Bài giảng Sức bền vật liệu 1 nâng cao

- Xác định được chuyển vị (độ võng, góc xoay) của dầm chịu uốn bằng các phương pháp: tích phân không định hạn và đồ toán (tải trọng giả tạo). Đường cong của trục dầm sau khi bị uốn gọi [r]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG KHOA KỸ THUẬT - CÔNG NGHỆ

*******

ThS NGUYỄN QUỐC BẢO

BÀI GIẢNG

SỨC BỀN VẬT LIỆU NÂNG CAO

(Dùng cho sinh viên cao đẳng)

MỤC LỤC

Mục lục ……… ……… …… ………….

Lời nói đầu ……… ……… ……… …… ………….

Chƣơng CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN 6.1 Khái niệm ………… ……

6.2 Phương trình vi phân gần đường đàn hồi ……… …… …

6.3 Phương pháp tích phân khơng định hạn ……… …… … ……

6.4 Phương pháp đồ toán (phương pháp tải trọng giả tạo) ….… …… 11

6.5 Bài toán siêu tĩnh chịu uốn ……… ……… …… …… 16

Câu hỏi ôn tập……… ……… 18

Trắc nghiệm ……… ……… ……… ……… 18

Chƣơng THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP 7.1 Khái niệm ……….……… ……… …… ……… 20

7.2 Thanh chịu uốn xiên ………….……… ………… …… ……… 20

7.3 Thanh chịu uốn kéo - nén ……… ……… ……… 35

7.4 Thanh chịu kéo - nén lệch tâm … … ……… … ….…… 44

7.5 Thanh chịu uốn xoắn ……… …… …….……….…… 50

7.6 Thanh chịu lực tổng quát ………… …… …… ….……… 56

Câu hỏi ôn tập……… ……… 57

Trắc nghiệm ……… ……… ……… ……… 57

LỜI NÓI ĐẦU

(Cho lần điều chỉnh, bổ sung lần nhất)

Sức bền vật liệu là môn khoa học thực nghiệm thuộc khối kiến thức kỹ thuật sở giảng dạy các ngành kỹ thuật trường đại học, cao đẳng Mục đích mơn học cung cấp kiến thức cần thiết cơ học vật rắn biến dạng nhằm giải vấn đề liên quan từ thiết chế tạo, hỗ trợ cho việc nghiên cứu các môn học chuyên ngành khác lĩnh vực khí xây dựng

Bài giảng Sức bền vật liệu nâng cao được biên

soạn sau tài liệu Bài giảng Sức bền vật liệu dành

cho sinh viên bậc cao đẳng ngành Cơ khí đào tạo theo học chế tín Trường đại học Phạm Văn Đồng Bài giảng

gồm chương Trong chương có phần Câu hỏi ôn

tập và Trắc nghiệm giúp cho học viên củng cố kiến thức học Đi kèm với Bài giảng này, chúng tơi có biên

soạn tài liệu Bài tập Sức bền vật liệu nâng cao

Bài giảng biên soạn nhằm giúp sinh viên cao đẳng học chế tín có thêm tài liệu tham khảo Tuy có điều chỉnh bổ sung chắn không tránh khỏi sai sót, mong đóng góp bạn đọc để tài liệu ngày hồn thiện Chúng tơi xin chân thành cảm ơn

Quảng Ngãi, tháng 12/2016 Người biên soạn Mobil: 090 531 1727

Chương

CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN A MỤC TIÊU

- Thiết lập phương trình vi phân gần đường đàn hồi

- Xác định chuyển vị (độ võng, góc xoay) dầm chịu uốn phương pháp: tích phân khơng định hạn đồ tốn (tải trọng giả tạo)

B NỘI DUNG 6.1 KHÁI NIỆM

6.1.1 Đƣờng đàn hồi, độ võng, góc xoay

- Đường đàn hồi: Trong uốn phẳng, dầm chịu tác dụng ngoại lực

mặt phẳng quán tính trung tâm trục dầm bị uốn cong (H 6.1)

Đường cong trục dầm sau bị uốn gọi đường đàn hồi Bán kính cong

của dầm vị trí xác định:

x x

M

ρ= EJ (6.1)

Hình 6.1

- Chuyển vị: Chuyển vị tiết diện đặc trưng chuyển vị thẳng trọng tâm chuyển vị xoay mặt phẳng tiết diện

+ Chuyển vị thẳng: Chuyển vị thẳng phân làm hai thành phần: chuyển vị ngang u chuyển vị đứng v Với giả thiết biến dạng bé, nên thành phần chuyển vị ngang u số vô bé bậc hai so với chuyển vị đứng v nên có

thể bỏ qua Do chuyển vị thẳng cho chuyển vị đứng v gọi độ

võng của dầm:

y = y(z) = v(z)

y

a) b)

