Xác định k để hình phẳng trên có diện tích nhỏ nhất. Bài làm (hình 1b)[r]
(1)CHUN ĐỀ TÍCH PHÂN
Bảng cơng thức tích phân bất định :
∫0 dx=C ∫dx=x+C
∫xndx=x
n+1
n+1+C n ≠ −1 ∫
1
xdx=ln|x|+C
∫exdx=ex+C ∫axdx= a
x lna C
∫sin xdx=−cosx+C ∫cos xdx=sinx+C
∫
cos2x dx=tanx+C ∫
1
sin2x dx=−cotx+C
∫u '
(x)
u(x)dx=ln|u(x)|+C ∫
1
x2− a2dx= 2aln|
x − a x+a|+C
∫√x2
+adx=x
2√x
+a+a
2ln|x+√x
2+a|+C
Phương pháp biến số phụ :
Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a ;b] có nguyên hàm F(x)
Giả sử u(x) hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [α , β] có miền giá trị [a ;b] ta có :
∫f[u(x)].u '(x)dx=F(x)[u(x)]+C
BÀI TẬP Tính tích phân sau :
a) I1=∫
0
xdx
x2+1 b) I2=∫0
1
exdx
ex−1 c) I3=∫1
e
√1+lnxdx x
Bài làm :
a) Đặt t=x2+1⇒dt=2 xdx⇒xdx=dt
2 Đổi cận :
¿ x=0→ t=1
x=1→t=2 ¿{
¿
Vậy :
xdx
x2+1=
1 2∫1
2
dt
t =
1
2lnt∨¿1
=1
2ln
I1=∫
¿
(2)Đổi cận :
¿
x=1→ t=e −1
x=2→t=e2−1
¿{ ¿
Vậy : dt
t =lnt∨¿e −1 e2−1
=ln(e+1) I2=∫
0
exdx
ex−1=∫ e−1 e2−1
¿
c) Đặt t=1+lnx⇒tdt=1 xdx
Đổi cận :
¿ x=1→ t=1 x=e → t=2
¿{ ¿
√tdt=2
3t 2∨¿
1
=2
3(2√2−1)
I3=∫
1 e
√1+lnxdx
x =∫1
2
¿
Tích phân lượng giác : Dạng : I=∫
α β
sin mx cos nxdx
Cách làm: biến đổi tích sang tổng Dạng : I=∫
α β
sinmx cosnx dx Cách làm :
Nếu m ,n chẵn Đặt t=tanx
Nếu m chẵn n lẻ Đặt t=sinx (trường hợp cịn lại ngược lại) Dạng : I=∫
α β
dx
a sinx+b cosx+c
Cách làm :
Đặt :
t=tanx
2⇒ sinx= 2t
1+t2 cosx=1− t
2 1+t2 ¿{
Dạng : I=∫
α β
(3)Cách làm :
Đặt : ca sin.sinxx++db cos cosxx=A+B(c cosx − d sinx) c sinx+d cosx
Sau dùng đồng thức Dạng 5: I=∫
α β
a sinx+b cosx+m c.sinx+d.cosx+n dx
Cách làm :
Đặt : ac sin.sinxx+b cosx+m
+d.cosx+n=A+
B(c cosx − d sinx) c sinx+d cosx+n +
C
c sinx+d cosx+n
Sau dùng đồng thức
BÀI TẬP Tính tích phân :
a)
sinx+1¿4 ¿ ¿
cos xdx
¿ I1=∫
0 π
¿
b) I 2=∫
0 π
cos5xdx c) I3=∫
0 π
tan6xdx
Bài làm :
a) Đặt : t=sinx+1⇒dt=cos xdx
Đổi cận :
¿ x=0→ t=1 x=π
2 →t=2
¿{ ¿
Vậy :
sinx+1¿4 ¿ ¿
cos xdx
¿ I1=∫
0 π
¿
b) Đặt : t=sinx⇒dt=cos xdx
Đổi cận :
¿ x=0→ t=0 x=π
2 →t=1
(4)Vậy : I2=∫0 π
cos5xdx=∫
0
(1−t2)2dt=∫
0
(1+t4−2t2)dt
∫
(t55− 3t
3
+t)¿01=
15 c) Đặt : t=tanx⇒dt=(tan2x+1)dx
Đổi cận :
¿ x=0→ t=0 x=π
4 →t=1
¿{ ¿
Vậy :
I3=∫
0 π
tan6xdx
=∫
0
t6dt
t2
+1=∫0
(t4−t2
+1−
t2
+1)dt
(t55−
t3
3+t)¿0
−∫
0 π
du=13
15 −
π
4
Tính tích phân sau : a) I
1=∫ π
sinx cosx
√a2 sin2x
+b2 cos2x
dx b) I2=∫
0 π
cosx
√2+cos 2xdx
Bài làm :
a) Đặt : t=a2 sin2x+b2 cos2x⇒dt=2(− b2+a2)sinx.cos xdx
Đổi cận :
¿ x=0→ t=a2 x=π
2 →t=b
¿{ ¿
Nếu |a|≠|b|
Vậy : I1=∫0 π
2
sinx cosx
