[r]
(1)MỘT SỐ KHÁI NIỆM CĂN BẢN VỀ XÁC SUẤT Mục tiêu
Sau khi nghiên c u ch đ , h c viên có kh năng:ứ ủ ề ọ ả Trình bày 2 đ nh nghĩa v xác su t và đ a ra các ví dị ề ấ ụ Xây d ng đự ượ ậc t p giao và h p c a 2 t p h p xác đ nhợ ủ ậ ợ ị
Trình bày và phân bi t đệ ược hai công th c chuy n v và t h pứ ể ị ổ ợ Trình bày đ nh nghĩa c a xác su t có đi u ki nị ủ ấ ề ệ
Trình bày cơng th c c ng xác su t và cơng th c nhân xác su tứ ộ ấ ứ ấ 1 Ðịnh nghĩa xác suất
1.1 Ð nh nghĩa xác su t theo t n su t tị ấ ầ ấ ương đ iố
Theo ngơn ng thơng thữ ường, xác su t chính là t n su t tấ ầ ấ ương đ i. Thí d m nh đố ụ ệ ề kh ng đ nh xác su t sinh con trai là 0,515 có nghĩa là khi th ng kê nhi u l n sinh, t nẳ ị ấ ố ề ầ ầ su t tấ ương đ i sinh con trai s x p x b ng 0,515 (t n su t tố ẽ ấ ỉ ằ ầ ấ ương đ i là t n su t x yố ầ ấ ả ra bi n c quan tâm chia cho t ng s l n th ). Nói cách khác, n u m t q trình đế ố ổ ố ầ ế ộ ược l p l i n nhi u l n, và n u có f l n x y ra bi n c E, t n su t tậ ề ầ ế ầ ả ế ố ầ ấ ương đ i c a bi n cố ủ ế ố E s x p x b ng xác su t c a E.ẽ ấ ỉ ằ ấ ủ
n f E
P( )
(1)
Thí d : Buffon th c hi n 4040 l n tung đ ng ti n và quan sát đụ ự ệ ầ ề ược 2048 l n xu t hi nầ ấ ệ m t s p. T n su t tặ ấ ầ ấ ương đ i x y ra m t s p là . Xác su t x y ra m t s p cũng x p xố ả ặ ấ ấ ả ặ ấ ấ ỉ b ng 0,507.ằ
1.1 Phép th , k t c c, bi n c , bi n c đ i l pử ế ụ ế ố ế ố ố ậ
Khi chúng ta gieo m t đ ng ti n lên m t m t ph ng có th x y ra m t trong hai k tộ ề ộ ặ ẳ ể ả ộ ế c c: xu t hi n m t s p ho c xu t hi n m t ng a v i k t qu khơng th tiên đốnụ ấ ệ ặ ấ ặ ấ ệ ặ ế ả ể được. Người ta g i vi c gieo đ ng ti n là phép th (experiment) và s xu t hi n m tọ ệ ề ự ấ ệ ặ x p hay m t ng a c a đ ng ti n là các k t c c (outcome).ấ ặ ủ ề ế ụ
Tương t , khi chúng ta tung con xúc x c, có th xu t hi n các m t 1, 2, 3, 4, 5, 6 thìự ắ ể ấ ệ ặ vi c tung con xúc x c đệ ắ ược g i là phép th ng u nghiên và vi c xu t hi n m t 1, xu tọ ẫ ệ ấ ệ ặ ấ hi n m t 2, 3, 4, 5 và 6 đệ ặ ược g i các k t c c ng u nhiên. N u chúng ta quan tâm đ ế ụ ẫ ế ế bi n c ra m t xúc x c ch n thì bi n c (event) này bao g m 3 k t c c: ra m t 2, raế ố ặ ắ ẵ ế ố ế ụ ặ m t 4 và ra m t 6. Nói khác đi bi n c là t p h p mà các ph n t là các k t c c. B iặ ặ ế ố ậ ợ ầ ế ụ ở vì t p h p có th có bao g m tồn b các ph n t , 0 ph n t hay 1 ph n t nên vi c raậ ợ ể ộ ầ ầ ầ ệ m t m t xúc x c nào đó (thí d ra m t 2) v a có th xem là k t cu c v a có th xemộ ặ ắ ụ ặ ể ế ộ ể là bi n c : bi n c đó đơi khi đế ố ế ố ược g i là bi n c s c p.ọ ế ố ấ