Đường đàn hồi

y

z dz

dz

dy

Z

P 

dy y



+ Chuyển vị xoay: Chuyển vị xoay tiết diện góc so với vị trí ban

đầu gọi góc xoay:

 z y dz dy

' tan  

Vì chuyển vị bé (y << l) nên y  z

dz dy

' tan  

 



Vậy: Đạo hàm đường đàn hồi góc xoay mặt cắt dầm bị biến dạng

6.1.2 Qui ƣớc dấu độ võng góc xoay

- Độ võng y > 0: hướng theo chiều dương trục y, tức hướng xuống

- Góc xoay  > 0: quay trục z đến tiếp tuyến với đường đàn hồi điểm khảo sát theo chiều kim đồng hồ, hay mặt cắt điểm khảo sát sau biến dạng quay theo chiều kim đồng hồ

6.1.3.Điều kiện cứng dầm chịu uốn

Trong kỹ thuật, người ta khống chế độ võng lớn dầm ymax (điều

kiện cứng) theo công thức:

max 1

1000 100

y L

     

    max

1

1000 100

y    L

  (6.2)

Với L chiều dài dầm nhịp dầm

6.2 PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN GẦN ĐÚNG CỦA ĐƢỜNG ĐÀN HỒI 6.2.1 Phƣơng trình vi phân gần

Theo hình học vi phân, ta có độ cong hàm y(z) xác định:

 3 2

1 "

1 '

y y

    (6.3)

So sánh (6.1) (6.3) ta được:

( 2)32

" '

x x M y

EJ y

= ± +

Khảo sát dầm bị uốn cong hai trường hợp hình vẽ (H 6.2) ta thấy

( 2)32 " '

x x

M y

EJ y

= -+

Vì dầm có chuyển vị bé nên:

'

y << 1, ta có phương trình vi phân gần

của đuờng đàn hồi:

x x EJ M

y'' (6.4)

Hình 6.2

6.2.2 Các phƣơng pháp xác định độ võng góc xoay

Có ba phương pháp để xác định độ võng góc xoay: 1) Phương pháp tích phân khơng định hạn

2) Phương pháp đồ tốn (phương pháp tải trọng giả tạo) 3) Phương pháp diện tích momen

Ta khảo sát hai phương pháp xác định thường dùng

6.3 PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN KHƠNG ĐỊNH HẠN 6.3.1 Phƣơng trình góc xoay phƣơng trình đƣờng đàn hồi

Bằng phương pháp tích phân khơng xác định, ta lấy tích phân liên tiếp biểu thức (6.4), ta được:

- Phương trình góc xoay:

' x x M

y dz C

EJ

      (6.5)

- Phương trình đường đàn hồi:

x

x

M

y dz dz Cz D EJ

 

       

  (6.6)

Trong đó: C D số tích phân xác định theo điều kiện biên (điều kiện chuyển vị góc xoay đầu dầm)

y O

z

Mx Mx

0 x

M 

y'' < 0 y ''0

0

x

6.3.2 Điều kiện biên số dầm đơn giản a) Đầu ngàm dầm console (H 6.3a): Chuyển vị góc xoay khơng

0

  A A

y 

b) Dầm đặt hai gối tựa (H 6.3b):

- Tại đầu khớp, gối đỡ dầm đơn giản chuyển vị không

0

  B

A y

y

- Tại nơi tiếp giáp hai đoạn dầm có phương trình đàn hồi khác nhau: chuyển vị góc xoay bên trái bên phải

ph C tr C

ph C tr C y

y



 



Hình 6.3

Ví dụ 6.1: Cho dầm console hình vẽ (H 6.4) Biết: P, l, EJ = const a) Viết phương trình độ võng góc xoay dầm

b) Tính độ võng góc xoay đầu tự dầm

Giải:

a) Viết phương trình độ võng góc xoay dầm

Hình 6.4

Momen uốn mặt cắt có hồnh độ z là:

A A B

0 

B

y

0

 A

y

C

0



 A

A

y 

a) b)

P z

l

l - z

MX

Mx + P (l – z) =  Mx= - P (l – z) Phương trình vi phân đường đàn hồi:

( )

" x

x x

M P

y l z

EJ EJ

= - =

-Phương trình góc xoay:

  z C

EJ P z EJ Pl z y x x     ' 

Phương trình đường đàn hồi:

