Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ XUÂN TÙNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT HÓA DẠNG HIỆN TRONG MIỀN VỚI BIÊN PHÂN CHIA CÓ ĐỘ NHÁM CAO VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC Hà Nội - 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ XN TÙNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT HĨA DẠNG HIỆN TRONG MIỀN VỚI BIÊN PHÂN CHIA CÓ ĐỘ NHÁM CAO VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Cơ học Vật thể rắn Mã số: 62 44 21 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Phạm Chí Vĩnh Hà Nội - 2013 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu kết trình bày luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Hà Nội, năm 2013 Nghiên cứu sinh ĐỖ XUÂN TÙNG i LỜI CẢM ƠN Luận án thực hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Phạm Chí Vĩnh, người tận tình giúp đỡ tơi đường khoa học Thầy dìu dắt tơi đường làm học, tạo thử thách giúp tự học hỏi, tìm tịi sáng tạo Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn vơ sâu sắc đến Thầy Tơi muốn bày tỏ cảm ơn chân thành đến ban Giám hiệu Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội, ban chủ nhiệm Khoa Xây Dựng, Thầy Đặng Quốc Lương chủ nhiệm Bộ môn Cơ lý thuyết động viên, khuyến khích, tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận án Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Bộ mơn Cơ học, Khoa Tốn- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, anh chị nhóm sermina thầy Vĩnh hướng dẫn, chia sẻ kinh nghiệm, tạo môi trường nghiên cứu khoa học tốt Hà Nội, năm 2013 Nghiên cứu sinh ĐỖ XUÂN TÙNG ii Mục lục TỔNG QUAN 1.1 Biên phân chia có độ nhám thấp 1.2 Biên phân chia có độ nhám cao 1.3 Phương pháp hóa biên phân chia có độ nhám cao 1.3.1 Phương pháp hóa 1.3.2 Các nghiên cứu liên quan đến hóa biên phân chia có độ nhám cao 1.4 Tình hình nghiên cứu nước 1.5 Mục tiêu nghiên cứu luận án 5 8 10 12 13 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT HÓA DẠNG HIỆN CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TRONG MIỀN HAI CHIỀU CÓ BIÊN PHÂN CHIA 15 ĐỘ NHÁM CAO 2.1 Biên phân chia dao động hai đường thẳng song song 2.1.1 Các phương trình 2.1.2 Phương trình hóa dạng dạng ma trận 2.1.3 Hệ phương trình hóa dạng thành phần cho số trường hợp 2.2 Biên phân chia dao động hai đường trịn đồng tâm 2.2.1 Các phương trình 2.2.2 Phương trình hóa dạng dạng ma trận 2.2.3 Hệ phương trình hóa dạng thành phần 2.2.4 Phương trình hóa cho vật liệu trực hướng iii 16 16 19 29 35 35 37 47 51 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT HÓA DẠNG HIỆN CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN-ĐIỆN TRONG MIỀN HAI CHIỀU CÓ BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO 55 3.1 Biên phân chia dao động hai đường thẳng song song 3.1.1 Các phương trình 3.1.2 Phương trình hóa dạng dạng ma trận 3.1.3 Hệ phương trình hóa dạng thành phần cho số trường hợp 3.2 Biên phân chia dao động hai đường trịn đồng tâm 3.2.1 Các phương trình 3.2.2 Phương trình hóa dạng dạng ma trận 3.2.3 Hệ phương trình hóa dạng thành phần 56 56 58 59 67 67 68 71 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT HĨA DẠNG HIỆN CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN-NHIỆT