Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn Đại số 8

Đề tài đưa ra nhằm giúp học sinh khắc phục được những sai sót của mình khi phân tích đa thức thành nhân tử trong các bài Toán. Bên cạnh đó, chỉ ra một số dạng Toán phân tích đa thức thành nhân tử để học sinh tổng quát được cách làm của mình cho phù hợp.

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương   pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” MỤC LỤC  MỤC LỤC                                                                                                                      1  Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU                                                                                             2  I. Đặt vấn đề                                                                                                                 2  II. Mục đích nghiên cứu                                                                                                2  Phần thứ 2: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ                                                                             3  I. Cơ sở lí luận của vấn đề                                                                                           3  II. Thực trạng vấn đề                                                                                                    3  III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:                                                4  IV. Tính mới của giải pháp                                                                                          17  V. Hiệu quả SKKN:                                                                                                17       Phần thứ 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ                                                                  18  I. Kết luận:                                                                                                              18       II. Kiến nghị:                                                                                                                 18  TÀI LIỆU THAM KHẢO                                                                                             20 Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám1                             Giáo viên: H’An Niê  Kdăm   Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương   pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU I. Đặt vấn đề Tốn học là bộ  mơn rất quan trọng đóng vai trị chủ  lực. Nó được vận  dụng và phục vụ  rộng rãi trong đời sống con người chúng ta. Tốn học hình  thành cho các em tính chính xác, hệ thống khoa học, logic và tư duy cao Trong chương trình đại số  lớp 8, dạng bài về  phân tích đa thức thành  nhân tử là một nội dung hết sức quan trọng. Việc áp dụng dạng tốn phân tích  đa thức thành nhân tử vào giải tốn rất phong phú và đa dạng. Vì vậy, để giúp  học sinh giải quyết tốt dạng Tốn này là u cầu hết sức cần thiết đối với   người giáo viên Trong những năm thực tế  giảng dạy mơn đại số  8 tơi nhận thấy đa số  học sinh khi học xong các bài phân tích đa thức thành nhân tử vào áp dụng giải  tốn cịn gặp nhiều sai sót, ngun nhân là do học sinh chưa nắm vững các  phương pháp giải, chưa vận dụng các kĩ năng biến đổi một cách thành thạo,  linh hoạt, sáng tạo vào từng bài tốn cụ thể Chính vì vậy tơi đã chọn đề tài: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng   các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”   với mong muốn chia sẻ  một số  kinh nghiệm của mình để  các giáo viên dạy   Tốn cùng trao đổi II. Mục đích nghiên cứu  Đề  tài đưa ra nhằm giúp học sinh khắc phục được những sai sót của   mình khi phân tích đa thức thành nhân tử trong các bài Tốn. Bên cạnh đó, chỉ  ra một số  dạng Tốn phân tích đa thức thành nhân tử  để  học sinh tổng quát  được cách làm của mình cho phù hợp Đặc   biệt,   đề   tài       giúp     em   rèn   kĩ     giải       Tốn   phương trình tích và áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử vào một số dạng  Tốn liên quan Hơn nữa, tơi nghiên cứu đề tài này để nâng cao trình độ chun mơn của   bản thân đồng thời cũng trao đổi cùng đồng nghiệp khi dạy các bài “phân tích   đa thức thành nhân tử” để  cung cấp thêm cho học sinh phương pháp học và  làm Tốn. Giúp các em nắm được kiến thức