Là một giáo viên dạy Toán lớp 9, được nhà trường phân công ôn tập cho học sinh thi vào THPT, với thời lượng cho phép, tôi đều thực hiện ôn tập cho học sinh theo chủ đề kiến thức. Khi dạy[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH YÊN TRƯỜNG THCS TÔ HIỆU
HỒ SƠ ĐỀ NGHỊ
CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN CẤP THÀNH PHỐ
Tên sáng kiến: Vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải số dạng tốn ơn thi vào THPT trường THCS Tô Hiệu, thành phố Vĩnh Yên
Tác giả sáng kiến: Trần Thị Nụ
Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Tô Hiệu.
Hồ sơ gồm:
1 Đơn đề nghị công nhận sáng kiến cấp thành phố 2 Báo cáo kết nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến
Vĩnh Yên, năm 2018
(2)ĐƠN YÊU CẦU
CƠNG NHẬN SÁNG KIẾN CẤP THÀNH PHỐ Kính gửi: Hội đồng Sáng kiến thành phố Vĩnh Yên (Cơ quan thường trực: Phòng Kinh tế thành phố Vĩnh Yên)
Tên tơi là: Trần Thị Nụ Chức vụ (nếu có): Giáo viên Trường: THCS Tô Hiệu
Điện thoại: 0983 590 658 Email: info@123doc.org
Tôi làm đơn trân trọng đề nghị Hội đồng sáng kiến thành phố Vĩnh Yên xem xét công nhận sáng kiến cấp thành phố cho sau:
1 Tên sáng kiến: Ứng dụng dấu hiệu chia hết vào giải dạng toán lớp cho học sinh trường THCS Tô Hiệu, thành phố Vĩnh Yên
2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
- Lĩnh vực áp dụng: Học sinh đại trà lớp 6; bồi dưỡng học sinh giỏi
lớp
- Vấn đề mà sáng kiến giải quyết: Ứng dụng dấu hiệu chia hết vào giải dạng toán lớp
3 Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Áp dụng lần đầu 5/2018
4 Nội dung sáng kiến: 4.1 Kiến thức
4.2 Các dạng toán phương pháp giải
4.2.1 Dạng toán 1: Chứng minh quan hệ chia hết
4.2.2 Dạng tốn 2: Tìm điều kiện cho quan hệ chia hết, chia dư 4.2.3 Dạng tốn 3: Tìm hai số biết tổng tích chúng 4.2.4 Dạng tốn 4: Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm mà không giải phương trình
4.2.5 Dạng tốn 5: Sử dụng hệ thức Vi – ét vào việc giải hệ phương trình đối xứng
4.2.6 Dạng tốn 6: Tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số
(3)4.2.8 Dạng tốn 8: Lập phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước 4.2.9 Dạng tốn 9: Phân tích đa thức thành nhân tử
