Ôn tập Chương I. Khối đa diện

cho hình thang cân ABCD có hai đườ ng chéo vuông góc v ớ i nhau và AD = 3BC... Cho hình bình hành ABCD.[r]

A

H

HUUỲỲNNH H VVĂĂN N LLƯƯỢỢNGNG 0

0991188..885599..330055 –– 0011223344..444444..330055 –– 00999966..111133..330055 0

0996677..885599..330055 –– 00992299..110055..330055 –– 00666666..551133..330055 www.huynhvanluong.com



Các nội dung Quyển 4:

Hình cổ điển (thể tích-khoảng cách) Trang 2

Hình phẳng Oxy Trang 10

Tìm đọc trọn bộ gồm Quyển với nội dung:

Quyển 1: Hàm số - Số phức-Mũ logarit Quyển 2: Tích phân – Hình oxyz

Quyển 3: Lượng giác – Tổ hợp - Xác suất Quyển 4: Hình cổ điện – Hình Oxy

Quyển 5: Phương trình, bpt hệ pt đại số Quyển 6: 100 đề thi THPT Quốc gia

Chúc em đạt kết quả cao kỳ thi sắp tới Huỳnh Văn Lượng

(đồng hành hs suốt chặn đường THPT)

a' a

b P

MỘT SỐ TÍNH CHẤT

VỀ QUAN HỆ VNG GĨC

I Chứng minh hai đường thẳng vng góc Cách 1: ( )

( ) d P d a a P ⊥  ⇒ ⊥  ⊂ 

Cách 2: Áp dụng định lí ba đường vng góc: đường thẳng a khơng vng góc với mp(P), đường thẳng b nằm (P) a’ là hình chiếu của a lên (P) Khi đó: b⊥a⇔ ⊥b a'

Cách 3: / /( ) ( ) a P b a b P  ⇒ ⊥  ⊥ 

Cách 4: a b/ / d a d b  ⇒ ⊥  ⊥ 

II Chứng minh đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P)

Cách 1: Ta chứng minh d vng góc với hai đường thẳng a b cắt nằm mặt phẳng (P)

d a ,d b

a ,b mp(P) d mp(P) a,b caét nhau

 ⊥ ⊥  ⊂ ⇒ ⊥   

Cách 2: / / ( ) ( ) d a d P P a  ⇒ ⊥  ⊥ 

Cách 3: ( ) / /( ) ( ) ( ) P Q d P d Q  ⇒ ⊥  ⊥ 

Cách 4: Ta chứng minh d giao tuyến của hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (P): “Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến

của chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba”

 ∩ =  ⊥ ⇒ ⊥   ⊥ 

(Q) (R) d

(Q) (P) d (P)

(R) (P)

Cách 5:Áp dụng tính chất: “Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với bất cứ đường thẳng d nằm (P) vng góc với giao tuyến của (P) (Q) đều vng góc

với mặt phẳng (Q)”

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hình Oxy) www.huynhvanluong.com (P) (Q)

(P) (Q) d a (Q) a (P),a d

 ⊥ 

∩ = ⇒ ⊥

 

⊂ ⊥

 III Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Để chứng mp (Q) vng góc với mp(P), ta chứng minh (Q) có một đường thẳng a vng góc mp(P)

a mp(P) mp(Q) mp(P)

a mp(Q)

 ⊥

⇒ ⊥

 ⊂



IV Xác định góc giữa đường thẳng a mp(P)

Góc giữa đường thẳng mặt phẳng góc nhọn hoặc vuông (không bao giờ tù)

Cách 1: Là góc giữa a hình chiếu a’ của a lên (P)

=

(a,(P)) (a,a') Cách 2: Là góc giữa a đường thẳng b, với b//(P)

V Xác định góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q)

Cách 1: góc giữa đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến của hai mặt phẳng tại điểm

- Xác định giao tuyến d của (P) (Q)

- Xác định đường thằng a thỏa mãn: a⊂(P), a⊥d

- Xác định đường thẳng b thỏa mãn: b⊂(Q), b⊥d

Khi đó góc giữa (P) (Q) góc giữa a b

 ∩ = 

⊂ ⊥ ⇒ =

 

⊂ ⊥



(P) (Q) d

a (P),a d ((P),(Q)) (a,b)

b (Q),b d

Cách 2: Là góc giữa hai đường thẳng a b, với a⊥(P) b⊥(Q)  ⊥

⇒ =

 ⊥ 

a (P)

((P),(Q)) (a,b) b (Q)

- Q

P a

P a'

a

b a

Q P

P Q

A

CÁC DẠNG TOÁN GẶP TRONG THI THPT QUỐC GIA

Bài toán 1: Tính thể tích khối đa diện 1 Thể tích khối lăng trụ: V = Sđáy.cao

2 Thể tích khối chóp, tứ diện: V=1

3Sđáy.cao 3 Tỉ số thể tích tứ diện (khối chóp tam giác):

SABC SA' B'C'

V SA SB SC

V = SA' SB' SC'

* Cách xác định chiều cao h của khối đa diện:

1 Khối đa diện có SA ⊥ (ABCD) ⇒ h = SA

2 Khối đa diện đều ⇒ h = SO với O tâm của đáy

3 Khối đa diện có SA=SB=SC=SD ⇒ h = SO với O điểm cách đều đỉnh của mặt đáy

+ Đáy hình vng ⇒ O tâm

+ Đáy tam giác đều ⇒ O trọng tâm (trực tâm)

+ Đáy tam giác vuông ⇒ O trung điểm cạnh huyền

4 Khối đa diện có hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với mặt phẳng (R)

⇒ h giao tuyến của (P) (Q)

5 Khối đa diện có hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc

⇒ h đường thẳng nằm (P) vng góc với giao tuyến của (P) (Q) * Cách tính diện tích đáy:

Tam giác vng: S = ½ hai cạnh góc vng nhân Tam giác cạnh a:

4 a S

2

= ;

2 a AH= Hình vuông cạnh a: đường chéo =a 2; S a2

= Hình chữ nhật: S = dài x rộng

Hình thoi: S = tổng diện tích hai tam giác (hoặc AC.BD

2

S= )

Hình thang: S=(đáy lớn + đáy bé)x cao

2

Bài toán 2: Xác định khoảng cách từđiểm O đến mặt phẳng (P): d(O, (P))=? Cách 1: Phương pháp trực tiếp (dựng hình để xác định khoảng cách)

Trường hợp 1: O hình chiếu của S∈∈∈∈(P) lên (Q) chứa O

- Xác định giao tuyến d của (P) (Q)

- Từ O, dựng OK ⊥ d (K ∈ d)

- Từ O, dựng OH ⊥ SK (H ∈ SK)

C'

B' A'

C B

A

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hình Oxy) www.huynhvanluong.com

M

N b a

P

⇒ d(O, (P)) = OH

(lưu ý phải chứng minh OH ⊥ (P))

Trường hợp 2: O điểm bất kỳ (không phải hình chiếu của S lên (Q))

- Bước 1: Chọn điểm để tính khoảng cách

+ Tìm điểm M hình chiếu của S∈(P) lên (Q) chứa O + Xác định giao tuyến d của (P) (Q)

+ Từ M, dựng MK ⊥ d (K ∈ d)

+ Từ M, dựng MH ⊥ SK (H ∈ SK)

⇒ d(M, (P)) = MH (phải chứng minh MH ⊥ (P))

- Bước 2: Suy khoảng cách cần tính + OM // (P) ⇒ d(O, (P)) = d(M, (P))

+ OM cắt (P) tại I ⇒ d(O, (P)) = IO

IM d(M, (P))

Cách 2: Phương pháp thể tích (sử dụng cơng thức thể tích để tính khoảng cách)

- Chọn khối đa diện hợp lý (tạo bởi O (P)) để tính thể tích: V=1

3 Sđáy.cao

- Tính khoảng cách theo cơng thức: d(O, (P)) = 3V

S

Cách 3: Phương pháp giải tích (chuyển tốn sang tọa độđể tích khoảng cách)

