Nói chung, phương pháp thiết kế theo hướng dùng bộ lọc tương tự thường bắt đầu bởi những bộ lọc thông thấp và từ đó dùng các phép biến đổi để có các bộ lọc thông dải, triệt tần và thông [r]
(1)“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 91 — #109
Chương 5
THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ IIR
Thiết kế lọc số xây dựng hàm truyền hệ thống tuyến tính bất biến rời rạc để đáp ứng điều kiện toán thiết kế đặt Hàm truyền phải nhân ổn định, tức nghiệm cực hàm truyền phải nằm vòng tròn đơn vị đáp ứng xung phải khởi đầu từ thời điểm hữu hạn*.
Trong trình thiết kế lọc số IIR, người ta sử dụng lọc tương tự biết để thiết kế lọc số có đặc tả cần thiết kế tương đương Việc áp dụng kiến thức lọc tương tự lọc tương tự nghiên cứu kỹ lưỡng trước Mục 5.1 trình bày phương pháp thiết kế lọc tương tự để phục vụ cho thiết kế lọc số IIR mục Giáo trình đề cập đến hai họ lọc tương tự phổ cập Butterworth Chebyshev
Có hai phương pháp thiết kế lọc số dựa lọc tương tự Phương pháp thứ thiết kế hệ thống rời rạc cho đáp ứng hệ thống (đáp ứng xung đáp ứng bậc thang đơn vị) giống với đáp ứng lọc tương tự tương ứng Cụ thể: lấy mẫu đáp ứng xung đáp ứng bậc thang đơn vị lọc tương tự từ suy
(2)“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 92 — #110
Chương Thiết kế lọc số IIR
ra hàm truyền lọc số Nội dung phương pháp trình bày Mục 5.2
Phương pháp thứ hai thiết kế hệ thống rời rạc cho đáp ứng tần số hệ thống giống với đáp ứng tần số hệ thống tương tự tương ứng Để làm điều này, cần tìm phép biến đổi từ miền biến đổi Laplace sang miền biến đổiZthế để tính chất đáp ứng tần số bảo tồn Phương pháp trình bày Mục 5.3
Hai phương pháp thiết kế nêu cho thấy hàm truyền lọc số có chứa thành phần mơ tả theo mơ hình hệ thống ARMA (xem Mục 4.1) sau
H(z)=b0+b1z−
1+ ··· +b
Mz−M
a0+a1z−1+ ··· +aNz−N, (5.1)
tức dạng hữu tỷ mẫu số có bậcN≥1vàN>M Do đó, lọc số có chiều dài vơ hạn Vì vậy, phương pháp thiết kế chương gọi chung thiết kế lọc số IIR
Nói chung, phương pháp thiết kế theo hướng dùng lọc tương tự thường bắt đầu lọc thông thấp từ dùng phép biến đổi để có lọc thông dải, triệt tần thông cao Các phương pháp thiết kế lọc thông dải, triệt dải thơng cao trình bày Mục 5.4, Mục 5.5 Mục 5.6
5.1 Lọc tương tự
Mục giới thiệu cách cô đọng khái niệm lọc tương tự hai loại lọc phổ cập, Butterworth Chebyshev, nghiên cứu kỹ lưỡng suốt kỷ hai mươi
Cho hệ thống tương tự tuyến tính bất biến nhân có đầu vào làx(t)và đầu y(t) Gọi X(s)vàY(s)làbiến đổi Laplace*
*Biến đổi Laplace hàmf(t)được định nghĩa là: F(s)=
Z∞ −∞f(t)e
−stdt,
(3)“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 93 — #111
5.1 Lọc tương tự
củax(t)và y(t) Gọih(t)là đáp ứng xung hệ thống này, vàH(s)là biến đổi Laplace củah(t) H(s)được gọi hàm truyền hệ thống tương tự Vìh(t)là nhân nên ta có
H(s)=
Z ∞ h(t)e
−stdt.