√a2 sinx+b2 cosxdx=
1 2(b2− a2)∫a2
b2
dt
√t
¿
b2− a2√t¿a2
b2
=|a|−|b| b2− a2=
1
|a|+|b|
(5)Vậy :
sinx cosx
√a2 sin2x+b2 cos2xdx=¿∫ π
sinx cos xdx
|a|
I1=∫
0 π
¿
2|a|∫0 π
sin xdx=−
4|a|cos 2x¿0
π
=
2|a|
b) Đặt : t=sinx⇒dt=cos xdx
Đổi cận :
¿ x=0→t=0 x=π
3 →t=
√3
¿{ ¿
Vậy : I2=∫
0 π
cosx
√2+cos 2xdx=∫0
√3
dt
√3−2t2=
1
√2∫0
√3
dt √32− t
2
Đặt : t=√3
2cosu⇒dt=−√
2sin udu
Đổi cận :
¿ t=0→ u=π
2
t=√3
2 →u=
π
4
¿{ ¿
Vậy :
¿ I2=
√2∫0
√3
dt √32− t
2
=
√2∫π π √3
2 sin udu √32(1−cos
2
u)
√2∫π π
du=
√2u∨¿π4 π
= π
4√2
Tính tích phân sau : a) I
1=∫ π
1
4 sinx+3 cosx+5dx b) I2=∫
0 π
sinx+7 cosx+6
4 sinx+3 cosx+5dx
Bài làm :
a) Đặt : t=tan x
2⇒dt=(tan 2x
2+1)dx⇒dx= dt
t2
(6)Đổi cận :
¿ x=0→ t=0 x=π
2 →t=1
¿{ ¿
Vậy :
I1=∫
0
1
1+t2
4 2t 1+t2+3
1− t2 1+t2+5
dt=∫
0
dt
(t+1)2
−
t+2¿0
1
=1
6
b)Đặt : sin4 sinx+x7 cos+3 cosx+x+65=A+B cosx −3 sinx
4 sinx+3 cosx+5+
C
4 sinx+3 cosx+5
Dùng đồng thức ta được: A=1, B=1, C=1
Vậy : I2=∫0 π
2
sinx+7 cosx+6
4 sinx+3 cosx+5dx=∫0 π
(1+ cosx −3 sinx
4 sinx+3 cosx+5+
1
4 sinx+3 cosx+5)dx ¿(x+ln|4 sinx+3 cosx+5|)¿0
π
+I1=π
2+ln 8+
1 Bạn đọc tự làm :
a) I1=∫
π π
cos3x
sinx dx b) I2=∫ π
cos3x sin xdx c) I3=∫ π
dx sinx+2
c) I 3=∫
0 π
4 sin3x
cosx+1 dx d) I5=∫ π
1
sinx+2 cosx+3 dx
d) I 6=∫
0 π
sinx −cosx+1 sinx+2cosx+3 dx Tính nguyên hàm,tích phân hàm hữu tỷ
Dạng : I=∫dx
(x −a)n=−
1
n−1
(x − a)n−1+C với (a , n)∈C ×(N −{0,1}) ta có :
Nếu n=1, a∈R ta có : I=∫dx
x −a=ln|x|+C
Dạng : I=∫ αx+β
(ax2
+bx+c)ndx :
¿
α , β , a , b , c∈R Δ=b2−4 ac<0
¿{ ¿
* Giai đoạn : α ≠0 ,làm xuất tử thức đạo hàm tam thức ax2
+bx+c
, sai khác số :
I= α
2a∫
2 ax+b+2aβ
α −b
(ax2+bx+c)n dx=
α
2a∫
2 ax+b
(ax2+bx+c)ndx+
α
2a(
2aβ
α −b)∫
dx
(7)* Giai đoạn :
Tính I=∫dx(ax2+bx+c)ndx=( 4a − Δ)
n √− Δ
2a ∫
t=2 ax+b
√− Δ dt
(1+t2)n * Giai đoạn :
Tính I=∫
(t2+1)n
dt tính hai phương pháp , truy hồi đặt t=tanφ
Dạng : I=∫Pm(x)
Qn(x) dx Ta có : Pm(x)
Qn(x)=
amx m
+ +a1x+a0 bnxn+ +b1x+b0
Nếu : deg(P)≥deg(Q) ta thực phép chia Pm(x) Qn(x)
=A(m −n)(x)+Rr(x) Qn(x)
phân số Rr(x)
Qn(x)
có deg(R)<deg(Q)
Nếu : deg(P)<deg(Q) ta có qui tắc sau :
*Qt 1: Pm(x)
(x −a)n= A1
(x −a)+ .+
An −1 (x − a)n −1+
An (x − a)n
Vdụ 1a :
Pm(x)
∏ i=1
n
(x − ai) i
=∑
i=1
n A
i (x −ai)
i
Vdụ 1b :
x − c¿2 ¿ (x − a)(x − b)¿
Pm(x) ¿
*Qt 2': Pm(x) (ax2+bx+c)n
= A1x+B1
(ax2
+bx+c)+ +
An −1x+Bn−1
(ax2+bx+c)n −1
+ Anx+Bn
(ax2+bx+c)n với Δ<0
*Qt 3: Pt(x)
(x −α)m(ax2+bx+c)n
=∑
i=1
m A
i
(x − α)i+∑k=1
n A
ix+B1 (ax2+bx+c)i
Vdụ : Pt(x)
(x − α)(ax2+bx+c)= A x − α+
Bx+C
(ax2+bx+c)
