+ Định nghĩa: Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng?. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆMA[r]
(1)Tốn 11 - Quan hệ vng góc Chương 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN - QUAN HỆ VUÔNG GĨC
Bài 1: VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vectơ khái niệm liên quan:
+ Vectơ đoạn thẳng có hướng Kí hiệu: a AB
AB có A: điểm đầu, B: điểm cuối
+ Giá AB đường thẳng AB
+ Độ dài AB AB ABBA
+ Hai vectơ phương giá chúng song song trùng + Hai vectơ nhau:
a b a b
a b
+ Hai vectơ đối nhau:
a b a b
a b
2. Các phép toán vectơ quy tắc:
+ Tổng, hiệu hai vectơ: vectơ (được xác định theo quy tắc ba điểm quy tắc hiệu hai vectơ)
+ Tích số với vectơ: k a vec tơ xác định sau:
Phương: k a phương với a
Hướng:
k a a k k a a k
Độ dài: k a k a + Tích vơ hướng: a b a b .cos a b,
Đặc biệt: a b 0 a b + Quy tắc ba điểm: ABBC AC + Quy tắc hiệu hai vectơ: OB OA AB
+ Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD có ABADAC
+ Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có ABADAA'AC'
(2)Toán 11 - Quan hệ vng góc
I trung điểm AB
2 ,
IA IB
MA MB MI M
G trọng tâm tam giác ABC
3 ,
GA GB GC
MA MB MC MG M
G trọng tâm tứ diện ABCD
4 ,
GA GB GC GD
MA MB MC MD MG M
3. Ba vectơ đồng phẳng:
+ Định nghĩa: Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng
+ Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a b c, , a b, khơng phương , ,
a b c đồng phẳng ! ; k l :cka lb
+ Định lí: Cho ba vectơ a b c, ,
, ,
a b c không đồng phẳng d, !m n p; ; :d ma nb pc
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Đặt aAA b', AB c, AC Gọi G' trọng tâm A B C' ' ' Khi đó, AG'
A.1
3 a b c B.
1
3
3 a b c C.
1
3 a b c D
3
3 a b c
Câu 2. Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Đặt a AA b', AB c, AC Hãy biểu thị vectơ 'B C theo ba vectơ
, ,
a b c
A B C' a b c B.B C' a b c C.B C' a b c D B C' a b c
Câu 3. Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Gọi M trung điểm BB' Đặt CAa CB, b AA, 'c Khẳng
định đúng?
A.
2
AM a c b B.
2
AM b c a C.
2
AM b a c D
2
(3)Tốn 11 - Quan hệ vng góc
Câu 4. Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' tâm O Gọi I tâm hình bình hành ABCD Đặt
' , ' , ' , '
AC u CA v BD x DB y Chọn khẳng định
A.2 1
4
OI u v x y B.2 1
2
OI u v x y
C.2 1
2
OI u v x y D 2 1
4
OI u v x y
Câu 5. Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có ABa AC, b AA, 'c Gọi I trung điểm B C' ', K giao
điểm A I' B D' ' Mệnh đề sau đúng?
A. 14
3
DK a b c B 14
3
DK a b c
C.DK4a2b c D DK4a2b3 c
Câu 6. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G Mệnh đề sau sai?
A. 1
4
AG ABACAD B. 1
4
AG OA OB OC OD
C 2
3
AG ABACAD D GA GB GC GD 0
Câu 7. Cho tứ diện ABCD Đặt a AB b, AC c, AD Gọi G trọng tâm BCD Chọn khẳng định
đúng
A. AG a b c B. 1
AG a b c C. 1
AG a b c D 1
AG a b c
Câu 8. Cho tứ diện ABCD Đặt aAB b, AC c, AD Gọi M trung điểm BC Chọn khẳng định
A. 1
2
DM a b c B. 1
DM a b c C. 1
DM a b c D 1
DM a b c
Câu 9. Cho tứ diện ABCD Gọi M P trung điểm AB CD Đặt ABb AC, c AD, d Chọn
khẳng định
A 1
2
MP c d b B 1
MP c d b C. 1
MP c b d D 1
MP d b c
Câu 10.Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Đặt a AA b', AB c, AC d, BC Chọn khẳng định A. a b c B.a b c d 0 C. b c d 0 D a b c d
Câu 11.Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có tâm O Chọn khẳng định
A. 1 '
2
AO ABADAA B. 1 '
3
AO ABADAA
C. 1 '
4
AO ABADAA D 2 '
3
AO ABADAA
Câu 12.Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có tâm O Chọn khẳng định sai?
