Tự luận và trắc nghiệm: sự biến đổi của các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm tích phân

This article presents some results of the research on change of content, the expression of types of tasks related to the concept of integration and the technique of solvin[r]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TẠP CHÍ KHOA HỌC

HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE ISSN:

1859-3100

KHOA HỌC GIÁO DỤC Tập 14, Số 10 (2017): 39-50

EDUCATION SCIENCE Vol 14, No 10 (2017): 39-50 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website: http://tckh.hcmue.edu.vn

TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM: SỰ BIẾN ĐỔI CỦA CÁC KIỂU NHIỆM VỤ LIÊN QUAN ĐẾN KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

Nguyễn Thị Nga1*, Trương Thị Oanh2

1 Khoa Toán - Tin học – Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh 2 Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn - Ninh Thuận

Ngày nhận bài: 08-8-2017; ngày nhận sửa: 18-9-2017; ngày duyệt đăng: 18-10-2017

TÓM TẮT

Bài báo trình bày số kết nghiên cứu sựthay đổi nội dung, cách phát biểu kiểu nhiệm vụ(KNV) liên quan đến khái niệm tích phân kĩ thuật giải chúng KNV

được trình bày hình thức trắc nghiệm đề thi mơn tốn trung học phổ thông (THPT) quốc gia 2017 so với chúng trình bày hình thức tự luận trước

Từ khóa: tích phân, trắc nghiệm, kiểu nhiệm vụ

ABSTRACT

Test with redaction and multiple-choice questions: Variables of the types of tasks related to the concept of integration

This article presents some results of the research on change of content, the expression of types of tasks related to the concept of integration and the technique of solving them when they are presented in the multiple-choices for the National High School mathematics test in 2017 is compared to that presented in the another way in the past

Keywords: integration, multiple-choices, types of tasks

1. Mở đầu

Năm học 2016 - 2017, Bộ Giáo dục Đào tạo (Bộ GD-ĐT) đột ngột thay đổi

phương án thi THPT quốc gia, lần mơn Tốn tổ chức thi hình thức trắc nghiệm khách quan, câu có đáp án có đáp án Với hình thức thi trắc nghiệm, nội dung đề thi rộng hơn, khơng cịn bó hẹp số dạng toán quen thuộc

như trước Trong đó, tích phân nội dung bắt buộc đề thi Máy tính cầm tay (MTCT) lại có chức tính tích phân nên câu hỏi tính tích phân với đầy đủ cận hàm số nhanh chóng MTCT tìm đáp án mà người sử dụng không cần biết đến kiến thức tích phân Những điều khiến cho KNV liên quan đến khái niệm tích

phân đề trắc nghiệm thay đổi so với đề tự luận nào? Chúng tơi tiến hành

phân tích chương trình, sách giáo khoa Giải tích 12 (SGK12) đề thi thuộc kì thi tốt nghiệp THPT, cao đẳng, đại học1 (kể từ năm 2015 gộp chung thành một kì thi THPT

* Email: ngant@hcmup.edu.vn

TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 10 (2017): 39-50

quốc gia) Bộ GD-ĐT từ năm 2009 đến 2017, đặc biệt đề minh họa2 và đề thi thức năm 2017 để làm rõ điều

2. Các kiểu nhiệm vụliên quan đến khái niệm tích phân

2.1 Các KNV xuất Sách giáo khoa Giải tích 12

SGK12 trình bày ví dụ tập chủ yếu hình thức tự luận, cuối chương có

một số tập hình thức trắc nghiệm Đa số tập trắc nghiệm lại có cách phát biểu tương tựnhư tự luận thêm đáp án để lựa chọn

Có thểchia KNV liên quan đến khái niệm tích phân thành hai nhóm chính: Nhóm 1: Các KNV liên quan túy đến tính tốn tích phân (hầu chỉ

cần nhập cơng thức vào MTCT tìm đáp án đúng)

 Kiểu nhiệm vụ : Tính tích phân từa đến b của hàm số y f x 

Ví dụ: Tính

2

sin x.cosxdx 

 [Trích ví dụ SGK12 Cơ bản; tr.109]

