Sự tồn tại nghiệm của mô hình chất bán dẫn với điều kiện biên hỗn hợp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THỊ LIỄU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MƠ HÌNH CHẤT BÁN DẪN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ HUY CHUẨN HÀ NỘI, 2015 Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Những không gian hàm 1.1.1 Khụng gian Hăolder 1.1.2 Không gian Sobolev 1.2 Toán tử quạt 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Toán tử liên kết với dạng nửa song tuyến tính 1.2.3 Tốn tử quạt khơng gian L2 1.2.4 Toán tử quạt khơng gian tích 1.3 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 6 9 12 16 20 20 Mơ hình chất bán dẫn 2.1 Nghiệm địa phương 2.1.1 Sự tồn nghiệm địa phương 2.1.2 Tính khơng âm nghiệm địa 2.2 Nghiệm tồn cục 2.2.1 Đánh giá tiên nghiệm 2.2.2 Nghiệm toàn cục 2.3 Tập hút mũ Kết Luận Tài liệu tham khảo 30 31 31 34 40 40 42 43 50 51 phương Mở đầu Trong luận văn này, nghiên cứu mơ hình chất bán dẫn nhà Vật lý Shockley đưa vào năm 1950 để mô tả dòng electron lỗ trống chất bán dẫn (xem [10]) Ý nghĩa Vật lý chi tiết mơ hình xem thêm tài liệu [6] Cụ thể, mơ hình Shockley có dạng sau:  ∂u  = a∆u − µ∇.[u∇χ] + f (1 − uv) + g(x) Ω × (0, ∞),    ∂t ∂v (1) = b∆v + ν∇.[v∇χ] + f (1 − uv) + g(x) Ω × (0, ∞),  ∂t   0 = c∆χ − u + v + h(x), Ω × (0, ∞) Trong đó, hàm chưa biết u(x, t), v(x, t) mật độ electron mật độ lỗ trống thiết bị chất bán dẫn Ω, thời điểm t ≥ Số hạng a∆u, b∆v ký hiệu tự khuếch tán electron lỗ trống, a b hệ số khuếch tán dương Hàm χ đặc trưng cho điện tĩnh điện xác định phương trình Poisson, c > số điện mơi Số hạng −µ∇.{u∇χ} ν∇.{v∇χ} ký hiệu khuếch tán electron lỗ trống phụ thuộc vào điện χ, µ ν hệ số khuếch tán electron lỗ trống Với điều kiện thích hợp electron lỗ trống hình thành với tốc độ f ≥ kết hợp với tốc độ f uv Các hàm g ≥ h hàm ngoại lực biết Luận văn bao gồm: phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương gồm khái niệm kết Giải tích hàm liên quan n khụng gian Hăolder, khụng gian Sobolev, toỏn t qut Cuối cùng, trình bày chi tiết định lý tồn nghiệm toán tiến hóa nửa tuyến tính để phục vụ cho nghiên cứu chương Chương nội dung luận văn, chương nghiên cứu toán (1) với điều kiện biên hỗn hợp Cụ thể, Mục 2.1 chứng minh tồn tại, tính khơng