A AC' ABADAA' B.ABBC'CDD A' 0
C.ABAA'ADDD' D ABBC CC 'AD'D O OC' '
Câu 13.Cho hình hộp ABCD A B C D 1 1 1 1 Gọi M trung điểm cạnh AD Chọn khẳng định A.B M1 B B1 B A1 1B C1 1 B. 1 1 1 1 1 1
2
C M C CC D C B C 1 1 1 1 1 1
2
C M C C C D C B D BB1B A1 1B C1 12B D1
Câu 14.Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh a Gọi G trọng tâm AB C' Chọn khẳng
định
(4)Tốn 11 - Quan hệ vng góc
Câu 15.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Đặt SAa SB, b SC, c SD, d Chọn
khẳng định
A a b c d B a d b c C a b c d 0 D a c b d
Câu 16.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi G điểm thỏa mãn
GSGA GB GC GD Chọn khẳng định
A GS 5OG B.GS 4OG
C G S O, , không thẳng hàng D GS3OG
Câu 17.Cho tứ diện ABCD điểm G thỏa mãn GA GB GC GD 0 (G trọng tâm tứ diện) Gọi
0
G GA BCD Chọn khẳng định
A.GA 2G G0 B.GA4G G0 C.GA2G G0 D GA3G G0
Câu 18.Cho tứ diện ABCD Gọi M N, trung điểm AB CD, G trung điểm MN Chọn khẳng
định sai
A.MA MB MC MD4MG B GA GB GC GD 0
C.GMGN0 D GA GB GC GD
Câu 19.Cho hình hộp ABCD A B C D 1 1 1 1 Tìm giá trị thực k để ABB C1 1DD1k AC1
A.k 1 B.k4 C.k0 D k 2
Câu 20.Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Tìm giá trị thực k để ACBA'k DB C D ' 0
(5)Toán 11 - Giới hạn
Chương GIỚI HẠN
Bài GIỚI HẠN DÃY SỐ
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực
1 Định nghĩa:
+ lim n n
xu u nhỏ số dương bất
kỳ kể từ số hạng trở
+ lim n lim n
xv a x v a
1.Giới hạn đặc biệt:
1
lim
nn ;
1
lim k
n n k
lim n ( 1)
nq q ; nlimC C
2.Định lí:
Giả thuyết Kết luận
limun a limvn b
lim unvn a b
lim u vn n a b
lim n
n
u a b v b
0, n
u n limun a
lim n
a
u a
,
n n
u v n limvn 0 limun 0 un , vn , wn
,
n n n
u v w n
lim lim
n n
u w a
limvn a
* Mọi dãy tăng, bị chặn có giới hạn Mọi dãy giảm, bị chặn có giới hạn
3 Cấp số nhân lùi vô hạn
+ ĐN: Cấp số nhân lùi vô hạn cấp số nhân vơ hạn có cơng bội q với q 1
+ Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
1
1
1
n
u
S u u u q
q
1 Định nghĩa:
+ lim n n
xu u lớn số dương bất
kỳ kể từ số hạng trở
+ lim n lim n
xu x u
1 Giới hạn đặc biệt:
lim n limnk k
limqn (q1) 2 Định lí:
Giả thuyết Kết luận
limun lim 0
n u
limun a limvn lim n
n
u v
limun a limvn 0,vn 0
lim n
n
u v
limun limvn a limu n0
BÀI TẬP TƯ LUẬN
Bài 1.Tính giới hạn sau:
1)
2
4
lim
2
n n
n n
2)
2 3
lim
1
n n n
n
3) lim 2 3
2
n n
n n
4)
3
2 1
lim
6
n n n
n
5)
2
2
3
lim
2
n
n n n
6)
2
4
lim
2 10
n n
n
7)
3.2
lim
5.4 6.5
n n
(6)Toán 11 - Giới hạn
8)
3
lim 3.4
n n
n
9)
3
lim
3
n n n
n n n
10)
2
2
2 2
1
3 3
lim
1 1
1
5 5
n
n
11) lim 1
2.4 4.6 (2n n 2)
12)
3 2
1 lim
1
n n n n
13)
2
lim 4n 2n 2n
14) lim 3 n 1 3n21
15)
3
2
2 lim
1
n n n n
Bài 2.Tìm giới hạn sau: 16) lim2n3 n 3
17)
2
2
lim
3
n n n
18)
3
3
lim
2
n n
n
Bài GIỚI HẠN HÀM SỐ