(2)Đ i v i m i bi n c A có m t bi n c đ i l p (complementary event ) ố ỗ ế ố ộ ế ố ố ậ Ac (được đ c làọ
khơng A) bao g m các k t c c khơng có tính ch t Aồ ế ụ ấ Tr v thí d c a phép th tungở ề ụ ủ con súc s c 6 m t, bi n c đ i l p v i bi n c ra m t ch n là bi n c ra m t l Bi nắ ặ ế ố ố ậ ế ố ặ ẵ ế ố ặ ẻ ế c đ i l p cho bi n c ra m t >=2 là bi n c ra m t 1. ố ố ậ ế ố ặ ế ố ặ
1.2 K t c c đ ng kh năngế ụ ồ ả
Khi chúng ta gieo con xúc x c đ ng nh t, c m nh n thông thắ ấ ả ậ ường cho phép chúng ta gi đ nh vi c xu t hi n k t c c ra m t 1, ra m t 2, ra m t 3, ra m t 4, ra m t 5, ra m tả ị ệ ấ ệ ế ụ ặ ặ ặ ặ ặ ặ 6 có xác xu t nh nhau. Khi đó ta g i các k t c c này là k t c c đ ng kh năng.ấ ọ ế ụ ế ụ ả
1.4 Ð nh nghĩa xác su t c đi nị ấ ổ ể
N u phép th ng u nhiên có th x y ra theo N k t c c lo i tr l n nhau và có xác su tế ẫ ể ả ế ụ ẫ ấ nh nhau và g i m là s các k t c c thu n l i cho bi n c E, xác su t x y ra bi n cư ọ ố ế ụ ậ ợ ế ố ấ ả ế ố E, được kí hi u là P(E), s b ng m chia cho Nệ ẽ ằ
P E m
N
( )
(2)
N còn được g i là s các k t c c có th và m s các k t c c thu n l i.ọ ố ế ụ ể ố ế ụ ậ ợ
Thí d : N u chúng ta tung con xúc x c (xí ng u) có 6 m t: m t 1, m t 2, m t 3, m t 4,ụ ế ắ ầ ặ ặ ặ ặ ặ m t 5, m t 6 thì có th x y ra v i 6 k t c c khác nhau. Nh ng k t c c này lo i trặ ặ ể ả ế ụ ữ ế ụ ừ l n nhau (n u ra m t 1 thì khơng ra m t 2 và ngẫ ế ặ ặ ượ ạc l i) và đ ng xác su t. Gi s taồ ấ ả quan tâm đ n bi n c con xúc x c ra m t ch n. Bi n c này có th x y ra theo 3 cách,ế ế ố ắ ặ ẵ ế ố ể ả nói khác đi bi n c này bao g m 3 k t c c. Khi đó xác su t x y ra bi n c ra m tế ố ế ụ ấ ả ế ố ặ ch n là 3/6=0.5ẵ
Thí d : Khoa ph i và khoa Th n c a b nh vi n Ch R y có 50 b nh nhân trong sụ ổ ậ ủ ệ ệ ợ ẫ ệ ố này có 35 b nh nhân n Có 12 b nh nhân c a khoa Th n trong đó có là 8 ngệ ữ ệ ủ ậ ười là n ữ Có bao nhiêu b nh nhân n khoa ph i? Có bao nhiêu trong s nh ng b nh nhân c aệ ữ ổ ố ữ ệ ủ 2 khoa này là n hay n m khoa Ph i.ữ ằ ổ
Trước tiên chúng ta l p m t b ng chéo đ phân lo i các b nh nhân theo gi i tính vàậ ộ ả ể ệ theo khoa đi u tr (Ph i hay Th n) và đi n các thông tin đã cho t đ bài vào b ng nàyề ị ổ ậ ề ề ả (các s in đ m c a b ng). T các thơng tin này chúng ta tính các s các ơ cịn l i (cácố ậ ủ ả ố s in thố ường) c a b ng chéoủ ả
Bảng Giới tính bệnh nhân khoa Phổi khoa Thận bệnh viện Chợ rẫy Khoa
Ph iổ Khoa Th nậ T ng s
