THAMKHẢO ƠN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 Câu 1: Cho hàm số : 3 2 6 9y x x x= − + 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số 2.a) Từ đồ thò của hàm số đã cho hãy suy ra đồ thò của hàm số : 3 2 6 9y x x x= − + b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3 2 6 9 3 0x x x m− + − − = Câu 2: 1 .Giải hệ phương trình : 3 3 8 2 2 x y x y xy + = + + = 2 .Giải bất phương trình : 2 2.3 2 1 3 2 x x x x + − ≤ − Câu 3: 1. Giải phương trình : 2cot 2 sin 2tgx g x x+ = 2 .Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc A, B, C của tam giác đó thỏa mãn hệ thức : cos2A + 3 (cos2B + cos2C) + 5 2 = 0 Câu 4: Cho hình chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ (AA’, BB’, CC’, DD’ song song và AC là đường chéo của hình chữ nhật ABCD) có AB = a, AD = 2a, AA’=a 2 ; M là một điểm thuộc đoạn AD , K là trung điểm của B’M. 1. Đặt AM= m (0 2 )m a≤ < .Tính thể tích khối tứ diện A’KID theo a và m ,trong đó I là tâm của hình hộp.Tìm vò trí của điểm M để thể tích đó đạt giá trò lớn nhất. 2. Khi M là trung điểm của AD : a. Hỏi thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (B’CK) là hình gì ? Tính diện tích thiết diện đó theo a. b. Chứng minh rằng đường thẳng B’M tiếp xúc với mặt cầu đường kính AA’. Câu 5: Tísnh tích phân : 1 3 2 0 . 1x x dx− ∫ ĐAP AN Câu I : 1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số: 3 2 6 9y x x x= − + (C) • TXĐ : D = R 2 ' 3 12 9 1 ' 0 3 " 6 12 y x x x y x y x = − + = = ⇔ = = − " 0 2 2y x y= ⇔ = ⇒ = ⇒ điểm uốn (2, 2) • BBT: • Đồ thò: 4 3 2 1 O X Y 2 4 ( C ) 2) a) Từ đồ thò (C) hãy suy ra đồ thò 1 ( )C của hàm số: 3 2 1 6 9y x x x= − + Ta có: 3 2 1 1 6 9 ( )y x x x y f x= − + ⇒ = Đây là hàm số chẵn nên đồ thò 1 ( )C nhận Oy làm trục đối xứng. 3 O X Y 4 - 3 ( D ) Do đó đồ thò 1 ( )C suy từ (C) như sau: - Phần của (C) bên phải trục Oy giữ nguyên. - Bỏ phần của (C) bên trái Oy và lấy phần đối xứng của phần bên phải của (C) qua trục Oy. b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3 2 3 2 6 9 3 0 6 9 3 x x x m x x x m − + − + = ⇔ − + = − Đây là phương trình hoành độ giao điểm của 1 ( )C và đường thẳng d: y = 3 – m Số giao điểm của 1 ( )C và d là số nghiệm của phương trình. Biện luận: • 3 0 3m m − < ⇔ > :vô nghiệm • 3 0 3m m − = ⇔ = : 3 nghiệm • 0 3 4 1 3m m < − < ⇔ − < < : 6 nghiệm • 3 4 1m m − = ⇔ = − : 4 nghiệm • 3 4 1m m − > ⇔ < − : 2 nghiệm Câu II: 1) Giải hệ phương trình : 3 3 8 2 2 x y x y xy + = + + = Đặt S = x + , P = xy. Khi đó hệ phương trình trở thành : 2 2 2 3 2 ( 3 ) 8 2 2 2 3 8 2 3 6 16 0 2 2 2 2 2 2 ( 2)(2 7 8) 0 1 2 2 S S P S P S S S S S S S P S P S S S S P S P − = + = − − = + − − = ⇔ ⇔ + = + = = − + + = ⇔ ⇔ = − + = Vậy x, y là nghiệm của phương trình: 2 2 1 0 1 2X X X− − = ⇔ = ± Suy ra nghiệm của hệ là (1 2,1 2)+ − hay (1 2,1 2)− + 2) Giải bất phương trình: 2 2.3 2 1 3 2 X X X X + − ≤ − Ta có bất phương trình: 2.3 4.2 1 0 3 2 X X X X − ⇔ − ≤ − 3 2 3 3 3 3.2 2 0 0 3 2 3 1 2 3 1 3 0 log 3 2 X