1 Giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn vô cực
1 Giới hạn đặc biệt:
0
lim
x x x x ; x xlim 0C C (C: số) 2 Định lí:
Giả thuyết Kết luận
0
lim ( )
x x f x L x xlim ( ) 0g x M
0
lim ( ) ( )
x x f x g x L M
0
lim ( ) ( )
x x f x g x L M
0
( )
lim
( ) x x
f x L M
g x M
f x
0
lim
xx f x L
0
0 lim x x
L
f x L
0
lim ( )
x x f x L x xlim ( ) 0 f x L
3 Giới hạn bên:
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x x f x L x x f x x x f x L
1 Giới hạn đặc biệt:
lim k
xx ;
lim k x
nếu k chẵn x
nếu k lẻ
lim
xc c ; xlim k c x
0
1 lim
x x ; 0 lim
x x
0
1
lim lim
x x x x
2 Định lí:
lim
xx f x limxx0g x xlimx0 f x g x
L
0
L
lim
xx f x
lim
xx g x
Dấu g x
lim
x x
f x g x
L Tuỳ ý
0
L
0
+
0
L +
2 Cách khử dạng vô định
Các dạng vô định Cách khử
lim
x
P x Q x
có dạng vô định
(7)Toán 11 - Giới hạn lim x a P x Q x
có dạng vơ định
0
0 Chia tử mẫu cho x a
lim
xP x Q x có dạng vơ định
Nhân chia lượng liên hợp
a b a b a b
3a3b3a2 3ab3b2 a b lim x P x Q x
lim x a P x Q x
có dạng 0. Đưa dạng
0
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 3.Tìm giới hạn sau:
19)
2
3
lim
5
x
x x
x x x
20) lim
9
x
x
x x
21)
2
lim
x x x x
22) 2
lim
x x x x x
23)
3
lim
x x x
24)
5
lim
3
x
x x
x x
25)
2
3
lim
5
x
x x
x x x
26) 3
4 5
lim
2 27
x x x x x 27) 3
lim 2
x x x x
28)
3 2
lim
x x x x x
29)
3 2
lim 1
x x x x x
Bài 4.Tính giới hạn sau: 30) 3
5
lim
9 x
x x x
x x 31) 1 lim x x x 32) 2 lim 11 18 x x x x 33) 2 10 lim x
x x x x x 34) 2 16 lim x x x x 35)
3
lim x x x 36) 1 lim x x x x 37)
2
lim x x x x x 38) lim x x x 39)
2
lim x x x x 40) 2 1 lim 16 x x x 41) 2 lim x x x
Bài 5.Tìm giới hạn sau:
42)
3 11
lim
1 x x x x 43)
lim ( 1)
2 x x x x x 44)
lim ( 1)
(8)Toán 11 - Giới hạn
46)
2
1
lim
3 x
x x
x
47)
2 2
4 lim
1
x
x
x x
Bài 6.Tìm giới hạn sau: a) lim
x x x x
b)
2
lim 4
x x x x
c) lim 3
x x x
d)
3
lim 2
x x x
e) lim 33 2
x x x f)
1
lim
1 1
x x x
g) 2 2
2
1
lim
3
x x x x x
h)
1
2
lim
1
x x x
Bài 7.Cho hàm số
3
8
2
2
x
khi x f x x
x khi x
Tính giới hạn bên trái, giới hạn bên phải giới hạn có
của hàm số điểm x2
Bài 8.Tìm giới hạn hàm số điểm ra:
a)
2
9 3
( ) 3
1
x x
f x x taïi x
x khi x
b)
2
3 1
1
( )
1
x x khi x
x
f x taïi x
x khi x
c)
2
2
9 3
( )
9
x khi x
f x khi x taïi x
x khi x
d)
1 0
1
( )
3 0
2
x khi x
x
f x taïi x
khi x
e)
4 0
( )
1
10
4
x khi x
x
f x taïi x
x khi x
f)
2
2 2
( )
3 2
x x khi x
f x x taïi x
x khi x
x x
Bài 9.Tìm giá trị m để hàm số sau có giới hạn điểm ra:
a)
3 1
1
( ) 1
2
x khi x
f x x taïi x
mx khi x
b)
2
1 1
( ) 1
3
khi x
f x x x taïi x m x mx khi x
c) ( ) 2 1
3
x m khi x
f x taïi x
x x m khi x
(9)Toán 11 - Giới hạn
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
GIỚI HẠN DÃY SỐ
Câu 1. Giá trị giới hạn lim 2
4n 3n
A.