cơ  bản, cách tư  duy và phương   pháp sử  dụng linh hoạt các cách phân tích đa thức thành nhân tử, để  các em  ngày càng u thích và có hứng thú hơn đối với bộ mơn Tốn. Góp phần cải   thiện chất lượng trong học tập của các em, giúp các em phát triển tư duy giải  Tốn một cách tồn diện Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám2                             Giáo viên: H’An Niê  Kdăm   Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương   pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” Phần thứ 2: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Cơ sở lí luận của vấn đề Phân tích đa thức thành nhân tử  là một bộ  phận vơ cùng quan trọng của   phân mơn Đại số  8 nhưng nó áp dụng xun suốt trong q trình học cấp  Trung học cơ  sở. Vì vậy nếu các em khơng nắm được phương pháp nhớ  và  vận dụng thì việc giải Tốn liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử sẽ  gặp rất nhiều khó khăn Ví dụ  một số  bài Tốn rút gọn biểu thức, tìm x, tính nhanh giá trị  của   biểu thức… mà muốn giải được học sinh cần phải phân tích đa thức thành   nhân tử Bài 55: (Trang 25/SGK Tốn 8 tập 1) Tìm x, biết a) x3 − x = 2 b) ( x − 1) − ( x + 3) = c) x ( x − 3) + 12 − x = Bài 56: (Trang 25/SGK Tốn 8 tập 1) Tính nhanh giá trị của đa thức:  1 a ) x + x +  tại x = 49,75 16 b) x − y − y −  tại x = 93, y = 6  Bài 56: (Trang 14/SBT Tốn 8 tập 1) Rút gọn biểu thức: a) (6x + 1)2 + (6x – 1)2 – 2(1 + 6x)(6x – 1) b) 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) Những bài Tốn được liệt kê phía trên là những ứng dụng điển hình quan   trọng từ những hằng đẳng thức đáng nhớ và phân tích đa thức thành nhân tử   Vì vậy giáo viên cần hướng học sinh nắm chắc phần này để làm tiền đề giải  những dạng Tốn liên quan sau này II. Thực trạng vấn đề Sau khi các em học xong dạng Tốn phân tích đa thức thành nhân tử, mỗi  em cần hiểu rõ dạng Tốn này đóng vai trị hết sức quan trọng trong việc giải   quyết các bài Tốn liên quan như: rút gọn biểu thức, tìm x, tính nhanh giá trị  của biểu thức, giải phương trình, chứng minh chia hết, tìm giá trị  lớn nhất  (hoặc nhỏ nhất) … Vì vậy việc nắm vững các dạng phân tích đa thức thành  nhân tử là rất cần thiết Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám3                             Giáo viên: H’An Niê  Kdăm   Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương   pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” Tuy nhiên trong q trình giải tốn dạng phân tích đa thức thành nhân tử  thì đa số các em vận dụng chưa tốt, đặc biệt có nhiều em chưa nắm chắc lý  thuyết, hoặc chỉ nhận dạng được các cơng thức này ở những dạng đơn giản,   cịn khi các cơng thức   dạng phức tạp hơn thì các em trở  nên bị  động và  khơng biết giải quyết như thế nào Một số học sinh khả năng nhận dạng bài Tốn khá nhanh, tuy nhiên chưa  biết cách vận dụng linh hoạt phương pháp vào giải Tốn, hoặc trường hợp  các em đã biết vận dụng nhưng trong khi thực hiện phép tính cịn xảy ra sai  sót về dấu hoặc nhầm lẫn dấu sau khi bỏ ngoặc đằng trước có dấu trừ… Cụ  thể, năm học 2016 – 2017, bài kiểm tra viết chương I: câu phân tích   đa thức thành nhân tử, số HS khối 8 trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám có  110 em, cho kết quả: Phân tích đúng Phân tích sai  Khơng biết phân tích Số HS 40 40 30 Tỉ lệ % 36,4% 36,4% 27,2% Từ  những thực trạng nêu trên, tơi đã nghiên cứu tìm ra một số  phương   pháp sao cho có hiệu quả, nâng cao chất lượng học sinh trong việc vận dụng   phân tích đa thức thành nhân tử vào giải Tốn.  III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:   Để  áp dụng tốt giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử  vào những bài  tốn liên quan thì trước hết học sinh cần phải: + Học thuộc lịng các hằng đẳng thức đáng nhớ  đồng thời cụ  thể  hóa  bằng cơng thức + Nắm vững và biết áp dụng các cách phân tích đa thức thành nhân tử + Sử  dụng chính xác cách phân tích đa thức thành nhân tử  mà nội dung  từng bài Toán yêu cầu + Kết hợp với các kĩ năng biến đổi, thu gọn biểu thức 1. Kiến thức cơ bản:  * Học sinh cần học thuộc những hằng đẳng thức đáng nhớ: ( A + B) = A2 + AB + B ( A − B) = A2 − AB + B Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám4                             Giáo viên: H’An Niê  Kdăm   Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương   pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” A2 − B = ( A − B ) ( A + B ) ( A + B) = A3 + A2 B + AB + B ( A − B) = A3 − A2 B + AB − B A3 + B = ( A + B ) ( A2 − AB + B ) A3 − B = ( A − B ) ( A2 + AB + B ) * Học sinh cần học thuộc các cách phân tích đa thức thành nhân tử:  + Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung + Phân tích đa thức thành nhân tử  bằng phương pháp dùng hằng đẳng  thức + Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử + Phân tích đa thức thành nhân tử  bằng cách phối hợp nhiều phương  pháp 2. Các bài tập Trước tiên ta phải nhấn mạnh cho học sinh hiểu rõ: Phân tích đa thức  thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức 2.1. Dạng 1: Bài tập đơn giản ở mức độ nhận biết 2.1.1. Phương pháp: ­ Xét xem biểu thức đã cho có dạng hằng đẳng thức nào ­ Xác định biểu thức A, B ­ Thay các biểu thức A, B vào hằng đẳng thức vừa xác định 2.1.2. Bài tập: Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a)  x + xy + y b)  x − x + c)  x − d)  x3 + 3x + x + e)  x − x + 12 x − g)  x + 27 Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám5                             Giáo viên: H’An Niê  Kdăm   Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương   pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” h)  x − 1000 Giải: Đây là những dạng bài tập nhận biết cơ  bản, yêu cầu học sinh nhận   dạng được hằng đẳng thức, sau đó cho các em xác định biểu thức A, biểu   thức B trong từng câu rồi áp dụng cơng thức để phân tích: a)  x + xy + y = ( x + y ) b)  x − x + = x − 2.x.1 + 12 = ( x − 1) 2 2 c)  x − = x − = ( x − ) ( x + ) d)  x + x + x + = x + x + 3x.12 + 13 = ( x + 1) e)  x − x + 12 x − = x − x 2 + 3x.22 − 13 = ( x − ) ( 3 g)  x + 27 = x + = ( x + 3) x − 3x + ) ( 3 h)  x − 1000 = x − 10 = ( x − 10 ) x + 10 x + 100 ) ­ Với những học sinh yếu kém, việc giải Tốn dù là những bài đơn giản  cũng trở nên rất khó khăn. Giáo viên cần phải cho học sinh tự nhận biết đó là   dạng hằng đẳng thức nào rồi giúp các em phân tích kĩ càng hơn để đưa ra kết  quả. Đặc biệt khi bắt đầu đưa ra một bài Tốn cần u cầu học sinh xác định  hạng tử  A, hạng tử  B trước khi làm bài để  tránh được sự  nhầm lẫn từ  ban  đầu. Đối với ví dụ g và ví dụ h, định hướng để học sinh tự phát hiện và làm   xuất hiện hằng đẳng thức Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a)  x − y b)  x + x + c)  x − 12 x + x2 d)  + xy + y Giải: a) Đối với bài tốn này giáo viên hỏi học sinh, ta có thể  đưa về  dạng   hằng đẳng thức nào. Học sinh sẽ  phát hiện ra hằng đẳng thức số  3. Để  đưa  về dạng Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám6                             Giáo viên: H’An Niê  Kdăm   Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương   pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” A2 ­ B2 = (A­B)(A+B) thì ta cần gì, sử dụng cơng cụ gì? Học sinh tự phát hiện  ( ) đưa về  dạng lũy thừa   a m n = a m.n  Vậy trong bài toán này ta đưa ra được   thế  nào, học sinh đưa ra x6  = (x3)2, y6  = (y3)2, đến đây học sinh tự  giải  quyết các bài tốn b) và c) Với câu b, c là bài tập bắt đầu u cầu học sinh nâng cao tư duy,   học sinh khá giỏi sẽ giải bài này khơng khó khăn nhưng những học sinh yếu  kém sẽ thường nhầm lẫn như sau:  b)4 x + x + = ( x ) + ( x ) + 12 = ( x + 1) 2 c)4 x − 12 x + = ( x ) − ( x ) + = ( x − ) 2 2  (Cách làm sai của HS) Học sinh cần phải nắm rõ với các biểu thức A, B trong hằng đẳng thức  là một biểu thức gồm cả số và biến hoặc gồm hai biến thì phải sử dụng dấu  ngoặc và lũy thừa của cả biểu thức đó  Ví dụ:  x + 36 xy + 36 y = ( x ) + 2.3 x.6 y + ( y ) = ( x + y ) 2 Trong đó  A = x; B = y Hoặc  x − 20 xy + 100 y = x − 2.x.10 y + ( 10 y ) = ( x − 10 y ) 2 Trong đó  A = x; B = 10 y Vì vậy bài Tốn được giải đúng như sau: b)4 x + x + = ( x ) + 2.