TRONG MIỀN HAI CHIỀU CÓ BIÊN PHÂN CHIA 77 ĐỘ NHÁM CAO 4.1 Biên phân chia dao động hai đường thẳng song song 4.1.1 Các phương trình 4.1.2 Phương trình hóa dạng dạng ma trận 4.1.3 Hệ phương trình dạng thành phần 4.2 Biên phân chia dao động hai đường tròn đồng tâm 4.2.1 Các phương trình 4.2.2 Phương trình hóa dạng dạng ma trận 4.2.3 Hệ phương trình dạng thành phần 77 77 80 81 82 82 85 86 THUẦN NHẤT HÓA BIÊN PHÂN CHIA DAO ĐỘNG NHANH GIỮA HAI ELLIP ĐỒNG TÂM 89 5.1 Biên phân chia dao động hai ellip đồng tâm 5.2 Phương trình hóa dạng iv 89 95 SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG ĐÀN HỒI SH ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA CÓ ĐỘ NHÁM CAO 103 6.1 6.2 6.3 6.4 Sóng đàn hồi SH Phương trình điều kiện biên Phương trình hóa Sự phản xạ, khúc xạ sóng đàn hồi SH phân chia hình lược 6.5 Sự phản xạ, khúc xạ sóng đàn hồi SH phân chia có độ nhám cao, hình dạng TÀI LIỆU THAM KHẢO v biên biên 103 104 106 107 110 120 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1.1: Biên phân chia có độ nhám cao Hình 2.1: Miền chiều Ω+ Ω− với biên phân chia L cho x3 = h(x1/ε)=h(y), h(y) hàm tuần hoàn với chu kì Đường cong L dao động đường thẳng x3 = x3 = −A (A > 0) Hình 2.2: Miền lấy tích phân Hình 2.3: Biên phân chia hình lược Hình 2.4: Biên phân chia dao động đường trịn đồng tâm Hình 2.5: Biên phân chia hình lược dao động đường trịn đồng tâm Hình 5.1: Biên phân chia độ nhám cao dao động đường thẳng song song Hình 5.2: Biên phân chia L dao động ellip đồng tâm E1 E2 Hình 5.3: Đường cong L∗ , cho r = h(θ/ ), dao động đường tròn đồng tâm E1∗ : X + Z = E2∗ : X + Z = k Hình 6.1: Sóng tới biên phân chia có độ nhám cao dao động đường thẳng song song Hình 6.2: Sự phản xạ khúc xạ sóng đàn hồi SH biên phân chia hình lược Hình 6.3: Sự phản xạ, khúc xạ sóng đàn hồi SH biên phân chia có độ nhám cao, hình dạng Hình 6.4: Các lớp tinh thể áp điện vi MỞ ĐẦU Các tốn biên miền có biên hay biên phân chia độ nhám cao xuất nhiều thực tế như: tán xạ sóng biên nhám, phản xạ, khúc xạ sóng biên phân chia có độ nhám cao, tốn học liên quan đến gia cường dày đặc, dòng chảy tường nhám, dao động vật thể đàn hồi có tính chất học thay đổi nhanh (có tính khơng cao), vv Khi biên hay biên phân chia nhám có biên độ nhỏ nhiều so với chu kỳ nó, để giải tốn này, phương pháp nhiễu (perturbation method) thường sử dụng Khi biên độ biên hay biên phân chia nhám lớn nhiều so với chu kỳ nó, chúng gọi biên hay biên phân chia có độ nhám cao, để giải lớp toán này, tác giả thường sử dụng phương pháp hóa (homogenization method) Thuần hóa biên phân chia độ nhám cao hệ phương trình lý thuyết đàn hồi tuyến tính Nevard Keller nghiên cứu Sử dụng phương pháp hóa, tác giả rút hệ phương trình hóa lý thuyết đàn hồi tuyến tính dị hướng (hệ khơng hồn tồn xác, tác giả Vinh Tung) Tuy nhiên, hệ phương trình cịn dạng ẩn, hệ số chúng xác định qua hàm mà chúng nghiệm toán biên nhân tuần hồn, gồm 27 phương trình vi phân đạo hàm riêng trường hợp chiều Bài toán biên nhân tuần hồn tìm nghiệm dạng số Vì hệ phương trình hóa thu dạng ẩn nên không thuận tiện sử dụng, khả ứng dụng hạn chế Nếu phương trình hóa thu hoàn toàn tường minh, tức hệ số chúng “các hàm hiện” tham số vật