Mô hình black scholes trong định giá chứng khoán phái sinh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRẦN QUỐC KHÁNH ——————————————- TRẦN QUỐC KHÁNH MƠ HÌNH BLACK-SCHOLES TRONG ĐỊNH GIÁ CHỨNG KHỐN PHÁI SINH TOÁN TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN TIN 2016B Hà Nội - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————————- TRẦN QUỐC KHÁNH MƠ HÌNH BLACK-SCHOLES TRONG ĐỊNH GIÁ CHỨNG KHỐN PHÁI SINH Chuyên ngành: TOÁN TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN TIN NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TỐNG ĐÌNH QUỲ Hà Nội - 2018 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn khoa học PGS.TS Tống Đình Quỳ Các nội dung nghiên cứu kết luận văn trung thực chưa cơng bố hình thức trước Những số liệu phục vụ cho việc thực nghiệm, phân tích đánh giá tác giả rõ nguồn Ngồi ra, luận văn có sử dụng khái niệm, định lý kết từ tác giả khác tác giả thích trích dẫn rõ ràng phần tài liệu tham khảo Nếu có phát gian lận tơi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2018 Học viên Trần Quốc Khánh Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Tống Đình Quỳ, người thầy tận tâm hướng dẫn bảo để tác giả hồn thành luận văn Bên cạnh đó, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô Viện Tốn ứng dụng Tin học tận tình giúp đỡ truyền đạt kiến thức cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu trường Đại học Bách khoa Hà Nội Đặc biệt, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới GS.TS Nguyễn Văn Hữu TS Nguyễn Hữu Tiến cho tác giả lời nhận xét đóng góp quý báu để tác giả hoàn thiện luận văn Ngoài ra, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới ban lãnh đạo anh chị Viện Toán ứng dụng Tin học, Viện Đào tạo Sau đại học nhiệt tình hỗ trợ tạo điều kiện tốt cho tác giả việc tổ chức học tập giảng dạy Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới người bạn đồng hành khích lệ tác giả suốt thời gian qua Trong suốt trình học tập nghiên cứu, tác giả tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận thơng cảm góp ý từ thầy cô tất người Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2018 Học viên Trần Quốc Khánh Mục lục Danh mục ký hiệu Danh mục hình vẽ Mở đầu Những khái niệm tài 11 1.1 Hàng hóa 11 1.2 Tiền tệ 12 1.3 Giá trị thời gian tiền 12 1.3.1 Lãi đơn 13 1.3.2 Lãi gộp 14 1.4 Trái phiếu 15 1.5 Cổ phiếu 16 1.6 Nguyên lý phi lợi 17 1.7 Chứng khoán phái sinh 19 1.7.1 Hợp đồng kỳ hạn hợp đồng tương lai 19 1.7.2 Hợp đồng hoán đổi 22 1.7.3 Quyền chọn 24 Giải tích ngẫu nhiên 30 2.1 Cơ sở lý thuyết khái niệm 30 MỤC LỤC 2.2 Quá trình ngẫu nhiên 38 2.2.1 Một số khái niệm 38 2.2.2 Martingale 40 2.2.3 Chuyển động Brown (Quá trình Wiener) 41 2.3 Tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên 43 2.3.1 Tích phân vi phân Ito 43 2.3.2 Biến phân bậc hai trình ngẫu nhiên 49 2.3.3 Tích phân Stratonovich 50 2.3.