( x ) + 12 = ( x + 1) 2 c)4 x − 12 x + = ( x ) − ( x ) + 32 = ( x − 3) 2 Giáo viên ln ln nhấn mạnh với học sinh là cần xác định chính xác  biểu thức A, B trước khi làm bài để tránh sai sót về sau d) Tương tự, sau khi học sinh đọc đề thì giáo viên định hướng và u cầu   học sinh xác định đúng A =  x  và B = 2y, sau đó giáo viên cho học sinh phân   tích cụ thể biểu thức A2, 2AB và B2 đúng rồi sau đó mới tiến hành giải 2 x2 �1 � �1 � �1 � + xy + y = � x �+ � x � y + ( y ) = � x + y � �2 � �2 � �2 � 2.2. Dạng 2: Dạng bài biến đổi, đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử để làm  xuất hiện hằng đẳng thức Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám7                             Giáo viên: H’An Niê  Kdăm   Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương   pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” 2.2.1. Phương pháp: ­ Phát hiện nhân tử  chung hoặc nhóm các hạng tử  để  xuất hiện hằng  đẳng thức ­ Dựa vào hằng đẳng thức để đưa biểu thức về dạng nhân tử 2.2.2. Bài tập: Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a)  x + x y + xy b)  x − x + x − − y Giải: a)  x + x y + xy Câu a giáo viên u cầu học sinh xác định số hạng tử trong bài, vì chỉ có  3 hạng tử là  x ,  2x y ,  xy nên hướng học sinh hoặc là dùng hằng đẳng thức  hoặc đặt nhân tử  chung, giáo viên đặt câu hỏi nếu sử  dụng hằng đẳng thức  ln có được khơng, hoặc nếu đặt nhân tử  chung ra ngồi thì ta nhận được   biểu thức nào, học sinh sẽ  nhận thấy rằng sau khi đặt x là nhân tử  chung ra  ngồi thì sẽ  xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bài giải  như sau: x + x y + xy = x ( x + xy + y ) = x ( x + y ) b)  x − x + x − − y Với bài Tốn này, tương tự học sinh tự xác định được 5 hạng tử nên giáo  viên gợi ý học sinh sử dụng cách nhóm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức   Lúc này học sinh sau khi nhóm sẽ  dễ  dàng phát hiện ra hai hằng đẳng thức:   lập phương của một hiệu và hiệu hai lập phương. Tuy nhiên giáo viên cần  phải chỉ  rõ cách nhóm hạng tử  để  học sinh khơng bị  nhầm lẫn, cách nhóm   hạng tử dễ bị nhầm lẫn trong bài này mà thường gặp trong học sinh là  x3 − 3x + 3x − − y = ( x − 3x + 3x − y ) − = ( x − y ) − 13   (Cách làm sai   của HS). Từ đó sẽ dẫn đến kết quả bài sai Vì vậy cần u cầu học sinh nháp trước cách làm và giải thích cụ  thể,   nếu sai giáo viên định hướng kịp thời để  giúp học sinh ghi nhớ  ngay kiến   thức.  Bài giải trên được giải đúng như sau: Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám8                             Giáo viên: H’An Niê  Kdăm   Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương   pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” x3 − x + x − − y = ( x − 3x + 3x − 1) − y = ( x − 1) − y = ( x − − y ) � ( x − 1) + y ( x − 1) + y � � � = ( x − − y ) ( x + y + xy − x − y + 1) Lưu ý: Đối với học sinh yếu hơn có thể  cho các em làm bài Tốn tương  tự với bậc hai trước khi làm bậc ba, ví dụ bài  x − x + − y Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a)  xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + xz ( x + z ) + xyz b) x ( y + z ) + y ( x + z ) + z ( x + y ) − xyz 2 Giải: a)  xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + xz ( x + z ) + xyz Bài này có độ khó hơn, giáo viên định hướng học sinh khai triển ra rồi lại   nhóm các hạng tử vào cách khác để tạo ra nhân tử chung, đồng thời tách 2xyz  thành xyz + xyz, cụ thể ta giải như sau: xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) + 2xyz = x2y+ xy2 + yz(y + z) + x2z + xz2 + xyz + xyz = (x2y + x2z) + yz(y + z) + (xy2 + xyz) + (xz2 + xyz) = x2(y + z) + yz(y + z) + xy(y+ z) + xz(y + z) = (y + z)( x2 + yz + xy + xz) = (y + z)[(x2 + xy) + (xz + yz)] = (y + z)[x(x + y) + z(x + y)] = (y + z)(x+ y)(x + z) Tương tự câu b b) x ( y + z ) + y ( x + z ) + z ( x + y ) − xyz 2 Câu b cách làm cũng tương tự, khai triển xong rồi nhóm lại cách khác, cụ  2 thể:   khai   triển   hai   biểu   thức   đầu   tiên     x ( y + z ) + y ( x + z )   ta   được  x ( y + yz + z ) + y ( x + xz + z ) ,   nhân   đơn   thức   cho   đơn   thức   ta   được  xy + x y + xz + yz + xyz , sau đó tiếp tục đặt nhân tử chung trong biểu thức  thứ hai rồi phân tích đa thức thành nhân tử Như vậy, bài giải được trình bày như sau: Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám9                             Giáo viên: H’An Niê  Kdăm   Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương   pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” x ( y + z ) + y ( x + z ) + z ( x + y ) − xyz 2 = x ( y + yz + z ) + y ( x + xz + z ) + z ( x + y ) − xyz = xy + x y + xz + yz + z ( x + y ) = xy ( x + y ) + z ( x + y ) + z ( x + y ) 2 = ( x + y ) ( xy + z + z ( x + y ) ) = ( x + y ) ( xy + z + xz + yz ) = ( x + y ) ( xy + xz + yz + z ) = ( x + y ) ( x ( y + z ) + z ( y + z ) ) = ( x + y) ( y + z) ( x + z) Giáo viên cần lưu ý cho học sinh có thể bớt đi một số  bước