4.2.10 Dạng tốn 10 Lập phương trình đường thẳng y = ax + b ( ) (d) quan hệ với Parabol y = mx2 ( ) (P).
5 Điều kiện áp dụng:
Có thể dùng giảng dạy cho học sinh đại trà ôn thi vào lớp 10 bồi dưỡng học sinh giỏi lớp
6 Khả áp dụng: Áp dụng cho học sinh lớp 9. 7 Hiệu đạt được
Qua việc áp dụng sáng kiến thấy - Lớp học sôi nổi, học sinh hiểu
- Nhiều học sinh cịn yếu mơn Tốn giải số tập đơn giản Đối với học sinh giỏi em giải tốt làm tập tự luyện
- Đa số học sinh nắm nội dung học 8 Các thông tin cần bảo mật: không
Tôi xin cam đoan thông tin nêu đơn trung thực, thật, không xâm phạm quyền sở hữu trí tuệ người khác hồn tồn chịu trách nhiệm thông tin nêu đơn
Xác nhận Lãnh đạo nhà trường
(Ký tên, đóng dấu)
Vĩnh Yên, ngày 25 tháng 04 năm 2018 Người nộp đơn
(Ký tên, ghi rõ họ tên)
Trần Thị Nụ
BÁO CÁO KẾT QUẢ
(4)1 Lời giới thiệu
Là giáo viên dạy Toán lớp 9, nhà trường phân công ôn tập cho học sinh thi vào THPT, với thời lượng cho phép, thực ôn tập cho học sinh theo chủ đề kiến thức Khi dạy hệ thức Vi-ét thấy dạy theo thứ tự lí thuyết tập SGK, SBT chưa cung cấp đủ phương tiện cho học sinh để giải tập thuộc chủ đề Quan trọng việc nhớ kiến thức em khơng có hệ thống Như kết làm em khơng cao, bên cạnh hầu hết đề thi vào THPT tỉnh nói chung tỉnh Vĩnh Phúc nói riêng có phần kiến thức hệ thức Vi-ét Chính thế, tơi tiến hành nghiên cứu SGK, SBT tốn lớp tài liệu tham khảo để tập hợp tập hệ thức Vi-ét Sau tiến hành phân dạng với dạng rõ ứng dụng Từ cách nghĩ cách làm tơi viết sáng kiến :
Vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải số dạng toán ôn thi vào THPT ở trường THCS Tô Hiệu, thành phố Vĩnh Yên
Trong sáng kiến dù biết đề cập hết phương pháp giải toán hy vọng nguồn tài liệu bổ ích cho học sinh tài liệu tham khảo cho thầy cô giáo
2 Tên sáng kiến
Vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải số dạng tốn ơn thi vào THPT trường THCS Tô Hiệu, thành phố Vĩnh Yên
3 Tác giả sáng kiến
- Họ tên: Trần Thị Nụ
- Địa tác giả: Trường THCS Tô Hiệu – Vĩnh Yên – Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0983 590 658 Email: info@123doc.org; 4 Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Trần Thị Nụ
Trường THCS Tô Hiệu – Vĩnh Yên – Vĩnh Phúc Chức vụ: Giáo viên
(5)- Lĩnh vực áp dụng: Ơn thi vào lớp 10 THPT; bồi dưỡng học sinh
giỏi lớp
- Vấn đề mà chuyên đề giải quyết: Hệ thức Vi –Ét ứng dụng
6 Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Áp dụng lần đầu 5/2017
7 Mô tả chất sáng kiến 7.1 Nội dung sáng kiến
7.1.1 Kiến thức bản
Các em cần nắm vững số kiến thức sau: Định lí Vi-ét (thuận):
Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = ( ) thì
Áp dụng: Nhờ định lí Vi-ét, biết trước nghiệm phương trình bậc hai suy nghiệm
Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( ) có a + b + c = phương
trình có nghiệm x1 = 1, cịn nghiệm x2 =
Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( ) có a - b + c = phương
trình có nghiệm x1 = - 1, cịn nghiệm x2 = - Định lí Vi-ét (đảo):
Nếu hai số u, v thỏa mãn thì hai số hai nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0.
(Điều kiện để có hai số u, v S2 - 4P 0). 7.1.2 Các dạng toán phương pháp giải
(6)a Phương pháp:
Để thực việc nhẩm nghiệm (nếu có thể) cho phương trình bậc hai ẩn ax2 + bx + c = ( ), ta áp dụng nhận xét sau:
Trường hợp (Trường hợp đặc biệt):
Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( ) có a + b + c = phương
trình có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 =
Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( ) có a - b + c = phương
trình có nghiệm x1 = - 1, nghiệm x2 = - Trường hợp 2: Cho phương trình: x2 + bx + c = 0.
Ta thực theo bước:
Bước 1: Vận dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập cho nghiệm x1 x2 là:
Bước 2: Thực phân tích c thành tích hai thừa số (c = m.n), từ ta tính m + n Khi đó:
+) Nếu m + n = - b ta chuyển sang bước (kết luận)
+) Nếu m + n - b, ta dừng lại trường hợp không nhẩm nghiệm
Bước 3: Kết luận:
Phương trình x2 + bx + c = có hai nghiệm x1 = m x2 = n.
