Bài tập mũ, lôgarit, PT mũ, PT Lôgarit

[r]

CHUYÊN ĐỀ 1: LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ , HÀM SỐ LOGARIT A/ LÝ THUYẾT

Lũy thừa thừa với số mũ nguyên

Định nghĩa: an = a a an thuaso , a

 R, n  N*

Khi a  ta có a0 = , a-n =

1

n

a , a-1 =

1

a

Tính chất: với a,b  , m,n Z ta có:

; ( )

; ( )

m n m n n n n

n

m n

m n

n n

n m mn

a a a a b ab

a a a

a

a b b

a a





 

 

  

 

 Căn bậc n:

 m

n m n

a  a ; m na m n a;   ;

m n m n a a



   

; n ;

n n n n

n

a a

a b a b

b b



n n n

n

a n chan a

a n le

    

Tínhchất :

+ a > 1: m > n  am > an

+ < a < : m > n  am < an

+ < a < b * ax < bx x > ;

* ax > bx x <

HÀM SỐ LOGARIT:

1 Đ/n : y = logax ( <a 1) TXĐ: R*+ ;

TGT: R

logax = y  ay = x

Nếu : a > HS: đồng biến R*+ ;

Nếu: < a < HS nghịch biến R*+

Công thức logarit : < a   loga1 = 0; logaa = 1;

 log ;

x

aa  x alogax x ( x > 0)

1 2

log ( ) loga x x  ax loga x , ( x

1,x2 > )

1

2

loga x loga x loga x

x   , (x

1,x2 > )

log n log

a x n ax (x > 0)

log log

loga

b

a x x

b

 

(x,b > ) log logab b xlogax

1 log

log

a

b b

a



a

1

loga x log x

 

Giải pt mũ :

Đưa dạng :

* ax = ab

 x=b đk: < a 

* ax = c (*)

 Nếu c  (*) vô nghiêm

 Nếu c > ax = c  x=log ca

Đưa số :

( ) ( )

( ) ( )

0

f x g x

a a f x g x

a

 

 



 



 Đặt ẩn phụ : t= ax ( đk t > 0) đưa pt đại số

với ẩn t

 Dùng PP: Logarit hóa vế theo số a

 Đóan nghiệm CM nghiệm

 Bằng phương pháp đồ thị

Giải pt Logarit

Đưa dạng :

* logax = logab  x = b đk (0 < a  , b> 0)

* logax = c  x= logac đk (0 < a  )

Đưa số dạng :

log ( ) log ( ) a f x  ag x Đk: g(x)  ; <a  1

Gpt: f(x)=g(x)

 Đặt t = logax đưa pt đại số với ẩn t

 Đốn nghiệm CM nghiệm

 Bằng phương pháp đồ thị

Bất pt mũ : Bất pt Logarit :

- Biến đổi đưa

Dạng 1: af(x) >ag(x) (*) (0<a 1)

+ Nếu a>1 (*)  f(x) > g(x)

+ Nếu 0<a<1 (*)  f(x) < g(x) Dạng 2: af(x) >c (0<a

1)

+ Nếu a>1 (*)  f(x) > logac

+ Nếu 0<a<1 (*)  f(x) < logac

-Có thể đặt ẩn phụ

-Biến đổi đưa

Dạng 1 :logaf(x) >logag(x) (*) (0<a 1)

+ Nếu a>1 (*) f(x) > g(x)

+ Nếu 0<a<1 (*) f(x) > g(x) Dạng 2 : logaf(x) > c (*) (0<a 1)

+ Nếu a>1 (*) f(x) > ac

+ Nếu 0<a<1 (*) f(x) < ac

B/ BÀI TẬP ÁP DỤNG:

I LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ:

1.Rút gọn biểu thức sau:

a) b)

c) ( )– 10.27 – 3 + (0,2)– 4.25– 2

d) e) –

f)(x.a–1 – a.x –1) –

2.Tính biểu thức sau: a)

√2.√32√2 :√2 b) √34 √32.√8 c) √a√a√a√a:a1116 d)

√a.√a3. √a:a

1

2 e) √4 x2.√3x.√5 x

f)

√b a

3

√ab g)

