2- Từ một phần tường bao quanh trường, một lớp học sinh dùng một sợi dây dài 40m căng ba phía để thành một vườn trồng hình chữ nhật... Tìm giá trị của m để một trong các nghiệm của phươ[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8Năm học 2010-2011 MƠN THI: TỐN
Ngày thi: 18 /4/2011
Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Đề thi có bài, gồm trang. Bài 1: (3 điểm)
Cho biểu thức: A= [32x− x+1.(
x+1
3x − x −1)]: x −1
x
a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên
Bài 2: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng: a2 + b2 ≥
2 với a+ b ≥1
b) Kí hiệu [a] ( phần nguyên a) số ngun lớn khơng vượt q a Tìm x biết rằng: [3411x+19]=2x+1
Bài 3: (3 điểm)
Lúc giờ, ca nơ xi dịng từ A đến B cách 36 km, quay trở A lúc 11 30 phút Tính vận tốc ca nơ xi dịng, biết vận tốc nước chảy km/h
Bài 4: (5 điểm)
a) Hãy tính số bị chia, số chia thương số phép chia sau đây:
abcd : dcba = q biết ba số bình phương số nguyên ( những chữ khác chữ số khác )
b) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: b a
+c − a+
b a+c −b+
c a+b − c≥3
Bài 5: ( điểm)
Cho đoạn thẳng AB = a Gọi M điểm nằm A B Vẽ phía AB hình vng AMNP, BMLK có tâm theo thứ tự C, D Gọi I trung điểm CD a Tính khoảng cách từ I đến AB
b Khi điểm M di chuyển đoạn thẳng AB điểm I di chuyển đường nào?
Hết
Họ tên thí sinh: Chữ kí giám thị1: Số báo danh: Chữ kí giám thị 2:
(2)* Giám thị không giải thích thêm.
PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG LỚP 8Năm học 2010-2011 MƠN : TỐN
Hướng dẫn chấm có trang
Câu Nội dung Điểm
Bài 1
(3điểm)
ĐKXĐ: x ≠ 1, x ≠ -1 , x ≠ a)A= [32x−
x+1.(
x+1
3x − x −1)]: x −1
x =
[ 3x−
2 x+1.(
x+1−3x2−3x
3x )] x x −1=[
2 3x−
2 x+1
1−2x −3x2 3x ]
x x −1=¿[
2 3x−
2 x+1
(x+1) (1−3x)
3x ] x x −1=
2−2+6x
3x x x −1=
2x x −1
0,5
1,5 b) A= x −2x1=2(x −1)+2
(x −1) =2+
2
x −1
Để A có giá trị nguyên ị x −21 có giá trị ngun ịx-1ẻƯ(2) = {±1;±2}⇒x∈{−1;0;2;3} x ≠ -1; x ≠0 ⇒{x}={2;3}
0,5
0,5
Bài:2
(4 điểm)
a) Theo ta có a+b ⇔ a2+ 2ab +b2 ≥1 (1) Mặt khác : (a-b)2 ≥ ⇔ a2- 2ab +b2 ≥ (2)
Từ (1) (2) suy ra: 2(a2+ b2) ≥1 ⇔ a2+b2≥
0,75 0,75 0,5 b) [3411 x+19 ]=2x+1 ⇔ 0≤34x+19
11 −(2x+1)<1 2x+1ẻZ
⇔ 0≤12x+8 <11 ⇔ -8≤ 12x < ⇔ −4
3 ≤2x< 2⇔
−1
3 ≤2x+1<
Do 2x+1ẻZ ị 2x+1 =0 2x+1 =1 ị x=−1
2 ; x=0
1,0 0,5 0,5
Bài:3
(3 điểm)
Gọi x(km/h) vận tốc ca nơ xi dịng (ĐK: x>12) Vận tốc ca nơ nước lặng : x-6 (km/h)
Vận tốc ca nơ ngược dịng là: x-12 (km/h)
Thời gian ca nô 4,5 nên ta có phương trình:
36 x +
36 x −12=
9
0,5
1,0
(3)ị (x-4)( x-24) =
ị x=4 (Loại) x=24(thoả mãn điều kiện) Vậy vận tốc ca nơ xi dịng 24km/h
1,0 0,5
Bài:4
(5 điểm)
a) abcd : dcba = q Vì q≠1 ị q=4 q=9 a;d phải số thuộc {1;4;5;6;9} a≠ 0, d≠
Do abcd = dcba x q nên d <3 ị d =1
Giả sử q=4 1cba x 4=abc1(vơ lí ) 1cba x phải số chẵn nên q =9
Với q=9 ta có 1cba x = abc1 suy a=9 , c < tích 1cba x số có chữ số ta lại có c≠ d tức c≠ ị c=
Ta thấy abcd = 9b01= 10b9 x 9b01 số chia hết cho ị b=8 tóm lại ta có 9801:1089=9
Thử lại ta có 9801= 99x99 ; 1089 = 33x33 ; = 3x3
0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
b) Đặt x = b+c –a , y = a+c-b , z = a+b c ị (x,y,z >0) ị x+y+z = a+b+c 2a = a+b+c – (b+c-a) =x+y+z-x = y+z ⇒a=y+z
2 t¬ng tù : b=x+z
2 ;c= x+y
2
BĐT chứng minh tơng đơng với : y+z x +
x+z
y + x+y
z ≥6
⇒(y
x+ x y)+(
z x+
x z)+(
y z+
z
y)≥6 B®t ( a b+
b a)≥2 Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh
1,0 1,0 0,5
Bài:5
(5 điểm)
a) Kẻ CE, IH, DF vuông góc với AB
suy tứ giác CDFE hình thang vuông
chng minh c : CE = AM
2 ,DF= BM ÞCE+DF= AB = a
2⇒IH= a
b) Khi M di chuyển AB I di chuyển đoạn RS song song với AB cách AB khoảng a
4 ( R trung điểm AQ , S trung điểm BQ , Q giao điểm BL AN)
(4)(Bài hình học sinh không vẽ hình không chấm điểm)