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 52 Mơ hình Black-Scholes định giá chứng khoán phái sinh 56 3.1 Giới thiệu mơ hình Black-Scholes 56 3.2 Phương trình Black-Scholes 58 3.3 Công thức Black-Scholes định giá quyền chọn 59 3.3.1 Công thức Black-Scholes định giá quyền chọn mua kiểu châu Âu 60 3.3.2 Công thức Black-Scholes định giá quyền chọn bán kiểu châu Âu 62 3.4 Thực nghiệm đánh giá mơ hình 63 3.4.1 Ước lượng tham số mơ hình 63 3.4.2 Tiêu chuẩn kiểm định phân bố chuẩn độc lập 65 3.4.3 Tiến hành thực nghiệm 66 3.4.4 Đánh giá 71 Kết luận 76 Tài liệu tham khảo 78 Danh mục ký hiệu N Tập số tự nhiên R Tập số thực R+ Tập số thực không âm Rn Không gian số thực n-chiều ∅ Tập rỗng B Tập Borel B(E) σ -trường Borel không gian metric E BR σ -trường Borel đường thẳng R AC Phần bù tập A ⊗ σ -trường tích Lr (Ω, µ)  Tập hàm đo f cho Ω |f |r dµ < ∞ 1 ω ∈ A, 1A (ω) = Hàm tiêu biến cố A 0 ω ∈ / A FtX l.i.m [X] [X, Y ] Lịch sử trình X Giới hạn theo trung bình Biến phân bậc hai trình X Biến phân bậc hai hai trình X Y t f (s, ω) ◦ dWs Tích phân Stratonovich Danh mục hình vẽ 3.1 Phân vị Q-Q giá chứng khoán VIX 68 3.2 Tương quan chuỗi giá chứng khoán VIX 68 3.3 Giá quyền chọn mua chứng khoán VIX đáo hạn ngày 3/10/2018 69 3.4 Giá quyền chọn bán chứng khoán VIX đáo hạn ngày 3/10/2018 69 3.5 Phân vị Q-Q giá chứng khoán SPY 70 3.6 Tương quan chuỗi giá chứng khoán SPY 71 3.7 Giá quyền chọn mua chứng khoán SPY đáo hạn ngày 3/10/2018 72 3.8 Giá quyền chọn bán chứng khoán SPY đáo hạn ngày 3/10/2018 72 3.9 Giá quyền chọn mua chứng khoán VIX đáo hạn ngày 3/10/2018 tham số σ thay hệ số biến động kéo theo 74 3.10 Giá quyền chọn mua chứng khoán SPY đáo hạn ngày 3/10/2018 tham số σ thay hệ số biến động kéo theo 74 3.11 Giá quyền chọn bán chứng khoán VIX đáo hạn ngày 3/10/2018 điều chỉnh tham số σ mơ hình giảm 0.3 75 3.12 Giá quyền chọn bán chứng khoán SPY đáo hạn ngày 3/10/2018 điều chỉnh tham số σ mơ hình tăng thêm 0.05 75 Mở đầu Trong thời đại công nghệ thông tin bùng nổ, đặc biệt, cách mạng công nghiệp 4.0 mối quan tâm hàng đầu quốc gia Tốn học ngày đóng vai trị quan trọng sở lý thuyết tạo nên mơ hình, thuật toán ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Cùng với đó, ngành tài ứng dụng khai thác mạnh mẽ lợi ích mà cơng nghệ mang lại Ngày nhiều thuật toán mơ hình đề xuất cải thiện Mơ hình Black-Scholes mơ hình tiếng việc định giá quyền chọn đưa từ năm 1973 đánh đấu bước ngoặt quan trọng ngành Tốn tài Mơ hình đời từ lâu giữ vai trò quan trọng tảng cho nhiều thuật tốn cải tiến sau Tìm hiểu nghiên cứu mơ hình giúp tác giả có hiểu biết ban đầu Tốn tài thấy ứng dụng ngành tài nói chung chứng khốn nói riêng Hơn nữa, quyền chọn sản phẩm chứng khoán phái sinh chưa đưa vào thị trường Việt Nam Tác giả mong muốn ngày gần ứng dụng mơ hình Black-Scholes thị trường Việt Nam Trên lý tác giả chọn đề tài “Mô hình Black-Scholes định giá chứng khốn phái sinh” cho luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Nội dung luận văn gồm chương, cụ thể sau: Chương 1: Tác giả giới thiệu số khái niệm ngành tài chính, đặc biệt khái niệm thị trường chứng khốn Bên cạnh đó, tác giả phát biểu ngun lý đóng vai trị vơ quan trọng ngành Tốn DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ tài chính, ngun lý Phi lợi Chương 2: Chương này, tác giả trình bày tảng Tốn học quan trọng tạo nên mơ hình Black-Scholes, giải tích ngẫu nhiên Cụ thể, tác giả trình bày khái niệm giải tích ngẫu nhiên Sau đó, tác giả trình bày khái niệm trình ngẫu nhiên số trình ngẫu nhiên phổ biến Cuối cùng, tác giả trình bày tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên với hai tích phân điển hình tích phân Ito tích phân Stratonovich Chương 3: Tác giả trình bày mơ hình phương trình