Vdụ : Pt(x)
(x −α)(ax2
+bx+c)2
= A
(x −α)+
B1x+C1
(ax2+bx+c)+
B2x+C2
(ax2
+bx+c)2
(8)a) I1=∫
0
dx
x2+3x+2 b) I2=∫0
dx (x2
+3x+2)2
Bài làm : a) I1=∫
0
dx
x2+3x+2=∫0
dx
(x+1)(x+2)=∫0
(x1+1−
1
x+2)dx
¿[ln|x+1|−ln|x+2|]0
=ln4
3 b) I2=∫
0
dx
(x2+3x+2)2
dx=∫
0
[(x+11)2+
1
(x+2)2−
2
(x+1) (x+2)]dx ¿[−
x+1−
x+2−2(ln|x+1|−ln|x+2|)]0
=OK
Tính tích phân sau : a) I1=∫
0
dx
x4
+3x2+3 b) I2=∫0
4x −2 (x2
+1)(x+2)dx
Bài làm :
a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh I0=∫dx x2+a2=
1
aarctan x
a+C với a>0 I1=∫
0
dx
x4
+3x2+3=∫0
dx (x2
+1) (x2+3)=
1 2∫0
1
(x21
+1−
1
x2
+3)dx ¿1
2(arctanx −
√3arctan
x
√3)¿0
=π
2(9−2√3) b) Đặt : 4x −2
(x+2)(x2+1)= A x+2+
Bx+C x2
+1 =
x2
(A+B)+x(2B+C)+2C+A (x+2)(x2+1)
Do ta có hệ :
¿ A+B=0
2B+C=4 2C+A=0
⇔
¿A=−2
B=2
C=0
¿{ { ¿
Vậy : I2=∫
0
4x −2
(x2+1)(x+2)dx=∫0
(− x+2+
2x x2
+1)dx ¿[−2 ln|x+2|+ln|x2+1|]01=−2 ln 3+ln 2+ln2−ln1=ln4
(9)Bạn đọc tự làm : a) I1=∫
2
x+1 x2
(x −1)dx b) I2=∫2
dx
x2
+2x −3
c) I3=∫
1
x3−1
4x3− xdx d) I3=∫√3
x
x4−3x2+2dx
HD:
a) x2x(x −+11)= A
x+ B x2+
C
x −1 b)
1
x2
+2x −3= A x −1+
B x+3 c) x
3−1 4x3− x=
1 4(1+
x −4
x(2x+1) (2x −1)) d)
x
x4−3x2+2= A x −1+
B x+1+
C x+√2+
D x −√2 Đẳng thức tích phân :
Muốn chứng minh đẳng thức tích phân ta thường dùng cách đổi biến số nhận xét số đặc điểm sau
* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận + cận dưới, …
Chúng ta cần phải nhớ đẳng thức nầy xem bổ đề áp dụng BÀI TẬP
Chứng minh : ∫
xm(1− x)ndx=∫
0
xn(1− x)mdx
Bài làm : Xét I=∫
0
xm(1− x)ndx
Đặt : t=1− x⇒dt=−dx⇒dx=−dt
Đổi cận :
¿ x=0→ t=1
x=1→ t=0 ¿{
¿
Vậy : I=∫
0
xm(1− x)ndx=−∫
1
(1−t)mtndt=∫
0
(1−t)mtndt (đpcm)
Chứng minh f (x) hàm lẻ liên tục đoạn [−a , a] : I=∫
−a a
f(x)dx=0
(10)I=∫
−a a
f(x)dx=∫
− a
f(x)dx+∫
0 a
f(x)dx(1)
Xét ∫ − a
f(x)dx Đặt t=− x⇒dt=−dx⇒dx=−dt
Đổi cận :
¿
x=− a→ t=a
x=0→ t=0 ¿{
¿
V ậy : ∫ − a
f(x)dx=∫
0 a
f(− t)dt=−∫
0 a
f (t)dt
Thế vào (1) ta : I=0 (đpcm)
Tương tự bạn đọc chứng minh : Nếu f(x) hàm chẳn liên tục
đoạn [−a , a] I=∫
−a a
f(x)dx=2∫
0 a
f(x)dx
Cho a>0 f(x) hàm chẵn , liên tục xác định R
Chứng minh : ∫ −α α
f(x)
ax+1dx=∫0 α
f(x)dx
Bài làm : ∫ −α α
f(x) ax
+1dx=∫− α
f(x) ax
+1dx+∫0 α
f(x) ax
+1dx(1)
Xét ∫ −α
f(x)
ax+1dx Đặt t=− x⇒dt=−dx⇒dx=−dt
Đổi cận :
¿
x=− α →t=α
x=0→t=0 ¿{
¿
Vậy : ∫ −α
f(x)
ax+1dx=∫0 α
f(− t) a− t+1dt=∫0
α
atf(t) at+1
Thế vào (1) ta : ∫ −α α
f(x)
ax+1dx=∫− α
axf(x) ax+1 dx+∫0
α
f(x)
ax+1dx=∫0 α
f(x)dx (đpcm)
Cho hàm số f(x) liên tục [0,1] Chứng minh : ∫
0 π
x.f(sinx)dx=π
2∫0 π
f(sinx)dx