B. C.0 D
Câu 2. Giá trị giới hạn
2
2 lim
3
n n n n
A.2 B.1 C.2
3 D 0
Câu 3. Giá trị giới hạn lim 22
n n n n
A.0 B.1 C.2 D
Câu 4. Cho hai dãy số un vn với
1 n
u n
1
2
n
v n
Khi đó, lim
n n
u
v
A.1 B.0 C.2 D 1
2
Câu 5. Giá trị giới hạn lim 1
n
n
A.1 B.3 C.2 D 4
Câu 6. Cho hai dãy số un vn với 21
n n
u n
1
n
v n
Khi đó, limunvn
A.0 B.3 C. D
Câu 7. Cho dãy số un với
5
n
an u
n
a tham số thực Để dãy số un có giới hạn
A.a2 B.a10 C.a8 D a1
Câu 8. Cho dãy số un với
5
n
n b u
n
b tham số thực Để dãy số un có giới hạn hữu hạn
A không tồn b B.b2 C.b5 D b số thực tùy ý
Câu 9. Tìm tất giá trị tham số a để
2
4
5
lim
1
n an a n n
A.a0;a1 B.0 a C.a0;a1 D 0 a
Câu 10.Giá trị giới hạn
3
4
2
lim
2
n n n
n n
A.1 B.3 C.
2
D
Câu 11.Giá trị giới hạn
2
2
2
lim
3
n n n n
n n
A.8
3 B. C.0 D
5
Câu 12.Tính giới hạn
3
1 lim
8
n L
n
(10)Toán 11 - Giới hạn A 1
2 B.
1
8 C 1 D
Câu 13.Kết giới hạn
3
2
lim
4
n n L n n
A.5
7 B C.
3
4 D 0
Câu 14.Trong giới hạn sau, giới hạn 0?
A. 3 lim n n n n
B.
2 lim n n n
C.
3 2 lim n n n n
D
3 lim n n
Câu 15.Trong giới hạn sau, giới hạn ? A. 3 n n n u n B. n n n u n
C.
3 n n u n
D
2 n n n u n
Câu 16.Trong giới hạn sau, giới hạn ?
A. 5 n n u n B. 5 n n u n n C. 2 5 n n n u n n
D
1 5 n n u n n
Câu 17.Có giá trị nguyên tham số a 10;10 để lim 5 n3a2 2n3
A.19 B.16 C.5 D 10
Câu 18.Cho dãy số un với
2
2
n n
u Chọn khẳng định
A.Không tồn limun. B.limun C.lim
1
n
u
D limun
Câu 19.Giá trị 2
1
1
2 2
lim
1
n
n
A.1 B.1
8 C. D Câu 20.Giá trị lim 12 22 n 21
n n n
A 1
2 B 1 C 0 D
1
Câu 21.Giá trị lim1 2 2 1
3
n n
A 1 B 0 C 1
3 D
2
Câu 22.Giá trị
1 1
lim
1.2 2.3 n n
A B 1
2 C 0 D 1
Câu 23.Giá trị
1 1
lim
1.3 3.5 2n 2n
A 1
2 B
1
4 C.2 D 1
Câu 24.Giá trị
1 1
lim
1.4 2.5 n n
(11)Toán 11 - Giới hạn
A.2 B.3
2 C
11
8 D 1
Câu 25.Cho dãy số có giới hạn hữu hạn un xác định
1
1
1
,
2
n
n
n
u
u n
u
Tính limun
A.lim n
u B.limun 1 C.limun 0 D limun 1 Câu 26.Cho dãy số có giới hạn hữu hạn un xác định
1
2
,
2
n n n
u u
u n
Tìm limun
A.limun B limun 2 C limun 0 D limun 1 Câu 27.Giới hạn
2
9
lim
4
n n n
A.3
4 B.3 C.0 D
2
Câu 28.Giới hạn lim
2
n n
A. B.5
7 C.1 D
5
Câu 29.Biết
2
1
lim sin
4
n n
a b
n n
Tính giá trị
3
Sa b
A.S8 B.S 1 C.S 0 D S1
Câu 30.Giới hạn lim 1 42 22
1
n n
n n
A. B. C.0 D 1
GIỚI HẠN HÀM SỐ
Câu 31.Giới hạn
2
lim 11
x x x
A.37 B.40 C.39 D 38
Câu 32.Giới hạn
2
3 lim
2
x
x x
A.