2

2 x x

Pl P

y z z Cx D EJ EJ

= - + +

Điều kiện biên: O (z = 0): y’ = y =  C = D =

Vậy:  

' z EJ P z EJ Pl z y x x   

Và: 

       J 2 x z l z E P y

b) Tính độ võng góc xoay đầu tự dầm Độ võng góc xoay lớn z = l:

x A A EJ Pl E Pl y y J max x max       0 A

  nghĩa mặt cắt ngang sau biến dạng xoay góc chiều

kim đồng hồ yA 0 nghĩa chuyển vị xuống phía theo chiều dương

của trục y

Ví dụ 6.2: Cho dầm đặt lên hai gối đỡ có chiều dài L chịu tác dụng tải

trọng phân bố q hình vẽ (H 6.5a) Biết: EJx = const

a) Viết phương trình độ võng góc xoay dầm b) Tính giá trị độ võng góc xoay lớn

Giải:

Phản lực hai gối tựa:

2 A B

qL V V 

Momen uốn mặt cắt có hồnh độ z là:

Mx - VA.z +

2

qz

= 

2

2

x

qLz qz M  

Hình 6.5

Phương trình vi phân đường đàn hồi:

( 2)

"

2 x

x x

M q

y Lz z

EJ EJ

= - = -

-Phương trình góc xoay:

2

'

2 x

q Lz z

y C

EJ

      

  (a)

Phương trình độ võng:

D Cz z Lz EJ q y x            12 (b) Điều kiện biên: A (z = 0): y(0) = ; B (z = L): y(L) =

Thay vào (a) (b) ta được: C =

3 24 x

qL

EJ ; D =

Vậy: ' 622 433

24 x

qL z z y

EJ L L

       

 

Và:

3

2

x

2 24 J

qL z z z y

E L L

      

 

b) Tính giá trị độ võng góc xoay lớn - Độ võng lớn nhịp [vì y’

2 L    

 = 0]:

4 max

x 384 J

L qL y y E       

- Góc xoay lớn gối tựa A (z = 0) B (z = L) [vì có y” = 0]:

+ Tại A (z = 0):

3 max 24 A x qL EJ   

+ Tại B (z = L): max

24 B x qL EJ    

* Nhận xét: Khi tính tốn ta vào sơ đồ dầm tải trọng tác dụng mà

chia dầm thành nhiều đoạn cho đoạn biểu thức momen uốn nội lực Mx độ cứng EJx hàm liên tục Nghĩa ta phải lập phương trình

đường đàn hồi cho đoạn đoạn ta phải xác định hai số tích phân

Vậy dầm chia làm n đoạn, ta phải lập n phương trình đường đàn hồi xác định 2n số tích phân Do tốn áp dụng phương pháp có nhược điểm có khối lượng tính tốn nhiều phải chia làm nhiều đoạn nên ít áp dụng để giải

6.4 PHƢƠNG PHÁP ĐỒ TOÁN (PHƢƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO)

6.4.1 Khái niệm

2

2 ( ) ( )

y x dQ

d M

q z a

dz  dz 

Đồng thời, ta có liên hệ nội lực chuyển vị sau:

2 "

2 ( )

EJ x x

M d y

y b

dz

  

Như ta biết Chương 1, vẽ biểu đồ nội lực biết q(z) ta suy

biểu đồ Qy Mx mà khơng cần tích phân (a)

Dựa vào tương tự hai liên hệ vi phân (a) (b), ta tìm y(z) y’(z) mà khơng cần tích phân (b)

Ta tưởng tượng tác dụng lên dầm (gọi dầm giả tạo) tải

trọng phân bố giả tạo có cường độ là:

EJ x gt

x M

q   (6.7)

Nghĩa qui luật phân bố tải trọng giả tạo qgt giống qui luật phân

bố

EJ x x

M

Do đó, gọi momen uốn dầm giả tạo Mgt, thì:

2

2

EJ

gt x

gt x

d M M

d y

q

dz     dz

Hay:

2

2

" d y d Mgt gt

y q

dz dz

  

Hoặc: dy' dQgt

dz  dz

6.4.2 Chọn dầm giả tạo

Ta phải chọn dầm giả tạo điều kiện liên kết cho có tương ứng

giữa độ võng y dầm thực với momen uốn giả tạo Mgt dầm giả tạo cũng

như tương ứng góc xoay  dầm thực với lực cắt giả tạo Qgt dầm

giả tạo

y (dầm thực) = Mgt (dầm giả tạo)

