Chứng minh rằng nếu đường chéo AC đi qua Trung điểm I của đoạn thẳng của FE thì AC chia đôi diện tích của tứ giác ABCD.. 19.[r]
(1)Phan văn Hiền - Trường THCS TT Cửa Việt
NỘI DUNG CHƯƠNG TRÌNH Số tiết
A.Đại số 1. Biến đổi Đa thức
2. Phân thức Hữu tỉ
3. BĐT: Phương pháp xét hiệu hai vế 4. BĐT: Phương pháp sử dụng BĐT 5. BĐT: Phương pháp làm trội
6. BĐT: Phương pháp BĐT tam giác 7. BĐT: Phương pháp phản chứng 8. BĐT: Một vài phương pháp khác 9. GTNN-GTLN
10.Chứng minh chia hết N
a. Tính chất chia hết tổng ,tích b. Đồng dư- Hằng đẳng thức
c. Qui naïp
11. Biểu diển thập phân số tự nhiên B.Hình học
C ộ ng
(2)* Một phương pháp thường dùng sử dụng bất đẳng thức biết để chứng minh bất đẳng thức khác.Tuy nhiên sử dụng ,ngoài hai bất đẳng thức Cô-si bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski
Các bất đẳng thức khác sử dụng làm thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để tiện theo dõi, liệt kê bất đẳng thức vào
1 a2+b2≥2 ab (a,b>0) (BĐT Cô-si)
2 (a+b)2≥4 ab 2(a2+b2)≥(a+b)2 ab+b
a≥2;a , b>0 1a+1
b≥
a+b;a ,b>0 a2+b2+c2≥ab+bc+ca
7 (ax+by)2≤(a2+b2) (x2+y2) ( Bu nhi a cop xki) a2
x + b2
y≥ (a+b)2
x+y a2
x + b2
y+ c2
z ≥
(a+b+c)2 x+y+z Ví dụ 9:Chứng minh abc +bc
a + ca
b ≥ a+b+c (Với a,b,c > 0) Giải:2A - 2B = 2ab
c +2 bc
a +2 ca
b −2a−2b −2c = a(b
c+ c
b−2)+b( a c+
c
a−2)+c( b a+
a b−2) Áp dụng bất đẳng thức ab+b
a≥2;a , b>0 Ta có:2A - 2B a(2−2)+b(2−2)+c(2−2)≥0 Vậy A B.Đẳng thức xảy a = b = c >
Ví dụ 10: Cho số dương x , y thoả mãn x + y = Chứng minh : xy1 +
x2
+y2≥8 Giải: xy1 +
x2
+y2=
2 xy+
2 x2
+y2=2(
1 xy+
1 x2
+y2)≥2
4 x2
+2 xy+y2
¿
(x+y)2=8 Đẳng thức xảy x=y=
Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức : a
b2+ b2 c2+
c2 a2≥
a c+ c b+ b a Giải: a2 b2+
b2 c2≥2
a b
b c=2
a c ;
b2 c2+
c2 a2≥2
b c
c a=2
b a ;
c2 a2+
a2 b2≥2
c a
a b=2
c b Cộng vế ba bất đẳng thức ta có:
2(a b2+
b2 c2+
c2 a2)≥2(
a c+ c b+ b a) ⇒a2
b2+ b2 c2+
c2 a2≥
a c+ c b+ b a Đẳng thức xảy a = b = c
Tiết 21-24 Ví dụ 12:Cho a > b >
Chứng minh b+c1 + c+a+
1 a+b>
(3)Giải:
b+c+ c+a+
1 a+b>
1 b+c+a+
1 c+a+b+
1 a+b+c=
3 a+b+c Ví dụ 13: Chứng minh: A=
23+ 33+
1 43+ +
1 n3<
1
4 Với n số tự nhiên n ≥2 Giải: k13<
1 k3− k=
1 k(k2−1)=
1
(k −1)k(k+1) Và :
(k −1)k− (k+1)k=
(n+1)−(n −1) (k −1)k(k+1)=
2 (k −1)k(k+1) Suy ra:
k3< k3− k=
1 k(k2−1)=
1
(k −1)k(k+1) = 2[
1 (k −1)k−
1 (k+1)k] Suy ra: A < 12[1 21 −2 31 +
2 3−
3 4+ + (n −1)n−
1 n(n+1)] ¿1
2[ 2−
1 n(n+1)]<
1
==========o0o========== Bài tập áp dụng:
38 Chứng minh:B = 1+1 2+
