1. Trang chủ
  2. » Cao đẳng - Đại học

loài chim âm nhạc 4 trần ngọc hiền thư viện tư liệu giáo dục

29 16 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 29
Dung lượng 102,64 KB

Nội dung

Xác định k để hình phẳng trên có diện tích nhỏ nhất. Bài làm (hình 1b)[r]

(1)

CHUN ĐỀ TÍCH PHÂN

Bảng cơng thức tích phân bất định :

∫0 dx=C ∫dx=x+C

xndx=x

n+1

n+1+C n ≠ −1 ∫

1

xdx=ln|x|+C

exdx=ex+C ∫axdx= a

x lna C

∫sin xdx=−cosx+C ∫cos xdx=sinx+C

cos2x dx=tanx+C

1

sin2x dx=−cotx+C

u '

(x)

u(x)dx=ln|u(x)|+C

1

x2− a2dx= 2aln|

x − a x+a|+C

∫√x2

+adx=x

2√x

+a+a

2ln|x+x

2+a|+C

Phương pháp biến số phụ :

Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a ;b] có nguyên hàm F(x)

Giả sử u(x) hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [α , β] có miền giá trị [a ;b] ta có :

f[u(x)].u '(x)dx=F(x)[u(x)]+C

BÀI TẬP Tính tích phân sau :

a) I1=∫

0

xdx

x2+1 b) I2=∫0

1

exdx

ex−1 c) I3=∫1

e

√1+lnxdx x

Bài làm :

a) Đặt t=x2+1dt=2 xdxxdx=dt

2 Đổi cận :

¿ x=0→ t=1

x=1→t=2 ¿{

¿

Vậy :

xdx

x2+1=

1 2∫1

2

dt

t =

1

2lnt∨¿1

=1

2ln

I1=∫

¿

(2)

Đổi cận :

¿

x=1→ t=e −1

x=2→t=e21

¿{ ¿

Vậy : dt

t =lnt∨¿e −1 e2−1

=ln(e+1) I2=∫

0

exdx

ex−1=∫ e−1 e2−1

¿

c) Đặt t=1+lnx⇒tdt=1 xdx

Đổi cận :

¿ x=1→ t=1 x=e → t=2

¿{ ¿

tdt=2

3t 2∨¿

1

=2

3(2√21)

I3=∫

1 e

√1+lnxdx

x =∫1

2

¿

Tích phân lượng giác : Dạng : I=∫

α β

sin mx cos nxdx

Cách làm: biến đổi tích sang tổng Dạng : I=∫

α β

sinmx cosnx dx Cách làm :

Nếu m ,n chẵn Đặt t=tanx

Nếu m chẵn n lẻ Đặt t=sinx (trường hợp cịn lại ngược lại) Dạng : I=∫

α β

dx

a sinx+b cosx+c

Cách làm :

Đặt :

t=tanx

2 sinx= 2t

1+t2 cosx=1− t

2 1+t2 ¿{

Dạng : I=∫

α β

(3)

Cách làm :

Đặt : ca sin.sinxx++db cos cosxx=A+B(c cosx − d sinx) c sinx+d cosx

Sau dùng đồng thức Dạng 5: I=∫

α β

a sinx+b cosx+m c.sinx+d.cosx+n dx

Cách làm :

Đặt : ac sin.sinxx+b cosx+m

+d.cosx+n=A+

B(c cosx − d sinx) c sinx+d cosx+n +

C

c sinx+d cosx+n

Sau dùng đồng thức

BÀI TẬP Tính tích phân :

a)

sinx+1¿4 ¿ ¿

cos xdx

¿ I1=∫

0 π

¿

b) I 2=∫

0 π

cos5xdx c) I3=∫

0 π

tan6xdx

Bài làm :

a) Đặt : t=sinx+1dt=cos xdx

Đổi cận :

¿ x=0→ t=1 x=π

2 →t=2

¿{ ¿

Vậy :

sinx+1¿4 ¿ ¿

cos xdx

¿ I1=∫

0 π

¿

b) Đặt : t=sinx⇒dt=cos xdx

Đổi cận :

¿ x=0→ t=0 x=π

2 →t=1

(4)

Vậy : I2=∫0 π

cos5xdx=∫

0

(1−t2)2dt=∫

0

(1+t42t2)dt

(t55 3t

3

+t)¿01=

15 c) Đặt : t=tanx⇒dt=(tan2x+1)dx

Đổi cận :

¿ x=0→ t=0 x=π

4 →t=1

¿{ ¿

Vậy :

I3=∫

0 π

tan6xdx

=∫

0

t6dt

t2

+1=∫0

(t4−t2

+1

t2

+1)dt

(t55

t3

3+t)¿0

0 π

du=13

15

π

4

Tính tích phân sau : a) I

1=∫ π

sinx cosx

a2 sin2x

+b2 cos2x

dx b) I2=∫

0 π

cosx

√2+cos 2xdx

Bài làm :

a) Đặt : t=a2 sin2x+b2 cos2x⇒dt=2(− b2+a2)sinx.cos xdx

Đổi cận :