ổ ố
Nam 11 15
Nữ 27 35
T ng sổ ố 38 12 50
T b ng chéo chúng ta bi t đừ ả ế ượ ố ệc s b nh n c a khoa ph i là 27 và s b nh nhân nữ ủ ổ ố ệ ữ hay n m khoa ph i là 46 ngằ ổ ười
Thí d : S d ng s li u c a b ng trên hãy tính các xác su t:ụ ụ ố ệ ủ ả ấ
(3)N: S k t cu c có th là 50; m: s các k t cu c thu n l i cho 38; ố ế ộ ể ố ế ộ ậ ợ P (Khoa Ph i) = ổ
2. Ch n m t ngọ ộ ườ ấi b t kì tính xác su t ngấ ười đó là nam P(Nam)
N: S k t cu c có th là 50; m: s các k t cu c thu n l i cho 15; ố ế ộ ể ố ế ộ ậ ợ P (Nam) =
Khái ni m v nguy c và s chênh (odds)ệ ề ơ ố
M t khái ni m quan tr ng trong d ch t h c là nguy c Nguy c độ ệ ọ ị ễ ọ ơ ược đ nh nghĩa là tị ỉ l m c b nh trong kho ng th i gian nghiên c u m t nhóm ngệ ắ ệ ả ứ ộ ười người lúc đ uầ không b b nh. Nh v y cịn có th đị ệ ậ ể ược xem là xác su t c a m t ngấ ủ ộ ườ ị ắi b m c b nhệ trong kho ng th i gian nghiên c u v i đi u ki n lúc đ u không b m c b nh. Đó là líả ứ ề ệ ầ ị ắ ệ do t i sao xác su t và th ng kê có m t vai trị then ch t trong các nghiên c u d ch t ấ ố ộ ố ứ ị ễ Nh ng chúng ta s th y xác su t là m t hàm s có đ c tính thu n l i v m t toánữ ẽ ấ ấ ộ ố ặ ậ ợ ề ặ h c, thí d nh ngun lí c ng tính. Tuy nhiên xác su t có mi n xác đ nh là đo n [0;1]ọ ụ ộ ấ ề ị nên đ mơ t xác su t theo m t bi u th c tuy n tính c n s d ng các phép bi n đ iể ả ấ ộ ể ứ ế ầ ụ ế ổ đ m r ng mi n xác đ nh. M t trong các phép bi n đ i đó là s chênh (odds)ể ộ ề ị ộ ế ổ ố
S chênh c a m t bi n c A đố ủ ộ ế ố ược kí hi u là Odds(A) b ng xác su t c a bi n c Aệ ằ ấ ủ ế ố chia cho xác su t c a bi n c không A.ấ ủ ế ố
Odds(A)= =
Mi n xác đ nh c a s chênh là đo n [0;∞) đề ị ủ ố ược m r ng so v i mi n xác đ nh c a xácở ộ ề ị ủ su t. S chênh cũng có m t đ c tính khác quan tr ng là s chênh c a bi n c khơng Aấ ố ộ ặ ọ ố ủ ế ố b ng ngh ch đ o c a s chênh bi n c A.ằ ị ả ủ ố ế ố
Odds(Ac) = = 1: = 1:Odds
M c dù lí do chính đ s d ng s chênh là đ c tính tốn h c c a nó, s chênh cũng làặ ể ụ ố ặ ọ ủ ố m t khái ni m quen thu c trong cu c s ng hàng ngày.ộ ệ ộ ộ ố
Thí d : Khi ta gieo đ ng ti n chúng ta chúng ta có 2 k t c c s p và ng a đ ng khụ ề ế ụ ấ ả năng. Khi đó xác su t đấ ược m t s p, P(s p) = = 0,5. S chênh đặ ấ ấ ố ược m t s p,ặ ấ Odds(s p) = = . Th c ra trong dân gian cách nói xác su t ra m t s p là 0,5 khơng quenấ ự ấ ặ ấ thu c b ng cách nói là vi c độ ằ ệ ược m t ng a là 1 ăn 1 thua (hay 5 năm 5 thua).ặ