1 3+ +
1 2n−1>
n
2 Với n số tự nhiên n ≥2 39 Bài 29:Cho C ¿ a
a+b+c+ b b+c+d+
c c+d+a+
d d+a+b (a,b,c,d >0) Chứng minh : 1<C<2
40 Chứng minh P= 1+xy+
1 1+yz+
1 1+xz≥
3
2 Trong x , y , z số dương x2
+y2+z2≤3
HƯỚNG DẪN: 47 Chứng minh:B = 1+1
2+ 3+ +
1 2n−1>
n
2 Với n số tự nhiên B=1+1
2+( 3+
1 4)+(
1 5+ +
1 8)+(
1
2n−1+1+ + 2n)−
1 2n 1+1
2+( 4+
1 4)+(
1 8+ +
1 8)+(
1 2n+ +
1 2n)−
1 2n ¿1+1
2+ 2+
1 2+ +
2n
1 2n−
1 2n=1+
n 2−
1 2n>
n 48
¿ C> a
a+b+c+d+ b b+c+d+a+
c c+d+a+b+
d d+a+b+c ¿
¿ C< a+d
a+b+c+d+
b+a b+c+d+a+
c+b c+d+a+b+
d+c d+a+b+c ¿
49 Áp dụng BĐT ta có P≥ 3+(x2+y2+z2)
(4)Tiết 25-28
* Với a,b,c số đo cạnh tam giác ta cần nhớ tính chất sau: a,b,c số dương
Tổng cạnh lớn cạnh lại Tỉ số cạnh với cạnh cịn lại bé
Ví dụ 14:Với a,b,c độ dài cạnh tam giác Chứng minh :
a+b − c+ b+c −a+
1 a+c −b≥
1 a+ b+ c Giải:
Vì a,b,c độ dài cạnh tam giác nên a + b - c > 0; a + c - b > 0; b + c - a >
Áp dụng BĐT 1a+1 b≥
4
a+b;a ,b>0 ta được:
a+b − c+ b+c −a≥
4 2b=
2
b ,tươngtự: b+c − a+
1 c+a −b≥
2 c ;
1 a+b − c+
1 c+a −b≥
2 a Suy 2(
a+b − c+ b+c − a+
1
a+c − b)≥2( a+
1 b+
1
c) hay
a+b − c+ b+c −a+
1 a+c −b≥
1 a+ b+ c (ĐPCM)
Ví dụ 15:Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác Chứng minh : a
b+c+ b c+a+
c
a+b<2
Giải:
Do a,b,c độ dài cạnh tam giác nên a < b + c ⇒ a
b+c<1⇒ a b+c<
a+c
a+b+c tương tự a
b+c<1⇒ a b+c<
2a a+b+c ;
b a+c<
2b a+b+c ; c
a+b< 2c a+b+c
Cộng vế BĐT ta ĐPCM BÀI TẬP: 50 Chứng minh :
(a + b -c)( a - b + c)(-a + b + c) abc.Với a,b,c cạnh tam giác 51 Cho a,b,c cạnh tam giác Chứng minh a2+b2
+c2<2(a+b+c) 52 Cho a,b,c cạnh tam giác Chứng minh
a b+c − a+
b a+c −b+
c a+b − c≥3 53 Cho a,b,c cạnh tam giác Chứng minh a+b1 ,
b+c,
(5)HƯỚNG DẪN :
50 Do a,b,c độ dài cạnh tam giác nên (a + b -c) > Đặt x = a + b -c; y = a - b + c ; z = b + c - a Áp dụng tập 28 ta có ĐPCM Đẳng thức xáy a = b = c.Hay tam giác cho tam giác
51 Do a,b,c độ dài cạnh tam giác nên a < b + c
⇒ a2<ab+ac tương tự b2<bc+ab ; c2<bc+ac Cộng vế BĐT ta ĐPCM
52 Đặt x = a + b -c; y = a - b + c ; z = b + c - a Suy : x+y
z + y+z
x + x+z
y ≥6
53 Ta cần chứng minh a+c1 + b+c>
1 a+b ;
1 a+b+
1 a+c>
1 b+c ;
1 a+b+
1 b+c>
1 a+c Dựa vào tính chất tổng cạnh lớn cạnh lại ,chứng minh : a+c1 +
b+c> a+b cách làm trội lần liên tiếp.Tương tự : a+b1 +
a+c> b+c ;
1 a+b+
1 b+c>
(6)Tiết 29-32 Ví dụ 14:Cho a2+b2≤2 Chứng minh a+b ≤2 Giải:
Giả sử : a+b>2 ⇒(a+b)2=a2+b2+2 ab>4 mặt khác: a2
+b2+2 ab≤2(a2+b2)⇒2(a2+b2)>4⇒a2+b2>2 Điều trái với giả thiết a2+b2≤2 .Vậy a+b ≤2 . Đẳng thức xảy a = b =