¿ x=0→ t=a2 x=π

2 →t=b

¿{ ¿

Nếu |a||b|

Vậy : I1=∫0 π

2

sinx cosx

a2 sinx+b2 cosxdx=

1 2(b2− a2)∫a2

b2

dt

t

¿

b2− a2√t¿a2

b2

=|a||b| b2− a2=

1

|a|+|b|

(5)

Vậy :

sinx cosx

a2 sin2x+b2 cos2xdx=¿∫ π

sinx cos xdx

|a|

I1=∫

0 π

¿

2|a|∫0 π

sin xdx=−

4|a|cos 2x¿0

π

=

2|a|

b) Đặt : t=sinx⇒dt=cos xdx

Đổi cận :

¿ x=0→t=0 x=π

3 →t=

√3

¿{ ¿

Vậy : I2=∫

0 π

cosx

√2+cos 2xdx=∫0

√3

dt

√32t2=

1

√2∫0

√3

dt √32− t

2

Đặt : t=√3

2cosu⇒dt=−√

2sin udu

Đổi cận :

¿ t=0→ u=π

2

t=√3

2 →u=

π

4

¿{ ¿

Vậy :

¿ I2=

√2∫0

√3

dt √32− t

2

=

√2∫π π √3

2 sin udu √32(1cos

2

u)

√2∫π π

du=

√2u∨¿π4 π

= π

4√2

Tính tích phân sau : a) I

1=∫ π

1

4 sinx+3 cosx+5dx b) I2=∫

0 π

sinx+7 cosx+6

4 sinx+3 cosx+5dx

Bài làm :

a) Đặt : t=tan x

2dt=(tan 2x

2+1)dxdx= dt

t2

(6)

Đổi cận :

¿ x=0→ t=0 x=π

2 →t=1

¿{ ¿

Vậy :

I1=∫

0

1

1+t2

4 2t 1+t2+3

1− t2 1+t2+5

dt=∫

0

dt

(t+1)2

t+2¿0

1

=1

6

b)Đặt : sin4 sinx+x7 cos+3 cosx+x+65=A+B cosx −3 sinx

4 sinx+3 cosx+5+

C

4 sinx+3 cosx+5

Dùng đồng thức ta được: A=1, B=1, C=1

Vậy : I2=∫0 π

2

sinx+7 cosx+6

4 sinx+3 cosx+5dx=∫0 π

(1+ cosx −3 sinx

4 sinx+3 cosx+5+

1

4 sinx+3 cosx+5)dx ¿(x+ln|4 sinx+3 cosx+5|)¿0

π

+I1=π

2+ln 8+

1 Bạn đọc tự làm :

a) I1=∫

π π

cos3x

sinx dx b) I2=∫ π

cos3x sin xdx c) I3=∫ π

dx sinx+2

c) I 3=∫

0 π

4 sin3x

cosx+1 dx d) I5=∫ π

1

sinx+2 cosx+3 dx

d) I 6=∫

0 π

sinx −cosx+1 sinx+2cosx+3 dx Tính nguyên hàm,tích phân hàm hữu tỷ

Dạng : I=∫dx

(x −a)n=−

1

n−1

(x − a)n−1+C với (a , n)∈C ×(N −{0,1}) ta có :

Nếu n=1, a∈R ta có : I=∫dx

x −a=ln|x|+C

Dạng : I=∫ αx+β

(ax2

+bx+c)ndx :

¿

α , β , a , b , c∈R Δ=b24 ac<0

¿{ ¿

* Giai đoạn : α ≠0 ,làm xuất tử thức đạo hàm tam thức ax2

+bx+c

, sai khác số :

I= α

2a

2 ax+b+2

α −b

(ax2+bx+c)n dx=

α

2a

2 ax+b

(ax2+bx+c)ndx+

α

2a(

2

α −b)∫

dx

(7)

* Giai đoạn :

Tính I=∫dx(ax2+bx+c)ndx=( 4a − Δ)

n− Δ

2a

t=2 ax+b

− Δ dt

(1+t2)n * Giai đoạn :

Tính I=∫

(t2+1)n

dt tính hai phương pháp , truy hồi đặt t=tanφ

Dạng : I=Pm(x)

Qn(x) dx Ta có : Pm(x)

Qn(x)=

amx m

+ +a1x+a0 bnxn+ +b1x+b0

Nếu : deg(P)≥deg(Q) ta thực phép chia Pm(x) Qn(x)

=A(m −n)(x)+Rr(x) Qn(x)

phân số Rr(x)

Qn(x)

có deg(R)<deg(Q)

Nếu : deg(P)<deg(Q) ta có qui tắc sau :

*Qt 1: Pm(x)

(x −a)n= A1

(x −a)+ .+

An −1 (x − a)n −1+

An (x − a)n

Vdụ 1a :

Pm(x)

i=1

n

(x − ai) i

=∑

i=1

n A

i (x −ai)

i

Vdụ 1b :

x − c¿2 ¿ (x − a)(x − b)¿

Pm(x) ¿

*Qt 2': Pm(x) (ax2+bx+c)n

= A1x+B1

(ax2

+bx+c)+ +

An −1x+Bn−1

(ax2+bx+c)n −1

+ Anx+Bn

(ax2+bx+c)n với Δ<0

*Qt 3: Pt(x)