liệu đặc trưng hình học biên phân chia, chúng trở nên tiện lợi sử dụng, tính ứng dụng trở nên cao Mục tiêu luận án Mục tiêu luận án tìm hệ phương trình hóa dạng lý thuyết đàn hồi tuyến tính, lý thuyết đàn-điện, đànnhiệt miền hai chiều có biên phân chia với độ nhám cao Biên phân chia giả thiết dao động nhanh hai đường thẳng song song, hai đường trịn đồng tâm Minh họa tính ứng dụng phương trình hóa dạng thu toán phản xạ khúc xạ sóng đàn hồi SH biên phân chia có độ nhám cao Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các toán liên quan đến biên phân chia có độ nhám cao Biên phân chia dao động nhanh hai đường thẳng song song, hai đường tròn đồng tâm, hai ellip đồng tâm Phạm vi nghiên cứu: Tìm phương trình hóa dạng miền hai chiều chứa biên phân chia độ nhám cao lý thuyết đàn hồi tuyến tính, đàn-điện, đàn-nhiệt Phương pháp nghiên cứu Trong luận án tác giả sử dụng phương pháp hóa (homogenization method) kết hợp với cách phát biểu ma trận lý thuyết đàn hồi tuyến tính, đàn-điện, đàn-nhiệt cách biểu diễn nghiệm vi mơ-vĩ mơ Những đóng góp luận án Tìm phương trình hóa dạng (dạng tường minh) lý thuyết đàn hồi, lý thuyết đàn-điện, lý thuyết đàn-nhiệt, • Tìm phương trình hóa dạng lý thuyết đàn-nhiệt miền hai chiều có biên phân chia dao động nhanh hai đường thẳng song song, hai đường trịn đồng tâm • Tìm phương trình hóa dạng tốn biên có nguồn gốc từ toán khác thực tế như: toán truyền nhiệt dừng, tốn truyền sóng đàn hồi SH, miền hai chiều có biên phân chia dao động nhanh hai ellip đồng tâm • Tìm hệ số phản xạ khúc xạ của sóng đàn hồi SH biên phân chia dao động nhanh hai đường thẳng song song Những kết luận án cơng bố báo có đăng tạp chí quốc tế thuộc hệ thống SCI Cách tiệm cận ma trận biểu diễn nghiệm vi mô-vĩ mô báo Lê Huy Toàn [42] thuộc DE L’UNIVERSITÉ PARIS EST sử dụng cơng cụ để giải tốn luận án tiến sĩ Các kết luận án góp phần phát sửa chữa kết sai Nevard Keller [32] tạp chí SIAM J Appl Math Luận án mở số vấn đề tiếp tục nghiên cứu • Tìm phương trình hóa dạng lý thuyết khác như: lý thuyết đàn-điện-từ, lý thuyết đàn-nhiệt-từ, lý thuyết đàn hồi mirco-polar, • Mở rộng kết cho trạng thái ứng suất phẳng • Mở rộng kết cho trường hợp biên phân chia dao động nhanh hai ellip đồng tâm • Ứng dụng kết thu khảo sát tốn thực tế • Áp dụng phương pháp kỹ thuật trình bày luận án, tìm phương trình hóa dạng miền có biên (khác biên phân chia) dao động nhanh hai đường thẳng song song, hai đường trịn đồng tâm • Mở rộng kết thu cho trường hợp biên hay biên phân chia mặt trụ dao động nhanh hai mặt phẳng song song, hai mặt trụ đồng tâm 117 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] Phạm Chí Vĩnh, Đỗ Xuân Tùng (2006), “Sự phản xạ, khúc xạ sóng SH biên có độ nhám cao”, Tuyển tập cơng trình hội nghị khoa học tồn quốc Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 8, Thái Nguyên 2006, trang 949-959 [2] Phạm Chí Vĩnh, Đỗ Xuân Tùng (2010), “Thuần hóa biên phân chia nhám hai mơi trường dị hướng miền chiều”, Tuyển tập công trình hội nghị khoa học tồn quốc Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 10, Thái Nguyên 2010, tr 889-894 [3] Vinh P.C., Tung D.X (2010), “Homogenized equations of the linear elasticity in two-dimensional domains