Black-Scholes, qua đưa công thức Black-Scholes định giá quyền chọn kiểu châu Âu Cuối tác giả cài đặt chạy thực nghiệm mơ hình Black-Scholes, từ đưa đánh giá kết luận mơ hình Trong suốt trình nghiên cứu, tác giả tham khảo số tài liệu xác suất, thống kê giải tích tốn học; tài liệu chun khảo tốn tài từ nguồn ngồi nước Để phục vụ cho thực nghiệm, tác giả sử dụng ngơn ngữ lập trình python - ngơn ngữ lập trình phổ biến giới nghiên cứu Các số liệu sử dụng thực nghiệm tác giả lấy từ nguồn tin cậy địa "https://finance.yahoo.com" Sau nội dung chi tiết luận văn 10 3.4 THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ MƠ HÌNH 3.4.2 Tiêu chuẩn kiểm định phân bố chuẩn độc lập Như nói trên, tính xác mơ hình phụ thuộc vào tính chuẩn tính độc lập dãy biến ngẫu nhiên Ui , i = 0, 1, , n − Vì ta cần phải kiểm định tính chuẩn tính độc lập Ui dựa vào số tiêu chuẩn sau Kiểm định tính tuyến tính phân vị phân bố chuẩn phân bố mẫu Ta xét phụ thuộc tuyến tính phân bố mẫu phân bố chuẩn việc vẽ đồ thị Q-Q (Quantile-Quantile) đồ thị gồm điểm (x, y) x phân vị phân bố phân bố chuẩn, y phân vị phân bố phân bố mẫu xét Nếu X1 , , Xn mẫu phân bố chuẩn N (σ, µ) tập điểm Q-Q gần đường thẳng mặt phẳng (cụ thể xem [3]) Kiểm định hệ số tương quan chuỗi, hệ số nhọn hệ số bất đối xứng Người ta chứng minh mẫu ngẫu nhiên từ phân bố chuẩn độc lập đặc trưng hệ số tương quan chuỗi (một số tài liệu gọi hệ số tự tương quan, chi tiết xem [3]), hệ số nhọn hệ số bất đối xứng (cơng thức cụ thể tham khảo [4]) xấp xỉ Ở đây, sử dụng chương trình máy tính để tính đại lượng thực nghiệm Kiểm định Shapiro–Wilk Kiểm định Shapiro–Wilk kiểm định phân bố chuẩn công bố năm 1965 Samuel Sanford Shapiro Martin Wilk Kiểm định Shapiro–Wilk kiểm định xem mẫu ngẫu nhiên x0 , x1 , , xn có tạo từ phân bố chuẩn hay không Đại lượng kiểm định xác định sau [15]: W = ( n i=1 x(i) ) n i=1 (xi − x) đó, 65 3.4 THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ MƠ HÌNH • x(i) phần tử thứ i tập mẫu xếp theo thứ tự tăng dần, • x trung bình mẫu, • số = (a1 , a2 , , an ) = mT V −1 (mT V −1 V −1 m)1/2 với m = (m1 , m2 , , mn )T giá trị kỳ vọng mẫu xếp tăng dần biến ngẫu nhiên phân bố độc lập đồng theo phân bố chuẩn tắc N (0, 1), V ma trận hiệp phương sai mẫu xếp Người ta xây dựng đại lượng p − value p hàm đại lượng kiểm định W để đánh giá phù hợp giả thiết đưa dựa mức ý nghĩa α (cụ thể xem [13], sử dụng chương trình máy tính để tính đại lượng thực nghiệm) Thông thường p−value > 0.05 chấp nhận giả thiết kiểm định, tức chấp nhận phân bố xác suất sở phân bố chuẩn 3.4.3 Tiến hành thực nghiệm Sau đây, tiến hành thực nghiệm cho mô hình Black-Scholes định giá quyền chọn kiểu châu Âu hai loại chứng khốn trả cổ tức khơng trả cổ tức Các mơ hình thực nghiệm sử dụng ngơn ngữ lập trình python nguồn liệu lấy từ địa "https : //f inance.yahoo.com" Các bước thực nghiệm sau: • Bước 1: Xây dựng dãy biến ngẫu nhiên U từ liệu giá cổ phiếu theo (3.24) • Bước 2: Ước lượng tham số σ sử dụng cơng thức (3.31) • Bước 3: Kiểm định giả thiết phân bố chuẩn độc lập dãy biến ngẫu nhiên U 66 3.4 THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ MƠ HÌNH • Bước 4: Chạy mơ hình sử dụng cơng thức Black-Scholes định giá quyền chọn mua bán (công thức 3.19, 3.20, 3.22 3.23) với tham số cho tham số σ vừa ước lượng tương ứng với chứng khoán • Bước 5: Vẽ biểu đồ so sánh giá quyền chọn thực tế giá quyền chọn tính mơ hình Thực nghiệm 3.1 Chúng ta tiến hành thực nghiệm định giá quyền chọn mua bán mã chứng khoán VIX số biến động thị trường quyền chọn sàn giao dịch Chicago Cụ thể, sử dụng công thức Black-Scholes định giá quyền chọn mua bán (công thức 3.19 3.22) từ 24/9/2018 đến 2/10/2018 (khơng tính thứ bảy chủ nhật sàn giao dịch nghỉ) với giá thực 12$, đáo hạn ngày 3/10/2018 Ở đây, lấy lãi suất phi rủi ro r = 2.57% lợi suất trái phiếu phủ Mỹ kỳ hạn năm Dữ liệu sử dụng thực nghiệm liệu giá chứng khoán từ ngày 21/8/2018 đến 2/10/2018 sau: S = {12.04, 12.00, 12.12, 12.41, 12.89, 12.42, 12.20, 11.68, 11.80, 11.75, 12.79, 13.68, 12.07, 12.37, 13.14, 13.22, 14.16, 14.88, 14.65, 13.91, 13.16, 12.86, 13.53, 12.25, 12.50, 12.16, 11.99, 12.41, 12.25, 12.86} Ta tính σ = 0.946, hệ số nhọn = −0.582, hệ số bất đối xứng = 0.157, p− value (Shapiro–Wilk) = 0.504 thu đồ thị Q-Q hình (3.1), biểu đồ tương quan chuỗi hình (3.2) Qua đồ thị phân vị Q-Q mã chứng khốn VIX tựa tuyến tính, biểu đồ tương quan chuỗi tiêu chuẩn kiểm định hệ số nhọn, hệ số bất đối xứng kiểm định Shapiro–Wilk, ta chấp nhận giả thiết U dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân bố chuẩn Như vậy, mô hình xây dựng phù hợp Tiếp theo, ta chạy mơ hình định giá sử dụng cơng thức Black-Scholes thu kết hình (3.3) (3.4) Thực nghiệm 3.2 Chúng ta tiến hành thực nghiệm định giá quyền chọn mua 67 3.4 THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ MƠ HÌNH Hình 3.1: Phân vị Q-Q giá chứng khốn VIX Hình 3.2: Tương quan chuỗi giá chứng khoán VIX 68 3.4 THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ MƠ HÌNH Hình 3.3: Giá quyền chọn mua chứng khốn VIX đáo hạn ngày 3/10/2018 Hình 3.4: Giá quyền chọn bán chứng khoán VIX đáo hạn ngày 3/10/2018 69 3.4 THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ MƠ HÌNH bán mã chứng khoán SPY chứng khoán quỹ đầu tư Standard & Poor’s Depositary Receipts cho số S&P 500 Cụ thể, sử dụng công thức Black-Scholes định giá quyền chọn mua bán (công thức 3.20 3.23) từ 24/9/2018 đến 2/10/2018 (khơng tính thứ bảy chủ nhật sàn giao dịch nghỉ) với giá thực 289$, đáo hạn ngày 3/10/2018 Chúng ta lấy lãi suất phi rủi ro r = 2.57% lợi suất trái phiếu phủ Mỹ kỳ hạn năm Bên cạnh đó, chứng khoán chia cổ tức với tỷ lệ 1.7%/năm Dữ liệu sử dụng thực nghiệm liệu giá chứng khoán từ ngày 21/8/2018 đến 2/10/2018 sau: S = {291.56, 291.73, 290.72, 290.69, 289.88, 290.75, 291.02, 291.99, 293.58, 291.22, 290.91, 289.34, 290.88, 290.83, 289.12, 289.05, 288.10, 287.60, 288.16, 289.03, 289.81, 290.31, 290.30, 291.48, 289.92, 289.78, 287.51, 285.79, 286.17, 286.34} Ta tính σ = 0.072, hệ số nhọn = −0.399, hệ số bất đối xứng = −0.742, p− value (Shapiro–Wilk) = 0.253 thu đồ thị Q-Q hình (3.5), biểu đồ tương quan chuỗi hình (3.6) Hình 3.5: Phân vị Q-Q giá chứng khoán SPY Qua đồ thị phân vị Q-Q mã chứng khốn SPY tựa tuyến tính, biểu đồ 70 3.4 THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ MƠ HÌNH Hình 3.6: Tương quan chuỗi giá chứng khoán SPY tương quan chuỗi tiêu chuẩn kiểm định hệ số nhọn, hệ số bất đối xứng kiểm định Shapiro–Wilk, ta chấp nhận giả thiết U dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân bố chuẩn Như vậy, mơ hình xây dựng phù hợp Tiếp theo, ta chạy mơ hình định