Ví dụ 15: Cho số dương a,b,c nhỏ Chứng minh có BĐT sau sai:
a(2 - a) > 1; b(2 - b) > 1; c(2 - c) >
Giải: Giả sử BĐT Nhân theo vế BĐT ta có: a(2 - a) b(2 - b) c(2 - c) >
Nhưng a(2 - a) = - (a2 - 2a + 1) 1; tương tự:
b(2 - b) 1: c(2 - c) Mâu thuẫn với điều giả sử.Vậy có ba BĐT sai
Bài tập áp dụng
54 Cho a + b + c > abc > 0; ab + bc + ca > 0,Chứng minh a > 0; b > 0; c > 55 Cho số dương a , b,c Chứng minh BĐT sau sai:
a+1
b<2 ; b+
c<2 ; c+ a<2
56 Chứng minh khơng có số dương a,b,c thoả mãn BĐT sau: 4a(1 - b) > ; 4b(1 - c) > ; 4c(1 - a) >
57 Chứng minh khơng có số a,b,c thoả mãn BĐT sau:
|b − c|>|a|; |c −a|>|b|; |a − b|>|c|; 58 Cho ba số dương x,y,z xyz = 1.Chứng minh nếu:
x+y+z>1 x+
1 y+
1
z có ba số x,y,z lớn 59 Cho số dương a,b,c,d Chứng minh đồng thời xảy BĐT sau:
a + b < c + d ; (a + b)(c + d) < ab + cd; (a + b)cd < (c + d)ab HƯỚNG DẪN :
54. Giả sử a ≤0
*Nếu a = Suy abc = vơ lí
*Nếu a < Suy b + c > Do abc > ⇒ bc < ⇒ ab + bc + ca < 0.Chứng minh tương tự với b,c 55. Giả sử a+1
b<2 ; b+
c<2 ; c+ a<2 Thì a+1
b+b+ c+c+
1
a<6 Điều không 56. Giả sử: 4a(1 - b) > ; 4b(1 - c) > ; 4c(1 - a) >
Thì : 64(1 - a)(1 - b) (1 - c) > (*) (1 - a) > 0; (1 - b) > 0: (1 - c) >
Nhưng 4a(1 - a) 1; 4b(1 - b) 1; 4c(1 - c) Khi đó: 64abc(1 - a)(1 - b)(1 - c) 1(**)
(*) mâu thuẫn với (**)
57. Giả sử BĐT Ta có từ
|b − c|>|a|; ⇔(b − c)2>a2⇔(b − c)2−a2>0⇔(b − c+a) (b −c −a)>0
|c −a|>|b|; ⇔(c − a)2>b2⇔(c −a)2−b2>0⇔(c −a+b) (c − a −b)>0
|a − b|>|c|; ⇔(a− b)2>c2⇔(a − b)2− c2>0⇔(a − b+c) (a −b − c)>0
(7)Tiết 33-36
I CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN:
Khi chứng minh BĐT có điều kiện dạng: a1+a2+ .+an≥ m ,ta thường dùng ẩn phụ để đưa toán dạng đơn giản để đánh giá trực tiếp
Các bước sau:
1. Dự đoán đẳng thức xảy 2. Đặt x1=a1−
m
n ; x2=a2− m
n; xn=an− m
n Ví dụ 16: Cho a,b,c thoả mãn: a + b c
Chứng minh: a2
+b2≥1 2c
2
Giải: Đặt: x=a −c
2 ; y=b − c
2 Vì a + b Do x + y = a + b - c Ta có:
a2+b2
=(x+c 2)
2
+(y+c 2)
2
=x2+cx+1 4c
2
+y2+cy+1 4c
2
x2
+y2+c(x+y)+1 2c
2≥1 2c
2
Ví dụ 17: Cho a,b thoả mãn: a3+b3≤2
Chứng minh: a+b ≤2 Giải:
Đặt: x=a −1 ; y=b −1 Ta có: a
+b3=(x+1)3+(y+1)3=
(x+y)(x2−xy+y2+3)+3(x2+y2)+2
¿(x+y)[(x − y 2)
2 +3
4 y
+3]+3(x2+y2)+2≤0
[(x − y 2)
2 +3
4 y
+3]>0;3(x2+y2)≥0 ⇒(x+y)≤0⇒a+b ≤2
BÀI TẬP: Bài 40:
Đặt: x=a −1 ; y=b −1 ; z=c −1 Suy : x , y , z [−1;1] ;x + y + z = Ta có:
a2+b2+c2=(− z)2+z2+3 Bài 41:
a=x+1⇒b=1− x
a5+b5=(1+x)5+ (1− x)5=2+10x2+10x4 Bài 42:
Đặt a=x+1⇒b=y+1⇒c=1− x − y