with very rough interfaces”, Mechanics Research Communications 37, pp 285-288 [4] P C Vinh, D X Tung (2011), “Homogenization of rough twodimensional interfaces separating two anisotropic solids”, ASME J Appl Mech., 78, 0410141-0410147 [5] Vinh P.C., Tung D.X (2011),“Homogenized equations of the linear elasticity theory in two-dimensional domains with interfaces highly oscillating between two circles”, Acta Mech 218, pp 333-348 [6] Do Xuan Tung, Pham Chi Vinh, Nguyen Kim Tung (2012), “Homogenization of an interface highly oscillating between two concentric ellipses”, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 34(2), pp.113-121 [7] Pham Chi Vinh, Do Xuan Tung (2012), “Explicit homogenized equation of a boundary-value problem in two-dimensional domains separated by an interface highly oscillating between two concentric ellipses”, Archives of Mechanics, pp 461-476 [8] Pham Chi Vinh, Do Xuan Tung (2013), “Explicit homogenized equations of the piezoelectricity theory in a two-dimensional domain with a very rough interface of comb-type”, Vietnam Journal of Mechanics, 118 VAST, 35(1), pp 93 – 101 [9] Pham Chi Vinh, Do Xuan Tung (2013), “Homogenization of very rough interfaces separating two piezoelectric solids”, Acta Mechanica, 224(5), pp 1077-1088 119 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phạm Thị Toan (1996), “Các phương trình tốn tĩnh động composite lớp đàn hồi dị hướng không ”, Tạp chí Cơ học, 18(2), tr 35-42 [2] Phạm Thị Toan (1997), “Phương pháp hóa toán cầu rỗng composite đàn hồi nhiều lớp ”, Tạp chí Cơ học, 19(3), tr 52-58 [3] Phạm Chí Vĩnh (1986), “Sự phản xạ khúc xạ sóng SH lớp có biến dạng ban đầu khơng nhất”, Tạp chí Cơ Học, 18(3), tr 26-32 [4] Phạm Chí Vĩnh, Đỗ Xuân Tùng (2006), “Sự phản xạ, khúc xạ sóng SH biên có độ nhám cao”, Tuyển tập cơng trình hội nghị khoa học tồn quốc Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 8, Thái Nguyên 2006, tr 949-959 [5] Phạm Chí Vĩnh, Đỗ Xuân Tùng (2010), “Thuần hóa biên phân chia nhám hai môi trường dị hướng miền chiều”, Tuyển tập cơng trình hội nghị khoa học tồn quốc Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 10, Thái Nguyên 2010, tr 889-894 Tiếng Anh [6] Achdou Y., Pironneau O., Valentin F., “Effective boundary conditions for laminar flows over rough boundaries”, J Comput Phys, 147, pp 187–218 120 [7] Achenbach J D (1973), Wave propagation in Elastic Solids, NorthHolland Publishing Company, Amsterdam-New York-Oxford [8] Amirat Y et al.(2004), “Asymptotic approximation of the solution of the Laplacian in a domain with highly oscillating boundary”, SIAM J Math Anal, 35 (6), pp 1598–1618 [9] Amirat Y et al (2007), “Asymptotics for eigenelements of Laplacian in domain with oscillating boundary: multiple eigenvalues”, Appl Anal, 86 (7), pp 873–897 [10] Bakhvalov N., Panasenko G (1989), Homogenisation: averaging of processes in periodic media: mathematical problems of the mechanics of composite materials, Kluwer Acad Publ, Dordrecht Boston London [11] Baljeet Singh (2005), “On the theory of generalized thermoelasticity for piezoelectric materials”, Applied Mathematics and Computation, 171, pp 398–405 [12] Bensoussan A., Lions J.B., Papanicolaou J.