Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 7: Các phép toán đại số

[r]

CHƯƠNG

CÁC PHÉP TOÁN ĐẠI SỐ

7.1 GIỚI THIỆU

Các phép toán đại số phép toán tạo ảnh đầu cách lấy tổng, hiệu, tích hay thương điểm ảnh hai ảnh đầu vào trường hợp tổng tích, đầu vào nhiều hai ảnh Nói chung, ảnh vào số Tuy nhiên, cộng, trừ, nhân, chia với số xem phép tốn tuyến tính điểm, đề cập chương Cũng trường hợp mà ảnh đầu vào giống hệt 7.1.1 Định nghĩa

Bốn phép toán đại số xử lý ảnh biểu diễn biểu thức toán học sau )

, ( ) , ( ) ,

(x y A x y B x y

C   (1)

) , ( ) , ( ) ,

(x y A x y B x y

C   (2)

) , ( ) , ( ) ,

(x y A x y B x y

C   (3)

) , ( ) , ( ) ,

(x y A x y B x y

C   (4)

trong A(x,y) B(x,y) ảnh vào C(x,y) ảnh Ta thiết lập phương trình đại só phức tạp gồm nhiều ảnh cách kết hợp chúng thích ứng 7.1.2 Mục đích phép tốn đại số

Một ứng dụng quan trọng phép cộng ảnh lấy trung bình nhiều ảnh cảnh với Phương pháp thường sử dụng thành công để làm giảm ảnh hưởng nhiễu cộng ngẫu nhiên Phép cộng ảnh có thểđược sử dụng để thêm nội dung ảnh vào ảnh khác, tạo kết quảphơi sáng kép (double-exposure)

Phép trừ ảnh sử dụng để di chuyển mẫu hình khơng ưa thích khỏi ảnh Điều làm thay đổi sắc thái mẫu hình phía sau, mơ hình nhiễu tuần hồn, hay vết bẩn thêm vào khác điểm ảnh Phép trừ sử dụng việc phát thay đổi hai ảnh cảnh Ví dụ, người ta phát di chuyển cách trừ liên tiếp ảnh cảnh Phép trừ ảnh đòi hỏi phải tính gradient, hàm thường dùng cho việc xác định cạnh biên ảnh

7.2 CÁC PHÉP TOÁN ĐẠI SỐ VÀ LƯỢCĐỒ

Trong phần này, nghiên cứu lược đồ phép toán tổng hiệu Việc mang lại hiểu biết phép toán xác định tỷ lệ cần thiết để đặt mức xám đầu vào phạm vi cho trước Chúng trình bày kỹ thuật xác định mật độ quang học tích hợp (IOD) ảnh bị nhiễu cộng ngẫu nhiên làm bẩn 7.2.1 Lược đồ ảnh tổng (Histograms of Sum Images)

Giả thiết rằng, phép toán biểu thức (1), ảnh vào A(x,y) B(x,y) có lược đồ mức xám HA(D) HB(D) tương ứng Giả sử mong muốn xác định lược đồ HC(D) Nếu ảnh vào giống hệt nhau, hai ảnh số, q trình cịn lại phép tốn điểm kết cho chương Trong phần này, nghiên cứu trường hợp ảnh liên quan với

Hai ảnh vào không liên quan với lược đồ hai chiều chung chúng )

( ) ( ) ,

( A B A A B B

AB D D H D H D

H  (5)

Là tích hai lược đồ ảnh riêng lẻ Về mặt thực tiễn, điều có nghĩa ảnh khơng có liên quan

Chú ý biểu thức (5) không thoả mãn ảnh đầu vào giống hệt nhau, thoả mãn ảnh ngẫu nhiên ảnh độc lập thống kê

Chúng ta biến đổi lược đồ hai chiều lược đồ chiều rìa cách lấy tích phân biến độc lập; cụ thể là,



 AB A B B

A H D D dD

D

H( ) ( , ) (6)

Cho nên, cho biểu thức (5), tạo lược đồ chiều 

 HA DA HB DB dDB

D

H( ) ( ) ( ) (7)

Tuy nhiên, biểu thức (1) ngụ ý điểm,

B C

A D D

D   (8)

Thay vào vế phải biểu thức (7) ta  

 HA DC DB HB DB dDB

D

H( ) ( ) ( ) (9)

Lược đồ mức xám chiều hàm mức xám đầu lược đồđầu Bây viết lược đồ đầu phép toán mà tổng ảnh khơng có liên quan với

) ( * ) ( )

( C A A B B

C D H D H D

H  (10)

trong dấu * phép tốn nhân chập xác định tích phân biểu thức (9)

Tích phân tích chập đề cập chi tiết chương 9, phát triển minh hoạ phép toán giả sử mong muốn nhân chập hai hàm Gauss giống nhau, hàm cho Do



   





e e e dy

e x2 x2 y2 (x y)2 (11)