làm để  bài  Toán được ngắn gọn hơn Như vậy ta để ý thấy rằng kết quả hai bài trên giống nhau, nếu gặp bài  Toán mở rộng, Cho hai biểu thức  A = xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + xz ( x + z ) + xyz B = x ( y + z ) + y ( x + z ) + z ( x + y ) − xyz 2 Chứng minh A = B. Học sinh làm được hai câu trên sẽ biết cách kết hợp   để được kết quả hồn chỉnh 2.3. Dạng 3: Dạng bài  sử  dụng nhiều hằng đẳng thức để  phân tích đa  thức thành nhân tử 2.3.1. Phương pháp: ­ Đặt nhân tử chung (nếu có) ­ Nhóm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức ­ Dựa vào hằng đẳng thức để đưa biểu thức về dạng nhân tử 2.3.2. Bài tập: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y b) 5x2 – 10xy + 5y2 – 20z2 = 5(x2 – 2xy + y2 – 4z2) Giải: a) Giáo viên định hướng nhóm hạng tử để học sinh tự tìm ra được hằng   đẳng thức, sau khi đặt nhân tử  chung ra ngồi lại tiếp tục xuất hiện hằng  đẳng thức, phải lưu ý các em là khai triển ra hằng đẳng thức cần làm triệt để x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám10                             Giáo viên: H’An Niê  Kdăm   Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương   pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” = (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (x + y) = (x + y)3 – (x + y) = (x + y)[(x + y)2 – 1] = (x + y)(x + y + 1)(x + y ­ 1) b) Giải câu b tương tự  câu a, tuy nhiên cần cho học sinh thấy cần đặt  nhân tử chung ra ngồi trước khi nhóm hạng tử thì bài Tốn sẽ dễ nhìn hơn 5x2 – 10xy + 5y2 – 20z2 = 5(x2 – 2xy + y2 – 4z2) = 5[(x2 – 2xy + y2) – 4z2] = 5[(x – y)2 – (2z)2] = 5(x – y + 2z)(x – y – 2z) Tóm lại, qua mỗi dạng giáo viên cần nhắc nhở  học sinh học cơng thức   càng trơi chảy lưu lốt bao nhiêu thì khả năng phân tích đề và độ nhạy bén khi   giải đề càng nhanh nhẹn bấy nhiêu 2.4. Dạng 4: Các nhóm bài tìm giá trị của biểu thức, khi phân tích đa thức   thành nhân tử thay giá trị vào thì xuất hiện nhân tử bằng 0 2.4.1. Phương pháp: ­ Phân tích đa thức thành nhân tử để được kết quả ngắn gọn nhất ­ Thay giá trị của biến vào biểu thức sau khi đã thu gọn 2.4.2. Bài tập: Tính giá trị của các biểu thức: a) x2 + xy + x tại x = 0 và y = 1234 b) xy(x – y) + y2(y – x) tại x= 530 và y = 0 Giải: a) Giáo viên cho học sinh phân tích đa thức thành nhân tử, rồi thế giá trị  vào biểu thức: x2 + xy + x = x ( x + y + 1 ) Thay x = 0 và y = 1234, ta được 0.1235 = 0 Giáo viên đưa ra kết luận: dạng bài tìm giá trị  của biểu thức, khi phân  tích thành nhân tử, thay giá trị vào xuất hiện một nhân tử bằng 0 thì khơng cần  tính giá trị của thừa số thứ hai nữa.  Ví dụ ta xét tiếp câu b) xy(x – y) + y2(y – x) Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử  ta được kết quả  y(x – y)2, thay  giá trị y = 0 vào biểu thức ta sẽ nhận được kết quả bằng 0 2.5. Dạng 5: Giải phương trình tích thơng qua phân tích đa thức thành  nhân tử Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám11                             Giáo viên: H’An Niê  Kdăm   Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương   pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” 2.5.1. Phương pháp: ­ Chuyển tồn bộ  vế  phải của phương trình sang vế  trái để  vế  phải có   giá trị  là 0 ­ Áp dụng các cách phân tích để biến đổi vế trái thành dạng nhân tử  để  giải phương trình tích 2.5.2. Bài tập: Giải các phương trình sau: a) 5x(x – 1) = x – 1 b) 2(x + 5) – x2 – 5x = 0 Giải: a) Giáo viên gợi ý học sinh chuyển vế  rồi phân tích đa thức thành nhân  tử   5x(x – 1) = x – 1        ⇔ 5x(x – 1) – (x – 1) = 0        ⇔ (5x – 1)(x – 1) = 0       ⇔ 5x – 1 = 0 hoặc x – 1 = 0       • x – 1 = 0 ⇔ x = 1       • 5x – 1 = 0 ⇔ x =  Vậy x = 1 hoặc x =  b) Giáo viên gợi ý học sinh đặt nhân tử chung rồi phân tích đa thức thành   nhân tử 2(x + 5) – x2 – 5x = 0       ⇔ 2(x + 5) – (x2 + 5x) = 0       ⇔ 2(x + 5) – (x + 5) = 0       ⇔ (2 – x)(x + 5) = 0       ⇔ 2 – x = 0 hoặc x + 5 = 0       • 2 – x = 0 ⇔ x = 2       • x + 5 = 0 ⇔ x = ­5 Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám12                             Giáo viên: H’An Niê  Kdăm   Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương   pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” Vậy x = 2 hoặc x = ­5 Với dạng Tốn tìm x hay giải phương trình, một khi đã áp dụng phân tích đa  thức thành nhân tử vào thì việc giải Tốn sẽ trở nên