- Chọn hệ trục Oxyz gắn lên hình cho Ox, Oy, Oz vng góc từng đơi một, đó mặp phẳng Oxy mặt đáy của đa diện

- Tìm tọa độ điểm cần thiết

- Viết phương trình mp (P) qua (x y x0; ;0 0) và có vectơ pháp tuyến =( )

; ;

n A B C :

( 0) ( 0) ( 0)

A x x− +B y y− +C z z− =

- Tính khoảng cách theo cơng thức: ( ( )α )= + + +

+ +

2 2

, AxM ByM CzM D

d M

A B C

Bài toán 3: Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo a b Cách 1: Phương pháp trực tiếp (dựng hình để xác định khoảng cách)

Trường hợp 1: a b vng góc với

- Tìm hoặc dựng (P) chứa b vng góc a

- Từ giao điểm M của a (P), dựng MN ⊥ b (N ∈ b)

⇒ d(a, b) = MN

(MN được gọi đường vng góc chung của a b)

Trường hợp 2: a song song với mặt phẳng (P) chứa b

( ) ( , ) ( ,( )) ( ) / /

P b

d a b d a P

P a

⊃ 

⇒ =



 P b

a

Trường hợp 3: a, b chứa hai mặt phẳng (P)//(Q)

( )

( ) ( , ) (( ),( )) ( ) //( )

P b

Q a d a b d P Q

P Q

⊃  

⊃ ⇒ =

  

Trường hợp 4: a b bất kỳ

- Chọn (P) chứa b cắt a tại A

(thường (P) mặt đáy hình chóp hoặc mặt bên lăng trụ)

- Từ A, dựng đường thẳng b’// b ⇒ d(a, b) = d(b, (Q))

(với (Q) mặt phẳng chứa a b’)

Cách 2: Phương pháp giải tích (chuyển tốn sang tọa độđể tích khoảng cách)

- Chọn hệ trục Oxyz gắn lên hình cho Ox, Oy, Oz vng góc từng đơi một, đó mặp phẳng Oxy mặt đáy của đa diện

- Tìm tọa độ điểm cần thiết

- Tính khoảng cách theo cơng thức: ,

,

 

 

=

 

 

AB CD' AC d(AB, MN)

AB CD' .

-

GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -

Để giải được tốn hình khơng gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độđã chọn độ dài cạnh của hình

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp (Quyết định thành cơng tốn)

Bước 2: Xác định tọa độ điểm có liên quan

Bước 3: Sử dụng kiến thức tọa độđể giải tốn

Ví dụ (ĐH khối D – 2007). Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, ABC=BAD=90, BA = BC

= a, AD = 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy, SA = a Gọi H hình chiếu vng góc A lên SB Chứng minh tam giác SCD vuông tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)

Giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ,

A≡O(0;0;0), B(a;0;0), D(0;2a;0), C(a;a;0), S(0;0;a 2) Khi SC=( ; ;a a a− 2),CD= −( a a; ;0)

SC CD SC CD

⇒ = ⇒ ⊥ , hay tam giác SCD vng C Mặt khác (SCD) có VTPT SC CD,  (a2 2;a2 2;2 )a2

=

 

(SCD) :1.(x a) 1.(y a) 2.(z 0)

⇒ − + − + − =

hay (SCD): x y+ + 2z−2a =0

b P

a Q

(rất gặp)

(gặp đềđại học)

A

b a

P

b’

Q

z

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hình Oxy) www.huynhvanluong.com

Đường thẳng SB có phương trình tham số

2 x a t y z t  = +  =   = − 

( ;0; )

H∈SB⇒H a t+ − t

3 a AH ⊥SB⇔AH SB= ⇔ = −t Vậy (2 ;0; 2)

3

a a

H

Từđó suy khoảng cách từHđến (SCD)

2 2

3

( ,( ))

3 1

a a

a a d H SCD

+ −

= =

+ +

Nhận xét: Nếu so với đáp án thức việc tính d(H,(SCD)) lời giải rõ ràng trực tiếp hơn,

dễ hiểu hơn ( đáp án thức tính d(H, (SCD)) thơng qua việc tính tỉ số d(H,(SCD))/d(B,(SCD)) rồi lại

tính d(B,(SCD)) thơng qua thể tíchtứ diện SBCD )

Ví dụ (ĐH khối D – 2008). Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vng, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụđã cho khoảng cách hai đường thẳng AM, B’C

Giải

Từ giả thiết ta có tam giác đáy ABC vng cân B, kết hợp với tính chất lăng trụ đứng, ta chọn hệ trục Oxyz hình vẽ, với B≡O(0;0;0), C(a;0;0), A(0;a;0), B’(0;0;a 2)

Dễ thấy / / /

3 / ( ) 2

ABC A B C

a

V =BB BA BC =

Bây ta tính khoảng cách AM B’C M trung điểm BC

( ;0;0) ( ; ;0)

2

a a

M AM a

⇒ ⇒ = −

Mặt khác, 'B C=( ;0;a −a 2)

2 2

, ' ( 2; ; )

2 a

AM B C a a

 

⇒ =

Lại có AC=( ;a a− ;0)

3

2

2

, ' 7

2 ( , ' ) 7 , ' a

AM B C AC a

d AM B C

a AM B C

    ⇒ = = =    

Nhận xét: Theo đáp án thức, việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM B’C toán

này hồn tồn khơng dễ, địi hỏi dựng được mặt phẳng chứa AM song song với B’C, rồi qui việc tính

khoảng cách giữa hai đường thẳng về khoảng cách từ C, rồi lại từ B đến mặt phẳng mới dựng đó Lời

giải bằng tọa độ rõ ràng rất ngắn gọn trực tiếp

-oOo -

CÁC BÀI TỐN HÌNH KHƠNG GIAN CỔĐIỂN

THƯỜNG GẶP TRONG THI QUỐC GIA

O≡B

Bài 1(ĐH D2008−NC)Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' khoảng cách hai đường thẳng AM, B'C ĐS : ' ' '

3

2

ABC A B C

a

V = ; ( , ' )

7 a d AM B C =

Bài 2(ĐH A2009)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB = AD = 2a, CD =a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a

ĐS :

3 15

S ABCD

V = a

Bài 3(ĐH D2009)Cho hình lăng trụđứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’, I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từđiểm A đến mặt phẳng (IBC)

ĐS :

4

I ABC

V = a ; ( , ( ))

5 a

d A IBC =

Bài 4(ĐH A2010)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a ĐS

:

5 24

S CDMN

V = a ; ( , )

19

d DM SC = a

Bài 5(ĐH D2010)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn AC,

4 AC

AH = Gọi CM là đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a

ĐS : . 14

48

S BCM

V = a

Bài 6(ĐH A2011)Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60 Tính th0 ể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách AB SN theo a ĐS :

S BCMN

V = a ; ( , ) 39

13

d AB SN = a

Bài 7(ĐH B2011)Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD a= 3.Hình

chiếu vng góc điểm A1 (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD Góc (ADD1A1)

(ABCD) 60 Tính th0 ể tích khối lăng trụđã cho khoảng cách từB

1đến (A1BD) theo a

ĐS : ' ' ' '

3

3

ABCD A B C D

V = a ; ( 1 )

3

,( )

2

a

d B A BD =

Bài 8(ĐH D2011)Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2a và SBC = 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từđiểm Bđến mặt phẳng (SAC) theo a ĐS : VS ABC. =2 3a3 ; ( , ( ))

7 a

d B SAC =

Bài 9(ĐH A2012)Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a ĐS :

7 12

S ABC

V = a ; ( , ) 42

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hình Oxy) www.huynhvanluong.com Bài 10(ĐH B2012)Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA = 2a, AB = a Gọi H hình chiếu vng góc A cạnh SC Chứng minh SC vng góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a ĐS :

7 11 96

S ABH

V = a

Bài 11(ĐH D2012)Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng, tam giác A’AC vng cân, A’C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ khoảng cách từđiểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a

ĐS : ' '

3

2 48

A BB C

V = a ; ( , ( '))

6 a

d A BCD =

Bài 12(ĐH A2013)Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, ABC 30

= , SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ

điểm C đến mặt phẳng (SAB) ĐS : .