X X X X X X x − − ⇔ ≤ ⇔ ≤ − − ⇔ < ≤ ⇔ < ≤ Câu III: 1) Giải phương trình: tgx + 2cotg2x = sin2x • Điều kiện : cos 0 sin2 0 sin2 0 x x x k x ≠ π ⇔ ≠ ⇔ ≠ ≠ 2 • Phương trình sin cos2 2 sin2 cos sin 2 x x x x x ⇔ + = (Mẫu số chung: sin2x = 2sinxcosx ) 2 2 2 2 2 2sin sin 2cos2 sin 2 2sin 2 cos2 sin 2 1 cos2 2 cos2 1 cos 2 cos2 cos 2 cos2 (cos2 1) 0 cos2 0 2 cos2 1 ) x x x x x x x x x x x x x x x k x x k x x k x k loại ⇔ + = ⇔ + = ⇔ − + = − ⇔ = − ⇔ + = π π π = + = = + π 4 2 ⇔ ⇔ ⇔ 2 = − π 2 = π + 2π = + π( 2 Vậy phương trình có nghiệm ( )x k k Z π π = + ∈ 4 2 2) Tính các góc của tam giác ABC nếu biết: 5 cos2 3(cos2 cos2 ) 0 2 A B C+ + + = • Theo giả thiết ta có: [ ] 5 cos2 3 2 cos( )cos( ) 0 2 A B C B C+ + − + = 2 5 cos2 2 3 cos cos( ) 0 2 5 2cos 1 2 3 cos cos( ) 0 2 A A B C A A B C ⇔ − − + = ⇔ − − − + = 2 3 cos 3 cos( )cos 0 4 B C AA⇔ − + =− (1) Xem (1) là phương trình bậc hai theo ẩn cosA, vì (1) phải có nghiệm nên: 2 2 2 0 3cos 3 0 3sin ( ) 0 sin ( ) 0 sin( ) 0 ( ) B C B C B C B C B C∆ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ − ≤ ⇔ − = ⇔ = − Vậy B = C, khi đó 3 cos 2 A A π = ⇔ = 6 ĐS: 5 ,A B C π π = = = 6 12 Câu IV: A ’ B ’ C ’ D ’ A B C D M N K J 1) 'A KID V Vẽ A'J AB' A'J (B'AD) Ta có AD A'J ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ Vẽ ' 'A J AB⊥ Ta có 'AD A J ⊥ ⇒ ' ^( ' )A J B AD Vậy ' 1 3 ' . KID A KID V A J S= ' 'AA B ∆ có '. ' ' ' ' AA A B A J AB = 2. 6 3 3 ' a a a a A J =⇒ = Ta có: = = − = − ⇒ = = − ' 2 2 1 1 ' 3 2 2 3 2 1 3 ' 2 4 (2 ) (2 ) (2 ) B MD KMD AB MD a B MD S a m a ma S a ma và 2 1 3 2 8 (2 ) KID KMD S S a ma= = − Vậy ' 2 1 6 3 . . 3 3 8 (2 ) A KID a V a ma= − 'A KID V lớn nhất ⇔ ma nhỏ nhất ⇔ m= 0 2) a) Ta có ( ' ) ( ' )B CK B CM≡ Khi đó ( ' ) ( ' ' ) // '( ')B CM AA D D MN CB N AA∩ = ∈ Ta có N là trung điểm AA’ và thiết diện là hình thang MNB’C. B ’ C M N E H K AMN ∆ có 2 2 6 2 a MN AM AN= + = ' 'NA B ∆ có 6 ' ' ' ' 2 a NB NA A B= + = Ta tính được ' 6B C a= ; 2MC a= Gọi 'H MC NB= ∧ Do MN song song và bằng 1 2 CB’ ⇒ M, N là trung điểm HC, H’B. Ta có: 1 4 HMN HCB S S= 2 2 2 ' 3 3 1 . . 4 4 2 3 6 6 3 18 9 2 2. 8 4 16 8 4 16 HMN MNB C S S MH NE a a a a a a ⇒ = = = − = = b) 'MNB∆ có NM = MB’ 'NK B M ⇒ ⊥ và 2 2 2 2 2 ' ' 2 2 4B M BB BM a a a= + = + = 'NKB ∆ có 2 2 2 2 6 2 ' ' 4 2 a a NK NB KB a= − = − = Vậy 2 ' 2 a NA NA NK= = = và 'NK B M ⊥ Nên B’M tiếp xúc với mặt cầu đường kính AA’. Câu V: Tính tích phân : 0 3 1 2 1I x x dx= − ∫ Đặt 2 2 2 1 1u x u x udu xdx= − ⇒ = − ⇒ = − Đổi cận : x = 0, u = 1 x = 1, u = 0 Vậy: 0 0 1 2 2 4 1 (1 ). . ( ).I u u udu u u du= − − = − ∫ ∫ 1 3 5 0 1 1 2 3 5 3 5 15 u u = − = − = . THAM KHẢO ƠN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 Câu 1: Cho hàm số : 3 2 6 9y x x x= − + 1 .Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số 2.a) Từ đồ thò của hàm số. Từ đồ thò của hàm số đã cho hãy suy ra đồ thò của hàm số : 3 2 6 9y x x x= − + b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3 2 6 9 3 0x x x m− + − −