dễ dàng hơn 2.6. Dạng 6: Một số bài Tốn chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức liên  quan đến các hằng đẳng thức 2.6.1. Phương pháp: ­ Xác định biểu thức cần chứng minh là dạng hằng đẳng thức nào ­ Từ đó phân tích đa thức thành nhân tử 2.6.2. Bài tập: Chứng minh: a )29 −  chia hết cho 7 b)56 − 104  chia hết cho 9 c) ( n + 3) − ( n − 1)  chia hết cho 8 2 d ) ( n + ) − ( n − )  chia hết cho 24 2 e) x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho 120 Phương pháp chung:  ­ Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m ta phân tích A(n) thành nhân  tử  có một nhân tử là bội của m, nếu m là hợp số  thì ta lại phân tích nó thành  nhân tử có các đơi một ngun tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho   các số đó Giải: ­ Giáo viên gợi ý học sinh làm câu a, tách 29 thành một số mũ 3 để biểu  thức cần chứng minh trở thành A3 – B3. Sau đó áp dụng hằng đẳng thức đáng  nhớ học sinh dễ dàng chứng minh được như sau a )29 − = ( 23 ) − = 83 − = 83 − 13 = ( − 1) ( 82 + 8.1 + 12 ) = 7.73 Vậy 7.73 chia hết cho 7 Do đó  29 −  chia hết cho 7 ­ Tương tự, đối với câu b này, giáo viên định hướng cho học sinh đặt  nhân tử  chung. Tách 56 và 104  làm sao để  xuất hiện nhân tử  chung, cách làm  như sau: Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám13                             Giáo viên: H’An Niê  Kdăm   Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương   pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” b)56 − 104 = 54.52 − 54.24 = 54 ( 52 − 24 ) = 54.9 Vậy  54.9  chia hết cho 9 Do đó  56 − 10  chia hết cho 9 ­ Câu c đề  bài  ( n + 3) − ( n − 1) giáo viên cho học sinh tự  liên tưởng tới  hằng  đẳng thức, rõ  ràng học sinh  sẽ  nghĩ   đến  2 hằng  đẳng thức là bình  phương của một tổng, bình phương của một hiệu. Tuy nhiên giáo viên yêu  cầu học sinh nhìn một cách tổng quát hơn, học sinh sẽ phát hiện ra hằng đẳng  thức hiệu hai bình phương 2 Sau khi học sinh xác định đúng dạng hằng đẳng thức thì giáo viên cho  học sinh làm bài: c) ( n + 3) − ( n − 1) = ( n + + n − 1) ( n + − n + 1) 2 = ( 2n + ) = 8n + = ( n + 1) Bài Tốn trên học sinh thường mắc phải lỗi do dấu trừ trước biểu thức   thứ hai nên sẽ có một số học sinh tính ra kết quả sau: ( n + 3) − ( n − 1) = ( n + + n + 1) ( n + − n − 1)  (Cách làm sai của HS) do đó giáo viên cần nhấn mạnh học sinh đặc biệt chú ý với các biểu  thức có nhiều hạng tử mà trước ngoặc có dấu trừ ­ Với câu d cách làm hồn tồn tương tự, ta có d ) ( n + 6) − ( n − 6) = ( n + + n − 6) ( n + − n + 6) 2 = 2n.12 = 24n Như vậy 24n chia hết cho 24 hay  ( n + ) − ( n − )  chia hết cho 24 2 e) x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho 120 Giáo viên định hướng học sinh phân tích số  120 thành tích các thừa số  ngun tố, ta được 120 = 23.3.5. Từ  bài tốn chứng minh x5  + 10x4  + 35x3  +  50x2 +24x chia hết cho 120 ta đưa về chứng minh x 5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x  chia hết cho tích của các thừa số 2, 3, 5. Sau đó giáo viên tiếp tục hướng dẫn   các em phân tích đa thức thành nhân tử  bằng cách đặt nhân tử  chung nhiều   lần. Bài giải cụ thể như sau: Dễ thấy 120 = 23.3.5. Ta có Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám14                             Giáo viên: H’An Niê  Kdăm   Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương   pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” x + 10 x + 35 x + 50 x + 24 x = x ( x + 10 x3 + 35 x + 50 x + 24 ) = x� x x + + x ( ) ( x + 1) + 26 x ( x + 1) + 24 ( x + 1) � � � = x ( x + 1) ( x + x + 26 x + 24 ) = x ( x + 1) � x ( x + ) + x ( x + ) + 12 ( x + ) � � � = x ( x + 1) ( x + ) ( x + x + 12 ) = x ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) Mà ta có  x ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + )  chia hết cho 2, 3, 4, 5 Mặt khác 2, 3, 5 là các số nguyên tố cùng nhau nên x ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + )  chia hết cho 2.3.4.5 = 120 Vậy x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho 120 2.7. Dạng 7: Dạng bài  tìm giá trị  lớn nhất, giá trị  nhỏ  nhất thơng qua  hằng đẳng thức 2.7.1. Phương pháp: ­   Quy     biểu   thức     dạng   bình   phương       tổng     bình  phương của một hiệu ­ Xuất hiện tổng của một hằng đẳng thức với một số ­ Dựa vào biểu thức vừa tìm được bằng suy luận để  tìm ra  giá trị  lớn  nhất (hoặc