PHềNG GI O D C V Á Ụ À ĐÀO T O Ạ ĐỀ THI H C SINH GI I- N M H C 2011- Ọ Ỏ Ă Ọ 2012
HUY N HO NG HO MÔN THI: TO N - L P 8Ệ Ằ Á Á Ớ
Th i gian l m b i: 120 phút (Không k th i gian giao ờ à à ể ờ )
đề
B i 1à : (3,0 i m) đ ể
Cho bi u th c A = ể ứ 2
1
:
1 1
x x
x x x x
a) Rút g n bi u th c A.ọ ể ứ b) Tìm x để A >
B i 2à : (4,0 i m) đ ể
a) Ch ng minh r ng bi u th c sau không ph thu c v o bi n x:ứ ằ ể ứ ụ ộ ế ( 6x + 7)(2x – 3) – (4x + 1)
7
4
x
b) Tính giá tr bi u th c P = ị ể ứ
x y x y
Bi t ế x2 – 2y2 = x y ( x + y 0, ≠ y 0).≠
B i 3à : (4,0 i m) đ ể
a) Gi i phả ương trình: x6 – 7x3 – = 0
b) Ch ng minh r ng: N u 2n + v 3n + (n ứ ằ ế N) đề àu l s phố ương n chia h t cho 40.ế
B i 4à :(6,0 i m) đ ể
Cho tam giác ABC có ba góc nh n, ọ đường cao BD, CE c t t i H.ắ a) Ch ng minh ứ ABD ACE
b) Ch ng minh BH.HD = CH.HE.ứ
c) N i D v i E, cho bi t BC = a, AB = AC = b Tính ố ế độ đ d i o n th ng DE theo a,ẳ b
B i 5à : (3.0 i m) đ ể
a) Gi i phả ương trình: (8x – 4x2 – 1).(x2 + 2x + 1) = 4(x2 + x + 1) b) Cho hai s a, b tho mãn a + b Ch ng minh r ng: aố ả ≠ ứ ằ 2 + b2 +
2
1
ab a b
≥ 2.
……… Ế ………H T
H v tên thí sinh:ọ ……… Giám th 1:ị
………
S báo danh:ố ……… Giám th 2:ị ………
(5)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN HOẰNG HOÁ NĂM HỌC 2011- 2012
MƠN THI: TỐN - LỚP 8
Bài Nội dung Điểm
Bài 1 (3,0điểm)
a) (2,0 điểm) KXĐ: x ≠ ±
A = 2
1 2
:
1
x x x x
x x = 2
2
1 2
x
x x x
0,25đ 0,75đ 1,0đ
b) (1,0 điểm) A > – 2x > x <
1
Đối chiếu ĐKXĐ, ta - ≠ x <
1 2. 0,5 đ 0,5đ Bài 2 (4,0điểm)
a) (2,0 điểm) ( 6x + 7)(2x – 3) – (4x + 1)
7 x
= 12x2 – 18x + 14x - 21 – 12x2 + 7x – 3x +
7 4 =
77
2,0đ
b) (2,0 điểm) x2 – 2y2 = xy
x2 – xy – 2y2 = (x + y)(x – 2y) =
Vì x + y ≠ nên x – 2y = x = 2y
Khi A =
2
2 3
y y y y y y
0,75đ 0,75đ 0,5đ Bài 3 (4,0điểm)
a) (2,0 điểm) Ta có x6 – 7x3 – =
(x3 + 1)(x3 – 8) = (x + 1)(x2 – x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 4) = (*)
Do x2 – x + = (x –
1 2)2 +
3
4 > x2 + 2x + = (x + 1)2 + > với x, nên (*) (x + 1)(x – 2) = x {- 1; 2}
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ b) (2,0 điểm) Do 2n + số phương lẻ nên 2n + chia cho
dư 1, suy n số chẵn
Vì 3n + số phương lẻ nên 3n + chia cho dư 1, suy 3n Þ n (1)
Do 2n + 3n + số phương lẻ nên có tận 1; 5; chia cho có dư 1; 0;
Mà (2n + 1) + (3n + 1) = 5n + , 2n + 3n + chia cho dư Suy 2n 3n Þ n (2)
Từ (1) (2) Þ n BCNN(5; 8) hay n 40
(6)Bài 4 (6,0điểm)
a) (2,0điểm)
Chứng minh
ABD ACE 2,0đ
b) (2,0điểm)
Chứng minh BHE CHD
Suy BH.HD = CH.HE
1,0đ 1,0đ c) (2,0điểm)
Khi AB = AC = b ABC cân A
Suy DE // BC
DE AD BC AC
Þ
Þ DE =
AD BC AC
Gọi giao điểm AH BC F Þ AF BC,
FB = FC =
a
DBC FAC
DC BC FC AC
Þ DC BC FC
AC Þ = 2 a b
Þ DE =
AD BC AC =
(AC DC BC)
AC = ( ) a b a b b = 2 (2 )
a b a b 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ
B i 5à (3,0 i mđ ể
)
a) (1,5điểm)
Nhận thấy x = - nghiệm phương trình Với x ≠ - PT cho tương đương với
2
2
8 1
4
x x x x x x
Ta có
2 2
2 2
1 4 3( 1) ( 1)
2 4( 1) 4( 1)
x x x x x x x x
x x x x x x
= 2
3 ( 1)
4 4( 1)
x x
Đẳng thức xảy x – = x = 1(1)
(7)Lại có:
2
2
8 4( 1) 3
( 1)
4 4
x x x x
x
Đẳng thức xảy x – = x = (2)
Từ (1) (2) suy phương trình có nghiệm x =
0,25đ
b) (1,5điểm) Ta có a2 + b2 +
2
1
ab a b
≥ (a2 + b2)(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 2(a + b)2 (a + b)2 [(a + b)2 – 2ab] – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥
(a + b)4 – 2ab(a + b)2 – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ (a + b)4 – 2(a + b)2(ab + 1) + (ab + 1)2 ≥ [(a + b)2 – ab - 1]2 ≥ suy đpcm
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ
(8)HUYỆN TĨNH GIA ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2011 - 2012
MƠN : TỐN 8
Đề thức THỜI GIAN LÀM BÀI: 120 PHÚT
Bài 1 ( 2,0 điểm )
1- Tìm giá trị x phân thức 2x2+10x+12
x3−4x
2- Rút gọn với n số nguyên dương
