Gọi H là trực tâm của tam giác MAB; P, Q lần lượt là các giao diểm thứ hai của các đường thẳng AH, BH với đường tròn (O)?. S là giao điểm của hai đường thẳng PB và QA?[r]
(1)ĐỀ I
(Thời gian làm 120 phút)
Bài (1,5 điểm)
Cho biểu thức P =
1 2( 1)
:
1
x x x x x x
x
x x x x
với x > x1
a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P <
c/ Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên
Bài (1,5 điểm).
Cho hàm số bậc y = (m - 2)x + m + a/ Tìm điều kiện m để hàm số nghịch biến
b/ Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ
c/ Tìm m để đồ thị hàm số đường thẳng y = -x + ; y = 2x - đồng quy
Bài (1,5 điểm).
Một ca nơ xi dịng 42km ngược dòng trở lại 20km tổng cộng Tìm vận tốc ca nơ nước n lặng biết vận tốc dòng nước 2km/h
Bài (2,0 diiểm).
Cho phương trình bậc hai ẩn số x:
x2 - 2(m + 1)x + m - = (1).
a/ Giải phương trình (1) m = -5
b/ Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với
giá trị m
c/ Tìm GTNN biểu thức M = x1 x2
Gợi ý:Tìm GTNN (x1 - x2)2 suy GTNN M (minM =
1 19
2
x
) Bài (3,5 điểm).
Cho đường trịn (O; R) có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng OA lấy điểm P khác O A Tia CP cắt đương tròn (O) điểm thứ hai Q Đường thẳng vng góc với AB P cắt tiếp tuyến Q đường tròn (O) M
a/ Chứng minh tứ giác OPQM nội tiếp
b/ Chứng minh OM tia phân giác góc DOQ c/ Chứng minh hệ thức CP.CQ = 2R2.
d/ Xác định vị trí P đoạn OA cho CP + CQ =
13
R
Gợi ý câu d/: Áp dụng định lí Vi-et để từ CP.CQ = 2R2 CP + CQ =
13
R tính độ dài đoạn CP => tính độ dài OP => vị trí P.
(2)-HẾT -ĐỀ II
(Thời gian làm 120 phút)
Bài (2,5 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: A = 45 20 B =
2
m n
n m n
C =
1 1
:
1
x x
x x
( với x 0;x1) b) Chứng minh C <
Bài (1,5 điểm)
Cho Parabol (P): y = ax2 (a0) điểm A(2;8)
a) Tìm a biết Parabol (P) qua A
b) Tìm điều kiện a để Parabol (P): y = ax2 cắt đường thẳng (d):
y = x + hai điểm phân biệt
Bài (2,0 điểm)
Giải toán cách lập phương trình
Một nhóm học sinh phân cơng chuyển 105 bó sách thư viện trường Đến buổi lao động có hai học sinh bị ốm khơng tham gia được, học sinh phải chuyển thêm bó hết số sách cần chuyển Hỏi lúc đầu nhóm có học sinh? Biết số bó sách học sinh chuyển
Bài (2,0 điểm)
Với x, y khơng âm, tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x xy3y x2009,5
Gợi ý:Biến đổi P =
2
( 1) 2( ) 2008
2
y x y
=> minP = 2008
9 4
x y
Bài (3,5 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, điểm M thuộc cung AB(M ≠ A; M ≠ B), điểm C thuộc đoạn OA Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm M kẻ tiếp tuyến Ax; By đường tròn tâm (O) Đường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax , By D E AM cắt CD P, BM cắt CE Q
a) Chứng minh: Tứ giác ADMC; BEMC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh DAM + EBM = 90 0và DC CE
c) Chứng minh PQ // AB
(3)-HẾT -ĐỀ III
(Thời gian làm 120 phút) Bài (1,5 điểm)
Cho biểu thức P = √16x+16 - √9x+9 + √4x+4 + √x+1 với x
−1
a/ Rút gọn biểu thức P
b/ Tìm x cho P có giá trị
Bài (1,5 điểm) Cho hàm số y = ax + b
a/ Tìm a, b biết đồ thị hàm số qua điểm (2; -1) cắt trục tung điểm có tung độ -3
b/ Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm
c/ Tính góc tạo đường thẳng với trục Ox
Bài (1,5 điểm).