Mở rộng: Nếu phương trình có nghiệm
thì phương trình phân tich thành +) Có nghiệm
+) Có nghiệm
(7)Bài (Bài 37/SBT-Trang 57) Dùng điều kiện a + b + c = a – b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm phương trình sau:
a) 7x2 - 9x + = b) 23x2 - 9x - 32 = 0 Giải
a) 7x2 - 9x + =
Nhận thấy phương trình có a + b + c = + (-9) + = Do phương trình có hai nghiệm là: x1 = 1, x2 =
b) 23x2 - 9x - 32 = 0
Nhận thấy phương trình có a - b + c =23 - (-9) + (-32) = Do phương trình
có hai nghiệm x1 = - 1, x2 = - Bài Giải phương trình
a) b) Giải
a) có tổng hệ số
nên phương trình có nghiệm phương trình
+) Giải phương trình +) Giải phương trình Ta có
(8)b) có
nên phương trình có nghiệm phương trình
+) Giải phương trình +) Giải phương trình Ta có
phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm .
Nhận xét: Đối với phương trình có dạng ví dụ giải phương trình nhẩm nghiệm nhanh gọn việc vận dụng công thức nghiệm (công thức nghiệm thu gọn)
c Bài tập tự luyện
Bài Nhẩm nghiệm phương trình sau:
a x2 + 7x + 12 = b x2 - 7x + 12 = c x2 -11x + 28 = d x2 – 12x + 35 =
Bài Giải phương trình
a) b)
Dạng toán 2: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm cịn lại phương trình bậc hai ẩn cho biết trước nghiệm.
a Phương pháp chung
(9)Ta làm sau: Dùng hệ thức Vi-ét = Thay x1 = m vào hệ
thức, ta có ta dùng hệ thức Thay x1 = m
vào hệ thức, ta có
b Bài tập áp dụng
Bài Chứng tỏ phương trình 3x2 + 2x - 21 = có nghiệm -3 Hãy tìm nghiệm
Giải
Vì x1 = - nghiệm phương trình 3x2 + 2x - 21 = Vì 3(-3)2 + 2.(-3) - 21 = 27 – – 21 =
Cách 1:
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
= =
Cách 2: Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
Bài (Bài 40/SBT-Trang 44)
Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x2 phương trình, tìm giá trị m trường hợp sau:
a x2 + mx - 35 = 0, biết nghiệm x1 = 7; b 3x2 – 2(m – 3)x + = 0, biết nghiệm x1 =
Giải a x2 + mx - 35 = 0.
(10)Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có:
= = Vậy x2 = , m =
b 3x2 – 2(m – 3)x + = 0.
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Mà x1 = nên suy ra:
Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có: = =
Vậy x2 = 5, m = 11
Nhận xét: Trong ví dụ ta sử dụng hệ thức Vi-ét trước để tìm x2
trước, sau sử dụng hệ thức Vi-ét = (vì lúc biết x1 x2) để suy giá trị tham số
c Bài tập tự luyện
Bài Phương trình x2 – 2px + = có nghiệm x1 = 2, tìm p nghiệm
Bài Phương trình x2 + 5x + q = có nghiệm x1 = 5, tìm q nghiệm kia. Bài Phương trình x2 – 7x + q = có hiệu hai nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình
Bài Tìm q hai nghiệm phương trình : x2 –qx +50 = 0, biết phương trình có hai nghiệm nghiệm lần nghiệm
(11)a Phương pháp chung
Nếu hai số u, v thỏa mãn:
hai số hai nghiệm phương trình x2 – Sx + P = (1) Điều kiện S2 - 4P 0
Nếu phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 số u, v cần tìm là:
b Bài tập áp dụng
Bài (Bài 41/SBT-Trang 58) Tìm hai số u v trường hợp sau: a u + v = 14, u.v = 40;
b u + v = 4, u.v = 19
Giải a Ta có u + v = 14, u.v = 40
Do u v nghiệm phương trình: x2 - 14x + 40 = 0.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Vậy u = 10, v = u = 4, v = 10 b Ta có: u + v = 4, u.v =19
Do u v nghiệm phương trình: x2 - 4x + 19 = 0.