Bài làm : Xét ∫
0 π
(11)Đổi cận :
¿ x=0→ t=π x=π → t=0
¿{ ¿
Vậy : ∫ π
x.f(sinx)dx=∫
0 π
(π − t).f[sin(π − t)]dt=∫
0 π
(π −t).f (sint)dt ¿π∫
0 π
f(sint)dt−∫
0 π
t.f(sint)dt
⇒2∫ π
x.f (sinx)dx=π∫
0 π
f(sinx)dx
⇒∫ π
x.f(sinx)dx=π
2∫0 π
f(sinx)dx
Từ tốn , bạn đọc mở rộng toán sau
Nếu hàm số f(x) liên tục [a , b] f(a+b − x)=f (x) Thì ta ln có :
∫ a b
x.f(x)dx=a+b
2 ∫0 π
f(x)dx
Cho hàm số f(x) liên tục,xác định , tuần hồn R có chu kì T
Chứng minh : ∫ a a+T
f(x)dx=∫
0 T
f (x)dx
Bài làm :
f(x)dx=¿∫
a
f(x)dx+∫
0 T
f(x)dx+∫
T a+T
f(x)dx
∫ a a+T
f(x)dx=∫
a T
f(x)dx+∫
T a+T
¿
Vậy ta cần chứng minh ∫ a
f(x)dx=∫
T a+T
f (x)dx
Xét ∫ a
f(x)dx Đặt t=x+T⇒dt=dx
Đổi cận :
¿
x=0→t=T
x=a → t=a+T
¿{ ¿
Vậy : ∫ T a+T
f(t −T)dt=∫
T a+T
f(t)dt
Hay : ∫ a a+T
f(x)dx=∫
0 T
f(x)dx (đpcm)
(12)Nếu hàm số f(x) liên tục,xác định , tuần hoàn R có chu kì T , ta
ln có : ∫ T
f(x)dx=∫
−T T
f(x)dx
Bạn đọc tự làm : a) I1=∫
0
x(1− x)6dx b) I2=∫ −1
sin2x cosxln(x+
√x2
+1)dx
c) I3=∫
0 π
x sinx
9+4 cos2xdx d) I4=∫0 π
x sinx
1+cos2xdx
e) I5=∫
−π π
x2
|sinx|
1+2x dx f) I6=∫−1
x2+sinx
1+x2 dx
g) I❑7
=∫
0 2π
ln(sinx+√1+sin2x)dx h) I❑8
= ∫
0 2009π
√1−cos 2xdx
Tích phân phần :
Cho hai hàm số u v có đạo hàm liên tục đoạn [a , b] , ta có : ∫
a b
udv=[uv]¿ab−∫
a b
vdu
Trong lúc tính tính tích phân phần ta có ưu tiên sau :
*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit phải đặt u=lnx hay u=logax *ưu tiên : Đặt u=?? mà hạ bậc
BÀI TẬP
Tính tích phân sau : a) I1=∫
0
x.exdx b)
I2=∫
0 π
x2 cos xdx c) I3=∫ e
ln xdx
Bài làm : a) Đặt :
¿
u=x⇒du=dx
dv=exdx⇒v=ex
¿
{
¿
Vậy : I1=∫
0
x.exdx
=x.ex¿10−∫
0
exdx=e −ex
(13)b) Đặt :
¿ u=x2⇒du
=2 xdx
dv=cos xdx⇒v=sinx ¿
{ ¿
Vậy :
1 sin
sin
cos
0
0
2
0
0
1∫ ∫ ∫
xdx x
xdx x
x x dx e x
I x
Ta tính tích phân ∫ π
x sin xdx
Đặt :
¿ u=x⇒du=dx
dv=sin xdx⇒v=−cosx ¿
{ ¿
Vậy : ∫ π
x sin xdx=− x cosx¿0
π
+∫ π
cos xdx=− x cosx¿0
π
+sin¿0
π
=1 Thế vào (1) ta : I1=∫
0
x.exdx=π
2
−8
c) Đặt :
¿ u=lnx⇒du=1
xdx
dv=dx⇒v=x ¿ { ¿
Vậy : I3=∫
1 e
ln xdx=x lnx¿1e−∫
1 e
dx=x lnx¿1e− x¿0e=1
Tính tích phân sau : a) I1=∫
0 π
ex sin xdx b) I 2=∫
0 π
x
cos2x dx c)
I3=∫
1 eπ
cos(lnx)dx
Bài làm : a) Đặt :
¿
u=ex⇒du=exdx dv=sin xdx⇒v=−cosx
¿
{
¿
Vậy : I1=∫
0 π
ex sin xdx=− ex cosx
¿0π+∫
0 π
ex.cos xdx=eπ
(14)Đặt :
¿ u=ex⇒du
=exdx
dv=cos xdx⇒v=sinx ¿
{ ¿
Vậy : J=∫
0 π
ex cos xdx=ex sinx¿0π−∫
0 π
ex sin xdx=− I
Thế vào (1) ta : 2I1=eπ+1⇒I1=e π
+1
2
b) Đặt :
¿ u=x⇒du=dx
dv=
cos2x dx⇒v=tanx ¿
{ ¿
Vậy :
tan xdx=¿π
4+ln(cosx)¿0 π
=π
4+ln√ 2
I2=∫
0 π
x