16

S ABC

a

V = ; ( , ( )) 39

13 a

d C SAB =

Bài 13(ĐH B2013)Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCDvà khoảng cách từđiểm A đến mặt phẳng (SCD)

ĐS :

3 S ABCD a

V = ; ( , ( )) 21

7 a

d A SCD =

Bài 14(ĐH D2013)Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a Cạnh SA vng góc với đáy ,

BAD 120= , M trung điểm cạnh BC SMA 45

= Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCDvà khoảng cách từđiểm D đến mặt phẳng (SBC)

ĐS : .

S ABCD

a

V = ; ( ,( ))

4

a

d D SBC =

Bài 15(ĐH A2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SD = 3a

2 , hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) ĐS:

3 a 2a

; 3

Bài 16(ĐH B2014) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ (ABC) trung điểm cạnh AB, góc A’C mặt đáy 600 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách từđiểm B đến mặt phẳng (ACC’A’)

ĐS:

3a 3a 13;

8 13

Bài 17(ĐH D2014) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA, BC

ĐS:

a a ;

24

Bài 18(CĐ2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc đáy, SC tạo với đáy góc 450 Tính thể tích S.ABCD khoảng cách từ B đến (SCD)

ĐS: a3 ;

a

Bài 19(QG2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳmg (ABCD), góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SB,AC

ĐS: 2

3 a

; a

Lớp bồi dưỡng kiến thức LTĐH chất lượng cao www.huynhvanluong.com

Lớp học thân thiện học sinh Tây Ninh

0918.859.305 – 01234.444.305 – 0996.113.305-0929.105.305-0967.859.305 -

MỘT SỐ KIẾN THỨC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VAØ ĐIỂM TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ: Nếu  =

=



a (x; y)

b (x'; y') thì: ⊥ ⇔ ⇔

a.b = x.x'+ y.y' a bÛ a.b =

x y

a / /b = x' y' S x.y'-x'.y ) y' ; (x' AC y) (x; AB ABC = ⇒     = = ∆ 2.ĐƯỜNG THẲNG:

Phương trình đt qua Mo(xo; yo) có VTPT n=(A;B): A(x-xo)+B(y-yo) =

Phương trình đt qua Mo(xo; yo) có VTCP u=(a;b): b(x-xo) - a(y-yo) =

Phương trình đt qua Mo(xo,yo) song song Ax+By+C=0: A(x-xo)+B(y-yo)=0

Phương trình đt qua Mo(xo,yo) vuơng gĩc Ax+By+C=0: B(x-xo)-A(y-yo)=0 Phương trình đoạn chắn (đường thẳng qua A(a;0) B(0;b): 1

b y a x = +

∆: Ax+By+C=0 ⇒ VTPT: n=(A;B), VTCP: u=(B;-A) hoặc u=(-B;A) KHOẢNG CÁCH :

a)Khoảng cách từ điểm M đến đt ∆:Ax+By+C=0 ⇒

2 M M B A C By Ax ) d(M, + + + = ∆ b)Khoảng cách hai đường thẳng song song:

∆:Ax+By+C=0, ∆’:Ax+By+C’=0⇒ ∆ ∆ =, '

+

2

C - C'

d( )

A B

GÓC TẠO BỞI HAI ĐƯỜNG THẲNG:

∆:Ax+By+C=0, ∆’:A’x+B’y+C’=0⇒ cos( , ')

+ ∆ ∆ =

+ +

2 2

A.A' B.B'

A B A' B'

ĐIỂM ĐỐI XỨNG:

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hình Oxy) www.huynhvanluong.com

' '

' (trong do: ( ; ))

2

M M M M

MM u u B A

x x y y

A B C

∆ ∆

 ⊥ = −



⇔  +   + 

+ + =

    

   



PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC: a) Tính chất:

D chân đường phân giác của góc A DB AB AC DC = −

⇒ tọa độ D

I là tâm đường trịn nội tiếp ∆ABC IA BA BD ID= −

⇒ tọa độ I

b) Đường phân giác:∆:Ax+By+C=0, ∆’:A’x+B’y+C’=0, ta cĩ: Phương trình phân giác gĩc tù: '

∆ ∆

+ + + +

=

+ +

2 2 '2

Ax By C A'x B'y C'

A B daáu (n n ) A' B

Phương trình phân giác góc nhọn: '

∆ ∆

+ + + +

= −

+ +

2 2 '2

Ax By C A'x B'y C'

A B daáu (n n ) A' B

ĐƯỜNG TRÒN:

a) Phương trình đường trịn:

Dạng 1: Đường trịn (C) có tâm I(a; b) bán kính R: (x-a)2+(y-b)2 = R2

Dạng 2: Đường tròn (C): x2+y2 -2ax-2by +c = ⇒⇒⇒⇒ c b a R

b) I(a;

2

   

− + = b) Tiếp tuyến đường trịn tâm I bán kính R

Tiếp tuyến Mo(xo; yo): nhận IM (A;B)

o = làm VTPT: A(x-xo)+B(y-yo) =

Các dạng tiếp tuyến khác:

Tiếp tuyến ∆ qua A(xo; yo) ⇒∆: A(x-xo)+B(y-yo)=0

Tiếp tuyến ∆ song song với Ax+By+C=0 ⇒∆:Ax+By+m=0 (m≠C) Tiếp tuyến ∆ vng góc với Ax+By+C=0 ⇒∆:Bx-Ay+m=0

Áp dụng điều kiện tiếp xúc: d(I, ∆) = Rđược ẩn viết pttt ∆ -

DẠNG TOÁN HÌNH THƯỜNG GẶP

Lớp bồi dưỡng kiến thức LTĐH chất lượng cao www.huynhvanluong.com

Lớp bồi dưỡng kiến thức LTĐH chất lượng cao

www.huynhvanluong.com

Lớp bồi dưỡng kiến thức LTĐH chất lượng cao

www.huynhvanluong.com

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hình Oxy) www.huynhvanluong.com

Lớp bồi dưỡng kiến thức LTĐH chất lượng cao

www.huynhvanluong.com

MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC PHẲNG

-

1 Đờng trung trực đoạn thẳng

a) Định nghĩa: Đờng thẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm đợc gọi đờng trung trực đoạn thẳng

b) Tổng quát:

a đờng trung trùc cña AB

IA =IB

a⊥AB

  

2 C¸c gãc tạo đờng thẳng cắt hai đờng thẳng

a) Các cặp góc so le trong:

1 B3

A ; A4 B2

b) Các cặp góc đồng vị:

1 B3

A ;

1 B3

A ;

1 B3

A ; A1 B3

c) Khi a//b th×

1 B2

A ; A4 v B3 gọi

các cỈp gãc cïng phÝa bï nhau

3 Hai ®−êng th¼ng song song

- Nếu đ−ờng thẳng c cắt hai đ−ờng thẳng a, b góc tạo thành có cặp góc so le (hoặc cặp góc đồng vị nhau) a b song song vi

- Nếu đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song thì:

Hai góc so le nhau; Hai góc đồng vị nhau;

Hai gãc cïng phÝa bï

c) Quan hệ tính vuông góc với tính song song

- Hai đờng thẳng phân biệt vuông góc với đờng thẳng thứ ba thì chúng song song víi

a c

a / / b

b c

⊥ 

=>



⊥ 

c

b

a c

b a 1

4 2 3 4

3 2

1

b a

B A

a

I B

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hỡnh Oxy) www.huynhvanluong.com