Phương trình vơ nghiệm
Vậy không tồn cặp u, v thỏa mãn điều kiện Bài Giải hệ phương trình sau:
(12)T có:
Do x (-y) nghiệm phương trình: t2 – 10t - 24 = 0.
Ta có Phương trình có hai nghiệm
phân biệt: t1 = 12; t2 = -2
Suy x = 12, - y = -2 x = 12, y = hoặc x = -2, - y = 12 x = - 2, y = -12
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (12; 2); (-2; -12)
Nhận xét: Trong ví dụ ta chuyển đổi việc giải hệ phương trình sang giải phương trình bậc hai ẩn; bên cạnh ta cần sử dụng thêm phép biến đổi tương đương cho hệ phương trình kết hợp sử dụng đẳng thức Ngoài nhiều trường hợp cần sử dụng tới ẩn phụ ví dụ phần a) hay ví dụ sau minh họa cho điều
Bài Giải phương trình sau: (1)
Giải Điều kiện:
Đặt
(13)Vậy phương trình cho có nghiệm x = 16 c Bài tập tự luyện
Bài 1.
a Tìm số biết tổng chúng 27 tích chúng 180 b Tìm số biết tổng chúng tích chúng Bài
a Tìm cạnh hình chữ nhật biết chu vi 100 m diện tích 621 m2 b Tìm cạnh hình chữ nhật có chu vi 20 cm diện tích 32cm2 Bài Giải hệ phương trình sau
Bài Giải phương trình:
Dạng tốn 4: Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm mà khơng giải phương trình.
a Phương pháp chung
Biểu thức đối xứng nghiệm x1 x2 phương trình:ax2 + bx + c = ( ) biểu thức có giá trị khơng thay đổi ta hốn vị (đổi chỗ) x1 x2
Ta thực theo bước:
Bước 1: Xét biệt thức phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (hoặc )
Bước 2: Tìm tổng x1 + x2 = S x1x2 = P phương trình, thay vào biểu thức cho
(14)b Bài tập áp dụng
Bài Cho phương trình gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức sau:
a) ; b) c)
Giải
a) Xét phương trình - Ta có:
Phương trình có nghiệm phân biệt ;
- Áp dụng đinh lí Vi – ét ta có: Vậy ; b) Ta có: =
=
(15)c) Ta có: ; ; ;
Đặt A = ( A > 0)
( Vì A > )
Vậy =
Chú ý: Để tính tổng ta cần chứng minh điều kiện để tồn thức áp dụng cơng thức sau để tính bình phương biểu thức để tính theo tổng tích nghiệm phương trình bậc hai
+) +) +)
Bài Cho phương trình: Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn:
Hướng dẫn
Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (hoặc a.c < 0)
Sau áp dụng hệ thức Vi – et để tính tổng tích nghiệm Kết hợp với điều kiện (hệ thức) giải hệ phương trình gồm điều kiện với tổng tích nghiệm tìm tham số thỏa mãn điều kiện tốn ta có lời giải sau:
(16)a Xét phương trình Ta có:
Để phương trình cho có nghiệm phân biệt >
b Khi phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + x2 = x1 x2 = -2m - Để phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện
Thay x1 + x2 = x1 x2 = -2m vào có:
Kết hợp với ta có m = thỏa mãn
Vậy phương trình cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
Bài Cho phương trình (m tham số)
a) Xác định m để phương trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại b) Xác định m để phương trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn
Giải
a) Để phương trình có nghiệm
Vì Vậy m = = b) Xét phương trình
Ta có:
(17)Áp dụng hệ thức Vi – et ta có: Khi
Thay vào ta
Mà
Vậy với phương trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn c Bài tập tự luyện
Bài Cho phương trình: ( tham số)
a Tìm giá trị để phương trình có nghiệm tính nghiệm phương trình theo
b Tìm giá trị để phương trình có hai nghiệm cho nghiệm gấp đôi nghiệm
Bài Cho phương trình 2x2 – 7x + = 0, gọi hai nghiệm x1 x2 Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau:
a. x1 + x2 ; x1.x2 b x13 + x23 c
Bài Cho phương trình
Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình Hãy tìm m để Bài Cho hàm số có đồ thị (P) đường thẳng (d) có phương trình
(18)Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn
Dạng toán 5: Sử dụng hệ thức Vi – ét vào việc giải hệ phương trình đối xứng loại I
a Khái niệm hệ phương trình đối xứng
Một phương trình hai ẩn gọi đối xứng ta thay x y y x thì phương trình khơng thay đổi.
