3 m=0
3m2-1= -2 m=±1/2
V« nghiƯm
Khơng có giá trị m để hệ vô số nghiệm
Câu 4: Hàm số xác định với ∀x(vì x2+1 0) x≠ 2+3x+1
gäi y0 giá trịcủa hàmphơng trình: y0=
x2+1
(y0-1)x2-6x+y0-1 =0 cã nghiÖm
*y0=1 suy x = y0 1; ≠ ∆’=9-(y0-1)2≥0 (y0-1)2≤9 suy
-2 ≤ y0 ≤
VËy: ymin=-2 vµ y max=4
Câu 5: ( Học sinh tự vẽ hình) Gi¶i
a/ A1 và B1 nhìn đoạn QE dới góc 450 ị tứ giác ABEQ nội tiếp đợc
Þ FQE = ABE =1v
chøng minh t¬ng tù ta cã FBE = 1v
ị Q, P, C nằm đờng tròn đờng kinh EF b/ Từ câu a suy ∆AQE vuông cân
Þ
AE
AQ = 2 (1)
tơng tự APF vuông cân
Þ
AF
AB = 2 (2)
từ (1) (2) ị AQP ~ AEF (c.g.c)
AEF AQP
S
S = ( 2 )2 hay S
AEF = 2SAQP
c/ Để thấy CPMD nội tiếp, MC=MD APD=CPD
ÞMCD= MPD=APD=CPD=CMD
ịMD=CD ị ∆MCD ị MPD=600
mµ MPD lµ gãc ngoµi cđa ∆ABM ta có APB=450 MAB=600-450=150
Đề 15
Bài 1: Cho biÓu thøc M = 2√x −9 x −5√x+6+
2√x+1
√x −3+
√x+3 2−√x
1
Q
P M
F
E
D C
(34)a. Tìm điều kiện x để M có nghĩa rút gọn M b. Tìm x để M =
c. Tìm x Z để M Z
bµi 2: a) Tìm x, y nguyên dơng thoà mÃn phơng trình 3x2 +10 xy + 8y2 =96
b)t×m x, y biÕt / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/ = Bµi 3: a Cho số x, y, z dơng thoà mÃn
x +
1
y +
1
z = Chøng ming r»ng:
2x+y+z +
1
x+2y+z +
1
x+y+2z
b Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc: B = x
−2x+2006
x2 (với x ) Bài 4: Cho hình vng ABCD Kẻ tia Ax, Ay cho x^A y = 45 ❑0 Tia Ax cắt CB BD lần lợt E P, tia Ay cắt CD BD lần lợt F Q a Chứng minh điểm E; P; Q; F; C nằm đờng tròn
b S ΔAEF = S ΔAPQ
Kẻ đờng trung trực CD cắt AE M Tính số đo góc MAB biết C^P D =
C^M D
Bài 5: (1đ)
Cho ba sè a, b , c kh¸c tho· m·n:
¿
1
a+
1
b+
1
c=0
¿
; H·y tÝnh P =
ac
c2+
bc
a2 +
ac
b2 đáp án
Bµi 1:M = 2√x −9 x −5√x+6+
2√x+1
√x −3 +
√x+3 2−√x a.ĐK x 0; x 4;x 9 0,5đ
Rót gän M = 2√x −9−(√x+3)(√x −3)+(2√x+1) (√x −2)
(√x −2) (√x −3)
Biến đổi ta có kết quả: M = x −√x −2
(√x −2) (√x −3) M =
(√x+1)(√x −2)
(√x −3) (√x −2)⇔M=
√x+1
√x −3
b M = 5⇔√x −1 √x −3=5
⇒√x+1=5(√x −3)
⇔√x+1=5√x −15
⇔16=4√x ⇒√x=16
4 =4⇒x=16
c M = √x+1 √x −3=
√x −3+4
√x −3 =1+
√x −3
(35)⇒x∈{1;4;16;25;49} x ≠4⇒ x∈{1;16;25;49}
Bµi a 3x2 + 10xy + 8y2 = 96
< > 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = 96
< > (3x2 + 6xy) + (4xy + 8y2) = 96
< > 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96
< > (x + 2y)(3x + 4y) = 96
Do x, y nguyên dơng nên x + 2y; 3x + 4y nguyen dơng 3x + 4y > x + 2y mà 96 = 25 có ớc là: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 đợc biểu diễn thnh
tích thừa số không nhỏ lµ: 96 = 3.32 = 4.24 = 16 = 12
Lại có x + 2y 3x + 4y có tích 96 (Là số chẵn) có tổng 4x + 6y số chẳn
¿
x+2y=6 3x+4y=24
¿{
Hệ PT vô nghiệm
Hc
¿
x+2y=6 3x+4y=16
¿{
¿
⇒ x=4
y=1
¿{
Hc
¿
x+2y=8 3x+4y=12
¿{
¿
HƯ PT v« nghiƯm
Vậy cấp số x, y nguyên dơng cần tìm (x, y) = (4, 1) b ta cã /A/ = /-A/ A∀A
Nªn /x - 2005/ + / x - 2006/ = / x - 2005/ + / 2008 - x/
❑/x −2005+2008− x/❑/3/❑3 (1)
mµ /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = (2) Kết hợp (1 (2) ta cã / x - 2006/ + / y - 2007/ (3)
(3) s¶y vµ chØ
¿
x −2006/❑0
y −2007/❑0
⇔
¿x=2006
y=2007
¿{
¿ Bµi 3
(36)b Víi mäi a, b thuéc R: x, y > ta cã a2 x +
b2
y≥
(a+b)2
x+y (∗)
< >(a2y + b2x)(x + y)
(a+b)2xy
Û a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy a2xy + 2abxy + b2xy
Û a2y2 + b2x2 2abxy
Û a2y2 – 2abxy + b2x2 0
Û (ay - bx)2 (**) bất đẳng thức (**) với a, b, x,y > 0
DÊu (=) x¶y ay = bx hay
a b x y
áp dung bất đẳng thức (*) hai lần ta có
2 2 2
1 1 1 1
1 2 2 4 4
2x y z 2x y z x y x z x y x z
2 2
1 1
1 1
4 4
16
x y x z x y z
T¬ng tù
1 1
2 16
x y z x y z
1 1
2 16
x y z x y z
Cộng vế bất đẳng thức ta có:
1 1 1 1 1 1
2 2 16 16 16
1 4 4 1 1
.4
16 16
x y z x y z x y z x y z x y z x y z
x y z x y z
V×
1 1
4
x yz
2
2
2 2006 x x
B x
x
(37)Ta cã: B=x
−2x+2006
x2 ⇔B=
2006x2−2 2006x+20062
2006x
⇔B=(x −2006)
2+2005x2
x2 ⇔
(x −2006)2+2005 2006x2 +
2005 2006
V× (x - 2006)2 víi mäi x
x2 > víi mäi x kh¸c
2
2
2006 2005 2005
0 2006
2006 2006 2006
x
B B khix
x
ị ị ị
Bài 4a EBQ EAQ 450Þ EBAQ
néi tiÕp; Bˆ = 900 à gãc AQE = 900à gãcEQF
= 900
T¬ng tù gãc FDP = gãc FAP = 450
à Tø gi¸c FDAP néi tiÕp gãc D = 900à gãc APF = 900à gãc EPF = 900 …… 0,25®
Các điểm Q, P,C nhìn dới 1góc900 nên ®iÓm E, P, Q, F, C cïng n»m
trên đờng trịn đờng kính EF ………0,25đ
b Ta cã gãc APQ + gãc QPE = 1800 (2 gãc kÒ bï) ⇒ gãc APQ = gãc AFE
Gãc AFE + gãc EPQ = 1800
àTam giác APQ đồng dạng với tam giác AEF (g.g)
à
2
2 1 2
2
APQ
APQ AEE AEF
S
k S S
S
D
D D
D
Þ
c gãc CPD = gãc CMD tø gi¸c MPCD néi tiÕp gãc MCD = gãc CPD (cùng chắn cung MD)
Lại có góc MPD = gãc CPD (do BD lµ trung trùc cđa AC) gãc MCD = gãc MDC (do M thuéc trung trùc cđa DC)
à góc CPD = gócMDC = góc CMD = gócMCD tam giác MDC gúc CMD = 600
tam giác DMA cân D (vì AD = DC = DM)
Và gãc ADM =gãcADC – gãcMDC = 900 – 600 = 300
à gãc MAD = gãc AMD (1800 - 300) : = 750
à gãcMAB = 900 – 750 = 150
(38)à x3 + y3 + z3 – xyz = -(y + z)3 + y3 – 3xyz
à-( y3 + 3y2 z +3 y2z2 + z3) + y3 + z3 – 3xyz = - 3yz(y + z + x) = - 3yz = 0
Tõ x3 + y3 + z3 – 3xyz = à x3 + y3 + z3 = 3xyz
à 1/ a3 + 1/ b3 + 1/ c3 1/ a3 .1/ b3 .1/ c3 = 3/abc
Do P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = abc (1/a3 + 1/b3+ 1/c3) = abc.3/abc = 3
nÕu 1/a + 1/b + 1/c =o th× P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = 3
Đề 16
Bài 1Cho biểu thức A =
x2−3¿2+12x2 ¿ ¿ ¿
√¿
+ x+2¿
−8x2
¿
√¿
a Rót gän biĨu thøc A
b Tìm giá trị nguyên x cho biểu thức A có giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm)
Cho cỏc ng thng:
y = x-2 (d1)
y = 2x – (d2)
y = mx + (m+2) (d3)
a Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (d3 ) qua với giá trị m
b Tìm m để ba đờng thẳng (d1); (d2); (d3) ng quy
Bài 3: Cho phơng tr×nh x2 - 2(m-1)x + m - = (1)
a Chứng minh phơng trình có nghiệm phân biệt
b Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình (1) mà không phụ thuộc vào m
c Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa P = x2
1 + x22 (víi x1, x2 nghiệm phơng
trình (1))
Bài 4: Cho đờng tròn (o) với dây BC cố định điểm A thay đổi vị trí cung lớn BC cho AC>AB AC > BC Gọi D điểm cung nhỏ BC Các tiếp tuyến (O) D C cắt E Gọi P, Q lần lợt giao điểm cặp đờng thẳng AB với CD; AD CE
a Chøng minh r»ng DE// BC
b Chøng minh tø gi¸c PACQ néi tiÕp
c Gọi giao điểm dây AD BC lµ F Chøng minh hƯ thøc:
CE =
CQ + CE
Bµi 5: Cho số dơng a, b, c Chứng minh rằng: 1< a
a+b+
b b+c+
c c+a<2
đáp án Bài 1: - Điều kiện : x
a Rót gän: A=√x
+6x2+9
x2 +√x
2
(39)¿x
2 +3
|x| +|x −2|
- Víi x <0: A=−2x
+2x −3
x - Víi 0<x 2: A=2x+3
x - Víi x>2 : A=2x
2
−2x+3
x b Tìm x nguyên để A nguyên:
A nguyªn <=> x2 + ⋮|x|
<=> ⋮|x| => x = {−1;−3;1;3} Bµi 2:
a (d1) : y = mx + (m +2)
<=> m (x+1)+ (2-y) = Để hàm số qua điểm cố định với m
¿
x+1=0 2− y=0
¿{
¿
=.>
¿
x=−1
y=2
¿{
¿
Vậy N(-1; 2) điểm cố định mà (d3) qua
b Gọi M giao điểm (d1) (d2) Tọa độ M nghiệm hệ ¿
y=x −2
y=2x −4
¿{
¿
=>
¿
x=2
y=0
¿{
¿
VËy M (2; 0)
Nếu (d3) qua M(2,0) M(2,0) nghiệm (d3)
Ta cã : = 2m + (m+2) => m= -
3
VËy m = -
3 (d1); (d2); (d3) đồng quy
Bµi 3: a Δ' = m2 –3m + = (m -
2 )2 +
4 >0 m
Vậy phơng trình cã nghiƯm ph©n biƯt
b Theo ViÐt:
¿
x1+x2=2(m−1)
x1x2=m−3
¿{
¿
=>
¿
x1+x2=2m −2 2x1x2=2m −6
¿{
¿
<=> x1+ x2 – 2x1x2 – = kh«ng phơ thc vµo m
a P = x12 + x12 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 – (m-3)
= (2m -
2 )2 + 15
4 ≥ 15
(40)VËyPmin =
15
víi m =
5
Bài 4: Vẽ hình – viết giả thiết – kết luận a Sđ ∠ CDE =
2 S® DC =
2 S® BD = ∠BCD
=> DE// BC (2 gãc vÞ trÝ so le) b ∠ APC =
2 s® (AC - DC) = ∠ AQC
=> APQC néi tiÕp (v× ∠ APC = ∠ AQC cïng nhìn đoan AC)
c.Tứ giác APQC nội tiếp
∠ CPQ = ∠ CAQ (cïng ch¾n cung CQ) ∠ CAQ = ∠ CDE (cïng ch¾n cung DC) Suy ∠ CPQ = ∠ CDE => DE// PQ Ta cã: DE
PQ = CE
CQ (v× DE//PQ) (1) DE
FC = QE
QC (vì DE// BC) (2)
Cộng (1) (2) : DE
PQ+ DE FC =
CE+QE
CQ =
CQ CQ=1
=>
PQ+ FC=
1
DE (3)
ED = EC (t/c tiÕp tuyÕn) tõ (1) suy PQ = CQ Thay vµo (3) :
CQ+ CF=
1
CE
Bµi 5:Ta cã: a
a+b+c <
a
b+a <
a+c
a+b+c (1)
b
a+b+c <
b
b+c <
b+a
a+b+c (2)
c
a+b+c <
c
c+a <
c+b
a+b+c (3)
Céng tõng vÕ (1),(2),(3) :
< a a+b +
b
b+c +
c
(41)-đề
3 I.Tr¾c nghiƯm:(2 ®iĨm)
Hãy ghi lại chữ đứng trớc khẳng định Câu 1: Kết phép tính 8 18 98 72 : 2 :
A 4 B 5 6 C 16 D 44
Câu : Giá trị m phơng trình mx2 +2 x + = có hai nghiƯm ph©n
biƯt :
A m0
B
1
m
C m0vµ
1
m D m0vµ m1
Câu :Cho ABC nội tiếp đờng trịn (O) có B 60 ;0 C 450 SđBC là:
A 750 B 1050 C 1350 D 1500
Câu : Một hình nón có bán kính đờng trịn đáy 3cm, chiều cao 4cm
diện tích xung quanh hình nón là:
A 9 (cm2) B 12(cm2) C 15(cm2) D 18(cm2)
II Tự Luận: (8 điểm)
Câu : Cho biÓu thøc A=
1
1
x x x x
x x
a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức A.
c) Với giá trị x A<1.
Câu : Hai vòi nớc chảy vào bể đầy bể sau 24 phút Nếu chảy riêng từng vòi vòi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai Hỏi mở riêng vòi vòi chảy đầy bể?
Cõu : Cho đờng trịn tâm (O) đờng kính AB Trên tia đối tia AB lấy điểm C
(AB>BC) Vẽ đờng trịn tâm (O') đờng kính BC.Gọi I trung điểm AC Vẽ
dây MN vng góc với AC I, MC cắt đờng tròn tâm O' ti D.
a) Tứ giác AMCN hình gì? Tại sao? b) Chứng minh tứ giác NIDC nội tiếp?
(42)Đáp án
Câu Nội dung Điểm
1 C 0.5
2 D 0.5
3 D 0.5
4 C 0.5
5
a) A cã nghÜa Û
0 x x Û x x 0.5 b) A=
12 1
1
x x x
x x
0.5
= x 1 x 0.25
=2 x1 0.25
c) A<1 Þ 2 x1<1 0.25
Þ x 2 0.25
Þ x1 ị x<1 0.25
Kết hợp điều kiện câu a) ị Vậy với 0 x 1 A<1 0.25
6
2giê 24 phót=
12
5 giờ
Gọi thời gian vòi thứ chảy đầy bể x (giờ) ( Đk x>0)
0.25 Thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể là: x+2 (giờ)
Trong gi vũi thứ chảy đợc :
1
x (bĨ)
0.5
Trong vịi thứ hai chảy đợc :
1
x (bÓ)
Trong hai vòi chảy đợc :
1
x+
1
x (bể)
Theo ta có phơng trình:
1
x+
1
x =
1 12
5
0.25
Giaỉ phơng trình ta đợc x1=4; x2
=-6 5(lo¹i)
0.75 Vậy: Thời gian vòi thứ chảy đầy bể là:4 giờ
Thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể là: 4+2 =6(giờ)
0.25
(43)I
D
N M
O' O
A
C B
a) Đờng kính AB^MN (gt) ị I trung điểm MN (Đờng kính dây
cung)
0.5
IA=IC (gt) ị Tứ giác AMCN có đơng chéo AC MN cắt trung
điểm đờng vng góc với nên hình thoi.
0.5 b)ANB900 (góc nội tiếp chắn 1/2 đờng trịn tâm (O) )
Þ BN ^AN.
AN// MC (cạnh đối hình thoi AMCN).
Þ BN ^MC (1)
900
BDC (góc nội tiếp chắn 1/2 đờng tròn tâm (O') )
BD ^MC (2)
Từ (1) (2) ị N,B,D thẳng hàng NDC900(3). 900
NIC (v× AC^MN) (4)
0.5
Từ (3) (4) ị N,I,D,C nằm đờng trịn đờng kính NC
ị Tứ giác NIDC nội tiếp 0.5
c) OBA O'BC mà BA vafBC hai tia đối ị B nằm O O'
do ta có OO'=OB + O'B ị đờng trịn (O) đờng trịn (O') tiếp xúc
ngoµi B
0.5
MDN vuông D nên trung tuyÕn DI =
1
2MN =MI Þ MDI cân ị
IMD IDM .
T¬ng tù ta cãO DC O CD ' ' mà IMD O CD ' 900(vì MIC900)
0.25
ị IDM O DC ' 900 mà MDC 1800 Þ IDO' 90
do ID^DO ị ID tiếp tuyến đờng tròn (O'). 0.25
(44)Đề 4
Câu1 : Cho biÓu thøc A=
1− x2¿2 ¿
x¿
(xx −3−11+x)(
x3+1
x+1 − x):¿
Víi x √2 ;1
.a, Ruý gän biểu thức A
.b , Tính giá trị cđa biĨu thøc cho x= √6+2√2
c Tìm giá trị x để A=3 Câu2.a, Giải hệ phơng trình:
x − y¿2+3(x − y)=4
¿
2x+3y=12
¿ ¿ ¿
b Giải bất phơng trình: x34x22x −15
x2
+x+3 <0
C©u3 Cho phơng trình (2m-1)x2-2mx+1=0
Xỏc nh m phng trình có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)
Câu 4 Cho nửa đờng trịn tâm O , đờng kính BC Điểm A thuộc nửa đờng trịn Dng hình vng ABCD thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C Gọi Flà giao điểm Aevà nửa đờng tròn (O) Gọi Klà giao điểm CFvà ED
a chứng minh điểm E,B,F,K nằm đờng trịn b Tam giác BKC tam giác ? Vì ?
đáp án Câu 1: a Rút gọn A= x2−2
x
b.Thay x= √6+2√2 vào A ta đợc A= 4+2√2 √6+2√2
c.A=3<=> x2-3x-2=0=> x= 3±√17
2
Câu 2 : a)Đặt x-y=a ta đợc pt: a2+3a=4 => a=-1;a=-4 Từ ta có
x − y¿2+3(x − y)=4
¿
2x+3y=12
¿ ¿ ¿
(45)O K
F E
D
C B
A *
¿
x − y=1 2x+3y=12
¿{
¿
(1)
*
¿
x − y=−4 2x+3y=12
¿{
¿
(2)
Giải hệ (1) ta đợc x=3, y=2 Giải hệ (2) ta đợc x=0, y=4
VËy hệ phơng trình có nghiệm x=3, y=2 x=0; y=4 b) Ta cã x3-4x2-2x-15=(x-5)(x2+x+3)
mà x2+x+3=(x+1/2)2+11/4>0 với x Vậy bất phơng trình tơng đơng với x-5>0 =>x>5 Câu 3: Phơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0
Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành –x+1=0=> x=1 Xét 2m-10=> m 1/2 ta có
Δ, = m2-2m+1= (m-1)20 mäi m=> pt cã nghiÖm víi mäi m
ta thÊy nghiƯm x=1 kh«ng thc (-1,0)
víi m 1/2 pt cßn cã nghiƯm x= m−m2m−+11 = 2m−1 1
pt cã nghiƯm kho¶ng (-1,0)=> -1< 2m−1 1 <0
¿
1
2m−1+1>0 2m−1<0
¿{
¿
=>
¿
2m
2m−1>0 2m−1<0
¿{
¿
=>m<0
VËy Pt cã nghiƯm kho¶ng (-1,0) m<0 Câu 4:
a Ta có KEB= 900
mặt khác BFC= 900( góc nội tiếp chn na ng trũn)
do CF kéo dài cắt ED t¹i D
=> BFK= 900 => E,F thuộc đờng trịn đờng kính BK
hay điểm E,F,B,K thuộc đờng trịn đờng kính BK b BCF= BAF
Mµ BAF= BAE=450=> BCF= 450
Ta cã BKF= BEF
Mà BEF= BEA=450(EA đờng chéo hình vng ABED)=>
BKF=450
(46)Đề 5
Bài 1: Cho biểu thøc: P = (x√x −1 x −√x −
x√x+1
x+√x ):(
2(x −2√x+1)
x −1 )
a,Rót gän P
b,Tìm x ngun để P có giá trị ngun
Bài 2: Cho phơng trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= (*) a.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm âm
b.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm x1; x2 thoả mãn |x13− x23| =50
Bài 3: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = có hai nghiệm dơng phân biệt x1, x2Chứng minh:
a,Phơng trình ct2 + bt + a =0 có hai nghiệm dơng phân biệt t1 t2. b,Chøng minh: x1 + x2 + t1 + t2
Bài 4: Cho tam giác có góc nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O H trực tâm tam giác D điểm cung BC không chứa điểm A
a, Xác định vị trí điẻm D để tứ giác BHCD hình bình hành
b, Gọi P Q lần lợt điểm đối xứng điểm D qua đờng thẳng AB AC Chứng minh điểm P; H; Q thẳng hàng
c, Tìm vị trí điểm D để PQ có độ dài lớn Bài 5: Cho hai số dơng x; y tho món: x + y
Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa: A = x2
+y2+ 501 xy Đáp án
Bài 1: (2 điểm) ĐK: x 0; x ≠1 a, Rót gän: P = 2x(x −1)
x(x −1) :
2( √x −1❑z)
2
x −1 <=> P =
√x −1¿2 ¿ ¿
√x −1
¿
b P = √x+1 √x −1=1+
2
√x −1
(47)√x −1=1⇒√x=2⇒x=4
√x −1=−1⇒√x=0⇒x=0
√x −1=2⇒√x=3⇒x=9
√x −1=−2⇒√x=−1(Loai)
Vậy với x= {0;4;9} P có giá trị nguyên
Bài 2: Để phơng trình có hai nghiệm ©m th×:
¿
Δ=(2m+1)2−4(m2+m−6)≥0
x1x2=m2+m−6>0
x1+x2=2m+1<0
¿{ {
¿
⇔ Δ=25>0 (m−2)(m+3)>0
m<−1
⇔m<−3
¿{ {
b Giải phơng trình: m+3 (m−2)3−¿=50
¿
¿m1=−1+√5
m2=−1−√5
¿
⇔|5(3m2+3m+7
)|=50⇔m2+m−1=0
⇔ {
Bµi 3: a Vì x1 nghiệm phơng trình: ax2 + bx + c = nªn ax12 + bx1 + c =0.
V× x1> => c ( x1)
2 +b
x1
+a=0 Chứng tỏ
x1 nghiệm dơng ph-ơng trình: ct2 + bt + a = 0; t1 =
x1 Vì x2 nghiệm phơng trình: ax2 + bx + c = => ax22 + bx2 + c =0
v× x2> nªn c (x1 2)
2
+b.(
x2)
+a=0 điều chứng tỏ
x2 nghiệm dơng phơng trình ct2 + bt + a = ; t2 =
(48)Vậy phơng trình: ax2 + bx + c =0 có hai nghiẹm dơng phân biệt x1; x2 thì phơng trình : ct2 + bt + a =0 có hai nghiệm dơng phân biệt t1 ; t2 t1 =
x1 ; t2 = x1
2
b Do x1; x1; t1; t2 nghiệm dơng nên t1+ x1 = x1
1 + x1 t2 + x2 =
x2 + x2 Do x1 + x2 + t1 + t2
Bµi 4
a Giả sử tìm đợc điểm D cung BC cho tứ giác BHCD hình bình hành Khi đó: BD//HC; CD//HB H trực tâm tam giác ABC nên
CH AB BH AC => BD AB CD AC Do đó: ABD = 900 ACD = 900
Vậy AD đờng kính đờng tròn tâm O Ngợc lại D đầu đờng kính AD
của đờng trịn tâm O
tứ giác BHCD hình bình hành
b) Vỡ P đối xứng với D qua AB nên APB = ADB
nhng ADB =ACB nhng ADB = ACB
Do đó: APB = ACB Mặt khác: AHB + ACB = 1800 => APB + AHB = 1800
Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên PAB = PHB
Mà PAB = DAB đó: PHB = DAB
Chøng minh t¬ng tù ta cã: CHQ = DAC
VËy PHQ = PHB + BHC + CHQ = BAC + BHC = 1800
Ba điểm P; H; Q thẳng hàng
c) Ta thấy Δ APQ tam giác cân đỉnh A
H
O P
Q
D
C B
(49)Có AP = AQ = AD PAQ = 2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ
đạt giá trị lớn AP AQ lớn hay AD lớn
D đầu đờng kính kẻ từ A đờng trịn tâm O
Đề 6
Bài 1: Cho biÓu thøc: √ x+√y
P= x
(√x+√y)(1−√y)−
y
¿(√x+1)¿−
xy
(√x+1)(1−√y)
a) Tìm điều kiện x y để P xác định Rút gọn P b) Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P =
Bài 2: Cho parabol (P) : y = -x2 đờng thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm M(-1 ; -2)
a) Chøng minh r»ng víi giá trị m (d) cắt (P) hai điểm A , B phân biệt
b) Xỏc định m để A,B nằm hai phía trục tung
Bài 3: Giải hệ phơng trình :
¿
x+y+z=9
x+
1
y+
1
z=1
xy+yz+zx=27
¿{ {
¿
Bài 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R C điểm thuộc đờng tròn
(C ≠ A ;C ≠ B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa ®iĨm C , kỴ tia Ax tiÕp xóc
với đờng trịn (O), gọi M điểm cung nhỏ AC Tia BC cắt Ax Q , tia AM cắt BC N
a) Chøng minh tam giác BAN MCN cân b) Khi MB = MQ , tÝnh BC theo R
Bµi 5: Cho x , y , z∈R tháa m·n : 1x+1
y+
1
z=
1
x+y+z
HÃy tính giá trị biÓu thøc : M = 34 + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 x10) Đáp án
(50)*) Rót gän P:
(1 ) (1 )
1
x x y y xy x y
P
x y x y
( )
1
x y x x y y xy x y
x y x y
1 1
x y x y x xy y xy
x y x y
1 1
1
x x y x y x x
x y
1
x y y y x
y
1 1
1
x y y y y
y
x xy y.