(x −α)m(ax2+bx+c)n

=∑

i=1

m A

i

(x − α)i+∑k=1

n A

ix+B1 (ax2+bx+c)i

Vdụ : Pt(x)

(x − α)(ax2+bx+c)= A x − α+

Bx+C

(ax2+bx+c)

Vdụ : Pt(x)

(x −α)(ax2

+bx+c)2

= A

(x −α)+

B1x+C1

(ax2+bx+c)+

B2x+C2

(ax2

+bx+c)2

(8)

a) I1=∫

0

dx

x2+3x+2 b) I2=∫0

dx (x2

+3x+2)2

Bài làm : a) I1=∫

0

dx

x2+3x+2=∫0

dx

(x+1)(x+2)=∫0

(x1+1

1

x+2)dx

¿[ln|x+1|ln|x+2|]0

=ln4

3 b) I2=∫

0

dx

(x2+3x+2)2

dx=∫

0

[(x+11)2+

1

(x+2)2

2

(x+1) (x+2)]dx ¿[

x+1

x+22(ln|x+1|ln|x+2|)]0

=OK

Tính tích phân sau : a) I1=∫

0

dx

x4

+3x2+3 b) I2=∫0

4x −2 (x2

+1)(x+2)dx

Bài làm :

a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh I0=∫dx x2+a2=

1

aarctan x

a+C với a>0 I1=∫

0

dx

x4

+3x2+3=∫0

dx (x2

+1) (x2+3)=

1 2∫0

1

(x21

+1

1

x2

+3)dx ¿1

2(arctanx −

√3arctan

x

√3)¿0

=π

2(92√3) b) Đặt : 4x −2

(x+2)(x2+1)= A x+2+

Bx+C x2

+1 =

x2

(A+B)+x(2B+C)+2C+A (x+2)(x2+1)

Do ta có hệ :

¿ A+B=0

2B+C=4 2C+A=0

¿A=−2

B=2

C=0

¿{ { ¿

Vậy : I2=∫

0

4x −2

(x2+1)(x+2)dx=∫0

( x+2+

2x x2

+1)dx ¿[2 ln|x+2|+ln|x2+1|]01=−2 ln 3+ln 2+ln2ln1=ln4

(9)

Bạn đọc tự làm : a) I1=∫

2

x+1 x2

(x −1)dx b) I2=∫2

dx

x2

+2x −3

c) I3=∫

1

x31

4x3− xdx d) I3=∫√3

x

x43x2+2dx

HD:

a) x2x(x −+11)= A

x+ B x2+

C

x −1 b)

1

x2

+2x −3= A x −1+

B x+3 c) x

31 4x3− x=

1 4(1+

x −4

x(2x+1) (2x −1)) d)

x

x43x2+2= A x −1+

B x+1+

C x+√2+

D x −√2 Đẳng thức tích phân :

Muốn chứng minh đẳng thức tích phân ta thường dùng cách đổi biến số nhận xét số đặc điểm sau

* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận + cận dưới, …

Chúng ta cần phải nhớ đẳng thức nầy xem bổ đề áp dụng BÀI TẬP

Chứng minh : ∫

xm(1− x)ndx=∫

0

xn(1− x)mdx

Bài làm : Xét I=

0

xm(1− x)ndx

Đặt : t=1− x⇒dt=−dxdx=−dt

Đổi cận :

¿ x=0→ t=1

x=1→ t=0 ¿{

¿

Vậy : I=∫

0

xm(1− x)ndx=−∫

1

(1−t)mtndt=∫

0

(1−t)mtndt (đpcm)

Chứng minh f (x) hàm lẻ liên tục đoạn [−a , a] : I=∫

−a a

f(x)dx=0

(10)

I=∫

−a a

f(x)dx=∫

− a

f(x)dx+∫

0 a

f(x)dx(1)

Xét ∫ − a

f(x)dx Đặt t=− xdt=−dxdx=−dt

Đổi cận :

¿

x=− a→ t=a

x=0→ t=0 ¿{

¿

V ậy : ∫ − a

f(x)dx=∫

0 a

f(− t)dt=−∫

0 a

f (t)dt

Thế vào (1) ta : I=0 (đpcm)

Tương tự bạn đọc chứng minh : Nếu f(x) hàm chẳn liên tục

đoạn [−a , a] I=∫

−a a

f(x)dx=2∫

0 a

f(x)dx

Cho a>0 f(x) hàm chẵn , liên tục xác định R

Chứng minh : ∫ −α α

f(x)

ax+1dx=∫0 α

f(x)dx

Bài làm : ∫ −α α

f(x) ax

+1dx=∫− α

f(x) ax

+1dx+∫0 α

f(x) ax

+1dx(1)

Xét ∫ −α

f(x)

ax+1dx Đặt t=− xdt=−dxdx=−dt

Đổi cận :

¿

x=− α →t

x=0→t=0 ¿{

¿

Vậy : ∫ −α

f(x)

ax+1dx=∫0 α

f(− t) a− t+1dt=∫0

α

atf(t) at+1

Thế vào (1) ta : ∫ −α α

f(x)

ax+1dx=∫− α

axf(x) ax+1 dx+∫0

α

f(x)

ax+1dx=∫0 α

f(x)dx (đpcm)