(1+1
3)(1+ 8)(1+
1
15) (1+ n2
+2n)
Bài 2 ( 3,5 điểm )
1- Giải phương trình x2x+1
+x+1−
x −1 x2− x+1=
3 x(x4+x2+1)
2- Chứng tỏ phân thức (x
2
+a)(1+a)+a2x2·+1
(x2−a)(1− a)+a2x2+1 khơng phụ thuộc vào x
3- Cho hình vuông ABCD, I điểm nằm cạnh AB Tia DI tia CB cắt K Tia Dx DK cắt đường thẳng BC L
a- Chứng minh tam giác DIL cân
b- Chứng minh I di chuyển trênđoạn thẳng AB
DI2+
DK2 có
giá trị khơng đổi
Bài 3 ( 2,5 điểm )
Chứng minh c2+2(ab−ac−bc)=0 , b ≠ c a+b ≠ c
a2+(a − c)2
b2+(b −c)2=
a −c b −c Bài 4 ( 2,0 điểm )
Người ta chia đoạn thẳng dài 12 cm thành phần dựng hình vng có ba cạnh ba đoạn Tính giá trị nhỏ tổng diện tích ba hình vng nhận
Chú ý : Cán coi thi khơng giải thích thêm
(9)PHÒNG GD - ĐT HUYỆN TĨNH GIA
(10)Bài 1 (2 điểm):
Để phân thức: 2x2+10x+12 x3−4x =
⇔
2x2
+10x+12=0
x3−4x ≠0
⇔
¿(x+2)(x+3)=0
x ≠0; x ≠ ±2
⇔x=−3 ¿{
Rút gọn với n số nguyên dương
n+1¿2 ¿ ¿n(n+2)
¿ ¿ (1+1
3).(1+ 8).(1+
1
15) (1+ n2+2n)=
22
32
43
3 .¿
Bài (3,5 điểm):
1 Giải phương trình: x2x+1
+x+1−
x −1 x2− x
+1=
3 x(x4+x2+1)
Ta có:
¿ x2+x+1=(x+1
2)
+3
4>0 x2− x
+1=(x −1
2)
+3
4>0 x4
+x2+1>0
x ≠0
⇔ ∀x ≠0 ¿{ { {
¿
x(x + 1)(x2 – x + 1) – x(x - 1)(x2 + x + 1) =
x4 – x3 + x2 + x3 – x2 + x – x4 – x3 – x2 + x3 + x2 + x = 3
2x =
x=3
2(tm) Phân thức:
(x2+a)(1+a)+a2x2+1 (x2− a)(1− a)+a2x2+1=
x2+ax+a+a2+a2x2+1
x2−ax2−a
+a2+a2x2+1
x2 (a2
+a+1)+a2+a+1
x2(a2−a+1)+a2−a+1 = (x
2
+1) (a2
+a+1) (x2+1) (a2−a+1)
=a
2
+a+1
a2− a
+1
Không phụ thuộc vào x
3 a) Xét ΔACL ΔDAI có: ^A= ^C=900
ST: Phạm Văn Vượng – NBS – HH- Thanh Hóa
K
A I B
(11)C^D L=A^D I (Cùng phụ ^D
2 ) AD = CD (gt)
Do đó: ΔACL = ΔDAI (Cạnh góc vng – góc nhọn) Suy ra: ID = DL (Cạnh tương ứng)
Nên: ΔDIL cân D
b) Theo cơng thức tam giác ta có:
SΔDKL=1
2CD KL=
2 DK DL
⇔CD2 KL2
=DK2 DL2 ⇔KL2
DK2 DL2= CD2 ⇔
DK2+DL2
DK2 DL2 = CD2 ⇔
1 DL2+
1 DK2=
1 CD2 Theo câu a
DI = DL => DI2+
1 DK2=
1
CD2 Không đổi CD (Cạnh hình vng)
Bài (2,5 điểm): Chứng minh rằng: Nếu c2
+2(ab−ac−bc)=0;b ≠ c ; a+b ≠ c
Thì:
a − c¿2 ¿
b − c¿2 ¿
b2+¿
a2
+¿ ¿
Chứng minh:
Ta có:
¿ c2
+2(ab−ac−bc)=0
b ≠ c a+b ≠ c
⇒
¿(a+b − c)2=a2+b2
b −c ≠0 a+b − c ≠0
¿{{ ¿
Nên: a2 = (a+ b - c)2 – b2 = (a - c).(a + 2b - c)
b2 = (a + b - c)2 – a2 = (b - c).(2a + b - c)
a− c¿2 ¿ b− c¿2
¿ a− c¿2
¿ b− c¿2
¿
(b − c)(2a+b − c)+¿ (a − c)(a+2b − c)+¿
b2
+¿ a2+¿
¿
Bài (2, điểm):
ST: Phạm Văn Vượng – NBS – HH- Thanh Hóa
(12)a b c 12 cm
Đoạn thẳng chia thành đoạn có độ dài là: 0<a≤ b ≤ c<12
Ta có: a + b + c = 12 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = 144 a2 + b2 + c2 = 144 - 2ab - 2bc - 2ca Tổng diện tích hình vuông là:
S = a2 + b2 + c2 = 144 - 2ab - 2bc - 2ca Áp dụng BĐT côsi cho cặp số dương a2 + b2 2ab
b2 + c2 2bc a2 + c2 2bc
Nên 2a2 + 2b2 + 2c2 2ab + 2bc + 2ca - 2S - 2ab - 2bc - 2ca 144 - 2S 144 - 2ab - 2bc - 2ca 144 - 2S S
3S 144 S 48 Dấu “=” xảy a = b = c =
Vậy giá trị nhỏ tổng diện tích 48cm2 đoạn thẳng chia thành đoạn thẳng cm
(Lời giải mang tính chất tham khảo)
(13)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NGA SƠN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút
ĐỀ BÀI:
Câu 1 (4 điểm): Cho biểu thức A=
2
2
2 1 16 16
:
1 2 4
x x x x x
x x x x x
a Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa b Rút gọn biểu thức A
c Tìm giá trị x để biểu thức A có giá trị dương
Câu 2 (4 điểm): Giải phương trình: a (x + 2)(x2 – 3x + 5) = (x + 2) x2 b
2
8
3(1 )
x x x
x x x
Câu 3 (4 điểm): Bình thường, bạn An học từ nhà đến trường với vận tốc 5km/h đến lớp sớm vào học phút Nhưng hơm nay, dậy muộn so với bình thường 29 phút nên bạn An phải chạy với vận tốc 7,5 km/h đến lớp vừa kịp vào học Tính quãng đường từ nhà bạn An đến trường
Câu 4 (6 điểm): Cho hình vng ABCD điểm E, F cạnh AB, AD cho AE = AF Gọi H hình chiếu A DE
(14)a Chứng minh AD2 = DH.DE.
