Bài giảng Phương pháp số: Bài 6 - ThS. Nguyễn Thị Vinh

NGHIỆM CỦA CÁC. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN.[r]

NGHIỆM CỦA CÁC

2 NGHIỆM CỦA PTVP CẤP n:

Nghiệm PTVP cấp n hàm Φ(x) khả vi liên tục đến cấp n khoảng xét

Φ(n)(x) = f(x, Φ(x), Φ’(x), Φ’’(x), …, Φ(n-1)(x))

Nghiệm tổng quát PTVP cấp n thƣờng chứa n số

tùy ý, tồn họ n tham số nghiệm

Nghiệm tốn giá trị đầu: Tìm nghiệm riêng suy từ nghiệm tổng quát PTVP cho thỏa mãn n giá trị đầu biết

• PTVP là tuyến tính cấp n

y(n)(x) + p

1(x)y(n–1)(x) +… + pn-1(x)y´(x) + pn(x)y(x) = q(x)

• PTVP tuyến tính cấp n (khi vế phải q(x) = 0) i> Nếu y1(x), y2(x), , ym(x) nghiệm PTVP

tuyến tính tổ hợp tuyến tính chúng C1y1(x) + C2y2(x) + · · · + Cmym(x) nghiệm

Ii> Các nghiệm y1(x), y2(x), , ym(x) đƣợc gọi độc

lập tuyến tính định thức hàm

iii> Nếu y1(x), y2(x), , yn(x) n nghiệm độc lập tuyến tính PTVP cấp n, tổ hợp tuyến tính chúng

Y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + · · · + Cnyn(x) đƣợc gọi nghiệm tổng qt

• PTVP tuyến tính cấp n với hệ số hằng

y(n) + a

n–1y(n–1) + · · · + a0y = (*)

có nghiệm dạng eβx với β thỏa mãn PT đặc tính βn + a

• PTVP tuyến tính cấp n với hệ số hằng:

- Nếu phƣơng trình (**) có n nghiệm thực phân biệt βi

là nghiệm tổng quát của PTVP cấp n (*)

- Nếu β1 = α + iβ nghiệm phức (**),

thì β2 = α – iβ nghiệm PT đặc tính (**)

- Nếu β nghiệm kép PT đặc tính (**),

cũng nghiệm độc lập tuyến tính PT (*)

x n β n x

β x

β

1

e

C

e

C

e

C

Y(x)









βx

βx

1

e

và

y

xe

y

(n)

+ a

n–1

y

(n–1)

+ · · · + a

0

y = q(x)

(***)

Nếu PTVP (***) có nghiệm riêng ζ(x), thì nghiệm tổng

quát của PTVP tuyến tính khơng nhất

với giả thiết βi nghiệm thực phân biệt PTVP đặc tính (**) tƣơng ứng

x n β n x

β x

β

1

e

C

e

C

e

C

ζ(x)

x

Y

ζ(x)

x

y

2

1















)

(

)

• PTVP tuyến tính khơng cấp n hệ số hằng:

Ví dụ: Tìm nghiệm tổng qt phƣơng trình sau

y´´ – 4y´ + 3y = x

Giải: Từ PT đặc tính β2 - 4β + =  β

1 = 1, β2 =

 nghiệm tổng quát PT

Ta tìm nghiệm riêng

y

1

(x) = ax + b

của PT ban đầu

 a = 1/3, b = 4/9

Vậy nghiệm tổng quát PT không

x x

1

e

C

e

C

x

Y

(

)





x x

1

1

C

e

C

e

9

4

x

3

1

x

Y

x

y

x

y(n) = f(x, y, y’, …, y(n-1)) thỏa mãn giá trị đầu

) ( ) (

)

(

,

,

'

)

(

'

,

)

(

x

0

y

0

y

x

0

y

0

y

n

x

0

y

0n

y













Ví dụ 1: Tìm nghiệm riêng PTVP

y’ = xy

thỏa mãn đ/k giá trị đầu

y(0) = 1

Giải:

dx x y dy xy dx dy  

 tích phân vế ta có nghiệm TQ

2 x

Ae

y

C

2

x

|

y

|

ln

dx

x

y

dy

















Từ đ/k y(0) = ta tìm đƣợc nghiệm riêng 2 x

Giải BT Côsi: Tìm nghiệm PTVP cấp

y´ = f(x,y) biết giá trị đầu

y(x

0

) = y

0 (****) • Giả sử f đủ khả vi theo x y, (****) có nghiệm

nhất ∂f/∂y liên tục miền xét Khai triển nghiệm y(x) thành chuỗi Taylor xung quanh điểm x0:

• Tính đạo hàm cách lấy đạo hàm toàn phần (****) theo x:

y´ = f(x,y)

y´´ = f´ = f

x

+ f

y

y´ = f

x

+ f

y

f

y´´´ = f´´ = f

xx

+ f

xy

f + f

yx

f + f

yy

f

2

+ f

y

f

x

+ f

y2

f

= f

xx

+ 2f

xy

f + f

yy

f

2

+ f

x

f

y

+ f

y2

f



 

 



 ''( )

! ) (

) (

' ) (

)

( 0

2 0

0

0 y x

2 x x

x y x

x y

y´ = f(x,y)

thỏa mãn đ/k đầu

y(a) = y

0 trên [a, b]

1 Chọn bƣớc h = (b – a) / N, đặt

x

n

= a + nh, n

= 0, 1, , N

2 Tạo xấp xỉ

y

n cho

y(x

n

)

từ phép đệ quy

y

n+1

= y

n

+ hT

k

(x

n

,y

n

)

n

= 0, l, , N –

trong Tk(x, y) đƣợc định nghĩa

Sai số địa phƣơng thuật toán Taylor bậc k là

, , ), , ( ! ) , ( ' ! ) , ( ) ,

( f ( ) x y k

k h y x f h y x f y x

T k

1 k

k     

  

h

x

x

y

1

k

h

1

k

y

f

h

E

k n n