Cho hàm số f(x) liên tục [0,1] Chứng minh : ∫

0 π

x.f(sinx)dx=π

2∫0 π

f(sinx)dx

Bài làm : Xét ∫

0 π

(11)

Đổi cận :

¿ x=0→ t=π x=π → t=0

¿{ ¿

Vậy : ∫ π

x.f(sinx)dx=∫

0 π

(π − t).f[sin(π − t)]dt=∫

0 π

(π −t).f (sint)dt ¿π

0 π

f(sint)dt

0 π

t.f(sint)dt

2∫ π

x.f (sinx)dx=π∫

0 π

f(sinx)dx

π

x.f(sinx)dx=π

2∫0 π

f(sinx)dx

Từ tốn , bạn đọc mở rộng toán sau

Nếu hàm số f(x) liên tục [a , b] f(a+b − x)=f (x) Thì ta ln có :

a b

x.f(x)dx=a+b

2 ∫0 π

f(x)dx

Cho hàm số f(x) liên tục,xác định , tuần hồn R có chu kì T

Chứng minh : ∫ a a+T

f(x)dx=∫

0 T

f (x)dx

Bài làm :

f(x)dx=¿∫

a

f(x)dx+∫

0 T

f(x)dx+∫

T a+T

f(x)dx

a a+T

f(x)dx=∫

a T

f(x)dx+∫

T a+T

¿

Vậy ta cần chứng minh ∫ a

f(x)dx=∫

T a+T

f (x)dx

Xét ∫ a

f(x)dx Đặt t=x+T⇒dt=dx

Đổi cận :

¿

x=0→t=T

x=a → t=a+T

¿{ ¿

Vậy : ∫ T a+T

f(t −T)dt=∫

T a+T

f(t)dt

Hay : ∫ a a+T

f(x)dx=∫

0 T

f(x)dx (đpcm)

(12)

Nếu hàm số f(x) liên tục,xác định , tuần hoàn R có chu kì T , ta

ln có : ∫ T

f(x)dx=∫

−T T

f(x)dx

Bạn đọc tự làm : a) I1=∫

0

x(1− x)6dx b) I2=∫ −1

sin2x cosxln(x+

x2

+1)dx

c) I3=∫

0 π

x sinx

9+4 cos2xdx d) I4=∫0 π

x sinx

1+cos2xdx

e) I5=∫

−π π

x2

|sinx|

1+2x dx f) I6=∫−1

x2+sinx

1+x2 dx

g) I❑7

=∫

0 2π

ln(sinx+√1+sin2x)dx h) I❑8

= ∫

0 2009π

√1cos 2xdx

Tích phân phần :

Cho hai hàm số u v có đạo hàm liên tục đoạn [a , b] , ta có : ∫

a b

udv=[uv]¿ab−

a b

vdu

Trong lúc tính tính tích phân phần ta có ưu tiên sau :

*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit phải đặt u=lnx hay u=logax *ưu tiên : Đặt u=?? mà hạ bậc

BÀI TẬP

Tính tích phân sau : a) I1=∫

0

x.exdx b)

I2=∫

0 π

x2 cos xdx c) I3=∫ e

ln xdx

Bài làm : a) Đặt :

¿

u=x⇒du=dx

dv=exdx⇒v=ex

¿

{

¿

Vậy : I1=∫

0

x.exdx

=x.ex¿10

0

exdx=e −ex

(13)

b) Đặt :

¿ u=x2du

=2 xdx

dv=cos xdx⇒v=sinx ¿

{ ¿

Vậy :  

1 sin

sin

cos

0

0

2

0

0

1∫   ∫   ∫

 

 

xdx x

xdx x

x x dx e x

I x

Ta tính tích phân ∫ π

x sin xdx

Đặt :

¿ u=x⇒du=dx

dv=sin xdx⇒v=−cosx ¿

{ ¿

Vậy : ∫ π

x sin xdx=− x cosx¿0

π

+∫ π

cos xdx=− x cosx¿0

π

+sin¿0

π

=1 Thế vào (1) ta : I1=∫

0

x.exdx=π

2

8

c) Đặt :

¿ u=lnx⇒du=1

xdx

dv=dx⇒v=x ¿ { ¿

Vậy : I3=∫

1 e

ln xdx=x lnx¿1e−

1 e

dx=x lnx¿1e− x¿0e=1

Tính tích phân sau : a) I1=∫

0 π

ex sin xdx b) I 2=∫

0 π

x

cos2x dx c)

I3=∫

1

cos(lnx)dx

Bài làm : a) Đặt :

¿

u=ex⇒du=exdx dv=sin xdx⇒v=−cosx

¿

{

¿

Vậy : I1=∫

0 π

ex sin xdx=− ex cosx

¿0π+∫

0 π

ex.cos xdx=eπ

(14)

Đặt :

¿ u=ex⇒du

=exdx

dv=cos xdx⇒v=sinx ¿

{ ¿

Vậy : J=∫

0 π

ex cos xdx=ex sinx¿0π−

0 π

ex sin xdx=− I

Thế vào (1) ta : 2I1=eπ+1⇒I1=e π

+1

2

b) Đặt :