âm nghiệm địa phương Sự tồn nghiệm toàn cục trình bày Mục 2.2 dựa đánh giá tiên nghiệm Cuối cùng, nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình Cụ thể, Mục 2.3 xây dựng tập hút mũ cho hệ động lực xác định phương trình (2.1) Tập hút mũ khái niệm đưa nhà Toán học Eden, Foias, Nicolaenko, Temam - Mở Đầu tập bất biến dương chứa tập hút tồn cục, có số chiều fractal hữu hạn hút quỹ đạo với tốc độ mũ Những nghiên cứu chi tiết tập hút mũ xem [2] Các nội dung luận văn trình bày dựa tài liệu tham khảo [11], [5] Trong luận văn chắn khơng thể tránh khỏi hạn chế sai sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp Thầy Cơ bạn đọc Qua tác giả bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Lê Huy Chuẩn, người tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ để tác giả hồn thành luận văn Hà Nội, 02 tháng 01 năm 2015 Tác giả Phạm Thị Liễu Bảng ký hiệu { } Rn = x = (x1 , x2 , , xn ) : xi ∈ R, i = 1, n { } Rn+ = x = (x1 , x2 , , xn ) : xi ∈ R, i = 1, n − 1, xn > C([a, b]) := {f : [a, b] → R liên tục [a, b]} { C m ([a, b]) = f : [a, b] → R : Dα f ∈ C (Ω), ∀α : |α| ≤ m } C0m ([a, b]) := {f ∈ C m ([a, b]) : giá f compact [a, b]} C m,1 (Ω) := không gian hàm khả vi liên tục m lần đạo hàm cấp m liên tục Lipschitz Ω { } L(X, Y ) = f : X → Y : f tuyến tính liên tục { Lp (Ω) = f :Ω→C: { L∞ (Ω) = } ∫ |f (x)|p dx < +∞ , p ≥ } Ω f đo Ω : ess sup|f | < +∞ Ω với ess sup|f | = inf {k : µ {x ∈ Ω : f (x) > k} = 0} , µ độ đo Lebesgue Ω Ω { } ′ ′ p Lloc (Ω) = f đo Ω : f ∈ Lp (Ω ), ∀Ωcompact ⊂ Ω Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số khái niệm kết liên quan đến không gian Hăolder, khụng gian Sobolev, toỏn t qut thng c sử dụng nghiên cứu toán phương trình vi phân đạo hàm riêng Chứng minh chi tiết kết xem [11, 9] Và trình bày số kết liên quan đến phương trình tiến hóa tuyến tính nửa tuyến tính sử dụng chương sau luận văn Chúng ta đưa định lý tồn nghiệm hệ phương trính tiến hóa nửa tuyến tính trình bày chi tiết chứng minh định lý Những vấn đề khác liên quan đến phương trình nửa tuyến tính xem [11, Chương 4] 1.1 Những không gian hàm 1.1.1 Không gian Hă older Cho Rn l mt mở < γ ≤ Định nghĩa 1.1 a) Hàm số u : Ω → R gọi l liờn tc Hăolder bc nu tn ti hng số C > cho |u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|γ , x, y ∈ Ω Khi γ = 1, hàm số u gọi liên tục Lipschitz b) Cho u : Ω → R bị chặn liên tục Ta định nghĩa ∥u∥C(Ω) := sup |u(x)| x c) Na chun Hăolder bc ca u : Ω → R [u]C 0,γ (Ω) := sup x̸=y x,y∈Ω |u(x) − u(y)| |x − y|γ Chương Kin thc chun b v chun Hăolder bc l ∥u∥C 0,γ (Ω) := ∥u∥C(Ω) + [u]C 0,γ (Ω) nh ngha 1.2 Khụng gian Hăolder C k, () gm tất hàm số u ∈ C k (Ω), mà chuẩn ∑ ∑ ∥u∥C k,γ (Ω) := ∥Dα u∥C(Ω) + |α|≤k [Dα u]C 0,γ (Ω) |α|=k hữu hạn Như vậy, không gian C k,γ (Ω) gồm tất hàm số u cho đạo hàm riêng cp k ca nú b chn v liờn tc Hăolder bc Nhn xột: Khụng gian Hăolder C k, (Ω) không gian Banach với chuẩn ∥.∥C k,γ (Ω) Khụng gian hm liờn tc Hă older cú trng F β,σ ((a, b]; X) Cho (X, ∥.∥) không gian Banach, với hai số mũ < σ < β < Không gian β,σ F ((a, b]; X) gồm hàm liên tục F (t) : (a, b] → X thỏa mãn ba tính chất sau: (1) (t − a)1−β F (t) có giới hạn t → a (2) F l hm liờn tc Hăolder vi s mũ σ trọng (s − a)1−β+σ , nghĩa (s − a)1−β+σ ∥F (t) − F (s)∥ (t − s)σ a≤s số không phụ thuộc vào TU o −1 phương trình Chứng minh Xét tích đối ngẫu HD × HD (2.1) u, ta có ∫ ∫ ∫ Ω ∂u udx = a ∂t ∫Ω ∆u.udx − µ ∇.[u∇χ]udx Ω ∫ f (1 − uv)udx + + g(x)dx Ω Suy ∫ 1d dt Ω ∫ ∫ u dx − a |∇u| dx − µ Ω Ω ∫ Ω ∫ = u2 vdx u∇u.∇χdx + f Ω u(f + g(x))dx, Ω χ = (cΛ)−1 [−u + v + h(x)] Tương tự xét phương trình thứ hai (2.1) ta có ∫ ∫ ∫ ∫ 1d dt |∇v|2 dx − ν v dx + b Ω Ω Ω ∫ = uv dx v∇v.∇χdx + f Ω v(f + g(x))dx Ω Cộng hai phương trình theo vế sau nhân phương trình thứ với ν phương trình thứ hai với µ Theo bổ đề (2.2) ta có ∫ ∫ µν (−u∇u.∇χ + v∇v.∇χ)dx = Ω = µν 2c ∫ (u − v)2 (u + v)dx + Ω 40 µν 2c µν ∫ (v − u2 )Λχdx Ω h(x)(v − u2 )dx Ω Chương Mơ hình chất bán dẫn Ta có 1d dt ∫ ∫ (νu − µv )dx + Ω 1d + dt ∫ (aν|∇u|2 + bµ|∇v|2 )dx Ω ∫ (u − v) (u + v)dx + f Ω µν = [f + g(x)](νu + µv)dx + 2c Ω Do (2.2) ta có ∫ (νu + µv)dx ∫ Ω h(x)(u2 − v )dx Ω ∫ [f + g(x)].[νu + µv]dx ≤ ∥f + g∥L2 ∥νu + µv∥L2 Ω Mặt khác ∥νu + µv∥L2 ≤ ν∥u∥L2 + µ∥v∥L2 ≤ ζ(∥u∥L2 + ∥v∥L2 ) + Cζ , ζ > tham số nhỏ tùy ý, Cζ số phụ thuộc vào ζ cho với u v ta có ν∥u∥L2 ≤ ζ∥u∥2L2 + Cζ Cζ µ∥v∥L2 ≤ ζ∥v∥2L2 + 2 Ở đây, ta cần chọn Cζ cho ζt2 − νt + Cζ Cζ ≥ ζt2 − µt + ≥ với t 2 Ta lấy số Cζ vậy, ví dụ ta chọn { 2} µ ν , 2ζ 2ζ Cζ > max Do ta có ∫ [ ] [f + g(x)](νu + µv)dx ≤ ∥f + g∥L2 ζ(∥u∥2L2 + ∥v∥2L2 ) + Cζ Ω Ta lại có ∫ ∫ [ h(x)(u − v )dx ≤ ∥h∥L∞ Ω ] ζ(u − v)2 (u + v) + Cζ (u + v) dx Ω u2 − v = (u − v)(u + v) ≤ (u + v)[ζ(u − v)2 + Cζ ], Cζ số dương thỏa mãn ζt2 − t + Cζ ≥ 0, ∀t ∈ R Ở đây, chọn Cζ > Tiếp tục với ζ > cho trước, ta lấy Cζ thỏa mãn 4ζ điều kiện sau ζt − Cζ t + Cζ3 41 ≥ 0, ∀t ∈ R Chương Mơ hình chất bán dẫn Cụ thể, ta chọn Cζ > Khi đó, với u v ta có 2ζ Cζ (u + v) ≤ ζ(u2 + v ) + Cζ3 Như vậy, với ζ > Cζ > ta có 2ζ ∫ ∫ h(x)(u − v )dx ≤ ∥h∥L∞ Ω [ ] ζ(u − v)2 (u + v) + ζ(u2 + v ) + Cζ3 dx Ω Từ bất đẳng thức Poincare, ta có ∫ ( 2 aν|∇u| + bµ|∇v| ) ∫ dx ≥ α Ω (u2 + v )dx Ω với số dương α Suy ra, lấy ζ > đủ nhỏ Cζ tương ứng, ta nhận ∫ ∫ 1d dt (νu2 + µv )dx + Ω α (u2 + v )dx ≤ C, Ω với số C > Từ ta có ∥u(t)∥2L2 + ∥v(t)∥2L2 ≤ C[e−δt (∥u0 ∥2L2 + ∥v0 ∥2L2 ) + 1], ≤ t ≤ TU , (2.26) với số mũ δ > số C > 2.2.2 Nghiệm toàn cục Định lý 2.3 Với giá trị ban đầu U0 ∈ K, tốn (2.1) có nghiệm tồn cục không gian hàm  o 0 ≤ u ∈ C((0, ∞); H (Ω)) ∩ C([0, ∞); L2 (Ω)) ∩ C ((0, ∞); H −1 (Ω)), D D (2.27) o 0 ≤ v ∈ C((0, ∞); H (Ω)) ∩ C([0, ∞); L (Ω)) ∩ C ((0, ∞); H −1 (Ω)) D D Chứng minh Theo Định lý 2.1 tồn nghiệm địa phương U (t) [0, TU0 ] toán (2.1) Với < T1 ≤ TU0 theo đánh giá tiên nghiệm ta có ∥U (t)∥ ≤ C∥U0 ∥, Xét bái toán ∀t ∈ (0, T1 )   dV + AV = F (V ), < t < ∞ dt V (0) = U (T ) 42 (2.28) (2.29) Chương Mơ hình chất bán dẫn Theo Định lý 2.1 tồn nghiệm V (t) (2.29) (0, δ) Trong δ > số phụ thuộc vào ∥U (T1 )∥ Do (2.28) nên δ phụ thuộc vào ∥U0 ∥ Đặt  U (t), t ∈ [0, T1 ], U (t) = (2.30) V (t − T1 ) = t ∈ [T1 , T1 + δ] Do tính nghiệm nên U (t) nghiệm toán (2.1) [0, T1 + δ) Thay T1 T1 + δ lặp lại trình ta thể mở rộng nghiệm U (t) [0, ∞) Hơn nữa, ta có kết sau Định lý 2.4 Cho giá trị ban đầu U0 ∈ K, U (t, U0 ) nghiệm tồn cục tốn (2.1) khơng gian hàm (2.27) Do (2.26)nên tồn số mũ δ > số C > cho với U0 ∈ K, ta có ( ) ∥U (t, U0 )∥L2 ≤ C e−δt ∥U0 ∥L2 + , ≤ t < ∞, U0 ∈ K (2.31) 2.3 Tập hút mũ Trong phần này, chứng minh tồn tập hút mũ hệ động lực xác định từ toán (2.1) Trước tiên, ta nhắc lại số kết biết tập hút mũ Cho (X, ∥.∥X ) không gian Banach Xét X tập compact X , X không gian metric với khoảng cách d(., ) cảm sinh từ ∥.