cos2x dx=x tanx¿0 π 4−
∫ π
¿
c) Đặt :
¿ u=cos(lnx)⇒du=−1
xsin(lnx)dx
dv=dx⇒v=x ¿ { ¿
Vậy : I3=∫
1 eπ
cos(lnx)dx=x cos(lnx)¿1eπ+∫
1 eπ
sin(lnx)dx=−(eπ+1)+J
Đặt :
¿ u=sin(lnx)⇒du=1
xcos(lnx)dx
dv=dx⇒v=x ¿ { ¿
Vậy : I3=∫
1 eπ
sin(lnx)dx=x.sin(lnx)¿1eπ−∫
1 eπ
cos(lnx)dx=0− I3
Thế vào (1) ta : 2I3=−(e π
+1)⇒I3=−e
π
+1
2 Bạn đọc tự làm :
a) I1=∫ ln
x.e− xdx b) I2=∫ e
(1−lnx)2dx
c) I3=∫
e
(ln12x −
1
lnx )dx d) I4=∫
(15)e) I5=∫
π π
sinx ln(tanx)dx f) I6=∫
1 e
cos2(lnx)dx
g) I❑7
=∫
0 π
x2cos 2x h) I❑7
=∫
0 π
1+sinx
1+cosxe
x dx
Tích phân hàm trị tuyệt đối, , max : Muốn tính I=∫
a b
|f(x)|dx ta xét dấu f(x) đoạn [a , b] , khử trị tuyệt đối Muốn tính I=∫
a b
max[f(x), g(x)]dx ta xét dấu f(x)− g(x) đoạn [a , b] Muốn tính I=∫
a b
min[f(x), g(x)]dx ta xét dấu f(x)− g(x) đoạn [a , b]
Tính tích phân sau : a) I1=∫
1
|x −2|dx b) I1=∫
|x2
+2x −3|dx
Bài làm :
x a)
x-2 - + Vậy : I1=∫
1
|x −2|dx=∫
(2− x)dx+∫
(x+2)dx=[2x −x
2 ]1
2 +[x
2
2 −2x]2
4
¿[(4−2)−(2−1
2)]+[(8−8)−(2−4)]= b) Lập bảng xét dấu x2
+2x −3, x∈[0,2] tương tự ta I1=∫
0
|x2
+2x −3|dx=−∫
0
(x2
+2x −3)dx+∫
1
(x2
+2x −3)dx
I1=[3x − x
−x
3 ]0
1
+[−3x+x2+x
3 ]1
2
=4
Tính Ia=∫
0
(16)Bài làm :
x − ∞ a +∞ x-a - +
(Từ bảng xét dấu ta đánh giá ) Nếu a ≤0
Ia=∫
x|x −a|dx=∫
0
(x2−ax)dx
=[x
3 −
ax2 ]0
1
=1
3−
a
2 Nếu 0<a<1
Ia=∫
0
x|x −a|dx=−∫
0 a
(x2−ax)dx+∫
a
(x2−ax)dx
¿[ax
2 −
x3
3 ]0 a
+[−ax
2 +
x3
3 ]a
=1
3−
a2
2 +
a3
2 Nếu a ≥1
Ia=∫
x|x −a|dx=−∫
(x2−ax)dx=−[x
3
3 − ax2
2 ]0
1 =−1
3+
a
2
Tính : a) I1=∫
0
min(1, x2)dx I 2=∫
0
max(x2, x)dx Bài làm :
a) Xét hiệu số : 1 x2 x0,2
Vậy : I1=∫
0
min(1, x2)dx=∫
0
x2dx+∫
1
dx=x
3 ¿0
2
+x¿12=4
3
b) Xét hiệu số : x(x −1)∀x∈[0,3] tương tự ta có
I2=∫
0
max(x2, x)dx=∫
0
xdx+∫
1
x2dx=x
2 ¿0
1
+x
3 ¿1
3
=55
6 Bạn đọc tự làm :
a) I1=∫
−2
min(x , x2−3)dx b) I 2=∫
0 π
max(sinx,cosx)dx c) I3=∫
0 3π
4
|sinx −cosx|dx d) I4=∫
−2
max(x2,4x −3)dx d) I❑4
=∫
1
(√x+2√x −1+√x −2√x −1)dx
Nguyên hàm , tích phân hàm số vô tỷ :
(17)¿ a>0
Δ<0
→ax2
+bx+c=− Δ
4a[1+(
2 ax+b
√− Δ )
2 ]
¿{ ¿
∫R(x ,√ax2+bx+c)dx= ∫
t=2 ax+b
√− Δ
S(t ,√1+t2)dt
Tới , đặt t=tanu
Dạng 2:
¿ a<0
Δ<0
→ax2
+bx+c=− Δ
4a [1−(
2 ax+b
√− Δ )
2 ]
¿{ ¿
∫R(x ,√ax2+bx+c)dx= ∫
t=2 ax+b
√− Δ
S(t ,√1− t2)dt
Tới , đặt t=sinu
Dạng 3:
¿ a>0
Δ>0
→ax2
+bx+c= Δ
4a[(
2 ax+b
√− Δ )
2
−1]
¿{ ¿
∫R(x ,√ax2+bx+c)dx= ∫
t=2 ax+b
√Δ
S(t ,√t2−1)dt
Tới đây, đặt t=
sinu
Dạng (dạng đặc biệt) : ∫dx(αx+β)√ax2
+bx+c
= ∫
t=αx1 +β
dt
√αt2
+μt+ζ
Một số cách đặt thường gặp :
∫S(x ,√a2− x2)dx đặt x=a cost0≤ t ≤ π ∫S(x ,√a2