¿ u=x⇒du=dx

dv=

cos2x dx⇒v=tanx ¿

{ ¿

Vậy :

tan xdx=¿π

4+ln(cosx)¿0 π

=π

4+ln√ 2

I2=∫

0 π

x

cos2x dx=x tanx¿0 π 4

π

¿

c) Đặt :

¿ u=cos(lnx)du=−1

xsin(lnx)dx

dv=dx⇒v=x ¿ { ¿

Vậy : I3=∫

1

cos(lnx)dx=x cos(lnx)¿1+∫

1

sin(lnx)dx=−(+1)+J

Đặt :

¿ u=sin(lnx)du=1

xcos(lnx)dx

dv=dx⇒v=x ¿ { ¿

Vậy : I3=∫

1

sin(lnx)dx=x.sin(lnx)¿1eπ−

1

cos(lnx)dx=0− I3

Thế vào (1) ta : 2I3=−(e π

+1)⇒I3=−e

π

+1

2 Bạn đọc tự làm :

a) I1=∫ ln

x.e− xdx b) I2=∫ e

(1lnx)2dx

c) I3=∫

e

(ln12x

1

lnx )dx d) I4=∫

(15)

e) I5=∫

π π

sinx ln(tanx)dx f) I6=∫

1 e

cos2(lnx)dx

g) I❑7

=∫

0 π

x2cos 2x h) I❑7

=∫

0 π

1+sinx

1+cosxe

x dx

Tích phân hàm trị tuyệt đối, , max : Muốn tính I=∫

a b

|f(x)|dx ta xét dấu f(x) đoạn [a , b] , khử trị tuyệt đối Muốn tính I=∫

a b

max[f(x), g(x)]dx ta xét dấu f(x)− g(x) đoạn [a , b] Muốn tính I=∫

a b

min[f(x), g(x)]dx ta xét dấu f(x)− g(x) đoạn [a , b]

Tính tích phân sau : a) I1=∫

1

|x −2|dx b) I1=∫

|x2

+2x −3|dx

Bài làm :

x a)

x-2 - + Vậy : I1=∫

1

|x −2|dx=∫

(2− x)dx+∫

(x+2)dx=[2x −x

2 ]1

2 +[x

2

2 2x]2

4

¿[(42)(21

2)]+[(88)−(24)]= b) Lập bảng xét dấu x2

+2x −3, x∈[0,2] tương tự ta I1=∫

0

|x2

+2x −3|dx=−∫

0

(x2

+2x −3)dx+∫

1

(x2

+2x −3)dx

I1=[3x − x

−x

3 ]0

1

+[3x+x2+x

3 ]1

2

=4

Tính Ia=∫

0

(16)

Bài làm :

x − ∞ a +∞ x-a - +

(Từ bảng xét dấu ta đánh giá ) Nếu a ≤0

Ia=∫

x|x −a|dx=∫

0

(x2ax)dx

=[x

3

ax2 ]0

1

=1

3

a

2 Nếu 0<a<1

Ia=∫

0

x|x −a|dx=−∫

0 a

(x2ax)dx+∫

a

(x2ax)dx

¿[ax

2

x3

3 ]0 a

+[ax

2 +

x3

3 ]a

=1

3

a2

2 +

a3

2 Nếu a ≥1

Ia=∫

x|x −a|dx=−∫

(x2ax)dx=−[x

3

3 ax2

2 ]0

1 =−1

3+

a

2

Tính : a) I1=∫

0

min(1, x2)dx I 2=∫

0

max(x2, x)dx Bài làm :

a) Xét hiệu số : 1 x2 x0,2

Vậy : I1=∫

0

min(1, x2)dx=∫

0

x2dx+∫

1

dx=x

3 ¿0

2

+x¿12=4

3

b) Xét hiệu số : x(x −1)∀x∈[0,3] tương tự ta có

I2=∫

0

max(x2, x)dx=∫

0

xdx+∫

1

x2dx=x

2 ¿0

1

+x

3 ¿1

3

=55

6 Bạn đọc tự làm :

a) I1=∫

−2

min(x , x23)dx b) I 2=∫

0 π

max(sinx,cosx)dx c) I3=∫

0 3π

4

|sinx −cosx|dx d) I4=∫

2

max(x2,4x −3)dx d) I❑4

=∫

1

(√x+2√x −1+√x −2√x −1)dx

Nguyên hàm , tích phân hàm số vô tỷ :

(17)

¿ a>0

Δ<0

ax2

+bx+c=− Δ

4a[1+(

2 ax+b

− Δ )

2 ]

¿{ ¿

R(x ,√ax2+bx+c)dx= ∫

t=2 ax+b

− Δ

S(t ,√1+t2)dt

Tới , đặt t=tanu

Dạng 2:

¿ a<0

Δ<0

ax2

+bx+c=− Δ

4a [1(

2 ax+b

− Δ )

2 ]

¿{ ¿

R(x ,√ax2+bx+c)dx= ∫

t=2 ax+b

− Δ

S(t ,√1− t2)dt

Tới , đặt t=sinu

Dạng 3:

¿ a>0

Δ>0

ax2

+bx+c= Δ

4a[(

2 ax+b

− Δ )

2

1]