Đầu vào đầu hệ thống liên hệ với miền thời gian thơng qua tích chập
y(t)=
Z ∞
0 h(τ)x(t−τ)dτ, (5.2) hay miền Laplace thông qua tích trực tiếp
Y(s)=H(s)X(s) (5.3)
Tất tính chất quan trọng hệ thống bất biến, nhân ổn định chứa đựng trongH(s) Trong thực tế, hệ thống phải ổn định Khi đó, theo biểu thức (5.2), kích thích hệ thống tín hiệu điều hịa ejΩt sẽ cho đầu ra
y(t)=H(Ω)ejΩt, (5.4)
trong
H(Ω)=H(s)|s=jΩ (5.5)
Phương trình (5.5) cho thấy H(Ω)là biến đổi Fourier h(t)(xem định nghĩa công thức (2.1)) lúc hệ thống ổn định ta suy đượcH(Ω)từ hàm truyềnH(s)bằng cách thếsbằng jΩ Phương trình (5.4) cho thấy lúc hệ thống kích thích tín hiệu điều hịa (ejΩt) hệ thống ứng xử khuếch đại với hệ số
khuếch đại H(Ω), H(Ω) gọi đáp ứng tần số hệ thống
Tổng quát thế, lấy biến đổi Fourier hai vế tích chập (5.2), ta có
Y(Ω)=H(Ω)X(Ω) (5.6)
(4)“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 94 — #112
Chương Thiết kế lọc số IIR
khuếch đại bởiH(Ω) Gọi|H(Ω)|vàΦ(Ω)là biên độ pha củaH(Ω) Như thế, tần sốΩ, biên X(Ω)được khuếch đại bởi|H(Ω)|và lệch
pha điΦ(Ω) Như vậy, hệ thống lọc thì|H(Ω)|làm méo
biên độ phổ vàΦ(Ω)làm méo pha phổ tín hiệu đầu vàoX(Ω) Một lọc khơng làm méo tín hiệu đầu vào đầu liên quan với theo biểu thức sau đây:
y(t)=kx(t−T0), (5.7)
với T0 giá trị thời gian làm trễ Hình 5.1 mơ tả tín
hiệu đầu vào đầu lọc không làm méo Tức tín“./figures/IIRnew_0” — 2012/6/11 — 17:59 — page 80 — #1
t x(t)
1
(a) Đầu vào
“./figures/IIRnew_1” — 2012/6/11 — 17:59 — page 80 — #1
t y(t)
k
T0
(b) Đầu
Hình 5.1: Đầu vào đầu hệ thống không làm méo hiệu khuếch đại sốkvà dịch trễ số T0 Trong miền tần số, mối liên hệ phổ đầu vào phổ đầu cho
(5)“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 95 — #113
5.1 Lọc tương tự
So sánh (5.6) (5.8) cho ta hàm truyền cho lọc không làm méo
H(Ω)=ke−jΩT0. Do đó, biên độ pha hàm truyền
|H(Ω)| =k (5.9)
Φ(Ω)= −ΩT0 (5.10)
Một lọc khơng làm méo tín hiệu gọi làbộ lọc lý tưởng Như vậy, theo (5.9) (5.10), lọc lý tưởng có biên độ đáp ứng tần số số có pha tuyến tính, mơ tả hình 5.2
“./figures/IIRnew_2” — 2012/6/11 — 17:59 — page 80 — #1
Ω
|H(Ω)|
k
(a) Đáp ứng biên độ
“./figures/IIRnew_3” — 2012/6/11 — 17:59 — page 80 — #1
Ω Φ(Ω)
(b) Đáp ứng pha
(6)“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 96 — #114
Chương Thiết kế lọc số IIR