Cho biểu thức Q = ( √a
√a+1−
1
a −√a):(
1 √a+1+
2
a −1) (a>0; a )
a/ Rút gọn Q
b/ Tính giá trị Q a = + √2
c/ Tìm giá trị Q cho Q <
Bài (2,0 điểm). Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x2 - 2mx - m2 - = (1)
a/ Chứng minh phương trình (1) ln ln có hai nghiệm phân biệt vơi giá trị m
b/ Hãy tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1, x2 phương trình mà
khơng phụ thuộc vào m
c/ Tìm m thỏa mãn hệ thức x1
x2
+x2
x1
=−5
2 Bài (3,5 điểm).
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax, By E F
a/ Chứng minh tứ giác AENO nội tiếp
b/ Gọi giao điểm AM OE, BM OF P Q Tứ giác MPOQ hình gì? Tại sao?
c/ Kẻ MH vng góc với AB (H thuộc AB) Gọi K giao điểm MH EB So sánh MK với KH
d/ Cho AB = 2R gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác EOF Hãy chứng minh: 13 < Rr < 12
Gợi ý câu d/:
* Cách 1: Đặt EF = m, OE = n, OF = p ta có r(m + n + p) = mR (= 2SFOE) =>
r m m r m
(4)* Cách 2: Vẽ đường phân giác OD tam giác OEF, IK vng góc với EF, EN vng góc với OD Do EN < ED < EO sin450 =
2
2 => ED < EO < 2ED => ID
< IO < 2ID =>
ID r ID
ID ID RID ID đpcm.
-HẾT -ĐỀ IV
(Thời gian làm 120 phút)
Bài (1,5 điểm)
Cho biểu thức A = √9x −27+√x −3−1
2√4x −12 với x >
a/ Rút gọn biểu thức A
b/ Tìm x cho A có giá trị
Bài (1,5 điểm)
Cho hàm số y = ax + b
Tìm a, b biết đồ thị hàm số qua điểm (2, -1) cắt trục hoành điểm có hồnh độ 32
Bài (1,5 điểm).
Rút gọn biểu thức: P = (
√a−1− √a):(
√a+1
√a −2− √a+2
√a −1) với a > 0, a 1, a≠4 Bài (2 điểm).
Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x2 - 2(m + 1)x + m - = (1)
a/ Chứng minh phương trình (1) ln ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m
b/ Gọi x1, x2 hai nghiệm phân biệt phương trình (1)
Tìm m để 3( x1 + x2 ) = 5x1x2 Bài (3,5 điểm).
Cho tam giác ABC có góc A 600, góc B, C nhọn vẽ đường cao
BD CE tam giác ABC Gọi H giao điểm BD CE a/ Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp
b/ Chứng minh tam giác AED đồng dạng với tam giác ACB c/ Tính tỉ số DEBC
d/ Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh OA vng góc với DE
Gợi ý câu d/:Kẻ Ax vng góc với OA C/m Ax song song với ED suy đpcm.
(5)(Thời gian làm 120 phút)
Bài (1,5 điểm).
Cho biểu thức P = (
a −√a+
1
❑
√a −1):
√a+1
a −2√a+1 (a > 0, a ) a/ Rút gọn biểu thức P
b/ Tính giá trị P a = - √5 Bài ( 1,5 điểm).
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) qua hai điểm (2; 3) (-1; -3) Parabol (P) có phương trình y = mx2 (m 0 ).
a/ Viết phương trình đường thẳng (d)
b/ Tìm điều kiện m để (d) (P) căt hai điểm phân biệt
Bài (1,5 điểm)
Hai bạn An Tâm xe đạp khởi hành lúc từ A để đến B cách 25km Do vận tốc xe An nhỏ vận tốc xe Tâm 500m nên An đến B chậm Tâm phút Tính vận tốc trung bình xe bạn
Bài (2 điểm)
Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + 2m - = 0
a/ Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m
b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu Khi hai nghiệm mang dấu gì?
c/ Tìm GTLN biểu thức A = 4x1x2 - x12 - x22 Bài (3,5 điểm).
Cho đường tròn (O; R) đường thẳng d cắt đường tron hai điểm A, B (d không qua O) Từ điểm M thuộc đường thẳng d đường trịn kẻ tiếp tuyến MN, MP vơí đường tròn (N, P tiếp điểm)
a/ Chứng minh tứ giác ONMP nội tiếp Xác điịnh tâm I đường trịn ngoại tiếp tứ giác
b/ Gọi K trung điểm dây AB, chứng minh tam giác NIK cân c/ Cho MA.MB = R2(
√3+1¿ Tính độ dài đoạn OM theo R
Gợi ý câu c/:C/m MA.MB = MN2.