a2+b2+c2+ab+bc+ca=(x+ y 2)
2 +3b
(8)Bài 43:
Đặt c=a+x⇒d=b − x c2+d2+cd=(a −b+x
2)
+3x +3 ab
Bài 44: Cho a,b thoả mãn: a+b ≥2 Chứng minh rằng: Đặt a = x + ⇒ b = - x.Ta có :
a4
+b4− a3−b3=(x+1)3x+(x −1)3x 2x2(x2
+1)
Bài 47: Cho a , b > 0.Thoả mãn a + b = Chứng minh rằng: ab2 +
a2
+b2≥14 Bài 48: Cho a + b + c + d =
Chứng minh rằng: (a+c) (b+d)+2ac+2 bd≤1 Bài 49: Cho a + b = b
Chứng minh rằng: 27a2 + 10b2 > 945.
II MỘT CÁCH KHÁC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN: Dạng: Cho A ≥ B Chứng minh C ≥ D
Ta chứng minh (C − D)+(B − A)≥0
Từ (B − A)≤0⇒(C − D)≥0
Ví dụ 18: Cho a + b Chứng minh rằng: a2+b2≥1 Giải:
(a2
+b2−1
2)+(1− a −b)
(a2− a+1 4)+(b
2 − b+1
4)=(a − 2)
2
+(a −1 2)
2 ≥0 Nhưng a + b nên a2+b2≥1
2 Đẳng thức xảy a = b = 0,5
Ví dụ 19: Cho a,b thoả mãn: a+b ≥2 Chứng minh rằng: a3+b3≤ a4+b4
Giải:
(a4+b4)−(a3+b3)+2−(a+b)
a3
(a −1)+b3(b −1)−(a −1)−(b −1) (a −1)(a3−1
)+(b −1)(b3−1 )
(a −1)2(a2+a+1)+(b −1)2(b2+b+1) Do (a2+a+1)>0 (b2+b+1)>0 Nên (a4+b4)−(a3+b3)+2−(a+b)≥0
Mà a+b ≥2 Suy ra: a3+b3≤ a4+b4 .Đẳng thức xảy khi a = b =
Bài tập áp dụng
Bài 50: Cho x , y số dương thoả mãn x3+y4≤ x2+y3 Chứng minh rằng: a) x3+y3≤ x2+y2
b) x2+y3≤ x+y2
Bài 51:Chứng minh rằng: Nếu a+b+c ≥3 Thì a4+b4+c4≥ a3+b3+c3
Bài 52: Cho x2
+y2≤ x+y Chứng minh rằng: x+y ≤2
Bài 53: Cho x3+y3=x − y Chứng minh rằng: x2+y2<1 Bài 54: Cho ab Chứng minh rằng: a2
+b2≥ a+b
Bài 55: Cho x2
(9)III ÁP DỤNG BĐT a12
x1+ a22
x2+ + an2
x ≥
(a1+a2+ +an)
x1+x2+ +xn Bài 56: Cho số dương x,y thoả mãn x + y = Chứng minh rằng: xy1 +
x2
+y2≥8
Bài 57: Cho số dương x,y,z,t thoả mãn x + y + z + t = Chứng minh rằng:
x+ y+
1 z+
1 t ≥16
Bài 58: Cho số dương a,b,c,d Chứng minh rằng: a+ca+b+b+d
b+c+ c+a c+d+
d+b d+a≥4 Bài 59: Cho số dương x,y,z Chứng minh rằng:
1 x+3y+
1 y+3z+
1 z+3x≥
1 x+2y+z+
1 y+2z+x+
1 z+2x+y
Bài 60: Cho số dương a,b,c thoả mãn abc = ab + bc + ca Chứng minh rằng: a+21b
+3c+ b+2c+3a+
1 c+2a+3b<
(10)(11)Tiết 45-
1 Cho tam giác ABC Gọi O điểm thuộc miền tam giác Gọi M,N,P,Q trung điểm đoạn thẳng OB,OC,AC,AB
a Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành
b Để tứ giác hình chử nhật điểm O nằm đường đặc biệt tam giác ABC
2 Cho Cho hình bình hành ABCD ,đường chéo lớn AC Tia Dx cắt AC, AB, BC I,M,N Vẽ CE vng góc với AB, CF vng góc với AD, BG vng góc với AC Gọi K điểm đối xứng D qua I Chứng minh :
a. IM.IN = ID2
b. KMKN =DM DN
c. AB.AE + AD.AF = AC2
3 Cho tam giác ABC ,trung tuyến CM, Qua điểm Q AB vẽ đường thẳng song song với CM, Đường thẳng d cắt BC R cắt AC P Chứng minh QA.QB = QP.QR tam giác ABC vuông C