Khi thiết kế lọc, đáp ứng biên độ không đổi đáp ứng pha tuyến tính đặc tính mà cố gắng đạt dải thơng tần*, hay gọi tắt dải thơng, tín hiệu Ngoài ra, dải triệt tần†, hay gọi tắt dải triệt, đáp ứng tần số của lọc nhỏ ta không cần quan tâm đến đặc tính lý tưởng Trong thực tiễn, lúc thiết kế lọc, miền tần số phân chia thành nhiều dải khác Để thiết kế lọc điện tử, thông thường ta cần chấp nhận mộtdải tần chuyển tiếp‡, gọi tắt dải chuyển tiếp, để nối kết dải thông dải triệt. Hình 5.3 mơ tả đáp ứng biên độ đáp ứng pha lọc thực tiễn, với dải tần khác
Hai thông số tương đối quan trọng lúc cần phân tích độ méo lọc làđộ trễ pha§ T
p(Ω)và độ trễ nhóm¶ Tg(Ω)(cịn gọi độ trễ bao||), định nghĩa sau:
Tp(Ω)=Φ(Ω)
Ω (5.11)
Tg(Ω)= −dΦd(Ω)
Ω (5.12)
Ý nghĩa hai độ trễ minh họa hình 5.4 Khái niệm độ trễ nhóm đóng vai trị quan trọng lúc tín hiệu có dải thơng hẹp truyền qua hệ thống thơng dải Độ trễ nhóm thể độ méo mà hệ thống tác động lên tín hiệu
Trong tốn thiết kế, đặc tả hệ thống thơng qua phép xấp xỉ diễn tả phương trình
A2(Ω)= |H(Ω)|2 (5.13) Giả sử tìm hàm A2(Ω), vấn đề phải xác định hàm truyềnH(s)thỏa mãn (5.13), tức tìmH(s)thế để có
H(s)H(−s)|s=jΩ=A2(Ω) (5.14) *Passband.
(7)“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 97 — #115
5.1 Lọc tương tự
“./figures/IIRnew_4” — 2012/6/11 — 17:59 — page 81 — #1
Ω
|H(Ω)|
Dải thông
Dải chuyển tiếp
Dải triệt
(a) Đáp ứng biên độ
“./figures/IIRnew_5” — 2012/6/11 — 17:59 — page 81 — #1
Ω Φ(Ω)
(b) Đáp ứng pha
Hình 5.3: Đáp ứng biên độ đáp ứng pha lọc thực tiễn Giáo trình tập trung chủ yếu vào hệ thống có hàm truyền hàm hữu tỷ VìH(Ω)là hàm hữu tỷ theoΩ,
A2(Ω)=H(Ω)H∗(Ω) (5.15) Như vậy, A2(Ω) xem hàm có biến độc lậpΩ2 Do phương trình (5.14) đặt dạng
(8)“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 98 — #116
Chương Thiết kế lọc số IIR
“./figures/IIRnew_6” — 2012/6/11 — 17:59 — page 82 — #1
Ω Φ(Ω)
0
Tg(Ω)
Tp(Ω)
Hình 5.4: Độ trễ pha độ trễ nhóm
nghiệm không* z0 không nằm trục ảo hay trục thực sẽ có ba nghiệm khơng khác tương ứng với z∗
0, −z0 −z∗0 Nếu có nghiệm khơngz1nằm trục thực trục ảo có thêm
−z1 nghiệm khơng Nghiệm cực†cũng có tính chất Hình 5.5 minh họa nghiệm khôngz0,z1và nghiệm cựcp0,p1, với nghiệm tương ứng với chúng Sau tính nghiệm khơng nghiệm cực củaA2(−s2), ta thấy phải chọnH(s)sao cho nghiệm khơng nghiệm cực nửa bên trái mặt phẳngs, tức
ℜ{s}<0, để hệ thống ổn định cópha tối thiểu‡ Ví dụ 5.1 Cho
A2(Ω)= 25(4−Ω
2)2 (9+Ω2)(16+Ω2) TìmH(s)sao cho|H(jΩ)|2=A2(Ω).
*Zero. †Pole.