- Một đờng thẳng vuông góc với một hai đờng thẳng song song vuông góc với đờng th¼ng

c b

c a

a / / b

⊥ 

=> ⊥

4 Góc tam giác

a) Định nghĩa: Góc tam giác góc kề bù với góc tam giác

b) Tính chất: Mỗi góc tam giác tổng hai góc kh«ng kỊ víi nã

ACx= A +B

5 Các trờng hợp b»ng cđa hai tam gi¸c

a) Tr−êng hợp 1: Cạnh - Cạnh - Cạnh

(c.c.c)

- Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tam giác hai tam giác bằng

' '

' ' ' ' '( ) ' '

AB A B

AC A C ABC A B C c c c

BC B C

= 



= => ∆ = ∆



= 

b) Tr−êng hỵp 2: C¹nh - Gãc - C¹nh

(c.g.c)

Nếu hai cạnh góc xen tam giác này hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác

' '

' ' ' '( )

' '

AB A B

B B ABC A B C c g c

BC B C

= 



= => ∆ = ∆



= 

C ' B

'

A'

C B

A

C ' B

'

A'

C B

A

x C

B

A

c

b

c) Tr−êng hỵp 3:Gãc - C¹nh - Gãc (g.c.g)

- Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề của tam giác hai tam giác nhau

'

' ' ' ' '( )

' B B

BC B C ABC A B C g c g

C C



=



= => ∆ = ∆



=

d) Các trờng hợp hai tam giác vuông

Trng hp 1: Nu hai cạnh góc vng tam giác vng hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng

Tr−ờng hợp 2: Nếu cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng hai giác vng

Tr−ờng hợp 3: Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vng bằng cạnh huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng

C' B'

A' C

B

A

C' B'

A' C B

A

A

B C A'

B '

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hình Oxy) www.huynhvanluong.com

Tr−ờng hợp 4: Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng này cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng bng

6 Quan hệ yếu tè tam gi¸c

(quan hệ góc cạnh đối diện tam giác)

- Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc lớn

: AC > AB B > C ABC

∆ ⇒

- Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn lớn

ABC: B > C AC > AB

∆ ⇒

7 Quan hệ đờng vuông góc đờng xiên, đờng xiênvà hình chiếu

Khái niệm đờng vuông góc, đờng xiên, hình chiếu đờng xiên - Đoạn thẳng AH gọi đờng vuông

gúc kẻ từ A đến đ−ờng thẳng d

- Điểm H gọi hình chiếu A đờng thẳng d

- on thng AB gi đ−ờng xiên kẻ từ A đến đ−ờng thng d

- Đoạn thẳng HB gọi hình chiếu đờng xiên AB đ.thẳng d

Quan hệ đ−ờng xiên đ−ờng vng góc: Trong đ−ờng xiên đ−ờng vng góc kẻ từ một điểm ngồi đ−ờng thẳng đến đ−ờng thẳng đó, đ−ờng vng góc đ−ờng ngắn

Quan hệ đ−ờng xiên hình chiếu: Trong hai đ−ờng xiên kẻ từ điểm nằm đ−ờng thẳng đến đ−ờng thẳng ú, thỡ:

- Đờng xiên có hình chiếu lớn lớn

A B

C A

' B'

C '

C' B'

A' C B

A

d B

H A

A

- Đờng xiên lớn có hình chiếu lớn

- Nếu hai đờng xiên hai hình chiếu ngợc lại, nÕu

hai h×nh chiÕu b»ng th× hai ®−êng xiªn b»ng

8 Quan hệ ba cạnh tam giác Bất đẳng thức tam giác

- Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh lại

AB + AC > BC AB + BC > AC AC + BC > AB

- Trong tam giác, hiệu độ dài hai cạnh nhỏ độ dài cạnh lại

AC - BC < AB; AB - BC < AC; AC - AB <BC

- Nhận xét : Trong tam giác, độ dài cạnh lớn hiệu nhỏ tổng độ dài hai cạnh lại

VD: AB- AC < BC < AB + AC

9 TÝnh chÊt ba ®−êng trung tun cđa tam gi¸c

Ba đ−ờng trung tuyến tam giác cùng qua điểm Điểm cách mỗi đỉnh khoảng 2

3 độ dài

đ−ờng trung tuyến qua đỉnh ấy:

GA GB GC 2

DA = EB = FC = 3

G lµ träng tâm tam giác ABC

10 Tính chất ba đờng phân giác tam giác

Ba đ−ờng phân giác tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác

- §iĨm O tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC (líp 9)

11 TÝnh chÊt ba ®−êng trung trùc cđa tam gi¸c

O

C B

A

G

D F E

C B

A

C B

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hình Oxy) www.huynhvanluong.com

Ba đ−ờng trung trực tam giác đi qua điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác

- Điểm O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC

12 Phơng pháp chứng minh số toán

a) Chứng minh tam giác cân

1. Chứng minh tam giác có hai cạnh 2. Chứng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng

3. Chứng minh tam giác có đ−ờng trung tuyến vừa đ−ờng cao 4. Chứng minh tam giác có đ−ờng cao vừa đ−ờng phân giác đỉnh

b) Chứng minh tam giác

1. Chứng minh tam giác có ba cạnh 2. Chứng minh tam giác có ba góc 3. Chứng minh tam giác cân có góc 600

c) Chøng minh tứ giác hình bình hành

1 Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành 2 Tứ giác có cạnh đối hình bình hành

3 Tứ giác có hai cạnh đối song song hình bình hành 4 Tứ giác có góc đối hình bình hành

5 Tứ giác có hai đờng chéo cắt trung điểm mỗi đờng hình bình hành

d) Chứng minh tứ giác hình thang: Ta chứng minh tứ giác có hai cạnh đối song song

e) Chøng minh mét hình thang hình thang cân

1 Chng minh hình thang có hai góc kề đáy 2 Chứng minh hình thang có hai đ−ờng chéo

f) Chøng minh mét tø giác hình chữ nhật

1 Tứ giác có ba góc vuông hình chữ nhật

2 Hình cân có góc vuông hình chữ nhật 3 Hình bình hành có góc vuông hình chữ nhật

4 Hình bình hành có hai đờng chéo hình chữ nhật

g) Chứng minh tứ giác hình thoi

1 Tứ giác có bốn cạnh

2 Hình bình hành có hai cạnh kề

3 Hình bình hành có hai đờng chéo vuông góc với

4 Hình bình hành có đờng chéo đờng phân giác một góc

h) Chứng minh tứ giác hình vuông

1 Hình chữ nhật co hai cạnh kề 2 Hình chữ nhật có hai đờng chéo vuông góc

3 Hình chữ nhật có đờng chéo đờng phân giác góc 4 Hình thoi cã mét gãc vu«ng

O

C B

5 Hình thoi có hai đờng chéo

13 Đờng trung bình tam giác, hình thang

a) Đờng trung bình tam giác

Định nghĩa: Đờng trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác

Định lí: Đờng trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh Êy

1

DE / / BC, DE BC

2

=

b) Đờng trung bình hình thang

Định nghĩa: Đờng trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang

Định lí: Đ−ờng trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy

EF//AB, EF//CD, EF AB CD

2

+ =

14 Tam giác đồng dạng

a) Định lí Ta_lét tam giác: Nếu đ−ờng thẳng song song với cạnh của tam giác cắt hai cạnh cịn lại định hai cạnh đoạn thẳng t−ơng ứng tỉ lệ

AC ' AB '

B 'C '/ / BC ;

AB AC

AC ' C 'C

AB ' ; B ' B

B ' B C 'C AB AC

=> =

= =

b) Định lí đảo định lí Ta_lét: Nếu đ−ờng thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng t−ơng ứng tỉ lệ đ−ờng thẳng đó song song với cạnh cịn lại tam giác

VÝ dô: AB ' AC ' B 'C '/ / BC

AB = AC => ; Các trờng hợp khác tơng tự

c) Hệ định lí Ta_lét

- Nếu đờng thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh

E

C B

D A

C'