B.2 C.2 D 1
Câu 33.Giới hạn 4
1
1 lim
3
x
x x x
A
B.2
3 C.
3
2 D
2
Câu 34.Giới hạn
3 2
3
lim
1
x
x x
x
A
B
3
C D 0
Câu 35.Giới hạn
2
2 lim
2
x
x x
(12)Toán 11 - Giới hạn
A B C
2
D Không xác định
Câu 36.Giới hạn
2
2
13 30
lim
3
x
x x
x x
A.2 B.2 C 0 D
15
Câu 37.Cho hàm số
2
2
,
1
3 1,
x x x f x
x x
Khi đó,
1
lim
x
f x
A B.2 C.4 D
Câu 38.Cho hàm số
2
3,
1,
x x
f x
x x
Khi đó, limx2 f x
A.1 B.1 C.0 D Không tồn
Câu 39.Cho hàm số 3,
1,
x x
f x
ax x
Tìm giá trị tham số a để tồn limx2 f x
A.a1 B.a3 C.a4 D a2
Câu 40.Cho hàm số
2
2
2 3,
1,
3 ,
x x x
f x x
x x
Chọn khẳng định sai
A.
3
lim
x f x B limx3 f x 6
C.
3
lim 15
x
f x
D. Không tồn limx3 f x
Câu 41.Giới hạn lim33 2
x x x
A. B.3
3 1. C.3
3 1. D
Câu 42.Giới hạn lim
xx x x x
A.6 B 4 C D
Câu 43.Giới hạn
3 2
8 lim
4
x
x x
A.0 B.3 C D Không tồn
Câu 44.Giới hạn
5
1 lim
1
x
x x
A.
B.5
3 C.
3
5 D
3
Câu 45.Biết
3
2
lim
3 x
x
a b
x
với ,a bZ Tính
2 S a b
A.S5 B.S 25 C.S 13 D S10
Câu 46.Giới hạn
2
lim
x
x x x x
A 0 B 1 C D
Câu 47.Giới hạn
3
1 lim
4
x
x x
(13)Toán 11 - Giới hạn
Câu 48.Giới hạn
3
2
lim
x
x x
x
A.5
6 B.
11
12 C.
13 12
D 13
12
Câu 49.Biết b0,a b 5
3
1
lim
x
ax bx
x
Chọn khẳng định sai
A.1 a B.b1 C.a2b2 10 D a b 0
Câu 50.Giới hạn
A B.3 C.2 D 2
Câu 51.Giới hạn
3
6
2 11
lim
3
x
x x x x
A 2 B 0 C D
Câu 52.Giới hạn
2
2
lim
1
x
x
x x
A 3 B.1 C D 2
Câu 53.Biết
2
2
lim
1
x
a x
x x
với a tham số thực Tính giá trị
2
2
Pa a
A.Pmin 5 B.Pmin 1 C.Pmin 4 D Pmin 3
Câu 54.Giới hạn
2
4
lim
1
x
x x x
A 2 B 2 C 1 D
Câu 55.Giới hạn
2
4 2
lim
9
x
x x x
x x x
A B.
5
C.1
5 D
Câu 56.Biết
2
4 2
lim
3
x
x x x
L
ax x bx
với a b, tham số Chọn khẳng định
A.b0 B.L
a b
C.
3
L
b a
D a0
Câu 57.Giới hạn
3 2
2
lim
2
x
x x x
A 0 B 1 C.
2 D
2
Câu 58.Tìm tất giá trị tham số
lim
x x ax
A.a2 B.a C.a D a2
Câu 59.Giới hạn 2
2
1
lim
2
x x x
A B C 0 D 1
Câu 60.Biết a b 4 3
1
lim
1
x
a b
x x
hữu hạn Tính giới hạn lim1
1
x
b a
L
x x