Như vậy, thay tính tích phân phương trình vi phân (6.4) ta cần tính lực cắt giả tạo Qgt để có góc xoay  tính momen uốn giả tạo Mgt để có độ

võng y dầm thực

Ta chọn dầm giả tạo tương ứng với dầm thực theo Bảng 6.1

Bảng 6.1 Dầm giả tạo tương ứng với dầm thực

Dầm thực Dầm giả tạo

y = 0; y = 0;

 0  0

Mgt= 0; Mgt= 0;

Qgt 0 Qgt 0

y = 0; y 0;

 =  0

Mgt= 0; Mgt 0; Qgt= Qgt 0

y 0; y = 0; y = 0;

 0  0  0

Mgt 0; Mgt= 0; Mgt= 0;

Qgt 0 Qgt  Qgt 

y 0; y = 0; y = 0; y 0;

 0  0  0  0

Mgt 0; Mgt= 0; Mgt= 0; Mgt 0; Qgt 0 Qgt 0 Qgt 0 Qgt 0

6.4.3 Xác định tải trọng giả tạo qgt, lực cắt giả tạo Qgtvà momen giả tạo Mgt

6.4.3.1 Xác định tải trọng giả tạo qgt Ta có:

EJ x gt

x M

- Nếu Mx > qgt < 0: chiều qgt hướng xuống phía - Nếu Mx < qgt > 0: chiều qgt hướng lên phía 6.4.3.2 Xác định lực cắt giả tạo Qgtvà momen giả tạo Mgt

Ta có: Qgt     qgt (6.8) Mgt     qgt zC (6.9)

Do ta cần xác định diện tích    qgt hoành độ trọng tâm diện tích zC

của hình giới hạn đường cong Bảng 6.2 cho ta số liệu số hình

thường gặp

Bảng 6.2 Diện tích vị trí trọng tâm số hình thường gặp

qgt Hình Diện tích

Vị trí trọng tâm

 zC

Đường bậc

Lh

2L

Đường bậc hai

lõm

Lh

3L

Đường bậc hai

lồi

2Lh

5L

Đường bậc n

Lh n +1

n +1 L

n + zC

L

h

C

C

h

L zC

zC

L

h

C

zC

L

h

Đường bậc hai đối xứng

2Lh

L

6.4.4 Trình tự tìm góc xoay độ võng

1) Vẽ biểu đồ Mx: vào sơ đồ dầm tải trọng tác dụng

2) Chọn dầm giả tạo tương ứng: theo Bảng 6.1 3) Đặt tải trọng giả tạo qgt lên dầm giả tạo:

EJ x gt

x M q  

4) Tính :

 = Qgt     qgt

5) Tính y:

y = Mgt =    qgt zC

Ví dụ 6.3: Cho dầm console chịu tải trọng phân bố q hình vẽ (H 6.6a)

Tính độ võng góc xoay đầu tự dầm Biết dầm có độ cứng EJx

là số

Giải:

- Vẽ biểu đồ momen uốn (H 6.6b): Mx đường cong bậc hai lõm (Mx <

vì làm căng thớ trên)

- Chọn dầm giả tạo: hình 6.6c

- Đặt tải trọng giả tạo qgt lên dầm giả tạo:

EJ x gt

x M

q   > (vì Mx < 0) có

chiều hướng lên (H 6.6c)

- Tính góc xoay  độ võng y:

Góc xoay  độ võng y đầu tự dầm lực cắt giả tạo Qgt

và momen uốn giả tạo Mgt B dầm giả tạo

Ta có:

C

h

zC

B

 = B gt

Q

2

1

0

3

gt AB

x x

qL qL

q x xL

EJ EJ

 

     

y = Mgt =

3

3

6

gt AB C

x x

qL qL

q z x L

EJ EJ

 

    

Mặt cắt sau biến dạng chuyển vị hướng phía xoay theo chiều kim đồng hồ

Hình 6.6

6.5 BÀI TỐN SIÊU TĨNH CỦA THANH CHỊU UỐN

Bài toán siêu tĩnh tốn mà ta khơng thể xác định phản lực nội lực phương trình cân tĩnh học, số ẩn số cần tìm ln lớn số phương trình cân tĩnh học thiết lập

Để giải toán siêu tĩnh, ta cần thiết lập thêm số phương trình cần thiết dựa vào điều kiện biến dạng

Ta dùng phương pháp đồ tốn để tính độ võng góc xoay cho

phương trình biến dạng

Ví dụ 6.4: Vẽ biểu đồ nội lực Qy Mx dầm siêu tĩnh chịu lực q =

const hình vẽ (H.6.7a). Biết dầm có độ cứng EJx số

c)

L

A

q

B

qL2 2

Mx

qL2 2EJx

a)