(1978), Asymptotic Analysis for Periodic Structures, North-Holland, Amsterdam [13] Bich D H, Bich N D, Dung D V, Vinh P C (1995), “Some researches on deformable solid mechanics in Hanoi National University”, Proceedings of the conference on mathematics, mechanics and informatics, Hanoi [14] Brekhovskikh L.M (1952), “Zh Eksp Teor Fiz ”, 23, pp 275-304 (In Russian) [15] Brizzi R (1994), “Transmission problem and boundary homogenization”, Rev Math Appl, 15, pp 238–261 [16] Castillero J B et al (1998), “Asymptotic homogenization of laminated piezocomposite materials”, Int J Solids Structures, 35(5-6), pp 527-541 [17] Chechkin G.A et al (1999), “The boundary-value problem in domains with very rapidly oscillating boundary”, J Math Anal Appl, 231, pp 213–234 [18] Daros C.H (2004), “Two-dimensional wavefront shape for cylindrically hexagonal piezoelectric media of classes ¯6 and ¯6m2”, Wave Motion, 40, pp 13-22 [19] De Maio U., Durante T., Mel’nyk T A (2005), “Asymptotic approximation for the solution for nearly circular holes and rigid inclusions in an infinite elastic medium”, Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 15(12), pp 1897-1921 121 [20] Ekneligoda T C., Zimmermam, R W (2008), “Boundary pertubation solution for nearly circular holes and rigid inclusions in an infinite elastic medium”, ASME J Appl Mech, 75, pp 01101510110158 [21] Every A.G.,McCurdy A.K (1987), “Phonon fucusing in piezoelectric crystals”, Physical review B, 36(3), pp 1432-1448 [22] Fumihiro Ashida, Theodore R Tauchert (2001), “A general planestress solution in cylindrical coordinates for a piezothermoelastic plate”, International Journal of Solids and Structures, 38, pp 49694985 [23] Hawwa M A., Asfar O R (1996), “Mechanical-wave filtering in a periodically corrugated elastic plate”, ASME J Appl Mech, 118, pp 16-20 [24] Kazmerchuk Y A.,Mel’nyk T.A (2009), “Homogenization of the Signorini boundary-value problem in a thick plane junction”, Nonlinear Oscillations, 12(1), pp 44-58 [25] Kohler W., Papanicolaou G.C., Varadhan S (1981), “Boundary and interface problems in regions with very rough boundaries In: Chow, P., Kohler, W., Papanicolaou, G.(Eds.): Multiple Scattering and Waves in Random Media”, North-Holland, Ambsterdam, pp 165–197 [26] Kohn R.V and Vogelius (1984), “A new model for thin plates with rapidly varying thickness”, Int J Solids Struct, 20, pp 333-350 [27] Kur’yanov B F (1963), “Akust Zh”, Sov Phys Acoust, 8, pp 252257 [28] Lefebvre Elmaimouni L., Lefebvre J.E., Zhang V., Gryba T (2005), “A polynomial approach to the analysis of guided waves in anisotropic cylinder of infinite length”, Wave Motion, 42, pp 177–189 [29] Love A.E.H (1944), A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, Dover Publications, New York [30] Martin L Dunn, Wienecke H.A (1996), “Green’s funtions for transversely isotropic piezoelectric solids”, Int J Solids Structures, 33(30), pp 45714581 [31] Nayfeh A H (1981), Introduction to perturbation techniques, John Wiley and Sons, New York [32] Nevard J., Keller J.B (1997), “Homogenization of rough boundaries and interfaces”, SIAM J Appl Math, 57, pp 1660–1686 122 [33] Pan E (2002), “Mindlin’s problem for