¿{ ¿

R(x ,√ax2+bx+c)dx= ∫

t=2 ax+b

Δ

S(t ,t21)dt

Tới đây, đặt t=

sinu

Dạng (dạng đặc biệt) : ∫dx(αx+β)√ax2

+bx+c

= ∫

t=αx1 +β

dt

αt2

+μt

Một số cách đặt thường gặp :

S(x ,a2− x2)dx đặt x=a cost0≤ t ≤ πS(x ,a2

+x2)dx đặt x=a tant −π2<t<π2

x x adx

S

∫ , 

đặt x=cosat t ≠π2+

S(x ,√ax2

+bx+c)dx đặt

√ax2

+bx+c=xt±c ; c>0 ¿

√ax2+bx+c=t(x − x0);ax0+bx0+c=0

¿

√ax2+bx+c=±√a.x ±t ;a>0 ¿

(18)

S(x ,m√ax+b

cx+d ) đặt t=

m √ax+b

cx+d;adcb0

Tính : I=∫dx

√(x2+4x+7)3

Bài làm : ∫dx

√(x2+4x+7)3

= ∫

t=x+2 dt

√(t2+3)3

Đặt : t=√3 tanu⇒dt=√3(tan2u+1)du

Ta có

√3(tan2u+1)du 3√3 √(tan2u+1)3

=¿1

3√3 tan∫ucos udu

I= ∫

√3 tanu

¿ ¿1

3sinu+C=

t

t2+1+C=

1

x+2

x2+4x+7+C

Tính : a) I=∫xdx

x2+x+1 b) I=∫

dx

xx22x −1 Bài làm :

a)

xdx

x2

+x+1=¿∫

xdx

√(x+1

2)

2 +3

4

=1

2 ∫

t=2x+1

√3

√3t −1

t2 +1 dt ∫¿

I=1

2 ∫ t=2x+1

√3

√3t −1

t2+1

dt=√3

2 √t

+11

2ln(t+√t

+1)+C ¿√x2+x+11

2+ln(x+ 2+√x

2

+x+1)+C

b)Đặt : x=1

t dx=−

dt

t2

dt

√2(t+1)2

=¿−arcsint+1

√2 +C

I=∫dx

xx22x −1=−x∫=1 t

¿

¿arcsin

1

x+1

√2 +C=−arcsin

x+1

(19)

Tìm nguyên hàm sau a) I=∫dx

√1+x+√31+x b) I=∫

dx

x+1+√x+1

Bài làm :

a)Đặt : t=√61+x⇒t6=1+x⇒6t5dt=dx

Vậy : I=∫dx

√1+x+√31+x=6t=∫6√1+x

t5dt

t3

+t2=6t=∫6

√1+x(

t2−t+1 t+1dt) ¿2t33t2+6t −6 ln|t+1|+C

2√1+x −3√31+x+6√61+x −6 ln|√61+x+1|+C

b) I=∫dx

x+1+√x+1=∫

1+√x −x+1 2√x dx=

1 2∫(x

1

+1)dx1

2∫√

x+1

x dx

¿1

2x+x − 2∫√

x+1

x dx(1)

Xét ∫√x+1

x dx Đặt : t=√

x+1

x ⇒x=

1

t21dx=− 2t

(t21)2dt Vậy : ∫√x+x1dx=2 ∫

t=√x+1

x

t2dt

(t −1)2=OK

Tìm nguyên hàm sau : a) I=∫

❑ ❑

x2.

x2

+9 dx b) I=16∫

❑ ❑

x2.

x2

+4 dx

Bài làm :

a)Đặt : √x2+9=x − t⇒x=t

2

9

2t dx= t2+9

2t2 dt

Vậy :

I1=∫

❑ ❑

(t2+9

2t2 ).(

− t29 2t )

(t29)2 4t2 dt=−

1 16∫❑

❑ (t481)2

t5 dt

¿

(t3162

t +

6561

t5 )dt=¿

1 16(

t4

4 162 ln|t| 6561

4t4 )+C

16∫❑ ❑

¿

16 (

(x −x2+9)4

4 162 ln|x −x

+9|6561

4(x −x2+9)4) +C ¿

b)Đặt : √x2

+4=x −t⇒x=t

2

4

2t dx= t2+4

(20)

I=16∫

❑ ❑

(t2+4

2t2 ).(

− t24 2t )

(t24)2

4t2 dt=−∫❑

❑ (t416)2

t5 dt

(t336

t +

256

t5 )dt=¿( t4

4 36 ln|t| 64

t4 )+C

❑ ❑

¿((x −x

2

+4)4

4 +36 ln|x −x

+4|64

(x −x2+4)4) +C

Tính tích phân sau : a) I1=∫

1

x − x2dx

b) I2=∫

−3 −8

dx

x√1− xdx

Bài làm :

x − x2dx

=¿1

2∫1

√1(2x −1)2dx I1=∫

1

¿

Đặt : 2x −1=sint⇒dx=1

2cos tdt

Đổi cận :

¿ x=1

2→ t=0

x=1→ t=π

2

¿{ ¿

Vậy :

(1+cos 2t)dt=¿1

8(1+

2sin 2t)¿0 π

cos2tdt

=¿1

8∫0 π

¿

I1=1

4∫0 π

¿ ¿1

8[(

π

20)(0+0)]=

π

16

(21)

Đổi cận :