VËy P = √x+√xy−√y
b) P = ⇔ √x+√xy−√y = ⇔√x(1+√y)−(√y+1)=1
⇔(√x −1) (1+√y)=1
Ta cã: + y1 Þ x 1 Û 0 x Þ x = 0; 1; 2; ;
Thay vào ta cócác cặp giá trị (4; 0) (2 ; 2) thoả mÃn
Bài 2: a) Đờng thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm M(-1 ; -2) Nên phơng trình đờng thẳng (d) : y = mx + m –
Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phơng trình: - x2 = mx + m –
⇔ x2 + mx + m – = (*)
Vì phơng trình (*) có Δ=m2−4m+8=(m−2)2+4>0∀m nên phơng trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt , (d) (P) ln cắt hai điểm phân biệt A B
b) A vµ B n»m vỊ hai phÝa cđa trơc tung ⇔ phơng trình : x2 + mx + m = 0 cã hai nghiƯm tr¸i dÊu ⇔ m – < ⇔ m <
Bµi 3 :
¿
x+y+z=9(1)
x+
1
y+
1
z=1(2)
xy+yz+xz=27(3)
¿{ {
¿
(51)Q N M O C B A
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
81 81
81 27
2( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
x y z x y z xy yz zx
x y z xy yz zx x y z
x y z xy yz zx x y z xy yz zx
x y y z z x
x y x y
y z y z x y z
z x z x Þ Û Û Û Þ Þ Û Û Û Û
Thay vµo (1) => x = y = z =
Ta thÊy x = y = z = thõa mÃn hệ phơng trình Vậy hệ phơng trình có nghiệm x = y = z =
Bµi 4:
a) XÐt ΔABM vµ ΔNBM
Ta có: AB đờng kính đờng tròn (O) nên :AMB = NMB = 90o
M điểm cung nhỏ AC nªn ABM = MBN => BAM = BNM
=> ΔBAN cân đỉnh B Tứ giác AMCB nội tiếp
=> BAM = MCN ( bù với góc MCB) => MCN = MNC ( góc BAM) => Tam giác MCN cân đỉnh M
b) XÐt ΔMCB vµ ΔMNQ cã :
MC = MN (theo cm MNC cân ) ; MB = MQ ( theo gt)
BMC = MNQ ( v× : MCB = MNC ; MBC = MQN )
=> ΔMCB=ΔMNQ(c.g.c) => BC = NQ
XÐt tam giác vuông ABQ có ACBQ AB2 = BC BQ = BC(BN + NQ) => AB2 = BC ( AB + BC) = BC( BC + 2R)
=> 4R2 = BC( BC + 2R) => BC = (
√5−1)R
Bµi 5:
Tõ : 1x+1
y+
1
z=
1
x+y+z => x+ y+ z−
x+y+z=0
=> xyx+y+x+y+z− z
z(x+y+z)=0
⇒(z+y)( xy+
1
z(x+y+z))=0
⇒(x+y)(zx+zy+z
+xy xyz(x+y+z) )=0
⇒(x+y)(y+z)(z+x)=0
(52)z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5) VËy M = 34 + (x + y) (y + z) (z + x).A = 34
§Ị 7
Bài 1: 1) Cho đờng thẳng d xác định y = 2x + Đờng thẳng d/ đối xứng với đờng thẳng d qua đờng thẳng y = x là:
A.y = 12 x + ; B.y = x - ; C.y = 12 x - ; D.y = - 2x - Hãy chọn câu trả lời
2) Một hình trụ có chiều cao gấp đơi đờng kính đáy đựng đầy nớc, nhúng chìm vào bình hình cầu lấy mực nớc bình cịn lại 32 bình Tỉ số bán kính hình trụ bán kính hình cầu A.2 ; B
√2 ; C
√3 ; D mét kết khác
Bìa2: 1) Giải phơng trình: 2x4 - 11 x3 + 19x2 - 11 x + = 0
2) Cho x + y = (x > 0; y > 0) Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa A = √x + √y
Bài 3: 1) Tìm số nguyên a, b, c cho đa thức : (x + a)(x - 4) - Phân tích thành thừa số đợc : (x + b).(x + c)
2) Cho tam giác nhọn xây, B, C lần lợt điểm cố định tia Ax, Ay
sao cho AB < AC, điểm M di động góc xAy cho MAMB = 12 Xác định vị trí điểm M để MB + MC đạt giá trị nhỏ
Bài 4: Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB CD vng góc với nhau, lấy điểm I bất k trờn oan CD
a) Tìm điểm M tia AD, điểm N tia AC cho I lag trung ®iĨm cđa MN
b) Chứng minh tổng MA + NA không đổi
c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN qua hai điểm cố định
Híng dÉn
Bài 1: 1) Chọn C Trả lời
2) Chän D Kết khác: Đáp số là:
(53)M D
C B
A
x
K O
N
M
I
D C
B A
VËy A chia hết cho số phơng khác với số nguyên dơng n 2) Do A > nên A lín nhÊt ⇔ A2 lín nhÊt.
XÐt A2 = (
√x + √y )2 = x + y + √xy = + √xy (1)
Ta có: x+2y √xy (Bất đẳng thức Cơ si) => > √xy (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra: A2 = + 2
√xy < + =
Max A2 = <=> x = y =
2 , max A = √2 <=> x = y =
Bài3 Câu 1Với x ta có (x + a)(x - 4) - = (x + b)(x + c) Nên với x = - = (4 + b)(4 + c)
Cã trờng hợp: + b = + b = + c = - + c = - Trêng hỵp thø nhÊt cho b = - 3, c = - 11, a = - 10
Ta cã (x - 10)(x - 4) - = (x - 3)(x - 11) Trêng hỵp thø hai cho b = 3, c = - 5, a =
Ta cã (x + 2)(x - 4) - = (x + 3)(x - 5)
Câu2 (1,5điểm)
Gọi D điểm cạnh AB cho:
AD = 14 AB Ta có D điểm cố định Mà MAAB = 12 (gt) ADMA = 12
Xét tam giác AMB tam giác ADM có M©B (chung)
MAAB = ADMA = 12
Do Δ AMB ~ Δ ADM => MBMD = MAAD = => MD = 2MD (0,25 điểm)
Xét ba điểm M, D, C : MD + MC > DC (khơng đổi) Do MB + 2MC = 2(MD + MC) > 2DC
DÊu "=" xảy <=> M thuộc đoạn thẳng DC Giá trị nhỏ MB + MC DC * Cách dựng điểm M
- Dng ng trịn tâm A bán kính 12 AB
- Dựng D tia Ax cho AD = 14 AB M giao điểm DC đờng tròn (A; 12 AB)
(54)Vậy I trung điểm MN b) Kẻ MK // AC ta có : ΔINC = ΔIMK (g.c.g) => CN = MK = MD (vì ΔMKD vng cân) Vậy AM+AN=AM+CN+CA=AM+MD+CA => AM = AN = AD + AC không đổi
c) Ta cã IA = IB = IM = IN
Vậy đờng tròn ngoại tiếp ΔAMN qua hai điểm A, B cố định
§Ị 8
Bài 1. Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời :
2 2 1 2 1 2 1 0
x y y z z x
Tính giá trị biểu thức :A x 2007y2007z2007.
Bµi 2). Cho biĨu thøc :M x2 5x y 2xy 4y2014.
Với giá trị x, y M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giỏ tr nh nht ú
Bài 3. Giải hệ phơng trình :
2 18
1 72
x y x y x x y y
Bài 4 Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB bán kính R Tiếp tuyến điểm M bbất kỳ đờng tròn (O) cắt tiếp tuyến A B lần lợt C D
a.Chøng minh : AC BD = R2.
b.Tìm vị trí điểm M để chu vi tam giác COD nhỏ
Bµi 5.Cho a, b số thực dơng Chứng minh :
2 2
2
a b
a b a b b a
Bài 6).Cho tam giác ABC có phân giác AD Chøng minh : AD2 = AB AC - BD DC
Hớng dẫn giải
Bài 1. Tõ gi¶ thiÕt ta cã :
2 2
2
2
2
x y
y z
z x
(55)Cộng vế đẳng thức ta có :x22x1 y22y1 z22z1 0
x 12 y 12 z 12
Þ 1 x y z Û
Þ x y z 1 2007 2007 2007
2007 2007 2007 1 1 1 3
A x y z
Þ VËy : A = -3
Bµi 2.(1,5 ®iÓm) Ta cã :
4 2 1 2 2007
M x x y y xy x y
22 12 2 1 2007
M x y x y
2
2
1
2 1 2007
2
M x y y
Þ
Do y120 vµ
1
2
2
x y
x y,
2007
M
Þ Þ Mmin 2007Û x2;y1
Bài 3. Đặt :
1
u x x v y y
Ta cã :
18 72 u v uv
ị u ; v nghiệm
ph-ơng trình :
2
1
18 72 12;
X X Þ X X Þ 12 u v ; 12 u v Þ 12 x x y y ; 12 x x y y
Giải hai hệ ta đợc : Nghiệm hệ :
(3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) hoán vị
Bµi 4. a.Ta cã CA = CM; DB = DM Các tia OC OD phân giác hai góc AOM MOB nên OC ^ OD
Tam giác COD vuông đỉnh O, OM đờng cao thuộc cạnh huyền CD nên : MO2 = CM MD
Þ R2 = AC BD b.C¸c tø gi¸c ACMO ; BDMO néi tiÕp
(56) ; MCO MAO MDO MBO
Þ
COD AMB g g
ị (0,25đ)
Do :
Chu vi COD OM Chu vi AMB MH
(MH1 ^ AB)
Do MH1 OM nªn
1
OM
MH Þ Chu vi COD chu vi AMB
DÊu = x¶y Û MH1 = OM MO ị M điểm cung AB
Bài 5 (1,5 ®iÓm) Ta cã :
2 1 0; 2 a b
a , b >
1
0;
4
a a b b
Þ
1
( ) ( )
4
a a b b
Þ
a , b >
1
0
a b a b
ị
Mặt khác a b ab 0
Nhân tõng vÕ ta cã :
1 2
a b a b ab a b
2 2
2
a b
a b a b b a
Þ
Bài 6. (1 điểm) Vẽ đờng trịn tâm O ngoại tiếp ABC
Gäi E lµ giao điểm AD (O) Ta có:ABDCED (g.g)
BD AD
AB ED BD CD ED CD Þ Þ
AD AE AD BD CD AD AD AE BD CD
Þ
ị
Lại có : ABDAEC g g
2
AB AD
AB AC AE AD AE AC
AD AB AC BD CD
Þ Þ
Þ
§Ì 9
(57)a) Tính f(-1); f(5) b) Tìm x để f(x) = 10 c) Rút gọn A = f(x)
x2−4 x 2 Câu 2: Giải hệ phơng trình
x(y −2)=(x+2)(y −4) (x −3)(2y+7)=(2x −7)(y+3)
¿{
¿
C©u 3: Cho biĨu thøcA = (xx −√x+11 − x −1
√x −1):(√x+
√x
√x −1) víi x > vµ x
a) Rót gän A
b) Tìm giá trị x để A =
Câu 4: Từ điểm P nằm ngồi đờng trịn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB Gọi H chân đờng vng góc hạ từ A đến đờng kính BC
a) Chứng minh PC cắt AH trung ®iĨm E cđa AH b) Gi¶ sư PO = d Tính AH theo R d
Câu 5: Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - = 0
Khơng giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11
đáp án
C©u 1a) f(x) =
x −2¿2 ¿ ¿
√x2−4x
+4=√¿
(58)b)
f(x)=10⇔
x −2=10
¿
x −2=−10
¿
x=12
¿
x=−8
¿ ¿ ¿
⇔¿ ¿ ¿ ¿
c) A= f(x)
x2−4=
|x −2|
(x −2)(x+2)
Víi x > suy x - > suy A=
x+2
Víi x < suy x - < suy A=−
x+2 C©u 2
( 2) ( 2)( 4) 2
( 3)(2 7) (2 7)( 3) 21 21
x y x y xy x xy y x x y
x y x y xy y x xy y x x y
Û Û Û
x -2
y
C©u a) Ta cã: A = (xx −√x+11− x −1
√x −1):(√x+
√x √x −1) = ((√x+1)(x −√x+1)
(√x −1)(√x+1) −
x −1
√x −1):(
√x(√x −1)
√x −1 +
√x
√x −1) =
(x −√x+1
√x −1 −
x −1
√x −1):(
x −√x+√x
√x −1 ) =
x −√x+1− x+1
√x −1 :
x
√x −1 =
−√x+2
√x −1 :
x
√x −1
= −√x+2 √x −1 ⋅
√x −1
x =
2−√x x
b) A = => 2−x√x = => 3x + √x - = => x = 2/3 Câu 4
Do HA // PB (Cùng vuông gãc víi BC)
b) nên theo định lý Ta let áp dụng cho CPB ta có
O
B C
H E
(59)EHPB =CH
CB ; (1)
Mặt khác, PO // AC (cùng vng góc với AB) => POB = ACB (hai góc đồng vị)
=> D AHC ∞ D POB
Do đó: AHPB =CH
OB (2)
Do CB = 2OB, kÕt hợp (1) (2) ta suy AH = 2EH hay E trung điểm AH
b) Xột tam giác vng BAC, đờng cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH Theo (1) AH = 2EH ta có
AH2=(2R −AH CB 2PB )
AH CB 2PB
⇔ AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB
⇔ 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2 ⇔ AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB
2R¿2
¿
4PB2 +¿
¿
⇔ AH=4R CB PB PB2+CB2=
4R 2R PB
Câu Để phơng trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 D >
<=> (2m - 1)2 - (m - 1) > 0
Từ suy m 1,5 (1)
Mặt khác, theo định lý Viét giả thiết ta có:
¿
x1+x2=−2m−1 x1.x2=m−1
2 3x1−4x2=11
⇔
¿{ {
¿
¿
x1=13-4m x1=7m−7
26-8m 313-4m
7 −4
7m−7 26-8m=11
¿{ {
(60)Gi¶i phơng trình 313-4m 4
7m7
26-8m=11
ta đợc m = - m = 4,125 (2)
Đối chiếu điều kiện (1) (2) ta có: Với m = - m = 4,125 phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: x1 + x2 = 11
Đề 10
Câu 1: Cho P =
2 x x x + 1 x x x - 1 x x
a/ Rót gän P
b/ Chøng minh: P <
1
3 víi x vµ x 1
Câu 2: Cho phơng trình : x2 – 2(m - 1)x + m2 – = ( ) ; m tham số. a/ Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm
b/ Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm cho nghiệm ba ln nghim
Câu 3: a/ Giải phơng tr×nh :
1
x +
1
2 x = 2
b/ Cho a, b, c số thực thõa mÃn :
0
2
2 11
a b
a b c
a b c
Tìm giá trị lớn giá trÞ bÐ nhÊt cđa Q = a + b + 2006 c
Câu 4: Cho ABC cân A với AB > BC Điểm D di động cạnh AB, ( D không trùng với A, B) Gọi (O) đờng tròn ngoại tiếp BCD Tiếp tuyn ca (O)
tại C D cắt ë K
a/ Chøng minh tø gi¸c ADCK nội tiếp b/ Tứ giác ABCK hình gì? V× sao?
c/ Xác định vị trí điểm D cho tứ giác ABCK hình bình hành Đáp ỏn
Câu 1: Điều kiện: x x 1 (0,25 ®iĨm) P = x x x + 1 x x x -
( 1)( 1)
x
x x
=
2
( )
x x + 1 x x x - 1 x =
2 ( 1)( 1) ( 1)
( 1)( 1)
x x x x x
x x x
(61)= ( 1)( 1)
x x
x x x
=
x x x
b/ Víi x vµ x 1 Ta cã: P <
1
3 Û
x
x x <
1
Û 3 x < x + x + ; ( v× x + x + > ) Û x - 2 x + > 0
Û ( x - 1)2 > ( Đúng x x 1)
Câu 2:a/ Phơng trình (1) cã nghiƯm vµ chØ D’ Û (m - 1)2 – m2 – 0
Û – 2m
Û m
b/ Víi m th× (1) cã nghiƯm
Gäi mét nghiƯm (1) a nghiệm 3a Theo Viet ,ta cã:
3 2
.3
a a m
a a m
Þ a=
1
m
Þ 3(
1
m
)2 = m2 – 3
Û m2 + 6m – 15 = 0
Û m = –32 ( thâa m·n ®iỊu kiƯn)
Câu 3:
Điều kiện x ; – x2 > Û x ; x < Đặt y = x2 > 0
Ta cã:
2 2 (1)
1 (2) x y x y
Tõ (2) cã : x + y = 2xy Thay vµo (1) cã : xy = hc xy =
-1
* Nếu xy = x+ y = Khi x, y nghiệm phơng trình: X2 – 2X + = Û X = ị x = y = 1.
* NÕu xy =
-1
2 x+ y = -1 Khi x, y nghiệm phơng trình:
X2 + X -
1
2 = Û X =
1
2
Vì y > nên: y =
1
2
Þ x =
(62)VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm: x1 = ; x2 =
1
2
C©u 4: c/ Theo câu b, tứ giác ABCK hình thang
Do đó, tứ giác ABCK hình bình hành Û AB // CK Û BACACK
Mµ
2
ACK
s®EC =
1
2s®BD = DCB
Nªn BCD BAC
Dựng tia Cy cho BCy BAC .Khi đó, D giao điểm AB Cy. Với giả thiết AB > BC BCA > BAC > BDC .
Þ D AB
Vậy điểm D xác định nh điểm cần tìm
§Ị 11
Câu 1: a) Xác định x R để biểu thức :A = √x2+1− x −
√x2+1− x Lµ mét sè tù nhiªn
b Cho biĨu thøc: P = √x √xy+√x+2+
√y √yz+√y+1+
2√z
√zx+2√z+2 BiÕt x.y.z = ,
tÝnh √P
Câu 2:Cho điểm A(-2;0) ; B(0;4) ; C(1;1) ; D(-3;2)
d Chøng minh ®iĨm A, B ,D thẳng hàng; điểm A, B, C không thẳng hàng
e Tính diện tích tam giác ABC
Câu3 Giải phơng trình: x 13 2 x=5
Cõu 4 Cho đờng tròn (O;R) điểm A cho OA = R √2 Vẽ tiếp
tuyến AB, AC với đờng trịn Một góc xOy = 450 ct on thng AB v AC ln
lợt D vµ E
Chøng minh r»ng:
a.DE tiếp tuyến đờng tròn ( O ) b 32R<DE<R
đáp án Câu 1: a
A = √x2
+1− x − √x
+1+x
(√x2+1− x).(√x2+1+x)
=√x2+1− x −(√x2+1+x)=−2x
A số tự nhiên ⇔ -2x số tự nhiên ⇔ x = k2 (trong k Z k )
(63)Nhân tử mẫu hạng tử thứ với √x ; thay mẫu hạng tử thứ √xyz ta đợc:
P =
√x+2+√xy
¿
√z¿
√x √xy+√x+2+
√xy
√xy+√x+2+ 2√z
¿
(1đ) P=1 P >
Cõu 2: a.Đờng thẳng qua điểm A B có dạng y = ax + b Điểm A(-2;0) B(0;4) thuộc đờng thẳng AB nên ⇒ b = 4; a = Vậy đờng thẳng AB y = 2x +
Điểm C(1;1) có toạ độ khơng thoả mãn y = 2x + nên C không thuộc đờng thẳng AB ⇒ A, B, C không thẳng hàng
Điểm D(-3;2) có toạ độ thoả mãn y = 2x + nên điểm D thuộc đờng thẳng AB ⇒ A,B,D thẳng hàn
b.Ta cã :
AB2 = (-2 – 0)2 + (0 – 4)2 =20 AC2 = (-2 – 1)2 + (0 –1)2 =10 BC2 = (0 – 1)2 + (4 – 1)2 = 10
⇒ AB2 = AC2 + BC2 ⇒ DABC vuông C Vậy SDABC = 1/2AC.BC =
1
2√10 √10=5 ( đơn vị diện tích )
Câu 3: Đkxđ x 1, đặt √x −1=u ;√32− x=v ta có hệ phơng trình:
¿
u − v=5
u2
+v3=1
¿{
¿
Giải hệ phơng trình phơng pháp ta đợc: v = ⇒ x = 10
C©u 4
a.áp dụng định lí Pitago tính đợc
AB = AC = R ABOC hình vuông (0.5đ)
Kẻ bán kính OM cho
BOD = MOD ⇒ MOE = EOC (0.5®)
Chøng minh DBOD = DMOD
⇒ OMD = OBD = 900
T¬ng tù: OME = 900
⇒ D, M, E thẳng hàng Do DE tiếp tuyến đờng trịn (O) b.Xét DADE có DE < AD +AE mà DE = DB + EC
⇒ 2ED < AD +AE +DB + EC hay 2DE < AB + AC = 2R ⇒ DE < R B
M A
O
C D
(64)Ta cã DE > AD; DE > AE ; DE = DB + EC
Cộng vế ta đợc: 3DE > 2R ⇒ DE > 32 R Vậy R > DE > 32 R
§Ị 12
Câu 1: Cho hàm số f(x) = x24x+4
a) Tính f(-1); f(5) b) Tìm x để f(x) = 10 c) Rút gọn A = f(x)
x2−4 x 2 Câu 2: Giải hệ phơng trình
¿
x(y −2)=(x+2)(y −4) (x −3)(2y+7)=(2x −7)(y+3)
¿{
¿
C©u 3: Cho biĨu thøc
A = (xx −√x+11 − x −1
√x −1):(√x+
√x
√x −1) víi x > vµ x
a) Rót gän A
2) Tìm giá trị x để A =
Câu 4: Từ điểm P nằm ngồi đờng trịn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB Gọi H chân đờng vng góc hạ từ A đến đờng kính BC
a) Chøng minh r»ng PC c¾t AH trung điểm E AH b) Giả sử PO = d TÝnh AH theo R vµ d
Câu 5: Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - = 0
Không giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11
(65)a) f(x) =
x −2¿2 ¿ ¿
√x2−4x
+4=√¿
Suy f(-1) = 3; f(5) =
b)
f(x)=10⇔
x −2=10
¿
x −2=−10
¿
x=12
¿
x=−8
¿ ¿ ¿
⇔¿ ¿ ¿ ¿
c) A= f(x)
x2−4=
|x −2|
(x −2)(x+2)
Víi x > suy x - > suy A=
x+2
Víi x < suy x - < suy A=−
x+2 C©u 2
¿
x(y −2)=(x+2)(y −4) (x −3)(2y+7)=(2x −7)(y+3)
¿
⇔
xy−2x=xy+2y −4x −8
2 xy−6y+7x −21=2 xy−7y+6x −21
¿
⇔ x − y=−4
x+y=0 ⇔
¿x=-2
y=2
¿ ¿{
(66)C©u 3a) Ta cã: A = (xx −√x+11− x −1
√x −1):(√x+
√x √x −1)
= ((√x+1)(x −√x+1)
(√x −1)(√x+1) −
x −1
√x −1):(
√x(√x −1)
√x −1 +
√x √x −1)
= (x −√x+1 √x −1 −
x −1
√x −1):(
x −√x+√x
√x −1 )
= x −√x+1− x+1 √x −1 :
x √x −1
= −√x+2 √x −1 :
x
√x −1 =
−√x+2
√x −1 ⋅
√x −1
x =
2−√x x
b) A = => 2−√x
x = => 3x + √x - = => x = 2/3 C©u 4
c) Do HA // PB (Cïng vu«ng gãc víi BC)
d) nên theo định lý Ta let áp dụng cho tam giác CPB ta có
EH PB =
CH
CB ; (1)
Mặt khác, PO // AC (cïng vu«ng gãc víi AB)
=> POB = ACB (hai góc đồng vị) => D AHC ∞ D POB
Do đó: AHPB =CH
OB (2)
O
B H C
(67)Do CB = 2OB, kết hợp (1) (2) ta suy AH = 2EH hay E trug điểm
cđa AH
b) Xét tam giác vng BAC, đờng cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH Theo (1) AH = 2EH ta có
AH2=(2R −AH CB
2PB )
AH CB 2PB
⇔ AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB ⇔ 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2
⇔ AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB
2R¿2
¿
4PB2 +¿
¿
⇔ AH=4R CB PB PB2
+CB2=
4R 2R PB
Câu (1đ)
Để phơng trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 th× D >
<=> (2m - 1)2 - (m - 1) > 0
Từ suy m 1,5 (1)
Mặt khác, theo định lý Viét giả thiết ta có:
¿
x1+x2=−2m−1 x1.x2=m−1
2 3x1−4x2=11
⇔
¿{ {
¿
¿
x1=13-4m x1=7m−7
26-8m 313-4m
7 −4
7m−7 26-8m=11
¿{ {
¿
Giải phơng trình 313-4m 4
7m7
26-8m=11
ta đợc m = - m = 4,125 (2)
(68)§Ị 13
Câu I : Tính giá trị biểu thức:
A =
√3+√5 +
√5+√7 +
√7+√9 + +
1
√97+√99
B = 35 + 335 + 3335 + + 3333 35⏟
99sè3
C©u II :Phân tích thành nhân tử :
4) X2 -7X -18
5) (x+1) (x+2)(x+3)(x+4) 6) 1+ a5 + a10
C©u III :
3) Chøng minh : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2)
4) ¸p dơng : cho x+4y = T×m GTNN cđa biĨu thøc : M= 4x2 + 4y2
Câu : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), I trung điểm BC, M
điểm đoạn CI ( M khác C I ) Đờng thẳng AM cắt (O) D, tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác AIM M cắt BD DC P Q
c) Chøng minh DM.AI= MP.IB d) TÝnh tØ sè : MPMQ
C©u 5:
Cho P = √x
2
−4x+3
√1− x
Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa, rút gọn biểu thức.
đáp án
C©u :
1) A =
√3+√5 +
√5+√7 +
√7+√9 + +
1
√97+√99
= 12 ( √5−❑
√3 + √7−√5 + √9−√7 + + √99−√97 ) = 12 ( √99−√3 ) 2) B = 35 + 335 + 3335 + + 3333 35⏟
99sè3 =
=33 +2 +333+2 +3333+2+ + 333 33+2 = 2.99 + ( 33+333+3333+ +333 33)
= 198 + 13 ( 99+999+9999+ +999 99)
198 + 13 ( 102 -1 +103 - 1+104 - 1+ +10100 – 1) = 198 – 33 + B = (10101−102
27 ) +165
(69)= (x2+5x +4)(x2 + 5x+6)-3= [x2+5x +4][(x2 + 5x+4)+2]-3 = (x2+5x +4)2 + 2(x2+5x +4)-3=(x2+5x +4)2 - 1+ 2(x2+5x +4)-2 = [(x2+5x +4)-1][(x2+5x +4)+1] +2[(x2+5x +4)-1]
= (x2+5x +3)(x2+5x +7) 3) a10+a5+1
= a10+a9+a8+a7+a6 + a5 +a5+a4+a3+a2+a +1 - (a9+a8+a7 )- (a6 + a5 +a4)- ( a3+a2+a )
= a8(a2 +a+1) +a5(a2 +a+1)+ a3(a2 +a+1)+ (a2 +a+1)-a7(a2 +a+1) -a4(a2 +a+1)-a(a2 +a+1)
=(a2 +a+1)( a8-a7+ a5 -a4+a3 - a +1) Câu 3: 4đ
1) Ta có : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2) <=>
a2b2+2abcd+c2d2 a2b2+ a2d2 +c2b2 +c2d2 <=> a2d2 - 2cbcd+c2b2 <=> (ad - bc)2 (®pcm ) DÊu = x·y ad=bc
2) áp dụng đẳng thức ta có :
52 = (x+4y)2 = (x + 4y) (x2 + y2) (1+16) => x2 + y2 25
17 => 4x2 + 4y2
100
17 dÊu = x·y x=
17 , y = 20
17 (2đ)
Câu 4 : 5đ
Ta cã : gãc DMP= gãc AMQ = gãc AIC Mặt khác góc ADB = góc BCA=>
MPD đồng dạng với Δ ICA => DMCI =MP
IA => DM.IA=MP.CI hay
DM.IA=MP.IB (1)
Ta cã gãc ADC = gãc CBA,
Gãc DMQ = 1800 - AMQ=1800 - gãc AIM = gãc BIA.
Do Δ DMQ đồng dạng với Δ BIA =>
DM BI =
MQ
IA => DM.IA=MQ.IB (2)
Tõ (1) vµ (2) ta suy MPMQ =
C©u 5
Để P xác định : x2-4x+3 1-x >0 Từ 1-x > => x <
Mặt khác : x2-4x+3 = (x-1)(x-3), Vì x < nên ta có : (x-1) < (x-3) < từ suy tích (x-1)(x-3) > Vậy với x < biểu thức có nghĩa
(70)P = √x2−4x+3 √1− x =
√(x −1)(x −3)
1 x =3 x
Đề 14
Câu 1 : a Rót gän biĨu thøc A=√1+
a2+
1
(a+1)2 Víi a >
b Tính giá trị tổng B=1+
12+ 22+√1+
1 22+
1
32+ +√1+ 992+
1 1002
C©u 2 : Cho pt x2−mx+m−1=0
a Chøng minh r»ng pt lu«n lu«n cã nghiƯm víi ∀m
b Gäi x1, x2 hai nghiệm pt Tìm GTLN, GTNN bt
P= 2x1x2+3
x12+x
22+2(x1x2+1)
C©u : Cho x ≥1, y ≥1 Chøng minh.