+x2)dx đặt x=a tant −π2<t<π2
x x a dx
S
∫ ,
đặt x=cosat t ≠π2+kπ
∫S(x ,√ax2
+bx+c)dx đặt
√ax2
+bx+c=xt±√c ; c>0 ¿
√ax2+bx+c=t(x − x0);ax0+bx0+c=0
¿
√ax2+bx+c=±√a.x ±t ;a>0 ¿
(18)∫S(x ,m√ax+b
cx+d ) đặt t=
m √ax+b
cx+d;ad−cb≠0
Tính : I=∫dx
√(x2+4x+7)3
Bài làm : ∫dx
√(x2+4x+7)3
= ∫
t=x+2 dt
√(t2+3)3
Đặt : t=√3 tanu⇒dt=√3(tan2u+1)du
Ta có
√3(tan2u+1)du 3√3 √(tan2u+1)3
=¿1
3√3 tan∫ucos udu
I= ∫
√3 tanu
¿ ¿1
3sinu+C=
t
√t2+1+C=
1
x+2
√x2+4x+7+C
Tính : a) I=∫xdx
√x2+x+1 b) I=∫
dx
x√x2−2x −1 Bài làm :
a)
xdx
√x2
+x+1=¿∫
xdx
√(x+1
2)
2 +3
4
=1
2 ∫
t=2x+1
√3
√3t −1
√t2 +1 dt ∫¿
I=1
2 ∫ t=2x+1
√3
√3t −1
√t2+1
dt=√3
2 √t
+1−1
2ln(t+√t
+1)+C ¿√x2+x+1−1
2+ln(x+ 2+√x
2
+x+1)+C
b)Đặt : x=1
t ⇒dx=−
dt
t2
dt
√2−(t+1)2
=¿−arcsint+1
√2 +C
I=∫dx
x√x2−2x −1=−x∫=1 t
¿
¿−arcsin
1
x+1
√2 +C=−arcsin
x+1
(19)Tìm nguyên hàm sau a) I=∫dx
√1+x+√31+x b) I=∫
dx
√x+1+√x+1
Bài làm :
a)Đặt : t=√61+x⇒t6=1+x⇒6t5dt=dx
Vậy : I=∫dx
√1+x+√31+x=6t=∫6√1+x
t5dt
t3
+t2=6t=∫6
√1+x(
t2−t+1− t+1dt) ¿2t3−3t2+6t −6 ln|t+1|+C
2√1+x −3√31+x+6√61+x −6 ln|√61+x+1|+C
b) I=∫dx
√x+1+√x+1=∫
1+√x −√x+1 2√x dx=
1 2∫(x
−1
+1)dx−1
2∫√
x+1
x dx
¿1
2x+√x − 2∫√
x+1
x dx(1)
Xét ∫√x+1
x dx Đặt : t=√
x+1
x ⇒x=
1
t2−1⇒dx=− 2t
(t2−1)2dt Vậy : ∫√x+x1dx=−2 ∫
t=√x+1
x
t2dt
(t −1)2=OK
Tìm nguyên hàm sau : a) I=∫
❑ ❑
x2.
√x2
+9 dx b) I=16∫
❑ ❑
x2.
√x2
+4 dx
Bài làm :
a)Đặt : √x2+9=x − t⇒x=t
2
−9
2t ⇒dx= t2+9
2t2 dt
Vậy :
I1=∫
❑ ❑
(t2+9
2t2 ).(
− t2−9 2t )
(t2−9)2 4t2 dt=−
1 16∫❑
❑ (t4−81)2
t5 dt
¿
(t3−162
t +
6561
t5 )dt=¿−
1 16(
t4
4 −162 ln|t|− 6561
4t4 )+C
−
16∫❑ ❑
¿−
16 (
(x −√x2+9)4
4 −162 ln|x −√x
+9|−6561
4(x −√x2+9)4) +C ¿
b)Đặt : √x2
+4=x −t⇒x=t
2
−4
2t ⇒dx= t2+4
(20)I=16∫
❑ ❑
(t2+4
2t2 ).(
− t2−4 2t )
(t2−4)2
4t2 dt=−∫❑
❑ (t4−16)2
t5 dt
(t3−36
t +
256
t5 )dt=¿−( t4
4 −36 ln|t|− 64
t4 )+C
−∫
❑ ❑
¿−((x −√x
2
+4)4
4 +36 ln|x −√x
+4|−64
(x −√x2+4)4) +C
Tính tích phân sau : a) I1=∫
1
√x − x2dx
b) I2=∫
−3 −8
dx
x√1− xdx
Bài làm :
√x − x2dx
=¿1
2∫1
√1−(2x −1)2dx I1=∫
1
¿
Đặt : 2x −1=sint⇒dx=1
2cos tdt
Đổi cận :
¿ x=1
2→ t=0
x=1→ t=π
2
¿{ ¿
Vậy :
(1+cos 2t)dt=¿1
8(1+
2sin 2t)¿0 π
cos2tdt
=¿1
8∫0 π
¿
I1=1
4∫0 π
¿ ¿1
8[(
π
2−0)−(0+0)]=
π
16
(21)Đổi cận :
¿
x=−3→ t=2
x=−8→ t=3
¿{ ¿
Vậy : I2=∫
−3 −8
dx
x√1− xdx=2∫2
tdt
(1−t2)t=2∫2
dt 1−t2 ¿−ln|t −1
t+1|¿2
3=−
(ln1
2−ln 1)=ln
Bạn đọc tự làm : a) I1=∫
dx
x√x2
+1 b) I2=∫√4x − x
2dx c) I 3=∫
dx
√(x2
+4)3
d) I4=∫√1+x2dx d) I❑5
=∫ 1+√x
2
−1
1−√x2−1dx d) I
❑6
=
1+√x2+1dx Bất đẳng thức tích phân :
Nếu f(x)≥0∀x∈[a ,b]⇒∫
a b
f (x)dx≥0