an anisotropic piezoelectric half-space with general boundary conditions”, Proc Roy Soc Lond A, 458, pp 181-208 [34] Pobedria B.E (1984), Mechanics of Composite Materials, Moscow State University Press (In Russian) [35] Sanchez-Palencia E (1980), Nonhomogeneous media and vibration theory, in Lecture Notes in Phys 127, Springer-Verlag, Heidelberg [36] Seshadri S R (1979), “Effect of periodic surface corrugation on the propagation of Rayleigh waves”, J Acoust Soc Am, 65, pp 687-694 [37] Singh S.S., Tomar S.K (2008), “qP-wave at a corrugated interface between two dissimilar pre-stressed elastic half-spaces”, J Sound Vib, 317, pp 687–708 [38] Sinha A N and Sinha S B (1975), “Velocity of Rayleigh Waves with Thermal Relaxation in Time”, Acta Mechanica, 23, pp 159-166 [39] Talbot D.R.S, Titchener J.B and Willis J.R (1990), “The reflection of electromagnetic waves from very rough interfaces”, Wave Motion, 12, pp 245-260 [40] Thorsos E I., Broschat S L (1995), “An investigation of the small slope approximation for scattering from rough surfaces Part I Theory”, J Acoust Soc Am, 97(4), pp 2082-2093 [41] Ting T.C.T (1996), Anisotropic Elasticity, Theory and Applications, Oxford University Press, New York [42] Toan L H (2011), Homogénéisation des interfaces ondulées dans les composites, DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ PARIS EST [43] Pham Chi Vinh (1996), “Homogenization and cylindrical waves in composite media”, Proc fif Nat Conf on Solids Mech, pp 669-680 [44] Pham Chi Vinh (1996), “Homogenization and waves in composite media”, Proc of Conf on Math., Mech and Inf, Hanoi University of Science, pp 26-27 [45] Pham Chi Vinh (1997), “Homogenization and Lamb wave in a composite material layer”, Proceedings of the sixth National Conference on Mechanics, Hanoi, December 3-5, pp 305-312 [46] Pham Chi Vinh (1998), “An application of homogenization method to the problem on waves in composite media”, Tuyển tập cơng trình khoa học (ngành Toán), Hội nghị Khoa học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Hà Nội, pp 273-283 123 [47] Pham Chi Vinh (2000), “An application of the homogenization method to the problem on wave propagation in a composite layer”, Proc Int Colloquium in Mech of Solids, Fluids, Structures and Interactions, Nha Trang August 14-18, pp 328-338 [48] Vinh P.C.,Tung D.X (2010), “Homogenized equations of the linear elasticity in two-dimensional domains with very rough interfaces”, Mechanics Research Communications, 37, pp 285-288 [49] Vinh P C.,Tung D X (2011), “Homogenized equations of the linear elasticity theory in two-dimensional domains with interfaces highly oscillating between two circles”, Acta Mech, 218, pp 333-348 [50] Vinh P C., Tung D X (2011), “Homogenization of rough twodimensional interfaces separating two anisotropic solids”, ASME J Appl Mech, 78, pp 0410141-0410147 [51] Vinh P C., Tung D X (2012), “Explicit homogenized equation of a boundary-value problem in two-dimensional domains separated by an interface highly oscillating between two concentric ellipses”, Archives of Mechanics, 64(5), pp 461-476 [52] Do Xuan Tung, Pham Chi Vinh, Nguyen Kim Tung (2012), “Homogenization of an interface