1 1+x2+
1 1+y2≥
2 1+xy
Câu Cho đờng tròn tâm o dây AB M điểm chuyển động đờng
trßn, tõM kỴ MH ^ AB (H AB) Gäi E F lần lợt hình chiếu vuông góc
H MA MB Qua M kẻ đờng thẳng vng góc với è cắt dây AB D
1 Chứng minh đờng thẳng MD qua điểm cố định M thay đổi đờng tròn
2 Chøng minh
MA2 MB2 =
AH BD
AD BH
H
ớng dẫn
Câu 1 a Bình phơng vÕ ⇒A=a
+a+1
a(a+1) (V× a > 0)
f áp dụng câu a
A=1+1
a−
1
a+1
¿⇒B=100−
100= 9999 100
C©u a : cm Δ≥0∀m
(71)¿
x1+x2=m
x1x2=m−1 ¿{
¿
⇒P=2m+1
m2+2 (1) Tìm đk đẻ pt (1) có nghiệm theo ẩn
⇒−1
2≤ P≤1
⇒GTLN=−1
2⇔m=−2 GTNN=1⇔m=1
Câu : Chuyển vế quy đồng ta đợc bđt ⇔ x(y − x)
(1+x2)(1+xy)+
y(x − y) (1+y2)(1+xy)≥0
⇔(x − y)2(xy−1)≥0 xy≥1
C©u 4: a
- Kẻ thêm đờng phụ
- Chứng minh MD đờng kính (o) =>
b
Gọi E', F' lần lợt hình chiếu D MA MB
Đặt HE = H1
HF = H2 ⇒AH
BD AD BH =
HE h1 MA2 HF.h2 MB
2 (1) ⇔ΔHEF ∞ ΔDF'E'
⇒HF h2=HE h
Thay vµo (1) ta cã: MA2
MB2 = AH BD
AD BH
Đề 15
Câu 1: Cho biểu thức D = [√a+√b
1−√ab+
√a+√b
1+√ab] : [1+
a+b+2 ab 1−ab ]
a) Tìm điều kiện xác định D rút gọn D b) Tính giá trị D với a = 2−2
√3
c) Tìm giá trị lớn D
Câu 2: Cho phơng trình
23 x
2- mx +
2−√3 m
2 + 4m - = (1) a) Giải phơng trình (1) víi m = -1
M
o E'
E A
F F'
B I
(72)b) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm thỗ mãn x1
+
x2=x1+x2
Câu 3: Cho tam giác ABC đờng phân giác AI, biết AB = c, AC = b,
^
A=α(α=900) Chøng minh r»ng AI = bc Cos
α
2
b+c
(Cho Sin2 α=2 SinαCosα )
Câu 4: Cho đờng trịn (O) đờng kính AB điểm N di động nửa đờng tròn cho N A ≤ N B Vễ vào đờng trịn hình vng ANMP
a) Chứng minh đờng thẳng NP qua điểm cố định Q
b) Gọi I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác NAB Chứng minh tứ giác ABMI nội tiếp
c) Chứng minh đờng thẳng MP qua điểm cố định
C©u 5: Cho x,y,z; xy + yz + zx = vµ x + y + z = -1 HÃy tính giá trị của:
B = xyz +zx
y +
xyz
x
Đáp án
Cõu 1: a) - iu kiện xác định D
¿
a ≥0
b ≥0 ab≠1
¿{ {
¿
- Rót gän D
D = [2√a1+2−abb√a] : [a+1−b+abab] D = 2√a
a+1
b) a =
2+√3
¿
√3+1¿2⇒√a=√3+1 2¿
2 2+√3=¿ VËy D =
2+2√3 2√3+1
(73)c b a
I
C B
A
a
2
a
2
c) áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có 2√a≤ a+1D 1
Vậy giá trị D
Câu 2: a) m = -1 phơng trình (1) ⇔1
2x
+x −9
2=0⇔x
+2x −9=0 ⇒
x1=−1−√10
x2=−1+√10
¿{
b) Để phơng trình có nghiệm 08m+20m 1
4 (*)
+ Để phơng trình cã nghiƯm kh¸c
¿m1≠ −4−3√2
m2≠ −4+3√2
¿
⇔1
2m
+4m−1≠0
⇒
{
(*)
+
1
x1+
1
x2=x1+x2⇔(x1+x2)(x1x2−1)=0⇔
x1+x2=0
x1x2−1=0
¿{
⇔
2m=0
m2+8m−3=0
⇔
¿m=0
m=−4−√19
m=−4+√19
¿{
Kết hợp với điều kiện (*)và (**) ta đợc m = m=−4−√19
C©u 3:
+ SΔABI=12AI cSinα2; + SΔAIC=1
2AI bSin
α
2;
+ SΔABC=1
2bcSinα ;
(74)⇒bcSinα=AISinα 2(b+c)
⇒AI=bcSinα Sinα
2(b+c) =
2 bcCosα
b+c
C©u 4: a) Nˆ1 Nˆ2Gäi Q = NP (O) QA QB
ị Suy Q cố định
b) ^A
1= ^M1(^A2)
ị Tứ giác ABMI néi tiÕp
c) Trên tia đối QB lấy điểm F cho QF = QB, F cố định Tam giác ABF có: AQ = QB = QF
ị ABF vuông A ị B^=450
AF B^ =450
Lại có P1 450 ị AFBP1 Þ Tø gi¸c APQF néi tiÕp Þ A^P F
=AQ F^ =900
Ta cã: A^P F+A^P M=900
+900=1800 ị M1,P,F Thẳng hàng
Cõu 5: Biến đổi B = xyz (1 x2+
1
y2+
1
z2) = ⋯=xyz
2 xyz=2
Đề 16
Bài 1: Cho biểu thức A =
4( 1) 4( 1)
1 4( 1)
x x x x
x
x x
a) Tìm điều kiện x để A xác định b) Rút gọn A
Bài : Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) B(3; -4) a) Viết phơng tình đờng thẳng AB
b) Xác định điểm M trục hoành để tam giác MAB cân M Bài : Tìm tất số tự nhiên m để phơng trình ẩn x sau:
x2 - m2x + m + = 0 cã nghiƯm nguyªn
1
1
2
F
I
Q P N
M
(75)Bài : Cho tam giác ABC Phân giác AD (D BC) vẽ đờng tròn tâm O qua A
D đồng thời tiếp xúc với BC D Đờng tròn cắt AB AC lần lợt E F Chứng minh
a) EF // BC
b) Các tam giác AED ADC; àD ABD tam giác đồng dạng c) AE.AC = à.AB = AC2
Bài : Cho số dơng x, y tháa m·n ®iỊu kiƯn x2 + y2
x3 + y4 Chứng minh:
(76)Đáp án Bài 1:
a) Điều kiện x thỏa m·n
2
1
4( 1) 4( 1) 4( 1)
x x x x x x x Û 1 x x x x
Û x > vµ x 2
KL: A xác định < x < x > b) Rút gọn A
A =
2
2
( 1) ( 1)
1 ( 2)
x x x
x x A =
1 1 2
2
x x x
x x
Víi < x < A =
2 1 x Víi x > A =
2
x
KÕt luËn
Víi < x < th× A =
2 1 x Víi x > th× A =
2
x Bµi 2:
a) A B có hồnh độ tung độ khác nên phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b
A(5; 2) AB Þ 5a + b =
B(3; -4) AB Þ 3a + b = -4
Gi¶i hƯ ta cã a = 3; b = -13
Vậy phơng trình đờng thẳng AB y = 3x - 13 b) Giả sử M (x, 0) xx’ ta có
MA = (x 5)2 (0 2)2 MB = (x 3)2 (04)2
DMAB cân ị MA = MB (x 5)2 (x 3)2 16 Û (x - 5)2 + = (x - 3)2 + 16
Û x =
(77)Bài 3:
Phơng trình cã nghiƯm nguyªn D = m4 - 4m - số phơng
Ta lại có: m = 0; D < loại
m = th× D = = 22 nhËn
m th× 2m(m - 2) > Û 2m2 - 4m - > ÛD - (2m2 - 2m - 5) < D < D + 4m +
Û m4 - 2m + < D < m4 Û (m2 - 1)2 < D < (m2)2 D không phơng
Vậy m = giá trị cần tìm Bài 4:
a)
( )
2
EADEFD sd ED
(0,25)
( )
2
FADFDC sd FD
(0,25)
mà EDAFADị EFD FDC (0,25)
Þ EF // BC (2 gãc so le nhau)
b) AD phân giác góc BAC nên DE DF sđ
2
ACD
s®(AED DF ) =
1
2sđAE = sđADE ACD ADE EAD DAC
ịDDDADC (g.g)
Tơng tự: sđ
( )
2
ADF sd AF sd AFD DF =
1
( )
2 sd AFD DE sd ABD ị ADFABD DAFD ~ (g.g
c) Theo trªn:
+ DAED ~ DDB Þ
AE AD
AD AC hay AD2 = AE.AC (1) + DADF ~ DABD Þ
AD AF AB AD
Þ AD2 = AB.AF (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã AD2 = AE.AC = AB.AF Bài (1đ):
Ta có (y2 - y) + Þ 2y3 y4 + y2
Þ (x3 + y2) + (x2 + y3) (x2 + y2) + (y4 + x3)
mµ x3 + y4
x2 + y3
x3 + y3
x2 + y2 (1)
+ Ta cã: x(x - 1)2 0: y(y + 1)(y - 1)2 0
Þ x(x - 1)2 + y(y + 1)(y - 1)2
F E
A
B
(78)Þ x3 - 2x2 + x + y4 - y3 - y2 + y
Þ (x2 + y2) + (x2 + y3) (x + y) + (x3 + y4)
mµ x2 + y3 x3 + y4
Þ x2 + y2 x + y (2)
vµ (x + 1)(x - 1) (y - 1)(y3 -1)
x3 - x2 - x + + y4 - y - y3 +
Þ (x + y) + (x2 + y3) + (x3 + y4)
mµ x2 + y3 x3 + y4
Þ x + y
Tõ (1) (2) vµ (3) ta cã: x3 + y3
x2 + y2 x + y
Đề 14
Câu 1: x- 4(x-1) + x + 4(x-1)
cho A= ( - )
x2- 4(x-1) x-1 a/ rót gän biĨu thøc A
b/ Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên
Câu 2: Xác định giá trị tham số m để phơng trình x2-(m+5)x-m+6 =0
Cã nghiƯm x1 x2 thoà mÃn điều kiện sau:
a/ Nghiệm lớn nghiệm đơn vị
b/ 2x1+3x2=13
Câu 3Tìm giá trị m để hệ phơng trình mx-y=1
m3x+(m2-1)y =2 vô nghiệm, vô số nghiệm
Câu 4: tìm max biểu thức: x 2 +3x+1 x2+1
Câu 5: Từ đỉnh A hình vng ABCD kẻ hai tia tạo với góc 450. Một tia cắt cạnh BC E cắt đờng chéo BD P Tia cắt cạnh CD F cắt đờng chéo BD Q
a/ Chứng minh điểm E, P, Q, F C nằm đờng tròn b/ Chứng minh rằng: SAEF=2SAQP
c/ KỴ trung trùc cđa cạnh CD cắt AE M tính số đo góc MAB biÕt CPD=CM
h
íng dÉn
Câu 1: a/ Biểu thức A xác định x≠2 x>1
(79)A= ( )
(x-2)2 x-1 x- -1 + x-1 + x- x- = = = x-2 x-1 x-1 x-1 b/ Để A nguyên x- ớc dơng
* x- =1 x=0 loại * x- =2 x=5
vậy với x = A nhận giá trị nguyên b»ng
Câu 2: Ta có ∆x = (m+5)2-4(-m+6) = m2+14m+1≥0 để phơng trìnhcó hai
nghiƯmph©n biƯt vµchØ m≤-7-4 vµ m≥-7+4 (*)
a/ Giả sử x2>x1 ta có hệ x2-x1=1 (1) x1+x2=m+5 (2) x1x2 =-m+6 (3) Giải hệ tađợc m=0 m=-14 thoã mãn (*) b/ Theo giả thiết ta có: 2x1+3x2 =13(1’) x1+x2 = m+5(2’) x1x2 =-m+6 (3’) giải hệ ta đợc m=0 v m= Tho (*)
Câu 3: *Để hệ vô nghiệm m/m3=-1/(m2-1) 1/2
3m3-m=-m3 m2(4m2- 1)=0 m=0 m=0 3m2-1≠-2 3m2≠-1 m=±1/2 m=±1/2 ∀m
*Hệvô số nghiệm thì: m/m3=-1/(m2-1) =1/2 3m3-m=-m3 m=0
3m2-1= -2 m=±1/2 V« nghiƯm
Khơng có giá trị m để hệ vơ số nghiệm
Câu 4: Hàm số xác định với ∀x(vì x2+10) x2+3x+1
gọi y0 giá trịcủa hàmphơng trình: y0= x2+1
(y0-1)x2-6x+y0-1 =0 cã nghiÖm
*y0=1 suy x = y0 ≠ 1; ∆’=9-(y0-1)2≥0 (y0-1)2≤ 9 suy
-2 ≤ y0 ≤
Vậy: ymin=-2 y max=4 Câu 5: ( Học sinh tự vẽ hình)
Giải
a/ A1 B1 nhìn đoạn QE dới gãc 450
ị tứ giác ABEQ nội tiếp đợc ị FQE = ABE =1v
1
Q
P M
F
E
D C
(80)chøng minh t¬ng tù ta cã FBE = 1v
ị Q, P, C nằm đờng trịn đờng kinh EF
b/ Tõ c©u a suy AQE vuông cân
ị
AE
AQ = 2 (1)
t¬ng tù ∆ APF vuông cân
ị
AF
AB = 2 (2)
tõ (1) (2) ị AQP ~ AEF (c.g.c)
AEF AQP
S
S = ( 2 )2 hay SAEF = 2SAQP
c/ §Ĩ thÊy CPMD néi tiÕp, MC=MD APD=CPD
ịMCD= MPD=APD=CPD=CMD
MD=CD MCD ị MPD=600
mµ MPD lµ gãc ngoµi cđa ∆ABM ta cã APB=450 vËy MAB=600-450=150
§Ị 17
Bµi 1: Cho biĨu thøc M = 2√x −9 x −5√x+6+
2√x+1
√x −3+
√x+3 2−√x d. Tìm điều kiện x để M có nghĩa rút gọn M e. Tìm x để M =
f. Tìm x Z để M Z
bài 2: a) Tìm x, y nguyên dơng thoà mÃn phơng trình 3x2 +10 xy + 8y2 =96
b)t×m x, y biÕt / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/ = Bµi 3: a Cho số x, y, z dơng thoà m·n 1x + 1y + 1z = Chøng ming r»ng: 2x+1y+z + x+21y+z + x+y1+2z
b T×m giá trị nhỏ biểu thức: B = x22x+2006
x2 (với x ) Bài 4: Cho hình vuông ABCD Kẻ tia Ax, Ay cho x^A y = 45 ❑0
Tia Ax cắt CB BD lần lợt E P, tia Ay cắt CD BD lần lợt F Q c Chứng minh điểm E; P; Q; F; C nằm đờng tròn
d S ΔAEF = S ΔAPQ
Kẻ đờng trung trực CD cắt AE M Tính số đo góc MAB biết C^P D =
(81)Bµi 5: (1®)
Cho ba sè a, b , c kh¸c tho· m·n:
¿
1
a+
1
b+
1
c=0
¿ ; H·y tÝnh P =
ac
c2+
bc
a2+
ac
b2
đáp án Bài 1:M = 2√x −9
x −5√x+6+
2√x+1
√x −3 +
√x+3 2−√x a.§K x ≥0; x ≠4;x ≠9 0,5®
Rót gän M = 2√x −9−(√x+3)(√x −3)+(2√x+1) (√x −2)
(√x −2) (√x −3)
Biến đổi ta có kết quả: M = x −√x −2
(√x −2) (√x −3) M =
(√x+1)(√x −2)
(√x −3) (√x −2)⇔M=
√x+1
√x −3
b M = 5⇔√x −1 √x −3=5
⇒√x+1=5(√x −3)
⇔√x+1=5√x −15
⇔16=4√x ⇒√x=16
4 =4⇒x=16
c M = √x+1 √x −3=
√x −3+4
√x −3 =1+
√x −3
Do M z nªn √x −3 lµ íc cđa ⇒ √x −3 nhËn giá trị: -4; -2; -1; 1; 2;
⇒x∈{1;4;16;25;49} x ≠4⇒ x∈{1;16;25;49}
Bµi 2 a 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 < > 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = 96
< > (3x2 + 6xy) + (4xy + 8y2) = 96 < > 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96
< > (x + 2y)(3x + 4y) = 96
Do x, y nguyên dơng nên x + 2y; 3x + 4y nguyen dơng 3x + 4y > x + 2y
(82)Lại có x + 2y 3x + 4y có tích 96 (Là số chẵn) có tổng 4x + 6y số chẳn
¿
x+2y=6 3x+4y=24
¿{
¿
HÖ PT vô nghiệm
Hoặc
¿
x+2y=6 3x+4y=16
¿{
¿
⇒ x=4
y=1
¿{
Hc
¿
x+2y=8 3x+4y=12
¿{
¿
HƯ PT v« nghiƯm
VËy cÊp sè x, y nguyên dơng cần tìm (x, y) = (4, 1) b ta cã /A/ = /-A/ A∀A
Nªn /x - 2005/ + / x - 2006/ = / x - 2005/ + / 2008 - x/
❑/x −2005+2008− x/❑/3/❑3 (1)
mµ /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = (2) KÕt hợp (1 (2) ta có / x - 2006/ + / y - 2007/ (3)
(3) sảy
x −2006/❑0
y −2007/❑0
⇔
¿x=2006
y=2007
¿{
¿ Bµi 3
d Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ e Với a, b thuộc R: x, y > ta có a
2
x + b2
y≥
(a+b)2
x+y (∗)
< >(a2y + b2x)(x + y) (a
+b)2xy
Û a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy a2xy + 2abxy + b2xy
(83)Û a2y2 – 2abxy + b2x2 0
Û (ay - bx)2 (**) bất đẳng thức (**) với a, b, x,y > 0 Dấu (=) xảy ay = bx hay
a b x y áp dung bất đẳng thức (*) hai lần ta có
2 2 2
1 1 1 1
1 2 2 4 4
2x y z 2x y z x y x z x y x z
2 2
1 1
1 1
4 4
16
x y x z x y z
T¬ng tù
1 1
2 16
x y z x y z
1 1
2 16
x y z x y z
Cộng vế bất đẳng thức ta có:
1 1 1 1 1 1
2 2 16 16 16
1 4 4 1 1
.4
16 16
x y z x y z x y z x y z x y z x y z
x y z x y z
V×
1 1
4
x yz
2 2006 x x B x x
Ta cã: B=x 2−2x
+2006
x2 ⇔B=
2006x2−2 2006x+20062
2006x
⇔B=(x −2006)
+2005x2
x2 ⇔
(x −2006)2+2005 2006x2 +
2005 2006
(84)x2 > víi mäi x kh¸c
2
2
2006 2005 2005
0 2006
2006 2006 2006
x
B B khix
x
Þ Þ Þ
Bµi 4a EBQ EAQ 450ÞEBAQ néi tiÕp; Bˆ = 900 à gãc AQE = 900à gãcEQF = 900
T¬ng tù gãc FDP = gãc FAP = 450
à Tø gi¸c FDAP néi tiÕp gãc D = 900à gãc APF = 900à gãc EPF = 900 …… 0,25®
Các điểm Q, P,C ln nhìn dới 1góc900 nên điểm E, P, Q, F, C nằm đờng trịn đờng kính EF ………0,25đ
b Ta cã gãc APQ + gãc QPE = 1800 (2 gãc kÒ bï) ⇒ gãc APQ = gãc AFE Gãc AFE + gãc EPQ = 1800
àTam giác APQ đồng dạng với tam giác AEF (g.g)
2
2 1 2
2
APQ
APQ AEE AEF
S
k S S
S
D
D D
D
Þ
f gãc CPD = gãc CMD tø gi¸c MPCD néi tiÕp gãc MCD = gãc CPD (cïng ch¾n cung MD)
L¹i cã gãc MPD = gãc CPD (do BD lµ trung trùc cđa AC) gãc MCD = gãc MDC (do M thuéc trung trùc cña DC)
à góc CPD = gócMDC = góc CMD = gócMCD tam giác MDC góc CMD = 600
tam giác DMA cân D (vì AD = DC = DM) Vµ gãc ADM =gãcADC – gãcMDC = 900 – 600 = 300 gãc MAD = gãc AMD (1800 - 300) : = 750
à gãcMAB = 900 – 750 = 150
(85)à x3 + y3 + z3 – xyz = -(y + z)3 + y3 – 3xyz
à-( y3 + 3y2 z +3 y2z2 + z3) + y3 + z3 – 3xyz = - 3yz(y + z + x) = - 3yz = 0 Tõ x3 + y3 + z3 – 3xyz = à x3 + y3 + z3 = 3xyz
à 1/ a3 + 1/ b3 + 1/ c3 1/ a3 .1/ b3 .1/ c3 = 3/abc
Do P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = abc (1/a3 + 1/b3+ 1/c3) = abc.3/abc = 3
nÕu 1/a + 1/b + 1/c =o th× P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 =
Đề 19
Bài 1Cho biÓu thøc A =
x2−3
¿2+12x2 ¿ ¿ ¿
√¿
+ x+2¿ 2−8x2
¿
√¿
a Rót gän biểu thức A
b Tìm giá trị nguyên cđa x cho biĨu thøc A cịng cã gi¸ trị nguyên Bài 2: (2 điểm)
Cho cỏc ng thẳng:
y = x-2 (d1) y = 2x – (d2) y = mx + (m+2) (d3)
a Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (d3 ) qua với giá trị m b Tìm m để ba đờng thẳng (d1); (d2); (d3) ng quy
Bài 3: Cho phơng trình x2 - 2(m-1)x + m - = (1)
a Chứng minh phơng trình có nghiệm phân biệt
b Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình (1) mà không phụ thuộc vào m
c Tìm giá trị nhỏ cđa P = x21 + x22 (víi x1, x2 lµ nghiệm phơng trình (1))
Bi 4: Cho đờng tròn (o) với dây BC cố định điểm A thay đổi vị trí cung lớn BC cho AC>AB AC > BC Gọi D điểm cung nhỏ BC Các tiếp tuyến (O) D C cắt E Gọi P, Q lần lợt giao điểm cặp đờng thẳng AB với CD; AD CE
a Chøng minh r»ng DE// BC
b Chøng minh tø gi¸c PACQ néi tiÕp
(86)Bài 5: Cho số dơng a, b, c Chứng minh r»ng: 1< a
a+b+
b b+c+
c c+a<2 ỏp ỏn
Bài 1: - Điều kiƯn : x a Rót gän: A=√x
4
+6x2+9
x2 +√x
2
−4x+4
¿x
2 +3
|x| +|x −2|
- Víi x <0: A=−2x
+2x −3
x - Víi 0<x 2: A=2x+3
x - Víi x>2 : A=2x
2
−2x+3
x b Tìm x nguyên để A nguyên:
A nguyªn <=> x2 + ⋮|x|
<=> ⋮|x| => x = {−1;−3;1;3} Bµi 2:
a (d1) : y = mx + (m +2)
<=> m (x+1)+ (2-y) = Để hàm số qua điểm cố định với m
¿
x+1=0 2− y=0
¿{
¿
=.>
¿
x=−1
y=2
¿{
¿
Vậy N(-1; 2) điểm cố định mà (d3) qua b Gọi M giao điểm (d1) (d2) Tọa độ M nghiệm hệ
¿
y=x −2
y=2x −4
¿{
¿
=>
¿
x=2
y=0
¿{
¿
VËy M (2; 0)
Nếu (d3) qua M(2,0) M(2,0) nghiệm (d3) Ta cã : = 2m + (m+2) => m= - 32
Vậy m = - 32 (d1); (d2); (d3) đồng quy Bài 3: a Δ' = m2 –3m + = (m -
2 )2 +
4 >0 ∀ m
(87)b Theo ViÐt:
¿
x1+x2=2(m−1)
x1x2=m−3
¿{
¿
=>
¿
x1+x2=2m −2 2x1x2=2m −6
¿{
¿
<=> x1+ x2 – 2x1x2 – = không phụ thuộc vào m b P = x12 + x12 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 – (m-3) = (2m - 52 )2 + 15
4 ≥ 15
4 ∀m
VËyPmin =
15
víi m =
5
Bài 4: Vẽ hình – viết giả thiết – kết luận a Sđ ∠ CDE = 12 Sđ DC = 12 Sđ BD = ∠BCD
=> DE// BC (2 gãc vÞ trÝ so le)
b ∠ APC = 12 s® (AC - DC) = ∠ AQC => APQC néi tiÕp (v× APC = AQC
cùng nhìn đoan AC) c.Tø gi¸c APQC néi tiÕp
∠ CPQ = ∠ CAQ (cïng ch¾n cung CQ)
∠ CAQ = ∠ CDE (cïng ch¾n cung DC) Suy ∠ CPQ = ∠ CDE => DE// PQ Ta cã: DEPQ = CECQ (v× DE//PQ) (1)
DE FC =
QE
QC (v× DE// BC) (2)
Céng (1) vµ (2) : DEPQ+DE FC =
CE+QE
CQ =
CQ CQ=1
=> PQ1 + FC=
1
DE (3)
ED = EC (t/c tiÕp tuyÕn) tõ (1) suy PQ = CQ Thay vµo (3) : CQ1 +
CF=
(88)Bµi 5:Ta cã: a a
+b+c <
a
b+a <
a+c
a+b+c (1)
a+bb+c < bb+c < ab++b+ac (2) a c
+b+c <
c
c+a <
c+b
a+b+c (3)
Céng tõng vÕ (1),(2),(3) :
< aa+b + bb+c + c+ca <
§Ị 20
Bài 1: (2đ)
Cho biểu thức:
P = (x x −1
+3√x −4−
√x+1
√x −1):
x+2√x+1
x −1 +1
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nhá nhÊt cña P
Bài 2: (2đ) Một ngời đự định xe đạp từ A đến B cách 20 km thời gian định Sau đợc với vận tốc dự định, đờng khó nên ngời giảm vận tốc 2km/h qng đờng cịn lại, ng-ời đến B chậm dự định 15 phút Tính vận tốc dự định ngng-ời xe đạp
(89)¿
mx−2y=3
−2x+my=1− m
{
a) Giải hệ phơng trình với m =
b) Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn x + y =
Bài 4: (3đ) Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB Điểm M tuỳ ý nửa đờng trịn Gọi N P lần lợt điểm cung AM cung MB AP cắt BN I
a) TÝnh sè ®o gãc NIP
b) Gọi giao điểm tia AN tia BP C; tia CI AB D Chứng minh tứ giác DOPN nội tiếp đợc
c) Tìm quỹ tích trung điểm J đoạn OC M di động nửa tròn tròn tâm O
Bài 5: (1,5đ) Cho hàm số y = -2x2 (P) đờng thẳng y = 3x + 2m – (d) a) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B Tìm toạ độ
hai điểm
b) Tìm quỹ tích chung điểm I AB m thay đổi
-(Học sinh không đợc sử dụng tài liệu no)
Đáp án
Môn: Toán 9
Bài 1: (2đ) a) (1,5đ)
- Thc hin c biểu thức ngoặc bằng: −5(√x+1)
(√x −1)(√x+4)
(90)- Thực phép chia −5
√x+4
0,25®
- Thực phép cộng bằng: √x −1
√x+4
0,25®
- Điều kiện đúng: x 0; x
0,25® b) (0,5®)
- ViÕt P = 1−
√x+4 lập luận tìm đợc GTNN P = -1/4 x
= 0,5đ Bài 2: (2®)
1) Lập phơng trình (1,25đ) - Gọi ẩn, đơn vị, đk 0,25đ
- Thời gian dự định 0,25đ
- Thêi gian thùc tÕ 0,5®
- Lập luận viết đợc PT 0,25đ
2) Gải phơng trình 0,5đ
3) đối chiếu kết trả lời 0,25đ
Bài 3: (1,5đ) a) Thay m = giải hệ đúng: 1đ
b) (0,5®)
Tìm m để hệ có nghiệm 0,25đ
Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn x + y = KL 0,25đ
Bài 4: (3đ) Vẽ hình 0,25đ
a) Tính đợc số đo góc NIP = 1350 0,75đ
(91)Vẽ hình C/m đợc góc NDP = 900 0,5đ
Chứng minh đợc tứ giác DOPN ni tip c 0,5
c) (1đ) + C/m phần thuËn
Kẻ JE//AC, JF//BC C/m đợc góc EJF = 450 0,25đ
LËp ln vµ kÕt ln ®iĨm J: 0,25®
+ C/m phần đảo 0,25
+ Kết luận quỹ tích 0,25đ
Bài 5: (1,5®) a) (1®)
Tìm đợc điều kiện m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt: 0,5đ
Tìm đợc toạ độ điểm A, B 0,5đ
b) Tìm đợc quỹ tích trung điểm I:
¿
xI=xA+xB =
−3
yI=yA+yB =
8m−11
¿{
¿
và kết luận
0,5đ
L
u ý: hai lần thiều giải thích đơn vị trừ 0,25đ
Ii, 100 đề tự ơn
MƠT Số Đề THI VàO THPT PHÂN BAN I, Phần : Các đề thi vào ban
§Ị sè 1
(92)1
√x −1+
√x+1¿
2. x2−1
2 −√1− x
A=¿
1) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa 2) Rút gọn biu thc A
3) Giải phơng trình theo x A = -2
C©u ( điểm )
Giải phơng trình :
1
3
5x x x
Câu ( điểm )
Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( , ) đờng thẳng (D) : y = -2(x +1)
a) §iĨm A cã thc (D) hay kh«ng ?
b) Tìm a hàm số y = ax2 có đồ thị (P) qua A
c) Viết phơng trình đờng thẳng qua A vng góc với (D) Câu ( điểm )
Cho hình vng ABCD cố định , có độ dài cạnh a E điểm chuyển đoạn CD ( E khác D ) , đờng thẳng AE cắt đờng thẳng BC F , đ-ờng thẳng vng góc với AE A cắt đđ-ờng thẳng CD K
1) Chứng minh tam giác ABF = tam giác ADK từ suy tam giác AFK vng cân
2) Gọi I trung điểm FK , Chứng minh I tâm đờng tròn qua A , C, F , K
3) TÝnh sè ®o gãc AIF , suy ®iÓm A , B , F , I nằm đ-ờng tròn
Đề số
Câu ( điểm )
Cho hàm số : y = 12 x2
1) Nêu tập xác định , chiều biến thiên vẽ đồ thi hàm số
2) Lập phơng trình đờng thẳng qua điểm ( , -6 ) có hệ số góc a tiếp xúc với đồ thị hàm số trờn
Câu ( điểm )
Cho phơng trình : x2 mx + m – =
(93)M= x1
+x2
−1
x12x2+x1x22 Từ tìm m để M > 2) Tìm giá trị m để biểu thức P = x1
2 +x2
2
−1 đạt giá trị nhỏ Câu ( điểm )
Giải phơng trình : a) x 4=4 x b) |2x+3|=3 x
Câu ( điểm )
Cho hai đờng trịn (O1) (O2) có bán kính R cắt A B , qua A vẽ cát tuyến cắt hai đờng tròn (O1) (O2) thứ tự E F , đờng thẳng EC , DF cắt P
1) Chøng minh r»ng : BE = BF
2) Một cát tuyến qua A vng góc với AB cắt (O1) (O2) lần lợt C,D Chứng minh tứ giác BEPF , BCPD nội tiếp BP vng góc với EF 3) Tính diện tích phần giao hai đờng tròn AB = R
Đề số
Câu ( điểm )
1) Giải bất phơng trình : |x+2|<|x 4|
2) Tìm giá trị nguyên lín nhÊt cđa x tho¶ m·n
2x+1 >
3x −1 +1 C©u ( điểm )
Cho phơng trình : 2x2 ( m+ )x +m – = a) Giải phơng trình m =
b) Tìm giá trị m để hiệu hai nghiệm tích chúng Câu3 ( điểm )
Cho hàm số : y = ( 2m + )x – m + (1) a) Tìm m biết đồ thị hàm số (1) qua điểm A ( -2 ; )
b) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số ln qua với giá trị m
Câu ( điểm )
(94)Dựng đờng tròn tâm O1 qua M tiếp xúc với Ox A , đờng tròn tâm O2 qua M tiếp xúc với Oy B , (O1) cắt (O2) điểm thứ hai N
1) Chứng minh tứ giác OANB tứ giác nội tiếp ON phân giác góc ANB
2) Chứng minh M nằm cung tròn cố định M thay đổi 3) Xác định vị trí M để khoảng cách O1O2 ngắn
§Ị sè
Câu ( điểm )
Cho biểu thøc : A=(2√x+x
x√x −1−
√x −1):(
√x+2
x+√x+1)
a) Rót gän biĨu thøc
b) Tính giá trị A x=4+23 Câu ( điểm )
Giải phơng tr×nh : 2x −2 x2−36−
x −2
x2−6x=
x 1
x2+6x Câu ( điểm )
Cho hµm sè : y = - 12x2
a) T×m x biÕt f(x) = - ; - 18 ; ;
b) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm A B nằm đồ thị có hồnh độ lần lợt -2
C©u ( ®iĨm )
Cho hình vng ABCD , cạnh BC lấy điểm M Đờng trịn đờng kính AM cắt đờng trịn đờng kính BC N cắt cạnh AD E
1) Chứng minh E, N , C thẳng hàng
(95)Đề số
Câu ( ®iĨm )
Cho hƯ phơng trình :
2 mx+y=5 mx+3y=1
{
a) Giải hệ phơng trình m =
b) Giải biện luận hệ phơng trình theo tham số m c) Tìm m để x – y =
C©u ( điểm )
1) Giải hệ phơng trình :
x2+y2=1
x2 x
=y2− y
¿{
¿
2) Cho phơng trình bậc hai : ax2 + bx + c = Gọi hai nghiệm phơng trình x1 , x2 Lập phơng trình bậc hai có hai nghiƯm lµ 2x1+ 3x2 vµ 3x1 + 2x2
Câu ( điểm )
Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) nội tiếp đờng tròn tâm O M điểm chuyển động đờng tròn Từ B hạ đờng thẳng vng góc với AM cắt CM D
Chứng minh tam giác BMD cân Câu ( ®iĨm )
1) TÝnh : √5+√2+
1
52
2) Giải bất phơng trình :
(96)Đề số 6
Câu ( điểm )
Giải hệ phơng trình :
¿
2
x −1+
y+1=7
x −1−
y −1=4
{
Câu ( điểm )
Cho biÓu thøc : A= √x+1
x√x+x+√x:
x2−√x a) Rót gän biĨu thøc A
b) Coi A hàm số biến x vẽ đồ thi hàm số A Câu ( điểm )
Tìm điều kiện tham số m để hai phơng trình sau có nghiệm chung x2 + (3m + )x – = x2 + (2m + )x +2 =0
Câu ( điểm )
Cho đờng tròn tâm O đờng thẳng d cắt (O) hai điểm A,B Từ điểm M d vẽ hai tiếp tuyến ME , MF ( E , F tiếp điểm )
1) Chứng minh góc EMO = góc OFE đờng trịn qua điểm M, E, F qua điểm cố định m thay đổi d
2) Xác định vị trí M d để tứ giác OEMF hình vng
§Ị số
Câu ( điểm )
(97)b) Gäi hai nghiƯm cđa phơng trình x1, x2 Tìm giá trị lớn nhÊt , nhá nhÊt cđa biĨu thøc :
S = x1 + x2
C©u ( điểm )
Cho phơng trình : 3x2 + 7x + = Gäi hai nghiƯm cđa phơng trình x1 , x2 không giải phơng trình lập phơng trình bậc hai mà có hai nghiệm : x1
x2−1 vµ x2
x1−1
Câu ( điểm )
1) Cho x2 + y2 = Tìm giá trị lớn , nhá nhÊt cđa x + y 2) Gi¶i hệ phơng trình :
x2 y2=16
x+y=8
{
3) Giải phơng trình : x4 – 10x3 – 2(m – 11 )x2 + ( 5m +6)x +2m = C©u ( ®iĨm )
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Đờng phân giác góc A , B cắt đờng tròn tâm O D E , gọi giao điểm hai đờng phân giác I , đờng thẳng DE cắt CA, CB lần lợt M , N
1) Chứng minh tam giác AIE tam giác BID tam giác cân 2) Chứng minh tứ giác AEMI tứ giác nội tiếp MI // BC 3) Tứ giác CMIN hình ?