(9)“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 99 — #117
5.1 Lọc tương tự
“./figures/IIRnew_7” — 2012/6/11 — 17:59 — page 82 — #1
σ
jΩ
z1
−z1
−z∗ z0
−z0 z∗
0
p1 −p1
p0
p∗ −p∗
0
−p0
Hình 5.5: Minh họa nghiệm không nghiệm cực mặt phẳng
s
Theo phân tích đây, ta có
H(s)H(−s)= 25(4+s
2)2
(9−s2)(16−s2) (5.17)
Hàm có hai nghiệm không kép ở2jvà−2jvà bốn nghiệm cực
±3và±4, mơ tả hình 5.6
Như để hệ thống ổn định,H(s)cần có nghiệm không nghiệm cực nửa trái mặt phẳngs Do ta có
H(s)=5((ss−2j)(s+2j) +3)(s+4) =
5(s2+4) (s+3)(s+4)
5.1.1 Các phương pháp xấp xỉ Butterworth và
Chebychev
(10)“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 100 — #118
Chương Thiết kế lọc số IIR
“./figures/IIRnew_8” — 2012/6/11 — 17:59 — page 83 — #1
σ
jΩ
2
−2
3
−3
−4
Hình 5.6: Nghiệm khơng nghiệm cực củaH(s)H(−s)trong phương trình (5.17)
Họ lọc Butterworth
Loại lọc thông thấp phổ biến làbộ lọc Butterworth, gọi làbộ lọc phẳng tối đa* Loại lọc có A2(−s2)được xấp xỉ biểu thức
A2(Ω)=1
+(Ω/Ωc)2n, (5.18)
trong đónlà bậc lọc vàΩclàtần số cắt†(rads/s) lọc
TạiΩ=Ωc, đáp ứng tần số có biên độ thấp hơn3dB so với biên độ
cực đạiH(0), xác định bởiA(0) KhiΩc=1, ta gọi làtần số cắt chuẩn hóa‡và ký hiệu làΩ
r Hình 5.7 mơ tả A(Ω)và đáp ứng biên
độ hệ thống|H(Ω)|tương ứng cho họ lọc Butterworth với bậc
khác có tần số cắt chuẩn hóaΩr=1 rad/s Đáp ứng
tần số hàm suy giảm đều, có trị cực đại tạiΩ=0và lúc số bậc tăng đáp ứng tần số trở nên phẳng Đồng thời độ suy giảm miền tần số lớn tần số cắt là6ndB/octave
*Maximally flat filter. †Cutoff frequency
(11)“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 101 — #119
5.1 Lọc tương tự
“./figures/IIRnew_9” — 2012/6/11 — 18:00 — page 84 — #1
Ω Ωc
A2(Ω)
1
1
(a)A2(Ω)
“./figures/IIRnew_10” — 2012/6/11 — 18:00 — page 84 — #1
Ω Ωc |H(Ω)|
1
1
p
2
(b)|H(Ω)|
Hình 5.7: Đáp ứng tần số họ lọc Butterworth với bậc khác nhau, có tần số cắt chuẩn hóaΩr=1rad/s
(12)“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 102 — #120
Chương Thiết kế lọc số IIR
Áp dụng biểu thức (5.18) với bậcn=3và tần số cắtΩc=1, ta có
A2(Ω)=1 +(Ω)6
=1 +(Ω2)3
A2(Ω)=H(s)H(−s)
=1 +(−s2)3
=1 + −s6
Biểu thức hàm hữu tỷ chứa6nghiệm cựcs=e−j26πk với
k=0,1, ,5, biểu diễn hình 5.8 Ta chọn nghiệm
“./figures/IIRnew_11” — 2012/6/11 — 18:00 — page 85 — #1
σ
jΩ
1
−1
(13)“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 103 — #121
5.1 Lọc tương tự
Bảng 5.1: Đa thức Butterworth chuẩn hóa n 1/H(s)
1 s+1
2 s2+1.4142s+1 (s+1)(s2+s+1)
4 (s2+0.7654s+1)(s2+1.8478s+1) (s+1)(p2+0.6180s+1)(s2+1.6180s+1)
6 (s2+0.5176s+1)(s2+1.4142s+1)(s2+1.9319s+1) cực nửa trái mặt phẳngschoH(s), tức nghiệm
z1=ej2
π2 = −1