highly oscillating between two concentric ellipses”, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 34(2), pp.113121 [53] Vinh P C., Tung D X (2013), “Homogenization of very rough interfaces separating two piezoelectric solids”, Acta Mechanica, 224(5), pp 1077-1088 [54] Pham Chi Vinh, Do Xuan Tung (2013), “Explicit homogenized equations of the piezoelectricity theory in a two-dimensional domain with a very rough interface of comb-type”,Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 35(1), pp 93 – 101 [55] Voronovich A G (1993), Wave scattering from rough surfaces, Springer (Berlin and New York) [56] Yuriy V Tokovyy, Chien-Ching Mab (2009), “Analytical solutions to the planar non-axisymmetric elasticity and thermoelasticity problems for homogeneous and inhomogeneous annular domains”, International Journal of Engineering Science, 47, pp 413–437 [57] Zhang C H., Achenbach J D (1990), “Dispersion and attenuation of surface wave due to distributed surface-breaking cracks”, J Acoust Soc Am, 88, pp 1986–1992 124 [58] Wang B L, Mai Y W (2002), “Fracture of a piezoelectric material layer bonded by two elastic layers”, International Journal of Engineering Science, 40, pp 1697–1727 [59] Zaki K A, Neureuther A.R (1971), “Scattering from a perfectly conducting surface with a sinusoidal hight profile: TE polarization”, IEEE Trans Antenn Propag, 19(2), pp 208–214 125 PHỤ LỤC Phụ lục A: Vật liệu monoclinic với mặt phẳng đối xứng x2 = Khi vật liệu monoclinic với mặt phẳng đối xứng x2 = 0, ta có [41] ck4 = ck6 = 0, k = 1, 2, 3, 4, Từ (6.50) (2.6) ta có c c15 11 A11 = c66 , c15 c55 A31 c c55 15 = c46 , c13 c35 A13 A33 c45 = c56 = (6.50) c c13 15 = c46 c55 c35 c c35 55 = c44 c35 c33 (6.51) Thay (6.51) vào (2.48), phương trình hóa dạng thành phần trường hợp có dạng c11+V1,11 + 2c15+V1,13 + c55+ V1,33 + c15+V3,11 + (c55+ +c13+)V3,13 + c35+V3,33 + f1+ = + Vă1 , x3 > (6.52) c15+V1,11 + c35+V1,33 + (c55+ + c13+)V1,13 + c55+V3,11 +2c35+V3,13 + c33+V3,33 + f3+ = + Vă3 , x3 > c V + 2c V + c V + f = Vă , x >0 66+ 2,11 46+ 2,13 44+ 2,33 126 2+ + cˆ11 V1,11 + cˆ15 V1,13 + (ˆ c15V1,1),3 + (ˆ c55V1,3),3 + cˆ15V3,11 +(ˆ c55 V3,1),3 + (ˆ c11 a + cˆ15 b )V3,13 + (ˆ c15 a + cˆ55 b )V3,3 + f1 = Vă1 , −A < x3 < c11 a + cˆ15 b )V1,1 ,3 + (ˆ c15 a cˆ15 V1,11 + cˆ55 V1,13 + (ˆ ,3 +ˆ c55 b )V1,3 ,3 + cˆ55V3,11 + (ˆ c15 a + cˆ55 b )V3,13 + (ˆ c15 a +ˆ c55 b )V3,1 + (a∗V3,3 ),3 + f3 = Vă3 , A < x3 < ,3 −1 1 −1 c46 −1 c46 V + V + V2,1 ,3 + ( c44 2,11 2,13 c66 c66 c66 c66 c66 c246 −1 c46 − )V2,3 + f2 = Vă2 , A < x3 < + c c c 66 66 66 ,3 (6.53) c11−V1,11 + 2c15−V1,13 + c55−V1,33 + c15−V3,11 + (c55− +c13−)V3,13 + c35V3,33 + f1 = Vă1 , x3 < A (6.54) c15−V1,11 + c35−V1,33 + (c55− + c13−)V1,13 + c55−V3,11 +2c35−V3,13 + c33V3,33 + f3 = Vă3 , x3 < −A c66−V2,11 + 2c46−V2,13 + c44V2,33 + f2 = Vă2 , x3 < −A 0 V1, V2 , V3, σ13 , σ23 , σ33 liên tục x3 = −A, x3 = (6.55) σ13 = cˆ15V1,1 + cˆ55 (V1,3 + V3,1) + (ˆ c15 a + cˆ55 b )V3,3 = (ˆ c11 a + cˆ15 b )V1,1 + (ˆ c15 a + cˆ55 b )(V1,3 + V3,1) σ23 + a∗ V3,3 σ33 = c66 −1 c46 V2,1 + c66 c44 c246 − + c66 c66 −1 c46 c66 V2,3 (6.56) 127 ˆ cˆij = cij /d /d, d = c11 c55 − c215 i, j = 1, 5, dˆ = c11 /d c55 /d − c15 /d a = (c55c13 − c15 c35)/d, (6.57) b = (c11c35 − c15 c13 )/d a∗ = c33 − (c11c235 + c55 c213 − 2c13c15c35 )/d + a cˆ11 + a b cˆ15 + b cˆ55 Chú ý Ω+ Ω− vật liệu, tức cˆij = cij , i, j = 1, 5, a = c13, b = c35 , a∗ = c33 hệ (6.52), (6.53), (6.54) trùng Từ (6.52), (6.53), (6.54) dễ dàng suy u1, u3 tách riêng không phụ thuộc vào u2 Hay nói cách khác, trạng thái biến dạng phẳng tách từ trạng thái biến dạng tổng quát trường hợp (xem [41]) Phụ lục B: Vật liệu monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = Nếu vật liệu monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0, ta có (xem [41]) ck4 = ck5 = 0, k = 1, 2, 3, Thay (6.58) vào (2.6) dẫn tới c c 11 16 A11 = c16 c66 , 0 c55 A31 0 c55 = 0 c45 , c13 c36 128 A13 A33 (6.58) c46 = c56 = 0 c13 = 0 c36 c55 c45 c c 55 45 = c45 c44 0 c33 (6.59) Khi hệ phương trình hóa (2.48) viết dạng thành phần c11+V1,11 + c16+V2,11 + c13+ V3,13 + c55+V3,31 + c55+V1,33 +c45+V2,33 + f1 + = ρ+ Vă1 , x3 > c55+V3,11 + c55+V1,13 + c45+ V2,13 + c13+V1,31 + c36+V2,31 (6.60) +c33+V3,33 + f3 + = ρ+ Vă3 , x3 > c16+V1,11 + c66+V2,11 + c36+ V3,13 + c45+V3,31 + c55+V1,13 +c45+V2,33 + f2 = + Vă2 , x3 > + cˆ11 d−1V1,11 + cˆ16d−1V2,11 + d−1( a cˆ11 + b cˆ16 )V3,13 + cˆ−1 + 55 V3,1 ,3 −1 −1 c45 V2,3 + f1 = Vă1 , A < x3 < + c ˆ V + c ˆ 1,3 55 55 c ,3 55 d−1cˆ16 V1,11 + d−1cˆ66V2,11 + d−1 a cˆ16 + b cˆ66 V3,13 c45 −1 c45 −1 c45 V3,1 + cˆ−1 V + c + c ˆ + cˆ55 1,3 44 55 55 c55 c55 c55 ,3 c245 V2,3 + f3 = Vă3 , −A < x3 < c 55 ,3 c45 −1 c ˆ V + V + V2,13 + d−1 a cˆ11 + b cˆ16 V1,1 3,11 1,13 55 c 55 +d−1 a cˆ16 + b cˆ66 V2,1 + a V3,3 + f2 = Vă2 , A < x3 < ,3 ,3 (6.61) 129 c11−V1,11 + c16−V2,11 + c13− V3,13 + c55−V3,31 + c55−V1,33 +c45−V2,33 + f1 = Vă1 , x3 < A c55−V3,11 + c55−V1,13 + c45− V2,13 + c13−V1,31 + c36−V2,31 +c33−V3,33 + f3 = Vă3 , x3 < A c16−V1,11 + c66−V2,11 + c36− V3,13 + c45−V3,31 + c55−V1,13 +c45V2,33 + f2 = Vă2 , x3 < −A − 0 V1 , V2 , V3 , σ13 , σ23 , σ33 liên tục x3 = −A, x3 = (6.62) (6.63) c45 V2,3 c55 σ13 = cˆ−1 ˆ−1 ˆ−1 55 V3,1 + c 55 V1,3 + c 55 σ33 = d−1 a cˆ11 + b cˆ16 V1,1 + d−1 a cˆ16 + b cˆ66 V2,1 + a∗ V3,3 σ23 = cˆ−1 55 c245 − c55 (6.64) c45 (V3,1 + V1,3 ) + c55 c44 + cˆ−1 55 c45 c55 V2,3 cij , i, j = 1, 6, d = c11c66 − c216 , d dˆ = cˆ11 cˆ66 − cˆ16 a = (c13 c66 − c16 c36)/d, b = (c11c36 − c16 c13 )/d cˆij = a∗ = cˆ33 + d−1 a a cˆ11 + b cˆ16 + d−1 b + b cˆ66 − ac13 + bc36 (6.65) (6.66) (6.67) a cˆ16 (6.68) Chú ý Ω+ Ω− loại vật liệu, ta có cˆij = cij Các hệ (6.60), (6.61), (6.62) trùng 130 Phụ lục C: Bảng hệ số tinh thể áp điện Hình 6.4: Các lớp tinh thể áp điện 131 ... nghiên cứu tốn với biên phân chia có độ nhám thấp 1.2 Biên phân chia có độ nhám cao Các tốn biên miền có biên hay biên phân chia độ nhám cao xuất nhiều thực tế, tán xạ sóng biên nhám cao [59], phản... cứu phương trình hóa dạng miền với biên phân chia có độ nhám cao 12 1.5 Mục tiêu nghiên cứu luận án Như phân tích trên, nghiên cứu hóa biên phân chia có độ nhám cao chủ yếu tập trung vào toán biên. .. toán hóa biên phân chia có độ nhám cao Trong [32] Nevard Keller nghiên cứu hóa biên phân chia có độ nhám cao cho tốn biên có nguồn gốc từ tốn truyền nhiệt dừng tốn truyền sóng Bằng cách sử dụng phương
Ngày đăng: 10/03/2021, 13:58
Xem thêm:
