chuyên đê ̀ hàm mũ –

Hãy tính các logarit sau theo

LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page

PHA ̀N 3: LOGARIT

A Tóm tắt lý thuyết:

 Khi < 𝑎 ≠ thì với mỗi số dƣơng 𝑏, có nhất số 𝛼 để 𝑎𝛼 = 𝑏

 Đi ̣nh nghĩa: cho < 𝑎 ≠ và 𝑏 > số thƣ̣c 𝛼 nhất để 𝑎𝛼 = 𝑏 đƣợc go ̣i là logarit số 𝑎 của 𝑏, kí hiê ̣u là log𝑎𝑏 ta có: 𝑎𝛼 = 𝑏 ⇔ 𝛼 = log𝑎𝑏

Chú ý:

 Không có logarit của số và số âm  Cơ số của logarit phải dƣơng và khác

 log𝑎1 = 0; log𝑎𝑎 = 1; log𝑎𝑎𝑏 = 𝑏; 𝑎log𝑎𝑏 = 𝑏 (0 < 𝑎 ≠ 1; < 𝑏 ∈ ℝ)  𝑎log𝑏𝑐 = 𝑐log𝑏𝑎; log

10𝑥 = lg 𝑥 = log 𝑥 ; log𝑒𝑥 = ln 𝑥  So sánh hai logarit cùng số:

 Đi ̣nh lý: cho các số dƣơng 𝑏; 𝑐

 Khi 𝑎 > thì log𝑎 𝑏 > log𝑎𝑐 ⇔ 𝑏 > 𝑐  Khi < 𝑎 < thì log𝑎𝑏 > log𝑎𝑐 ⇔ 𝑏 < 𝑐

 Hê ̣ quả:

 𝑎 > 1: log𝑎𝑏 > ⇔ 𝑏 >  < 𝑎 < 1: log𝑎𝑏 < ⇔ 𝑏 <  log𝑎𝑏 = log𝑎𝑐 ⇔ 𝑏 = 𝑐

 Các quy tắc tính logarit:

 Đi ̣nh lý: với các số dƣơng 𝑏; 𝑐 và số thực 𝛼 ta có:

log𝑎 𝑏 𝑐 = log𝑎𝑏 + log𝑎𝑐 log𝑎 𝑏

𝑐 = log𝑎 𝑏 − log𝑎𝑐 log𝑎𝑏𝛼 = 𝛼 log𝑎𝑏

 Chú ý: 𝑏 < 0; 𝑐 < ⇒ log𝑎 𝑏 𝑐 = log𝑎 𝑏 + log𝑎 𝑐 và log𝑎 𝑏

𝑐 = log𝑎 𝑏 − log𝑎 𝑐

 Hê ̣ quả: với số dƣơng 𝑏 > 0, 𝑛 ∈ ℤ+ ta có: log 𝑎

1

𝑏 = − log𝑎𝑏 ; log𝑎 𝑏

𝑛

=

𝑛log𝑎𝑏  Đổi số của logarit:

 Đi ̣nh lý: với các số dƣơng 𝛼 ta có:

log𝑏𝑥 =

log𝑎 𝑥 log𝑎 𝑏

⇔ log𝑎𝑥 = log𝑎𝑏 log𝑏𝑥

 Hê ̣ quả: log𝑎𝑏 =

log𝑏𝑎 ⇔ log𝑎𝑏 log𝑏𝑥 = 1; log𝑎

𝛼 𝑥 =1

𝛼log𝑎𝑥

B Các loại bài tập:

1 Loại 1: CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN 1) Hãy tính:

a log 28 b log 1

3

27 c log2 2128

d log24 163 e log 50,2 f log1

6

2

3

5

g log9 3 27

5

h log0,54

i log 1

3

LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page

2) Tìm 𝑥 biết: a log3𝑥 = −1 b log1

6

𝑥 = −3 c log5𝑥 =

d log1 𝑥

𝑥 = e log 5𝑥 = f log7𝑥 = −2 g log6𝑥 = log62 + 0,5 log625 − log63

h log4𝑥 =1

3log4216 − log410 + log43 i log𝑥2 =

3 j log𝑥

10

= −0,1 k log𝑥 25 =

5

l log𝑥2 85 = −6 m 5log𝑥 25 =

2 Loại 2: CHƢ́NG MINH – ĐƠN GIẢN BIỂU THƢ́C 1) Rút gọn:

a 𝐴 = log0,55 log251

7 log72 b 𝐵 = log𝑎𝑏2+ loga2b4

c 𝐶 = 𝑎 log𝑎𝑏− b logba

d 𝐷 = 21+

1

log 2+ 32− log

2) Đơn giản biểu thƣ́c sau rồi tính giá tri ̣ 𝑥 = −2 𝑀 = log4

𝑥2

4 − log4 4𝑥

3) Cho 𝑎, 𝑏 > và 𝑎2+ 4𝑏2 = 23𝑎𝑏, < 𝑐 ≠ Chƣ́ng minh rằng: log𝑐

𝑎+2𝑏

3 =

1

2 log𝑐𝑎 + log𝑐𝑏 + log𝑐3 4) Cho 4𝑎2+ 9𝑏2 = 4𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏 >

Chƣ́ng minh rằng: lg(2𝑎 + 3𝑏) − lg =lg 𝑎+lg 𝑏2 5) Cho 𝑎 ≠ 1, 𝑥 >

chƣ́ng minh rằng: log𝑎𝑥 log𝑎2𝑥 =

2 log𝑎𝑥 tƣ̀ đó giải phƣơng trình: log3𝑥 log9𝑥 = 6) Chƣ́ ng minh rằng: 6log 63+ log

5+ + log13

1

7+2 10 = 13 7) Chƣ́ ng minh rằng: log1612 + log912 = log1612 log912 8) Cho 𝑎 = log1218 ; 𝑏 = log2454 chƣ́ng minh: 𝑎𝑏 + 𝑎 − 𝑏 = 9) Cho 0 < 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≠ chƣ́ng minh rằng:

a 𝑎

log 𝑏 log 𝑏 𝑎

log 𝑏 𝑎 = log𝑏𝑎

b log23 log34 log45 … log1516 =

c log tan 10 + log tan 20 + ⋯ + log tan 880 + log tan 890 = d log𝑎𝑐 𝑏𝑐 =log𝑎𝑏+log𝑎𝑐

1+log𝑎𝑐 (𝑎𝑐 ≠ 1)

LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page

f log𝑎𝑥+

1

log𝑎 2𝑥+ ⋯ + log𝑎 𝑛𝑥 =

𝑛 (𝑛+1)

2 log𝑎𝑥 (0 < 𝑥 ≠ 1)

10) Chƣ́ ng minh:

a 4log57 = 7log54 b 3log25 = 5log23

11) Cho 𝑎, 𝑏 là độ dài hai cạnh góc vuông, 𝑐 là độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông đó 𝑐 ± 𝑏 ≠ chƣ́ng minh rằng: log𝑐+𝑏𝑎 + log𝑐−𝑏𝑎 = log𝑐+𝑏𝑎 log𝑐−𝑏𝑎

3 Loại 3: TÍNH GIÁ TRỊ MỘT BIỂU THỨC – CHƢ́NG MINH 1) Hãy tính:

a 25

1 3log510

b 52+3 log54

c 23−4 log82

d

1

2log23+3 log85

e 92 log32+4 log812

f 81

1 4−

1

2log94 + 25log1258 49log72

g 161+log45+ 4

2log23+3 log55

h 72 49

1

2log79−log76 + 5− log 54

2) Tính giá trị của biểu thức a log362 −

1

2log163 b log1

3

6 −1

2log13400 + log13 45

3

c log1

log34 log23 d log22 sin 𝜋

12+ log2cos 𝜋 12 e log2tan + log cot

f log𝜋 + + log𝜋 − g log 62 log236

h log2

log25

3

i log230 log430

j log 38 log427

k 7log35+ 3log57− 5log37− 7log53

l log32 log43 log54 log65 log76 log87 m log224

log962−

log2192

log122

n log4 73 − 33 + log4 493 + 213 + 93 3) Biết log52 = 𝑎; log53 = 𝑏 Hãy tính các logarit sau theo 𝑎, 𝑏

a log572 b log512

c log515 d log530 4) Biết log𝑎𝑥 = 𝛼; log𝑏𝑥 = 𝛽; log𝑐𝑥 = 𝛾 Tính log𝑎𝑏𝑐 𝑥

5) Biết log712 = 𝑎; log1224 = 𝑏 Tính log54168 6) Biết log615 = 𝑎; log1218 = 𝑏 Tính log2524 7) Biết log𝑎𝑏 = Tính log𝑎2𝑏𝑏