4 Cho tam giác ABC có ∠ A + ∠ B = 1800 Tính số đo cạnh tam giác
biết số đo số tự nhiên liên tiếp
5 Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh CD BC lấy M,N cho BM = DN Gọi I giao điểm BM DN Chứng minh IA phân giác góc DIB
6 Cho tam giác ABC (BC<AB) Từ C vẽ dường vng góc với phân giác BE F cắt AB K; vẽ trung tuyến BD cắt CK G Chứng minh DF qua trung điểm GE
7 Cho hình thoi ABCD có góc A = 600 Gọi M điểm thuộc cạnhAD Đường thẳng CM
cắt đường thẳng AB N
a Chứng minh AB2 = DM.BN.
b BM cắt DN P Tính góc BPD
8 Cho tam giác ABC , M điểm nằm cạnh BC Chứng minh MA.BC< MC.AB + MB.AC
9 Cho tam giác ABC cân A Một điểm M thuộc cạnh BC Kẻ MD vng góc với AB, ME vng góc với AC Chứng minh tổng MD + ME không phụ thuộc vào vị trí điểm M cạnh BC
10 Cho hình bình hành ABCD (AB>AD) Từ C kẻ CE CF vng góc với đường thẳng AB,AD
Chứng minh AB.AE + AD.AF = AC2
11 Cho Cho tam giác ABC với đường phân giác AD,BE,CF Chứng minh a DBDC.EC
EA FA FB=1 b AD1 +
BE+ CF>
1 BC+
1 CA+
1 AB
12 Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH, trung tuyến BM,phân giác CD cắt điểm Chứng minh :
a BHHC.CM MA
(12)13 Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớnhơn đường chéo BD Gọi E F hình chiếu B Dxuống đường thẳng AC
a tứ giác BEDF hình gì?
b Gọi CH CK Đường cao tam giác ACB ACD Chứng minh CHCB =CK
CD
2 Hai tam giác CHK ABC đồng dạng Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2
14 Cho tam giác ABC có góc nhọn, đường cao AD,BE,CF cắt H Chứng minh :
a Δ FHE đồng dạng Δ BHC
b H giao điểm đường phân giác tam giác FED
15 Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Cho biết AH = CH = a Tính AC AB
b Vẽ đường phân giác góc A tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABD 16 Cho hình thang ABCD có AD//BC BC = 10, AD = 6, AB = 4, CD = Các đường
phân giác ògóc A B cắt M Các đường phân giác góc C D cắt N Tính MN
17 Cho hình thang ABCD (AB//CD) điểm M nằm tứ giác ABCD, vẽ hình bình hành MDPA,MCQB Chứng minh PQ//CD
18 Cho tứ giác lồi ABCD Trên cạnh AB CD ta lấy điểm E F cho : AE
BE = CF
DF Chứng minh đường chéo AC qua Trung điểm I đoạn thẳng FE AC chia đơi diện tích tứ giác ABCD
19 Cho hình thoi ABCD biết góc A = 1200.Tia Ax tạo với tia AB góc Bax 150.và cắt
cạnh BC M,cắt đường thẳng CD N Chứng minh : AM2+
3 AN2=
4 AB2 a
20 Cho hình vng ABCD có M,N P,Q Trung điểm AB,BC,CD,DA Đường thẳng AN cắt DM,BP I,J Đường thẳng CQ cắt BP,DM H K Tứ giác ỊHK hình gì?