(6)
(Thời gian làm 120 phút) Bài (1,5 điểm).
Cho biểu thức P = (1+ √a
a+1):(
1 √a −1−
2√a
a√a+√a −a −1) (a > 0; a 1,a -1) a/ Rút gọn P
b/ Tính giá trị P a = 19 - √3
c/ Tìm giá trị a để P <
Bài ( 1,5 điểm).
Cho đường thẳng (d): y = 34x −3
a/ Vẽ (d)
b/ Tính diện tích tam giác tạo thành (d) hai trục toạ độ (Đơn vị trục toạ độ cm.)
c/ Tính khoảng cách từ O đến (d)
Bài (1,5 điểm).
Cho Phương trình bậc hai ẩn số x: x-2 - 4x - m2 - = (1)
a/ Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với gía trị m
b/ Tính giá trị biểu thức A = x12 + x22 biết 2x1 + 3x2 = 13, (x1, x2 hai nghiệm
của phương trình (1))
Bài (2 điểm).
Hai đội công nhân làm cơng việc xong Nêu đội làm để xong cơng việc đội thứ cần thời gian đội thứ hai Hỏi đội làm xong cơng việc bao lâu?
Bài (3,5 điểm).
Cho đường tròn (O; R) đương kính AB H trung điểm đoạn OB Trên đường thẳng (d) vng góc với OB H lấy điểm P ngồi đường trịn PA, PB cắt đường tròn (O) theo thứ tự C D Gọi Q giao điểm AD BC
a/ Chứng minh tứ giác BHQD nội tiếp b/ Chứng minh ba điểm P, Q, H thẳng hàng c/ Chứng minh DA tia phân giác góc CDH
d/ Cho diện tích tam giác ABC hai lần diện tích tam giác AQB Tính độ dài đoạn HP theo R
Gợi ý câu d/: Kẻ CK vng góc với AB Từ GT suy CK = 2QH => BK = 2BH => K O => PH = AH =
3 2R.
(7)
(Thời gian làm 120 phút) Bài (1,5 điểm).
Trong hệ trục toạ độ vng góc Oxy cho Parabol (P): y = 2x2.
a/ Hãy vẽ (P)
b/ Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) cắt (P) hai điểm có hồnh độ -1
c/ Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng (d) (Đơn vị trục toạ độ cm.)
Bài (2,0 điểm)
Cho biểu thức P =
1
:
3 3
x x x
x
x x x
.
a/ Tìm điều kiện x để P có nghĩa b/ Rút gọn P
c/ Tìm giá trị x để P =
6 .
Bài (2,0 điểm).
Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x2 - (m - 1)x - m2 + m - = (1)
a/ Chứng minh phương trinh (1) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m
b/ Tim giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu c/ Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình (1) Tìm m để x13 + x23 > Bài ( 3,5 điểm).
Cho đường trịn (O; R) điểm A nằm ngồi đường trịn cho OA = 2R Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm)
a/ Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp
b/ Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn hai đoạn thẳng AB, AC cung nhỏ BC theo R
c/ Kẻ cát tuyến AMN đường tròn (O) (MN < 2R) Chứng minh AM.AN = AB2.
2 Cho AM + AN = R 15 Tính độ dài đoạn thẳng AM, AN theo R
* Gợi ý câu 2. Áp dụng định lí Vi-et để từ AM.AN = AB2(Tính AB2) AM
+ AN = R 15 tính AM, AN. Bài (1,0 điểm)
Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = Hãy tìm GTLN biểu thức P = x y
* Gợi ý: Do x y > nên tìm GTLN ( x y )2 suy GTLN P.