Đề số
Câu1 ( ®iĨm )
Tìm m để phơng trình ( x2 + x + m) ( x2 + mx + ) = có nghiệm phân biệt
Câu ( điểm )
Cho hệ phơng trình :
x+my=3 mx+4y=6
¿{
(98)a) Gi¶i hƯ m =
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x > , y > Câu ( điểm )
Cho x , y hai số dơng thoả mÃn x5+y5 = x3 + y3 Chøng minh x2 + y2 1 + xy
Câu ( điểm )
1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) Chứng minh AB.CD + BC.AD = AC.BD
2) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng trịn (O) đờng kính AD Đ-ờng cao tam giác kẻ từ đỉnh A cắt cạnh BC K cắt đĐ-ờng tròn (O) E
a) Chøng minh : DE//BC
b) Chøng minh : AB.AC = AK.AD
c) Gäi H lµ trực tâm tam giác ABC Chứng minh tứ giác BHCD hình bình hành
Đề số
Câu ( điểm )
Trục thức mẫu biểu thức sau : A= √2+1
2√3+√2 ; B=
1
√2+√2−√2 ; C=
√3−√2+1 C©u ( điểm )
Cho phơng trình : x2 ( m+2)x + m2– = 0 (1)
a) Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình Tìm m thoả mãn x1 – x2 = b) Tìm giá trị nguyên nhỏ m để phơng trình có hai nghiệm khác
nhau C©u ( ®iĨm )
Cho a=
2−√3;b= 2+3
Lập phơng trình bậc hai có hệ số số có nghiệm x1 = √a
√b+1; x2=
(99)Câu ( điểm )
Cho hai ng tròn (O1) (O2) cắt A B Một đờng thẳng qua A cắt đờng tròn (O1) , (O2) lần lợt C,D , gọi I , J trung điểm AC AD
1) Chứng minh tứ giác O1IJO2 hình thang vu«ng
2) Gọi M giao diểm CO1 DO2 Chứng minh O1 , O2 , M , B nằm đờng tròn
3) E trung điểm IJ , đờng thẳng CD quay quanh A Tìm tập hợp điểm E
4) Xác định vị trí dây CD để dây CD có độ dài lớn
§Ị sè 10
Câu ( điểm )
1)Vẽ đồ thị hàm số : y = x2
2
2)Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm (2; -2) (1 ; -4 ) 3) Tìm giao điểm đờng thẳng vừa tìm đợc với đồ thị Câu ( điểm )
a) Giải phơng trình :
x+2x 1+x 2x 1=2
b)Tính giá trị biểu thức
S=x1+y2+y1+x2 với xy+(1+x2)(1+y2)=a Câu ( điểm )
Cho tam giác ABC , góc B góc C nhọn Các đờng trịn đờng kính AB , AC cắt D Một đờng thẳng qua A cắt đờng trịn đờng kính AB , AC lần lợt E F
1) Chøng minh B , C , D thẳng hàng
2) Chng minh B, C , E , F nằm đờng trịn
3) Xác định vị trí đờng thẳng qua A để EF có độ dài lớn Câu ( điểm )
Cho F(x) = √2− x+√1+x
(100)§Ị số 11
Câu ( điểm )
1) Vẽ đồ thị hàm số y=x 2
2) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm ( ; -2 ) ( ; - ) 3) Tìm giao điểm đờng thẳng vừa tìm đợc với đồ thị
Câu ( điểm )
1) Giải phơng trình :
x+2x 1+x 2x 1=2
2) Giải phơng trình :
2x+1
x +
4x
2x+1=5 Câu ( điểm )
Cho hình bình hành ABCD , đờng phân giác góc BAD cắt DC BC theo thứ tự M N Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNC
1) Chứng minh tam giác DAM , ABN , MCN , tam giác cân 2) Chứng minh B , C , D , O nằm đờng trũn
Câu ( điểm )
Cho x + y = vµ y Chøng minh x2 + y2 5
§Ị số 12
Câu ( điểm )
(101)2) Xác định a để tổng bình phơng hai nghiệm phơng trình x2 +ax +a
2 = bé Câu ( ®iĨm )
Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( ; 0) đờng thẳng x – 2y = - a) Vẽ đồ thị đờng thẳng Gọi giao điểm đờng thẳng với trục tung
vµ trơc hoµnh lµ B vµ E
b) Viết phơng trình đờng thẳng qua A vng góc với đờng thẳng x –
2y = -2
c) Tìm toạ độ giao điểm C hai đờng thẳng Chứng minh EO EA = EB EC tính diện tích tứ giác OACB
Câu ( điểm )
Giả sử x1 x2 hai nghiệm phơng trình : x2 –(m+1)x +m2– 2m +2 = (1)
a) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm kép , hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để x12+x22 đạt giá trị bé , lớn Câu ( điểm )
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Kẻ đờng cao AH , gọi trung điểm AB , BC theo thứ tự M , N E , F theo thứ tự hình chiếu vng góc của B , C đờng kính AD
a) Chøng minh r»ng MN vu«ng gãc víi HE
b) Chứng minh N tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác HEF
Đề số 13
Câu ( điểm )
So sánh hai số : a=
√11−√2;b= 3−√3 C©u ( điểm )
Cho hệ phơng trình :
¿
2x+y=3a −5
x − y=2
¿{
¿
(102)C©u ( điểm )
Giả hệ phơng trình :
x+y+xy=5
x2
+y2+xy=7
¿{
¿
Câu ( điểm )
1) Cho tứ giác lồi ABCD cặp cạnh đối AB , CD cắt P BC , AD cắt Q Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABQ , BCP , DCQ , ADP cắt điểm
3) Cho tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp Chøng minh
AB AD+CB.CD BA BC+DC DA=
AC BD
Câu ( điểm )
Cho hai sè d¬ng x , y cã tổng Tìm giá trị nhỏ : S=
x2+y2+ xy
§Ị số 14
Câu ( điểm )
Tính giá trị biểu thức : P= 2+√3
√2+√2+√3+
2−√3
√2−√2−√3 C©u ( điểm )
1) Giải biện luận phơng trình : (m2 + m +1)x2 3m = ( m +2)x +3
2) Cho phơng trình x2 – x – = cã hai nghiƯm lµ x1 , x2 HÃy lập phơng trình bậc hai cã hai nghiƯm lµ : x1
1− x2
; x2 1 x2 Câu ( điểm )
Tìm giá trị nguyên x để biểu thức : P=2x −3
(103)Câu ( điểm )
Cho ng tròn tâm O cát tuyến CAB ( C ngồi đờng trịn ) Từ điểm cung lớn AB kẻ đờng kính MN cắt AB I , CM cắt đờng tròn E , EN cắt đờng thẳng AB F
1) Chøng minh tứ giác MEFI tứ giác nội tiếp 2) Chøng minh gãc CAE b»ng gãc MEB
3) Chøng minh : CE CM = CF CI = CA CB
§Ị sè 15
Câu ( điểm )
Giải hệ phơng trình :
x25 xy2y2=3
y2
+4 xy+4=0
¿{
¿
C©u ( điểm )
Cho hàm số : y=x
4 vµ y = - x –
a) Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục toạ độ
b) Viết phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng y = - x – cắt đồ thị hàm số y=x
2
4 điểm có tung độ Câu ( im )
Cho phơng trình : x2 4x + q =
a) Víi gi¸ trị q phơng trình có nghiệm
b) Tìm q để tổng bình phơng nghiệm phơng trình 16 Câu ( điểm )
(104)|x −3|+|x+1|=4 2) Giải phơng trình :
3x21 x21=0 Câu ( ®iĨm )
Cho tam giác vng ABC ( góc A = v ) có AC < AB , AH đờng cao kẻ từ đỉnh A Các tiếp tuyến A B với đờng tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC cắt M Đoạn MO cắt cạnh AB E , MC cắt đờng cao AH F Kéo dài CA cho cắt đờng thẳng BM D Đờng thẳng BF cắt đờng thẳng AM N
a) Chứng minh OM//CD M trung điểm đoạn thẳng BD b) Chứng minh EF // BC
c) Chứng minh HA tia phân giác góc MHN
Đề số 16
Câu : ( điểm )
Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*)
1) Tính giá trị m để đồ thị hàm số qua : a) A( -1 ; ) ; b) B( - ; )
2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ - 3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ - Câu : ( 2,5 điểm )
Cho biÓu thøc :
1 1 1
A= :
1- x x x x x
a) Rót gän biĨu thøc A
b) Tính giá trị A x = 3
c) Với giá trị x A đạt giá trị nhỏ Câu : ( im )
Cho phơng trình bËc hai : x2 3x 0 vµ gäi hai nghiệm phơng trình là
x1 x2 Không giải phơng trình , tính giá trị c¸c biĨu thøc sau : a) 12 22
1
x x b) 2
1 x x c) 13 32
1
x x d) x1 x2
(105)Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đờng trịn đờng kính BD cắt BC E Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn điểm thứ hai F , G Chứng minh :
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD
b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp đợc đờng tròn c) AC song song với FG
d) Các đờng thẳng AC , DE BF đồng quy
Đề số 17
Câu ( 2,5 điểm )
Cho biÓu thøc : A =
1
:
a a a a a
a
a a a a
a) Với giá trị a A xác định b) Rút gọn biểu thức A
c) Với giá trị nguyên a A có giá trị nguyên Câu ( ®iĨm )
Một tơ dự định từ A đền B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính quãng đờng AB thời
gian dự định lúc đầu Câu ( điểm )
a) Giải hệ phơng trình :
1
3
2
1
x y x y
x y x y
b) Giải phơng trình : 2
5 25
5 10 50
x x x
x x x x x
Câu ( điểm )
Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 cm ;CB = 40 cm Vẽ nửa mặt phẳng bờ AB nửa đờng trịn đờng kính theo thứ tự AB , AC , CB có tâm lần lợt O , I , K Đờng vng góc với AB C cắt nửa đờng tròn (O) E Gọi M , N theo thứ tự giao điểm cuae EA , EB với nửa đ -ờng tròn (I) , (K) Chứng minh :
(106)b) MN tiếp tuyến chung nửa đờng trịn (I) (K) c) Tính độ dài MN
d) Tính diện tích hình đợc giới hạn ba nửa đờng trịn
§Ị 18 Câu ( điểm )
Cho biÓu thøc : A =
1 1 1
1 1 1
a a
a a a a a
1) Rót gän biĨu thøc A
2) Chứng minh biểu thức A dơng với a Câu ( điểm )
Cho phơng trình : 2x2 + ( 2m - 1)x + m - =
1) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 3x1 - 4x2 = 11 2) Tìm đẳng thức liên hệ x1 x2 khơng phụ thuộc vào m
3) Víi giá trị m x1 x2 dơng Câu ( điểm )
Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B cách 300 km Ơ tơ thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm ô tô thứ hai Tính vận tốc xe tụ
Câu ( điểm )
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O M điểm cung AC ( khơng chứa B ) kẻ MH vng góc với AC ; MK vng góc với BC
1) Chøng minh tứ giác MHKC tứ giác nội tiếp 2) Chøng minh AMB HMK
3) Chứng minh D AMB đồng dạng với D HMK
C©u ( điểm )
Tìm nghiệm dơng hÖ :
( )
( ) 12
( ) 30
xy x y yz y z zx z x
(107)§Ĩ 19
( Thi tun sinh lớp 10 - THPT năm 2006 - 2007 - Hải dơng - 120 phút - Ngày 28 / / 2006
Câu ( điểm )
1) Giải phơng trình sau : a) 4x + =
b) 2x - x2 =
2) Giải hệ phơng trình :
2
5
x y y x
C©u 2( ®iĨm )
1) Cho biĨu thøc : P =
3 4
a > ; a 4
2
a a a
a
a a
a) Rót gän P
b) Tính giá trị P với a =
2) Cho phơng trình : x2 - ( m + 4)x + 3m + = ( m lµ tham sè )
a) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x13x32 0 Câu ( điểm )
Khoảng cách hai thành phố A B 180 km Một ô tô từ A đến B , nghỉ 90 phút B , lại từ B A Thời gian lúc đến lúc trở A 10 Biết vận tốc lúc vận tốc lúc km/h Tính vận tốc lúc ụ tụ
Câu ( điểm )
Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC , BD cắt E Hình chiếu vng góc E AD F Đờng thẳng CF cắt đờng tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N
Chøng minh :
a) CEFD tứ giác nội tiếp
b) Tia FA tia phân giác góc BFM c) BE DN = EN BD
Câu ( điểm )
Tỡm m để giá trị lớn biểu thức
2 x m x
Để 20 Câu (3 điểm )
1) Giải phơng trình sau : a) 5( x - ) =
(108)2) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng y = 3x - với hai trục toạ độ Câu ( điểm )
1) Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình : y = ax + b
Xác định a , b để (d) qua hai điểm A ( ; ) B ( - ; - 1) 2) Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình x2 - 2( m - 1)x - = ( m tham số )
Tìm m để : x1 x2 5 3) Rút gọn biểu thức : P =
1
( 0; 0)
2 2
x x
x x
x x x
Câu 3( điểm)
Một hình chữ nhật có diện tích 300 m2 Nếu giảm chiều rộng m , tăng chiều dài thêm 5m ta đợc hình chữ nhật có diện tích diện tích diện tích hình chữ nhật ban đầu Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu Câu ( điểm )
Cho điểm A đờng tròn tâm O Kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đ-ờng tròn (B , C tiếp điểm ) M điểm cung nhỏ BC ( M B ; M C ) Gọi D , E , F tơng ứng hình chiếu vng góc M đờng thẳng
AB , AC , BC ; H lµ giao điểm MB DF ; K giao ®iĨm cđa MC vµ EF 1) Chøng minh :
a) MECF tứ giác nội tiếp b) MF vu«ng gãc víi HK
2) Tìm vị trí M cung nhỏ BC để tích MD ME lớn
Câu ( điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ ( Oxy ) cho điểm A ( -3 ; ) Parabol (P) có phơng trình y = x2 Hãy tìm toạ độ điểm M thuộc (P) độ dài đoạn thẳng AM nhỏ
II, Các đề thi vào ban tự nhiên Đề
Câu : ( điểm ) iải phơng tr×nh
a) 3x2 – 48 = b) x2– 10 x + 21 = c) x −85+3=20
x −5
C©u : ( ®iĨm )
a) Tìm giá trị a , b biết đồ thị hàm số y = ax + b qua hai điểm
A( ; - ) vµ B ( 12;2
(109)Câu ( điểm ) Cho hệ phơng trình
{mx2x+ny=5y=n a) Gi¶i hƯ m = n =
b) Tìm m , n để hệ cho có nghiệm {x=−√3 y=√3+1
C©u : ( ®iĨm )
Cho tam giác vng ABC (C = 900 ) nội tiếp đờng tròn tâm O Trên cung nhỏ AC ta lấy điểm M ( M khác A C ) Vẽ đờng trịn tâm A bán kính AC , đờng tròn cắt đờng tròn (O) điểm D ( D khác C ) Đoạn thẳng BM cắt đờng tròn tâm A điểm N
a) Chứng minh MB tia phân giác góc CMD .
b) Chứng minh BC tiếp tuyến đờng trịn tâm A nói c) So sánh góc CNM với góc MDN
d) Cho biÕt MC = a , MD = b H·y tÝnh đoạn thẳng MN theo a b
s 2
Câu : ( điểm ) Cho hµm sè : y = 3x2
2 ( P )
a) Tính giá trị hàm sè t¹i x = ; -1 ; −1
3 ; -2
b) BiÕt f(x) = 92;−8;2
3;
2 t×m x
c) Xác định m để đờng thẳng (D) : y = x + m – tiếp xúc với (P) Câu : ( điểm )
Cho hệ phơng trình : {2x my=m2
x+y=2
a) Gi¶i hƯ m =
(110)Lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm phơng trình : x1=23
2 x2= 2+3
2 Câu : ( điểm )
Cho ABCD tứ giác nội tiếp P giao điểm hai đờng chéo AC BD
a) Chứng minh hình chiếu vng góc P lên cạnh tứ giác đỉnh tứ giác có đờng trịn ni tip
b) M điểm tứ giác cho ABMD hình bình hành Chøng minh r»ng nÕu gãc CBM = gãc CDM th× gãc ACD = gãc BCM
c) Tìm điều kiện tứ giác ABCD để : SABCD=1
2(AB CD+AD BC)
Đề số 3
Câu ( điểm ) Giải phơng trình
a) 1- x - √3− x = b) x2−2
|x|3=0 Câu ( điểm )
Cho Parabol (P) : y = 12x2
đờng thẳng (D) : y = px + q
Xác định p q để đờng thẳng (D) qua điểm A ( - ; ) tiếp xúc với (P) Tìm toạ độ tiếp im
Câu : ( điểm )
Trong hệ trục toạ độ Oxy cho parabol (P) : y=1 4x
2 đờng thẳng (D) : y=mx−2m −1
a) VÏ (P)
(111)c) Chứng tỏ (D) qua điểm cố định Câu ( điểm )
Cho tam giác vuông ABC ( góc A = 900 ) nội tiếp đờng trịn tâm O , kẻ đờng kính AD
1) Chøng minh tứ giác ABCD hình chữ nhật
2) Gọi M , N thứ tự hình chiếu vng góc B , C AD , AH đờng cao tam giác ( H cạnh BC ) Chứng minh HM vng góc với AC 3) Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MHN
4) Gọi bán kính đờng trịn ngoại tiếp đờng tròn nội tiếp tam giác ABC R r Chứng minh R+r ≥√AB AC
Đề số 4
Câu ( điểm ) Giải phơng trình sau
a) x2 + x – 20 = b) x1+3+
x −1=
x c) 31 x=x 1 Câu ( điểm )
Cho hµm sè y = ( m –2 ) x + m +
a) Tìm điều kiệm m để hàm số nghịch biến
b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hành độ c) Tìm m để đồ thị hàm số y = - x + ; y = 2x –1và y = (m – )x + m
+ đồng quy Câu ( điểm )
Cho phơng trình x2 x + 10 = Không giải phơng trình tính a) x1
2 +x22
b) x12− x22 c) √x1+√x2
(112)Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O , đờng phân giác góc A cắt cạnh BC D cắt đờng tròn ngoại tiếp I
a) Chøng minh r»ng OI vu«ng gãc víi BC b) Chøng minh BI2 = AI.DI
c) Gäi H hình chiếu vuông góc A BC Chøng minh gãc BAH = gãc CAO
d) Chøng minh gãc HAO = B C
§Ị sè
Câu ( điểm ) Cho hàm số y = x2 có đồ thị đờng cong Parabol (P) a) Chứng minh điểm A( - √2;2¿ nằm đờng cong (P)
b) Tìm m để để đồ thị (d ) hàm số y = ( m – )x + m ( m R , m )cắtđờng cong (P) điểm
c) Chứng minh với m khác đồ thị (d ) hàm số y = (m-1)x + m qua điểm cố định
C©u ( điểm )
Cho hệ phơng trình : {mx2 mx+3+y=1y=5 a) Giải hệ phơng trình với m =
b) Giải biện luận hệ phơng trình theo tham sè m
c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm thoả mãn x2 + y2 = Câu ( điểm )
Giải phơng trình
x+34x 1+x+86x 1=5 Câu ( ®iĨm )
(113)b) Chứng minh minh : BC2 = AB2 So sánh BC đờng chéo hình vng cạnh AB
c) Chứng tỏ BA tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMC d) Đờng thẳng qua C song song với MA , cắt đờng thẳng AB D
Chứng tỏ đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD tiếp xúc với BC
Đề số Câu ( điểm )
a) Giải phơng trình : √x+1=3−√x −2
c) Cho Parabol (P) có phơng trình y = ax2 Xác định a để (P) qua điểm A( -1; -2) Tìm toạ độ giao điểm (P) đờng trung trực đoạn OA
Câu ( điểm )
a) Giải hệ phơng trình {x 11+
1
y −2=2
y −2−
x −1=1
1) Xác định giá trị m cho đồ thị hàm số (H) : y = 1x đờng thẳng (D) : y = - x + m tiếp xúc
C©u ( điểm )
Cho phơng trình x2 (m + )x + m2 - 2m + = 0 (1). a) Giải phơng trình với m =
b) Xác định giá trị m để (1) có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để (1) có nghiệm Tìm nghiệm Câu ( điểm )
Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm đờng trịn đờng kính AB Hạ BN DM vng góc với đờng chéo AC
Chøng minh :
a) Tø gi¸c CBMD néi tiÕp
b) Khi điểm D di động trên đờng trịn BMD BCD khơng đổi
(114)Đề số
Câu ( điểm )
Giải phơng tr×nh : a) x4 – 6x2- 16 = b) x2 - |x| - = c) (x −1
x)
2
−3(x −1 x)+
8 9=0 C©u ( điểm )
Cho phơng trình x2 ( m+1)x + m2– 2m + = (1)
a) Giải phơng trình với m =
b) Xác định giá trị m để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép
c) Với giá trị m x1
+x2
2 đạt giá trị bé , lớn Câu ( điểm )
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O Gọi I giao điểm hai đờng chéo AC BD , M trung điểm cạnh CD Nối MI kéo dài cắt cạnh AB N Từ B kẻ đờng thẳng song song với MN , đờng thẳng cắt đờng thẳng AC E Qua E kẻ đờng thẳng song song với CD , đờng thẳng cắt đờng thẳng BD F
a) Chøng minh tø gi¸c ABEF néi tiÕp
b) Chứng minh I trung điểm đoạn thẳng BF vµ AI IE = IB2 c) Chøng minh
2
(115)đề số Câu ( điểm )
Ph©n tích thành nhân tử a) x2- 2y2 + xy + 3y – 3x b) x3 + y3 + z3 - 3xyz Câu ( điểm )
Cho hệ phơng trình
mx− y=3 3x+my=5
¿{
¿
a) Gi¶i hệ phơng trình m =
b) Tìm m để hệ có nghiệm đồng thời thoả mãn điều kiện ; x+y −7(m−1)
m2+3 =1 C©u ( ®iĨm )
Cho hai đờng thẳng y = 2x + m – y = x + 2m a) Tìm giao điểm hai đờng thẳng nói b) Tìm tập hợp giao im ú
Câu ( điểm )
Cho đờng tròn tâm O A điểm ngồi đờng trịn , từ A kẻ tiếp tuyến AM , AN với đờng tròn , cát tuyến từ A cắt đờng tròn B C ( B nằm A C ) Gọi I trung điểm BC
1) Chứng minh điểm A , M , I , O , N nằm đờng tròn 2) Một đờng thẳng qua B song song với AM cắt MN MC lần lợt E
(116)Đề số 9
Câu ( điểm )
Cho phơng trình : x2 – ( m + n)x + 4mn = a) Giải phơng trình m = ; n =
b) Chøng minh r»ng phơng trình có nghiệm với m ,n c) Gọi x1, x2, hai nghiệm phơng trình TÝnh x1
2
+x22 theo m ,n Câu ( điểm )
Giải phơng trình a) x3 16x = b) √x=x −2
c) 3− x1 +14
x2−9=1 Câu ( điểm )
Cho hàm sè : y = ( 2m – 3)x2
1) Khi x < tìm giá trị m để hàm số đồng biến
2) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm ( , -1 ) Vẽ đồ thị vi m va tỡm c
Câu (3điểm )
Cho tam giác nhọn ABC đờng kính BON Gọi H trực tâm tam giác ABC , Đờng thẳng BH cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC M
1) Chøng minh tứ giác AMCN hình thanng cân
2) Gọi I trung điểm AC Chứng minh H , I , N thẳng hàng 3) Chứng minh BH = OI tam giác CHM c©n
đề số 10
C©u ( điểm )
Cho phơng trình : x2 + 2x – = gäi x1, x2, nghiệm phơng trình Tính giá trị cđa biĨu thøc : A=2x1
2+2x 2−3x
1x2
(117)Câu ( điểm)
Cho hệ phơng trình
a2x y=−7 2x+y=1
¿{
¿
a) Gi¶i hƯ phơng trình a =
b) Gi nghim hệ phơng trình ( x , y) Tìm giá trị a để x + y =
Câu ( điểm )
Cho phơng trình x2 ( 2m + )x + m2 + m – =0.
a) Chøng minh phơng trình có nghiệm với m
b) Gọi x1, x2, hai nghiệm phơng trình Tìm m cho : ( 2x1 – x2 ) ( 2x2 – x1 ) đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ
c) HÃy tìm hệ thức liên hệ x1 x2 mà không phụ thuộc vào m Câu ( điểm )
Cho hình thoi ABCD có góc A = 600 M điểm cạnh BC , đờng thẳng AM cắt cạnh DC kéo dài N
a) Chøng minh : AD2 = BM.DN
b) §êng thẳng DM cắt BN E Chứng minh tứ gi¸c BECD néi tiÕp
c) Khi hình thoi ABCD cố định Chứng minh điểm E nằm cung tròn cố định m chạy BC
Equation Chapter Section 10Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1999 Đại học khoa học tự nhiên
Bài Cho số a, b, c thỏa m·n ®iỊu kiƯn:
a b ca2 b2 c20 14
.HÃy tính giá trị biểu thøc 4
1
P a b c .