B' a

C B

A

F E

D C

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hình Oxy) www.huynhvanluong.com

tam giác cho Hệ tr−ờng hợp đ−ờng thẳng song song với cạnh tam giác cắt phần kéo dài hai cạnh lại (B 'C '/ /BC AB ' AC ' B 'C '

AB AC BC

=> = = )

d) Tính chất đ−ờng phân giác tam giác: Đ−ờng phân giác (hoặc ngoài) của tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn

DB AB

DC = AC

D ' B AB

D 'C = AC

e) Định nghĩa hai tam giác đồng dạng : Hai tam giác đồng dạng hai tam giác có góc t−ơng ứng cạnh t−ơng ứng tỉ lệ

'; '; '

' ' '

' ' ' ' ' ' A A B B C C

ABC A B C AB AC BC

k

A B A C B C

 = = =



∆ ∆ <=>

= = =



f) Định lí hai tam giác đồng dạng: Nếu đ−ờng thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác cho

MN/ /BC=>∆AMN ∆ABC

*) L−u ý: Định lí tr−ờng hợp đ−ờng thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác song song với cạnh lại

g) Các tr−ờng hợp đồng dạng hai tam giác

a N

M

C B

A D'

C B

A

D

C B

A

C' B'

a

C B

A

C' B'

a C

B

A

S

*)Tr−ờng hợp 1: Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng

' ' '( ) ' ' ' ' ' '

AC BC

AB ABC A B C c c c

A B = A C = B C => ∆ ∆

*)Tr−ờng hợp 2: Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh tam giác và hai góc tạo cạnh hai tam giác đồng dạng

' ' ' ' ' ' '( )

' BC AB

A B B C ABC A B C c g c

B B



= 

=> ∆ ∆

 

= 

*)Tr−ờng hợp 3: Nếu hai góc tam giác lần l−ợt hai góc tam giác kia hai tam giác đồng dạng;

'

' ' '( ) '

A A

ABC A B C g g

B B



= 

=> ∆ ∆



= 

h) Các tr−ờng hợp đồng dạng hai tam giác vuông

*)Tr−ờng hợp 1: Nếu hai tam giác vuông có góc nhọn chúng đồng dạng;

C' B'

A'

C B

A

C ' B

'

A'

C B

A

C B

'

A'

C B

A

S

S

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hình Oxy) www.huynhvanluong.com

0

' 90

' ' ' '

A A

ABC A B C

C C



= = 

=> ∆ ∆



= 

*)Tr−ờng hợp 2: Nếu hai cạnh góc vuông tam giác vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác đồng dạng;

' ' ' ' ' AC' '

AB ABC A B C

A B = A C => ∆ ∆

*)Tr−ờng hợp 3: Nếu cạnh góc vng cạnh huyền tam giác vuông tỉ lệ với cạnh góc vng cạnh huyền tam giác vng chỳng đồng dạng

' ' ' ' ' BC' '

AB ABC A B C

A B = B C => ∆ ∆

15 Tỉ số hai đ−ờng cao, tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng

- Tỉ số hai đ−ờng cao t−ơng ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng

- Tỉ sơ diện tích hai tam giác đồng dạng bình ph−ơng tỉ số đồng dạng

Cơ thĨ : ' ' A B C' ' '

ABC

S

A H k k

AH = ⇒ S =

16 HÖ thức lợng tam giác vuông (lớp 9) b2 =ab '

c2 =ac'

a2 =b2 +c2 (Pi_ta_go) bc = ah

h2 =b ' c'

2 2

1 1 1

b c h

+ =

C ' B'

A ' C B

A

C B'

A ’ C B

A

a H

h

b' b

c' c

C B

A

S

S

17 DiÖn tÝch hình

.

S= a b

S=a S 1 ah

2

= S 1 ah

2

=

1

S ah

2

= S 1 (a b)h EF h

2

= + =

.

=

S a h

1

1

S d d

2

= ⋅

18 Góc đường trịn 18 Góc đường trịn 18 Góc đường trịn 18 Góc đường trịn

- AOB: góc tâm chắn AB - ACB: góc nội tiếp chắn AB

- EAB: góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn AB

-

2 ACB EAB= = AOB - sñHDG = 1(sñHG -sñJI )

2

- sñADG = 1(sñAG -sñJA )

- sñEDF = 1(sñAmF -sñAnF )

2

- 1( )

2

JKC=BKG= sñJC+ sđBG

Chú ý: Góc nội tiếp chắn cung

( ACB=AGB)

d1

d2

h

a h

a

F E

b

h

a

h a a

a

b h

a

A

B

C O D

E

F G

H

I

J

m n

K

Lớp bồi dưỡng kiến thức LTĐH chất lượng cao

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hình Oxy) www.huynhvanluong.com

TỔNG HỢP CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002-2014

Bài 1: (ĐH A2002) cho tam giác ABC vuông A, phương trình đường thẳng BC

3x y− − 0= , đỉnh A B thuộc trục hồnh bán kính đường trịn nội tiếp tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC.ĐS : 3; ; 3;

3 3

G + +  G− − − − 

   

Bài : (ĐH B2002) Cho hình chữ nhật ABCD tâm 1;0

 

 

 , đường thẳng AB x – 2y + = AB = 2AD Tìm A,B,C,D biết rằng A có hồnh độ âm ĐS : A(−2;0 ;) (B 2;2 ;) C(3;0 ;) D(− −1; 2)

Bài : (ĐH B2003) Trong mặt phẳng với hệ tọa độĐêcac vng góc Oxy cho tam giác ABC có AB = AC , BAD=900 Bi

ết M(1; -1) trung điểm cạnh BC G 2;0

 

 

  trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh A, B, C ĐS : A(0; ;) (B 4;0 ;) C(− −2; 2)

Bài : (ĐH D2003) Cho đường tròn (C): (x−1)2+(y−2)2 =4 đường thẳng d: x – y – = 0.Viết

phương trình đường trịn (C’) đối xứng với đường trịn (C) qua đường thẳng d.Tìm tọa độ giao

điểm của (C) (C’) ĐS : ( ) : (C' x 3)2 y2 4;A(1;0 ;) (B 3; 2)

− + =

Bài : (ĐH A2004) cho hai điểm A(0; 2), B(− 3; 1− ) Tìm tọa độ trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB.ĐS : H( 3; 1); (− I − 3;1)

Bài : (ĐH B2004) cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng x – 2y – = cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB ĐS : (7;3); ( 43; 27)

11 11

C C − −

Bài : (ĐH D2004) cho tam giác ABC có đỉnh A(-1; 0), B(4; 0), C(0; m) với m≠0 Tìm tọa độ

trọng tâm G của tam giác ABC theo m Xác định m để tam giác GAB vuông tại G.ĐS : m= ±3 Bài : (ĐH A2005) cho hai đường thẳng: d1: x y− =0 d2: 2x y+ − =1 0 Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1, C thuộc d2, đỉnh B, D thuộc trục hoành ĐS :

( ) (1;1 ; 0;0 ;) (1; ;) (2;0)

A B C − D A( ) (1;1 ;B 2;0 ;) C(1; ;− ) D(0;0)

Bài 10 : (ĐH B2005) cho hai điểm A(2; 0) B(6; 4) Viết phương trình đường trịn (C) tiếp xúc với trục hồnh tại điểm A khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng ĐS :

2

( ) : (C x−2) +(y−1) =1 hoặc ( ) : (C x 2)2 (y 7)2 49

− + − =

Bài 12 : (ĐH A2006−CB) cho đường thẳng: d1: x + y + = 0, d2: x – y – = 0, d3: x – 2y = 0.Tìm tọa độ điểm M nằm đường thẳng d3 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 ĐS : M( 22; 11);− − M(2;1)

Bài 13 : (ĐH B2006−CB) cho đường tròn (C): x2+y2−2x−6y+ =6 0 điểm M(-3; 1) Gọi T1 T2 tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) Viết phương trình đường thẳng T1T2 ĐS :