(8)-HẾT -ĐỀ VIII
(Thời gian làm 120 phút) Bài (1,5 điểm)
Cho biểu thức P =
2 3 2
:
3 3
x x x x
x
x x x
.
a/ Tìm điều kiện x để P có nghĩa b/ Rút gọn P
c/ Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên
Bài (2 điểm)
Cho phương trình: x2 - mx + m - = (m tham số).
a/ Chứng tỏ phương trình ln có hai nghiệm x1, x2 với giá trị m Tính
nghiệm kép (nếu có) phương trình
b/ Tìm m cho phương trình có nghiệm gấp hai lần nghiệm c/ Đặt A = x12 + x22 - 6x1x2
1 Tìm m để A =
2 Tìm giá trị nhỏ A
Bài (1,5 điểm)
Trong buổi lao động trồng cây, tổ học sinh gồm 13 bạn (cả nam nữ) trồng tất 80 Biết số bạn nam bạn nữ trồng bạn nam trồng nhiều bạn nữ Tính số học sinh nam số học sinh nữ tổ
Bài (1,0 điểm)
Cho Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = mx - m + 1.
a/ Chứng tỏ (P) (d) ln có điểm chung với giá trị m b/ Tìm toạ độ giao điểm (P) (d) cho m =
Bài (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường trịn đường kính AH cắt cạnh AC, AB D E
a/ Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật b/ Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp
c/ Đường thẳng qua A vng góc với DE cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC
d/ Chứng minh diện tích tam giác ABC hai lần diện tích hình chữ nhật ADHE tam giác ABC vng cân
Gợi ý câu d/: Từ GT => SAHE = SBHE => Tam giác AHB vng cân H =>
gócABC = 450.
(9)-HẾT -ĐỀ IX
(Thời gian làm 120 phút) Bài (2,0 điểm)
Cho biểu thức P =
1 2
:
1
1 1
x
x
x x x x x x
với x 0;x1.
a/ Rút gọn P
b/ Tìm giá trị ngun x để P có giá trị nguyên c/ Tìm GTNN P giá trị tương ứng x
Bài (1,5 điểm)
Cho hệ phương trình với tham số m:
( 1) ( 2)
x m y
m x y
(I)
a/ Giải hệ phương trình (I) với m =
b/ Với giá trị m hai đường thẳng xác định hai phương trình hệ (I) cắt tai điểm
Bài (1,5 điểm)
Cho phương trình bậc hai ẩn số x:
x2 - 2mx + 2m - = 0.
a/ Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m
b/ Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm dương
c/ Goi hai nghiệm phương trình x1; x2, tìm giá trị m để:
x12(1 - x22) + x22(1 - x12) = -8 Bài (1,5 diểm)
Một ca nơ xi dịng từ bến A đến bến B cách 24km Cùng lúc từ A khúc gỗ trơi với vận tốc dịng nước 4km/h Khi đến B ca nô quay trở lại gặp khúc gỗ điểm cách A 8km Tính vận tốc ca nô nước yên lặng
Bài (3,5 điểm)
Cho đường trịn (O, R) có dây AB = R 2 cố định điểm M di động cung
lớn AB cho tam giác MAB có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB; P, Q giao diểm thứ hai đường thẳng AH, BH với đường tròn (O) S giao điểm hai đường thẳng PB QA
a/ Chứng minh PQ đường kính đường trịn (O) b/ Tứ giác AMBS hình ? Tại sao?
c/ Chứng minh SH có độ dài khơng đổi
d/ Gọi I giao điểm đường thẳng SH PQ Chứng minh I chay đường tròn cố định M di động cung lớn AB
Gợi ý câu d/: Xét tứ giác nội tiếp AHIQ BHIP để suy gócAIQ = gócBIP = 450 => gócAIB = 900.
(10)-HẾT -ĐỀ X
(Thời gian làm 120 phút) Bài (2,0 điểm)
Cho biểu thức P =
2 2
:
1 2
x x
x x x x x
với x0;x1.
a/ Rút gọn P
b/ Tìm giá trị x để P > c/ Tính giá trị P x = -
d/ Tìm GTLN P giá trị tương ứng x
Bài (1,5 điểm)
Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x2 - 2(m + 1)x + 2m - 15 = (1)
a/ Giải phương trình (1) m =
b/ Với giá trị m phương trình (1) có nghiệm?
c/ Goi hai nghiệm phương (1) trình x1, x2 Tìm giá trị m thoả
mãn hệ thức: 5x1 + x2 = Bài (1,5 điểm)
Cho hàm số y = (2m - 1)x + m -
a/ Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm (2; 5)
b/ Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x = 1 .
c/ Chứng tỏ đồ thị hàm số qua điểm cố định với giá trị m
Bài (1,0 điểm)
Cho ba số thực x, y, z thoả mãn hệ thức:
x4 - 2y2 + = y4 - 2z2 + = z4 - 2x + = 0.