nhỏ nhất) của biểu thức 2.7.2. Bài tập Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức sau: a) A = x2 – 6x + 11 b) B = 5x – x2 Giải: a. Giáo viên định hướng học sinh quy biểu thức về dạng bình phương  của một  hiệu, để ý hiệu x2 – 6x phân tích được x2 – 2.3.x, lúc này học sinh sẽ  tìm được hạng tử thứ hai là 3, vậy ta giải như sau Ta có: A = x2 – 6x + 11 = x2 – 2.3x + 9 + 2 = (x – 3)2 + 2 Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám15                             Giáo viên: H’An Niê  Kdăm   Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương   pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” Vì (x – 3)2 ≤ 0 nên (x – 3)2 + 2 ≤ 2 Suy ra: A ≤ 2 Vậy A = 2 là giá trị nhỏ nhất của biểu thức tại x =3 b. Giáo viên hướng dẫn học sinh đổi dấu hạng tử đầu tiên bằng cách  đưa dấu “­“ ra ngồi ngoặc, tương tự bài trên ta phân tích x2 – 5x  ra dạng A2­ 2.A.B để tìm ra hạng tử B 5 5 25 25 ≥  4 B = 5x – x2 = ­(x2 – 5x) = ­ [x2 ­ 2.  x + ( )2 – ( )2] = ­ [(x ­  )2 ­  25 25 ] = ­ (x ­  )2 +  4 5 Vì (x ­  )2 ≤ 0 nên ­ (x ­  )2 ≥ 0 ⇒ ­ (x ­  )2 +  Suy ra: B ≥  25 25  Vậy B =   là giá trị lớn nhất tại x =  4 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức sau: a) M = 2x2 ­ 6x b) N = x2 + y2 – x +6y + 10 Giải: a) Giáo viên gợi ý tương tự bài 1, sau khi đưa nhân tử chung ra ngồi thì   trong ngoặc các em biến đổi về  dạng bình phương của một hiệu để  tìm ra  hạng tử thứ hai 9 M = 2x2 ­ 6x = 2.(x2 ­ 2.  x +  ) ­  = 2.( x­  ) 2 ­     ­ Vậy MinM = ­   khi x =  b) Tương tự như trên, tuy nhiên giáo viên cần gợi ý câu hỏi cho học sinh   rằng đối với bài này có thể  phân tích được thành bao nhiêu hằng đẳng thức   trong bài. Để định hướng cho các em nhìn thấy được hai hằng đẳng thức Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám16                             Giáo viên: H’An Niê  Kdăm   Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương   pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” N = x + y − x + y + 10 1� � = �x − 2.x + �+ ( y + y.3 + ) + 4� � � 1� = �x − �+ ( y + 3) + � 2� � 1� 1� 3 �x − � � Do � � � N = �x − �+ ( y + 3) + � 4 � 2� ( y + 3) Dấu “=” xảy ra khi: � �x − = � � �y + = � �x = � � �y = −3 Vậy giá trị nhỏ nhất của N =  khi  x =  và y = ­3 Tóm lại:  một số  bài Tốn phân tích đa thức thành nhân tử  tưởng rằng  phức tạp, khó khăn, thì lại hồn tồn đơn giản. Mấu chốt của vấn đề  là các  em phải hiểu cách biến đổi của từng dạng . Sau này khơng những áp dụng  vào dạng Tốn phân tích đa thức thành nhân tử mà cịn có trong dạng Tốn tìm  x, tính nhanh, chứng minh, lượng giác… mà khi thuộc 7 hằng đẳng thức rồi   thì việc học Tốn sẽ dễ tiếp thu hơn cả IV. Tính mới của giải pháp Sau khi áp dụng đề  tài tơi nhận thấy học sinh linh động hơn trong việc  tìm ra cơng thức để giải tốn, các em biết cách xử lý nhanh hơn khi giải tốn  phân tích đa thức thành nhân tử và những dạng tốn liên quan Đề tài có hướng đến những lỗi sai trong cách giải của học sinh để  giúp  các em  định hướng cách làm đúng và nhanh nhất V. Hiệu quả SKKN:  Năm học 2017 – 2018, bài kiểm tra viết chương I: câu phân tích đa thức  thành nhân tử, số HS khối 8 trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám có 110 em,   cho kết quả: Số HS Phân tích đúng Phân tích sai  Khơng biết phân tích 55 33 22 Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám17                             Giáo viên: H’An Niê  Kdăm   Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương   pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” Tỉ lệ % 50% 30% 20% Năm học 2018 – 2019, bài kiểm tra viết chương I: câu phân tích đa thức  thành nhân tử, số HS khối 8 trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám có 110 em,   cho kết quả: Phân tích đúng Phân tích sai  Khơng biết phân tích Số HS 75 25 10 Tỉ lệ % 68,2% 22,7% 9,1% Như  vậy, sau hai năm học áp dụng kinh nghiệm dạy này, tơi nhận thấy  đa số học sinh tham gia đều rất hứng thú học Tốn, tự giác và chủ động trong  những kiến thức Tốn giáo viên đưa ra, đặc biệt là những kiến thức liên quan  đến phân tích đa thức thành nhân tử Phần thứ 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I. Kết luận:  Phương pháp dạy phân tích đa thức thành nhân tử là phương pháp cực kỳ  quan trọng, góp phần định hướng tư  duy cho học sinh trong các kĩ năng giải  tốn, dễ dàng nhận dạng và giải quyết các bài