Giải:

- Xác định phản lực ngàm A gối đỡ B

Ta có bốn ẩn số (phản lực liên kết) cần tìm có ba phương trình cân tĩnh học

Vì ta cần phải thiết lập thêm phương trình theo điều kiện biến dạng

Giả sử bỏ gối đỡ B thay phản lực VB (H 6.7b). Ta

dầm tĩnh định chịu tác dụng lực phân bố q lực tập trung VB (chưa

biết)

Hình 6.7

Điều kiện biến dạng độ võng đầu tự B phải không: yB =

B q

A

L

A

q

B VB

qL2

2EJx

VB.L

E.Jx

5 8

+

_

a)

b)

c)

d) qL

qL2 8 1

9

128 qL

2

qL 8 3

Qy

Do để thiết lập biểu thức yB = ta áp dụng phương pháp đồ toán:

yB = B

gt

M =

2

1

3 EJ

B gt AB C

x x

V L qL

q x x xLx L x xLx L EJ

 

    



hay: yB =

3

0

8 3EJ

B

x x

V L qL

EJ  

Suy ra:

8 B

V  qL

- Vẽ biểu đồ nội lực Qy Mx

Tính VB ta dễ dàng vẽ biểu đồ nội dầm tĩnh định hình 6.7b

cũng biểu đồ nội lực dầm siêu tĩnh cho (H 6.7d).

C CÂU HỎI ÔN TẬP

1 Thế đường đàn hồi, độ võng, góc xoay uốn? Phương trình vi phân gần đường đàn hồi?

2 Xác định độ võng góc xoay phương pháp tích phân khơng định hạn 3 Thế dầm giả tạo, tải trọng giả tạo? Cách chọn dầm giả tạo xác định

tải trọng giả tạo?

4 Trình tự xác định độ võng góc xoay phương pháp đồ tốn D TRẮC NGHIỆM

1 Đường đàn hồi là:

a) đường cong trục dầm sau bị uốn

b) đường đồ thị biểu diễn độ võng dầm bị uốn c) đường đồ thị biểu diễn góc xoay dầm bị uốn

2 Góc xoay  dương khi:

a) quay từ trục đến tiếp tuyến với đường đàn hồi điểm khảo sát theo chiều kim đồng hồ

b) mặt cắt sau biến dạng quay theo chiều kim đồng hồ c) hai câu

3 Độ võng y dương khi:

a) hướng theo chiều âm trục y (hướng lên trên)

4 Khi tính chuyển vị phương pháp tích phân khơng định hạn ta chia dầm

thành nhiều đoạn cho:

a) đoạn có độ cứng EJx hàm số liên tục

b) đoạn có biểu thức momen uốn Mxlà hàm số liên tục

c) hai điều kiện

5 Tải trọng giả tạo  qgt :

a) dương (> 0) có chiều hướng lên

b) ngược chiều với momen uốn Mx

Chương

THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP

A MỤC TIÊU

- Nắm vững kiến thức khảo sát chịu lực phức tạp: uốn xiên, uốn kéo - nén, kéo - nén lệch tâm, kéo xoắn chịu lực tổng quát

- Xác định nội lực, ứng suất, đường trung hòa, biểu đồ ứng suất, điều kiện bền trường hợp chịu lực

B NỘI DUNG 7.1 KHÁI NIỆM

Trong trường hợp xét chịu lực kéo - nén tâm, chịu xoắn tuý, chịu uốn tuý phẳng mặt cắt ngang có thành

phần nội lực gọi thanh chịu lực đơn giản

Thực tế mặt cắt ngang xuất nhiều thành phần nội lực

được gọi thanh chịu lực phức tạp

Để giải toán này, ta áp dụng “nguyên lý cộng tác dụng” để thiết lập

công thức ứng suất biến dạng; nghĩa là: ứng suất biến dạng nhiều yếu

tố tác động đồng thời gây tổng ứng suất biến dạng từng yếu tố gây

Điều kiện để sử dụng nguyên lý dựa giả thiết vật liệu: - Vật liệu làm việc miền đàn hồi tuân theo định luật Hooke - Chuyển vị biến dạng bé

Ảnh hưởng lực cắt đến độ bền toán chịu lực phức tạp

nhỏ nên bỏ qua Nếu cần tính đến áp dụng theo “ngun lý cộng tác

dụng”

7.2 THANH CHỊU UỐN XIÊN 7.2.1 Khái niệm

Một gọi chịu uốn xiên mặt cắt ngang có hai thành phần

nội lực momen uốn MxvàMy nằm mặt phẳng quán tính trung