b Chứng minh hai tam giác AHF DHC đồng dạng
c Xác định vị trí điểm E F để diện tích tam giác CDH gấp lần diện tích tam giác AFH
Câu 5 (2 điểm): Cho M = 2x2 + 2y2 + 3xy – x – y –
Tính giá trị M biết xy = x y đạt giá trị nhỏ Hết
Đề thi gồm 01 trang
HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2009 – 2010
Mơn thi: Tốn
Câu ý Nội dung Điểm
1(4đ) a 1.5đ
A =
2
2
2 1 16 16
:
1 2 4
x x x x x
x x x x x
= 2
2 1 16 (4 1)
:
1 2 2 (2 1)
x x x x x
x x x x x
ĐK: x 0.5 1đ b 1.5đ
Với điều kiện câu a ta có: A =
2 2
2
2 1 16 (2 1)(2 1)
:
1 2 (2 1)
x x x x x x
x x x
=
16 (2 1)
:
(1 )(1 )
x x x x
x x x
=
8
1 (2 1)
x x x x x
=
2 2x
0.5 0.5 0.5 c
1đ A >
2 2x
0.5
(15) 2x 1
1
x
0.5
2 a
2đ (x + 2)(x
2 – 3x + 5) = (x + 2) x2 (x + 2)(x2 – 3x + – x2) = 0 (x + 2)(-3x + 5) = 0
x x 0.5 0.5 b 2đ 2
8
3(1 )
x x x
x x x
2
8
3(1 )(1 ) 3(2 1) 4(1 )
x x x
x x x x
(1)
ĐK: x
1
(1) 32x2 8 (1 ) 3(1 )x x x (1 – 2x) 26x + = 0
x =
3 26 0.5 0.5 0.5 0.5
4đ Gọi quãng đường từ nhà bạn An đến trường x (km) ĐK x > Thời gian quãng đường x với vận tốc 5km/h
x
Thời gian quãng đường x với vận tốc 7.5 km/h 7.5
x
Thời gian quãng đường x với vận tốc 7.5 km/h thời gian với vận tốc km/h 24 phút hay 0.4 Ta có phương trình:
5
x - 7.5
x
= 0.4 Giải x =
x = thoả mãn đk x > Vậy quãng đường cần tìm km
0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 6đ a
2đ Xét hai tam giác vuông ADE Và HAD có chung góc nhọn ADH nên chúng đồng dạng Suy ADDH=DE
AD
⇒AD2=DH DE
1 0.5 0.5
ST: Phạm Văn Vượng – NBS – HH- Thanh Hóa
(16)b
2đ Từ hai tam giác ADE HAD đồng dạng ta có: ADHD=AE
HA
⇒DC
HD= AF
HA (1) ( Do AD = DC; AF = AE theo cho )
Mặt khác HDC = HAD (2) ( phụ với HAD )
Từ (1) (2) suy hai tam giác AHF DHC đồng dạng (Trường hợp c - g - c)
0.5 0.5 0.5 0.5 c
2đ Theo chứng minh câu (b) ta có hai tam giác CDH AFH đồng dạng nên ta có:
SSΔCDH ΔAFH
=(CD
AF)
SΔCDH SΔAFH
=9⇒(CD
AF)
2
=9 ⇒ CD = AF
Vậy, để diện tích tam giác CDH gấp lần diện tích tam giác AFH E, F thuộc AB AD cho AE = AF = 13AB .
0.5
0.5 0.5 0.5
2đ Biến đổi M = 2x
2 + 2y2 + 3xy – x – y – 3 = 2(x + y)2 -(x + y) - xy - 3
Ta có (x - y)2 ⇒ (x + y)2 4xy Mà xy = nên (x + y)2 4
⇒ x y 2.
⇒ x y = 2.