2

𝑎 8) Biết log𝑝𝑞 = 11 Tính log𝑝

𝑞

𝑝2𝑞5

3

9) Biết log257 = 𝑥; log25 = 𝑦 Tính log3 549

8

10) Biết 𝑚 = log23 ; 𝑛 = log25 Tính log2 0,3 ; log2 135

3

11) Biết 𝑚 = log32 ; 𝑛 = log35 Tính log337,5 ; log3 1,875 12) Tính giá trị của các biểu thức sau đây:

a log2 2

+ log3 3

3

27 − log4

3

128 − log7 49

3

b log0,4 50

3

5 + log0,6 15

5 − log0,32 2

LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page

c log4

1

log 5+

− log30,5.log23

d 91+log255− 32 log1632+14 + log

2 e 161−log85+ 4

1

2log23+3 log85

f 4912log79−log76−

9

log278

+ 5− log254

13) Chƣ́ ng minh:

a log𝑎𝑥1 log𝑏𝑥2 = log𝑎𝑥2 log𝑏𝑥1 (0 < 𝑎, 𝑏 ≠ 1; 𝑥1, 𝑥2 > 0) b log𝑎𝑏𝑐 𝑥 = log𝑎𝑥.log𝑏𝑥.log𝑐𝑥

log𝑎𝑥.log𝑏𝑥+log𝑏𝑥.log𝑐𝑥+log𝑐𝑥.log𝑎𝑥 (0 < 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≠ 1, 𝑥 > 0)

c log𝑐+𝑏𝑎 + log𝑐−𝑏𝑎 = log𝑐+𝑏𝑎 log𝑐−𝑏𝑎 (𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0; 𝑐 ± 𝑏 ≠ 1; 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2) d Nếu 𝑥, 𝑦 > và 𝑥2+ 4𝑦2 = 12𝑥𝑦 thì:

log𝑎 𝑥 + 2𝑦 − log𝑎 =1

2 log𝑎𝑥 + log𝑎𝑦 (0 < 𝑎 ≠ 1) e Nếu 𝑎, 𝑏, 𝑐 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân dƣơng và khác thì:

∀𝑥 > 0,log𝑎𝑥 log𝑐𝑥 =

log𝑎𝑥 − log𝑏𝑥 log𝑏𝑥 − log𝑐𝑥 f Nếu < 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≠ và 𝑥 = 10

1

1−log 𝑦; 𝑧 = 10

1−log 𝑦 chƣ́ ng minh: 𝑥 = 10 1−log 𝑧

g Cho 𝑎, 𝑏 > và 𝑎2+ 4𝑏2 = 23𝑎𝑏 chƣ́ng minh rằng: log𝑎+2𝑏

3 =

1

2 log 𝑎 + log 𝑏 + log h Cho 𝑎 > 𝑏; 𝑁 > và 𝑎2+ 𝑏2 = 11 chƣ́ng minh rằng: log

N 𝑎−𝑏

3 =

1

2 logN𝑎 + logN𝑏 i Nếu < 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≠ và log𝑎2008 ; log𝑏2008 ; log𝑐2008 lập thành mô ̣t cấp số cô ̣ng thì:

∀𝑥 > 0, log𝑎𝑥 , log𝑏𝑥 , log𝑐𝑥 lập thành mô ̣t cấp số cô ̣ng và 𝑐2 = 𝑎𝑐 log𝑎𝑏

j Nếu < 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≠ và 𝑥(𝑦+𝑧−𝑥)

log 𝑥 =

𝑦 (𝑧+𝑥−𝑦)