2x y+ − =3

Bài 14 : (ĐH D2006−CB) cho đường tròn (C): x2 y2 2x 2y 1 0

+ − − + = đường thẳng d:x y− + =3 0 Tìm tọa độ điểm M nằm d cho đường trịn tâm M, có bán kính gấp đơi bán kính đường trịn (C), tiếp xúc ngồi với đường trịn (C) ĐS : M(1; 4);M( 2;1)−

Bài 15 : (ĐH A2007−CB) cho tam giác ABC có A(0;2), B(-2;-2) C(4;-2) Gọi H chân đường cao kẻ từ B; M N lần lượt trung điểm của cạnh AB BC Viết phương trình đường trịn đi

qua điểm H, M, N ĐS : (C): x2 y2 x y 2 0

Bài 16 : (ĐH B2007−CB) cho điểm A(2;2) đường thẳng: d1: x + y – = 0, d2: x + y – = 0.Tìm toạ độ điểm B C lần lượt thuộc d1 d2 cho tam giác ABC vuông cân tại A ĐS :

( 1;3 ;) (3;5)

B − C hoặc B(3; ;− ) C(3;5)

Bài 17 : (ĐH D2007−CB) cho đường tròn (C) : (x – 1)2 + (y + 2)2 = đường thẳng d: 3x– 4y+m=0 Tìm m để d nhất một điểm P mà từđó có thể kẻđược hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) ( A, B tiếp điểm ) cho tam giá PAB đều ĐS : m=19;m= −41

Bài 19 : (ĐH B2008−CB) Hãy xác định tọa độđỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vng góc của C đường thẳng AB điểm H(−1;−1), đường phân giác của góc A có phương trình x − y+ = đường cao kẻ từ B có phương trình 4x +3y−1= ĐS : ( 10 3; )

3

C −

Bài 20 : (ĐH D2008−CB) cho parabol (P) : y2 =16x điểm A(1;4) Hai điểm phân biệt B, C (B C khác A) di động (P) cho góc BAC 900

= Chứng minh rằng đường thẳng BC đi qua một điểm cốđịnh ĐS : I(17; 4)− ∈BC

Bài 21 : (ĐH A2009−CB) cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) giao điểm của hai đường chéo AC BD Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆: x+ y−5=0 Viết phương trình đường thẳng AB ĐS : AB y: − =5 0;AB x: −4y+19 0=

Bài 21 : (ĐH A2009−NC)cho đường tròn (C): 2 4

= + + + +

+ y x y

x đường thẳng ∆:

3

2 + =

−

+my m

x , với m tham số thực Gọi I tâm của đường trịn (C) Tìm m để∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A B cho diện tích tam giác IAB lớn nhất ĐS : 0;

15

m= m=

Bài 22 : (ĐH B2009−CB) cho đường tròn (C) : (x 2)2 y2

− + = và hai đường thẳng∆1 : x–y= 0, ∆2 : x – 7y = Xác định toạ độ tâm K tính bán kính của đường trịn (C1); biết đường trịn (C1) tiếp xúc với đường thẳng ∆1, ∆2 tâm K thuộc đường tròn (C) ĐS : ( ; );8 2

5 5

K R=

Bài 23 : (ĐH B2009−NC) cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(-1;4) đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ : x – y – = Xác định toạđộ điểm B C , biết diện tích tam giác ABC bằng 18 ĐS : ( ; ); ( ;11 3 5)

2 2

B C − hoặc ( ;3 5);( ; )11

2 2

B −

Bài 24 : (ĐH D2009−CB) cho tam giác ABC có M (2; 0) trung điểm của cạnh AB Đường trung tuyến đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình 7x – 2y – = 6x–y–4=0 Viết phương trình đường thẳng AC ĐS : AC: 3x−4y+ =5 0

Bài 25 : (ĐH D2009−NC) cho đường tròn (C) : (x – 1)2 + y2 = Gọi I tâm của (C) Xác định tọa

độđiểm M thuộc (C) cho IMO= 300

ĐS : 3;

2

M ± 

 

Bài 26 : (ĐH A2010−CB) cho hai đường thẳng d1: 3x y+ =0 d2: 3x y− =0 Gọi (T) đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B C cho tam giác ABC vuông tại B Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng

2 điểm A có hồnh độ dương ĐS :

2

1

( ) : ( ) ( )

2

T x+ + y+ =

Bài 27 : (ĐH A2010−NC) cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh AB AC có phương trình x + y − 4 = Tìm B C, biết E(1; −3) nằm

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hình Oxy) www.huynhvanluong.com Bài 28 : (ĐH B2010−CB) cho tam giác ABC vng tại A, có đỉnh C(-4; 1), phân giác góc A có phương trình x + y – = Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 đỉnh A có hồnh độ dương ĐS : BC: 3x−4y+16 0=

Bài 30 : (ĐH D2010−CB) cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm là H(3;-1), tâm đường tròn

ngoại tiếp là I(-2;0) Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hồnh độ dương ĐS : C( 2− + 65;3)

Bài 31 : (ĐH D2010−NC) cho điểm A(0;2) và ∆ đường thẳng đi qua O Gọi H là hình chiếu vng góc của A ∆ Viết phương trình đường thẳng ∆, biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH ĐS : ∆: ( 1)− x−2 2− y=0; : ( 1)∆ − x+2 2− y=0

Bài 32 : (ĐH A2011−CB) cho đường thẳng ∆:x+ + =y đường tròn ( ) :C x2+y2−4x−2y=0

Gọi I tâm của (C), M điểm thuộc ∆ Qua M kẻ tiếp tuyến MA MB đến (C) (A B tiếp

điểm) Tìm tọa độđiểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10 ĐS : M(2; 4);− M( 3;1)−

Bài 34 : (ĐH B2011−CB) cho ∆:x+ − =y đường thẳng d: 2x y− − =2 Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ điểm M thỏa mãn OM ON =8ĐS :

6 (0; 2); ( ; )

5

N − N

Bài 35 : (ĐH B2011−NC) cho tam giác ABC có đỉnh ( ;1)1

B Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tương ứng tại điểm D, E, F Cho D(3; 1) đường thẳng EF có phương trình y− =3 0 Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương ĐS : (3;13)

3

A

Bài 36 : (ĐH D2011−CB) cho tam giác ABC có đỉnh B(- 4; 1), trọng tâm G(1; 1) đường thẳng chứa phân giác của góc A có phương trình x y− − =1 Tìm A và C ĐS : A(4;3); (3; 1)C − Bài 37 : (ĐH D2011−NC) cho điểm A(1; 0) đường trịn (C): x2+y2−2x+4y− =5 0 Viết phương trình đường thẳng∆ cắt (C) tại M và N cho ∆AMN vuông cân tại A ĐS : ∆:y= ∆1; :y= −3

Bài 38 : (ĐH A2012−CB) cho hình vuông ABCD Gọi M trung điểm của cạnh BC, N điểm cạnh CD cho CN = 2ND Giả sử 11 1;

2 M 

 và đường thẳng AN có phương trình 2x – y–3=0 Tìm tọa độđiểm A ĐS : A(1; 1); (4;5)− A

Bài 40 : (ĐH B2012−CB) cho đường tròn (C1) : x2+y2=4, (C2): x2+y2−12x+18 0= đường

thẳng d: x y− − =4 0 Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc (C2), tiếp xúc với d cắt (C1) tại

hai điểm phân biệt A B cho AB vng góc với d ĐS : (x 3)2 (y 3)2 8

− + − =

Bài 42 : (ĐH D2012−CB) cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC AD lần lượt có phương trình x + 3y = x – y + = 0; đường thẳng BD đi qua điểm M (

3

− ; 1) Tìm tọa độ

các đỉnh của hình chữ nhật ABCD ĐS : A( 3;1); (1; 3); (3; 1); ( 1;3)− B − C − D −

Bài 43 : (ĐH D2012−NC) cho đường thẳng d: 2x – y + = Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc d, cắt trục Ox tại A B, cắt trục Oy tại C D cho AB = CD = ĐS :