Bài a) Giải phơng trình x 3 7 x 2x
b) Gi¶i hệ phơng trình :
1
2
1
2
x y
x y xy
xy
Bài Tìm tất số nguyên d¬ng n cho n2 + 9n – chia hết cho n + 11
Bài Cho vòng tròn (C) điểm I nằm vòng tròn Dựng qua I hai d©y cung
bÊt kú MIN, EIF Gọi M, N, E, F trung điểm IM, IN, IE, IF a) Chøng minh r»ng : tø giác MENF tứ giác nội tiếp
b) Gi sử I thay đổi, dây cung MIN, EIF thay đổi Chứng minh vòng tròn ngoại tiếp tứ giác M’E’N’F’ có bán kính khơng đổi
(118)Bài Các số dơng x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x + y = Tìm giá trị nhỏ
nhÊt cđa biĨu thøc :
2
2
1
P x y
y x
(119)Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên toán 1992 Đại học tổng hợp
Bài a) Giải phơng trình (1 + x)4 = 2(1 + x4)
b) Giải hệ phơng trình
2
2
2
7 28
x xy y y yz z z xz x
Bài a) Phân tích đa thức x5 5x thành tích đa thức bậc hai
một đa thức bậc ba với hệ số nguyªn
b) áp dụng kết để rút gọn biểu thức 4
2
4 5 125
P
.
Bài Cho D ABC Chứng minh với điểm M ta ln có MA ≤ MB +
MC
Bài Cho xOy cố định Hai điểm A, B khác O lần lợt chạy Ox Oy tơng
ứng cho OA.OB = 3.OA – 2.OB Chứng minh đờng thẳng AB ln đI qua điểm cố định
Bµi Cho hai số nguyên dơng m, n thỏa mÃn m > n m không chia hết cho n
BiÕt r»ng sè d chia m cho n b»ng sè d chia m + n cho m – n H·y tÝnh tû sè
(120)Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1996 Đại học khoa học tự nhiên
Bài Cho x > hÃy tìm giá trị nhỏ biểu thức
6
6 3
3
1
2
1
( ) ( ) ( )
x x
x x
P
x x
x x
Bài Giải hệ phơng trình
1
2
1
2
y x
x y
Bµi Chøng minh r»ng với n nguyên dơng ta có : n3 + 5n 6.
Bµi Cho a, b, c > Chøng minh r»ng :
3 3
a b c
ab bc ca b c a .
Bµi Cho hình vuông ABCD cạnh a Gọi M, N, P, Q điểm lần
lợt nằm cạnh AB, BC, CD, DA
a) Chøng minh r»ng 2a2≤ MN2 + NP2 +PQ2 + QM2≤ 4a2
(121)Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 2000 Đại học khoa học tự nhiên
Bµi a) TÝnh
1 1
1 2 3. . 1999 2000.
S
b) Gi¶I hệ phơng trình :
2
1
3
3
x x
y y x x
y y
Bài a) Giải phơng trình x 4 x3x2 x 1 x41 b) Tìm tất giá trị a để phơng trình
2 11
2 4
2
( )
x a x a
cã Ýt nhÊt mét nghiÖm nguyªn
Bài Cho đờng trịn tâm O nội tiếp hình thang ABCD (AB // CD), tiếp xúc
với cạnh AB E với cạnh CD F nh hình a) Chứng minh
BE DF AE CF .
b) Cho AB = a, CB = b (a < b), BE = 2AE TÝnh diện tích hình thang ABCD
Bài Cho x, y hai số thực khác không
Chøng minh r»ng
2 2
2 2
4
3
( )
( )
x y x y
x y y x Dấu đẳng thức xảy ?
D C
B A
E
(122)Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1998 Đại học khoa học tự nhiên
Bài a) GiảI phơng trình x2 x2 4. b) GiảI hệ phơng trình :
2
4 2 47 21 x xy y
x x y y
Bµi Các số a, b thỏa mÃn điều kiện :
3
3 19
3 98
a ab b ba
H·y tÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc P = a2 + b2
Bài Cho số a, b, c [0,1] Chøng minh r»ng {Mê}
Bài Cho đờng tròn (O) bán kính R hai điểm A, B cố định (O) cho
AB < 2R Giả sử M điểm thay đổi cung lớn AB đờng tròn
a) Kẻ từ B đờng trịn vng góc với AM, đờng thẳng cắt AM I (O) N Gọi J trung điểm MN Chứng minh M thay đổi đ-ờng trịn điểm I, J nằm đđ-ờng tròn cố định
b) Xác định vị trí M để chu vi D AMB lớn
Bài a) Tìm số nguyên dơng n cho số n + 26 n – 11 lập
ph-¬ng cđa mét số nguyên dph-ơng
b) Cho cỏc s x, y, z thay đổi thảo mãn điều kiện x2 + y2 +z2 = Hãy tìm giá
trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc
2 2 2
1
2 ( ) ( ) ( )
P xy yz zx x y z y z x z x y
(123)Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1993-1994 Đại học tổng hợp
Bài a) GiảI phơng trình
1
2
2
x x x
b) Gi¶I hệ phơng trình :
3
3 2 12
8 12
x xy y
y x
Bài Tìm max biểu thức : A = x2y(4 – x – y) x y thay đổi thỏa
m·n ®iỊu kiƯn : x 0, y 0, x + y ≤
Bài Cho hình thoi ABCD Gọi R, r lần lợt bán kính đờng trịn ngoại
tiếp tam giác ABD, ABC a độ dài cạnh hình thoi Chứng minh
2 2
1
R r a .
Bài Tìm tất số nguyên dơng a, b, c đôI khác cho biểu thức
1 1 1
A
a b c ab ac bc
(124)Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1991-1992 Đại học tổng hợp
Bài a) Rót gän biĨu thøc A32 44 16 .6
b) Phân tích biêu thøc P = (x – y)5 + (y-z)5 +(z - x )5 thành nhân tử.
Bài a) Cho số a, b, c, x, y, z thảo mÃn điều kiện
0 0
a b c x y z x y z a b c
hÃy tính
giá trị biểu thức A = xa2 + yb2 + zc2.
b) Cho số a, b, c, d số không âm nhỏ Chứng minh
0 ≤ a + b + c + d – ab – bc – cd – da ≤ Khi đẳng thức xảy dấu
Bµi Cho trớc a, d số nguyên dơng Xét số có dạng :
a, a + d, a + 2d, … , a + nd, …
Chứng minh số có số mà chữ số 1991
Bài Trong hội thảo khoa học có 100 ngời tham gia Giả sử ngời
quen biết với 67 ngời Chứng minh tìm đợc nhóm ngời mà ngời nhóm u quen bit
Bài Cho hình vuông ABCD Lấy điểm M nằm hình vuông cho
MAB = MBA = 150 Chứng minh rng D MCD u
Bài HÃy xây dựng tập hợp gồm điểm có tính chất : §êng trung trùc cđa
(125)§Ị thi vào 10 hệ THPT chuyên Lý 1989-1990
Bi Tìm tất giá trị nguyên x để biêu thức
2
2 36
2
x x x
nguyên.
Bài Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc P = a2 + ab + b2– 3a – 3b +
Bµi a) Chøng minh với số nguyên dơng m biểu thức m2 + m +
không phảI sè chÝnh ph¬ng
b) Chøng minh r»ng víi mäi số nguyên dơng m m(m + 1) b»ng tÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp
Bài Cho D ABC vuông cân A CM trung tuyến Từ A vẽ đờng vng góc
víi MC cắt BC H Tính tỉ số
BH HC .
Bài Có thành phố, thành phố có thnàh phố
(126)§Ị thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2004 Đại học khoa học tự nhiên(vòng1)
Bài a) GiảI phơng tr×nh
2
1 1
x x x
b) T×m nghiƯm nguyên cảu hệ
3
2
2xy yx x yxy 2y 2x
Bài Cho số thực dơng a b thỏa mÃn a100 + b100 = a101 + b101 = a102 +
b102 H·y tính giá trị biểu thức P = a2004 + b2004
Bài Cho D ABC có AB=3cm, BC=4cm, CA=5cm Đờng cao, đờng phân
giác, đờng trung tuyến tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành phần Hãy tính diện tích phần
Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn, có hai đờng chéo AC, BD
vng góc với H (H khơng trùng với tâm cảu đờng tròn ) Gọi M N lần lợt chân đờng vng góc hạ từ H xuống đờng thẳng AB BC; P Q lần lợt giao điểm đờng thẳng MH NH với đờng thẳng CD DA Chứng minh đờng thẳng PQ song song với đờng thẳng AC bốn điểm M, N, P, Q nằm đờng trịn
Bµi Tìm giá trị nhỏ biểu thức
10 10
16 16 2
2
1
1
2( ) 4( ) ( )
x y
Q x y x y
y x
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2004 Đại học khoa học tự nhiên(vòng 2)
Bài giảI phơng trình x x
Bài GiảI hệ phơng trình
2 2 153
( )( ) (x y xx y x)( yy )
Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức
3 2
1
( ) ( ) ( )( )
x y x y
P
x y
với x, y số
thực lớn
Bài Cho hình vuông ABCD điểm M nằm hình vuông
a) Tìm tất vị trí M cho MAB = MBC = MCD =
MDA
b) Xét điểm M nằm đờng chéo AC Gọi N chân đờng vng góc hạ từ M xuống AB O trung điểm đoạn AM Chứng minh tỉ số
OB
CN có giá trị khơng đổi M di chuyển đờng chéo AC.
c) Với giả thiết M nằm đờng chéo AC, xét đờng trịn (S) (S’) có đờng kính tơng ứng AM CN Hai tiếp tuyến chung (S) (S’) tiếp xúc với (S’) P Q Chứng minh đờng thẳng PQ tiếp xúc với (S)
Bài Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên số a số nguyên lớn
(127)c«ng thøc
1
2
n
n n
x
Hái 200 sè {x1, x2, …, x199} cã bao nhiªu sè
(128)Đề thi thử vào THPT Chu Văn An 2004
Bài Cho biểu thøc
2 2
4
2 2
( x ) : ( x x x )
P
x
x x x x x
a) Rót gän P b) Cho
3 11
x x
HÃy tính giá trị P
Bài Cho phơng trình mx2 2x 4m = (1)
a) Tìm m để phơng trình (1) nhận x = nghiệm, tìm nghiệm cịn lại
b) Víi m
Chứng minh phơng trình (1) ln có hai nghiệm x1, x2 phân biệt Gọi A, B lần lợt điểm biểu diễn nghiệm x1, x2 trục số Chứng minh độ dài đoạn thẳng AB không đổi (Khơng lắm)
Bài Cho đờng trịn (O;R) đờng kính AB điểm M di động trờn
đ-ờng tròn (M khác A, B) Gọi CD lần lợt điểm cung nhỏ AM BM
a) Chứng minh CD = R 2 đờng thẳng CD tiếp xúc với
đ-ờng tròn cố định
b) Gọi P hình chiếu vng góc điểm D lên đờng thẳng AM đờng thẳng OD cắt dây BM Q cắt đờng tròn (O) giao điểm thứ hai S Tứ giác APQS hình ? Tại ?
c) đờng thẳng đI qua A vng góc với đờng thẳng MC cắt đờng thẳng OC H Gọi E trung điểm AM Chứng minh HC = 2OE
d) Giả sử bán kính đờng tròn nội tiếp D MAB Gọi MK đờng cao
hạ từ M đến AB Chứng minh :
1 1
2 2
(129)Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2003 Đại học khoa học tự nhiên(vòng 2)
Bi Cho phng trỡnh x4 + 2mx2 + = Tìm giá trị tham s m phng
trình có nghiệm phân biÖt x1, x2, x3, x4 tháa m·n x14 + x24 + x34 + x44 = 32.
Bài Giải hệ phơng trình :
2
2
2
4
x xy y x y x y x y
Bài Tìm số nguyªn x, y tháa m·n x2 + xy + y2 = x2y2
Bài đờng tròn (O) nội tiếp D ABC tiếp xúc với BC, CA, AB tơng ng ti D, E, F
Đờng tròn tâm (O) bµng tiÕp gãc BAC cđa D ABC tiÕp xúc với BC
và phần kéo dài AB, AC tơng ứng P, M, N a) Chứng minh r»ng : BP = CD
b) Trên đờng thẳng MN lấy điểm I K cho CK // AB, BI // AC Chứng minh : tứ giác BICE BKCF hình bình hành
c) Gọi (S) đờng tròn qua I, K, P Chứng minh (S) tiếp xúc với BC, BI, CK
Bài Số thực x thay đổi thỏa mãn điều kiện : x2(3 x)2 5
T×m Px4(3 x)46x2(3 x)2.
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2003 Đại học khoa học tự nhiên
Bài Giải phơng trình ( x x2 1)( x27x110)3
Bài Giải hệ phơng trình
3
3
2
6
x yx y xy
Bài Tím số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức : 2y x x y2 1 x22y2xy.
Bài Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R M, N hai điểm nửa
đ-ờng tròn (O) cho M thuộc cung AN tổng khoảng cách từ A, B đến đờng thẳng MN R
a) Tính độ dài MN theo R
b) Gọi giao điểm hai dây AN BM I Giao điểm đờng thẳng AM BN K Chứng minh bốn điểm M, N, I, K nằm đờng trịn , Tính bán kính đờng trịn theo R
c) Tìm giá trị lớn diện tích D KAB theo R M, N thay đổi nhng
vÉn tháa m·n gi¶ thiÕt toán
Bài Cho x, y, z số thực thỏa mÃn điều kiện : x + y + z + xy + yz + zx =
Chøng minh r»ng : x2 + y2 + z2
(130)Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2002 Đại học khoa học tự nhiên
Bài a) Giải phơng trình : x2 3x2 x3 x22x 3 x 2.
b) T×m nghiệm nguyên phơng trình : x + xy + y =
Bài Giải hệ phơng tr×nh :
2
3 31
x y xy
x y x y
{M}
Bài Cho mời số nguyên dơng 1, 2, …, 10 Sắp xếp 10 số cách tùy ý
vào hàng Cộng số với số thứ tự hàng ta đợc 10 tổng Chứng minh 10 tổng tồn hai tổng có chữ số tn cựng ging
Bài Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc :
4a 3b or 5b 16c P
b c a a c b a b c
Trong a, b, c độ dài ba cạnh tam giác
Bài Đờng tròn (C) tâm I nội tiếp D ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB
tơng ứng A, B, C
a) Gọi giao điểm đờng tròn (C) với đoạn IA, IB, IC lần lợt M, N, P Chứng minh đờng thẳng A’M, B’N, C’P đồng quy
b) Kðo dài đoạn AI cắt đờng tròn ngoại tiếp D ABC D (khác A) Chứng
minh r»ng .
IB IC r
ID r bán kính đờng trịn (C)
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2002 Đại học khoa học tự nhiên
Bài a) Giải phơng trình : x x
b) Giải hệ phơng trình :
1
1 17
( )( ) ( ) ( )
x y
x x y y xy
Bài Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh phơng
tr×nh x2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = vô nghiệm.
Bài Tìm tất số nguyên n cho n2 + 2002 số phơng.
Bài Tìm giá trị nhỏ biểt thức:
1 1
1 1
S
xy yz zx
Trong
x, y, z số dơng thay đổi thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 ≤ 3.
Bài Cho hình vng ABCD M điểm thay đổi cạnh BC (M không
trùng với B) N điểm thay đổi cạnh CD (N không trùng D) cho
MAN = MAB + NAD
a) BD cắt AN, AM tơng ứng p Q Chứng minh điểm P, Q, M, C, N nằm đờng tròn
b) Chứng minh đờng thẳng MN luôn tiếp xúc với đờng tròn cố định M N thay đổi
c) Ký hiƯu diƯn tÝch cđa D APQ S diện tích tứ giác PQMN lµ S’
Chøng minh r»ng tû sè '
S
(131)Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2001 Đại học khoa học tự nhiên
Bài Tìm gia trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: (y + 2)x2 + = y2
Bài a) Giải phơng tr×nh : x x(3 1) x x( 1) 2 x2 b) Giải hệ phơng trình :
2
2 2 32
x xy x y
x y
Bài Cho nửa vịng trịn đờng kính AB=2a Trên đoạn AB lấy điểm M
Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa vòng tròn, ta kẻ tia Mx My cho AMx = BMy =300 Tia Mx c¾t nửa vòng tròn E, tia My cắt nửa
vòng tròn F Kẻ EE, FF vuông góc với AB
a) Cho AM= a/2, tÝnh diƯn tÝch h×nh thang vu«ng EE’F’F theo a
b) Khi M di động AB Chứng minh đờng thẳng EF tiếp xúc với vịng trịn cố định
Bµi Giả sử x, y, z số thùc kh¸c tháa m·n :
3 3
1 1 1
2
( ) ( ) ( )
x y z
y z z x x y
x y z
HÃy tính giá trị
1 1
P
x y z
Bµi Víi x, y, z số thực dơng, hÃy tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc:
( )( )( )
xyz M
x y y z z x
(132)Đề thi vào 10 năm 1989-1990 Hµ Néi
Bµi XÐt biĨu thøc
2 1
1
1 1 :4
x x
A
x x x x x
a) Rót gän A
b) Tìm giá trị x để A = -1/2
Bài Một ô tô dự định từ A đến B với vận tốc 50 km/h Sau đợc
2/3 quãng đờng với vận tốc đó, đờng khó nên ngời lái xe phải giảm vận tốc 10 km quãng đờng cịn lại Do tơ đến B chậm 30 phút so với dự định Tính quãng đờng AB
Bài Cho hình vuông ABCD điểm E cạnh BC Tia Ax ^
AE cắt cạnh CD kéo dài F Kẻ trung tuyến AI D AEF kéo dài cắt
cạnh CD K Đờng thẳng qua E song song với AB cắt AI G a) Chứng minh r»ng AE = AF
b) Chøng minh r»ng tø giác EGFK hình thoi
c) Chng minh rng hai tam giác AKF , CAF đồng dạng AF2 = KF.CF. d) Giả sử E chạy cạnh BC Chứng minh EK = BE + điều kiện chu vi D ECK không đổi
Bài Tìm giá trị x để biểu thức
2
2 1989
x x
y
x
(133)§Ị thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên năm học 2000-2001 (1)
Bài Tìm n nguyên dơng thỏa mÃn :
1 1 1 2000
1 1
2( 1 3. )( 2 4. )( 3 5. ) ( n n( 2))2001
Bµi Cho biÓu thøc
4 4
16
x x x x
A
x x
a) Với giá trị x A xác định b) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ
c) Tìm giá trị nguyên x để A nguyên
Bài Cho D ABC cạnh a Điểm Q di động AC, điểm P di động
trên tia đối tia CB cho AQ BP = a2 Đờng thẳng AP cắt đờng thẳng BQ M
a) Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp đờng trịn b) Tìm giá trị lớn MA + MC theo a
Bµi Cho a, b, c > Chøng minh r»ng
a b c a b c
b a c b a c b c c a a b
Bµi Chøng minh r»ng sin750 =
6
4
(134)§Ị thi tun sinh vào lớp 10 chuyên năm học 2000-2001 (2)
Bµi Cho biĨu thøc
1 1
1 1 1
(x x ) : ( x )
P
x x x x x
.
a) Rót gän P
b) Chøng minh r»ng P < với giá trị x
Bài Hai vòi nớc chảy vào bể sau 48 phút đầy Nu chảy
cùng thời gian nh lợng nớc vòi II 2/3 lơng nớc vòi I chảy đợc Hỏi vịi chảy riêng sau đầy bể
Bµi Chøng minh r»ng phơng trình : x2 6x 0 có hai nghiệm
x1 = 2 3 vµ x2 = 2 3.
Bài Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R điểm M di động
trên nửa đờng trịn ( M khơng trùng với A, B) Ngời ta vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với đờng tròn (O) M tiếp xúc với đờng kính AB Đờng trịn (E) cắt MA, MB lần lợt điểm thứ hai C, D
a) Chøng minh r»ng ba ®iĨm C, E, D thẳng hàng
b) Chng minh rng đờng thẳng MN qua điểm cố định K tích KM.KN khơng đổi
c) Gọi giao điểm tia CN, DN với KB, KA lần lợt P Q Xác định vị trí M để diện tích D NPQ đạt giá trị lớn chứng tỏ
chu vi D NPQ đại giá trị nhỏ
(135)§Ị thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2001 Đại học khoa học tự nhiên
Bài a) Cho f(x) = ax2 + bx + c cã tÝnh chÊt f(x) nhận giá trị nguyên x
là số nguyên hỏi hệ số a, b, c có thiết phải số nguyên hay không ? Tại ?
b) Tìm số ngun khơng âm x, y thỏa mãn đẳng thức : x2 y2 y1
Bài Giải phơng trình x x2 5x14
Bài Cho số thực a, b, x, y tháa m·n hÖ :
2
3
4
3 17
ax by ax by ax by ax by
Tính giá trị biểu thức A ax 5by5vµ B ax 2001by2001
Bài Cho đoạn thẳng Ab có trung điểm O Gọi d, d’ đờng thẳng
vng góc với AB tơng ứng A, B Một góc vng đỉnh O có cạnh cắt d M, cịn cạnh cắt d’ N kẻ OH ^ MN Vòng tròn ngoại tiếp D MHB cắt
d điểm thứ hai E khác M MB cắt NA I, đờng thẳng HI cắt EB K Chứng minh K nằm đờng trịn cố đinh góc vuông uqay quanh đỉnh O
Bài Cho 2001 đồng tiền, đồng tiền đợc sơn mặt màu đỏ
(136)§Ị thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán Tin năm 2003-2004 Đại học s phạm HN
Bài Chứng minh biểu thức sau có giá trị không phơ théc vµo x
3
4
2
9 5
. .
x
A x
x
Bài Với số nguyên dơng n, đặt Pn = 1.2.3….n Chứng minh
a) + 1.P1 + 2.P2 + 3.P3 +….+ n.Pn = Pn+1 b)
1
1
n
n
P P P P
Bài Tìm số nguyên d¬ng n cho hai sè x = 2n + 2003 vµ y = 3n + 2005
đều nhng s chỡnh phng
Bài Xét phơng trình Èn x : (2x2 4x a 5)(x2 2x a x )( a 1)0
a) Giải phơng trình øng víi a = -1
b) Tìm a để phơng trình có ba nghiệm phân biệt
Bài Qua điểm M tùy ý cho đáy lớn AB hình thang ABCD ta kẻ
các đờng thẳng song song với hai đờng chéo AC BD Các đờng thẳng song song cắt hai cạnh BC AD lần lợt E F Đoạn EF cắt AC BD I J tơng ứng
a) Chøng minh r»ng nÕu H trung điểm IJ H trung ®iĨm cđa EF
(137)§Ị thi tun sinh vào lớp 10 chuyên Toán Tin năm 2004 Đại häc s ph¹m HN
Bài Cho x, y, z ba số dơng thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm
giá trị nhỏ biểu thức :
1 1
P
x y z
Bài Tìm tất ba số dơng thỏa mÃn hệ phơng trình :
2004 6 2004 6 2004 6
2 2
x y z
y z x
z x y
Bài Giải phơng trình :
2 3
3
1 2 3
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
x x x x x x
x
.
Bài Mỗi ba số nguyên dơng (x,y,z) thỏa mãn phơng trình x2+y2+z2=3xyz đợc
gọi nghiệm nguyên dơng phơng trình nµy
a) Hãy nghiệm nguyên dơng khác phơng trình cho b) Chứng minh phơng trình cho có vơ số nghiệm ngun dơng
Bài Cho D ABC nội tiếp đờng trịn (O) Một đờng thẳng d thay đổi ln
đi qua A cắt tiếp tuyến B C đờng tròn (O) tơng ứng M N Giả sử d cắt lại đờng tròn (O) E (khác A), MC cắt BN F Chứng minh :
a) D ACN đồng dạng với D MBA D MBC đồng dạng với D BCN
b) tứ giác BMEF tứ giác nội tiếp
c) Đờng thẳng EF qua điểm cố định d thay đổi nhng qua A
Đề
Câu : ( điểm ) Giải phơng trình
a) 3x2 48 = b) x2– 10 x + 21 = c) x −85+3=20
x −5
Câu : ( điểm )
a) Tìm giá trị a , b biết đồ thị hàm số y = ax + b qua hai điểm
A( ; - ) vµ B ( 12;2¿
b) Với giá trị m đồ thị hàm số y = mx + ; y = 3x –7 đồ thị hàm số xác định câu ( a ) đồng quy
(138){mx2x−+ny=5y=n a) Gi¶i hƯ m = n =
b) Tìm m , n để hệ cho có nghiệm {yx=−√3
=√3+1
C©u : ( ®iĨm )
Cho tam giác vuông ABC (C = 900 ) nội tiếp đờng tròn tâm O Trên cung nhỏ AC ta lấy điểm M ( M khác A C ) Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AC , đờng trịn cắt đờng trịn (O) điểm D ( D khác C ) Đoạn thẳng BM cắt đờng tròn tâm A điểm N
a) Chứng minh MB tia phân gi¸c cđa gãc CMD .
b) Chứng minh BC tiếp tuyến đờng trịn tâm A nói c) So sánh góc CNM với góc MDN
d) Cho biÕt MC = a , MD = b HÃy tính đoạn thẳng MN theo a b
đề số 2
C©u : ( điểm ) Cho hàm số : y = 3x2
2 ( P )
a) TÝnh giá trị hàm số x = ; -1 ; −1
3 ; -2
b) BiÕt f(x) = 92;−8;2
3;
2 t×m x
c) Xác định m để đờng thẳng (D) : y = x + m – tiếp xúc với (P) Câu : ( điểm )
Cho hệ phơng trình : {2x −my=m2
x+y=2
a) Gi¶i hƯ m =
b) Giải biện luận hệ phơng trình Câu : ( điểm )
Lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm phơng trình : x1=23
2 x2= 2+3
(139)Câu : ( điểm )
Cho ABCD tứ giác nội tiếp P giao điểm hai đờng chéo AC BD
a) Chứng minh hình chiếu vng góc P lên cạnh tứ giác đỉnh tứ giác có đờng trũn ni tip
b) M điểm tứ giác cho ABMD hình bình hành Chøng minh r»ng nÕu gãc CBM = gãc CDM th× gãc ACD = gãc BCM
c) Tìm điều kiện tứ giác ABCD để : SABCD=1
2(AB CD+AD BC)
§Ị sè 3
Câu ( điểm ) Giải phơng trình
a) 1- x - √3− x = b) x22|x|3=0 Câu ( điểm )
Cho Parabol (P) : y = 12x2 đờng thẳng (D) : y = px + q
Xác định p q để đờng thẳng (D) qua điểm A ( - ; ) tiếp xúc với (P) Tìm toạ độ tiếp điểm
Câu : ( điểm )
Trong hệ trục toạ độ Oxy cho parabol (P) : y=1 4x
2 đờng thẳng (D) : y=mx−2m −1
a) VÏ (P)
b) T×m m cho (D) tiÕp xóc víi (P)
c) Chứng tỏ (D) qua điểm cố định Câu ( điểm )
Cho tam giác vng ABC ( góc A = 900 ) nội tiếp đờng tròn tâm O , kẻ đờng kính AD
1) Chøng minh tø giác ABCD hình chữ nhật
(140)3) Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MHN
4) Gọi bán kính đờng trịn ngoại tiếp đờng tròn nội tiếp tam giác ABC R r Chứng minh R+r ≥√AB AC
Đề số 4
Câu ( điểm ) Giải phơng trình sau
a) x2 + x – 20 = b) x1+3+
x −1=
x c) 31 x=x 1 Câu ( điểm )
Cho hµm sè y = ( m –2 ) x + m +
a) Tìm điều kiệm m để hàm số nghịch biến
b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hành độ c) Tìm m để đồ thị hàm số y = - x + ; y = 2x –1và y = (m – )x + m
+ đồng quy Câu ( điểm )
Cho phơng trình x2 x + 10 = Không giải phơng trình tính a) x12+x22
b) x12− x22 c) √x1+√x2
Câu ( điểm )
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O , đờng phân giác góc A cắt cạnh BC D cắt đờng tròn ngoại tiếp I
a) Chøng minh r»ng OI vu«ng gãc víi BC b) Chøng minh BI2 = AI.DI
c) Gọi H hình chiếu vuông góc A BC Chøng minh gãc BAH = gãc CAO
(141)§Ị sè
Câu ( điểm ) Cho hàm số y = x2 có đồ thị đờng cong Parabol (P) a) Chứng minh điểm A( - √2;2¿ nằm đờng cong (P)
b) Tìm m để để đồ thị (d ) hàm số y = ( m – )x + m ( m R , m )cắtđờng cong (P) điểm
c) Chứng minh với m khác đồ thị (d ) hàm số y = (m-1)x + m qua điểm cố định
Câu ( điểm )
Cho hệ phơng trình : {mx2 mx+3+y=1y=5 a) Giải hệ phơng trình với m =
b) Giải biện luận hệ phơng trình theo tham số m
c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm thoả mãn x2 + y2 = Câu ( im )
Giải phơng trình
x+34x 1+x+86x 1=5 Câu ( điểm )
Cho tam giác ABC , M trung điểm cđa BC Gi¶ sư BAM BCA
a) Chứng minh tam giác ABM đồng dạng với tam giác CBA
b) Chứng minh minh : BC2 = AB2 So sánh BC đờng chéo hình vng cạnh AB
c) Chứng tỏ BA tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMC d) Đờng thẳng qua C song song với MA , cắt đờng thẳng AB D
(142)§Ị sè Câu ( điểm )
a) Giải phơng trình : x+1=3x 2
c) Cho Parabol (P) có phơng trình y = ax2 Xác định a để (P) qua điểm A( -1; -2) Tìm toạ độ giao điểm (P) đờng trung trực đoạn OA
C©u ( điểm )
a) Giải hệ phơng tr×nh {x −11+
1
y −2=2
y −2−
x −1=1
1) Xác định giá trị m cho đồ thị hàm số (H) : y = 1x đờng thẳng (D) : y = - x + m tiếp xúc
Câu ( điểm )
Cho phơng tr×nh x2 – (m + )x + m2 - 2m + = 0 (1). a) Gi¶i phơng trình với m =
b) Xỏc định giá trị m để (1) có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để (1) có nghiệm Tìm nghiệm Câu ( điểm )
Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm đờng trịn đờng kính AB Hạ BN DM vng góc với đờng chéo AC
Chøng minh :
a) Tø gi¸c CBMD néi tiÕp
b) Khi điểm D di động trên đờng trịn BMD BCD không đổi
c) DB DC = DN AC
§Ị sè
Câu ( điểm )
Giải phơng trình : a) x4 6x2- 16 = b) x2 - |x| - = c) (x −1
x)
2
−3(x −1 x)+
(143)Cho phơng trình x2 ( m+1)x + m2 2m + = (1)
a) Giải phơng trình víi m =
b) Xác định giá trị m để phơng trình có nghiệm kép Tỡm nghim kộp ú
c) Với giá trị m x1
+x22 t giỏ trị bé , lớn Câu ( điểm )
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O Gọi I giao điểm hai đờng chéo AC BD , M trung điểm cạnh CD Nối MI kéo dài cắt cạnh AB N Từ B kẻ đờng thẳng song song với MN , đờng thẳng cắt đờng thẳng AC E Qua E kẻ đờng thẳng song song với CD , đờng thẳng cắt đờng thẳng BD F
a) Chøng minh tø gi¸c ABEF néi tiÕp
b) Chứng minh I trung điểm đoạn thẳng BF AI IE = IB2 c) Chøng minh
2
NA IA = NB IB
đề số Câu ( im )
Phân tích thành nhân tử a) x2- 2y2 + xy + 3y – 3x b) x3 + y3 + z3 - 3xyz C©u ( điểm )
Cho hệ phơng tr×nh
¿
mx− y=3 3x+my=5
¿{
a) Giải hệ phơng trình m =
b) Tìm m để hệ có nghiệm đồng thời thoả mãn điều kiện ; x+y −7(m−1)
m2+3 =1 Câu ( điểm )
Cho hai đờng thẳng y = 2x + m – y = x + 2m a) Tìm giao điểm hai đờng thẳng nói b) Tìm tập hợp giao điểm
(144)Cho đờng tròn tâm O A điểm ngồi đờng trịn , từ A kẻ tiếp tuyến AM , AN với đờng tròn , cát tuyến từ A cắt đờng tròn B C ( B nằm A C ) Gọi I trung điểm BC
1) Chứng minh điểm A , M , I , O , N nằm đờng tròn 2) Một đờng thẳng qua B song song với AM cắt MN MC lần lợt E
F Chứng minh tứ giác BENI tứ giác nội tiếp E trung điểm EF
Đề số 9
Câu ( điểm )
Cho phơng trình : x2 ( m + n)x + 4mn = a) Giải phơng trình m = ; n =
b) Chứng minh phơng trình lu«n cã nghiƯm víi mäi m ,n
c) Gọi x1, x2, hai nghiệm phơng trình TÝnh x12+x22 theo m ,n C©u ( điểm )
Giải phơng trình a) x3– 16x = b) √x=x −2
c) 3 x1 +14
x29=1 Câu ( điểm )
Cho hµm sè : y = ( 2m – 3)x2
1) Khi x < tìm giá trị m để hàm số ln đồng biến
2) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm ( , -1 ) Vẽ đồ thị với m vừa tìm đợc
Câu (3điểm )
Cho tam giác nhọn ABC đờng kính BON Gọi H trực tâm tam giác ABC , Đờng thẳng BH cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC M
1) Chứng minh tứ giác AMCN hình thanng cân
2) Gọi I trung ®iĨm cđa AC Chøng minh H , I , N thẳng hàng 3) Chứng minh BH = OI tam giác CHM cân
s 10
Câu ( điểm )
(145)Tính giá trị biểu thức : A=2x1
+2x2
−3x1x2
x1x22+x12x2 Câu ( điểm)
Cho hệ phơng trình
¿
a2x − y=−7 2x+y=1
¿{
a) Giải hệ phơng trình a =
b) Gọi nghiệm hệ phơng trình ( x , y) Tìm giá trị a để x + y =
C©u ( điểm )
Cho phơng trình x2 ( 2m + )x + m2 + m – =0.