log 𝑦 =

𝑧(𝑥+𝑦−𝑧) log 𝑧 thì 𝑥

𝑦 𝑦𝑥 = 𝑦𝑧 𝑧𝑦 = 𝑧𝑥 𝑥𝑧

k Cho cấp số cộng 𝑢𝑛 với công sai 𝑑 và cấp số nhân 𝑣𝑛 với công bô ̣i 𝑞 thỏa 𝑣1 > 0,0 < 𝑞 ≠ chƣ́ng minh tồn ta ̣i mô ̣t số 𝑎 > cho biểu thƣ́c: 𝐴 = log𝑎 𝑣𝑛 − 𝑢𝑛 không phụ thuô ̣c vào 𝑛 14) Tìm 𝑥, biết:

a log 𝑥 =2

5log52 b 𝑥 = 0,01 log 0,2 −12

c log log log 𝑥 = d 𝑥 = log log 𝑁10

1+log log 𝑁

15) Tính theo 𝛼; 𝛽 các biểu thức sau:

a 𝐴 = log2600 vơ i 𝛼 = log23 , 𝛽 = log25 b 𝐴 = log3 549

8 vơ i 𝛼 = log25 , 𝛽 = log257 c 𝐴 = log29

3

vơ i 𝛼 = log92 , 𝛽 = log25 d 𝐴 = log3 312

LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page

i 𝐴 = log17556 vơ i 𝛼 = log147 , 𝛽 = log145 j 𝐴 = log54168 vơ i 𝛼 = log712 , 𝛽 = log1224 k 𝐴 = log1260 vơ i 𝛼 = log630 , 𝛽 = log1524 Loại 4: SO SÁNH HAI SỐ CÓ DẠNG LOGARIT

Chú ý:

 Hai logarit cùng số: log𝑎𝑥 và log𝑎𝑦 (𝑥, 𝑦 > 0)

 Khi 𝑎 > thì log𝑎 𝑥 > log𝑎𝑦 ⇔ 𝑥 > 𝑦

 Khi < 𝑎 < thì log𝑎𝑥 > log𝑎𝑦 ⇔ 𝑥 < 𝑦  Hai logarit khác số:

log𝑎𝑥 và log𝑏𝑥

Cách 1: < 𝑏 < 𝑎 va 𝑥 > 1: log𝑏𝑥 > log𝑎𝑦 < 𝑏 < 𝑎 < va < 𝑥 < 1: log𝑏𝑎 < log𝑎𝑥 Cách 2: Đặt 𝑡1 = log𝑎𝑥 ⇒ 𝑥 = 𝑎𝑡1

𝑡2 = log𝑏𝑥 ⇒ 𝑥 = 𝑎𝑡2

⇒ 𝑎𝑡1 = 𝑎𝑡2

 Nếu < 𝑎 < 𝑏 ⇒ 𝑡1 > 𝑡2  Nếu < 𝑎 < 𝑏 < ⇒ 𝑡1 < 𝑡2

log𝑎𝑥 và log𝑏𝑦: ta chọn số 𝛼 và so sánh 𝛼 với log𝑎𝑥 ; log𝑏𝑦 nếu log𝑎𝑥 < 𝛼 và log𝑏𝑦 > 𝛼 thì log𝑎𝑥 < log𝑏𝑦

1) So sánh:

a log5 và log5 10

4

b log1

và log1

21

4

c log2 và log2 𝜋 d log𝜋

3

5 và log𝜋 26

2) So sánh:

a log27 và log37 b log2 và log1

2

c log726 và log825 d log827 và log925 e log316 và log16729

f log23 và log311 g log710 và log1113 h log2472 và log1836 i log1891323 và log63147 j log2 log3

7

6 và log12 log13 Loại 5: LOGARIT THẬP PHÂN VÀ LOGARIT TƢ̣ NHIÊN

1) Tính:

a log + 20+ log − 20 b log + + log −

c ln 𝑒 + ln1𝑒

d ln 𝑒−1+ ln 𝑒2 𝑒 2) Biết log ≅ 0,4771 Tính log8190

3) Biết log ≅ 0,301; ln 10 ≅ 2,302 Tính ln 4) Biểu diễn các số sau theo ln 2:

a ln 36 b ln(0,125) c ln 512

d ln 72 − ln e

8ln 4−

1 4ln

1 5) Biểu diễn các số sau theo ln , ln 3:

a ln 36 b ln(2,25)

c ln 12−1

d ln 21 + ln 14 − ln 0,875 6) Biết log = 𝑝; log = 𝑞 chƣ́ng minh rằng: log1530 =1+𝑝