2+j
p
3 ,
z2=ej2
π3 = −1,
z3=ej2
π4 = −1
2+j
p
3 Do đó, ta có
H(s)=(s
+1)(s2+s+1)=
1
s3+2s2+2s+1
Bảng 5.1 bao gồm đa thức Butterworth chuẩn hóa cho bậc từ1đến6
Họ lọc Chebychev
Bộ lọc Chebychevlà lọc mà đáp ứng tần số có độ gợn sóng dải thơng Phép xấp xỉ xây dựng dựa đa thức ChebychevCn(x)được xác định sau:
Cn(x)=
(
cos(n·arcos(x)) |x| <1,
(14)“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 104 — #122
Chương Thiết kế lọc số IIR
Bảng 5.2: Đa thức Chebychev n Cn(x)
1 x
2 2x2−1 4x3−3x
4 8x4−8x2+1 15x5−20x3+5x
6 32x6−48x4+18x2−1
là1 giá trị cực tiểu −1 Cn(x) biến thiên cực nhanh lúc x>1
Bảng 5.2 cho ta đa thức Chebychev minh họa hình 5.9 Ta thấy,Cn(x)là hàm chẵn lúcnchẵn lẻ lúcnlẻ
Bộ lọc thơng thấp Chebychevbậcncó bình phương đáp ứng biên độ có dạng:
A2(Ω)= α
1+²2C2n³ΩΩc´
, (5.20)
trong đó²2 thơng số chọn để có độ gợn sóng thích hợp, αlà số chọn để thỏa mãn độ khuếch đại cho tín hiệu
d.c vàΩclà tần số cắt Đáp ứng biên độ chon=3(nlẻ) có độ gợn
sóng2dB minh họa hình 5.10(a) Đáp ứng biên độ với n=4 (nchẵn) độ gợn sóng2dB minh họa hình 5.10(b)
Đáp ứng biên độ lọc Chebychev có số tính chất quan trọng sau Dải thông định nghĩa khoảng tần số độ gợn sóng dao động hai giới hạn tức từ0 đến Ωc Tần
số cắtΩc tần số cao đáp ứng tần số mà giới hạn độ
gợn sóng thỏa mãn Vượt quaΩc, ta có dải chuyển tiếp.Độ gợn sóng dải thơng*, ký hiệu là r và có đơn vị dB, định nghĩa sau:
r=10log10A max
A2min =20log10 Amax
Amin, (5.21)
trong đóAmaxvàAminlà giới hạn cực đại cực tiểu độ gợn sóng
(15)“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 105 — #123
5.1 Lọc tương tự
“./figures/IIRnew_12” — 2012/6/11 — 18:00 — page 86 — #1
x Cn(x)
0
n=1 n=2 n=3
n=4
n=5 n=6
1
−1
Hình 5.9: Gợn sóng dải triệt dải thơng Phương trình (5.20) cho ta
Amax=α, (5.22)
Amin=1α
+²2 (5.23)
Từ ta suy
r=10log10(1+²2) (5.24)
và
²2=10r/10−1 (5.25)
(16)“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 106 — #124
Chương Thiết kế lọc số IIR
“./figures/IIRnew_13” — 2012/6/11 — 18:00 — page 87 — #1
Ω
A2(Ω)
0
α
α
1+²2
(a)nlẻ
“./figures/IIRnew_14” — 2012/6/11 — 18:00 — page 87 — #1
Ω
A2(Ω)
0
α
α
1+²2
(b)nchẵn
Hình 5.10: Gợn sóng dải thơng
kiện trao đổi chất lượng lọc dải triệt độ méo dải thông
Số cực trị (cực đại cực tiểu) dải thông bậc lọc TạiΩ=0, A(Ω)đạt cực đại nlẻ cực tiểu n chẵn Nếu ta muốn có độ khuếch đại d.c đơn vị lọc bậc lẻ chọnα=1 lọc bậc chẵn chọn α=1+²2 Nếu ta muốn
(17)“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 107 — #125
5.1 Lọc tương tự
Tần số cắtΩccủa lọc Chebychev khơng có tính chất
đối với lọc Butterworth Trong trường hợp lọc ButterworthΩc
là tần số cắt ở3dB, trường hợp ChebychevΩclà tần số lớn