∥X , nghĩa d(x, y) = ∥x − y∥X , ∀x, y ∈ X Cho S(t), ≤ t < ∞, nửa nhóm phi tuyến tác động X Trong S(t) hàm liên tục theo nghĩa: ánh xạ (t, U0 ) → S(t)U0 liên tục từ [0, ∞) × X vào X Khi S(t) định nghĩa hệ động lực (S(t), X , X) X với khơng gian pha compact X Vì không gian pha compact nên tập hợp ∩ A= S(t)X ⊂ X 0≤t ii lim h(S(t)X , A) = 0, t→+∞ h(B0 , B1 ) = sup d(U, B1 ) = sup inf d(U, V ) U ∈B0 V ∈B1 U ∈B0 ký hiệu nửa khoảng cách Hausdorff hai tập B0 , B1 X 43 Chương Mơ hình chất bán dẫn Định nghĩa 2.1 (Tập hút mũ) (xem Eden, Foias, Nicolaenko Temam [2]) Tập hợp M thỏa mãn A ⊂ M ⊂ X gọi tập hút mũ (S(t), X , X) i) M tập compact X với số chiều Fractal hữu hạn ii) M tập bất biến, nghĩa là, S(t)M = M, ∀t > iii) Tồn số mũ δ > số C0 > cho h(S(t)X , M) ≤ C0 e−δt (2.32) Để xây dựng tập hút mũ, sử dụng phương pháp đưa Efendiev, Mivanville Zelik ([3]) Giả sử ta có hai điều kiện sau: i) Tồn không gian Banach Z nhúng compact X thời điểm t∗ > cho toán tử S(t∗ ) thỏa mãn điều kiện Lipschitz dạng ∥S(t∗ )U0 − S(t∗ )V0 ∥Z ≤ L1 ∥U0 − V0 ∥X , U0 , V0 ∈ X , (2.33) L1 > số ii) Ánh xạ (t, U0 ) → S(t)U0 từ [0, t∗ ]×X → X thỏa mãn điều kiện Lipschitz thường ∥S(t)U0 − S(s)V0 ∥X ≤ L2 (|t − s| + ∥U0 − V0 ∥X ), t, s ∈ [0, t∗ ], U0 , V0 ∈ X (2.34) Khi đó, định lý cấu trúc tập hút mũ [3] kết hợp với Định lý 3.1 [2] cho định lý sau Định lý 2.5 (Về cấu trúc tập hút mũ) Nếu điều kiện (2.33), (2.34) thỏa mãn hệ động lực (S(t), X , X) có họ tập hút mũ M Chúng ta áp dụng Định lý 2.5 để chứng minh tồn tập hút mũ cho hệ động lực xác định toán (2.1) −1 −1 (Ω) xác định (Ω) × HD Ở đây, cho X khơng gian tích HD } {( ) φ −1 −1 (2.35) : φ ∈ HD (Ω), ψ ∈ HD (Ω) X= ψ Chuẩn X ký hiệu ∥.∥X Xét hai không gian tích sau } {( ) f g D(A1/2 ) = : f ∈ L2 (Ω), g ∈ L2 (Ω) , {( ) D(A) = u v :u o ∈HD 44 (Ω), v o ∈HD } (Ω) , Chương Mơ hình chất bán dẫn o tương ứng chuẩn tích L2 tích HD ∥.∥D(A1/2 ) = ∥.∥L2 ×L2 , ∥.∥D(A) = ∥.∥ o Xét tập hợp giá trị ban đầu { ( ) K= U0 = u0 v0 o 1 HD ×HD } : ≤ u0 ∈ L2 (Ω), ≤ v ∈ L2 (Ω) (2.36) Ta có K tập đóng khơng gian Hilbert tích D(A1/2 ) = L2 (Ω)×L2 (Ω) Theo phần xây dựng nghiệm địa phương, định nghĩa nửa nhóm phi tuyến tác động K từ tốn (2.7) cơng thức ) ( S(t)U0 = U (t) = u(t) , U0 ∈ K, v(t) U nghiệm tồn cục hệ (2.7) Ước lượng sau cho nghiệm địa phương cho nghiệm toàn cục [ −δt ( ) ] 2 2 ∥u(t)∥L2 + ∥v(t)∥L2 ≤ C e ∥u0 ∥L2 + ∥v0 ∥L2 + , ∀0 ≤ t ≤ TU0 