tốn từ đơn giản đến phức tạp Đối với người giáo viên khi dạy phương pháp phân tích đa thức thành  nhân tử  thì định nghĩa cần hướng dẫn học sinh biết cách kết hợp với các kĩ  năng biến đổi, thu gọn biểu thức để giải các dạng tốn liên quan Đối với học sinh ngồi việc nắm vững lý thuyết thì cần phải nhận ra  dạng tốn và vận dụng linh hoạt các kĩ năng để giải bài tốn đó Những cách tơi thực hiện trong đề  tài này là những kinh nghiệm mang   tính cá nhân trong q trình tổ chức các tiết học. Chính vì vậy khơng thể tránh  khỏi những hạn chế  thiếu sót, tơi rất mong nhận được những đóng góp q  báu của các đồng chí để đề tài này được hồn chỉnh hơn II. Kiến nghị:  Đối với các giáo viên dạy Tốn: Thường xun bám sát lớp để  hướng  dẫn và giúp đỡ  các em hiểu và nắm rõ kiến thức. Bồi đắp các kiến thức bị  hổng và ln ln lắng nghe những điều thắc mắc của các em. Cần tạo một   phong cách nhẹ nhàng, thân thiện và gần gũi để học sinh dễ dàng trị chuyện,   trao đổi thơng tin với giáo viên. Ngồi ra, mỗi giáo viên phải ln theo sát hoạt  động nhận thức của học sinh “suy ngẫm về  các phương pháp dạy học hay  Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám18                             Giáo viên: H’An Niê  Kdăm   Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương   pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” nhất của bản thân và hiểu thấu đáo vì sao các phương pháp đó là hiệu quả  hoặc chỉ  hiệu quả  với trị này mà khơng hiệu quả  với trị kia” để  khi người   học gặp khó khăn, kịp thời hỗ trợ, giúp đỡ  bằng những định hướng phù hợp,   gợi ý cụ  thể; Phải nỗ  lực để  xác định “tầm nhìn” và phải cố  gắng tạo cho  nhóm người học có tinh thần đồng đội; tìm cách cổ  vũ người học, đưa ra  những lời khun kịp thời có tính xây dựng để  người học hành động hướng   tới tầm nhìn đó; đưa lời nhận xét phản hồi ý nghĩa để nâng cao thành tích học   tập của học sinh Bình Hịa, ngày 1 tháng 3 năm 2019       Người thực hiện H’An Niê Kdăm Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám19                             Giáo viên: H’An Niê  Kdăm   Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương   pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Sách giáo khoa Tốn 8 tập 1 – NXB GD&ĐT 2. Sách bài tập Tốn 8 tập 1 – NXB GD&ĐT   https://toanhoc247.com/phan­tich­da­thuc­thanh­nhan­tu­bang­pp­hang­ dang­thuc­a11258.html 4. https://dinhnghia.vn/7­hang­dang­thuc­dang­nho.html   https://loga.vn/bai­viet/dang­bai­tap­phan­tich­da­thuc­thanh­nhan­tu­ 3974 Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám20                             Giáo viên: H’An Niê  Kdăm   Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương   pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” Nhận xét, đánh giá của hội đồng khoa học cấp trường …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………                                                                    Bình Hịa, ngày …. tháng…… năm 2019  CT HỘI ĐỒNG                                                                     Nhận xét, đánh giá của hội đồng khoa học cấp Huyện …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………      …………………, ngày …. tháng…… năm 2019                                                                    CT HỘI ĐỒNG KHOA HỌC Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám21                             Giáo viên: H’An Niê  Kdăm   ... Đề tài? ?sáng? ?kiến? ?kinh? ?nghiệm:  ? ?Một? ?số? ?kinh? ?nghiệm? ?về? ?việc? ?vận? ?dụng? ?các? ?phương   pháp? ?phân? ?tích? ?đa? ?thức? ?thành? ?nhân? ?tử? ?vào? ?giải? ?tốn mơn? ?đại? ?số? ?8? ?? Tuy nhiên trong q trình? ?giải? ?tốn dạng? ?phân? ?tích? ?đa? ?thức? ?thành? ?nhân? ?tử? ?... * Học sinh cần học thuộc? ?các? ?cách? ?phân? ?tích? ?đa? ?thức? ?thành? ?nhân? ?tử:   +? ?Phân? ?tích? ?đa? ?thức? ?thành? ?nhân? ?tử? ?bằng? ?phương? ?pháp? ?đặt? ?nhân? ?tử? ?chung +? ?Phân? ?tích? ?đa? ?thức? ?thành? ?nhân? ?tử  bằng? ?phương? ?pháp? ?dùng hằng đẳng  thức +? ?Phân? ?tích? ?đa? ?thức? ?thành? ?nhân? ?tử? ?bằng? ?phương? ?pháp? ?nhóm hạng? ?tử. ..   Đề tài? ?sáng? ?kiến? ?kinh? ?nghiệm:  ? ?Một? ?số? ?kinh? ?nghiệm? ?về? ?việc? ?vận? ?dụng? ?các? ?phương   pháp? ?phân? ?tích? ?đa? ?thức? ?thành? ?nhân? ?tử? ?vào? ?giải? ?tốn mơn? ?đại? ?số? ?8? ?? 2.2.1.? ?Phương? ?pháp: ­ Phát hiện? ?nhân? ?tử  chung hoặc nhóm? ?các? ?hạng tử