Tính giá trị biểu thức M = x2009 + y2009 + z2009.
Gợi ý: Cộng vế ba đẳng thức x4 - 2y2 + = 0, y4 - 2z2 + = 0, z4 - 2x + = 0.
để suy x2 - = y2 - = z2 - = => M 1; 3
Bài (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân A Một cung tròn BC nằm bên tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC cho tâm cung BC điểm A nằm hai phía BC Trên cung BC lấy điểm M kẻ đường vng góc MI, MH, MK đến cạnh tương ứng BC, CA, AB Gọi giao điểm BM, IK P, giao điểm CM, IH Q Chứng minh:
a/ Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp b/ MI2 = MH.MK.
c/ PQ vng góc với MI d/ Nếu KI = KB IH = IC
Gợi ý câu c/: C/m gócBMI = gócHIC gócCMI = gócKIB để suy tứ giác IPMQ nội tiếp suy đpcm.
(11)-HẾT -ĐỀ XI
(Thời gian làm 120 phút) Bài
Cho Biểu thức P =
2
4( 1) 1
1 4( 1)
x x x x
x
x x
a/ Tìm ĐKXĐ P b/ Rút gọn P
Bài 2.
Cho Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d) qua điểm (1; 2) có hệ số góc
m 0
a/ Chứng minh (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A, B b/ Với giá trị m A B nằm hai phía trục tung?
Bài 3.
Trong tháng thứ hai tổ công nhân sản xuất 800 sản phẩm Tháng thứ hai tổ I sản xuất vượt 15%, tổ II vượt 20% so với tháng thứ nên hai tổ sản xuất 945 sản phẩm Tính xem tháng thứ tổ sản xuất sản phẩm?
Bài 4.
Cho đường tròn (O) đường kính AB D điểm cung AB Trên cung nhỏ BD lấy điểm M cho 00 < sđBM 900 Gọi H, I điểm chính
giữa cung AM, BM Hai dây BD HI cắt E a/ Chứng minh tứ giác ABEK nội tiếp
b/ Vẽ IP vng góc với AM (P AM) Chứng minh PI tiếp tuyến
đường tròn (O)
c/ Vẽ đường kính IR đường trịn (O) cắt BM Q Chứng minh APQR hình bình hành
d/ Cho biết PM.PA = 2,25cm đường kính đường trịn (O) 5cm Tính diện tích hình bình hành APQR
Gợi ý câu d/: Chứng minh PM.PA = PI2 =
4
BM
Đặt PM = x > 0, giải phương trình x2 + 4x - 2,25 = suy độ dài PA.
Bài 5
Cho a, b số dương Chứng minh:
2 2
2
a b
a b a b b a
Gợi ý: Xét
2
1
a 0;
2 b a b ab
Nhân vế hai bất đẳng thức
trên suy đpcm.
(12)-HẾT -ĐỀ XII
(Thời gian làm 120 phút) Bài 1.
Cho biểu thức P =
2
5
x x x
x x x x
với x9;x4;x0. a/ Rút gọn P
b/ Tìm x để P =
c/ Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên dương
Bài 2.
Giải hệ phương trình:
1
3 12
y x
y x
Bài 3.
Tìm tất giá trị x để biểu thức Q =
4
4
1
1
x x
x x
có giá trị số tự nhiên
Kết quả: x Z x{ n/ nN n khơng phương } Bài 4.
Cho phương trình x2 - 4 3x8 = Khơng giải phương trình tính giá trị
của biểu thức M =
2
1 2
3
1 2
6 10
5
x x x x
x x x x
(x
1, x2 hai nghiệm phương trình) Bài 5.
Cho đường tròn (O, R) hai tiếp tuyến AB, AC đường tròn (B, C tiếp điểm) N điểm cung lớn BC AN cắt đường tròn (O) M Gọi E trung điểm dây MN Kẻ dây BI song song với MN
a/ Chứng minh điểm A, B, C, O, E nằm đường tròn b/ Chứng minh BIC AOC.
c/ Chứng minh điểm C, E, I thẳng hàng
d/ Giả sử BAC600 điểm N trùng với điểm C Hãy tính diện tích tam giác
AIN theo R
Gợi ý câu d/: Xét hình thang ABIN chứng minh diện tích tam giác AIN bằng diện tích tam giác ABC.