Khi x y = ta có x + y = -2
+ Thay x + y = xy = vào biểu thức M ta M = + Thay x + y = -2 xy = vào biểu thức M ta M =8
Vậy M = M =
0.5 0.5 0.5
0.5
(17)PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN NGA SƠN
(§Ị thi gåm cã 01 trang)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP HUYỆN N M H C: 2010 - 2011Ă Ọ
Mơn thi: Tốn
Th i gian l m b i: 150 phútờ à Ng y thi: 16/ 04/ 2011à
Câu 1 ( i m):đ ể
Cho bi u th c: ể ứ
2
3
3 1 5
:
1 1
x x x x
A
x x x x x
.
a) Rút g n ọ A
b) Tìm giá tr l n nh t c a ị ấ ủ A
Câu 2 ( i m): Cho a th c đ ể đ ứ
4
( ) 40 1979
P x x x x x m .
a) Tìm m cho P x( ) chia h t cho ế x
b) V i mtìm được, gi i phả ương trình P x( )=
Câu 3 (4 i m): đ ể
Lúc gi , An r i nh ờ để đ đế i n nh Bình v i v n t c km/h Lúc già ậ ố 20 phút, Bình c ng r i nh ũ để đ đế i n nh An v i v n t c km/h An g p Bìnhà ậ ố ặ đường r i c hai i v nh Bình, sau ó An tr v nh Khi v ả đ ề đ ề ề đến nh An tính quãng đường i d i g p b n l n quãng đ ấ ố ầ đường Bình ãđ
i Hãy tính kho ng cách t nh An n nh Bình
đ ả đế
Câu 4 (6 i m): đ ể
Cho hình vng ABCD G i ọ E l m t i m c nh ộ đ ể BC (E khác B v C) Qua A k ẻ Ax vng góc v i AE , Ax c t ắ CD t i F Trung n ế AI c a tam giácủ
AEF c t ắ CD ở K Đường th ng k qua ẳ ẻ E, song song v i ớ AB c t ắ AI ở G
ST: Phạm Văn Vượng – NBS – HH- Thanh Hóa
CH NH TH C
(18)a) Ch ng minh ứ AE = AF v t giác ứ EGFK l hình thoi.à
b) Ch ng minh ứ AKF đồng d ng v i CAF v AF2 = FK FC
c) Khi E thay đổi BC, ch ng minh chu vi tam giác ứ EKC không đổi
Câu 5 (2 i m):đ ể
Cho s ố a b, l n lầ ượt tho mãn h th c sau:ả ệ ứ
3 3 5 2011 0
a a a , b3 3b2 5b2005 0 Hãy tính a b
-H t -ế
Họ và tên thí sinh:……… ……Số báo danh: ………
PHÒNG GI O D C V Á Ụ À ĐÀO T OẠ HUY N NGA S N Ệ Ơ
HƯỚNG D N CH MẪ Ấ
K THI CH N H C SINH GI I L P 6,7,8 N M H C 2010 - 2011Ỳ Ọ Ọ Ỏ Ớ Ă Ọ
Mơn thi: Tốn l p 8ớ
Câu ý Tóm t t l i gi iắ ờ ả Đ ểi m
Câu1
4đ (2 )a.đ ĐK: x1
2 2
3
3 1
1 5
x x x x x x
A
x x x
1
1 5
x x x
x x x
= 2x 5x5
0.5 0.5 0.5
0.5
b. (2 )đ
Ta có A
2x 5x5=
2
1
5 25 15
2( )
4 16
x x
= 15 2( )
x
Vì
2
5 15 15
2( )
4 8
x
x nên
2
1
5 15 2( )
4
x
15
x
(1) D u “=” x y ấ ả
5
x
1
(2) T (1) v (2) suy
8 max 15 A 0.5 0.5 0.5 0.5
(19)Câu2
4đ (2 )a.đ
3
( ) 12 16 2011
P x x x x x m
Do ó đ P x( ) chia h t cho ế (x 2) m 2011 0 2011 m 1.0 0.5 0.5 b.
(2 ) đ V i ớ m2011,
3
( ) 12 16
P x x x x x
Do ó: đ P x( ) 0
3
( ) 12 16
P x x x x x
=
x 2 x ( x2 4x 16)
x 2 x 1 0
( Vì
2
2 4 16 2 12 0
x x x x)
2 x x 0.5 0.5 1.0 Câu 3
4đ G i kho ng cách t nh An ọ ả đến nh Bình l à
x (x>0, x ođ b ng km) Theo b i ta có quãng ằ đường An ã i ã l 2đ đ đ x, suy raquãng đường Bình ã i l đ đ
2
4
x x
Do ó qng đ đường Bình i t nh đ đến g p An l ặ x , quãng đường An I t nh đ đến g p Bình l ặ
3
4
x x
x
Th i gian An i t nh đ đến g p Bình l ặ
3 16
x
(gi ), th i gianờ Bình i t nh đ đến g p An l ặ 12
x
(gi )ờ Theo b i ra, ta có phà ương trình:
3
16 12
x x
9x-4x=16
16 3,2 x (km) 1.0 1.0 1.0 0.5 0.5 Câu 4 6đ a. 2.0®
ST: Phạm Văn Vượng – NBS – HH- Thanh Hóa
(20)XÐt hai tam giác vuông ABE ADF có AB = AD, BAE CAF ( Cïng phơ víi DAE) VËy ABE ADF Þ AEAF
Vì AEAF AI trung tuyến tam giác AEF ị AI EF Hai tam giác vuông IEG IFK có IE=IF, IEG IFK ( So le
trong) nªn IEG= IFK
ị EG=FK Tứ giác EGFK có hai cạnh đối EG FK song song v
bằng nên hình bình hành
Hỡnh bỡnh hnh EGFK cú hai ng chéo GK EF vng góc nên hình thoi
0.5 0.5 0.5 0.5
b.
2.0đ Xét hai tam giác AKF CAF ta có
AFK CFA ( góc chung),
450
KAF ACF ( AC đường chéo hình vng ABCD, AK
trung tuyến tam giác vuông cân AEF)
Suy tam giác AKF đồng dạng với tam giác CAF Vì tam giác AKF đồng dạng với tam giác CAF nên ta có:
2 .
AF FK
AF FK FC
FC AF
0.5 0.5 0.5 0.5
c.
