Analyse asymptotique de réseaux complexes de systèmes de réaction diffusion

THESE THÈSE Pour obtenir le grade de Docteur opéré par l’Université du Havre Spécialité : Mathématiques Titre de la thèse ANALYSE ASYMPTOTIQUE DE RÉSEAUX COMPLEXES DE SYSTÈMES DE RÉACTION - DIFFUSION Présentée et soutenue publiquement par Van Long Em PHAN Thèse soutenue publiquement le 09 décembre 2015 devant le jury composé de Monsieur Vitaly VOLPERT Professeur l'Université de Lyon Monsieur Jean-Pierre FRANCOISE Professeur l'Université de Paris VI Président et Examinateur Rapporteur Monsieur Antoni GUILLAMON Professeur l'Université Politècnicia de Catalunya, Barcelona, Espagne Rapporteur Monsieur Benjamin AMBROSIO Mtre de conférence l'Université du Havre Co-encadrant et Examinateur Madame Valentina LANZA Mtre de conférence l'Université du Havre Examinatrice Monsieur Moulay AZIZ-ALAOUI Professeur l'Université du Havre Directeur Thèse dirigée par M AZIZ-ALAOUI Remerciements Je voudrais exprimer ma reconnaissance toutes les personnes qui de près ou de loin ont permis l’élaboration de ce travail Je tiens exprimer ma plus profonde gratitude l’égard de mon directeur de thèse, Monsieur le Professeur Aziz Alaoui, et mon co-encadrant Monsieur Ambrosio B., pour l’infinie patience ainsi que la disponibilité permanente qu’ils ont su m’accorder durant le temps de mes recherches Leurs conseils avisés, leur soutien et leur encouragement m’ont été précieux pour la réalisation de ce travail de thèse Je remercie sincèrement l’équipe d’enseignants-chercheurs du Laboratoire de recherche LMAH qui m’a permis de poursuivre ma formation par la recherche et faciliter mon initiation la recherche Pour finir, avec tous mes remerciements de gratitude, mes remerciements vont mes parents et mes collègues pour leur soutien, leur confiance, leur encouragement et leur sympathie mon égard Merci tous ! v viii Table des matières Table des matières ix Introduction I Modélisation mathématique du neurone Physiologie du neurone La structure du neurone L’influx nerveux 5 Modélisation mathématique du neurone Le modèle de Hodgkin-Huxley Le modèle de FitzHugh-Nagumo 13 13 17 II Réseau complexe de neurones modélisé par des EDO de type FitzHughNagumo 21 Dynamique et bifurcations du modèle de FitzHugh-Nagumo Étude des points d’équilibre Existence et direction de la bifurcation de Hopf 23 23 28 Synchronisation identique de systèmes Réseau de neurones Étude de l’attracteur La synchronisation Différentes topologies de réseaux 35 36 39 43 52 d’EDO de type FitzHugh-Nagumo III Réseau complexe de neurones modélisé par des EDP de type FitzHughNagumo 57 Étude d’un neurone isolé de type FitzHugh-Nagumo Étude mathématique de l’EDP Existence et unicité des solutions Existence d’un attracteur du système Simulations numériques Stabilité des états d’équilibre Existence de travelling wave en dimension ix 59 60 62 68 74 78 81 TABLE DES MATIÈRES Synchronisation identique des systèmes de Réaction-Diffusion de type FitzHughNagumo 89 Existence et unicité des solutions 92 Existence d’un attracteur global pour le réseau coplexe 98 Synchronisation identique d’un réseau de n systèmes de réaction-diffusion 108 Effet de l’ajout de la dimension spatiale sur la synchronisation 136 Conclusion et perspectives 143 IV 157 Annexes Bibliographie 169 Index 175 x ... Bibliographie 169 Index 175 x Introduction D’une manière générale, cette thèse porte sur l? ?analyse du comportement asymptotique de réseaux complexes de systèmes de réaction- diffusion L’idée est... étude théorique et numérique de résaux de systèmes de réaction- diffusion de type FitzHugh-Nagumo Le modèle fondateur de la discipline des "neurosciences mathématiques" est sans doute le modèle de. .. traitées dans le cadre des EDO au cas des EDP Les applications de ce type de questions sont nombreuses : de nombreux systèmes fonctionnent en effet comme des réseaux de systèmes dynamiques : par