Để giải tập thuộc KNV này, tùy theo đề bài, sử dụng

các kĩ thuật sau phối hợp kĩ thuật

 Kĩ thuật Đ : Tính tích phân định nghĩa

+ Tìm nguyên hàm F x  f x  + Tính hiệu số F b F a 

+ Tích phân cần tính         b

b a a

f x dxF x F b F a



 Kĩ thuật : Vận dụng tính chất tích phân

+ : Áp dụng tính chất tích phân để biến đổi tích phân cần tính

dạng tổng tích phân tìm nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm

thường gặp

+ : Biến đổi tích phân cần tính thành tổng tích phân biết kết mà

đề cho (chỉ xuất số SGK12 nâng cao)

Ví dụ: Cho biết    

2

1

4,

f x dx  f x dx

  Tính  

5

2

f x dx

 [Bài 11 SGK12 Nâng cao; tr.152]

Lời giải:          

5 5

2 1

4 10

f x dx f x dx f x dx  f x dx f x dx  

    

2Để giáo viên (GV) học sinh (HS) làm quen với hình thức thi mới, Bộ GD-ĐT giới thiệu đề thi: Đề minh

họa (5/10/2016), Đề thi thử nghiệm (20/1/2017), Đề tham khảo (14/5/2017) Để thuận tiện, gọi chung Đề

TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Nga và tgk

 Kĩ thuật Đ : Phương pháp đổi biến số Đ : Phương pháp đổi biến số loại

+ Đặt uu x , tính duu x dx' 

+ Đổi cận theo biến u

+ Thay vào cơng thức tích phân tiến hành tính:    

   

u b b

a u a

f x dx g u du

 

Đ : Phương pháp đổi biến số loại

+ Đặt xx t tK, tính dxx t dt' 

+ Đổi cận: tìm , K thỏa mãn ax  ,bx 

+Thay vào cơng thức tích phân tiến hành tính:     '  b

a

f x dx f x t x t dt 



  

 

 Kĩ thuật : Phương pháp tích phân phần

+ Đặt ,u dv hợp lí thay vào công thức

b b

b a

a a

udvuv  vdu

 

Thông thường:

+ Nếu f x  P x e  ax b , f x  P x sinax b,f x  P x cosax b

     đặt

 , '

uP x dvv dx với v' nhân tử lại

+ Nếu f x P x  ln ax b  phải đặt ulnax b dv , P x dx   Kĩ thuật : Áp dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng biết

+ Vẽđồ thị hàm số y f x  hai đường thẳng xa x, b

+ Quan sát hình phẳng tạo thành tương ứng với hình (tam giác, hình thang vng, hình trịn,…) để áp dụng cơng thức diện tích biết trước

Các tập áp dụng kĩ thuật xuất ỏi SGK12 nâng cao

Ví dụ: Khơng tìm ngun hàm, tính tích phân sau: c)

3

2

9 x dx





 [Trích 10 SGK12 Nâng cao; tr.152]

Hướng dẫn giải sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao, trang 192:

c) Tích phân diện tích nửa đường trịn x2y29 (ℎ 3.3) Đây đường trịn tâm gốc tọa độ bán kính Do

đó diện tích nửa đường trịn 4,5





TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 10 (2017): 39-50

Nhóm 2: Các KNV liên quan đến ứng dụng tích phân (cần phải nhớ mối liên hệ tích phân với ứng dụng để lập cơng thức tính dùng MTCT tìm đáp án)

 Kiểu nhiệm vụ Đ: Tính quãng đường được của một vật từ thời điểm ta đến

thời điểm tb biết hàm vận tốc v f t 

Ví dụ: Một vật chuyển động với vận tốc v t  1 2sin 2t (m/s) Tính quãng đường

vật di chuyển khoảng thời gian từ thời điểm t0(s) đến thời điểm

t  [Trích 14 SGK12 Nâng cao; tr.153]

 Kĩ thuật Đ:

+ Xác định cơng thức tính vận tốc theo thời gian chuyển động v f t  (thường

đề cho sẵn, cho gia tốc a t  va t dt 

+ Xác định thời điểm ta tb a b

+ Công thức tính quãng đường   b

a

S  f t dt + Áp dụng kĩ thuật tính tích phân phù hợp để tính

 Kiểu nhiệm vụ : Tính diện tích hình phẳng

Ví dụ: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn parabol y 2 x2 và đường

thẳng y x [Trích Ví dụ SGK12 nâng cao; tr.165]

Các tập thuộc KNV đa sốđều có thểđưa việc Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y f x1 ,y f2 x với kĩ thuật giải là:

 Kĩ thuật :

+ Giải phương trình hồnh độgiao điểm f1 x  f2 x 0 để tìm a, b (nếu cần)

+ Áp dụng công thức: 1  2  b

a

S f x  f x dx + Tính tích phân chứa giá trị tuyệt đối S

Có kĩ thuật giải KNV “Tính tích phân chứa giá trị tuyệt đối S” Nguyễn Hồng Vũ (2012) trình bày là:

 : Xét dấu

 : Đưa dấu giá trị tuyệt đối ngồi tích phân

 : Dùng đồ thị

TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Nga và tgk

Ví dụ: Cho hình phẳng A giới hạn đường y0,x4 y x1 Tính thể

tích khối trịn xoay tạo thành quay hình A quanh trục hồnh [Bài 31 SGK12 Nâng cao; tr.172]

Tùy theo trường hợp giả thiết đề cho, có kĩ thuật sử dụng (trong

đó từ cơng nghệ kĩ thuật ta chứng minh cơng nghệ kĩ thuật , ):

 Kĩ thuật : Tính thể tích phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hoành độ a b biết thiết diện điểm có hồnh độ x a xb

+ Tìm diện tích thiết diện S x  vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục

Ox điểm có hồnh độ x a  x b

+ Viết cơng thức tính thể tích vật thể:   b

a

V S x dx + Áp dụng kĩ thuật tính tích phân phù hợp để tính

 Kĩ thuật : Tính thể tích vật thểđược tạo thành quay hình phẳng giới hạn

đồ thị hàm số f x , trục hoành hai đường thẳng xa x, b a b xung quanh trục Ox

+ Viết cơng thức tính thể tích vật thể: 2 

b

a

V  f x dx + Áp dụng kĩ thuật tính tích phân phù hợp để tính

 Kĩ thuật : Tính thể tích vật thể được tạo thành quay hình phẳng giới hạn

đồ thị hàm số xg y , trục tung hai đường thẳng xung quanh trục Oy (chỉ xuất

trong chương trình Nâng cao)

+ Viết cơng thức tính thể tích vật thể: 2 

b

a

V g x dx + Áp dụng kĩ thuật tính tích phân phù hợp để tính

Trong KNV chiếm đa số (165/317 tập), KNV Đ xuất

chương trình Nâng cao Các KNV có cách phát biểu túy tốn học tương tựnhư

các ví dụ nêu trên, riêng Đ có nội dung vật lí SGK12 Nâng cao có tập đa dạng hơn,

xuất số tập có cách phát biểu lạ

2.2 Các KNV đề thi THPT quốc gia từ năm 2009 đến 2016, đề minh họa và đề thức năm 2017 Bộ GD-ĐT

a)Đề thi từnăm 2009 đến 2016

TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 10 (2017): 39-50

năm 2014 câu hỏi thuộc KNV Kĩ thuật giải chủ yếu kĩ thuật đổi biến số loại tích phân phần phối hợp hai kĩ thuật với kĩ thuật tính tích phân khác Các tập dùng MTCT tìm nhanh đáp số

Ví dụ: Tính tích phân  

2

1 ln x

I dx

x

 

 [Trích đề tuyển sinh đại học khối A, A1

năm 2012]

Lời giải: Đặt u lnx , dv dx2 x

    suy ,

1

dx

du v

x x

  



Khi  

 