Khi bi n c A hi m (P(A)<0,1) thì 1P(A) ế ố ế ≈ 1 nên s chênh và xác su t là x p x Tố ấ ấ ỉ ừ s chênh chúng ta cũng có th tính đố ể ược xác su t theo công th c sau:ấ ứ
P(A) =
1.3 Ð nh nghĩa xác su t ch quanị ấ ủ
(4)(thí d nh m nh đ “s d ng vitamine A b sung s làm gi m nguy c ung th ”ụ ệ ề ụ ổ ẽ ả khơng th ểch ng minh ứ được dù chúng ta có th c hi n đ n 10 th nghi m lâm sàng b iự ệ ế ệ ở vì k t qu c a 10 th nghi m này không cho k t qu gi ng h t nh nhau). V i nh ngế ả ủ ệ ế ả ố ệ ữ m nh đ này thì trệ ề ước hay sau th nghi m chúng ta đ u ph i s d ng m t s đoử ệ ề ả ụ ộ ố lường v m c đ không ch c ch n c a m nh đ và s đo lề ứ ộ ắ ắ ủ ệ ề ố ường này được g i là xácọ su t ch quan. Khuy t đi m c a các ti p c n này ch xác su t c a m nh đ là m tấ ủ ế ể ủ ế ậ ỗ ấ ủ ệ ề ộ con s ch quan và thay đ i theo nh n đ nh c a t ng ngố ủ ổ ậ ị ủ ười. Tuy v y nh ng ngậ ữ ười ng h nó l p lu n r ng dù có ch p nh n tính ch quan hay khơng, trong cu c s ng và
ủ ộ ậ ậ ằ ấ ậ ủ ộ ố
khoa h c nhi u qu đ nh c a chúng ta là ch quan và u đi m c a phọ ề ả ị ủ ủ ể ủ ương pháp này là nó minh b ch hố tính ch quan c a các gi đ nh. Đ nh nghĩa ch quan là c s c aạ ủ ủ ả ị ị ủ ủ phương pháp Bayes (Bayes method) trong th ng kê h c hi n đ i.ố ọ ệ
2 Nhắc lại lí thuyết tập hợp
M t t p h p là g m nhi u nh ng đ i tộ ậ ợ ề ữ ố ượng xác đ nh và khác nhau. Nh ng đ i tị ữ ố ượng này được g i là ph n t c a t p h p. T p h p thọ ầ ủ ậ ợ ậ ợ ường được kí hi u b ng ch in và cóệ ằ ữ th bi u th b ng gi n đ Venn. ể ể ị ằ ả
Hình Giản đồ Venn (Venn diagrams)
Thí d khi ta tung con xúc x c có th x y ra 6 k t cu c (1, 2, 3, 4, 5, 6). Do bi n cụ ắ ể ả ế ộ ế ố (event) là m t t p h p v i các ph n t k t cu c nh v y chúng ta có xây d ng cácộ ậ ợ ầ ế ộ ậ ự bi n c sau:ế ố
E1={1}; E2={2}; E3={3}; E4={4}; E5={5}; E6={6} (nh đã quy ư ước, các bi n c ch cóế ố ỉ m t ph n t là m t k t c c độ ầ ộ ế ụ ược g i là bi n c s c p)ọ ế ố ấ
S={1, 2, 3, 4, 5, 6} (bi n c này đế ố ược g i là bi n c toàn th khi t t c các k t c cọ ế ố ể ấ ả ế ụ đ u là các ph n t c a bi n c này)ề ầ ủ ế ố
(5)Kí hi u ệ x X đ ch đ nh x là m t ph n t c a ể ỉ ị ộ ầ ủ X và kí hi u xệ X đ ch r ng x khơngể ỉ ằ thu c t p h p X. Áp d ng thí d trên và s d ng kí hi u ch đ nh ph n t , ta có thộ ậ ợ ụ ụ ụ ệ ỉ ị ầ ể vi tế
1 E1; 1 S; 1 E2 ; 1 A
Ph n giao c a hai t p h p A và B là m t t p h p (kí hi u b ng Aầ ủ ậ ợ ộ ậ ợ ệ ằ ∩B )g m nh ngồ ữ ph n t chung c a hai t p h p.ầ ủ ậ ợ
Ph n h p c a hai t p h p A và B là t p h p (kí hiêu b ng Aầ ợ ủ ậ ợ ậ ợ ằ ∪B) g m nh ng ph n tồ ữ ầ ử có m t trong t p h p A ho c có m t trong t p h p B.ặ ậ ợ ặ ặ ậ ợ
Thí d : N u A là t p h p c a các m t ch n c a con xúc x c.ụ ế ậ ợ ủ ặ ẵ ủ ắ A= {2,4,6}
N u B là t p h p các m t l n h n ho c b ng 3ế ậ ợ ặ ặ ằ B = {3,4,5,6}
A∪B = {2,3,4,5,6} A∩B = {4,6}
4 Nhắc lại đại số mệnh đề
M t m nh đ (proposition) là m t phát bi u ho c đúng ho c sai nh ng không th cùngộ ệ ề ộ ể ặ ặ ể đúng và cùng sai
Thí d : Trong 3 phát bi u sau, phát bi u nào là m nh đụ ể ể ệ ề a. 42 chia h t cho 7ế
b. Trái đ t là hành tinh duy nh t trong vũ tr có s s ngấ ấ ụ ự ố
c. Mua hai vé xem đá banh tr n đ u gi a Manchester United và Leed Unitedậ ấ ữ Tr l i: Hai phát bi u đ u (a và b) là m nh đ và phát bi u th ba (c) khôngả ể ầ ệ ề ể ứ ph i là m nh đ mà ch là m t m nh l nh.ả ệ ề ỉ ộ ệ ệ
Khi chúng ta k t h p hai m nh đ con b ng t và thì chúng ta có m t m nh đ thìế ợ ệ ề ằ ộ ệ ề m nh đ này ch đúng n u hai m nh đ con đ u đúng:ệ ề ỉ ế ệ ề ề
Thí d : Trong hai m nh đ sau, m nh đ nào là m nh đ đúng.ụ ệ ề ệ ề ệ ề 42 chia h t cho 7 và 100 chia h t cho 10ế ế
2 + 2 = 4 và 91 là s nguyên tố ố
Tr l i: M nh đ (a) là đúng cịn m nh đ (b) sai vì ch có m t m nh đ conả ệ ề ệ ề ỉ ộ ệ ề c a nó là đúng. M nh đ con cịn l i (91 là s ngun t ) sai.ủ ệ ề ố ố
Khi chúng ta k t h p hai m nh đ con b ng t hay thì chúng ta có m t m nh đ thìế ợ ệ ề ằ ộ ệ ề m nh đ này ch sai n u hai m nh đ con đ u sai:ệ ề ỉ ế ệ ề ề
Thí d : Trong hai m nh đ sau, m nh đ nào là m nh đ đúng.ụ ệ ề ệ ề ệ ề 42 chia h t cho 7 và 100 chia h t cho 10ế ế
2 + 2 = 4 và 91 là s nguyên tố ố
(6)5 Nến tảng tiên đề lí thuyết xác suất
Vào đ u th k 20, lí thuy t xác su t đã đầ ế ỉ ế ấ ược xây d ng n n t ng tiên đ tự ề ả ề ương t nhự ư các ngành khác c a tốn h c. Nh đó s phát tri n c a lí thuy t xác su t d a trên cácủ ọ ự ể ủ ế ấ ự tiên đ này ch ph thu c vào tính ch t ch logic (logic correctness) dù r ng nh ngề ỉ ụ ộ ặ ẽ ằ ữ đ nh lí c a nó có ph n ánh th gi i th c hay khơng. Nhà tốn h c Nga ị ủ ả ế ự ọ Kolmogorov là người đã có cơng xây d ng trình bày các bài tốn xác su t theo các khái ni m c a líự ấ ệ ủ thuy t đo lế ường và các tiên đ đ xây d ng lí thuy t xác su t do ơng đ a ra đề ể ự ế ấ ược trình bày sau đây:
N u chúng ta kí hi u S là t p h p các k t c c c a phép th (cịn g i là bi n c tồnế ệ ậ ợ ế ụ ủ ọ ế ố th ), M là m t l p các bi n c và M tho 3 tính ch t sau: ể ộ ế ố ả ấ (i) S M; (ii) n u ế A M, thì Ac M;
(iii) n u ế A1, A2, . . . M, thì A1 A2 M.