2.0 đ Theo ý a, ta có
ABE ADF
nên EB = FD Tứ giác EGFK hình thoi nên EK=KF Do đó, chu vi tam giác EKC
-EK+KC+CE=CF+CE=CD+DF+CE=2CD ( không đổi)
0.5 0.5 1.0
Câu5
2đ Từ điều kiện cho ta có:
a 13 2a 1 2008 0 (1), b 132b 12008 0 (2) Cộng theo vế (1) (2) ta có
a 13 b 13 (a b 2) 0
2
2
(a b 2) ( a 1) a b b 2(a b 2)
2
2
(a b 2) ( a 1) a b b 2
Vì
2
(a 1) a b b 2
2 2 2
1 1
1
2 a b a b
a b,
Nên a b 0 a b 2
0.5 0.5
0.5
0.5
Ghi chú: - Bài hình học học sinh không vẽ hình hình sai không chÊm ®iĨm
- Mọi cách giải khác, cho điểm tối đa tơng ứng
(21)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRIỆU SƠN
KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GII LP 8
Năm học: 2011 - 2012
Đề thức
Số báo danh
Môn: Toán
Thi gian: 150 phỳt (khụng k thời gian giao đề) Ngày thi: 09/05/2012
(§Ị thi cã 01 trang, gåm 05 c©u) Câu 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức: P = (x2+1− x −1−
x+7
1− x2) :
1−2x x2−1
1. Rút gọn biểu thức P 2. Tìm x để P <
Câu 2: (4,0 điểm)
1 Giải phương trình: 4x2−4x −5|2x −1|−5
=0
Giải bất phương trình: (2x2
+3x+4)2 −(x2
+x+4)2 > Câu 3: (4,0 điểm)
Tìm cá số tự nhiên n để (n2−8)2+36 số nguyên tố
Tìm số nguyên x, y thỏa mãn bất đẳng thức:
10x2+20y2+24 xy+8x −24y+51<0
Câu 4: (6,0 điểm)
1 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Cho biết AB = 15cm AC = 20cm
a) Chứng minh rằng: AH.BC = AB.AC Tính: BC, AH
b) Kẻ HM AB, HN AC Chứng minh: Δ AMN Δ ACB
c) Trung tuyến AK tam giác ABC cắt MN I Tinh diện tích tam giác AMI
2. Cho tam giác ABC cân A, có BAC = 108 ❑0 Tính tỷ số BCAC
Câu 5: (2,0 điểm )
Cho a, b, c ba số dương 1a+1
c= b
Chứng minh rằng: 2aa − b+b + c+b
2c − b≥4
- Hết
-Thí sinh khơng sử dụng tài liệu.
(22)Cán coi thi không giải thích thêm
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Bài ý Nội dung điể
m Câu
1: 4,0 điểm
1.
2đ Rút gọn: P =
1−2x 2đ
2.
2đ Để P < 0, nghĩa là:
1−2x < x >
2 2đ
Câu 2: 4,0 điểm
1. 2đ
Giải phương trình: 4x2−4x −5|2x −1|−5=0 (1)
Nếu: x 12 (1) 2x(2x – 7) =
x=0(loai) ¿ x=7
2 ¿ ¿ ¿ ¿
1đ
Nếu: x < 12 (1) (2x + 5)(x – 1) =
x=1(loai) ¿ x=−5
2 ¿ ¿ ¿ ¿ Vậy (1) có nghiệm x = - 52 ; x = 72
1đ
2.
2đ Giải bất phương trình: (2x
+3x+4)2 −(x2
+x+4)2 >
Biến đổi dạng: x(x + 2)(3x ❑2 + 4x +8) > 1đ
Nhận xét: 3x ❑2 + 4x +8 = (x + 2) ❑2 + 2x ❑2 + >
Þ x(x + 2) > x < - x >
1đ
(23)3: 4,0 điểm
2đ Ta có: (n2−8
)2+36 =
n4−16n2+64+36=n4+100−16n2=(n2+10)2−36n2=(n2+10−6n) (n2+10+6n)
1đ Để (n2−8
)2+36 số nguyên tố, điều kiện cần là: n2+10−6n=1
n −3¿2=0⇔n=3
¿ Thử lại: với n = thì: (n
−8)2+36 = 37 số nguyên tố
Vậy n = (n2−8)2+36 số nguyên tố
1đ
2.
2đ Biến đổi: 10x2
+20y2+24 xy+8x −24y+51<0
(3x+4y)2+(x+4)2+(2y −6)2−1<0
1đ
Þ
¿ 3x+4y=0
x+4=0
2y −6=0 ⇔ ¿x=−4
y=3 ¿{ {
¿
1đ
Câu 4:
6,0 điểm
1 a. ABH CBH Þ AB BC =
AH AC (∗) Þ AH.BC = AB.AC
Và tính dược: BC = 25 cm (1) Þ AH = AB ACBC =12 cm
b. Chứng minh: ACB HCA HCA NHA
NHA = AMN ÞAMN ACB
c. Þ N❑
1 = B ❑
(AKC cân K)
Và A❑1 = C❑ , mà B❑ + C❑ = 90 ❑0 Þ N
❑
1 + A ❑
1 = 90
❑0
ÞAIN vng cân I NHA ACB (chứng minh trên) Þ NHAC=AH
BC Þ NH=
AC AH
BC =
20 12
25 =9,6 cm Þ AM = NH = 9,6 cm
Và IMA AMN ÞIMA ACB Þ AMBC =IM
AC= AI AB=
9,6 25 Þ IM = 19215 ; AI = 14425 Þ S ❑AMI =
2 AI.IM =
2 192 25
144 25 =
13824 625
(24)K
I
1
M
B H C
N A
2.