a) Chứng minh phơng trình cã nghiƯm víi mäi m
b) Gọi x1, x2, hai nghiệm phơng trình Tìm m cho : ( 2x1 – x2 ) ( 2x2 – x1 ) đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ
c) H·y t×m hệ thức liên hệ x1 x2 mà không phụ thuộc vào m Câu ( ®iĨm )
Cho hình thoi ABCD có góc A = 600 M điểm cạnh BC , đờng thẳng AM cắt cạnh DC kéo dài N
a) Chøng minh : AD2 = BM.DN
b) Đờng thẳng DM cắt BN E Chøng minh tø gi¸c BECD néi tiÕp
c) Khi hình thoi ABCD cố định Chứng minh điểm E nằm cung tròn cố định m chạy BC
§Ị sè 11
Câu ( điểm ) Cho biÓu thøc :
1
√x −1+
√x+1¿
2.x2−1
2 −√1− x
A=¿
4) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa 5) Rút gọn biểu thức A
6) Giải phơng trình theo x A = -2
Câu ( điểm )
Giải phơng trình :
1
3
5x x x
(146)Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( , ) đờng thẳng (D) : y = -2(x +1)
d) §iĨm A cã thc (D) hay kh«ng ?
e) Tìm a hàm số y = ax2 có đồ thị (P) qua A
f) Viết phơng trình đờng thẳng qua A vng góc với (D) Câu ( điểm )
Cho hình vng ABCD cố định , có độ dài cạnh a E điểm chuyển đoạn CD ( E khác D ) , đờng thẳng AE cắt đờng thẳng BC F , đ-ờng thẳng vng góc với AE A cắt đđ-ờng thẳng CD K
4) Chứng minh tam giác ABF = tam giác ADK từ suy tam giác AFK vng cân
5) Gọi I trung điểm FK , Chứng minh I tâm đờng tròn qua A , C, F , K
6) TÝnh sè ®o gãc AIF , suy ®iĨm A , B , F , I cïng n»m trªn đ-ờng tròn
Đề số 12
Câu ( điểm )
Cho hµm sè : y = 12 x2
3) Nêu tập xác định , chiều biến thiên vẽ đồ thi hàm số
4) Lập phơng trình đờng thẳng qua điểm ( , -6 ) có hệ số góc a tiếp xúc với đồ thị hm s trờn
Câu ( điểm )
Cho phơng trình : x2 mx + m – =
3) Gäi hai nghiệm phơng trình x1 , x2 Tính giá trị biểu thức
M= x1
+x22−1
x12x 2+x1x2
2 Từ tìm m để M >
4) Tìm giá trị m để biểu thức P = x12+x22−1 đạt giá trị nhỏ Câu ( im )
Giải phơng trình : c) x 4=4 x d) |2x+3|=3 x Câu ( điểm )
Cho hai đờng tròn (O1) (O2) có bán kính R cắt A B , qua A vẽ cát tuyến cắt hai đờng tròn (O1) (O2) thứ tự E F , đờng thẳng EC , DF cắt P
(147)5) Một cát tuyến qua A vng góc với AB cắt (O1) (O2) lần lợt C,D Chứng minh tứ giác BEPF , BCPD nội tiếp BP vng góc với EF 6) Tính diện tích phần giao hai đờng trịn AB = R
§Ị sè 13
Câu ( điểm )
3) Giải bất phơng trình : |x+2|<|x 4|
4) Tìm giá trị nguyên lớn x thoả m·n
2x+1 >
3x −1 +1 Câu ( điểm )
Cho phơng trình : 2x2 ( m+ )x +m = c) Giải phơng trình m =
d) Tìm giá trị m để hiệu hai nghiệm tích chúng Câu3 ( điểm )
Cho hàm số : y = ( 2m + )x – m + (1) c) Tìm m biết đồ thị hàm số (1) qua điểm A ( -2 ; )
d) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với giá tr ca m
Câu ( điểm )
Cho góc vuông xOy , Ox , Oy lần lợt lấy hai điểm A B cho OA = OB M lµ mét ®iĨm bÊt kú trªn AB
Dựng đờng trịn tâm O1 qua M tiếp xúc với Ox A , đờng tròn tâm O2 qua M tiếp xúc với Oy B , (O1) cắt (O2) điểm thứ hai N
4) Chøng minh tứ giác OANB tứ giác nội tiếp ON phân giác góc ANB
5) Chứng minh M nằm cung tròn cố định M thay đổi 6) Xác định vị trí M để khoảng cách O1O2 ngắn
Đề số 14
Câu ( ®iÓm )
Cho biÓu thøc : A=(2√x+x
x√x −1−
√x −1):(
√x+2
x+√x+1)
c) Rót gän biĨu thøc
(148)Giải phơng trình : 2x 2 x236
x −2
x2−6x= x −1
x2+6x C©u ( điểm )
Cho hàm số : y = - 12x2
c) T×m x biÕt f(x) = - ; - 18 ; ;
d) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm A B nằm đồ thị có hồnh độ lần lợt -2
C©u ( ®iĨm )
Cho hình vuông ABCD , cạnh BC lấy điểm M Đờng trịn đờng kính AM cắt đờng trịn đờng kính BC N cắt cạnh AD E
4) Chøng minh E, N , C th¼ng hàng
5) Gọi F giao điểm BN vµ DC Chøng minh ΔBCF=ΔCDE
6) Chøng minh MF vuông góc với AC
Đề số 15
Câu ( điểm )
Cho hệ phơng trình :
−2 mx+y=5 mx+3y=1
¿{
¿
d) Giải hệ phơng trình m =
e) Giải biện luận hệ phơng trình theo tham số m f) Tìm m để x – y =
Câu ( điểm )
3) Giải hệ phơng trình :
x2
+y2=1
x2− x=y2− y
¿{
4) Cho phơng trình bậc hai : ax2 + bx + c = Gäi hai nghiệm phơng trình x1 , x2 Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm 2x1+ 3x2 3x1 + 2x2
Câu ( ®iÓm )
Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) nội tiếp đờng tròn tâm O M điểm chuyển động đờng tròn Từ B hạ đờng thẳng vng góc với AM cắt CM D
(149)3) TÝnh : √5+√2+
1
√5−√2
4) Giải bất phơng trình :
( x ) ( 2x + ) > 2x( x + ) Đề số 16
Câu ( điểm )
Giải hệ phơng trình :
2
x −1+
y+1=7
x −1−
y −1=4
¿{
¿
Câu ( điểm )
Cho biểu thøc : A= √x+1
x√x+x+√x:
x2−√x c) Rót gän biĨu thøc A
d) Coi A hàm số biến x vẽ đồ thi hàm số A Câu ( điểm )
Tìm điều kiện tham số m để hai phơng trình sau có nghiệm chung x2 + (3m + )x – = x2 + (2m + )x +2 =0
C©u ( ®iĨm )
Cho đờng trịn tâm O đờng thẳng d cắt (O) hai điểm A,B Từ điểm M d vẽ hai tiếp tuyến ME , MF ( E , F tiếp điểm )
3) Chứng minh góc EMO = góc OFE đờng trịn qua điểm M, E, F qua điểm cố định m thay đổi d
4) Xác định vị trí M d để tứ giác OEMF hình vng
§Ị sè 17
Câu ( điểm )
Cho phơng trình (m2 + m + )x2 - ( m2 + 8m + )x – = 0 c) Chøng minh x1x2 <
d) Gọi hai nghiệm phơng trình x1, x2 Tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thøc :
(150)C©u ( điểm )
Cho phơng trình : 3x2 + 7x + = Gäi hai nghiƯm cđa phơng trình x1 , x2 không giải phơng trình lập phơng trình bậc hai mà có hai nghiệm : x1
x2−1 vµ x2
x1−1
Câu ( điểm )
4) Cho x2 + y2 = Tìm giá trị lớn , nhá nhÊt cđa x + y 5) Gi¶i hệ phơng trình :
x2 y2=16
x+y=8
{
6) Giải phơng trình : x4 – 10x3 – 2(m – 11 )x2 + ( 5m +6)x +2m = C©u ( ®iĨm )
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Đờng phân giác góc A , B cắt đờng tròn tâm O D E , gọi giao điểm hai đờng phân giác I , đờng thẳng DE cắt CA, CB lần lợt M , N
4) Chứng minh tam giác AIE tam giác BID tam giác cân 5) Chứng minh tứ giác AEMI tứ giác nội tiếp MI // BC 6) Tứ giác CMIN hình ?
Đề số 18
Câu1 ( ®iĨm )
Tìm m để phơng trình ( x2 + x + m) ( x2 + mx + ) = có nghiệm phân biệt
Câu ( điểm )
Cho hệ phơng trình :
x+my=3 mx+4y=6
¿{
¿
c) Gi¶i hƯ m =
d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x > , y > Câu ( điểm )
Cho x , y hai số dơng thoả mÃn x5+y5 = x3 + y3 Chøng minh x2 + y2 1 + xy
Câu ( điểm )
(151)5) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng trịn (O) đờng kính AD Đ-ờng cao tam giác kẻ từ đỉnh A cắt cạnh BC K cắt đĐ-ờng tròn (O) E
d) Chøng minh : DE//BC
e) Chøng minh : AB.AC = AK.AD
f) Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh tứ giác BHCD hình bình hành
Đề số 19
Câu ( điểm )
Trục thức mẫu biÓu thøc sau : A= √2+1
2√3+√2 ; B=
1
√2+√2−√2 ; C=
√3−√2+1 C©u ( điểm )
Cho phơng trình : x2 – ( m+2)x + m2– = 0 (1)
c) Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình Tìm m thoả mãn x1 – x2 = d) Tìm giá trị nguyên nhỏ m để phơng trình có hai nghiệm khác
nhau Câu ( điểm )
Cho a=
23;b= 2+3
Lập phơng trình bậc hai có hệ số số có nghiệm x1 = a
b+1; x2=
b a+1
Câu ( điểm )
Cho hai đờng tròn (O1) (O2) cắt A B Một đờng thẳng qua A cắt đờng tròn (O1) , (O2) lần lợt C,D , gọi I , J trung điểm AC AD
5) Chøng minh tø gi¸c O1IJO2 hình thang vuông
6) Gi M l giao diểm CO1 DO2 Chứng minh O1 , O2 , M , B nằm đờng tròn
7) E trung điểm IJ , đờng thẳng CD quay quanh A Tìm tập hợp điểm E
8) Xác định vị trí dây CD để dây CD có độ dài lớn
§Ị sè 20
(152)1)Vẽ đồ thị hàm số : y = x2
2
2)Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm (2; -2) (1 ; -4 ) 6) Tìm giao điểm đờng thẳng vừa tìm đợc với đồ thị Câu ( điểm )
a) Giải phơng trình :
x+2x 1+x 2x 1=2
b)Tính giá trị biểu thức
S=x1+y2+y1+x2 với xy+(1+x2)(1+y2)=a Câu ( điểm )
Cho tam giác ABC , góc B góc C nhọn Các đờng trịn đờng kính AB , AC cắt D Một đờng thẳng qua A cắt đờng trịn đờng kính AB , AC lần lợt E F
4) Chøng minh B , C , D thẳng hàng
5) Chng minh B, C , E , F nằm đờng tròn
6) Xác định vị trí đờng thẳng qua A để EF có độ dài lớn Câu ( điểm )
Cho F(x) = √2− x+√1+x
c) Tìm giá trị x để F(x) xác định d) Tìm x để F(x) đạt giá trị lớn
§Ị sè 21
Câu ( điểm )
4) Vẽ đồ thị hàm số y=x 2
5) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm ( ; -2 ) ( ; - ) 6) Tìm giao điểm đờng thẳng vừa tìm đợc với đồ thị
C©u ( điểm )
3) Giải phơng trình :
x+2x 1+x 2x 1=2
4) Giải phơng trình :
2x+1
x +
4x
2x+1=5 Câu ( điểm )
Cho hình bình hành ABCD , đờng phân giác góc BAD cắt DC BC theo thứ tự M N Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNC
3) Chứng minh tam giác DAM , ABN , MCN , tam giác cân 4) Chứng minh B , C , D , O nằm đờng tròn
(153)Cho x + y = vµ y Chøng minh x2 + y2 5
Đề số 22
Câu ( điểm )
4) Giải phơng trình : √2x+5+√x −1=8
5) Xác định a để tổng bình phơng hai nghiệm phơng trình x2 +ax +a
2 = bé Câu ( ®iĨm )
Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( ; 0) đờng thẳng x – 2y = - d) Vẽ đồ thị đờng thẳng Gọi giao điểm đờng thẳng với trục tung
vµ trơc hoµnh lµ B vµ E
e) Viết phơng trình đờng thẳng qua A vng góc với đờng thẳng x –
2y = -2
f) Tìm toạ độ giao điểm C hai đờng thẳng Chứng minh EO EA = EB EC tính diện tích tứ giác OACB
C©u ( điểm )
Giả sử x1 x2 hai nghiệm phơng trình : x2 (m+1)x +m2 2m +2 = (1)
c) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm kép , hai nghiệm phân biệt
d) Tìm m để x1
+x22 đạt giá trị bé , lớn Câu ( điểm )
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Kẻ đờng cao AH , gọi trung điểm AB , BC theo thứ tự M , N E , F theo thứ tự hình chiếu vng góc của B , C đờng kính AD
c) Chøng minh r»ng MN vu«ng gãc víi HE
d) Chứng minh N tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác HEF
Đề số 23
Câu ( điểm )
So sánh hai số : a=
√11−√2;b= 3−√3 C©u ( ®iĨm )
(154)¿
2x+y=3a −5
x − y=2
¿{
¿
Gọi nghiệm hệ ( x , y ) , tìm giá trị a để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ
C©u ( điểm )
Giả hệ phơng trình :
¿
x+y+xy=5
x2+y2+xy=7
¿{
¿
Câu ( điểm )
1) Cho tứ giác lồi ABCD cặp cạnh đối AB , CD cắt P BC , AD cắt Q Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABQ , BCP , DCQ , ADP cắt điểm
6) Cho tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp Chøng minh
AB AD+CB.CD BA BC+DC DA=
AC BD
Câu ( điểm )
Cho hai sè d¬ng x , y cã tổng Tìm giá trị nhỏ : S=
x2+y2+ xy
§Ị số 24
Câu ( điểm )
Tính giá trị biểu thức : P= 2+√3
√2+√2+√3+
2−√3
√2−√2−√3 C©u ( điểm )
3) Giải biện luận phơng trình : (m2 + m +1)x2 3m = ( m +2)x +3
4) Cho phơng trình x2 – x – = cã hai nghiƯm lµ x1 , x2 HÃy lập phơng trình bậc hai cã hai nghiƯm lµ : x1
1− x2
; x2
1 x2 Câu ( điểm )
Tìm giá trị nguyên x để biểu thức : P=2x −3
(155)Câu ( điểm )
Cho đờng tròn tâm O cát tuyến CAB ( C ngồi đờng trịn ) Từ điểm cung lớn AB kẻ đờng kính MN cắt AB I , CM cắt đờng tròn E , EN cắt đờng thẳng AB F
4) Chứng minh tứ giác MEFI tứ giác nội tiếp 5) Chøng minh gãc CAE b»ng gãc MEB
6) Chøng minh : CE CM = CF CI = CA CB
§Ị sè 25
Câu ( điểm )
Giải hệ phơng trình :
x25 xy−2y2=3
y2
+4 xy+4=0
¿{
¿
Câu ( điểm )
Cho hµm sè : y=x
4 vµ y = - x –
c) Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục toạ độ
d) Viết phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng y = - x – cắt đồ thị hàm số y=x
2
4 điểm có tung độ Câu ( im )
Cho phơng trình : x2– 4x + q =
c) Với giá trị q phơng trình có nghiƯm
d) Tìm q để tổng bình phơng nghiệm phơng trình 16 Câu ( im )
3) Tìm số nguyên nhỏ x thoả mÃn phơng trình :
|x 3|+|x+1|=4 4) Giải phơng trình :
3x21 x21=0 Câu ( ®iĨm )
Cho tam giác vng ABC ( góc A = v ) có AC < AB , AH đờng cao kẻ từ đỉnh A Các tiếp tuyến A B với đờng tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC cắt M Đoạn MO cắt cạnh AB E , MC cắt đờng cao AH F Kéo dài CA cho cắt đờng thẳng BM D Đờng thẳng BF cắt đờng thẳng AM N
d) Chøng minh OM//CD vµ M lµ trung điểm đoạn thẳng BD e) Chứng minh EF // BC
(156)§Ị sè 26
Câu : ( điểm )
Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*)
1) Tính giá trị m để đồ thị hàm số qua : a) A( -1 ; ) ; b) B( - ; )
2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ - 3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ - Câu : ( 2,5 điểm )
Cho biÓu thøc :
1 1 1
A= :
1- x x x x x
a) Rót gän biĨu thøc A
b) Tính giá trị A x = 3
c) Với giá trị x A đạt giá trị nhỏ Câu : ( điểm )
Cho phơng trình bậc hai : x2 3x gọi hai nghiệm phơng trình là
x1 x2 Không giải phơng trình , tính giá trị biểu thức sau : a) 12 22
1
x x b) 2
1 x x c) 13 23
1
x x d) x1 x2
Câu ( 3.5 điểm )
Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đờng trịn đờng kính BD cắt BC E Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn điểm thứ hai F , G Chứng minh :
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD
b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp đợc đờng tròn c) AC song song với FG
(157)§Ị sè 27 Câu ( 2,5 điểm )
Cho biÓu thøc : A =
1
:
a a a a a
a
a a a a
a) Với giá trị a A xác định b) Rút gọn biểu thức A
c) Víi nh÷ng giá trị nguyên a A có giá trị nguyên Câu ( điểm )
Một ô tô dự định từ A đền B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính qng đờng AB thời
gian dự định lúc đầu Câu ( điểm )
a) Giải hệ phơng trình :
1
3
2
1
x y x y
x y x y
b) Giải phơng trình : 2
5 25
5 10 50
x x x
x x x x x
C©u ( ®iĨm )
Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 cm ;CB = 40 cm Vẽ nửa mặt phẳng bờ AB nửa đờng tròn đờng kính theo thứ tự AB , AC , CB có tâm lần lợt O , I , K Đờng vng góc với AB C cắt nửa đờng tròn (O) E Gọi M , N theo thứ tự giao điểm cuae EA , EB với nửa đ -ờng tròn (I) , (K) Chứng minh :
a) EC = MN
b) MN tiếp tuyến chung nửa đờng trịn (I) (K) c) Tính độ dài MN
(158)Đề 28 Câu ( ®iĨm )
Cho biĨu thøc : A =
1 1 1
1 1 1
a a
a a a a a
1) Rót gän biĨu thøc A
2) Chứng minh biểu thức A dơng với a Câu ( điểm )
Cho phơng trình : 2x2 + ( 2m - 1)x + m - =
1) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 3x1 - 4x2 = 11 2) Tìm đẳng thức liên hệ x1 x2 khơng ph thuc vo m
3) Với giá trị m x1 x2 dơng Câu ( điểm )
Hai ụ tụ khởi hành lúc từ A đến B cách 300 km Ơ tơ thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm ô tô thứ hai Tính vận tốc xe tơ
Câu ( điểm )
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O M điểm cung AC ( không chứa B ) kẻ MH vng góc với AC ; MK vng góc với BC
1) Chøng minh tø giác MHKC tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh AMB HMK
3) Chứng minh D AMB đồng dạng với D HMK
C©u ( điểm )
Tìm nghiệm dơng hệ :
( )
( ) 12
( ) 30
xy x y yz y z zx z x
§Ĩ 29
( Thi tun sinh líp 10 - THPT năm 2006 - 2007 - 120 phút - Ngày 28 / / 2006 C©u ( điểm )
1) Giải phơng trình sau : a) 4x + =
b) 2x - x2 =
2) Giải hệ phơng trình :
2
5
x y y x
(159)1) Cho biÓu thøc : P =
3 4
a > ; a 4
2
a a a
a
a a
a) Rót gän P
b) Tính giá trị P với a =
2) Cho phơng trình : x2 - ( m + 4)x + 3m + = ( m lµ tham sè )
a) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x13x32 0 Câu ( điểm )
Khoảng cách hai thành phố A B 180 km Một ô tô từ A đến B , nghỉ 90 phút B , lại từ B A Thời gian lúc đến lúc trở A 10 Biết vận tốc lúc vận tốc lúc km/h Tính vận tốc lúc tụ
Câu ( điểm )
Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC , BD cắt E Hình chiếu vng góc E AD F Đờng thẳng CF cắt đờng tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N
Chøng minh :
a) CEFD tứ giác nội tiếp
b) Tia FA tia phân giác góc BFM c) BE DN = EN BD
Câu ( điểm )
Tỡm m để giá trị lớn biểu thức 2
1 x m x
b»ng
§Ĩ 29
( Thi tun sinh lớp 10 - THPT năm 2006 - 2007 - 120 - Ngµy 30 / / 2006 Câu (3 điểm )
1) Giải phơng trình sau : a) 5( x - ) =
b) x2 - =
2) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng y = 3x - với hai trục toạ độ Câu ( điểm )
(160)Xác định a , b để (d) qua hai điểm A ( ; ) B ( - ; - 1) 2) Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình x2 - 2( m - 1)x - = ( m tham số )
Tìm m để : x1 x2 5 3) Rút gọn biểu thức : P =
1
( 0; 0)
2 2
x x
x x
x x x
C©u 3( ®iĨm)
Một hình chữ nhật có diện tích 300 m2 Nếu giảm chiều rộng m , tăng chiều dài thêm 5m ta đợc hình chữ nhật có diện tích diện tích diện tích hình chữ nhật ban đầu Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu Câu ( điểm )
Cho điểm A ngồi đờng trịn tâm O Kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đ-ờng tròn (B , C tiếp điểm ) M điểm cung nhỏ BC ( M B ; M C ) Gọi D , E , F tơng ứng hình chiếu vng góc M đờng thẳng
AB , AC , BC ; H giao điểm MB DF ; K giao điểm MC EF 1) Chứng minh :
a) MECF tứ giác nội tiÕp b) MF vu«ng gãc víi HK
2) Tìm vị trí M cung nhỏ BC để tích MD ME lớn
Câu ( điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ ( Oxy ) cho điểm A ( -3 ; ) Parabol (P) có phơng trình y = x2 Hãy tìm toạ độ điểm M thuộc (P) độ dài đoạn thẳng AM nhỏ
Dạng Một số đề khác
ĐỀ S Ố
Câu 1
(161)2.Rút gọn phép tính A 4 2 Câu 2 Cho phương trình 2x2 + 3x + 2m – = 0
1.Giải phương trình với m =
2.Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Câu 3 Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 1200m2 Nay người ta tu bổ cách tăng chiều rộng vườn thêm 5m, đồng thời rút bớt chiều dài 4m mảnh vườn có diện tích 1260m2 Tính kích thước mảnh vườn sau tu bổ. Câu 4 Cho đường trịn tâm O đường kính AB Người ta vẽ đường trịn tâm A bán kính nhỏ AB, cắt đường tròn (O) C D, cắt AB E Trên cung nhỏ CE (A), ta lấy điểm M Tia BM cắt tiếp (O) N
a) Chứng minh BC, BD tiếp tuyến đường tròn (A) b) Chứng minh NB phân giác góc CND
c) Chứng minh tam giác CNM đồng dạng với tam giác MND d) Giả sử CN = a; DN = b Tính MN theo a b
Câu 5 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 2x2 + 3x + 4.
ĐỀ S Ố
Câu 1 Tìm hai số biết hiệu chúng 10 tổng lần số lớn với lần số bé 116
Câu 2 Cho phương trình x2– 7x + m = 0 a) Giải phương trình m =
b) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình Tính S = x12 + x22. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
Câu 3 Cho tam giác DEF có D = 600, góc E, F là góc nhọn nội tiếp trong
đường tròn tâm O Các đường cao EI, FK, I thuộc DF, K thuộc DE a) Tính sốđo cung EF không chứa điểm D
b) Chứng minh EFIK nội tiếp
c) Chứng minh tam giác DEF đồng dạng với tam giác DIK tìm tỉ sốđồng dạng
Câu 4 Cho a, b số dương, chứng minh a2 b2 a a2 b2 b a b a2 b2
2
ĐỀ S Ố
(162)1
a)
2
b)
3 5
Câu 2 Cho phương trình x2– 2x – 3m2 = (1). a) Giải phương trình m =
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Chứng minh phương trình 3m2x2 + 2x – = (m ≠ 0) có hai nghiệm phân biệt nghiệm nghịch đảo nghiệm phương trình (1)
Câu 3 Cho tam giác ABC vuông cân A, AD trung tuyến Lấy điểm M
trên đoạn AD (M ≠ A; M ≠ D) Gọi I, K hình chiếu vng góc M AB, AC; H hình chiếu vng góc I đường thẳng DK
a) Tứ giác AIMK hình gì?
b) Chứng minh điểm A, I, M, H, K nằm đường trịn Xác
định tâm đường trịn
c) Chứng minh ba điểm B, M, H thẳng hàng
Câu 4 Tìm nghiệm hữu tỉ phương trình 3 x y
ĐỀ S Ố
Câu 1 Cho biểu thức
a a a a 1
P :
a a a
a a
a) Rút gọn P b) Tìm a để
1 a
1
P
Câu 2 Một ca nô xi dịng từ A đến B dài 80km, sau lại ngược dòng đến C cách B 72km, thời gian ca nơ xi dịng thời gian ngược dịng 15 phút Tính vận tốc riêng ca nơ, biết vận tốc dòng nước 4km/h
Câu 3 Tìm tọa độ giao điểm A B hai đồ thị hàm số y = 2x + y = x2 Gọi D và C lần lượt là hình chiếu vng góc của A và B lên trục hoành Tính diện tích tứ giác ABCD
Câu 4 Cho (O) đường kính AB = 2R, C trung điểm OA dây MN vng góc với OA C Gọi K điểm tùy ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MN
(163)c) Xác định vị trí K để tổng (KM + KN + KB) đạt giá trị lớn tính giá trị lớn
Câu 5 Cho hai số dương x, y thoả mãn điều kiện x + y = Chứng minh x2y2(x2 + y2) 2
ĐỀ S Ố
Câu 1 Cho biểu thức
x x
P :
x x x x x x
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức P x nhận giá trị nguyên. Câu 2
a) Giải phương trình x4 – 4x3– 2x2 + 4x + = 0. b) Giải hệ
2
2
x 3xy 2y
2x 3xy
Câu 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (P) có phương trình
2
x y
2
Gọi (d) đường thẳng qua điểm I(0; - 2) có hệ số góc k
a) Viết phương trình dường thẳng (d) Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B k thay đổi
b) Gọi H, K theo thứ tự hình chiếu vng góc A, B lên trục hoành Chứng minh tam giác IHK vuông I
Câu 4 Cho (O; R), AB làđường kính cố định Đường thẳng (d) tiếp tuyến (O) B MN đường kính thay đổi (O) cho MN khơng vng góc với AB M ≠ A, M ≠ B Các đường thẳng AM, AN cắt đường thẳng (d) tương ứng C D Gọi I trung điểm CD, H giao điểm AI MN Khi MN thay đổi, chứng minh rằng:
a) Tích AM.AC khơng đổi
b) Bốn điểm C, M, N, D thuộc đường trịn c) Điểm H ln thuộc đường tròn cốđịnh
d) Tâm J đường tròn ngoại tiếp tam giác HIB thuộc đường thẳng cốđịnh
Câu 5 Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = Hãy tìm giá trị nhỏ
nhất biểu thức 2
1
A
x y xy
.