Ví dụ: Phương trình đối xứng
Một hệ phương trình gọi hệ đối xứng loại I gồm phương trình đối xứng.
Ví dụ: Hệ phương trình đối xứng loại I:
b. Phương pháp chung Ta làm theo bước sau:
Bước 1 Biểu diễn phương trình qua ;
Bước 2 Đặt ; ta hệ phương trình chứa ẩn S P Bước 3 Giải hệ phương trình tìm S P
Bước 4 Các số x y nghiệm phương trình
(Vận dụng hệ thức Vi – ét đảo Tìm số biết tổng tích chúng) Hệ cho có nghiệm hệ phương trình theo S P có nghiệm thỏa mãn: Tùy theo yêu cầu tốn ta giải biện luận phương trình theo tham số t từ suy nghiệm kết luận cần thiết cho hệ phương trình
b Bài tập áp dụng
Bài Giải hệ phương trình
(19)c) d) Giải
a)
Đặt ta có hệ phương trình :
Suy :
Theo định lí Vi – ét x; y nghiệm phương trình bậc hai giải phương trình ta nghiệm
Vậy hệ phương trình có nghiệm
b)
Theo định lí Vi – ét x; y nghiệm phương trình bậc hai Giải phương trình ta nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm
c)
(20)
Vậy hệ phương trình có nghiệm
d)
Theo định lí Vi – ét x; y nghiệm phương trình bậc hai: (1)
nên phương trình (1) có nghiệm
Vậy hệ phương trình có nghiệm
Chú ý: Nếu hệ đối xứng loại I có nghiệm có nghiệm Chúng ta cần lưu ý điều để khơng bỏ xót nghiệm hệ phương trình. Bài Giải hệ phương trình
Hướng dẫn
Biến đổi hpt dạng tổng tích x y cách đặt và
ta có hệ pt giải hệ phương trình này. Giải
Đặt
(21)+) Với S = P = ta có theo định lí Vi – ét x; y nghiệm phương trình bậc hai (1)
nên phương trình (1) có nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm
+) Với S = P = ta có theo định lí Vi – ét x; y nghiệm phương trình bậc hai (2)
Giải pt (2) ta có nên phương trình (2) vơ nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm
c Bài tập tự luyện
Bài Giải hệ phương trình
a) b) c)
Bài Giải hệ phương trình
a) b)
Dạng tốn 6: Tìm hệ thức nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số. a Phương pháp chung
Ta thực theo bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2 ( )
Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét tính S = x1 + x2, P = x1x2 theo tham số.