Nếu f(x)≥ g(x)∀x∈[a , b]⇒∫ a b
f(x)dx≥∫
a b
g(x)dx
Nếu m≤ f(x)≤∀x∈[a , b]⇒m(b − a)≤∫
a b
f (x)dx≤ M(b − a)
Trong trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GM Và bước chặn sinx,cosx
BÀI TẬP Chứng minh bất đẳng thức sau :
a) ∫
x(1− x)dx≤1
4 b) 5≤∫1
2
x x2+1dx≤
1
2 c) ∫0
(√1+x+√1− x)dx≤2
Bài làm:
a)Áp dụng AM-GM ta có :
x(1− x)≤[x+(1− x)
2 ]
2
=1
4∀x∈[0,1] Vậy : ∫
0
x(1− x)dx≤1
4∫0
dx=1
(22)b) Xét hàm số : f(x)= x x2
+1∀x∈[1,2]
Đạo hàm :
x=1
¿
x=−1
¿ ¿ ¿ ¿ ¿f
'
(x)= 1− x
2
(x2+1)2 f'(x)=0⇔
¿
Ta có :
¿ f(1)=1
2
f(2)=2
5
¿{ ¿
Vậy : 5≤
x x2+1≤
1
2∀x∈[1,2] ⇒2
5∫1
dx≤∫
1
x x2
+1dx≤
1 2∫1
2 dx ⇒2
5≤∫1
x x2
+1dx≤
1 Áp dụng Bunhicopxki ta có :
√1+x+√1− x ≤√12+12√1+x+1− x=2∀x∈[0,1] Vậy : ∫
0
(√1+x+√1− x)dx≤2(1−0)
∫
(√1+x+√1− x)dx≤2 (đpcm) Chứng minh : ∫
1
√3
e− x sinx
x2
+1 dx< π
12e
Bài làm :
∀x∈[1,√3]⇒− x ≤ −1⇒e− x≤1
e
⇒e− x.sinx
x2
+1 <
1
e(x2+1) ⇒∫1
√3
e− x.sinx
x2+1 dx<∫1
√3
e(x2+1)dx
Xét ∫
√3
e(x2+1)dx
(23)Đổi cận :
¿ x=1→ t=π
4
x=√3→t=π
3
¿{ ¿
Do : ∫ π π
(tan2t+1)dt e(tan2t+1) =∫π
4 π
dt
e =
π
12 Từ ta đpcm
Bạn đọc tự làm : Chứng minh : a) π
16 ≤∫0
π
dx
5+3 cos2x≤ π
10 b)
√3 <∫π
6 π
sinx x dx<
1
2 c)
π
6≤∫π π
dx
√4− x2− x3≤
π√2 d*) Cho hàm số liên tục : f:[0,1]→[0,1]; g:[0,1]→[0,1]
Chứng minh : [∫
f(x).g(x)dx]
2
≤∫
0
f(x)dx ∫
0
g(x)dx
Một số ứng dụng tích phân thường gặp : 1)Tính diện tích :
Cho hai hàm số f(x)∧f (x) liên tục đoạn [a , b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường :
¿ x=a y=f(x)
; ¿x=b y=g(x)
¿{ ¿
Được tính sau :
S=∫
a b
|f(x)− g(x)|dx 2)Tính thể tích :
Nếu diện tích S(x) mặt cắt vật thể mặt phẳng vng góc với trục tọa độ ,
là hàm số liên tục đoạn [a , b] thể tích vật thể tính :
V=∫
a b
(24)Nếu hàm số f(x) liên tục [a , b] (H) hình phẳng giới hạn đường:
¿ x=a , x=b
y=f(x)
Ox
¿{ { ¿
Khi (H) quay quanh Ox ta vật thể trịn xoay Lúc thể tích tính :
V=π∫
a b
[f (x)]2dx
Tương tự ta tính thể tích vật thể quay quanh oy 3)Tính giới hạn :
lim n →∞∑i=1
n
f(ξ).Δxi=∫ a b
f(x)dx
¿
xi −1≤ ξi≤ x Δx=xi− xi−1
¿{
¿
Từ ta xây dựng toán giới hạn sau : Viết dãy số thành dạng : Sn=∑
i=1 n
1
nf( i
n) sau lập phân hoạch [0,1] , chọn ξi=xi=i
n ta có n →∞lim∑i=1 n
1
nf( i n)=∫0
1
f(x)dx
4)Tính độ dài cung đường cong trơn:
Nếu đường cong trơn cho phương trinh y=f(x) độ dài đường cung
tính sau :
l=∫
a b
√1+(y')2dx với a , b hoành độ điểm đầu cung
4)Tính tổng khai triển nhị thức Newton
Tìm cơng thức tổng qt , chọn số liệu thích hợp,sau dùng đồng thức, bước cuối tính tích phân
(25)