(164)Câu 1
a) Giải phương trình 5x2 + = 7x – 2. b) Giải hệ phương trình
3x y x 2y
c) Tính
18 12
2
Câu 2 Cho (P) y = -2x2
a) Trong điểm sau điểm thuộc, không thuộc (P)? sao? A(-1; -2); B(
1 ; 2
); C( 2; 4 )
b) Tìm k để đường thẳng (d): y = kx + cắt (P) hai điểm phân biệt c) Chứng minh điểm E(m; m2 + 1) không thuộc (P) với mọi giá trị của m. Câu 3 Cho tam giác ABC vng A, góc B lớn góc C Kẻ đường cao AH Trên đoạn HC đặt HD = HB Từ C kẻ CE vng góc với AD E
a) Chứng minh tam giác AHB AHD
b) Chứng minh tứ giác AHCE nội tiếp hai góc HCE HAE c) Chứng minh tam giác AHE cân H
d) Chứng minh DE.CA = DA.CE e) Tính góc BCA HE//CA
Câu 4.Cho hàm số y = f(x) xác định với số thực x khác thỏa mãn
f x 3f x
x
với mọi x khác Tính giá trị f(2).
ĐỀ S Ố
Câu 1
a) Tính
9
2 : 16
16 16
b) Giải hệ
3x y x y
c) Chứng minh 3 2 là nghiệm của phương trình x2 – 6x + = 0. Câu 2 Cho (P):
2
1
y x
3
a) Các điểm
1
A 1; ; B 0; ; C 3;1
3
(165)b) Tìm k để (d) có phương trình y = kx – tiếp xúc với (P)
c) Chứng tỏ đường thẳng x = cắt (P) điểm Xác
định tọa độ giao điểm
Câu 3 Cho (O;R), đường kính AB cố định, CD đường kính di động Gọi d
tiếp tuyến (O) B; đường thẳng AC, AD cắt d P Q a) Chứng minh góc PAQ vng
b) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp
c) Chứng minh trung tuyến AI tam giác APQ vuông góc với đường thẳng CD
d) Xác định vị trí CD để diện tích tứ giác CPQD lần diện tích tam giác ABC
Câu 4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 2x 2xy y 2x 2y 1
ĐỀ S Ố
Câu 1
1.Cho
a a a a
P 1 ; a 0, a
a 1 a
a) Rút gọn P
b) Tìm a biết P > 2.
c) Tìm a biết P = a
2.Chứng minh 13 30 2 2 5 Câu 2 Cho phương trình mx2– 2(m-1)x + m = (1)
a) Giải phương trình m = -
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt
c) Gọi hai nghiệm (1) x1 , x2 Hãy lập phương trình nhận
1
2
x x ;
x x làm
nghiệm
Câu 3.Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD Đường cao AH, đường phân giác AN tam giác cắt (O) tương ứng
điểm Q P
a) Chứng minh: DQ//BC OP vng góc với QD
b) Tính diện tích tam giác AQD biết bán kính đường trịn R tgQAD =
4.
(166)a)Giả sử phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm dương x1 Chứng minh phương trình cx2 + bx + a = cũng có nghiệm dương là x2 và x1 + x2 0.
b)Tìm cặp số (x, y) thỏa mãn phương trình x2y + 2xy – 4x + y = cho y
đạt giá trị lớn
ĐỀ S Ố
Câu 1
1.Cho
2 2
1 2x 16x
P ; x
1 4x
a) Chứng minh
2 P
1 2x
b) Tính P x
2
2.Tính
2 24
Q
12
Câu 2 Cho hai phương trình ẩn x sau:
2
x x (1); x 3b 2a x 6a (2)
a) Giải phương trình (1)
b) Tìm a b để hai phương trình tương đương
c) Với b = Tìm a để phương trình (2) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12 + x22 =
Câu 3 Cho tam giác ABC vuông a góc B lớn góc C, AH làđường cao, AM trung tuyến Đường tròn tâm H bán kính HA cắt đường thẳng AB D đường thẳng AC E
a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng
b) Chứng minh MAEDAE; MA DE^
c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm đường tròn tâm O Tứ giác AMOH hình gì?
d) Cho góc ACB 300 và AH = a Tính diện tích tam giác HEC. Câu 4.Giải phương trình
2
ax ax - a 4a
x a
Với ẩn x, tham số a
ĐỀ
S Ố 10
(167)1.Rút gọn 2 3 2 3 2 2 2.Cho
a b
x
b a
với a < 0, b < a) Chứng minh x2 0 .
b) Rút gọn F x2 4.
Câu 2 Cho phương trình
2
x x 2mx (*)
; x làẩn, m tham số a) Giải (*) m = -
b) Tìm m để (*) có nghiệm kép
Câu 3 Cho hàm số y = - x2 có đồ thị là (P); hàm số y = 2x – có đồ thị là (d). 1.Vẽđồ thị (P) (d) hệ trục tọa độ Oxy Tìm tọa độ giao
điểm (P) (d)
2.Cho điểm M(-1; -2), phép tính cho biết điểm M thuộc phía hay phía đồ thị (P), (d)
3.Tìm giá trị x cho đồ thị (P) phái đồ thị (d) Câu 4 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O), E hình chiếu B AC
Đường thẳng qua E song song với tiếp tuyến Ax (O) cắt AB F 1.Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp
2.Góc DFE (D thuộc cạnh BC) nhận tia FC làm phân giác H giao
điểm BE với CF Chứng minh A, H, D thẳng hàng
3.Tia DE cắt tiếp tuyến Ax K Tam giác ABC tam giác tứ giác AFEK hình bình hành, hình thoi? Giải thích
Câu 5 Hãy tính F x 1999y1999z1999 theo a Trong x, y, z nghiệm phương trình:
x y z a xy yz zx a xyz 0; a
ĐỀ
S Ố 11
Câu 1
1.Giải bất phương trình, hệ phương trình, phương trình
2 2x 3y 12
a) 2x b) x x c)
3x y
2.Từ kết phần Suy nghiệm bất phương trình, phương trình, hệ phương trình sau:
2 p q 12
a) y b) t t c)
3 p q
Câu 2
1.Chứng minh
2
(168)2.Rút gọn
2 3 3
2 24
3 2 3
Câu 3 Cho tam giác ABC (AC > AB) có AM trung tuyến, N làđiểm
đoạn AM Đường trịn (O) đường kính AN
1.Đường trịn (O) cắt phân giác AD góc A F, cắt phân giác ngồi góc A E Chứng minh FE làđường kính (O)
2.Đường trịn (O) cắt AB, AC K, H Đoạn KH cắt AD I Chứng minh hai tam giác AKF KIF đồng dạng
3.Chứng minh FK2 = FI.FA. 4.Chứng minh NH.CD = NK.BD Câu 4 Rút gọn
2 2 2 2
1 1 1 1
T 1
2 3 4 1999 2000
ĐỀ
S Ố 12
Câu 1.Giải phương trình sau
1) 4x – = 2x + 2) x2 – 8x + 15 = 3)
2
x 8x 15
0 2x
Câu 2
1.Chứng minh
2
3 2 1
2.Rút gọn 2
3.Chứng minh
2
1
3 17 2 17
2 2 17
Câu 3 Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng (điểm B thuộc đoạn AC) Đường trịn (O) qua B C, đường kính DE vng góc với BC K AD cắt (O) F, EF cắt AC I
1.Chứng minh tứ giác DFIK nội tiếp
2.Gọi H làđiểm đối xứng với I qua K Chứng minh góc DHA góc DEA
3.Chứng minh AI.KE.KD = KI.AB.AC
4.AT tiếp tuyến (T tiếp điểm) (O) Điểm T chạy đường (O) thay đổi qua hai điểm B, C
(169)1.Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, G trọng tâm Gọi x, y, z khoảng cách từ G tới cạnh a, b, c Chứng minh
x y z
bc ac ab
2.Giải phương trình
25 2025
x y z 24 104
x y z 24
ĐỀ
S Ố 13
Câu 1.Giải hệ phương trình
2
2
x 2x y
x 2xy
Câu 2 Giải bất phương trình (x – 1)(x + 2) < x2 + 4. Câu 3
1.Rút gọn biểu thức
1
P 175 2
8
.
2.Với giá trị m phương trình 2x2– 4x – m + = (m là tham số) vô nghiệm
Câu 4 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Vẽ trung tuyến AM, phân giác AD góc BAC Đường trịn ngoại tiếp tam giác ADM cắt AB P cắt AC Q
1.Chứng minh BAMPQM; BPDBMA 2.Chứng minh BD.AM = BA.DP
3.Giả sử BC = a; AC = b; BD = m Tính tỉ số BP
BM theo a, b, m.
4.Gọi E làđiểm cung PAQ K trung điểm đoạn PQ Chứng minh ba điểm D, K, E thẳng hàng
ĐỀ
(170)Câu 1
1.Giải bất phương trình (x + 1)(x – 4) <
2.Giải biện luận bất phương trình x mx m với m tham số
Câu 2 Giải hệ phương trình
3
1 2x y x y
1
0 2x y x y
Câu 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x 26y2 10xy 14x 76y 59 Khi x, y có giá trị bao nhiêu?
Câu 4 Cho hình thoi ABCD có góc nhọn BADa Vẽ tam giác đều CDM về
phía ngồi hình thoi tam giác AKD cho đỉnh K thuộc mặt phẳng chứa
đỉnh B (nửa mặt phẳng bờ AC)
1.Tìm tâm đường tròn qua điểm A, K, C, M 2.Chứng minh AB = a, BD = 2a.sin
a
3.Tính góc ABK theo a.
4.Chứng minh điểm K, L, M nằm đường thẳng Câu 5 Giải phương trình
2
x x 1 1 x
ĐỀ
S Ố 15
Câu 1.Tính
2 2 4m2 4m
a) 5 b)
4m
Câu 2
1.Vẽđồ thị (P) hàm số y =
2
x .
2.Tìm a, b để đường thẳng y = ax + b qua điểm (0; -1) tiếp xúc với (P) Câu 3 Cho hệ phương trình
mx my
1 m x y
a)Giải hệ với m =
b) Tìm m để hệ có nghiệm âm (x < 0; y < 0)
Câu 4 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2r, C trung điểm cung AB Trên cung AC lấy điểm F Trên dây BF lấy điểm E cho BE = AF
(171)c) Gọi D giao điểm AC với tiếp tuyến B nửa đường tròn Chứng minh tứ giác BECD nội tiếp
d) Giả sử F di động cung AC Chứng minh E di chuyển cung trịn Hãy xác định cung trịn bán kính cung trịn
ĐỀ
S Ố 16
Câu 1
1.Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp, biết tích chúng 3024 2.Có thể tìm hay khơng ba số a, b, c cho:
2 2 2
a b c a b c
0
a b b c c a a b b c c a
Câu 2
1.Cho biểu thức
x x x x x
B :
x x
x x x
a) Rút gọn B
b) Tính giá trị B x 2 .
c) Chứng minh B 1 với mọi giá trị của x thỏa mãn x 0; x 1 .
2.Giải hệ phương trình
2
2
x y x y
x y x y
Câu 3 Cho hàm số:
2 2
y x 1 x x
1.Tìm khoảng xác định hàm số
2 Tính giá trị lớn hàm số giá trị tương ứng x khoảng xác định
Câu 4 Cho (O; r) hai đường kính AB CD Tiếp tuyến A (O) cắt đường thẳng BC BD hai điểm tương ứng E, F Gọi P Q trung điểm EA AF
1.Chứng minh trực tâm H tam giác BPQ trung điểm đoạn OA
2.Hai đường kính AB Cd có vị trí tương đối tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất? Hãy tính diện tích theo r
ĐỀ
S Ố 17
(172)Đặt
1 1
x ; y ; z
b c c a a b
Chứng minh a + c = 2b Û x + y = 2z.
Câu 2 Xác định giá trị a để tổng bình phương nghiệm phương trình: x2– (2a – 1)x + 2(a – 1) = 0, đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3 Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
x xy y x y 185
x xy y x y 65
Câu 4 Cho hai đường tròn (O1) (O2) cắt A B Vẽ dây AE (O1) tiếp xúc với (O2) A; vẽ dây AF (O2) tiếp xúc với (O1) A
1 Chứng minh
2
BE AE
BF AF
2.Gọi C làđiểm đối xứng với A qua B Có nhận xét hai tam giác EBC FBC
3.Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp
ĐỀ
S Ố 18
Câu 1
1.Giải phương trình:
2
2 11
5 10
a) b) 2x 5x
x
2
2.Giải hệ phương trình:
x y 3x 2y 6z
a) b)
xy 10 x y z 18
Câu 2
1.Rút gọn
5 50 24
75
2.Chứng minh a 2 a1; a
Câu 3 Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn, P điểm cung nhỏ AC ( P khác A C) AP kéo dài cắt đường thẳng BC M
a) Chứng minh ABPAMB.
(173)c) Giả sử hai cung AP CP nhau, Chứng minh AM.MP = AB.BM d) Tìm vị trí M tia BC cho AP = MP
e) Gọi MT tiếp tuyến đường tròn T, chứng minh AM, AB, MT
ba cạnh tam giác vuông
Câu 4 Cho
1 1996
1 1996
a a a 27
b b b 7 Tính
1997
1997 1997
1 1996
1997
1997 1997
1 1996
a a 1996 a
b b 1996 b
ĐỀ
S Ố 19
Câu 1
1.Giải hệ phương trình sau:
1
2
2x 3y x y
a) b)
x 3y 2
1
x y
2.Tính
6
a) 2 3 2 b)
2 20
Câu 2
1.Cho phương trình x2– ax + a + = 0. a) Giải phương trình a = -
b) Xác định giá trị a, biết phương trình có nghiệm x
2
Với giá trị tìm a, tính nghiệm thứ hai phương trình
2.Chứng minh a b 2 nhất một hai phương trình sau
đây có nghiệm: x2 + 2ax + b = 0; x2 + 2bx + a = 0.
Câu 3 Cho tam giác ABC có AB = AC Các cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với (O) điểm tương ứng D, E, F
1.Chứng minh DF//BC ba điểm A, O, E thẳng hàng
(174)3.Gọi (O’) làđường tròn qua ba điểm B, O, C Chứng minh AB, AC
các tiếp tuyến (O’)
Câu 4 Cho
2
x x 1999 y y 1999 1999
Tính S = x + y
ĐỀ
S Ố 20
Câu 1
1.Cho
1
M a :
1 a 1 a
a) Tìm tập xác định M b) Rút gọn biểu thức M c) Tính giá trị M
3 a
2
.
2.Tính 40 57 40 57 Câu 2
1.Cho phương trình (m + 2)x2– 2(m – 1) + = (1) a) Giải phương trình m =
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép
c) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt, tìm hệ thức liên hệ nghiẹm khơng phụ thuộc vào m
2.Cho ba số a, b, c thỏa mãn a > 0; a2 = bc; a + b + c = abc Chứng minh:
2 2
a) a 3, b 0, c 0. b) b c 2a
Câu 3 Cho (O) dây ABM tùy ý cung lớn AB
1.Nêu cách dựng (O1) qua M tiếp xúc với AB A; đường tròn (O2) qua M tiếp xúc với AB B
2.Gọi N giao điểm thứ hai hai đường tròn (O1) (O2) Chứng minh
0
AMB ANB 180
Có nhận xét vềđộ lớn của góc ANB M di động.
3.Tia MN cắt (O) S Tứ giác ANBS hình gì?
4.Xác định vị trí M để tứ giác ANBS có diện tích lớn
Câu 4 Giả sử hệ
ax+by=c bx+cy=a cx+ay=b
có nghiệm Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc.
ĐỀ
(175)câu 1:(3 điểm)
Rút gọn biểu thøc sau:
¿
A=1
2(√6+√5)
−1
4√120−√ 15
2
B=3+2√3 √3 +
2√2
√2+1−(3+√3−2√2)
¿
1 3; x ≠ ±
1
¿C=4x −√9x
2−6x+1 149x2 x
câu 2:(2,5 điểm)
Cho hµm sè y=−1 2x
2 (P) a Vẽ đồ thị hàm số (P)
b Với giá trị m đờng thẳng y=2x+m cắt đồ thị (P) điểm phân biệt A B Khi tìm toạ độ hai điểm A B
câu 3: (3 điểm)
Cho đờng trịn tâm (O), đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B (B≠C) vẽ đờng tròn tâm (O’) đờng kính BC Gọi M trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vng góc với AB CD cắt đờng tròn (O’) điểm I
a Tứ giác ADBE hình gì? Tại sao? b Chứng minh điểm I, B, E thẳng hàng
c Chứng minh MI tiếp tuyến ca ng trũn (O) v MI2=MB.MC.
câu 4: (1,5điểm)
Giả sử x y số thoả mÃn x>y xy=1 Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc x2+y2
x − y
ĐỀ
S Ố 22 c©u 1:(3 ®iĨm)
Cho hµm sè y=√x
(176)c Các điểm: A(16;4) B(16;-4) điểm thuộc đồ thị hàm số, điểm không thuộc đồ thị hàm số? Tại sao?
Không vẽ đồ thị, tìm hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số cho đồ thị hàm số y=x-6
câu 2:(1 điểm)
Xét phơng trình: x2-12x+m = (x lµ Èn).
Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kin x2 =x12
câu 3:(5 điểm)
Cho đờng trịn tâm B bán kính R đờng trịn tâm C bán kính R’ cắt A D Kẻ đờng kính ABE ACF
a.Tính góc ADE ADF Từ chứng minh điểm E, D, F thẳng hàng
b.Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC N giao điểm đ-ờng thẳng AM EF Chứng minh tứ giác ABNC hình bình hành c.Trên nửa đờng trịn đờng kính ABE ACF khơng chứa điểm D ta lần lợt lấy điểm I K cho góc ABI góc ACK (điểm I khơng thuộc đờng thẳng NB;K không thuộc đờng thẳngNC)
Chứng minh tam giác BNI tam giác CKN tam giác NIK tam giác cân
d.Giả sử r»ng R<R’
Chøng minh AI<AK Chứng minh MI<MK câu 4:(1 điểm)
Cho a, b, c số đo góc nhọn thoả m·n:
cos2a+cos2b+cos2c≥2 Chøng minh: (tga tgb tgc)2≤ 1/8.
ĐỀ
S Ố 23 c©u 1: (2,5 điểm)
Giải phơng trình sau: a x2-x-12 =
b x=√3x+4 c©u 2: (3,5 ®iÓm)
Cho Parabol y=x2 đờng thẳng (d) có phơng trình y=2mx-m2+4.
(177)c©u 3: (4 ®iĨm)
Cho ∆ABC có góc nhọn Các đờng cao AA’, BB’, CC’ cắt H; M trung điểm cạnh BC
1 Chứng minh tứ giác AB’HC’ nội tiếp đợc đờng tròn P điểm đối xứng H qua M Chứng minh rằng:
a Tứ giác BHCP hình bình hành b P thuộc đờng trịn ngoại tiếp ∆ABC Chứng minh: A’B.A’C = A’A.A’H
4 Chøng minh: HA' HA ⋅
HB'
HB ⋅ HC'
HC ≤
ĐỀ
S Ố 24 câu 1: (1,5 điểm)
Cho biểu thøc:
A=√x
2−4x+4 4−2x
1 Víi gi¸ trị x biểu thức A có nghĩa? Tính giá trị biểu thức A x=1,999
câu 2: (1,5 điểm)
Giải hệ phờng tr×nh:
¿
1
x−
1
y −2=−1
x+
3
y −2=5
{
câu 3: (2 điểm)
Tìm giá trị a để phơng trình: (a2-a-3)x2 +(a+2)x-3a2 = 0
(178)Cho ∆ABC vuông đỉnh A Trên cạnh AB lấy điểm D khơng trùng với đỉnh A đỉnh B Đờng trịn đờng kính BD cắt cạnh BC E Đ-ờng thẳng AE cắt đĐ-ờng trịn đĐ-ờng kính BD điểm thứ hai G đĐ-ờng thẳng CD cắt đờng tròn đờng kính BD điểm thứ hai F Gọi S giao điểm đờng thẳng AC BF Chng minh:
1 Đờng thẳng AC// FG SA.SC=SB.SF
3 Tia ES phân giác AEF câu 5: (1 điểm)
Giải phơng trình:
x2+x+12√x+1=36
ĐỀ
S Ố 24 c©u 1: (2 ®iĨm)
Cho biĨu thøc:
A=(a+√a
√a+1+1)⋅(
a −√a
√a −1−1);a ≥0, a ≠1 Rót gän biĨu thøc A
2 Tìm a ≥0 a≠1 thoả mãn đẳng thức: A= -a2
câu 2: (2 điểm)
Trờn h trục toạ độ Oxy cho điểm M(2;1), N(5;-1/2) đờng thẳng (d) có phơng trình y=ax+b
1 Tìm a b để đờng thẳng (d) qua điểm M N?
2 Xác định toạ độ giao điểm đờng thẳng MN với trục Ox Oy
c©u 3: (2 diĨm)
Cho số ngun dơng gồm chữ số Tìm số đó, biết tổng chữ số 1/8 số cho; thêm 13 vào tích chữ số đợc số viết theo thứ tự ngợc li s ó cho
câu 4: (3 điểm)
Cho ∆PBC nhọn Gọi A chân đờng cao kẻ từ đỉnh P xuống cạnh BC Đờng tròn đờng khinh BC cắt cạnh PB PC lần lợt M N Nối N với A cắt đờng tròn đờng kính BC điểm thứ E
1 Chứng minh điểm A, B, N, P nằm đờng tròn Xác định tâm đờng trịn ấy?
2 Chøng minh EM vu«ng gãc víi BC
(179)câu 5: (1 điểm)
Giả sử n số tự nhiên Chứng minh bất đẳng thức:
2+
3√2+⋅⋅+ (n+1)√n<2
ĐỀ
S Ố 25 c©u 1: (1,5 ®iĨm)
Rót gän biĨu thøc:
M=(1−a√a 1−√a +√a)⋅
1
1+√a;a ≥0, a≠1
câu 2: (1,5 điểm)
Tìm số x y thoả mÃn điều kiện:
x2
+y2=25 xy=12
¿{
¿
c©u 3:(2 ®iĨm)
Hai ngời làm chung cơng việc hồn thành 4h Nếu ngời làm riêng để hồn thành cơng việc thời gian ngời thứ làm ngời thứ 6h Hỏi làm riêng ngời phải làm hồn thành cơng việc?
c©u 4: (2 điểm) Cho hàm số:
y=x2 (P)
y=3x=m2 (d)
Chứng minh với giá trị m, đờng thẳng (d) cắt (P) điểm phân biệt
Gọi y1 y2 tung độ giao điểm đờng thẳng (d) (P) Tìm
m để có đẳng thức y1+y2 = 11y1y2
câu 5: (3 điểm)
Cho ABC vuụng đỉnh A Trên cạnh AC lấy điểm M ( khác với điểm A C) Vẽ đờng tròn (O) đờng kính MC GọiT giao điểm thứ hai cạnh BC với đờng tròn (O) Nối BM kéo dài cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai D Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai S Chứng minh:
Tứ giác ABTM nội tiếp đợc đờng tròn
Khi điểm M di chuyển cạnh AC góc ADM có số đo khơng đổi
(180)ĐỀ
S Ố 26 c©u 1: (2 ®iĨm)
Cho biĨu thøc:
S=( √y
x+√xy+
√y x −√xy):
2√xy
x − y ; x>0, y>0, x ≠ y
1 Rót gän biĨu thøc trªn
2 Tìm giá trị x y để S=1 câu 2: (2 điểm)
Trªn parabol y=1 2x
2
lấy hai điểm A B Biết hoành độ điểm A xA=-2 tung độ điểm B yB=8 Viết phơng trình đờng thẳng
AB c©u 3: (1 ®iĨm)
Xác định giá trị m phơng trình bậc hai: x2-8x+m = 0
để 4+√3 nghiệm phơng trình Với m vừa tìm đợc, phơng trình cho cịn nghiệm Tỡm nghim cũn li y?
câu 4: (4 điểm)
Cho hình thang cân ABCD (AB//CD AB>CD) nội tiếp đờng tròn (O).Tiếp tuyến với đờng tròn (O) A D cắt E Gọi I giao điểm đờng chéo AC BD
1 Chứng minh tứ giác AEDI nội tiếp đợc đờng tròn Chứng minh EI//AB
3 Đờng thẳng EI cắt cạnh bên AD BC hình thang tơng ứng R S Chứng minh rằng:
a I trung điểm đoạn RS b AB1 +
CD= RS câu 5: (1 điểm)
Tỡm tt c cặp số (x;y) nghiệm phơng trình: (16x4+1).(y4+1) = 16x2y2
ĐỀ
(181)Gi¶i hệ phơng trình
2
x+
5
x+y=2
x+
1
x+y=1,7
{
câu 2: (2 điểm)
Cho biÓu thøc A=
√x+1+
x
√x − x; x>0, x ≠1
1 Rót gän biĨu thøc A
2 TÝnh gi¸ trị A x=
2 câu 3: (2 ®iĨm)
Cho đờng thẳng d có phơng trình y=ax+b Biết đờng thẳng d cắt trục hồnh điểm có hồnh song song với ng thng y=-2x+2003
1 Tìm a vầ b
2 Tìm toạ độ điểm chung (nếu có) d parabol y=−1 x
2 c©u 4: (3 ®iĨm)
Cho đờng trịn (O) có tâm điểm O điểm A cố định nằm ngồi đờng trịn Từ A kẻ tiếp tuyến AP AQ với đờng tròn (O), P Q tiếp điểm Đờng thẳng qua O vng góc với OP cắt đờng thẳng AQ M
1 Chøng minh r»ng MO=MA
2 Lấy điểm N cung lớn PQ đờng tròn (O) cho tiếp tuyến N đờng tròn (O) cắt tia AP AQ tơng ứng B C
a Chứng minh AB+AC-BC không phụ thuộc vị trí điểm N b.Chứng minh tứ giác BCQP nội tiếp đờng trịn PQ//BC
c©u 5: (1 điểm)
Giải phơng trình x22x 3+
x+2=x2+3x+2+x −3
ĐỀ
S Ố 28 c©u 1: (3 điểm)
Đơn giản biểu thức:
P=√14+6√5+√14−6√5 Cho biÓu thøc:
Q=( √x+2
x+2√x+1−
√x −2
x −1 )⋅√
x+1
(182)a Chøng minh Q=
x −1
b Tìm số nguyên x lớn để Q có giá trị số nguyên câu 2: (3 im)
Cho hệ phơng trình:
(a+1)x+y=4 ax+y=2a
¿{
¿
(a tham số) Giải hệ a=1
2 Chứng minh với giá trị a, hệ lu«n cã nghiƯm nhÊt (x;y) cho x+y≥
câu 3: (3 điểm)
Cho ng trũn (O) đờng kính AB=2R Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đ-ờng tròn (O) A M Q hai điểm phân biệt, chuyển động (d) cho M khác A Q khác A Các đờng thẳng BM BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai N P
Chøng minh:
1 BM.BN không đổi
2 Tứ giác MNPQ nội tiếp đợc đờng tròn Bất đẳng thức: BN+BP+BM+BQ>8R
câu 4: (1 điểm)
Tìm giá trị nhỏ hàm số:
y= x 2+2x
+6 √x2+2x+5
ĐỀ
S Ố 29 câu 1: (2 điểm)
1 Tính giá trị cđa biĨu thøc P=√7−4√3+√7+4√3 Chøng minh: (√a−√b)
2
+4√ab
√a+√b ⋅
a√b −b√a
ab =a b ;a>0,b>0 câu 2: (3 điểm)
Cho parabol (P) đờng thẳng (d) có phơng trình: (P): y=x2/2 ; (d): y=mx-m+2 (m tham số).