(22)b Bài tập áp dụng
Bài Cho phương trình x2 – 2mx + 2m - = (x ẩn) Tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m
Giải
Phương trình x2 – 2mx + 2m - = có: với
mọi m Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được:
S – P = x1 + x2 - x1x2 = (không phụ thuộc vào m) Bài Cho phương trình mx2 – (2m + 3)x + m - = (x ẩn)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Khi tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m
Giải
Phương trình mx2 – (2m + 3)x + m - = có hai nghiệm phân biệt x1, x2
Áp dụng hệ thức Vi-ét: Cộng vế theo vế, ta được:
4S + 3P = 11 hay 4(x1 + x2) + 3x1x2 = 11 (Không phụ thuộc vào m)
Nhận xét: Ngoài cách cộng vế theo vế, ta m từ hệ thức (1) vào hệ thức (2) để khử m Trong trình làm tránh vội vàng áp dụng hệ thức Vi-ét mà quên bước tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2
c Bài tập tự luyện
Bài Cho phương trình: (1)
(23)b) Gọi nghiệm phương trình Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m
Bài Cho phương trình: (1)
a) Với giá trị m phương trình (1) có nghiệm kép
b) Gọi nghiệm phương trình Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m
Dạng toán 7: Xét dấu nghiệm. a Phương pháp chung:
Dùng hệ thức Vi-ét ta xét dấu nghiệm x1, x2 phương trình ax2 + bx + c = ( ) dựa kết quả:
- Phương trình có hai nghiệm trái dấu
- Phương trình có hai nghiệm dấu
- Phương trình có hai nghiệm dương
- Phương trình có hai nghiệm âm
- Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn
nghiệm dương
- Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối nhỏ
(24)b Bài tập áp dụng
Bài Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x – m + = Xác định m để phương trình:
a) Có hai nghiệm trái dấu
b) Có hai nghiệm dương phân biệt Giải a) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu
Vậy với m < phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
Vậy với < m < phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Bài Cho phương trình mx2 - 6x + m =
Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm Giải Để phương trình có hai nghiệm âm
Vậy với phương trình có hai nghiệm âm c Bài tập tự luyện
Bài Cho phương trình:
(25)a Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương
b Xác định m để phương trình có Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối nhỏ nghiệm dương
Bài Gọi a b nghiệm phương trình ; c d nghiệm phương trình
Chứng minh hệ thức
Dạng tốn 8: Lập phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước.
a Phương pháp chung
Bước 1: Tìm tổng S tích P hai nghiệm phương trình bậc hai muốn lập. Bước 2: Áp dụng định lí Vi-ét đảo lập phương trình dạng X2 – SX + P = 0. b Bài tập áp dụng
Bài (Bài 42/SBT-Trang 58)
Lập phương trình bậc có nghiệm là:
a b -4 c Giải
a Ta có S = P = Do ta có phương trình
Vậy phương trình cần tìm
b Ta có S = x1 + x2 = + = , P = x1x2 = Do ta có phương trình là: x2 – ( )x + 4 = 0 Vậy phương trình cần tìm x2 – ( )x + 4 = 0.
c Ta có S = P =
(26)Vậy phương trình cần tìm Bài (Bài 43/SBT-Trang 58)
Cho phương trình x2 + px – = có nghiệm x1 x2 Hãy lập phương trình có hai nghiệm hai số cho trường hợp sau:
1) -x1 -x2 2) Giải
Phương trình x2 + px – = có Do phương trình có hai nghiệm phân biệt
Theo định lí Vi-ét, ta có: x1 + x2 = , x1x2 = 1) Ta có -x1 + (-x2) = - (x1 + x2 ) = p -x1(-x2) = x1x2 = - Vậy phương trình cần lập : x2 - px - = 0.
2) Ta có:
+ = , =
Vậy phương trình cần lập : x2 - x = hay 5x2 - px - =
Nhận xét: Mặc dù tốn có nói x1, x2 nghiệm phương trình cho trước (như ví dụ phần b, ví dụ 2) Tuy nhiên ta phải tính biệt thức để khẳng định phương trình cho trước có hai nghiệm, từ áp dụng định lí Vi-ét Điều đảm bảo tính chặt chẽ tốn học lời giải coi đầy đủ, chọn vẹn
c Bài tập tự luyện
Bài Lập phương trình bậc có nghiệm là:
a b c
(27)Dạng toán 9: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a Phương pháp chung
Phương trình ax2 + bx + c = ( ) có nghiệm x1, x2 tam thức ax2 + bx + c phân tích thành nhân tử sau:
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2). b Bài tập áp dụng (Bài 6.3/SBT-Trang 59)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a x2 – 5x + 4; b 3x2+7x+4
Giải
a Phương trình x2 – 5x + = có a + b + c = – + = Do phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 =
Vì đa thức x2 – 5x + = (x – 1)(x – 4).