¿

x=−3→ t=2

x=−8→ t=3

¿{ ¿

Vậy : I2=∫

−3 −8

dx

x√1− xdx=2∫2

tdt

(1−t2)t=2∫2

dt 1−t2 ¿ln|t −1

t+1|¿2

3=−

(ln1

2ln 1)=ln

Bạn đọc tự làm : a) I1=∫

dx

xx2

+1 b) I2=∫√4x − x

2dx c) I 3=∫

dx

√(x2

+4)3

d) I4=∫√1+x2dx d) I❑5

=∫ 1+√x

2

1

1x21dx d) I

❑6

=

1+√x2+1dx Bất đẳng thức tích phân :

Nếu f(x)≥0∀x∈[a ,b]

a b

f (x)dx0

Nếu f(x)≥ g(x)∀x∈[a , b]a b

f(x)dx

a b

g(x)dx

Nếu m≤ f(x)≤∀x∈[a , b]⇒m(b − a)≤

a b

f (x)dx≤ M(b − a)

Trong trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GM Và bước chặn sinx,cosx

BÀI TẬP Chứng minh bất đẳng thức sau :

a) ∫

x(1− x)dx1

4 b) 5∫1

2

x x2+1dx

1

2 c) ∫0

(√1+x+√1− x)dx2

Bài làm:

a)Áp dụng AM-GM ta có :

x(1− x)≤[x+(1− x)

2 ]

2

=1

4∀x∈[0,1] Vậy : ∫

0

x(1− x)dx1

4∫0

dx=1

(22)

b) Xét hàm số : f(x)= x x2

+1∀x∈[1,2]

Đạo hàm :

x=1

¿

x=−1

¿ ¿ ¿ ¿ ¿f

'

(x)= 1− x

2

(x2+1)2 f'(x)=0

¿

Ta có :

¿ f(1)=1

2

f(2)=2

5

¿{ ¿

Vậy : 5

x x2+1

1

2∀x∈[1,2] 2

5∫1

dx

1

x x2

+1dx

1 2∫1

2 dx 2

5∫1

x x2

+1dx

1 Áp dụng Bunhicopxki ta có :

√1+x+√1− x ≤√12+12√1+x+1− x=2∀x∈[0,1] Vậy : ∫

0

(√1+x+√1− x)dx2(10)

(√1+x+√1− x)dx2 (đpcm) Chứng minh : ∫

1

√3

e− x sinx

x2

+1 dx< π

12e

Bài làm :

∀x∈[1,√3]⇒− x ≤ −1⇒e− x≤1

e

⇒e− x.sinx

x2

+1 <

1

e(x2+1) ∫1

√3

e− x.sinx

x2+1 dx<∫1

√3

e(x2+1)dx

Xét ∫

√3

e(x2+1)dx

(23)

Đổi cận :

¿ x=1→ t=π

4

x=√3→t=π

3

¿{ ¿

Do : ∫ π π

(tan2t+1)dt e(tan2t+1) =∫π

4 π

dt

e =

π

12 Từ ta đpcm

Bạn đọc tự làm : Chứng minh : a) π

16 ∫0

π

dx

5+3 cos2x≤ π

10 b)

√3 <∫π

6 π

sinx x dx<

1

2 c)

π

6π π

dx

√4− x2− x3

π√2 d*) Cho hàm số liên tục : f:[0,1][0,1]; g:[0,1][0,1]

Chứng minh : [∫

f(x).g(x)dx]

2

0

f(x)dx ∫

0

g(x)dx

Một số ứng dụng tích phân thường gặp : 1)Tính diện tích :

Cho hai hàm số f(x)∧f (x) liên tục đoạn [a , b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường :

¿ x=a y=f(x)

; ¿x=b y=g(x)

¿{ ¿

Được tính sau :

S=

a b

|f(x)− g(x)|dx 2)Tính thể tích :

Nếu diện tích S(x) mặt cắt vật thể mặt phẳng vng góc với trục tọa độ ,

là hàm số liên tục đoạn [a , b] thể tích vật thể tính :

V=∫

a b

(24)

Nếu hàm số f(x) liên tục [a , b] (H) hình phẳng giới hạn đường:

¿ x=a , x=b

y=f(x)

Ox

¿{ { ¿

Khi (H) quay quanh Ox ta vật thể trịn xoay Lúc thể tích tính :

V=π

a b

[f (x)]2dx

Tương tự ta tính thể tích vật thể quay quanh oy 3)Tính giới hạn :

lim n →∞i=1

n

f(ξ).Δxi=∫ a b

f(x)dx

¿

xi −1≤ ξi≤ x Δx=xi− xi−1

¿{

¿

Từ ta xây dựng toán giới hạn sau : Viết dãy số thành dạng : Sn=∑

i=1 n

1

nf( i

n) sau lập phân hoạch [0,1] , chọn ξi=xi=i

n ta có n →∞lim∑i=1 n

1

nf( i n)=∫0

1

f(x)dx

4)Tính độ dài cung đường cong trơn:

Nếu đường cong trơn cho phương trinh y=f(x) độ dài đường cung

tính sau :

l=

a b

√1+(y')2dx với a , b hoành độ điểm đầu cung

4)Tính tổng khai triển nhị thức Newton

Tìm cơng thức tổng qt , chọn số liệu thích hợp,sau dùng đồng thức, bước cuối tính tích phân