2

x

Khai triển số mũ kết hợp số hạng ta có 

   





e e dy

e x2 x2 (x2 2xy y2) (12)

Bây ta thêm tích mà kết tích 1, ta 

     





e e e e dy

e x2 x2 (x2 2xy y2) x2/2 x2/2 (13) xếp lại sau



    





e e e dy

e x2 x2 2(x2/4 xy y2) x2/2 (14) Kết hợp thừa số thành phần số mũ ta



   





e e e dy

e x2 x2 2(y x/2)2 x2/2 (15) Sắp xếp lại biểu thức ta có



   

 



e e e dy

e x2 x2 x2/2 (x2 2xy y2)/[2(1/4)] (16) Bây sử dụng tính chất hàm Gauss

  



2 / ) (

2

2



 

dx

e x (17)

và biểu thức (16) trở thành

2 /

2

2

) (

2 x

x x

e e

e      (18)

Một phát triển tương tự tổng quát cho thấy

2 3

2 2

1

1 ( ) /2

2 2 / ) ( 2 / ) (

1

  

 

      

 



 x x

x

e A

A e

A e

A (19)

trong

2

3  

   (20)

và

2 2

3  

   (21)

Điều có nghĩa việc nhân chập hai hàm Gauss tạo hàm Gauss thứ ba dịch (shift) khái quát hơn, biểu thức (21) cho thấy

Nói chung, tích chập "làm bẩn" hàm Bởi thêm nhân chập ảnh khơng có liên quan với lược đồ chúng, xem tổng ảnh không liên quan chiếm giữ phạm vi mức xám rộng phạm vi mức xám ảnh thành phần Thảo luận phép toán nhân chập sẽđược nhắc lại chương

7.2.2 Lược đồ ảnh hiệu (Histograms of Difference Images)

huống nảy sinh trừ ảnh liên tiếp cảnh để phát chuyển dời hay thay đổi khác, sựđăng ký (registration) xác khơng trì (maintain)

Giả sửảnh hiệu cho

) , (

) , ( ) ,

(x y A x y A x x y

C    (22)

biểu thức xấp xỉ hoá thành

x y x A x y x

C 

 

 ( , )

) ,

( (23)

nếu x nhỏ

Lưu ý A/x thân ảnh với lược đồ ta ký hiệu H'A(D) Vì thế, lược đồ ảnh hiệu thay

) / ( )

( H' D x x

D

HC A 



 (24)

(Xem lại chương 6, kết số gấp lên nhiều lần) Vì lý đó, việc trừ bị sai lệch ảnh tạo ảnh đạo hàm phần Phương diện đạo hàm phần giống phương diện độ dịch chuyển

7.2.3 IOD ảnh nhiễu

Giả sử có ảnh chứa vết (spot) đồng dạng tương phản với Cũng giả sử ảnh bị làm bẩn nhiễu cộng ngẫu nhiên, muốn xác định IOD vết Chúng ta mơ hình hố giải pháp sau: Đặt S(x,y) ảnh khơngcó nhiễu (noise-free) vết N(x,y) ảnh nhiễu xác định miền Ảnh quan sát

) , ( ) , ( ) ,

(x y S x y N x y

M   (25)

Lược đồ ba ảnh cho hình 7-1 Chúng ta giả thiết nhiễu có tâm đối xứng lược đồ mà ta giá trị trung bình N0 của lược đồ vết có hình dáng mũi nhọn gốc đồng dạng bao quanh vết

HÌNH 7-1

   

   

 a bS x y dxdy a bM x y dxdy a bN x y dxdy

IODs

0 0

0 ( , ) ( , ) ( , ) (26)

Thay tính chất chương 5, biểu thức (12), ta

A N dD D DH

IODs M

0 ( ) 

 (27)

trong A diện tích miền cần xác định, vào biểu thức (4) chương 5, viết

 

0 H (D)dD

A M (28)

bởi toàn vùng nhiễu ảnh quan sát nhau, nên 

  



0

0 DH (D)dD N H (D)dD

IODs M M (29)

và thu gọn lại ta   

0 (D N0)H (D)dD

IODs M (30)

Đây biểu thức IOD đơn giản, có N0 xác định Người ta ước lượng N0 cách lấy trung bình mức xám khu vực nhỏ cách xa vết

Tuy nhiên, với giả thiết hợp lý, chứng tỏ đỉnh trái lược đồ HM(D) xuát N0 Giả sử lược đồ nhiễu HN(D) đối xứng, đỉnh xuất giá trị trung bình N0 Vì N(x,y) ngẫu nhiên, nên hai ảnh khơng liên quan đến Biểu thức (10) biểu diễn tổng ảnh không liên quan có lược đồ phép nhân chập lược đồ với hai ảnh ban đầu Hơn nữa, đỉnh nhọn D = 0 làm cho HS(D) trội hẳn