Hàm s P đố ược g i là xác su t gán cho m i bi n c A thu c l p M m t con s khôngọ ấ ỗ ế ố ộ ộ ố âm và có 2 tính ch t sau: ấ
1. P(S) = 1 (Xác su t c a bi n c toàn th b ng đ n v )ấ ủ ế ố ể ằ ị
2. N u ế A1, A2, . . . M và Ai Aj = Ø cho t t c ấ ải j, thì P(A1 A2 …) = P(A1) + P(A2) + … (N u các bi n c Aế ế ố 1, A2,… là lo i tr tạ ương h l n nhau thì xác su t c a s xu tỗ ẫ ấ ủ ự ấ hi n Aệ 1 hay A2 hay b ng t ng c a các xác su t đ n l ).ằ ổ ủ ấ ẻ
Tiên đ th hai là c b n cho các ch ng minh trong th ng kê và đề ứ ả ứ ố ược g i là nguyên líọ c ng tính (principle of additivity)ộ
6 Giải tích tổ hợp
Gi i tích t h p (Combinatorics) là lãnh v c tốn nghiên c u v các bài tốn ch n l a,ả ổ ợ ự ứ ề ọ ự hoán v và các toán t trong h th ng h u h n. Trong ph m vi c a tài li u này chúng taị ệ ố ữ ạ ủ ệ ch trình bày các khái ni m v hốn v (arrangment), ch nh h p (permutation) và t h pỉ ệ ề ị ỉ ợ ổ ợ (combination)
6.1 Nh c l i v giai th a (factorial)ắ ề ừ
Giai th a c a n (v i n là s nguyên) đừ ủ ố ược đ c là n giai th a và đọ ược kí hi u là n! ệ n!=n.(n1).(n2)
Theo quy ước, 0! =1
Nh kí hi u giai th a ngờ ệ ười ta có th vi t m t cách v n t t tích m t chu i các ch sể ế ộ ắ ắ ộ ỗ ữ ố liên ti p. Thí d : Th hi n bi u th c 1 ế ụ ể ệ ể ứ 2 3 4 5 6 7 b ng kí hi u 7!ằ ệ
Thí d : Th hi n bi u th c 3 ụ ể ệ ể ứ 4 5 6 7 b ng ằ 6.2 Hốn v ị
Tr m y t có 3 v trí đ treo 3 b c tranh A, B, C. S cách s p x p 3 b c tranh vào 3 vạ ế ị ể ứ ố ắ ế ứ ị trí có th để ược tính theo cách l p lu n sau:ậ ậ
(7)M t cách t ng quát s cách s p x p n đ i tộ ổ ố ắ ế ố ượng vào n v trí khác nhau cịn đị ược g i làọ s cách hoán v (arrangments) c a n đ i tố ị ủ ố ượng b ng n!.ằ
6.3. Ch nh h p và t h p ỉ ợ ổ ợ
Ch nh h p và t h p đ u là cách ch n k đ i tỉ ợ ổ ợ ề ọ ố ượng t n đ i từ ố ượng cho trước. Vi cệ ch n các đ i tọ ố ượng được g i là ch nh h p (Permutation) n u chúng ta đ ý đ n th tọ ỉ ợ ế ể ế ứ ự l a ch n và đự ọ ược g i là t h p (Combination) n u chúng ta không quan tâm đ n thọ ổ ợ ế ế ứ t l a ch n. ự ự ọ