b Phương trình 3x2+7x+4= có a - b + c = – + = Do phương trình có hai nghiệm x1 = -1, x2 =
Vì đa thức 3x2 + 7x + = 3(x + 1)(x – ). c Bài tập tự luyện
Phân tích đa thức thành nhân tử: a
b 3x2+14x+8 c
d
Dạng tốn 10 Lập phương trình đường thẳng y = ax + b ( ) (d) quan hệ với Parabol y = mx2 ( ) (P).
(28) Để lập phương trình đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm
, ta làm sau:
Do đường thẳng (d) Parabol (P) có hai giao điểm nên hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình: mx2 = ax + b
mx2 - ax - b =
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
Từ hệ (I) tìm a b Phương trình (d) cần lập
Để lập phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) điểm
, ta làm sau:
Do (d) (P) có giao điểm nên phương trình mx2 - ax - b = có nghiệm kép: x1 = x2
Vận dụng hệ thức Viet, ta có:
Từ hệ (II) tìm a b Phương trình (d) cần lập
b Bài tập áp dụng
Bài Cho parabol (P) có phương trình: y = x2
Gọi A B hai điểm thuộc (P) có hồnh độ xA = -1; xB = Lập phương trình đường thẳng qua A B
Giải
Goi phương trình đường thẳng qua A B có dạng y = ax + b (AB) Phương trình hồnh độ giao điểm (AB) (P) là:
x2 = ax + b x2 - ax - b =0 (1).
(29)Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
Vậy phương trình đường thẳng qua A B là: y = x +
Bài Cho parabol (P): ; điểm A thuộc (P) có hồnh độ xA = Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) A
Giải
Gọi phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) A (d): y = ax + b Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là:
= ax + b x2 - 4ax - 4b = (*)
Ta có: xA = nghiệm kép (*) (x1 = x2 = xA ) Áp dụng hệ thức Vi-ét ra, ta có:
Vậy phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) A là: y = x – c Bài tập tự luyện
Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) đường thẳng (d) có phương trình: ; (a tham số)
a Với a = tìm toạ độ giao điểm đường thẳng (d) (P)
b Chứng minh với a đường thẳng (d) cắt (P) điểm phân biệt
c Gọi hoành độ giao điểm đường thẳng (d) (P) x1, x2 Tìm a để
Bài Cho phương trình
(30)Bài Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có phương trình: y = 2x2, một đường thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm
a Viết phương trình đường thẳng (d)
b CMR: (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B c Gọi hoành độ giao điểm A B xA, xB CMR: 7.3 Bài tập củng cố
Bài (Bài 31/SGK-Trang 54, 37/SBT-Trang 43). Tính nhẩm nghiệm phương trình sau:
a) 7x2 - 9x + = 0; b) 23x2 - 9x - 32 = 0; c) (5 + )x2 + (5 - )x - 10 = 0; d) x2 - x - = 0;
Bài (Bài 40/SBT-Trang 44) Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x2 phương trình, tìm giá trị m trường hợp sau:
a) Phương trình x2 - 13x + m = 0, biết nghiệm x1 = 12,5; b) Phương trình 4x2 + 3x – m2 + 3m = 0, biết nghiệm x1 = -2. Bài Tìm hai số u v trường hợp sau:
a) u - v = 10, u.v = - 24; b) u2 + v2 = 85, u.v = 18. Bài (Bài 6.4*/SBT-Trang 59)
Cho phương trình
a Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm
b Khi phương trình có nghiệm x1; x2, tính tổng S tích P hai nghiệm theo m
c Tìm hệ thức S P cho hệ thức khơng có m
Bài Cho phương trình 2x2 – 7x + = 0, nghiệm phương trình x1 x2. Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức:
(31)c)
Bài Cho phương trình 2x2 - 6x + = 0
a) Gọi hai nghiệm phương trình x1 x2 Tính x13 + x23 – 2(x12 + x22) + 3(x12x2 + x1x22)
b) Lập phương trình bậc hai có nghiệm Bài (Đề tuyển sinh 10 Vĩnh Phúc 2009-2010).