Chúng ta thấy chương đỉnh nhọn (xung) hàm đồng phép nhân chập [Chương 9, biểu thức (67)] Vì thế,lược đồ HM(D) trội nhờ đỉnh N0, hình 7-1 Tính khơng đối xứng HS(D) khiến cho đỉnh nghêng sang phải, vị trí đỉnh giữ nguyên giá trịước lượng N0 tốt vết bao quanh khối lượng hợp lý Vì thế, lược đồ ảnh vết bị nhiễu mang lại cách tính tốn dễ dàng ước lượng IOD không nhiễu

7.3 ỨNG DỤNG CỦA CÁC PHÉP TOÁN ĐẠI SỐ

Trong phần này, minh hoạ ứng dụng phép toán đại số vài tình

7.3.1 Tính trung bình để giảm nhiễu (Averaging for Noise Reduction)

Trong nhiều ứng dụng, việc tính trung bình thu nhiều ảnh cảnh ổn định Nếu ảnh bị nguồn nhiẽu cộng ngẫu nhiên làm bẩn, chúngb tính trung bình để giảm bớt nhiễu Trong q trình tính trung bình, thành phần ổn định ảnh không bị thay đổi, mơ hình nhiễu lại bị thay đổi

Giả sử ta có tập Mảnh có dạng

) , ( ) , ( ) ,

(x y S x y N x y

Di   i (31)

nhiễu khác làm suy biến Mặc dù khơng biết xác ảnh nhiễu này, giả thiết ảnh có từ (ensemble) ảnh nhiễu ngẫu nhiên không liên quan đến nhau, tất có giá trị trung bình Điều có nghĩa

Ni(x,y)0

 (32)

Ni(x,y)Nj(x,y)Ni(x,y)Nj(x,y) (i  j)

 (33)

và

Ni(x,y)Nj(x,y)Ni(x,y)Nj(x,y) (i j)

 (34)

trong đó{ } ký hiệu tốn tửđịnh trước; tức là, {Ni(x,y) } trung bình điểm toạđộx, y tất ảnh nhiễu thứi Các biến định trước ngẫu nhiên sẽđược đề cập chi tiết chương 11

Đối với điểm ảnh, ta xác định tỷ số lượng tín hiệu nhiễu (S/N) sau

 ( , ) ) , ( ) , ( 2 y x N y x S y x P   (35)

Nếu ta tính trung bình Mảnh

      M i

i x y N y x S M y x D ) , ( ) , ( ) , ( (36)

tye số khả tín hiệu nhiẽu trở thành

                         2 ) , ( ) , ( ) , ( M i

i x y N M y x S y x P  (37)

Tử số không đổi việc tính trung bình khơng ảnh hưởng đến thành phần tín hiệu Chúng ta có thểđưa thừa số1/M mẫu số

             2 ) , ( ) , ( ) , ( M i

i x y N M y x S y x P  (38)

hoặc

           M i M j j i x y N x y

N y x S M y x P 1 2 ) , ( ) , ( ) , ( ) , (  (39)

   

      

  

  

  

M

i M

j

j i

M

i

y x N y x N y

x N

y x S M y

x P

i

1 1

2

2

) , ( ) , ( )

, (

) , ( )

, (

 

(40)

Phần thứ hai phân tích theo biểu thức (34), phần thứ viết tổng số hạng,

       



  



 M

i M

j

j i

M

i

y x N y x N y

x N

y x S M y

x P

i

1 1

2

2

) , ( ) , ( )

, (

) , ( )

, (

 



(41)

Bây giờ, theo biểu thức (32) phần thứ hai mẫu số Hơn nữa, M mẫu nhiễu có từ mẫu, nên tất phần tổngthứ giống Cho nên,

 ( , ) ( , )

) , ( )

,

( 2

2

y x MP y

x N M

y x S M y x

P  

 (42)

Vì thế, việc tính trung bình Mảnh làm tăng tỷ số lượng tín hiệu nhiễu lên M lần tai tất điểm ảnh Tỷ số biên độ tín hiệu nhiễu bậc hai tỷ số lượng, chẳng hạn,

) , ( )

,

(x y M P x y P

SNR  (43)

và tỷ lệ với bậc hai số lượng ảnh muốn tính trung bình (M)

Hình 7-2 làm sáng tỏ kết phép tính trung bình ảnh Phần (a) cho thấy ảnh thiên văn chùm sao, ảnh bị nhiễu hạt film làm bẩn Các ảnh phần (b), (c) (d) trung bình hai, bốn tám ảnh tương ứng liên tiếp chùm Những kết tốt có ảnh mơ hình nhiễu hột film tích dần lại phép tổng diễn chậm ảnh chùm ổn định

HÌNH 7-2

Hình 7-2 Tính trung bình ảnh để giảm nhiễu hột film 7.3.2 Phép trừảnh

7.3.2.1 Phép trừ