NGHIỆM CỦA CÁC. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN.[r]
(1)NGHIỆM CỦA CÁC
(2)2 NGHIỆM CỦA PTVP CẤP n:
Nghiệm PTVP cấp n hàm Φ(x) khả vi liên tục đến cấp n khoảng xét
Φ(n)(x) = f(x, Φ(x), Φ’(x), Φ’’(x), …, Φ(n-1)(x))
Nghiệm tổng quát PTVP cấp n thƣờng chứa n số
tùy ý, tồn họ n tham số nghiệm
Nghiệm tốn giá trị đầu: Tìm nghiệm riêng suy từ nghiệm tổng quát PTVP cho thỏa mãn n giá trị đầu biết
(3)• PTVP là tuyến tính cấp n
y(n)(x) + p
1(x)y(n–1)(x) +… + pn-1(x)y´(x) + pn(x)y(x) = q(x)
• PTVP tuyến tính cấp n (khi vế phải q(x) = 0) i> Nếu y1(x), y2(x), , ym(x) nghiệm PTVP
tuyến tính tổ hợp tuyến tính chúng C1y1(x) + C2y2(x) + · · · + Cmym(x) nghiệm
Ii> Các nghiệm y1(x), y2(x), , ym(x) đƣợc gọi độc
lập tuyến tính định thức hàm
(4)iii> Nếu y1(x), y2(x), , yn(x) n nghiệm độc lập tuyến tính PTVP cấp n, tổ hợp tuyến tính chúng
Y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + · · · + Cnyn(x) đƣợc gọi nghiệm tổng qt
• PTVP tuyến tính cấp n với hệ số hằng
y(n) + a
n–1y(n–1) + · · · + a0y = (*)
có nghiệm dạng eβx với β thỏa mãn PT đặc tính βn + a
(5)• PTVP tuyến tính cấp n với hệ số hằng:
- Nếu phƣơng trình (**) có n nghiệm thực phân biệt βi
là nghiệm tổng quát của PTVP cấp n (*)
- Nếu β1 = α + iβ nghiệm phức (**),
thì β2 = α – iβ nghiệm PT đặc tính (**)
- Nếu β nghiệm kép PT đặc tính (**),
cũng nghiệm độc lập tuyến tính PT (*)
x n β n x
β x
β
1
e
C
e
C
e
C
Y(x)
βx
βx
1
e
và
y
xe
(6)y
(n)+ a
n–1y
(n–1)+ · · · + a
0y = q(x)
(***)
Nếu PTVP (***) có nghiệm riêng ζ(x), thì nghiệm tổng
quát của PTVP tuyến tính khơng nhất
với giả thiết βi nghiệm thực phân biệt PTVP đặc tính (**) tƣơng ứng
x n β n x
β x
β
1
e
C
e
C
e
C
ζ(x)
x
Y
ζ(x)
x
y
2
1
)
(
)
(7)• PTVP tuyến tính khơng cấp n hệ số hằng:
Ví dụ: Tìm nghiệm tổng qt phƣơng trình sau
y´´ – 4y´ + 3y = x
Giải: Từ PT đặc tính β2 - 4β + = β
1 = 1, β2 =
nghiệm tổng quát PT
Ta tìm nghiệm riêng
y
1(x) = ax + b
của PT ban đầu a = 1/3, b = 4/9
Vậy nghiệm tổng quát PT không
x x
1
e
C
e
C
x
Y
(
)
x x
1
1
C
e
C
e
9
4
x
3
1
x
Y
x
y
x
(8)y(n) = f(x, y, y’, …, y(n-1)) thỏa mãn giá trị đầu
) ( ) (
)
(
,
,
'
)
(
'
,
)
(
x
0y
0y
x
0y
0y
nx
0y
0ny
Ví dụ 1: Tìm nghiệm riêng PTVP
y’ = xy
thỏa mãn đ/k giá trị đầuy(0) = 1
Giải:
dx x y dy xy dx dy
tích phân vế ta có nghiệm TQ
2 x
Ae
y
C
2
x
|
y
|
ln
dx
x
y
dy
Từ đ/k y(0) = ta tìm đƣợc nghiệm riêng 2 x
(9)Giải BT Côsi: Tìm nghiệm PTVP cấp
y´ = f(x,y) biết giá trị đầu
y(x
0) = y
0 (****) • Giả sử f đủ khả vi theo x y, (****) có nghiệmnhất ∂f/∂y liên tục miền xét Khai triển nghiệm y(x) thành chuỗi Taylor xung quanh điểm x0:
• Tính đạo hàm cách lấy đạo hàm toàn phần (****) theo x:
y´ = f(x,y)
y´´ = f´ = f
x+ f
yy´ = f
x+ f
yf
y´´´ = f´´ = f
xx+ f
xyf + f
yxf + f
yyf
2+ f
yf
x+ f
y2f
= f
xx+ 2f
xyf + f
yyf
2+ f
xf
y+ f
y2f
''( )
! ) (
) (
' ) (
)
( 0
2 0
0
0 y x
2 x x
x y x
x y
(10)y´ = f(x,y)
thỏa mãn đ/k đầuy(a) = y
0 trên [a, b]1 Chọn bƣớc h = (b – a) / N, đặt
x
n= a + nh, n
= 0, 1, , N2 Tạo xấp xỉ
y
n choy(x
n)
từ phép đệ quyy
n+1= y
n+ hT
k(x
n,y
n)
n
= 0, l, , N –trong Tk(x, y) đƣợc định nghĩa
Sai số địa phƣơng thuật toán Taylor bậc k là
, , ), , ( ! ) , ( ' ! ) , ( ) ,
( f ( ) x y k
k h y x f h y x f y x
T k
1 k
k