Cho phương trình (ẩn x): x2 - 2(m + 1)x + m2 - = Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x12+x22 = x1.x2 + 8.
Bài (Đề tuyển sinh 10 chuyên, Đại học sư phạm Hà Nội 2007-208). Cho phương trình: (1) (với ẩn ) 1) Với giá trị a phương trình có nghiệm;
2) Gọi hai nghiệm phương trình (1) ; Tìm giá trị a cho:
Bài (Đề tuyển sinh 10 Vĩnh Phúc 2013-2014)
1 Gọi hai nghiệm phương trình Tính giá trị biểu thức: Q =
2 Tìm m để phương trình x2 – 2(2m + 1)x + 4m2 + 4m = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện
Bài 10 (Đề tuyển sinh 10 chuyên, Đại học sư phạm Hà Nội 2008-2009) Cho phương trình: với m tham số
Gọi hai nghiệm phương trình cho Tìm tất giá trị m cho:
7.2 Khả áp dụng sáng kiến
(32)Qua trình nghiên cứu khảo sát, lưu ý phương pháp, kinh nghiệm đề xuất sáng kiến có tác động tích cực em học sinh, triển khai rộng rãi sáng kiến trường học toàn thành phố
8 Những thông tin cần bảo mật (nếu có): khơng. 9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
- Cần trang bị thêm tài liệu tham khảo môn; - Tăg cường thêm thời lượng dành cho môn; - Học sinh khối
10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) theo nội dung sau:
Trước áp dụng sáng kiến thấy nhiều học sinh lúng túng việc giải toán liên quan tới hệ thức Vi- ét Sau áp dụng sáng kiến, học sinh khắc phục nhiều nhược điểm, tỷ lệ học sinh làm tăng, học sinh nắm vững cách giải mà linh hoạt dạng toán khác Cụ thể kiểm tra lớp 9A, 9B thu kết sau:
Lớp Áp dụng đề tài
Kết kiểm tra
Giỏi Khá T.Bình Yếu Kém
SL % SL % SL % S
L
% SL v
9A 41 em
Chưa áp dụng Đã áp dụng 9B
39 em
Chưa áp dụng Đã áp dụng
(33)các dạng toán hệ thức Vi-ét Đặc biệt kì thi vào THPT tháng 5/2017 học sinh giải phần tập tốt, góp phần nâng cao điểm tốn tỉ lệ đỗ vào THPT
11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu
Số
TT Tên tổ chức/cá nhân Địa chỉ
Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
1 Trần Thị Nụ
tham gia giảng dạy mơn Tốn với học sinh lớp
9 Trường THCS Tô Hiệu
Trường THCS Tô Hiệu - Vĩnh
Yên-Vĩnh Phúc
Mơn Tốn Trường THCS Tơ Hiệu
Đống Đa, ngày tháng năm , ngày tháng năm Đống Đa, ngày tháng năm
Hiệu trưởng
(Ký tên, đóng dấu)
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP THÀNH PHỐ
(Ký tên, đóng dấu)
Tác giả sáng kiến
(Ký, ghi rõ họ tên)
(34)TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Tôn Thân – Sách giáo khoa, SBT lớp – Nhà xuất giáo dục -2009; Vũ Hữu Bình – Nâng cao phát triển tốn – NXB Giáo Dục – 2010; Tôn Thân – Các dạng toán phương pháp giải toán – Nhà xuất giáo
dục -2009;
4 Vũ Hữu Bình – Cơ nâng cao tốn – NXB Giáo Dục - 2010 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 mơn Tốn năm