2 2

( ) : (C x+1) +(y−1) =2;( ) : (C x+3) +(y+3) =10

Bài 44 : (ĐH A2013−CB) cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d :2x y 0+ + =

và A( 4;8)− Gọi M điểm đối xứng của B qua C, N hình chiếu vng góc của B đường thẳng MD Tìm tọa độ điểm B C, biết rằng N (5;-4) ĐS : B( 4; 7); (1; 7)− − C −

Bài 45 : (ĐH A2013−NC) cho đường thẳng ∆:x y 0− = Đường tròn (C) có bán kính R = 10 cắt ∆

Bài 46 : (ĐH B2013−CB) cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vng góc với AD = 3BC Đường thẳng BD có phương trình x + 2y – = tam giác ABD có trực tâm làH(-3 ; 2) Tìm tọa độ đỉnh C D ĐS : C( 1;6); (4;1)− D hoặc C( 1;6); ( 8;7)− D −

Bài 47 : (ĐH B2013−NC) cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ A H (17; 1)

5 −5 , chân đường phân giác của góc A D(5 ; 3) trung điểm của cạnh AB M (0 ; 1) Tìm C ĐS : C(9;11)

Bài 48 : (ĐH D2013−CB) cho tam giác ABC có điểm M( 3; ) 2

− là trung điểm của cạnh AB , điểm H( 2; 4)− và điểm I( 1;1)− lần lượt chân đường cao kẻ từ B tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ điểm C ĐS : C(4;1); ( 1;6)C −

Bài 49 : (ĐH D2013−NC) Cho đường tròn (C) : (x 1)− 2+(y 1)− =4và đường thẳng ∆: y 0− = Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của (C) , đỉnh N P thuộc ∆ , đỉnh M trung điểm của cạnh MN thuộc (C) Tìm tọa độđiểm P ĐS : P( 1;3); (3;3)− P

Bài 50 : (ĐH A2014) Cho hình vng ABCD có điểm M trung điểm của đoạn AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN = 3NC Viết phương trình đường thẳng CD, biết rằng M(1;2) N (2;-1)

(xem giải bên dưới) Bài 51 : (ĐH B2014) Cho hình bình hành ABCD, M(-3;0) trung điểm của AB, H(0;-1) hình chiếu vng góc của B AD G(4

3;3) trọng tâm của tam giác BCD Tìm B D

(xem giải bên dưới) Bài 52 : (ĐH D2014) Cho tam giác ABC có chân đường phân giác góc A điểm D (1; -1)

Đường thẳng AB có phương trình 3x + 2y – = 0, tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x + 2y – = Viết phương trình đường thẳng BC

(xem giải bên dưới) Bài 53 : (CĐ2014) Cho điểm A(−2;5) đường thẳng (d):3x-4y+1=0 Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc với d Tìm M thuộc d cho AM bằng

(xem giải bên dưới) Bài 54 : (QG2015) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A Gọi H hình chiếu của A cạnh BC; D điểm đối xứng của B qua H; K hình chiếu của vng góc C

đường thẳng AD Giả sử H (-5;-5), K (9;-3) trung điểm của cạnh AC thuộc đường thẳng : x - y + 10 = Tìm tọa độ A ĐS: A (-15; 5)

-

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2013

Khối A2013 (chuẩn). cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc d : 2x y 0+ + = A( 4;8)− Gọi M điểm đối xứng B qua C, N hình chiếu B đường thẳng MD Tìm B C, biết N(5;-4)

Giải:Ta có: C∈d ⇒ C(t;-2t-5) Gọi I trung điểm AC, suy ;

2

− + − +

 

 

 

t t

I

Ta có: IN2 = IA2, suy t =1 ⇒ C(1;-7), B điểm đối xứng của N qua AC ⇒ B(-4;-7)

Khối A2013 (nâng cao).cho :x y 0∆ − = Đường trịn (C) có bán kính R = 10 cắt ∆ hai điểm A B cho AB = Tiếp tuyến (C) A B cắt điểm thuộc Oy Viết phương trình (C)

Giải:cosAIH =

IH

IA = ⇒ IH = Vậy MH = MI – IH = 2; với M ∈ Oy MI ⊥ AB ⇒ MI : x + y + c = ; M (0;-c)

M

A

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hình Oxy) www.huynhvanluong.com

⇒ c = (loại M thuộc tia Oy) hay c = -8 Với c = -8 : I (t; -t + 8)

d (I; ∆) = 2 8 2 2

t−

⇔ = ⇔ t = hay t = t = ⇒ I (3; 5); t = ⇒ I (5; 3)

Vì I M nằm bên đường thẳng ∆ nên nhận I (5; 3)⇒ Pt đường trịn cần tìm : (x – 5)2 + (y – 3)2 = 10

3 Khối B2013 (chuẩn). cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vng góc với AD = 3BC Đường thẳng BD có phương trình x + 2y – = tam giác ABD có trực tâm H (-3; 2) Tìm C D. Giải:Gọi I hình chiếu H xuống DB dễ dàng tìm I (-2; 4)

Vì ∆ IHB vng cân I có IH = Từ phương trình IH = IB = IC ta có điểm B (0; 3) C (-1; 6)

ID= − IB

, ta có D (-8; 7)Tương tự B(-4; 5) D (4; 1)

4 Khối B2013 (nâng cao). cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từđỉnh A 17;

5

H − 

 , chân đường phân giác góc A D (5; 3) trung điểm cạnh AB M (0; 1) Tìm tọa độđỉnh C

Giải:Phương trình BC : 2x – y – = AH : x + 2y – = A ∈ AH ⇒ A (3 – 2a; a) ⇒ B (2a – 3; – a)

AH HB= ⇒ a = 3⇒ A (-3; 3); B (3; -1)

Phương trình AD: y = 3⇒N (0; 5) đối xứng M qua AD ⇒ N ∈AC

Phương trình AC: 2x – 3y + 15 = BC : 2x – y – = 0⇒ C (9; 11)

5.Khối D2013 (chuẩn). cho tam giác ABC có điểm 3; 2

 

−

 

 

M trung điểm cạnh AB, điểm H(-2; 4) điểm I(-1; 1) chân đường cao kẻ từ B tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm C. Giải: Đường thẳng AB qua M có vectơ pháp tuyến 1(7; 1)

2

IM = − −

nên có phương trình: 7x y− +33 0=

⇒ B(b; 7b + 33); M trung điểm AB ⇒

3 (7 33) 30

= − −   = − + = − −  A A x b

y b b ;

(7 ;34 ) ( ; 29 )

= + + ⊥ = − − − −

AH b b BH b b

2 9 20 0 5 4

b b b hay b

⇒ + + = ⇒ = − = −

TH1 : b = -5: B(-5; -2) A (-4; 5) , Phương trình AH là: x+2y− =6 0⇒ C (6 - 2c;c)

2 5 30 25 0 1 5

= ⇔ − + = ⇔ = ∨ =

IB IC c c c c (loại C≠A)⇒C(4;1)

TH2 : b = -4 : B(-4; 5) A (-5; -2), Phương trình AH là: 2x – y + = 0⇒ C (c; 2c + 8)

2 1 5

IA =IC ⇔ = − ∨ = −c c (loại C≠B)⇒C(-1; 6) Do đó C (4; 1) hay C (-1; 6)

6 Khối D2013 (nâng cao). cho đường tròn (C): ( 1)2 ( 1)2 4

− + − =

x y đường thẳng :∆ y− =3 Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm (C), N P thuộc ∆, M trung điểm cạnh MN thuộc (C) Tìm P

Giải:(C) có tâm I(1;1), R=2 Do ( , )d I ∆ =R⇒∆ tiếp xúc (C) T Do I trực tâm tam giác PMN nên MI vng góc ∆⇒xM =xI =1

Mà M thuộc (C) nên M(1; -1) Gọi J trung điểm MN suy IJ đường trung bình

∆MTN⇒yI = yJ =1 Mà J thuộc (C) nên J(3; 1) hay J(-1; 1)

Nếu J(3;1) N(5;3) Gọi P(t;3)∈ ∆ NI⊥MP⇒t= −1⇒P( 1;3)−

Nếu J(-1;1) N(-3;3) Gọi P(t;3) ∈ ∆ Tương tự ta có: P(3;3)

7 CĐ2013 (chuẩn).d:x+y-3=0, ∆:x–y+2= điểm M(-1; 3) Viết phương trình đường trịn qua M, có tâm thuộc d, cắt ∆ điểm A B cho AB =

Giải: I ∈ d ⇒ I (t; – t); [d(I, ∆)]2 = IM2 –

2 3 2 2       ⇔ 3 2 2 t t  − + +   

  = (t + 1)

2 + t2 – 9

2

8 CĐ2013 (nâng cao) cho tam giác ABC vuông A(-3; 2), có trọng tâm 1; 3

G 

  Đường cao kẻ từ

đỉnh A tam giác ABC qua điểm P(-2; 0) Tìm tọa độ điểm B C

Giải:

Gọi M trung điểm BC ⇒ 2 3

AG = AM

⇒ M (2; 1) 2 −

BC qua M có VTPT AP = (1; -2) ⇒ BC: x – 2y – = 0; B ∈ BC ⇒ B (2t + 3; t)

M trung điểm BC ⇒ C (1 – 2t; -1 – t); AB = (2t + 6; t – 2); AC = (4 – 2t; -3 – t)

∆ABC vuông A ⇔ AB AC. =0⇔ t = -3 hay t = Đáp số: B (-3; -3); C (7; 2) B (7; 2); C (-3; -3) Cách khác : Gọi M trung điểm BC ⇒ GA=- GM ⇒M , - 

  1 2 2 2 ,

,BBCCtthhẳẳnnggggóóccAAPP,,nnêênnpphhưươơnnggttrrììnnhhBBCC::

x

x 22yy 33==00,,ttừừ AM =2 125

4 ,,vvàà

2 2

AM =BM =CM cchhoottaa B (-3; -3); C (7; 2) hhaayy B (7; 2); C (-3; -3) -

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH

ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2014 VÀ QUỐC GIA 2015

1 Khối A2014.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có điểm M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN = 3NC Viết phương trình đường thẳng CD, biết M(1;2) N (2;-1)

Giải: Gọi I giao điểm MN CD

∆NAM ~ ∆NCI ⇒ NA NM

NC= NI = ⇒

1 NI MN = ⇒ I I x (1)

3 y ( 3)

3  − =    + = − 

Vậy I 7;

 

−

 

 

Gọi n = (a; b) VTPT AB pt (AB) : a (x – 1) + b (y – 2) = pt (CD) : a(x 7) b(y 2)

3

− + + =

Đặt AB = x (x > 0) ⇒MH = x

4; NH =

x Ta có : MN2 = MH2 + NH2⇒ x =

d(M; CD) = ⇔ − +a 3b =3 a2+b2 ⇔ 4a2 + 3ab =

Với b = ⇒ a = (loại)

Với b ≠ chọn b = ⇒ a = hoặc a =

−

Vậy phương trình CD : y + = 3x – 4y - 15 = Cách 2: Gọi I giao điểm MN CD⇒ I 7;

3

 

−

 

 

VTCP MN a (1; -3) VTCP CD b (m; n) cos(MN,CD) =

10 ⇔ 8n

2 – 6mn =

⇔ n = hay n = 3m

4 + TH1: n = ⇒ CD : y + =

A B

Luyện THPT Quốc gia (Quyển 3: Hình cổđiển – Hình Oxy) www.huynhvanluong.com

+ TH2: n = 3m

4 ⇒ CD : 3x – 4y – 15 =

2 Khối B2014 Cho hình bình hành ABCD Điểm M(-3;0) trung điểm cạnh AB, điểm H(0;-1) hình chiếu vng góc B AD G(4

3;3) trọng tâm tam giác BCD Tìm tọa độ điểm B D

Giải: Phương trình đường trịn đường kính AB: (x 3)2 y2 10

+ + =

I(a; b) giao điểm AC BD

( ) ( ) ( )

GC= −2GI⇒C 2a;9 2b− − ⇒B 4a;9 4b− − − ⇒D 6a;6b 9+ −

( )

HA= 4a 4;4b 8− −

phương HD=(6a 2;6b 8+ − )

nên a = 2b -3

( )

A 8b 16; 4b

⇒ − − mà A (C)∈ ⇒(8b 13− )2+(4b 9− )2 =10

b 2= ⇒a 1= ⇒B( 6;1), D(8;3)− (loại H khơng hình chiếu B lên AD) hay b a B( 2;3), D(2;0)

2

= ⇒ = ⇒ −

Cách 2: K điểm đối xứng H qua M nên K thuộc (BC) K(-6; 1) N giao điểm MG BC ⇒GN 2MG= ⇒N(10;9)

(BC) qua K(-6; 1) có vecto pháp tuyến KM (16;8) 8(2;1)= =

nên (BC): x – 2y + = (HB): 2(x – 0) + y + = ⇔2x y 0+ + =

B giao điểm (BC) (HB) nên B(-2; 3) M trung điểm AB nên A(-4; -6)

Gọi I giao điểm AC BD nên GA 4GI I 0;3   = ⇒     I trung điểm BD nên D(2;0)

Vậy B(-2; 3), D(2;0)

3 Khối D2014 Cho tam giác ABC có chân đường phân giác góc A điểm D (1; -1) Đường thẳng AB có phương trình 3x + 2y – = 0, tiếp tuyến A đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x + 2y – = Viết phương trình đường thẳng BC

Giải: Tọa độđiểm A nghiệm hệ phương trình: 3x 2y x 2y

+ − =

 

+ − =

 ⇔ A (1; 3)

Phương trình đường thẳng AD : x =

Gọi α góc hợp AB AD ⇒ cosα =

13 Phương trình AC có dạng : a(x – 1) + b(y – 3) = Gọi β góc hợp AD AC ⇒ β = α

cosβ =

2 a a +b

=

13 ⇔ 4a

2 = 9b2 Chọn b = ⇒ a =

±3

2 (loại a = 2) ⇒ Phương trình AC : -3x + 2y – =

Gọi γ góc hợp đường tiếp tuyến A với đường tròn ngoại tiếp ∆ABC đường thẳng AC BC có pháp vectơ (m; n)

⇒ cosγ =

2

3m 2n

13 m n

+

+ = cosB =

1

65⇔ 5(9m

2+4n2+ 12mn) = m2 + n2

⇔ 44m2 + 19n2 + 60mn = ⇔ m = n

2

−

hay m = 19n 22

−

Vậy phương trình BC : x - 2y - = hay 19x - 22y – 41 =

Giải: Tacó nd =(3; 4)−

, gọi H hình chiếu của A lên (d), phương trình AH : x 3t

y 4t

+ =

 

− = −

 H ∈ (d) ⇒ 3(3t – 2) – 4(-4t + 5) + = ⇒ t = ⇒ H (1; 1)

Vì AH = ⇔ M ≡ H Vậy M (1; 1)

5 (QG2015) ĐS: A (-15; 5)

HD: Đường trung trực HK: y = -7x + 10 cắt phương trình (d): x – y + 10 = điểm M (0; 10) Vì ∆HAK cân H nên điểm A đối xứng K qua MH : y = 3x + 10, tọa độđiểm A (-15; 5)

-

Hãy gọi gọi 01234.444.305- 0918.859.305-0929.105.305-0996.113.305 0666.513.305- 0967.859.305 gặp sự cố học tập

-

CHÚC CÁC EM HỌC TỐT

Lớp bồi dưỡng kiến thức LTĐH chất lượng cao www.huynhvanluong.com

Lớp học thân thiện học sinh Tây Ninh