21 Cho hình bình hành ABCD Vẽ phân giác AM góc A, vẽ phân giác Cắt góc C Các phân giác góc A C cắt BD E F Chứng minh diện tích tứ giác FNAE FEMC
22 Cho hình thang ABCD (AB//CD; AB<CD) Gọi M,N Trung điểm BC AD Gọi I Trung điểm MN Một đường thẳng qua I cắt cạnh AB,CD E F Chứng minh hai tứ giác FDAE FCBE có diện tích 23 Cho tam giác ABC có góc nhọn đường cao AM BN cắt H Gọi D
điểm đối xứng với H qua Trung điểm I BC a tứ giác BHCD hình gì?
b Chứng minh góc BDC BAC bù
24 Cho hình thang ABCD có cạnh đáy dài cm 11 cm, góc cạnh bên cạnh đáy lớn 450 Tính diện tích hình thang
25 Cho tam giác ABC có góc nhọn , BD CE đường cao cắt H Chứng minh :
a HD.HB = HE.HC
b Δ HDE đồng dạng Δ HCB c BC2 = BH.BD + CH.CE
26 Cho hình thang cân ABCD với AB//CD Gọi I,J,K,Vuông Trung điểm AB,BC,CD,DA
a Tứ giác ỊKL hình gì?
(13)27 Cho tam giác ABC (góc A = 900) D điểm di động cạnh BC Gọi E,F
hình chiếu điểm D lên AB,AC
a Xác định vị trí điểm D để tứ giác FAED hình vng b Xác định vị trí điểm D để tổng 3AD + 4FE đạt giá trị nhỏ
28 Cho tam giác ABC cân Cạnh Kẻ đường phân giác AA1 góc A đường trung
tuyến CC1 tam giác Biết AA1 = 2CC1.Tính số đo góc ACB
29 Cho tam giác ABC có góc nhọn AD đường phân giác Chứng minh : AD2 <
AB.AC
30 Trên cạnh AB BC hình vng ADBC lấy điểm P Q theo thứ tự cho BP = BQ Gọi H chân đường vng góc kẻ từ B xuống CP Chứng minh góc DHQ = 900
31 Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi M,N theo thứ tự Trung điểm cạnh AB,BC
a Tính theo a diện tích tứ giác AMND
b Phân giác góc CMD cắt BC P Chứng minh DM = AM + CP
32 Cho tam giác ABC có góc A = 900., D điểm nằm A C Qua C dựng CE
BD E Chứng minh
a Δ ADE đồng dạng Δ BDC b.AB.CE + AE.BC = AC.BE
33 Cho tam giác ABC , gọi D điểm thuộc cạnh BC Chứng minh : AB2.CD +
AC2.BD - AD2.BC = CD.BD.BC ( Hệ thức Stewart).
34 Cho tứ giác ABCD Gọi M,N,P,Q Trung điểm AB,BC,CD,DA a Chứng minh NQ≤AB+CD
2
b Trong trường hợp NQ=AB+CD
2 tứ giác ABCD hình gì? Trong trương hợp vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD E, cắt MP O cắt BC F Chứng minh O Trung điểm FE
35 Cho hình vng ABCD Trên cạnhBC lấy điểm M Gọi P giao điểm đường thẳng AM CD Chứng minh :
AB2= AM2+
1 AP2
36 Cho hình vng ABCD , điểm M thuộc cạnh BC, đường thẳng AM cắt DC K Chứng minh :
AB2= AM2+
1 AK2
37 Cho tam giác ABC có trung tuyến, AD BE vng góc với O Cho AC = b,BC = a Tính diện tích hình vng có cạnh AB
38 Cho tứ giác ABCD, gọi F,E Trung điểm AD,BC a Tìm điều kiện tứ giác để : FE=AB+CD
2
(14)