63+√5

22+√5 31+√5

g)

√3−√2¿

1

√3+√2¿

1

+√√3−√2 (¿)

¿ ¿

√√3+√2−(¿)¿ ¿

h) 43+√2.21−√2.2−4−√2 l)

(251+√2−52√2).5−1−2√2

3.Cho hai số a ,b > 0.Tính biểu thức sau: a) 2a−

3

+3a

3

¿2

¿ b) (a−1

5+a 5)(a−

2 5+a

4 5)(a

2 5− a−

1 5) c) (√a −√4a+1)(√a+4√a+1)(a−√a+1)

d) a12

+a

−1

2

+(1− a)(1−a

−1

2

)

1+√a e) a

4 (a −1 +a ) a (a +a −1 )

f) a

√b+b

1

√a

√a+√6b g) (3

√a+√3b)(a

2

+b

2 3−3

√ab)

h) (a

1

+b

1

):(2+√3 a

b+

√ba) i)

a+b¿−1 [a4+a3b+ab3+a4

a2

+2 ab+b2 (a+b)+

3b(a2− b2)

a−1

(a − b) ]

−1

3

:¿ 4.Rút gọn biểu thức sau:

a)A = (413−1013

+25 )(2 +5 )

b) B = x.y

2− y.x12 x

1 2− y

1

c) C = (a 4− b34

)(a +b ) a 2− b

1

−√ab

d) D =

ax¿ x 2−a x 2−a

+¿.[x

1 2− a

1 x − a ]

2

¿

e) E = [ a − b a

3

+a

1 2.b

1

−a 2− b

1 a +b ]

:(a

1 4− b

1

)

f) F = [ 4a−9a

−1

2a 2−3a−

1

+a −4+3a

−1

a 2− a−

1 ]

2

g)G = a − a

−2

a 2− a−

1 − a

− 1−a

−2

a 2+a−

1 h) :

5.Cho biết 9x + 9– x = 23 ,hãy tính 3x + 3– x

6.Cho f(x) = Chứng minh a + b = f(a) + f(b) = 1

II HÀM SỐ LÔGARIT:

log243

√16 ; log1

273

√3 ; log

√28

5

√32 ; loga

3

√a√a ; log3(log28) ;

2log83 ; 49log72 ; 253 log510 ; 642 log27 ; 42+log23 ;

103 log108 ; ( 0,25¿3 log25

¿ 2 Chứng minh (

1

√3)

log35

=

√5 a

log√ab

=b2 3.Rút gọn biểu thức sau:

a) log√63 log336 b) log√38 log481 c)

log2√1

5 log25

3 √2

d) f) log1

3

6−1

2log1

400+3 log1

3 √45

4.Cho log23 = a ; log25 = b.Tính số sau: log2,log2 √3135 , log2180, log3, log1524, log√1030 5 a)Cho log53 = a, tính log2515 b) Cho log96 = a , tính log1832

6.Cho log2 = a , log27 = b,tính log56

7.Cho log615 = a ,log1218 = b , tính log2524

8.Cho log257 = a ,log25 = b tính

95

49 log

8

9 Chứng minh rằng log186 + log26 = 2log186.log26

10.Cho a2 + b2 = 7ab a > 0, b > 0,chứng minh : log

7() = ( log7 a + log7b )

11.Cho a2 + 4b2 = 12ab a > 0, b > 0,chứng minh rằng: log(a + 2b) – 2log2 = ( loga + logb )

12.Cho x2 + 4y2 = 12xy x > 0,y > 0, Chứng minh log

3(x + 2y) – 2log32 = (log2x + log2y).