1 Tìm m để đờng thẳng (d) (P) qua điểm có hồnh độ x=4
(183)3 Giả sử (x1;y1) (x2;y2) toạ độ giao điểm đờng thẳng (d)
(P) Chøng minh r»ng y1+y2≥(2√2−1)(x1+x2) c©u 3: (4 ®iÓm)
Cho BC dây cung cố định đờng trịn tâm O, bán kính R(0<BC<2R) A điểm di động cung lớn BC cho ∆ABC nhọn Các đờng cao AD, BE, CF ∆ABC cắt H(D thuộc BC, E thuộc CA, F thuộc AB)
1 Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đờng trịn Từ suy AE.AC=AF.AB
2 Gọi A trung điểm BC Chứng minh AH=2A’O
3 Kẻ đờng thẳng d tiếp xúc với đờng trịn (O) A Đặt S diện tích ∆ABC, 2p chu vi ∆DEF
a Chøng minh: d//EF b Chøng minh: S=pR c©u 4: (1 điểm)
Giải phơng trình: 9x2+16=22x+4+42 x
S 30 1: (2 điểm)
Cho biÓu thøc:
A=(
√x−
1
√x −1):(
√x+2
√x −1−
√x+1
√x −2); x>0, x ≠1, x ≠4 Rót gän A
2 Tìm x để A = 2: (3,5 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) đờng thẳng (d) có phơng trình:
(P): y=x2
(d): y=2(a-1)x+5-2a ; (a lµ tham sè)
1 Với a=2 tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng (d) (P)
2 Chứng minh với a đờng thẳng (d) cắt (P) điểm phân biệt
3 Gọi hoành độ giao điểm đờng thẳng (d) (P) x1, x2 Tìm a để
x12+x22=6
(184)Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Điểm I nằm A O (I khác A O).Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN (C khác M, N, B) Nối AC cắt MN E Chứng minh:
1 Tø gi¸c IECB néi tiÕp AM2=AE.AC
3 AE.AC-AI.IB=AI2
bµi 4:(1 diĨm)
Cho a ≥ 4, b ≥ 5, c ≥ vµ a2+b2+c2=90
Chøng minh: a + b + c ≥ 16
ĐỀ
S Ố 31
c©u 1: (1,5 ®iĨm)
Rót gän biĨu thøc:
5√3 −
1
√3
(2+x+√x
√x+1)⋅(2−
x −√x
√x −1); x ≥0, x ≠1
câu 2: (2 điểm)
Quóng ng AB dài 180 km Cùng lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B Do vận tốc ôtô thứ vận tốc ôtô thứ hai 15 km/h nên ôtô thứ đến sớm ôtô thứ hai 2h Tính vận tốc ơtơ?
câu 3: (1,5 điểm)
Cho parabol y=2x2.
Khơng vẽ đồ thị, tìm:
1 Toạ độ giao điểm đờng thẳng y=6x- 4,5 với parabol
2 Giá trị k, m cho đờng thẳng y=kx+m tiếp xúc với parabol điểm A(1;2)
câu 4: (5 điểm)
Cho ABC ni tiếp đờng tròn (O) Khi kẻ đờng phân giác góc B, góc C, chúng cắt đờng trịn lần lợt điểm D điểm E BE=CD
1 Chøng minh ∆ABC c©n
(185)3 BiÕt chu vi cđa ∆ABC lµ 16n (n số dơng cho trớc), BC 3/8 chu vi ∆ABC
a TÝnh diƯn tÝch cđa ∆ABC
b Tính diện tích tổng ba hình viên phân giới hạn đờng tròn (O) ∆ABC
ĐỀ
S Ố 32 bµi 1:
TÝnh giá trị biểu thức sau: 15
13
√5 1−√3
x −√3
x+1 ; x=2√3+1
(2+√3x)2−(√3x+1)2
2√3x+3
bµi 2:
Cho hƯ phơng trình(ẩn x, y ):
19x −ny=− a 2x − y=7
3a
¿{
¿
1 Gi¶i hƯ víi n=1
2 Với giá trị n hệ vô nghiệm 3:
Một tam giác vuông chu vi 24 cm, tỉ số cạnh huyền cạnh góc vuông 5/4 Tính cạnh huyền tam giác
bài 4:
Cho tam giác cân ABC đỉnh A nội tiếp đờng tròn Các đ-ờng phân giác BD, CE cắt H cắt đđ-ờng tròn lần lợt I, K Chứng minh BCIK hình thang cân
2 Chøng minh DB.DI=DA.DC
3 Biết diện tích tam giác ABC 8cm2, đáy BC 2cm Tính diện tích
cđa tam gi¸c HBC
4 Biết góc BAC 450, diện tích tam giác ABC cm2, đáy BC là
(186)ĐỀ
S 33 câu I: (1,5 điểm)
Giải phơng trình x+2+x=4
2 Tam giác vng có cạnh huyền 5cm Diện tích 6cm2 Tớnh
dài cạnh góc vuông câu II: (2 điểm)
Cho biểu thức: A= x√x+1
x −√x+1; x ≥0 Rót gọn biểu thức
2 Giải phơng trình A=2x
3 Tính giá trị A x= 3+22 câu III: (2 điểm)
Trờn mt phng với hệ toạ độ Oxy cho parabol (P) có phơng trình y=-2x2 đờng thẳng (d) có phơng trình y=3x+m.
1 Khi m=1, tìm toạ độ giao điểm (P) (d)
2 Tính tổng bình phơng hoành độ giao điểm (P) (d) theo m câu IV:(3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân A M điểm đoạn BC ( M khác B C) đờng thẳng đI qua M vng góc với BC cắt đ-ờng thẳng AB D, AC E Gọi F giao điểm hai đđ-ờng thẳng CD BE
1 Chứng minh tứ giác BFDM CEFM tứ giác nội tiếp Gọi I điểm đối xứng A qua BC Chứng minh F, M, I thng hng
câu V: (1,5 điểm)
Tam giác ABC khơng có góc tù Gọi a, b, c độ dài cạnh, R bán kính đờng trịn ngoại tiếp, S diện tích tam giác Chứng minh bất đẳng thức:
R ≥ 4S a+b+c
DÊu xảy nào?
S Ố 34 c©u I:
Rót gän biĨu thøc
A= √a+1
√a2−1−√a2+a
+
√a −1+√a+
√a3− a
(187)2 Chứng minh phơng trình √9x2
+3x+1−√9x2−3x+1=a cã nghiƯm th× -1< a <1
câu II:
Cho phơng trình x2+px+q=0 ; q0 (1)
1 Giải phơng trình p=√2−1;q=−√2
2 Cho 16q=3p2 Chøng minh r»ng ph¬ng trình có nghiệm nghiệm gấp 3
lần nghiệm
3 Giả sử phơng trình có nghiệm trái dấu, chứng minh phơng trình qx2+px+1=0
(2) có nghiệm trái dấu Gọi x1 nghiệm âm phơng trình (1), x2
nghiệm âm phơng trình (2) Chứng minh x1+x2-2
câu III:
Trong mặt phẳng Oxy cho đồ thị (P) hàm số y=-x2 đờng thẳng (d) đI qua
®iĨm A(-1;-2) cã hƯ sè gãc k
1 Chứng minh với giá trị k đờng thẳng (d) cắt đồ thị (P) điểm A, B Tìm k cho A, B nằm hai phía trục tung
2 Gọi (x1;y1) (x2;y2) toạ độ điểm A, B nói tìm k cho tổng
S=x1+y1+x2+y2 đạt giá trị lớn
c©u IV:
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Gọi (T) đờng trịn đờng kính BC; (d) đờng thẳng vng góc với AC A; M điểm (T) khác B C; P, Q giao điểm đờng thẳng BM, CM với (d); N giao điểm (khác C) CP đờng trịn
1 Chøng minh ®iĨm Q, B, N thẳng hàng
2 Chng minh B l tâm đờng tròn nội tiếp tam giác AMN
3 Cho BC=2AB=2a (a>0 cho trớc) Tính độ dài nhỏ đoạn PQ M thay đổi (T)
câu V:
Giải phơng trình
(1− m)x2+2(x2+3− m)√x+m2−4m+3=0; m≥3 , x lµ Èn
ĐỀ
S 35 câu I: (2 điểm)
Cho biểu thức: F= √x+2√x −1+√x −2√x −1 Tìm giá trị x để biểu thức có nghĩa Tìm giá trị x2 F=2
câu II: (2 điểm)
Cho hệ phơng trình:
x+y+z=1 xy− z2=1
¿{
¿
(ở x, y, z ẩn)
1 Trong c¸c nghiƯm (x0,y0,z0) hệ phơng trình, hÃy tìm tất
nghiệm có z0=-1
2 Giải hệ phơng trình câu III:(2,5 điểm)
(188)1 Giả sử phơng trình (1) có nghiệm x1, x2 Lập phơng trình bậc hai
có nghiệm t1=1-x1 vµ t2=1-x2
2 Tìm giá trị m để phơng trình (1) có nghiệm x1, x2 tho
điều kiện: x1<1<x2
câu IV: (2 ®iĨm)
Cho nửa đờng trịn (O) có đờng kính AB dây cung CD Gọi E F tơng ứng hình chiếu vng góc A B đờng thẳng CD
1 Chứng minh E F nằm phía ngồi đờng trịn (O) Chng minh CE=DF
câu V: (1,5 điểm)
Cho đờng trịn (O) có đờng kính AB cố định dây cung MN qua trung điểm H OB Gọi I trung điểm MN Từ A kẻ tia Ax vng góc với MN cắt tia BI C Tìm tập hợp điểm C dây MN quay xung quanh điểm H
ĐỀ
S 36 câu 1: (2,5 điểm)
Giải phơng trình:
a.3x2+6x 20=
√x2
+2x+8
b.√x(x −1)+√x(x −2)=2√x(x −3)
2 Lập phơng trình bậc có nghiệm là: x1=3−√5 ; x2=
3+√5 TÝnh giá trị P(x)=x4-7x2+2x+1+
5 , x=35 câu : (1,5 điểm)
Tỡm iu kiện a, b cho hai phơng trình sau tơng đơng: x2+2(a+b)x+2a2+b2 = (1)
x2+2(a-b)x+3a2+b2 = (2)
câu 3: (1,5 điểm)
Cho số x1, x2,x1996 thoả mÃn:
x1+x2+ +x1996=2
x12+x
22+ +x
19962= 499
¿{
¿
(189)Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đờng cao AA1,BB1, CC1 cắt
nhau t¹i I Gäi A2, B2, C2 giao điểm đoạn thẳng IA, IB, IC
với đờng tròn ngoại tiếp tam giỏc A1B1C1
1 Chứng minh A2 trung điểm cña IA
2 Chøng minh SABC=2.SA1C2B1A2C1B2
3 Chøng minh SA1B1C1
SABC =sin
2A+sin2B+sin2C - vµ
sin2A+sin2B+sin2C≤ 9/4.
( Trong S diện tích hình)
ĐỀ
S 37 câu 1: (2,5 điểm)
1 Cho sè sau:
a=3+2√6
b=3−2√6
Chøng tá a3+b3 số nguyên Tìm số nguyên ấy.
Số nguyên lớn không vợt x gọi phần nguên x ký hiệu [x] Tìm [a3].
câu 2: (2,5 điểm)
Cho đờng thẳng (d) có phơng trình y=mx-m+1
1 Chứng tỏ m thay đổi đờng thẳng (d) ln qua điểm cố định Tìm điểm cố định
2 Tìm m để đờng thẳng (d) cắt y=x2 điểm phân biệt A B sao
cho AB=√3 c©u 3: (2,5 ®iÓm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O) Gọi t tiếp tuyến với dờng tròn tâm (O) đỉnh A Giả sử M điểm nằm bên tam giác ABC cho ∠MBC=∠MCA Tia CM cắt tiếp tuyến t D Chứng minh tứ giác AMBD nội tiếp đợc đờng trịn
T×m phÝa tam giác ABC điểm M cho: MAB=MBC=MCA
câu 4: (1 ®iĨm)
Cho đờng trịn tâm (O) đờng thẳng d khơng cắt đờng trịn đoạn thẳng nối từ điểm đờng trịn (O) đến điểm đờng thẳng d, Tìm đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất?
c©u 5: (1,5 ®iĨm)
Tìm m để biểu thức sau:
H=√(m+1)x − m
(190)ĐỀ
S 38 1: (1 điểm)
Giải phơng trình: 0,5x4+x2-1,5=0.
bài 2: (1,5 điểm)
Đặt M=57+402; N=57402 Tính giá trị biĨu thøc sau:
1 M-N M3-N3
bµi 3: (2,5 điểm)
Cho phơng trình: x2-px+q=0 với p≠0.
Chøng minh r»ng:
1 Nếu 2p2- 9q = phơng trình có nghiệm nghiệm gấp đơi
nghiƯm
2 Nếu phơng trình có nghiệm nghiệm gấp đơi nghiệm 2p2- 9q = 0.
bµi 4:( 3,5 ®iĨm)
Cho tam giác ABC vng đỉnh A Gọi H chân đờng vng góc kẻ từ đỉnh A xuống cạnh huyền BC Đờng tròn(A, AH) cắt cạnh AB AC tơng ứng M N Đờng phân giác góc AHB góc AHC cắt MN lần lợt I K
1 Chứng minh tứ giác HKNC nội tiếp đợc đờng tròn Chứng minh: HIAB=HK
AC Chøng minh: SABC2SAMN
bài 5: (1,5 điểm)
Tìm tất giá trị x≥ để biểu thức: F=√x −2
x , đạt giá trị lớn
nhất Tìm giá trị lớn
S 38 1: (2 điểm)
(191)¿
mx− y=−m
(1− m2)x+2 my=1+m2
¿{
¿
1 Chøng tá phơng trình có nghiệm với giá trị m
2 Gọi (x0;y0) nghiệm phơng trình, xhứng minh với giá trị
của m có: x02+y02=1
bài 2: (2,5 điểm)
Gọi u v nghiệm phơng trình: x2+px+1=0
Gọi r s nghiệm phơng tr×nh : x2+qx+1=0
ở p q số nguyên
1 Chứng minh: A= (u-r)(v-r)(u+s)(v+s) số nguyên Tìm điều kiện p q để A chia hết cho
bµi 3: (2 điểm)
Cho phơng trình:
(x2+bx+c)2+b(x2+bx+c)+c=0.
Nếu phơng trình vô nghiệm chứng tỏ c số dơng 4: (1,5 điểm)
Cho hình vng ABCD với O giao điểm hai đờng chéo AC BD Đờng thẳng d thay đổi qua điểm O, cắt cạnh AD BC tơng ứng M N Qua M N vẽ đờng thẳng Mx Ny tơng ứng song song với BD AC Các đờng thẳng Mx Ny cắt I Chứng minh đờng thẳng qua I vng góc với đờng thẳng d ln qua điểm cố định
bµi 5: (2 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H Phía tam giác ABC lấy ®iÓm M bÊt kú Chøng minh r»ng:
MA.BC+MB.AC+MC.AB ≥ HA.BC+HB.AC+HC.AB
ĐỀ
S Ố 39 1(2 điểm):
Cho biểu thức: N= a
√ab+b+ b √ab−a−
a+b
√ab víi a, b hai số dơng khác Rút gọn biểu thức N
2 Tính giá trị N khi: a=6+25;b=625 2(2,5 điểm)
Cho phơng trình:
(192)1 Giải phơng trình víi m= √3
2 Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt 3(1,5 điểm):
Trên hệ trục toạ độ Oxy cho điểm A(2;-3) parabol (P) có phơng trình : y=−1
2 x
1 Viết phơng trình đờng thẳng có hệ số góc k qua điểm A
2 Chứng minh đờng thẳng đI qua điểm A không song song với trục tung cắt (P) im phõn bit
bài 4(4 điểm):
Cho đờng tròn (O,R) đờng thẳng d cắt đờng tròn điểm A B Từ điểm M nằm đờng thẳng d phía ngồi đờng trịn (O,R) kẻ tiếp tuyến MP MQ đến đờng trịn (O,R), P Q tiếp điểm
1 Gọi I giao điểm đoạn thẳng MO với đờng tròn (O,R) Chứng minh I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MPQ
2 Xác định vị trí điểm M đờng thẳng d để tứ giác MPOQ hình vng
3 Chứng minh điểm M di chuyển đờng thẳng d tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác MPQ chạy đờng thẳng cố định
S 40 1(1,5 điểm):
Víi x, y, z tho¶ m·n: x
y+z+
y z+x+
z
x+y=1 H·y tính giá trị biểu thức sau: A= x
2
y+z+
y2
z+x+
z2
x+y 2(2 điểm):
Tỡm m phng trình vơ nghiệm: x2+2 mx+1
x −1 =0 bµi 3(1,5 ®iĨm):
Chứng minh bất đẳng thức sau:
6+6+6+6+30+30+30+30<9 4(2 điểm):
Trong nghiệm (x,y) thoả mÃn phơng trình: (x2-y2+2)2+4x2y2+6x2-y2=0
Hóy tỡm tt nghiệm (x,y) cho t=x2+y2 đạt giá trị nh nht.
bài 5(3 điểm):
Trờn mi nửa đờng trịn đờng kính AB đờng trịn tâm (O) lấy điểm tơng ứng C D thoả mãn:
(193)Gọi K trung điểm BC Hãy tìm vị trí điểm C D đờng tròn (O) để đờng thẳng DK qua trung điểm AB
ĐỀ
S 41 1(2,5 điểm):
Cho biÓu thøc: T= x+2
x√x −1+
√x+1
x+√x+1−
√x+1
x −1 ; x>0, x ≠1 Rót gän biĨu thøc T
2 Chøng minh r»ng víi mäi x > vµ x≠1 có T<1/3 2(2,5 điểm):
Cho phơng tr×nh: x2-2mx+m2- 0,5 = 0
1 Tìm m để phơng trình có nghiệm nghiệm phơng trình có giá trị tuyệt đối
2 Tìm m để phơng trình có nghiệm nghiệm số đo cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền
bµi 3(1 ®iĨm):
Trên hệ trục toạ độ Oxy cho (P) có phơng trình: y=x2
Viết phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng y=3x+12 có vi (P) ỳng mt im chung
bài 4(4 điểm):
Cho đờng trịn (O) đờng kính Ab=2R Một điểm M chuyển động đờng tròn (O) (M khác A B) Gọi H hình chiếu vng góc M đờng kính AB Vẽ đờng trịn (T) có tâm M bán kính MH Từ A B lần lợt kẻ tiếp tuyến AD BC đến đòng tròn (T) (D C tiếp điểm)
1 Chứng minh M di chuyển đờng trịn (O) AD+BC có giá trị không đổi
2 Chứng minh đờng thẳng CD tiếp tuyến đờng tròn (O)
3 Chứng minh với vị trí M đờng trịn (O) ln có bất đẳng thức AD.BC≤R2 Xác định vị trí M đờng trịn (O) để
(194)4 Trên đờng tròn (O) lấy điểm N cố định Gọi I trung điểm MN P hình chiếu vng góc I MB Khi M di chuyển đ-ờng tròn (O) P chạy đđ-ờng nào?
ĐỀ
S 42 1(1 điểm):
Giải phơng trình: x+x+1=1 2(1,5 điểm):
Tỡm tt c giá trị x không thoả mãn đẳng thức: (m+|m|)x2- 4x+4(m+|m|)=1
dï m lÊy bÊt cø c¸c gi¸ trị 3(2,5 điểm):
Cho hệ phơng tr×nh:
¿
|x −1|+|y −2|=1
(x − y)2+m(x − y −1)− x − y=0
¿{
¿
1 Tìm m để phơng trình có nghiệm (x0,y0) cho x0 đạt giá trị lớn
nhất Tìm nghiệm ấy?
2 Giải hệ phơng trình kho m=0 4(3,5 điểm):
Cho na ng trịn đờng kính AB Gọi P điểm cung AB, M điểm di động cung BP Trên đoạn AM lấy điểm N cho AN=BM
1 Chứng minh tỉ số NP/MN có giá trị không đổi điểm M di chuyển cung BP Tìm giá trị khơng đổi ấy?
2 T×m tập hợp điểm N M di chuyển cung BP 5(1,5 điểm):
Chứng minh với giá trị nguyên dơng n tồn hai số nguyên dơng a b thoả m·n:
¿
(1+√2001)n=a+b√2001
a2−2001b2
=(−2001)n
¿{
(195)ĐỀ
S Ố 43 1(2 điểm):
Cho hệ phơng tr×nh:
¿
x+ay=2 ax−2y=1
¿{
¿
(x, y lµ Èn, a lµ tham số) Giải hệ phơng trình
2 Tìm số nguyên a lớn để hệ phơng trình có nghiệm (x0,y0) thoả
mãn bất đẳng thức x0y0 <
bài 2(1,5 điểm):
Lập phơng trình bậc hai với hệ số nguyên có nghiệm lµ:
x1=
3+√5; x2= 3−√5 TÝnh: P=(
3+√5)
+( 3−√5)
4 3(2 điểm):
Tỡm m phơng trình: x2−2x −|x −1|
+m=0 , có nghim phõn bit
bài 4(1 điểm):
Gi sử x y số thoả mãn đẳng thc:
(x2+5+x)(y2+5+y)=5 Tính giá trị biểu thức: M = x+y 5(3,5 điểm):
Cho tứ giác ABCD cã AB=AD vµ CB=CD Chøng minh r»ng:
1 Tứ giác ABCD ngoại tiếp đợc đờng tròn
2 Tứ giác ABCD nội tiếp đợc đờng trịn AB BC vng góc với
3 Giả sử AB⊥BC Gọi (N,r) đờng tròn nội tiếp (M,R) đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.Chứng minh:
a AB+BC=r+√r2+4R2
b MN2
=R2+r2−r√r2+4R2
ĐỀ
S Ố 43 bµi 1(2 diĨm):
Tìm a b thoả mãn đẳng thức sau:
(1+a√a
1+√a −√a)⋅ a+√a
1− a=b
2
(196)Tìm số hữu tỉ a, b, c đôi khác cho biểu thức:
H=√ (a −b)2+
1 (b −c)2+
1 (c a)2 nhận giá trị số hữu tỉ
bài 3(1,5 điểm):
Giả sử a b số dơng cho trớc Tìm nghiệm dơng phơng trình: x(a x)+x(b x)=ab
bài 4(2 ®iĨm):
Gọi A, B, C góc tam giác ABC Tìm điều kiện tam giác ABC để biểu thức:
P=sin A ⋅sin
B
2⋅sin
C
2
đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn ấy? 5(3 im):
Cho hình vuông ABCD
1.Vi điểm M cho trớc cạnh AB ( khác với điểm A B), tìm cạnh AD điểm N cho chu vi tam giác AMN gấp hai lần độ dài cạnh hình vng cho
2 Kẻ đờng thẳng cho đờng thẳng chia hình vng cho thành tứ giác có tý số diện tích 2/3 Chứng minh địng thẳng nói có đờng thẳng đồng quy
ĐỀ
S 44 1(2 điểm):
1 Chứng minh với giá trị dơng n, kuôn có:
(n+1)√n+n√n+1=
√n−
1
√n+1 TÝnh tæng:
S= 2+√2+
1 3√2+2√3+
1
4√3+3√4+ +
1
100√99+99√100 bµi 2(1,5 ®iĨm):
Tìm địng thẳng y=x+1 điểm có toạ độ thoả mãn đẳng thức: y2 3y x 2x0
bài 3(1,5 điểm):
Cho hai phơng trình sau:
x2-(2m-3)x+6=0
2x2+x+m-5=0
(197)bài 4(4 điểm):
Cho ng trũn (O,R) với hai đờng kính AB MN Tiếp tuyến với đ-ờng tròn (O) A cắt đđ-ờng thẳng BM BN tong ứng M1 N1
Gọi P trung điểm AM1, Q trung ®iĨm cđa AN1
1 Chứng minh tứ giác MM1N1N nội tiếp đợc đờng tròn
2 NÕu M1N1=4R tứ giác PMNQ hình gì? Chứng minh
3 Đờng kính AB cố định, tìm tập hợp tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác BPQ ng kớnh MN thay i
bài 5(1 điểm):
Cho đờng tròn (O,R) hai điểm A, B nằm phía ngồi đờng trịn (O) với OA=2R Xác định vị trí điểm M đờng trịn (O) cho biểu thức: P=MA+2MB, đạt giá trị nhỏ tìm giá trị nhỏ
ĐỀ
S 45 1(2 điểm):
1 Với a b hai số dơng thoả mÃn a2-b>0 Chứng minh:
2
2
2 b a a b
a a b
a
2 Không sử dụng máy tính bảng số, chứng tỏ rằng: 20 29 2 3 2
bài 2(2 điểm):
Gi s x, y số dơng thoả mãn đẳng thức x+y= 10 Tính giá trị x y để biểu thức sau: P=(x4+1)(y4+1), đạt giá trị nhỏ Tìm
gi¸ trị nhỏ ấy? 3(2 điểm):
Giải hệ phơng trình:
0 2 x z z z y y y x x x z z z y y y x x
bài 4(2,5 điểm):
(198)R c b a z y x
2
2 2
bµi 5(1,5 ®iĨm):
Cho tập hợp P gồm 10 điểm có số cặp điểm đợc nối với đoạn thẳng Số đoạn thẳng có tập P nối từ điểm a đến điểm khác gọi bậc điểm A Chứng minh tìm đợc hai điểm tập hợp P có bậc
ĐỀ
S Ố 47 1.(1,5 điểm)
Cho phơng trình: x2-2(m+1)x+m2-1 = víi x lµ Èn, m lµ sè cho tríc.
1 Giải phơng trình cho m =
2 Tìm m để phơng trình cho có nghiệm dơng x1,x2 phân biệt thoả mãn điều
kiƯn x12-x22=
bµi 2.(2 điểm)
Cho hệ phơng trình:
1
2 a xy
y x
trong x, y ẩn, a số cho trớc Giải hệ phơng trình cho với a=2003
2 Tìm giá trị a để hệ phơng trình cho có nghiệm 3.(2,5 điểm)
Cho phơng trình: x 5 9 x m với x ẩn, m số cho trớc Giải phơng trình cho với m=2
2 Giả sử phơng trình cho có nghiệm x=a Chứng minh phơng trình cho cịn có nghiệm x=14-a
3 Tìm tất giá trị m để phơng trình cho có nghiệm 4.(2 điểm)
Cho hai đờng trịn (O) (O’) có bán kính theo thứ tự R R’ cắt điểm A B
1 Một tiếp tuyến chung hai đờng tròn tiếp xúc với (O) và(O’) lần lợt C D Gọi H K theo thứ tự giao điểm AB với OO’ CD Chứng minh rằng:
a AK lµ trung tun cđa tam giác ACD
b B trọng tâm tam giác ACD '
3
' R R
OO
2 Một cát tuyến di động qua A cắt (O) (O’) lần lợt E F cho A nằm đoạn EF xác định vị trí cát tuyến EF để diện tích tam giác BEF đạt giỏ tr ln nht
bài (2 điểm)
(199)ĐỀ
S Ố 48 1.(1,5 điểm)
Cho phơng trình x2+x-1=0 Chứng minh phơng trình có hai
nghiệm trái dấu Gọi x1 nghiệm âm phơng trình HÃy tính giá trị
của biểu thức: 1
8
1 10x 13 x x
P
Bài 2.(2 điểm)
Cho biểu thức: P x x3 x 2x
Tìm giá trị nhỏ lớn P x Bài 3.(2 điểm)
Chứng minh không tồn số nguyên a, b, c cho: a2+b2+c2=2007
Chøng minh không tồn số hữu tỷ x, y, z cho: x2+y2+z2+x+3y+5z+7=0
Bài 4.(2,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A Vẽ đờng cao AH Gọi (O) vòng tròn ngoại tiếp tam giác AHC Trên cung nhỏ AH vòng tròn (O) lấy điểm M khác A Trên tiếp tuyến M vòng tròn (O) lấy hai điểm D E cho BD=BE=BA Đờng thẳng BM cắt vòng tròn (O) điểm thứ hai N
1 Chứng minh tứ giác BDNE nội tiếp vòng tròn
2 Chứng minh vòng tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE vòng tròn (O) tiếp xúc với
Bài 5.(2 điểm)
Cú n im, khơng có ba điểm thẳng hàng Hai điểm nối với đoạn thẳng, đoạn thẳng đợc tô màu xanh, đỏ vàng Biết rằng: có đoạn màu xanh, đoạn màu đỏ, đoạn màu vàng; điểm mà đoạnthẳng xuất phát từ có đủ ba màu khơng có tam giác tạo đoạn thẳng nối có ba cạnh màu
1 Chøng minh r»ng kh«ng tån ba đoạn thẳng màu xuất phát từ mét ®iĨm
2 Hãy cho biết có nhiều điểm thoả mãn đề
ĐỀ
S 49 Bài 1.(2 điểm)
(200); ; : ; , ; 2 b a b a b a ab ab b a Q n m n m n m mn n m n m n m P
Bài 2.(1 điểm)
Giải phơng trình:
2
6 x x
Bµi 3.(3 điểm)
Cho đoạn thẳng: (d1): y=2x+2
(d2): y=-x+2
(d3): y=mx (m lµ tham sè)
1 Tìm toạ độ giao điểm A, B, C theo thứ tự (d1) với (d2), (d1)
víi trơc hoµnh vµ (d2) víi trơc hoµnh
2 Tìm tất giá trị m cho (d3) cắt hai đờng thẳng (d1),
(d2)
3 Tìm tất giá trị m cho (d3) cắt hai tia AB AC
bài 4.(3 điểm)
Cho tam giỏc u ABC nội tiếp đờng tròn (O) D điểm nằm cung BC không chứa điểm A Trên tia AD ta lấy điểm E cho AE=CD
1 Chøng minh ∆ABE = ∆CBD
2 Xác định vị trí D cho tổng DA+DB+DC lớn Bi 5.(1 im)
Tìm x, y dơng thoả m·n hÖ:
4 xy y x y x ĐỀ
S 50 Bài 1.(2 điểm)
Cho biểu thøc:
; 0; 1.
1 1
x x
x x x x x M
1 Rút gọn biểu thức M Tỡm x M
Bài 2.(1 điểm)
Giải phơng trình: x12 x 3.(3 điểm)