Điều tồn tập hấp thụ S(t) Cho C ∗ số xuất ước lượng xét tập B = {U ∈ K : ∥U ∥D(A1/2 ) ≤ √ 2C ∗ } ⊂ K (2.37) Khi B tập hấp thụ, tức là, với tập bị chặn B K, tồn thời điểm tB > cho S(t)B ⊂ B, t ≥ tB Điều nghĩa là, dáng điệu tiệm cận nghiệm toàn cục hệ (2.1) giảm bớt thành nghiệm B Hơn nữa, B tập bị chặn K nên tất nghiệm B vào B có thời điểm cố định tB > Từ điều hình thành khơng gian pha sau ∪ S(t)B đóng theo chuẩn X (2.38) X = t≥tB Mệnh đề 2.2 X tập compact X thỏa mãn X ⊂ B tập hấp thụ S(t) Chứng minh Vì D(A) không gian Hilbert khả li nên B tập compact yếu theo dãy D(A), nghĩa B trích dãy hội tụ yếu Do B tập đóng X Ta có ∪ S(t)B ⊂ B ⇒ X ⊂ B = B t≥tB 45 Chương Mơ hình chất bán dẫn Vì B tập compact X nên X tập compact X Vì B tập hấp thụ nên X tập hấp thụ Thật vây, X tập hấp thụ với tập bị chặn B nằm K, tồn thời điểm tB > cho S(t)B ⊂ X , ∀t ≥ tB Do B tập hấp thụ nên với t ≥ tB ta có: S(t)B ⊂ B Từ suy S(tB + t)B = S(tB ).S(t)B ⊂ S(tB )B ⊂ X Điều kéo theo với t ≥ tB + tB , ta có S(t)B ⊂ X Mệnh đề 2.3 Tập X tập đóng bị chặn D(A1/2 ) tập đóng bị chặn D(A) Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2 X ⊂ B tập bị chặn D(A1/2 ) Ta có X tập đóng D(A1/2 ) Thật vậy, X đóng X nên tồn {fn } ∈ X , fn hội tụ đến f D(A1/2 ) Ta chứng minh f ∈ X Ta có fn hội tụ đến f D(A1/2 ) nên fn hội tụ đến f X , mà X đóng X nên f ∈ X Để kiểm tra X ⊂ D(A), ta sử dụng ước lượng thành lập phần xây dựng nghiệm địa phương Với < R < ∞ tùy ý, tồn thời điểm TR > số CR > thỏa mãn ∥S(t)U0 ∥D(A) = ∥U ∥D(A) = ∥u(t)∥ ≤ ∥u(t)∥ o HD o HD + ∥v(t)∥ o HD + ∥v(t)∥ o HD + t−1/2 (∥u(t)∥L2 + ∥v(t)∥L2 ) ≤ t−1/2 CR Suy ∥S(t)U0 ∥D(A) ≤ t−1/2 CR , ∀0 < t ≤ TR , ∥U0 ∥D(A1/2 ) ≤ R Sử dụng ước lượng với R = R∗ = √ C ∗ (2C ∗ + 1), theo Mệnh đề 2.1 ta có ∥u∥2L2 + ∥v∥2L2 ≤ C ∗ (∥u0 ∥2L2 + ∥v0 ∥2L2 + 1), ∀0 ≤ t ≤ TU Ta có ∥S(t)U0 ∥2D(A1/2 ) = ∥U (t)∥2L2 ≤ C ∗ (∥U0 ∥2L2 + 1) ≤ C ∗ (2C ∗ + 1), ∀0 ≤ t < ∞ (Do U0 ∈ B ⇒ ∥U0 ∥D(A1/2 ) = ∥U0 ∥L2 ≤ sup ∥S(t)U0 ∥2D(A1/2 ) ≤ √ 2C ∗ ) Bất đẳng thức kéo theo √ C ∗ (2C ∗ + 1) = R∗ , 0≤t thời điểm cố định thỏa mãn T ≤ tB T ≤ TR∗ Nếu U1 ∈ t≥tB S(t)B , nghĩa U1 = S(t0 )U0 với t0 ≥ tB U0 ∈ B , ∥U1 ∥D(A) = ∥S(T ∗ )S(t0 − T ∗ )U0 ∥D(A) ≤ CR∗ (T ∗ )−1/2 , 46 Chương Mơ hình chất bán dẫn ∥S(t0 − T ∗ )U0 ∥D(A1/2 ) ≤ R∗ Vậy ta chứng minh { ∪ } S(t)B ⊂ U ∈ D(A) : ∥U ∥D(A) ≤ CR∗ (T ∗ )−1/2 t≥tB Vì tập đóng bị chặn D(A) compact yếu theo dãy tập đóng X , { } X ⊂ U ∈ D(A) : ∥U ∥D(A) ≤ CR∗ (T ∗ )−1/2 Suy X bị chặn D(A) Mặt khác X đóng D(A) Thật vậy, giả sử {fn } ⊂ X , fn → f D(A).Ta chứng minh f ∈ X Do fn → f D(A) nên fn → f X , mà X đóng X nên f ∈ X Vậy X đóng, bị chặn D(A) Mệnh đề 2.4 Tập hợp X tập bất biến S(t), tức là, S(t)X ⊂ X với t > √ Chứng minh Áp dụng ước lượng cho nghiệm địa phương với R = R∗ = C ∗ (2C ∗ + 1) ta được: ∥S(t)U0 − S(t)V0 ∥X ≤ √ t∥U (t) − V (t)∥ o HD + ∥U (t) − V (t)∥X ≤ CR∗ ∥U0 − V0 ∥X , (2.40) với ≤ t ≤ TR∗ , ∥U0 ∥D(A1/2 ) ≤ R∗ , ∥V0 ∥D(A1/2 ) ≤ R∗ Từ ước lượng thu ∥S(t)U0 − S(t)V0 ∥X ≤ (CR∗ )j ∥U0 − V0 ∥X , (2.41) với (j − 1)TR∗ ≤ t ≤ jTR∗ , U0 , V0 ∈ B với j = 1, 2, Thật vậy: + Với j = 1, từ (2.39) với U0 , V0 ∈ B ∥U0 ∥D(A1/2 ) ≤ R∗ , ∥V0 ∥D(A1/2 ) ≤ R∗ Theo (2.40) (2.41) + Giả sử (2.41) với j , ta chứng minh (2.41) với j + Thật vậy, jTR∗ ≤ t ≤ (j + 1)TR∗ ≤ t − jTR∗ ≤ TR∗ Theo (2.39) ta có ∥S(jTR∗ )U0 ∥D(A1/2 ) ≤ R∗ , ∥S(jTR∗ )V0 ∥D(A1/2 ) ≤ R∗ Suy ∥S(t)U0 − S(t)V0 ∥X = ∥S(t − jTR∗ )S(jTR∗ )U0 − S(t − jTR∗ )S(jTR∗ )V0 ∥X Áp dụng (2.40) với U0 := S(jTR∗ )U0 , V0 := S(jTR∗ )V0 , t := t − jTR∗ 47 Chương Mô hình chất bán dẫn ta ∥S(t)U0 − S(t)V0 ∥X ≤ CR∗ ∥S(jTR∗ )U0 − S(jTR∗ )V0 ∥X ≤ (CR∗ )j+1 ∥U0 − V0 ∥X Vậy (2.41) với j + Suy (2.41) với U0 , V0 ∈ X X ⊂ B Do đó, với t ≥ tốn tử S(t) : X → X liên tục với chuẩn tương ứng X Khi ∪ ∪ ∪ S(τ )B ⊂ S(t) S(t)X = S(t) τ ≥τB S(τ )B ⊂ τ ≥τB S(t + τ )B ⊂ X τ ≥τB Vậy S(t) ánh xạ từ X vào X , ∀t > Mệnh đề 2.5 Ánh xạ (t, U ) → S(t)U thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương từ [0, ∞) × X vào X , tức là, với < T < ∞ tồn số CT > cho ∥S(t)U0 − S(s)V0 ∥ ≤ CT {|t − s| + ∥U0 − V0 ∥X } , t, s ∈ [0, T ], U0 , V0 ∈ X Chứng minh Ta có S(t)U0 − S(s)V0 = {S(t)U0 − S(s)U0 } + {S(s)U0 − S(s)V0 } Theo (2.41) ta có ∥S(s)U0 − S(s)V0 ∥ ≤ CT ∥U0 − V0 ∥X Với < s < t < T ta có ∫ ∥S(t)U0 − S(s)V0 ∥X = ∫ s t t dS(τ )U0 dτ ≤ dτ ∫ s t dS(τ )U0 dτ dτ ∥AS(τ )U0 + F (S(τ )U0 )∥X dτ = s Do theo Mệnh đề 2.3 Mệnh đề 2.4 ta có ∥S(t)U0 − S(s)V0 ∥X ≤ C(t − s) Vì vậy, xây dựng hệ động lực (S(t), X , X) với không gian pha X tập compact X hút nghiệm K ∩ thời gian hữu hạn Do không gian pha X compact nên tập hợp A = S(t)X 0≤t