nhất thỏa mãn điều kiện gợn sóng dải thơng Đặc tính quan trọng lúc thiết kế lọc Chebychev
Ví dụ 5.3 Xác định hàm truyền lọc Chebychev bậc2có độ gợn sóng dải thơng dB, tần số cắt Ωc=1 rad/s độ
khuếch đại d.c đơn vị Theo công thức (5.25) ta có
²=p10r/10−1=0,25892541
Từ bảng 5.2 phương trình (5.20) ta có
A2(Ω)=1,0357016 1,2589254
Ω4−1,0357016Ω2+1,2589254 viết theoslà
A2(s)=1,0357016s4 1,2589254
+1,0357016s2+1,2589254 Như vậy,H(s)H(−s)có4nghiệm cực sau:
s1= −0,54886717336682+0,89512857959049i,
s2= −0,54886717336682−0,89512857959049i,
s3=0,54886717336682+0,89512857959049i,
s4=0,54886717336682−0,89512857959049i
Ta chọn2cực ổn định làs1vàs2để xây dựngH(s) Cuối cùng, ta tìm
H(s)= 1,1025103
s2+1,0977343s+1,1025103
(18)“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 108 — #126
Chương Thiết kế lọc số IIR
5.1.2 Phép biến đổi lọc thông thấp thành bộ
lọc thông dải
Một phương pháp phổ cập để thiết kế lọc thông dải sử dụng lọc thông thấp phép biến đổi để chuyển hàm chuyền thành thông dải Để phân biệt lọc thông thấp lọc thông dải, ta sử dụng định nghĩa sau đây:
• p: Biến Laplace cho lọc thơng thấp • s: Biến Laplace cho lọc thơng dải • λ: Biến tần số tương ứng với p(p=jλ)
• Ω: Biến tần số tương ứng vớis(s=jΩ) • hlp(p): Hàm truyền thơng thấp
• hbp(s): Hàm truyền lọc thơng dải
• λr (rads/s): Một tần số đặc biệt lọc thơng thấp
(thường tần số cắtλc)
• Fr (Hz): Tần số tương ứng với λr tính theo đơn vị Hz (Fr=
λr/2π)
• Ω1: Tần số cắt lọc thông dải tương ứng với−λrcủa
bộ lọc thơng thấp
• Ω3: Tần số cắt lọc thông dải tương ứng vớiλrcủa
lọc thơng thấp
• Ω2: Tần số góc trung bình hình học dải thơng
• F1,F2,F3(Hz): Tần số dải thông tương ứng vớiΩ1,Ω2,Ω3 Phép biến đổi chuyển lọc thông thấp sang lọc thông dải
p=s
2+Ω2
(19)“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 109 — #127
5.1 Lọc tương tự
và mối liên hệ miền tần số
λ=Ω
2−Ω2
Ω (5.27)
hay
λ
2π=
F2−F2
F (5.28)
Biến đổi thông thấp thành thông dải minh họa đồ thị 5.11
“./figures/IIRnew_15” — 2012/6/11 — 18:00 — page 90 — #1
Ω
λ
0
y=a
−λr λr
Ω1
Ω3 Ω2
Hình 5.11: Biến đổi thơng thấp thành thơng dải
Đồ thị cho thấy, qua biến đổi (5.26), dải thông thấp[−λr,λr]
(20)“DSP_trung_index” — 2012/7/25 — 7:11 — page 110 — #128
Chương Thiết kế lọc số IIR
“./figures/IIRnew_16” — 2012/6/11 — 18:00 — page 90 — #1
Ω
A2(Ω)
0 λr
−λr
(a) Lọc thông thấp
“./figures/IIRnew_17” — 2012/6/11 — 18:00 — page 90 — #1
Ω
A2(Ω)
Ω3 Ω1 Ω2
(b) Lọc thơng dải
Hình 5.12: Đáp ứng biên độ lọc thông thấp lọc thông dải tương ứng
Mối liên hệ thông số suy sau
Fr=F
2 3−F22
F3 (5.29)
−Fr=F
2 1−F22
F1 (5.30)
F2=pF1F3 (5.31)
B=F3−F1 (5.32)