3 3 3

1

1

1 ln ln 1 2

ln ln

1 3

x dx

I dx

x x x x x

    

          

   

 

Điều chứng tỏ, tích phân, đề thi mong muốn đánh giá khả HS

nắm kĩ thuật tính tích phân bản, việc hiểu khái niệm vận dụng không xem trọng

b)Các đề minh họa năm 2017

Trước kì thi thức năm 2017, Bộ GD-ĐT giới thiệu đề minh họa (dạng trắc nghiệm) để GV HS tham khảo Cảba đềđều có câu nội dung chương

Giải tích 12, có câu vềnguyên hàm câu liên quan đến khái niệm tích phân

Đề minh họa Đề minh họa xếp nội dung theo chương kiến thức

SGK, Đề minh họa xếp theo mức độ từ dễđến khó, gần với đề thi thức

Điểm chung đề nội dung câu hỏi phong phú, trải nội dung lí thuyết Cách phát biểu Đề minh họa so với SGK chưa có điểm MTCT tìm nhanh đáp án (tính tích phân cụ thể) Đề minh họa giữ lại đa dạng KNV cách hỏi có nhiều đổi mới, địi hỏi khả hiểu vận dụng kiến thức HS, hạn chế can thiệp MTCT Cụ thể quan sát cách trình bày câu hỏi hai KNV xuất nhiều đề thi :

KNV : Tính tích phân từ a đến b hàm số y f x 

Hàm số dấu tích phân khơng cho cụ thể, HS phải có phân tích tìm kĩ

thuật biến đổi hợp lí để có thểtính tích phân thơng qua tích phân đề cho

Câu 25. Cho  

4

0

16

f x dx

 Tính  

2

0

2

f x dx



A I 32 B I8 C I16 D I 4

[Trích Đề minh họa 2]

TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Nga và tgk

Sử dụng MTCT: Cần suy luận đềbài cho hàm số f x bất kì thỏa mãn

điều kiện  

4

0

16

f x dx

 nên tìm hàm số cụ thể thỏa mãn điều kiện tính

tích phân đề yêu cầu trường hợp hàm số cụ thể vừa tìm (cơng nghệ sử

dụng đổi biến số Tìm hàm số cụ thể giúp cho việc tính tốn nhanh chóng MTCT) Ví dụ dùng MTCT tính  

4

0

f x dx

 với f x  hàm đơn giản (ưu tiên đa thức bậc nhất) nhận thấy

4

0

2xdx16

 , dùng MTCT tính

2

0

4xdx8

 Tuy nhiên, HS phải có kiến thức tích phân vững nhận xét việc tìm hàm số cụ thể

khơng dễ dàng với tất HS tìm

Xuất tốn mà nhiệm vụ tính tích phân mấu chốt tìm lời giải đề

bài hỏi thành phần cơng thức tích phân kết tích phân

Câu 26. Biết

4

ln ln ln

dx

a b c

x x  

 với a, b, c số nguyên Tính S  a b c

A.S6 B S2 C S 2 D S0

[Trích Đề minh họa 2]

Bình luận: Đề hỏi hệ số kết tích phân Vì lập hai

phương trình mà có đến ẩn nên câu MTCT khơng tìm đáp án HS phải

sử dụng kĩ thuật kết hợp với kĩ tính tích phân hàm số hữu tỉ tính chất hàm số logarit, trình bày chi tiết bước tính tích phân rút gọn kết tìm

đáp án đúng.

Như đề khống chế đối tượng hàm số dấu tích phân, cận lấy tích phân, kết tích phân, u cầu tính tốn để buộc HS phải nắm vững kiến thức giải

được, sử dụng MTCT KNV : Tính diện tích hình phẳng

Bên cạnh cách phát biểu quen thuộc trước

đây, kĩ thuật dùng đồ thị tính diện tích hình phẳng

được Đề minh họa khai thác

Câu 21 Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn

bởi đường y f x , trục hoành hai đường thẳng

1,

x  x (như hình vẽ bên) Đặt

   

0

1

,

a f x dx b f x dx