hình1c hình1d BÀI TẬP
Tính diện tích hình trịn , tâm O , bán kính R Bài làm : (hình 1a)
Phương trình đường trịn có dạng :
x2+y2=R2⇔y=±√R2− x2
Do tính đối xứng đồ thị nên : S=4∫ R
√R2− x2dx
Đặt : x=Rsint⇒dx=Rcos tdt
Đổi cận :
¿
x=0→t=0
x=R →t=π
2
¿{ ¿
¿ x=0→t=0
x=R →t=π
2
¿{ ¿
Vậy : S=4∫0 π
√R2−sin2t Rcos tdt=2R2∫
0 π
(1+cos 2t)dt ¿2R2(x+1
2sin 2t)¿0 π
=πR2(dvdt)
Xét hình chắn phía Parabol y=x2 , phía đường thẳng qua điểm
A(1,4) hệ số góc k Xác định k để hình phẳng có diện tích nhỏ Bài làm (hình 1b)
Phương trình đường thẳng có dạng y=k(x −1)+4
Phương trình hồnh độ giao điểm
x2=k(x −1
)+4⇔x2−kx
+k −4=0
(26)[k(x −1)+4− x2]dx=[−x
3 +
k
2 x
+(4− k)x]∨¿x1
x2
S=∫
x1 x2
¿=(x2− x1)[−1
3(x22+x1x2+x1
2
)+1
2k(x2+x1)+(4− k)]() Với :
¿ x2+x1=k
x2.x1=k −4 (x2− x1)
2
=(x22
+x21)2−4x
2.x1=k2−4(k −4)
¿{ { ¿
Thế vào ( ) ta : S=√k2−4k
+16[−1
3(k 2−4k
+4)+1
2k
+(4− k)] ¿1
6√k 2−4k
+16(k2−4k+16) ¿1
6√(k
−4k+16)3=1
6√[(k −2)
+12]3≥4√3 Vậy : minS=4√3 k=2
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường :
¿
ax=y2
ay=x2
¿{ ¿
Bài làm : (hình 1c)
Do tính chất đối xứng đồ thị mà ta cần xét a>0
Xét :
¿
ax=y2
ay=x2 a>0
⇔
¿(x − y)(x+y+a)=0
ay=x2 a>0
¿{ { ¿
(27)x=y
ay=x2 a>0
⇔
x=a(n) ¿ x=0(l)
¿ ¿ ¿{{
¿ ¿ ¿ ¿
Với x+y+a=0 ta :
x+y+a=0
ay=x2 a>0
⇔
¿x2+ax+a2=0
ay=x2
a>0
¿
⇔
x=a(n) ¿ x=0(l)
¿ ¿{ {
¿ ¿ ¿¿
Ta lại có :
¿
ax=y2
ay=x2 a>0
⇔
¿y=±√ax
y=x2 a a>0 ¿{{
¿
Vậy diện tích cần tính :
S=∫
0 a
[√ax−x
2
a ]dx=∫0
a
[√a x
1 2−x2
a]dx ¿[3
2√a x 2− x3
3a]¿0
a
=1
3a
(dvtt)
(28)Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : a)
¿ x − y3+1=0
x+y −1=0 x=2
¿{ { ¿
b)
¿ y=x2 y=4x
y=4
¿{ { ¿
c)
¿ x=√y x+y −2=¿y=0
0
¿{ { ¿
d)
¿ x2 a2+
y2 b2=1
a , b ≠0
¿{ ¿
Hình vẽ tương ứng ↓↓↓
hình a hình b
hình c hình d Với số nguyên dương n ta đặt :
Sn=1
+25+35+ +n5 n6
(29)Sn=1 n[(
1
n)
5
+(2 n)
5
+(3 n)
5
+ +(n n)
5
] ¿∑
i=1 n
1
n.( i n)
5
Xét hàm số f(x)=x5∀ ∈[0,1] .
Ta lập phân hoạch [0,1] với điểm chia :
0=x0<x1<x2< .xn −1<xn=1 chiều dài phân hoạch l=xi− xi −1=1 n
Chọn ξi=xi=
i
n ta có n →∞lim∑i=1 n
(xi− xi−1)f(ζi)=∑ i=1
n
n.( i n)
5
x5dx=¿1
6
⇒lim S
l →0n=limn →∞S n=∫0
¿
Với số nguyên dương n ta đặt : Sn=
n+1+
1
n+2+
n+3+ .+
n+n
Tính limn →∞S n Bài làm :
Sn=1 n(
1
n+1
+
2
n+1
+
3
n+1
+ .+ n n+1) ¿∑
i=1 n
1
n.(
1
i n+1)
Xét hàm số f(x)=
x+1∀ ∈[0,1]
Ta lập phân hoạch [0,1] với điểm chia :
0=x0<x1<x2< .xn −1<xn=1 chiều dài phân hoạch l=xi− xi −1=1 n
Chọn
ξi=xi=i n
ta có
1 lim
1
1
n i n f
x
x n
i n
i
i i i
n
⇒lim S
l →0n=limn →∞S n=∫0
dx
x+1=ln|x+1|¿0
1