(25)

hình1c hình1d BÀI TẬP

Tính diện tích hình trịn , tâm O , bán kính R Bài làm : (hình 1a)

Phương trình đường trịn có dạng :

x2+y2=R2⇔y=±R2− x2

Do tính đối xứng đồ thị nên : S=4∫ R

R2− x2dx

Đặt : x=Rsint⇒dx=Rcos tdt

Đổi cận :

¿

x=0→t=0

x=R →t=π

2

¿{ ¿

¿ x=0→t=0

x=R →t=π

2

¿{ ¿

Vậy : S=4∫0 π

R2sin2t Rcos tdt=2R2∫

0 π

(1+cos 2t)dt ¿2R2(x+1

2sin 2t)¿0 π

=πR2(dvdt)

Xét hình chắn phía Parabol y=x2 , phía đường thẳng qua điểm

A(1,4) hệ số góc k Xác định k để hình phẳng có diện tích nhỏ Bài làm (hình 1b)

Phương trình đường thẳng có dạng y=k(x −1)+4

Phương trình hồnh độ giao điểm

x2=k(x −1

)+4⇔x2kx

+k −4=0

(26)

[k(x −1)+4− x2]dx=[−x

3 +

k

2 x

+(4− k)x]∨¿x1

x2

S=

x1 x2

¿=(x2− x1)[1

3(x22+x1x2+x1

2

)+1

2k(x2+x1)+(4− k)]() Với :

¿ x2+x1=k

x2.x1=k −4 (x2− x1)

2

=(x22

+x21)24x

2.x1=k24(k −4)

¿{ { ¿

Thế vào ( ) ta : S=k24k

+16[1

3(k 24k

+4)+1

2k

+(4− k)] ¿1

6√k 24k

+16(k24k+16) ¿1

6√(k

4k+16)3=1

6√[(k −2)

+12]34√3 Vậy : minS=4√3 k=2

Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường :

¿

ax=y2

ay=x2

¿{ ¿

Bài làm : (hình 1c)

Do tính chất đối xứng đồ thị mà ta cần xét a>0

Xét :

¿

ax=y2

ay=x2 a>0

¿(x − y)(x+y+a)=0

ay=x2 a>0

¿{ { ¿

(27)

x=y

ay=x2 a>0

x=a(n) ¿ x=0(l)

¿ ¿ ¿{{

¿ ¿ ¿ ¿

Với x+y+a=0 ta :

x+y+a=0

ay=x2 a>0

¿x2+ax+a2=0

ay=x2

a>0

¿

x=a(n) ¿ x=0(l)

¿ ¿{ {

¿ ¿ ¿¿

Ta lại có :

¿

ax=y2

ay=x2 a>0

¿y=±√ax

y=x2 a a>0 ¿{{

¿

Vậy diện tích cần tính :

S=

0 a

[√ax−x

2

a ]dx=∫0

a

[√a x

1 2−x2

a]dx ¿[3

2√a x 2 x3

3a]¿0

a

=1

3a

(dvtt)

(28)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : a)

¿ x − y3+1=0

x+y −1=0 x=2

¿{ { ¿

b)

¿ y=x2 y=4x

y=4

¿{ { ¿

c)

¿ x=y x+y −2=¿y=0

0

¿{ { ¿

d)

¿ x2 a2+

y2 b2=1

a , b ≠0

¿{ ¿

Hình vẽ tương ứng ↓↓↓

hình a hình b

hình c hình d Với số nguyên dương n ta đặt :

Sn=1

+25+35+ +n5 n6

(29)

Sn=1 n[(

1

n)

5

+(2 n)

5

+(3 n)

5

+ +(n n)

5

] ¿∑

i=1 n

1

n.( i n)

5

Xét hàm số f(x)=x5∀ ∈[0,1] .

Ta lập phân hoạch [0,1] với điểm chia :

0=x0<x1<x2< .xn −1<xn=1 chiều dài phân hoạch l=xi− xi −1=1 n

Chọn ξi=xi=

i

n ta có n →∞lim∑i=1 n

(xi− xi−1)f(ζi)=∑ i=1

n

n.( i n)

5

x5dx=¿1

6

lim S

l →0n=limn →∞S n=∫0

¿

Với số nguyên dương n ta đặt : Sn=

n+1+

1

n+2+

n+3+ .+

n+n

Tính limn →∞S n Bài làm :

Sn=1 n(

1

n+1

+

2

n+1

+

3

n+1

+ .+ n n+1) ¿∑

i=1 n

1

n.(

1

i n+1)

Xét hàm số f(x)=

x+1∀ ∈[0,1]

Ta lập phân hoạch [0,1] với điểm chia :

0=x0<x1<x2< .xn −1<xn=1 chiều dài phân hoạch l=xi− xi −1=1 n

Chọn

ξi=xi=i n

ta có

   

   

 

   

 

 

 

 

 

1 lim

1

1

n i n f

x

x n

i n

i

i i i

n

lim S

l →0n=limn →∞S n=∫0

dx

x+1=ln|x+1|¿0

1

Ngày đăng: 08/03/2021, 15:31

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w