13.Cho log1218 = a , log2454 = b ,chứng minh ab + 5(a – b) = 1

14.So sánh cặp số sau: a) log43 log56 b) log1

2

5 log1

5

3 c) log

54 log45 d) log231

log527

e) log59 log311 f) log710 log512

15.Tìm miền xác định hàm số sau: a)y = log6 b) y = c) y =

III Đạo hàm hàm luỹ thừa – hàm số mũ – hàm số lơgarit: Tính đạo hàm hàm số sau:

1 y = (5x2 – 4)ln3x

2 y = x41 lnx6

3 y = (x + 2) ln

1

x

4 y =

4

ln(x 1)

x 

5 y = 5e3x

6 y = 3ln 24 x 7 y = 5sin2x 8 y = ecos 54 x

9 y =

5 log (c otx) 10 y = x2 e4x1

11 y = (x2 + 2)e2x

12 y = xlnx - xln5

13 y =

2xlnx – xln2 14 y = (x2 – 2x + 2)ex

15 y = (sinx – cosx) e2x

16 y = 2x - ex

17 y = (3x + 1) e

IV PHƯƠNG TRÌNH MUÕ:

1 3x2

−6x+8

=1

2 33x – = 9x + 2

3

0,25

√2 ¿

− x

0,125 42x −8

=¿

4. 3 2 2x x



16 9x + 6x = 2.4x

17 22x-3 - 3.2x-2 + =

18 22x+1−2x+3−64

=0

19.

4x2−3x+2

+4x

2

+6x+5

=42x

2

+3x+7

+1

30 2x  3x 1

31 3x+1 + 3x-2 - 3x-3 + 3x-4 = 750

32 25x-2 + (3x - 10)5x-2 + - x

=

5 4x = 82x – 1

6 34 – 2x = 95 3 x x

7 5x

x −1

x

=500

8 54x6

= 252x – 4

9 33x4

= 92x – 2

10 2x24 3x2

11 8

x

x = 36 32 –x

12 5x 22 11

x x



 = 50

13 3x 8

x x = 36

14 3x-1

2x = 4x - 2

15 52x-1+5x+1 - 250 =

20 (13)2x+3

(13)

1

x+1 = 12.

21 4x12x12x212

22 9sin2

x

+9cos

2

x

=10

23 (√2−√3)x+(√2+√3)x=4

24.

(2+√3)x+(7+4√3) (2−√3)x=4(2+√3)

25 9x+2 (x −2)3x+2x −5=0

26 3x+1 - 5x+2 = 3x+4 - 5x+3

27 4x - 13.6x + 6.9x =

28 76-x = x + 2

29 (√2−√3)x+(√2+√3)x=4

3x +11

34 3x+3x+1+3x+2=5x+5x+1+5x+2

35 2x+2x-1+2x-2=7x+7x-1+7x-2

36

5 2¿

4x −2

2 5¿

2x −4

=¿ ¿

37 34√x−4 32√x

+3=0

38 32x

100x=2 0,3

x

+3

39 √2x.√3x=36

40

2√2¿x

√4+√15¿x=¿

√4−√15¿x+¿ ¿

41

√5¿x √3+√2¿x=¿ √3−√2¿x+¿

¿

42. 5+√21¿

x

=2x+3 5−√21¿x+7¿

¿

V PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT: log x5 log x 65   log x 25  

2 log x5 log x25 log0,2

3 logx2x2 5x42

4

2 x

lg(x 2x 3) lg

x



   



5

1

.lg(5x 4) lg x lg 0,18

2     

6

1

1 4 lg x2lg x 7.log x2  10 log x2 60 8 log3xlog 3x 

9 1/ log3xlog 3x 

10/ log22x 3.log2x 2

11/ x.log log 35  5 x2log 35 x1 4

12/ log3x2 x 5 log 23 x5

13/ 3log23x xlog3x 6

14/ log22x 3.log2x2 log 2x2

15/ log2x.log3x x log3x 3 log2x3log3x x 16/ 3.log3x2 2.log2x1

18 22x-3 - 3.2x-2 + =

19 22x+1−2x+3−64

=0

20 (13)2x+3

(13)

1

x+1 = 12.

21 4x1 2x1 2x2 12

  

22 9sin2x+9cos

2

x

=10

23 (√2−√3)x+(√2+√3)x=4

24 (2+√3)x+(7+4√3) (2−√3)x=4(2+√3)

25 9x

+2 (x −2)3x

+2x −5=0

26 3x+1 - 5x+2 = 3x+4 - 5x+3

27 4x - 13.6x + 6.9x =

28/    

2

2

log 4x  log 2x 5

16/ 3 27  27 

1

log log x log log x  29/ log3x2 log  3x