giá sử dụng cơng thức Black-Scholes thu kết hình (3.7) (3.8) 3.4.4 Đánh giá Từ kết thực nghiệm thấy rằng, ban đầu, đa số giá quyền chọn tính mơ hình (đường nét đứt) lệch nhiều so với thực tế (đường nét liền) Nhưng sau, thời điểm gần thời điểm đáo hạn hợp đồng, giá quyền chọn tính mơ hình có xu hướng tiến lại gần hội tụ với giá quyền chọn thực tế Việc giá quyền chọn mơ hình khơng xác sai lệch so với thực tế tất yếu Mơ hình sử dụng thơ đời từ lâu nên khó đáp ứng biến đổi khơng ngừng giá chứng khoán thị trường ngày Hơn nữa, thị trường quyền chọn đa số quyền 71 3.4 THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ MƠ HÌNH Hình 3.7: Giá quyền chọn mua chứng khốn SPY đáo hạn ngày 3/10/2018 Hình 3.8: Giá quyền chọn bán chứng khoán SPY đáo hạn ngày 3/10/2018 72 3.4 THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ MƠ HÌNH chọn kiểu Mỹ, có quyền chọn thực theo kiểu châu Âu Mặc dù, thực nghiệm thực việc định giá việc coi ngày định giá (là ngày tại) thời điểm ban đầu khơng tránh khỏi sai lệch mơ hình Black-Scholes chủ yếu để định giá quyền chọn kiểu châu Âu Vậy cách khắc phục nhược điểm mơ hình để phù hợp với thị trường Ở đây, có hai cách mà thực tế nhà phân tích định lượng tài sử dụng phổ biến để khắc phục sai lệch mơ hình Cách thứ sử dụng hệ số biến động kéo theo (implied volatility) cách ước lượng khác cho tham số σ Ước lượng dùng sử dụng liệu khứ, hệ số biến động kéo theo ước lượng cách dựa giá quyền chọn thị trường thay ngược vào mơ hình để tính hệ số biến động sử dụng hệ số để định giá cho lần Để thấy rõ hơn, xem hình (3.9) (3.10) tham số σ thay hệ số biến động kéo theo (lấy từ địa trang web trên) định giá quyền chọn mua mã chứng khoán VIX thực nghiệm 3.1 mã chứng khoán SPY thực nghiệm 3.2 Cách thứ hai thêm cách yếu tố thích nghi vào mơ hình để điều chỉnh sai số cho phù hợp với thực tế điều chỉnh hàm lỗi, điều chỉnh tham số mơ hình, Cách đơn giản mà dễ dàng sử dụng thêm bớt giá trị định tham số độ lệch σ mơ hình gần sát với thực tế Hình (3.11) (3.12) thể giá quyền chọn bán mã chứng khoán VIX thực nghiệm 3.1 điều chỉnh tham số σ mơ hình giảm 0.3 mã chứng khoán SPY thực nghiệm 3.2 điều chỉnh tham số σ mơ hình tăng thêm 0.05 73 3.4 THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ MƠ HÌNH Hình 3.9: Giá quyền chọn mua chứng khốn VIX đáo hạn ngày 3/10/2018 tham số σ thay hệ số biến động kéo theo Hình 3.10: Giá quyền chọn mua chứng khoán SPY đáo hạn ngày 3/10/2018 tham số σ thay hệ số biến động kéo theo 74 3.4 THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ MƠ HÌNH Hình 3.11: Giá quyền chọn bán chứng khoán VIX đáo hạn ngày 3/10/2018 điều chỉnh tham số σ mơ hình giảm 0.3 Hình 3.12: Giá quyền chọn bán chứng khốn SPY đáo hạn ngày 3/10/2018 điều chỉnh tham số σ mơ hình tăng thêm 0.05 75 Kết luận Trên tác giả trình bày khái niệm tài nguyên lý phi lợi nguyên lý quan trọng Toán tài Tiếp theo tác giả trình bày sở lý thuyết chủ đề giải tích ngẫu nhiên q trình trình ngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên đóng vai trị sở tốn học cho Tốn tài nói chung mơ hình Black-Scholes nói riêng Phần cuối, phần luận văn, tác giả giới thiệu mơ hình Black-Scholes qua phương trình Black-Scholes xây dựng công thức định giá quyền chọn Tác giả tiến hành thực nghiệm để đánh giá hiệu mơ hình liệu thực tế Mặc dù mơ hình Black-Scholes đời từ lâu chưa có độ xác cao mơ hình sau mơ hình đóng vai trị tảng Tốn tài sở cho nhiều cải tiến nhiều mơ hình sau để phù hợp với thị trường tài ngày Để khắc phục nhược điểm mơ hình, cần thiết phải thêm vào mơ hình yếu tố thích nghi để mơ hình định giá sát với thực tế Việc thêm yếu tố thích nghi vào mơ hình cho hiệu hướng nghiên cứu tác giả muốn tiếp tục phát triển sau luận văn Tác giả mong muốn, sau luận văn tiếp tục nghiên cứu cải tiến mơ hình Black-Scholes việc kết hợp với phương pháp kỹ thuật học máy để định giá hiệu quyền chọn kiểu Mỹ đặc biệt sử dụng mơ hình Black-Scholes định giá quyền chọn thị trường chứng khoán phái 76 3.4 THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ MƠ HÌNH sinh Việt Nam tương lai Vì thời gian kiến thức có hạn nên tác giả khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý từ thầy bạn có chun mơn lĩnh vực nghiên cứu để tác giả ngày hồn thiện 77 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tiến Dũng Đỗ Đức Thái (2014), Nhập mơn Tốn tài chính, Sputnik Education [2] Trần Thị Thái Hà (2005), Đầu tư tài chính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Văn Hữu Nguyễn Hữu Dư (2003), Phân tích thống kê dự báo, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Tống Đình Quỳ (2007), Giáo trình Xác suất thống kê, NXB Bách khoa Hà Nội [5] Trần Hùng Thao (2009), Nhập mơn Tốn học tài chính, NXB Khoa học Kỹ thuật [6] Trần Hùng Thao (2000), Tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên, NXB Khoa học Kỹ thuật [7] Vũ Đức Thắng (2014), Giải tích ngẫu nhiên ứng dụng thị trường tài chính, Luận văn Thạc sĩ Tốn học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội [8] Đặng Hùng Thắng (2012), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [9] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mơ hình xác suất ứng dụng, Phần III: Giải tích ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO [10] Nguyễn Duy Tiến Vũ Viết Yên (2001), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục [11] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [12] John C Hull (2017), Options, Futures and Other Derivatives, Pearson [13] Gerhard Bohm, Gă unter Zech (2010), Introduction to Statistics and Data Analysis for Physicists, Verlag Deutsches Elektronen-Synchrotron [14] Marek Capinski and Tomasz Zastawniak (2003), Mathematics for Finance: An Introduction to Financial Engineering, Springer [15] Nornadiah Mohd Razali & Yap Bee Wah (2011), "Power comparisons of Shapiro–Wilk, Kolmogorov–Smirnov, Lilliefors and Anderson–Darling tests", Journal of Statistical Modeling and Analytics, (1): 21–33 [16] Paul Wilmott (1998), Derivatives: The theory and practice of financial engineering, John Wiley & Sons Ltd 79 ... Mơ hình Black- Scholes định giá chứng khốn phái sinh 56 3.1 Giới thiệu mơ hình Black- Scholes 56 3.2 Phương trình Black- Scholes 58 3.3 Công thức Black- Scholes. .. loại trừ chênh lệch mơ hình tốn học đủ gần với thực tế trở thành giả định quan trọng hiệu 18 1.7 CHỨNG KHOÁN PHÁI SINH 1.7 Chứng khoán phái sinh Chứng khoán (Securities) chứng ghi nhận quyền lợi... Tác giả mong muốn ngày gần ứng dụng mơ hình Black- Scholes thị trường Việt Nam Trên lý tác giả chọn đề tài “Mơ hình Black- Scholes định giá chứng khoán phái sinh? ?? cho luận văn tốt nghiệp thạc sĩ