M
C B
A
Ta có: AMB BAC Þ ABBC=BM
AC ⇒
AB+BC
BC =
BM+AC
AC =
BC AC
Þ BCAC=1+AB
BC =1+ AC
BC Đặt: x = BC
AC (x > 0)
Þ x = + 1x x2− x −1=0 GiảI ta được: x = 1+√5
2
Vậy: BCAC = 1+√5
2 Câu
5: 2,0 điểm
Từ: 1a+1
c=
b Þ 2a – b = ab
c 2c – b = bc
a Þ
a+b
2a − b+ c+b
2c+b=
a+b
ab c
+c+b
bc a
=c
b+ c a+
a b+
a c≥4
4
√acb2≥4
Bất đẳng thức Cosi a, b, c dương Dấu xẩy a = b = c
(25)PHÒNG GD - ĐT HUYỆN TĨNH GIA
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2003 - 2004
MÔN : TOÁN 8
THỜI GIAN LÀM BÀI: 120 PHÚT Câu I (2.5 điểm):
1- Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 – 4x2 + 4x – 2- Tìm a∈Z cho a4 – 4a2 + 4a – số nguyên tố
Câu II (3.0 điểm):
1- Giải phương trình: x2x+1
+x+1−
x −1 x2− x
+1=
3 x(x4
+x2+1) 2- Tìm giá trị lớn nhất: A=2x+1
x2+2
3- Chứng minh rằng: Tích số tự nhiên liên tiếp khơng thể số phương Câu III (3.0 điểm):
Cho hình bình hành ABCD Gọi E, F trung điểm BC CD Đường chéo BD cắt AE AF M, N AF cắt BC P
a) Chứng minh rằng: BP.DF = AB.BC
b) Chứng minh rằng: AN2 = NF.NP
c) Cho diện tích ABCD a2 Tính diện tích tứ giác BNFC
Câu IV (1.5 điểm): Cho a, b, c số đo ba cạnh tam giác Hãy xác định tam giác cho để: b a
+c − a+
b a+c −b+
c
a+b − c đạt giá trị nhỏ
a- Giả sử AH = 12cm; BC = 25cm Hãy tính độ dài cạnh AB, AC
b- Gọi M điểm đối xứng B qua H Đường trịn tâm O đường kính MC, cắt AC D Chứng minh HD tuyeep tuyến đường tròn (O)
c- Cho BC = 2a, AH phải có độ dài theo a để diện tích tam giác HDO lớn
(26)PHÒNG GD - ĐT HUYỆN TĨNH GIA
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2004 - 2005
MƠN : TỐN 8
THỜI GIAN LÀM BÀI: 120 PHÚT Câu I (2.5 điểm):
1- Giải phương trình: 9x2 + 6x – = 0
2- Giải biện luận phương trình theo a: x −x+a3+ x+3
x − a=2
Câu II (1.5 điểm): Một tổ học sinh lớp 8A chung tiền mua đồ dùng học tập tặng bạn nghèo học giỏi Tổng số tiền mua hết 72.000 đồng chia cho thành viên tổ đóng góp Nhưng tổ học sinh có bạn có hồn cảnh đặc biệt khó khăn miễn khơng phải góp Bởi bạn cịn lại tổ phải đóng góp thêm 4.000 đồng Hỏi tổ có bạn?
Câu III (2.0 điểm):
Cho tam giác ABC vuông A, đường thẳng d cắt AB AC D E
a) Chứng minh rằng: CD2 – CB2 = ED2 – EB2
b) Xác định tập hợp điểm M cho diện tích tam giác MBC diện tích tam giác ABC
Câu IV (1.5 điểm): Tìm hai phân số dương có tử số cho tổng chúng cộng với 61 tích chúng 61
Câu V (2.5 điểm): Cho 1x+1
y+
z=0 tính giá trị biểu thức: yz
x2+ zx
y2+ xy
z2
(27)PHÒNG GD - ĐT HUYỆN TĨNH GIA
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2007 - 2008
MÔN : TOÁN 8
THỜI GIAN LÀM BÀI: 120 PHÚT Câu I (2.0 điểm):
1- Tính giá trị biểu thức : A = x5 – 5x4 + 5x3 – 5x2 + 5x – với x = 2- Tìm điều kiện để phân thức: B= 5x
2
+7
x2−7x+12 xác định
Câu II (3.0 điểm):
1- Với giá trị a phương trình: x − a2x −
1− x2+a= x2
x2−1 có nghiệm
2- Tìm giá trị lớn B=3x
2
+6x+10
x2+2x+3
Câu III (3.0 điểm): Cho ΔABC vuông A Một đường thẳng song song với BC cắt AB AC D E
a Chứng minh rằng: CB2 – CD2 = EB2 – ED2
b Hãy xác định điểm D thỏa mãn: DC2 = BC.DE
Câu IV (2.0 điểm): Cho a, b, c > Chứng minh rằng: |a −ba
+b+
b −c b+c+
c − a c+a|<1
(28)PHÒNG GD - ĐT HUYỆN TĨNH GIA
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008 - 2009
MÔN : TOÁN 8
THỜI GIAN LÀM BÀI: 120 PHÚT Câu I (2.5 điểm):
1- Tìm điều kiện xác định x để phân thức: 2x
8x3+12x2+6x+1 xác định 2- Rút gọn biểu thức: x − y1 +
x+y+
2x x2+y2+
4x3 x4+y4+
8x7 x8+y8
Câu II (2.5 điểm):
1- Cho phương trình : x3 – (m2 – m + 7)x – 3(m2 – m - 2) =
a Tìm giá trị m để nghiệm phương trình
b Giải phương trình ứng với giá trị m vừa tìm
2- Từ phần tường bao quanh trường, lớp học sinh dùng sợi dây dài 40m căng ba phía để thành vườn trồng hình chữ nhật Em giúp bạn căng dây để có diện tích vườn lớn nhất?
Câu III (5.0 điểm):
1- Chứng minh rằng: 10n – 9n – chia hết cho 27
2- Cho hình vng ABCD tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc cạnh hình vng
a Chứng minh rằng: SABCD≤1
4 AC(MN+NP+PQ+QM)
b Xác định vị trí M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ
(29)PHÒNG GD - ĐT HUYỆN TĨNH GIA
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008 - 2009
MƠN : TỐN 8
THỜI GIAN LÀM BÀI: 120 PHÚT Câu I (2,5 điểm):
1 Tìm điều kiện xác định x để phân thức: 2x
8x3+12x2+6x+1 xác định
Giải: Điều kiện: 8x3 + 12x2 + 6x + 0
(2x + 1)(4x2 + 4x + 1) (2x + 1)2 2x + x −21 Rút gọn biểu thức: x − y1 +
x+y+
2x x2+y2+
4x3 x4+y4+
8x7 x8+y8
= 2x x2− y2+
2x x2+y2+
4x3 x4+y4+
8x7 x8+y8
= 4x3 x4− y4+
4x3 x4
+y4+
8x7 x8
+y8
= 8x x8− y8+
8x7 x8+y8 = 16x15
x16− y16
Câu II (2.5 điểm):
1- Cho phương trình : x3 – (m2 – m + 7)x – 3(m2 – m - 2) =
a Tìm giá trị m để nghiệm phương trình
b Giải phương trình ứng với giá trị m vừa tìm
2- Từ phần tường bao quanh trường, lớp học sinh dùng sợi dây dài 40m căng ba phía để thành vườn trồng hình chữ nhật Em giúp bạn căng dây để có diện tích vườn lớn nhất?