Khái ni m v ch nh h p và t h p s đệ ề ỉ ợ ổ ợ ẽ ược minh ho trong thí d sau. Gi s chúng taạ ụ ả có 5 đ i tố ượng phân bi t (distinguishable objects) là các lo i thu c A (antibiotic), Bệ ố (beta agonist), C (corticosteroid), D (bronchoDilator) và E (expectorant). Gi s đả ể u tr cho b nh nhân b hen ph qu n chúng ta c n ph i ch n 2 lo i thu c và hai lo iề ị ệ ị ế ả ầ ả ọ ố ạ thu c này không dùng đ ng th i (m t thu c dùng trố ộ ố ước, m t thu c dùng sau). Khi đóộ ố các cách đ ch n 2 lo i thu c để ọ ố ược li t kê nh sau:ệ
AB BA AC CA AD
DA AE EA BC CB
BD DB BE EB CD
DC CE EC DE ED
M i cách ch n l a li t kê trên đỗ ọ ự ệ ược g i là m t ch nh h p. S các ch nh h p nàyọ ộ ỉ ợ ố ỉ ợ được g i là s ch nh h p 5 đ i tọ ố ỉ ợ ố ượng ch n 2 (permuations of 5 objects taken 2) vàọ được kí hi u là ệ 5P2. L p lu n đ tính s ch nh h p 5 đ i tậ ậ ể ố ỉ ợ ố ượng ch n 2 nh sau:ọ
Đ ch n đ i tể ọ ố ượng th nh t chúng ta có 5 cách ch nứ ấ ọ
Đ ch n đ i tể ọ ố ượng th hai sau khi ch n đ i tứ ọ ố ượng đ u tiên chúng ta có 4 cáchầ ch
Do đó 5P2 = 5 × 4 = =
M t cách t ng qt, cơng th c tính ộ ổ ứ nPr (s ch nh h p n đ i tố ỉ ợ ố ượng ch n r) là s cáchọ ố trong n đ i tố ượng ch n ra r đ i tọ ố ượng có phân bi t th t đệ ứ ự ược ch n (đ giao cácọ ể nhi m v hay nh n lãnh các v trí khác nhau) là:ệ ụ ậ ị
1 ) ( ) ( ) ( )! ( ! r n r n n n r n n Pr n (3)
Chúng ta hãy xét m t thí d khác. Gi s đ đi u tr cho b nh nhân b hen ph qu nộ ụ ả ể ề ị ệ ị ế ả chúng ta c n ph i ch n 2 lo i thu c và cho dùng đ ng th i. Trong trầ ả ọ ố ường h p này tợ ổ h p AB đ ng nh t nh t h p BA, t h p AC cũng đ ng nh t nh t h p CA và s tợ ấ ổ ợ ổ ợ ấ ổ ợ ố ổ h p b ng s ch nh h p chia s s hoán v c a 2 đ i tợ ằ ố ỉ ợ ố ố ị ủ ố ượng được ch n.ọ
Do đó 5C2 = 5C2 /2! = =
M t cách t ng qt, cơng th c tính ộ ổ ứ nCr (s t h p n đ i tố ổ ợ ố ượng ch n r) là s cách trongọ ố n đ i tố ượng ch n ra r đ i tọ ố ượng có khơng phân bi t th t đệ ứ ự ược ch n (và s nh n lãnhọ ẽ ậ cùng m t nhi m v hay cùng m t v trí ) là:ộ ệ ụ ộ ị
Kolmogorov