Giải:
1 Phương trình: x3 – (m2 – m + 7)x – 3(m2 – m - 2) = (1)
a Phương trình (1) có nghiệm x = ó – m2 + m – – 3m2 + 3m + = 0
ó -4m2 + 4m = 0
ó -4m(m - 1) = ó
m=0 ¿ m=1
¿ ¿ ¿ ¿
Vậy với m = m = phương trình nhận x = nghiệm phương trình
(30)b Với m = A bờ tường B (1) ó x3 – 7x + =
ó (x - 1).(x - 2).(x + 3) = a
ó
x −1=0 ¿ x −2=0
¿ x+3=0
¿ ⇔
¿ x=1
¿ x=2
¿ x=−3
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
D C
b Với m =
(1) ó x3 – 7x + = (Giống trường hợp trên)
2 Gọi a (m) chiều rộng b (m) chiều dài ( 0<a≤ b<40 )
Theo ta có: 2a + b = 40 => b = 40 – 2a Diện tích vườn trồng cây:
SABCD = a.b = a.(40 – 2a) = 2(20 – a2) = 200 – 2(a2 – 20a + 100)
SABCD = 200 – 2(a - 10)2 200
Do đó: MaxSABCD=200 dấu “=” xảy a = 10
Câu III (5, điểm):
Chứng minh rằng: 10n – 9n – chia hết cho 27 (n N) Chứng minh:
Ta có: 10n – 9n – = (10n - 1) – 9n = 999 99⏟
n - 9n = 9(
11
⏟
n
− n )
Ta có: Tổng n số n a Gọi số 11 11⏟
n
:3 dư m
b n:3 dư m Nên ( 11 1⏟
n
− n ) chia hết cho =>9( 11 1⏟
n
− n ) chia hết cho 27 đó:
10n – 9n – chia hết cho 27 (đfcm)
Cho hình vng ABCD tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc cạnh hình vng
a Chứng minh rằng: SABCD≤1
4 AC(MN+NP+PQ+QM)
b Xác định vị trí M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ
(31)Giải: a Ta có:
a>0; b>0 thì: √a2
+b2≥a+b
√2 (1)
Thật vậy: Bình phương hai vế BĐT (1)
a2+b2≥a
2
+b2+2 ab
2 ¿ a −b¿2≥0
⇔¿
Dấu “=” xảy a = b Áp dụng định lý Pitago BĐT (1) ta có:
¿
MN=√MB2+NB2≥MB+NB
√2 NP=√NC2+PC2≥NC+PC
√2 PQ=√PD2+QP2≥PD+QP
√2 QM=√AQ2+AM2≥AQ+AM
√2 ¿+{ { {
¿
dấu “=” xay
¿
MB=NB
NC=PC
PD=QP
AQ=AM
¿{ { {
¿
MN+NP+PQ+QM≥MB+MA+NB+NC+PC+PD+AQ+QD
√2 MN+NP+PQ+QM≥AB+BC+CD+AD
√2 =
4 AB
√2 AC
4 (MN+NP+PQ+QM)≥
AB AC
√2 (2)
Mặt khác: AC2 = AB2 + BC2 = 2AB2 => AC = AB.
√2
Thay vào BĐT (2) ta được:
AB AB √2
√2 ≤
AC
4 (MN+NP+PQ+QM) AB2≤AC
4 (MN+NP+PQ+QM) SABCD≤AC
4 (MN+NP+PQ+QM)
b Theo câu a
MN, NP, PQ, QM nhỏ ó MB = NB = NC = PC = PD = QD = QA = AM = AB2 Do đó: Chu vi MNPQ nhỏ ó M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, AD
(Lời giải mang tính chất tham khảo)
ST: Phạm Văn Vượng – NBS – HH- Thanh Hóa
A M B
N Q
C D
(32)PHÒNG GD - ĐT HUYỆN TĨNH GIA
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2010 - 2011
MƠN : TỐN 8
THỜI GIAN LÀM BÀI: 120 PHÚT Câu I (2.0 điểm):
1- Phân tích đa thức thành nhân tử: + 6x – 6x2 – x3
2- Rút gọn phân thức: x2+4x+4 x3
+3x2−4
Câu II (3.0 điểm):
1- Giải toán cách lập phương trình:
Hai vịi nước chảy vào bể Sau 20 phút đầy nước Nếu cho vòi thứ chảy giờ, vòi thứ hai chảy hai vịi chảy 45 bể nước Nếu vòi chảy vào bể đầy bể đó?
2- Cho ba số dương a, b, c có a.b.c = a+b+c>1
a+ b+
1 c Chứng minh rằng: (a - 1)(b - 1)(c - 1)>0
Câu III (3.0 điểm):
a) Chứng minh rằng: tứ giác lồi đường chéo chia tứ giác hai phần có diện tích tứ giác hình bình hành
b) Hình bình hành ABCD có diện tích a2 Gọi E, F điểm BC CD
Đường chéo BD cắt AE AF M N Tính diện tích tứ giác BNFC
Câu IV (2.0 điểm): Chứng minh nếu:
(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = (a + b – 2c)2 + (b +c – 2a)2 + (c + a – 2b)2
Thì: a = b = c